Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы

Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы

Исследуется влияние дополнительной сосредоточенной массы на изменение частотного спектра бал-ки с трещиной. Открытая поперечная трещина моделируется упругим шарниром, жесткость которого на-ходится с помощью конечно-элементной модели. Уравнение свободных колебаний балки с трещиной и дополнительной ма...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
1. Verfasser: Брынза, А.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2013
Schriftenreihe:Техническая механика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88373
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы / А.А. Брынза // Техническая механика. — 2013. — № 1. — С. 25-31. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-88373
record_format dspace
spelling irk-123456789-883732015-11-14T03:01:20Z Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы Брынза, А.А. Исследуется влияние дополнительной сосредоточенной массы на изменение частотного спектра бал-ки с трещиной. Открытая поперечная трещина моделируется упругим шарниром, жесткость которого на-ходится с помощью конечно-элементной модели. Уравнение свободных колебаний балки с трещиной и дополнительной массой составляется с применением обобщенных функций и решается численно-аналитическим методом, предложенным Лазаряном. Показано, что наличие сосредоточенной массы на конструкции с трещиной более заметно изменяет частоты и формы ее колебаний. Это может быть использовано при диагностике конструкций. Досліджується вплив додаткової зосередженої маси на зміну частотного спектра балки з тріщиною. Відкрита поперечна тріщина моделюється пружним шарніром, жорсткість якого знаходиться за допомогою скінченно-елементної моделі. Рівняння вільних коливань балки з тріщиною і додаткової масою складається із застосуванням узагальнених функцій і розв’язується чисельно-аналітичним методом, запропонованим Лазаряном. Показано, що наявність зосередженої маси на конструкції з тріщиною більш помітно змінює частоти і форми її коливань. Це може бути використано при діагностиці конструкцій. We investigate the effect of additional concentrated mass to change the frequency spectrum of a beam with a crack. Open transverse crack is modeled elastic hinge stiffness of which is by using a finite element model. Equation of free vibrations of a beam with a crack and the additional weight of the use of generalized functions and solved numerically-analytical method proposed by Lazarian. It is shown that the presence of a concentrated mass on the design with a crack is more noticeable change frequencies and forms of vibrations. This can be used in the diagnosis of structures. 2013 Article Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы / А.А. Брынза // Техническая механика. — 2013. — № 1. — С. 25-31. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88373 624.21 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Исследуется влияние дополнительной сосредоточенной массы на изменение частотного спектра бал-ки с трещиной. Открытая поперечная трещина моделируется упругим шарниром, жесткость которого на-ходится с помощью конечно-элементной модели. Уравнение свободных колебаний балки с трещиной и дополнительной массой составляется с применением обобщенных функций и решается численно-аналитическим методом, предложенным Лазаряном. Показано, что наличие сосредоточенной массы на конструкции с трещиной более заметно изменяет частоты и формы ее колебаний. Это может быть использовано при диагностике конструкций.
format Article
author Брынза, А.А.
spellingShingle Брынза, А.А.
Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы
Техническая механика
author_facet Брынза, А.А.
author_sort Брынза, А.А.
title Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы
title_short Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы
title_full Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы
title_fullStr Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы
title_full_unstemmed Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы
title_sort свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы
publisher Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate 2013
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88373
citation_txt Свободные колебания балки с трещиной при наличии сосредоточенной массы / А.А. Брынза // Техническая механика. — 2013. — № 1. — С. 25-31. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series Техническая механика
work_keys_str_mv AT brynzaaa svobodnyekolebaniâbalkistreŝinojprinaličiisosredotočennojmassy
first_indexed 2025-07-06T16:07:44Z
last_indexed 2025-07-06T16:07:44Z
_version_ 1836914379457560576
fulltext УДК 624.21 А.А. БРЫНЗА СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ С ТРЕЩИНОЙ ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССЫ Исследуется влияние дополнительной сосредоточенной массы на изменение частотного спектра бал- ки с трещиной. Открытая поперечная трещина моделируется упругим шарниром, жесткость которого на- ходится с помощью конечно-элементной модели. Уравнение свободных колебаний балки с трещиной и дополнительной массой составляется с применением обобщенных функций и решается численно- аналитическим методом, предложенным Лазаряном. Показано, что наличие сосредоточенной массы на конструкции с трещиной более заметно изменяет частоты и формы ее колебаний. Это может быть исполь- зовано при диагностике конструкций. Досліджується вплив додаткової зосередженої маси на зміну частотного спектра балки з тріщиною. Відкрита поперечна тріщина моделюється пружним шарніром, жорсткість якого знаходиться за допомогою скінченно-елементної моделі. Рівняння вільних коливань балки з тріщиною і додаткової масою складається із застосуванням узагальнених функцій і розв’язується чисельно-аналітичним методом, запропонованим Лазаряном. Показано, що наявність зосередженої маси на конструкції з тріщиною більш помітно змінює частоти і форми її коливань. Це може бути використано при діагностиці конструкцій. We investigate the effect of additional concentrated mass to change the frequency spectrum of a beam with a crack. Open transverse crack is modeled elastic hinge stiffness of which is by using a finite element model. Equation of free vibrations of a beam with a crack and the additional weight of the use of generalized functions and solved numerically-analytical method proposed by Lazarian. It is shown that the presence of a concentrated mass on the design with a crack is more noticeable change frequencies and forms of vibrations. This can be used in the diagnosis of structures. Усталостная трещина является одним из наиболее распространенных ви- дов повреждений, возникающих в процессе эксплуатации машиностроитель- ных и транспортных конструкций. Основное направление исследований по динамике конструкций с трещинами связано с идентификацией трещин и их локализацией по изменению частотного спектра конструкции по сравнению с цельной конструкцией. В работе [1] на основании экспериментальных иссле- дований показано, что наличие в конструкции трещины и ее местоположение легче обнаружить путем прикрепления дополнительной сосредоточенной массы, за счет чего происходит существенный"сдвиг" частот. В данной работе аналитически исследуется влияние дополнительной со- средоточенной массы на изменение частотного спектра балки с трещиной. Одной из математических моделей усталостной трещины есть представление ее в виде упругого шарнира [2]. На рис. 1 показано соединительное устройст- во между двумя сегментами стержня в виде упругого шарнира, состоящее из цилиндрического шарнира Ш и упругой связи, препятствующей повороту примыкающих к шарниру концов сегментов балки относительно друг друга. Жесткость упругого шарнира кТ равна величине момента Мш, который необ- ходимо приложить соединительному устройству, чтобы угол поворота сег- ментов балки относительно друг друга был равен единице. Рис. 1 1. В работе жесткость упругого шарнира кТ находится численно с помо-  А.О. Брынза, 2013 Техн. механика. – 2013. – № 1. 25 щью конечно-элементной модели. Трещина моделируется поперечным разре- зом определенной глубины. Изменение угла поворота сечений по обе сторо- ны от трещины (Δθ) в зависимости от глубины трещины, ввиду его малости, определяется как отношение разницы Δх горизонтальных перемещений верх- них узлов конечно-элементной модели балки по обе стороны разреза к высоте поперечного сечения (Δθ = Δх/b). Тогда жесткость упругого шарнира кТ = Мш/Δθ. В качестве примера рассматривается консольная балка длиной l = 5 м квадратного поперечного сечения b = 0,2 м, нагруженная моментом Mш = 1 кНм. Разрез шириной 0,01 м, разной относительной глубины (Г), рас- положен в среднем сечении балки. На рис. 2 приведены графики изменения жесткостей упругого шарнира, деленных на изгибную жесткость балки (кТi/EI), в зависимости от глубины трещины (Г), найденные с помощью конечно-элементной модели (кТ0) и взя- тые из работ [2, 3] (кТ1 и кТ2 соответственно). Как видно из графиков, они ма- ло отличаются в среднем диапазоне относительных глубин. Необходимо от- метить, что коэффициент жесткости упругого шарнира не зависит от положе- ния трещины и способа закрепления концов балки. Для проверки предложенной модели трещины были определены верти- кальные перемещения крайнего сечения консольной балки (в мм) при раз- личных глубинах трещины по конечно-элементной модели и с применением упругого шарнира. Результаты приведены в таблице 1. Таблица 1 Прогибы крайнего сечения балки при различных глубинах трещины Относительная глубина трещины (Г) Типы моделей трещины 0 1/18 3/18 5/18 7/18 9/18 11/18 13/18 15/18 Конечно-элементная 0,46 0,46 0,464 0,474 0,491 0,523 0,584 0,734 1,29 Упругий шарнир 0,456 0,456 0,465 0,474 0,487 0,515 0,567 0,701 1,22 Из приведенных результатов видно, что расхождение перемещений, най- денное по двум моделям, довольно незначительно. Таким образом, модели- рование открытой трещины упругим шарниром вполне допустимо. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 kT1 kT0 kT2  Рис. 2 26 2. Рассмотрим свободные колебания балки, несущей сосредоточенную массу М, при наличии трещины. Пусть трещина находится в сечении Txx  , а сосредоточенная масса – в сечении Mxx  . Дифференциальное уравнение форм собственных колебаний имеет следующий вид (1) ,0)(']''')([ 2  kkk XvxmXxEI где El – изгибная жесикость балки, )()( 10 MxxMmxm   , m0 – погонная масса балки, а )(1 Mxx  – импульсивная функция первого порядка, или δ- функция Дирака. Заменим уравнение (1) следующей системой уравнений [4] , )( '' 0 z xI I X k  , (2) kkk XvxmzEI 2 0 )(''  где 0 )( EI xM z  – «масштабированный» изгибающий момент. В общем случае перемещение может быть представлено в виде )(xX k (3) ),())((')( 0 * TTTkkk xxxxxXXxX   где – некоторая функция, имеющая непрерывную первую производную по * kX x ; )0(')0(')('  TTTk xXxXxX – взаимный угол поворота сече- ний слева и справа от трещины (упругого шарнира), а       T TT TTk xxпри xxприxxX xxxxX 0 )(' )()(' 0 – линейный сплайн. Тогда есть непрерывная в сечении )(xX k Txx  функция. Дифференци- руя соотношение (3) дважды по ,x получаем ).()(" 1 "*'' TTkkk xxxXXX   Подставляя это выражение в равенство (2), находим ).()(' 1'' )( 1 * 0 TTk k xxxX zz X xI I   При поэтому Txx  ,)( 0IxI  .1 ''*  z X k В силу непрерывности z в точке и на основании фильтрующего свойства δ-функция Дирака Txx . )( )( )( )( 11 T TT xz xx xz xx     27 Но , )( )(' 0 TT Tk k EI xz xX   где – жесткость упругого шарнира, модели- рующего трещину. Поэтому Tk .)(1)( 1 1 0 0         T T xx k EI EIxEI  (5) Таким образом, изгибная жесткость равна всюду, кроме сече- ния . В этом сечении она имеет сосредоточенное включение опреде- ляемое выражением (5). На основании уравнения (2) )(xEI 0EI Txx  ,)(1 )( '' 1 00 zxx k EI z xEI EI X T T k         или, в силу непрерывности в сечении z Txx  ).()('' 1 0 TT T k xxxz k EI zX   Дифференцируя дважды это соотношение и подставляя на основании второго уравнения (2) ),())(('' 10 0 2 xXxxMm EI z kM k    получаем диф- ференциальное уравнение форм свободных колебаний балки, несущей сосре- доточенную массу, при наличии трещины ),()()()( 3 0 1 0 2 0 2 0 TT T MMk k k kIV k xxxz k EI xxxX EI Mv X EI vm X   или ),()()()( 3 ' 1 0 2 4 TTkMMk k kk IV k xxxXxxxX EI Mv XkX   (6) где 0 2 04 EI vm k k k  , а )(3 Txx  – импульсивная функция третьего порядка. Решение уравнения (6) находится с помощью преобразования Лапласа и имеет следующий вид 28 ).( ))(( )(' )( ))(( )( )()()( )()( ))(( )(' )( ))(( )( )( )(''' ( )('' )( )(')()()( T k Tk Tk M k M Mk k kk k k k kT k Tk Tk M k M Mk k kk k k k kk xx k xxkY xX xx k xxkY xX EI Mv k kxY EI Q k xkY EI M k xkY xkYvxx k xxkY xX xx k xxkY xX EI Mv k kxY v k xkY v k xkY vxkYvxX               0 2 03 4 0 2 3 4 0 0 2 3 0 02 0 100 2 03 4 0 2 3 4 2 32 1 0000 Здесь , )( Mk xX T Tk T T Tk k xXEI k xMx xX )('')( )(' 0 – промежуточные па- раметры, выражающиеся через начальные параметры и некоторые функции влияния. В качестве примера рассмотрим шарнирно опертую балку. Будем пола- гать, что сосредоточенная масса находится справа от трещины )( MT xx  . Исключив промежуточные параметры, получим выражение , которое будет иметь разрыв непрерывности I рода только при )x(X k Txx  . ))(( )( ))(( ))(( )()()( ))(( )( ))(( ))(()( )()( )(                                                        Tk kT Tk k Mk TMk kT Tk k Mkk k k k Tk Tk T k Mk TMkTk Tk Mkk k k k xxkY kk xkY k xxkY xxkY kk xkY kEI xkY EI Mv kEI xkY Q k xxkY xkY k EI k xxkY xxkYxkY k EI k xkY EI Mv k xkY xX 22 2 3 4 22 2 3 0 4 0 2 3 0 4 0 2 4 0 3 4 24 02 0 2 2 0 Для составления характеристического уравнения используем граничные условия на правом конце балки . 0)()( "  LXLX kk Для проверки приведенной математической модели балки с сосредото- ченной массой, рассмотрим случай, когда погонная масса балки уменьшается на 5 порядков, т. е. принимается практически равной нулю, а изгибная жест- кость балки остается без изменений. В этом случае балка с дополнительной массой превращается в систему с одной степенью свободы. Частота колеба- ний такой системы, когда дополнительная масса расположена на середине 29 длины, лишь на 0,2% отличается от решения, найденного для системы с од- ной степенью свободы. Были рассмотрены свободные колебания шарнирно опертой балки дли- ной 10 м, с размерами поперечного сечения 0,1*0,1 м2 при наличии трещины с дополнительной сосредоточенной массой. В таблице 2 приведены частоты колебаний балки с трещиной различной относительной глубины при отсутст- вии сосредоточенной массы. Здесь = / – относительная координата трещины, а Г – ее относительная глубина. В таблице 3 приведены низшие частоты балки с трещиной относительной глубины Г = 0,333 и с дополни- тельной массой М, равной 10% от массы балки (m  ), при различных положе- ниях трещины и дополнительной массы. На рис. 3 приведены первые формы колебаний балки с трещиной (Г = 0,333, = 0,5) и дополнительной массой (М = 0,1m  ), приложенной со смещением от трещины (  = 0,75). Здесь Х1 – форма колебаний балки при отсутствии трещины и массы, Х2 – при отсутст- вии трещины, но с дополнительной массой, Х3 – при наличии трещины и от- сутствии массы, Х4 – при наличии трещины и дополнительной массы. T Tx T  M 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 4 3 2 1 0 1 2 X1 0 Q1 v1 x  X2 0 Q2 v2 x  X3 0 Q3 v3 x  X4 0 Q4 v4 x  x Рис. 3 Из полученных результатов можно сделать следующие выводы: 1. При отсутствии сосредоточенной массы величина «сдвига» частот за- висит от размера и местоположения трещины. При малых трещинах частоты изменяются незначительно. Если трещина находится в «пучности» колеба- ний, то соответствующая частота сдвигается на «максимальную» для данного размера дефекта величину. Нахождение трещины в «узле» колебаний не при- водит к сдвигу соответствующей частоты. 2. Наличие дополнительной сосредоточенной массы на балке заметно «сдвигает» частоты. Однако при малых трещинах «сдвиг» частот происходит за счет влияния дополнительной массы. При средних и больших трещинах наличие небольшой дополнительной массы заметно «сдвигает» частоты соб- ственных колебаний по сравнению с частотами колебаний балки с такой же дополнительной массой, но без трещины. Причем чем ближе расположена масса к трещине, тем больший наблюдается «сдвиг» частот. Формы колеба- ний при этом мало изменяются. 3. Приведенные результаты в целом согласуются с выводами, сделанны- ми в работе [1]. 1. Редченко В. П. Дослідження проблеми виявлення дефектів мостів методами вібродіагностики / В. П. Редченко, Ю. В. Крючков, Т. В. Редченко // Вісник Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту. – 2011. – Вип. 39. – С. 168 – 172. 2. Бересневич В. И. Сопоставительный анализ математических моделей усталостной трещины / В. И. Бересневич // Вестник научно-технического развития, НТГ. – 2009. – № 12(28). – С. 12 – 18. 3. Bamnios Y. Identification of cracks in single and double-cracked beams using mechanical impedance / Y. Bamnios, E. Douka, A. Trochidis // Poc. X Intern. Congress on sound and vibration, 2003, Stockholm, Sweden. – Stockholm, 2003. – Р. 1267 – 1274. 4. Hai-Ping Lin Dynamic design of beams using crack tuning / Hai-Ping Lin // Proc. XV Intern. congress on sound and vibration, 2008, Daejeon,Korea. – Daejeon, 2008. – P. 215 – 222. 5. Лазарян В. А. Обобщенные функции в задачах механики / В. А. Лазарян, С. И. Конашенко. – К. : Наукова думка, 1974. – 190 с. Днепропетровский национальный Получено 3.07.12 университет железнодорожного в окончательном варианте 3.12.12 транспорта им. академика В. Лазаряна, Днепропетровск. 31

Ähnliche Einträge