Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий

Цель работы – разработать имитационную модель процессов массопереноса в системах осаждения при обогащении полезных ископаемых. Рассмотрено сведение уравнений массопереноса к схеме случайных блужданий, что позволяет реализовать численные решения дифференциальных уравнений при заданных граничных услов...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Пожидаев, В.Ф., Прядко, Н.С., Грачев, О.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2013
Назва видання:	Техническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88380
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий / В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко, О.В. Грачев // Техническая механика. — 2013. — № 1. — С. 103-108. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88380
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-883802015-11-14T03:01:31Z Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С. Грачев, О.В. Цель работы – разработать имитационную модель процессов массопереноса в системах осаждения при обогащении полезных ископаемых. Рассмотрено сведение уравнений массопереноса к схеме случайных блужданий, что позволяет реализовать численные решения дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях. Полнота описания обеспечивается возможностью вводить необходимые гипотезы относительно вида переходных вероятностей. Практическая реализация идеи использования теории массо-переноса в процессах осаждения позволяет находить частные решения уравнения Фоккера – Планка. Предложенная имитационная модель может быть обобщена на более сложные случаи массопереноса частиц в обобщенных силовых полях. Мета роботи – розробити імітаційну модель процесів масопереносу в системах осадження при збагаченні корисних копалин. Розглянуто зведення рівнянь масопереносу до схеми випадкових блукань, що дозволяє реалізувати чисельні рішення диференціальних рівнянь при заданих граничних умовах. Повнота опису забезпечується можливістю введення необхідних гіпотез щодо виду перехідних ймовірностей. Практична реалізація ідеї використання теорії масопереносу в процесах осадження дозволяє знаходити частинний розв’язок рівняння Фокера – Планка. Запропоновану імітаційну модель може бути узагальнено на більш складні випадки масопереносу часток в узагальнених силових полях. The work’s aim is developing the imitating model of mass transfer processes in sedimentation systems for enrichment of minerals. We consider the reduction of mass transfer equations to the scheme of random walks, which allows for the numerical solution of differential equations with given boundary conditions. Completeness of the description provided the opportunity to introduce the necessary hypotheses about the form of the transition probabilities. Practical realization of idea of use the mass transfer theory during sedimentation allows to find particular decisions of the Foker-Plank equation. The offered imitating model can be generalized on more complex cases mass transfer particles in the generalized power fields. 2013 Article Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий / В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко, О.В. Грачев // Техническая механика. — 2013. — № 1. — С. 103-108. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88380 794:622.765.55 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Цель работы – разработать имитационную модель процессов массопереноса в системах осаждения при обогащении полезных ископаемых. Рассмотрено сведение уравнений массопереноса к схеме случайных блужданий, что позволяет реализовать численные решения дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях. Полнота описания обеспечивается возможностью вводить необходимые гипотезы относительно вида переходных вероятностей. Практическая реализация идеи использования теории массо-переноса в процессах осаждения позволяет находить частные решения уравнения Фоккера – Планка. Предложенная имитационная модель может быть обобщена на более сложные случаи массопереноса частиц в обобщенных силовых полях.
format	Article
author	Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С. Грачев, О.В.
spellingShingle	Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С. Грачев, О.В. Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий Техническая механика
author_facet	Пожидаев, В.Ф. Прядко, Н.С. Грачев, О.В.
author_sort	Пожидаев, В.Ф.
title	Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий
title_short	Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий
title_full	Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий
title_fullStr	Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий
title_full_unstemmed	Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий
title_sort	моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88380
citation_txt	Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий / В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко, О.В. Грачев // Техническая механика. — 2013. — № 1. — С. 103-108. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT požidaevvf modelirovaniemassoperenosapriosaždeniitverdojfrakciisuspenzij AT prâdkons modelirovaniemassoperenosapriosaždeniitverdojfrakciisuspenzij AT gračevov modelirovaniemassoperenosapriosaždeniitverdojfrakciisuspenzij
first_indexed	2025-07-06T16:08:10Z
last_indexed	2025-07-06T16:08:10Z
_version_	1836914406458392576
fulltext	УДК 794:622.765.55 В.Ф. ПОЖИДАЕВ, Н.С. ПРЯДКО, О.В. ГРАЧЕВ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ОСАЖДЕНИИ ТВЕРДОЙ ФРАКЦИИ СУСПЕНЗИЙ Цель работы – разработать имитационную модель процессов массопереноса в системах осаждения при обогащении полезных ископаемых. Рассмотрено сведение уравнений массопереноса к схеме случайных блужданий, что позволяет реализовать численные решения дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях. Полнота описания обеспечивается возможностью вводить необходимые гипотезы относительно вида переходных вероятностей. Практическая реализация идеи использования теории массо- переноса в процессах осаждения позволяет находить частные решения уравнения Фоккера – Планка. Пред- ложенная имитационная модель может быть обобщена на более сложные случаи массопереноса частиц в обобщенных силовых полях. Мета роботи – розробити імітаційну модель процесів масопереносу в системах осадження при збага- ченні корисних копалин. Розглянуто зведення рівнянь масопереносу до схеми випадкових блукань, що дозволяє реалізувати чисельні рішення диференціальних рівнянь при заданих граничних умовах. Повнота опису забезпечується можливістю введення необхідних гіпотез щодо виду перехідних ймовірностей. Прак- тична реалізація ідеї використання теорії масопереносу в процесах осадження дозволяє знаходити частин- ний розв’язок рівняння Фокера – Планка. Запропоновану імітаційну модель може бути узагальнено на більш складні випадки масопереносу часток в узагальнених силових полях. The work’s aim is developing the imitating model of mass transfer processes in sedimentation systems for enrichment of minerals. We consider the reduction of mass transfer equations to the scheme of random walks, which allows for the numerical solution of differential equations with given boundary conditions. Completeness of the description provided the opportunity to introduce the necessary hypotheses about the form of the transition probabilities. Practical realization of idea of use the mass transfer theory during sedimentation allows to find particular decisions of the Foker-Plank equation. The offered imitating model can be generalized on more complex cases mass transfer particles in the generalized power fields. Введение. Процессы переноса энергии и вещества имеют самое широкое распространение в природе и технике. Этим объясняется исключительно важное научное и практическое значение теории, установления закономерностей их протекания и создания эффективных методов решения задач переноса. Решение ряда задач, весьма далеких друг от друга, как по физическому смыслу, так и по сфере их применения, приводит к уравнениям случайного блуждания. К таким задачам относят: броуновское движение, случайное блу- ждание на оси, простейшие случаи марковской цепи с тремя состояниями, «задача о разорении игрока», изменение стоимости ценных бумаг, развитие популяций. В целом, это большая совокупность физических, инженерных, экономических и социологических задач. Все большая степень измельчения при интенсификации разработок горных пород приводит к тенденции повышения содержания шламовых суспензий в продуктах добычи и обогащения полезных ископаемых [1, 2, 3, 4, 5]. После уменьшения содержания полезного продукта шламовые воды попадают в от- стойники и переходят к пассивному процессу – осаждению суспензий. По- этому все более актуальными становятся проблемы прогнозирования резуль- татов осветления оборотной воды. Анализ последних исследований и публикаций. Развитие теории пере- носа происходит по двум направлениям. Основоположником первого, исто- рически более раннего направления является Фурье. В основе этого направ- ления лежит использование феноменологических соотношений между макро- скопическими параметрами, характеризующими состояние системы (анали- тическая теория тепла, термодинамика необратимых процессов). Второе направление, продолжающее классические работы Гиббса и  В.Ф. Пожидаев, Н.С. Прядко, О.В. Грачев, 2013 Техн. механика. – 2013. – № 1. 103 Больцмана, основано на рассмотрении и непосредственном учете реальной дискретной структуры систем и привлечении для исследования их эволюции математического аппарата теории вероятностей и методов статистической механики. Основные результаты в построении математической теории процессов пе- реноса получены Толубинским Е. В. [6]. Эта теория находится в стадии ста- новления. Ее результаты могут служить основой для продолжения чисто ма- тематических построений, но от практических применений эти методы еще очень далеки. В феноменологической теории строится решение задачи переноса при об- щих условиях. Предложен метод, позволяющий по заданным эвристикам, ха- рактеризующим качественное поведение процесса, строить марковскую цепь, разрешимую относительно предельных вероятностей. Толубинским Е. В. доказаны результаты, полученные в развитии линейной статистической теории переноса. Эти результаты могут быть использованы во многих конкретных разделах теории переноса технологических процессов и вообще для решения всех тех задач, когда взаимодействием между собой частиц одного типа, вследствие сравнительно малой их числовой плотности, можно пренебречь, а взаимодействие их с частицами другой физической при- роды приводит к относительно небольшому изменению состояния последних. Возможное применение результатов общей теории не ограничивается об- ластью чисто физических проблем, так как с марковским процессом с дис- кретным вмешательством случая связано много конкретных моделей, пред- ставляющих практический интерес, в том числе, например, теория массового обслуживания. Цель исследования – разработка имитационной модели процессов массо- переноса в системах осаждения. Результаты исследования. Изучение процесса осаждения сводится к ис- следованию вероятностных схем, либо уравнений случайного блуждания час- тиц в среде. Начальная информация о полидисперсной смеси частиц, посту- пающей на вход технологического аппарата, должна задаваться в виде функ- ции распределения частиц по размерам  SФ , представляющей собой отно- шение числа появления частиц узкого класса  dSSS , к общему числу на- блюдаемых событий. Функция  SФ находится по функции распределения частиц по размерам в весовых долях  SF :         SD S SdF S SdF S 0 1 0 )()( )( , ,           S SSdSSdSF 0 1 0 )()()( D где S – размер частицы; D – максимальный размер в смеси. Возможны различные представления для функции применительно к угольным шламам. Принимая закон сопротивления движению частицы (на- пример, закон Стокса) и используя связь между функциями распределения частиц по размерам, можно перейти к функции распределения по скоростям оседания .  SF )(W Процесс осаждения представляется диффузионным оператором 104 x C U z C W z C D t C L www Z w          2 . Здесь Dz – коэффициент диффузии; Cw – случайная величина; W, U – ско- рости сноса по оси Z и оси X соответственно. Его решение с соответствую- щими граничными условиями дает значение концентрации “неразличимых” частиц в пространстве и времени. Для полидисперсной смеси частиц, задан- ной своей функцией распределения , концентрация неоднородной по составу примеси может быть найдена как математическое ожидание случай- ной величины : )(W wC   DW w WdCtzxC 0 * )(),,( . где WD – граница интервала изменения случайной величины . wC Вероятности перехода частиц в смежные слои по высоте предполагаются постоянными, что следует из рассмотрения дискретной схемы случайного блуждания: ,     1 1 ,)()( il il il j l j i j PtCttCL где i – номер слоя; j – номер узкого класса частиц со скоростью ожидания ; – вероятности перехода в смежные слои случайной величины , причем . При t = 0 заданы своей функцией распределения jW il jP , 1 1    il il j lC (1, il jP jC )W или, что тоже самое, .  SФ Допущение о постоянстве переходных вероятностей может быть справед- ливым в случае осаждения в слабо концентрированных суспензиях. О пре- дельной плотности (минимальном соотношении жидкого к твердому) суспен- зии, для которой еще справедливо уравнение диффузии, можно судить по рассогласованию дисперсии случайной величины с опытными данными. Воздействие оператора L приводит к непрерывной “деформации” функции распределения исходной смеси в пространстве и времени так, что в любой заданный момент времени t становится известной наиболее полная информа- ция о процессе в виде истинной функции распределения частиц по размерам в каждой точке пространства (либо в каждом слое i - для дискретной модели). wC  zx,  В случаях, когда концентрацией частиц нельзя пренебречь и массоперенос происходит в среде, создаваемой этими же частицами, переходные вероятно- сти уже нельзя считать постоянными. Они зависят от хода процесса. При этом возможно использование дискретных цепей Маркова [4]. Рассмотрим способ построения матрицы переходных вероятностей на примере процесса турбулентной диффузии (осаждения) многокомпонентной смеси частиц в поле сил тяжести, когда концентрацией их в среде нельзя пре- небречь. Это приводит к интегро-дифференциальному уравнению массопере- носа 105 )].(/[div2        dgD t Здесь D – коэффициент диффузии; g – сила тяжести;  – коэффициент стоксового сопротивления;  dtzyx ),,,,( – концентрация фракции (  ,  d ) в точке );,,,( tzyx     d – локальная средняя плотность смеси частиц. В частном случае одномерного пространства gx  будем иметь: )].),,(([ 2 2                dtx g x D t Переписывая его в конечных разностях для заданных значений x и t имеем в точке : ix t t txttx jixii     )( , \|),(),(  . В обозначениях: ),,,(  txxi  ),,,(  txxi  ),,,(0  txi  d   0 ,  d   0 , выполненные преобразования позволяют определить функцию  в момент tt  как линейную комбина- цию   ,, 0 в момент времени t Обозначим: x g x D p       221 )( ˆ , t x D p    ˆ 22 2 1 , x g x D p       223 )( ˆ . Нетрудно видеть, что tp  ˆ 1 , и 2p̂ tp  ˆ 3 t есть аналоги переходных ве- роятностей в схеме Маркова, причем p  ˆ 1 аналогично вероятности из верх- него слоя попасть в средний; – вероятность остаться в своем слое; 2p̂ tp  ˆ 3 аналогично вероятности попасть частице из нижнего слоя в средний. Из физического смысла на рассматриваемом интервале 011  ˆ),( min , 021  ˆ),( min , 032  ˆ),( min , 032  ˆ),( max . Получим марковскую цепь со следующими переходными вероятностями (рис. 1): – вероятность частице перейти из среднего слоя в верхний; – вероятность частице попасть в средний слой из верхнего; – остаться в среднем слое; – вероятность в средний слой попасть из нижнего; – попасть из среднего слоя в нижний. 1p 2p 5p 3p 4p 106 Рис.1 Нетрудно видеть, что из , и tp  ˆ 1 2p̂ tp  ˆ 3 можно получить пять пере- численных переходных вероятностей, если расчленить и на положи- тельную и отрицательную часть, а оставить без изменения. При этом не- равенство может служить условием для выбора значений ˆ 1p ˆ 3p 2p̂ 02 p̂ x и t при численной реализации метода Эйлера. По определению переходных ве- роятностей имеем 543 ppp ,,21 pp ,, t x g x D p        )](1][ 2 )( [ 121    , t x g x D p        )](] 2 )( [ 122    , t x D p    23 2 1 t x g x D p        )](] 2 )( [ 224    , t x g x D p        )](1][ 2 )( [ 225    , где .       0,0 0,1 )( x x x При этом 121 pptp  ˆ , и 32 pp ˆ 543 pptp  ˆ 1 . Кроме того, связаны условием 531 ppp ,, 521  ppp . Для ),( ttxi  имеем ).,(),( ),(),(),(),( 51 432 txxptxxp txxptxptxxpttx ii iiii     . Окончательно, получаем марковскую цепь со следующим правилом пе- ресчета функции  от времени: .),( 05014032  pppppttxi   Для переходных вероятностей получены явные выра- жения, учитывающие физические условия протекания процесса под действи- ем определенной системы сил. 54321 ppppp ,,,, Выводы. Сведение уравнений массопереноса к схеме случайных блуж- даний позволяет реализовать численные решения дифференциальных урав- нений при заданных граничных условиях и дополнительно вводить необхо- 107 108 димые гипотезы относительно вида переходных вероятностей с целью более полного описания изучаемого процесса. Таким образом, предложена практи- ческая реализация идеи использования теории массопереноса в процессах осаждения, позволяющая находить частные решения уравнения Фоккера- Планка. Предложенная имитационная модель может быть обобщена на более сложные случаи массопереноса частиц в обобщенных силовых полях. 1. Yusa M. Mechanisms of pelleting flocculation / M. Yusa // Intern. Journal of Mineral Processing. – 1977. – № 4. – Р. 293 – 305. 2. Particle deposition and aggregation: Measurement, modeling and simulation / M. Elimelich, J. Gregory, X. Jia, R. William. – Oxford : Butterworth-Heinemann, 1995. 3.. Fellows C. M. Insights into bridging flocculation / C. M. Fellows, W. O. S. Doherty // Macromol. Symp. – 2006. – Vol. 231. – Р. 1 – 10. 4. The fractal analysis of aggregates formed via a bridging flocculation mechanism / S. Biggs, M. Habgood, G. J. Jameson, Yao-de Yan // Proc. of the 26th Australian Chemical Engineering Conf. (Chemeca 98), Port Douglas, Australia. 1998. – Port Douglas, 1998. – 8 p. 5. Количественный фазовый анализ отходов добычи и обогащения углей / Р. Я. Клейман, Г. Б. Скрипченко, М. Я. Шпирт, Ю. В. Иткин // Химия твердого топлива. – 1989. – № 3.– С. 130 – 132. 6. Толубинский Е. В. Теория процессов переноса / Е. В. Толубинский. – К. : Наукова думка, 1969. – 256 с. Институт технической механики Получено 15.01.13, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 5.03.13 Днепропетровск Восточноукраинский национальный Университет им. В. Даля, Луганск

Моделирование массопереноса при осаждении твердой фракции суспензий

Репозитарії

Схожі ресурси