Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела
С целью построения математических моделей и проведения вычислительных экспериментов предлагается использовать кватернионные матрицы. Приводятся новые формулы матричного представления сложных векторно-скалярных произведений, формулы кривизны, кручения, ориентации натурального триэдра траектории. Пока...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2013
|
| Назва видання: | Техническая механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88408 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела / Т.В. Кравец // Техническая механика. — 2013. — № 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88408 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-884082015-11-15T03:02:43Z Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела Кравец, Т.В. С целью построения математических моделей и проведения вычислительных экспериментов предлагается использовать кватернионные матрицы. Приводятся новые формулы матричного представления сложных векторно-скалярных произведений, формулы кривизны, кручения, ориентации натурального триэдра траектории. Показывается применение кватернионных матриц к задаче выбора траектории движения авиационно-космической транспортной системы. З метою побудови математичних моделей та проведення обчислювальних експериментів пропонується використовувати кватерніонні матриці. Наводяться нові формули матричного представлення складних векторно-скалярних добутків, формули кривини, кручення, орієнтації натурального тріедра траєкторії. Демонструється використання кватерніонних матриць у задачі з вибору траєкторії руху авіаціонно-космічної системи. Quaternionic matrices are proposed for mathematical modeling and calculations. New formulae of the matrix presentation of complex vector-scalar products, the curvature, spinning and orientation of a natural trihedron of the trajectory are derived. It is shown that the quaternionic matrices would be applicable for selecting the trajectory of motion of an aerospace transportation system. 2013 Article Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела / Т.В. Кравец // Техническая механика. — 2013. — № 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88408 531.3:629.76:514.74 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
С целью построения математических моделей и проведения вычислительных экспериментов предлагается использовать кватернионные матрицы. Приводятся новые формулы матричного представления сложных векторно-скалярных произведений, формулы кривизны, кручения, ориентации натурального триэдра траектории. Показывается применение кватернионных матриц к задаче выбора траектории движения авиационно-космической транспортной системы. |
| format |
Article |
| author |
Кравец, Т.В. |
| spellingShingle |
Кравец, Т.В. Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела Техническая механика |
| author_facet |
Кравец, Т.В. |
| author_sort |
Кравец, Т.В. |
| title |
Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела |
| title_short |
Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела |
| title_full |
Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела |
| title_fullStr |
Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела |
| title_full_unstemmed |
Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела |
| title_sort |
об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88408 |
| citation_txt |
Об использовании кватернионных матриц в аналитической и вычислительной механике твердого тела / Т.В. Кравец // Техническая механика. — 2013. — № 3. — С. 91-102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Техническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT kravectv obispolʹzovaniikvaternionnyhmatricvanalitičeskojivyčislitelʹnojmehaniketverdogotela |
| first_indexed |
2025-07-06T16:12:02Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:12:02Z |
| _version_ |
1836914651350171648 |
| fulltext |
91
УДК 531.3:629.76:514.74
Т. В. КРАВЕЦ
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КВАТЕРНИОННЫХ МАТРИЦ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
С целью построения математических моделей и проведения вычислительных экспериментов предла-
гается использовать кватернионные матрицы. Приводятся новые формулы матричного представления
сложных векторно-скалярных произведений, формулы кривизны, кручения, ориентации натурального
триэдра траектории. Показывается применение кватернионных матриц к задаче выбора траектории дви-
жения авиационно-космической транспортной системы.
З метою побудови математичних моделей та проведення обчислювальних експериментів пропону-
ється використовувати кватерніонні матриці. Наводяться нові формули матричного представлення склад-
них векторно-скалярних добутків, формули кривини, кручення, орієнтації натурального тріедра траєкто-
рії. Демонструється використання кватерніонних матриць у задачі з вибору траєкторії руху авіаціонно-
космічної системи.
Quaternionic matrices are proposed for mathematical modeling and calculations. New formulae of the ma-
trix presentation of complex vector-scalar products, the curvature, spinning and orientation of a natural trihedron
of the trajectory are derived. It is shown that the quaternionic matrices would be applicable for selecting the tra-
jectory of motion of an aerospace transportation system.
Введение. Как отмечалось в [2, 5], механика принадлежит к инженерным
наукам по характеру исследуемых физических явлений и к математическим
наукам по применяемым аналитическим подходам. В механике абсолютно
твердого тела доминирующим математическим аппаратом является вектор-
ное исчисление, в механике деформируемого твердого тела, жидкости, газа и
плазмы, релятивистской механике − тензорное исчисление. Методы и подхо-
ды вычислительной механики используются непосредственно для решения
широкого круга инженерных, технических задач, в частности механики кос-
мического полета, включая навигацию, ориентацию, стабилизацию, устойчи-
вость, управляемость [3, 11], а также в динамике ракеты-носителя, самолета,
корабля, наземного транспорта и др. [7, 17 – 21]. Применение компьютерных
технологий предполагает введение конкретной системы отсчета и необходи-
мость приведения векторной, тензорной записи алгоритмов решения к коор-
динатной, матричной форме [14, 15]. Использование матричного исчисления
в вычислительном эксперименте обеспечивает ряд преимуществ, к числу ко-
торых относятся возможность непосредственной и достаточно простой реа-
лизации на ЭВМ построенных математических моделей, компактность и обо-
зримость вычислительного алгоритма, снижение трудоемкости составления и
тестирования вычислительной программы, уменьшение вероятности ошибок
как в расчетном алгоритме, так и в вычислительной программе. В аналитиче-
ской динамике для решения широкого круга задач динамического проекти-
рования космической, ракетной, авиационной техники, наземного транспор-
та, робототехники, в гироскопии, виброзащите и т. д. оказывается достаточ-
ным использование специального математического аппарата в виде исчисле-
ния кватернионных матриц. На некоторые виды кватернионных матриц ука-
зывали Р. Беллман [1], А. И. Мальцев [10]. Кватернионные матрицы исполь-
зовались в управлении ориентацией [4, 9], в теории конечного поворота твер-
дого тела [13], в теории инерциальной навигации [11], в кинематике и дина-
мике твердого тела [8, 16 – 18].
Таким образом, математический аппарат кватернионных матриц находит
применение не только в аналитической динамике при построении математи-
Т. В. Кравец, 2013
Техн. механика. – 2013. – № 3.
92
ческих моделей, по существу дополняя и заменяя векторное исчисление, но и
оказался хорошо адаптированным к современным компьютерным технологи-
ям проведения вычислительных экспериментов по исследованию динамики
механических систем в пространственном движении. При этом математиче-
ские модели и соответствующие им алгоритмы обретают групповую симмет-
рию, инвариантную форму, матричную компактность, универсальность, что
ускоряет программирование, облегчает верификацию математической моде-
ли и вычислительного процесса, обеспечивает удобство в работе, т. е. повы-
шает производительность интеллектуального труда [2]. В данной работе про-
водится систематическое обоснование выбора базисных матриц, составляю-
щих исходный, фундаментальный элемент исчисления кватернионных мат-
риц.
1. Постановка задачи. На множестве элементов четырехмерного орто-
нормированного базиса и противоположных элементов построить группу мо-
номиальных (1, 0, -1)-матриц четвертого порядка. Найти некоммутативные
подгруппы, изоморфные группе кватернионов и составляющие базис кватер-
нионных матриц. Кватерниону и сопряженному кватерниону сопоставить
изоморфные матрицы.
2. Группа мономиальных (1, 0, -1)-матриц. Рассматривается система
четырех нормированных и взаимно ортогональных векторов:
1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 ,
которым сопоставляются элементы конечного множества 1 2 3 4, , ,e e e e
(или 1, 2, 3, 4) и противоположные элементы
* * * *
1 2 3 4, , ,e e e e (или 1*, 2*,
3*, 4*). Противоположным элементам множества соответствуют противопо-
ложные векторы ортонормированного четырехмерного базиса:
1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 .
Отметим, что четырехмерным пространством оперирует специальная те-
ория относительности, теория конечного поворота, проективная геометрия.
С помощью введенного множества элементов формируется совокупность
четных подстановок четвертой степени, представленных в виде произведения
двух транспозиций и тождественных подстановок [6]. Искомые подстановки
в развернутой записи имеют вид:
0
1 2 3 4
,
1 2 3 4
A
1
1 2 3 4
,
2 1 4 3
A
2
1 2 3 4
,
3 4 1 2
A
3
1 2 3 4
;
4 3 2 1
A
0 *
1 2 3 4
,
1 2 3 4
B
1 *
1 2 3 4
,
2 1 4 3
B
2 *
1 2 3 4
,
3 4 1 2
B
3 *
1 2 3 4
;
4 3 2 1
B
0 *
1 2 3 4
,
1 2 3 4
C
1 *
1 2 3 4
,
2 1 4 3
C
2 *
1 2 3 4
,
3 4 1 2
C
3 *
1 2 3 4
;
4 3 2 1
C
0 *
1 2 3 4
,
1 2 3 4
D
1 *
1 2 3 4
,
2 1 4 3
D
2 *
1 2 3 4
,
3 4 1 2
D
3 *
1 2 3 4
;
4 3 2 1
D
93
0 *
1 2 3 4
,
1 2 3 4
F
1 *
1 2 3 4
,
2 1 4 3
F
2 *
1 2 3 4
,
3 4 1 2
F
3 *
1 2 3 4
;
4 3 2 1
F
0 * *
1 2 3 4
,
1 2 3 4
R
1 * *
1 2 3 4
,
2 1 4 3
R
2 * *
1 2 3 4
,
3 4 1 2
R
3 * *
1 2 3 4
;
4 3 2 1
R
0 * *
1 2 3 4
,
1 2 3 4
S
1 * *
1 2 3 4
,
2 1 4 3
S
2 * *
1 2 3 4
,
3 4 1 2
S
3 * *
1 2 3 4
;
4 3 2 1
S
0 * *
1 2 3 4
,
1 2 3 4
T
1 * *
1 2 3 4
,
2 1 4 3
T
2 * *
1 2 3 4
,
3 4 1 2
T
3 * *
1 2 3 4
;
4 3 2 1
T
а также противоположные подстановки:
Каждая из полученных подстановок представляется квадратной мономи-
альной (1, 0, -1)-матрицей. Полученное таким образом множество мономи-
альных (1, 0, -1)-матриц в развернутой записи имеет вид:
0
1 0 0 0
0 1 0 0
,
0 0 1 0
0 0 0 1
A
1
0 1 0 0
1 0 0 0
,
0 0 0 1
0 0 1 0
A
2
0 0 1 0
0 0 0 1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
A
3
0 0 0 1
0 0 1 0
;
0 1 0 0
1 0 0 0
A
0
1 0 0 0
0 1 0 0
,
0 0 1 0
0 0 0 1
B
1
0 1 0 0
1 0 0 0
,
0 0 0 1
0 0 1 0
B
2
0 0 1 0
0 0 0 1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
B
3
0 0 0 1
0 0 1 0
;
0 1 0 0
1 0 0 0
B
0
1 0 0 0
0 1 0 0
,
0 0 1 0
0 0 0 1
C
1
0 1 0 0
1 0 0 0
,
0 0 0 1
0 0 1 0
C
2
0 0 1 0
0 0 0 1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
C
3
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
C
.
и т. д матрицы образуют мультипликативную группу 64-го порядка и под-
группы 32-го, 16-го, 8-го, 4-го и 2-го порядков. Полученные всевозможные
композиции сводятся в таблицы Кэйли [6].
Некоммутативные подгруппы, изоморфные группе кватернионов. Пу-
тем анализа таблицы умножения группы шестьдесят четвертого порядка выде-
ляются две подгруппы четвертого порядка, семь подгрупп восьмого порядка,
двадцать четыре подгруппы шестнадцатого порядка и одна подгруппа тридцать
второго порядка. Порядок исходной группы кратен порядку любой из состав-
ленных подгрупп, что соответствует теореме Лагранжа [6]. Подгруппы второго
порядка в силу их тривиальности не рассматриваются. Подгруппы 4-го порядка
94
являются абелевыми. Отметим, что пять подгрупп восьмого порядка являются
абелевыми и две – некоммутативными (отмечены в табл. 1).
Таблица 1.
Подгруппы мономиальных матриц восьмого порядка
№
п/п
Элементы подгруппы
*
*
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 0 1 2 3
0 2 3 1 0 2 3 1
0 1 2 3 0 1 2 3
0 1 2 3 0 1 2 3
0 1 2 3 0 1 2 3
0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 0 0 0 0 0 0
A A A A A A A A
A R S T A R S T
A S T R A S T R
A T S R A T S R
A S R T A S R T
A R T S A R T S
A R S T A R S T
Покажем, что полученные некоммутативные подгруппы изоморфны
группе кватернионов. Таблицы Кэйли двух некоммутативных подгрупп пред-
ставлены в таблице 2.
Таблица 2
Таблицы умножения некоммутативных подгрупп
* 0 1 2 3A T R S 0 1 2 3A T R S
0
1
2
3
A
T
R
S
0
1
2
3
A
T
R
S
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A T R S
T A S R
R S A T
S R T A
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A T R S
T A S R
R S A T
S R T A
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A T R S
T A S R
R S A T
S R T A
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A T R S
T A S R
R S A T
S R T A
* 0 1 2 3A S T R 0 1 2 3A S T R
0
1
2
3
A
S
T
R
0
1
2
3
A
S
T
R
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A S T R
S A R T
T R A S
R T S A
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A S T R
S A R T
T R A S
R T S A
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A S T R
S A R T
T R A S
R T S A
0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0
A S T R
S A R T
T R A S
R T S A
Известно, что кватернион определяется как гиперкомплексное число:
0 1 2 31a ia ja ka
,
95
где 01a – скалярная, 1 2 3ia ja ka – векторная часть кватерниона,
0 1 2 3, , ,a a a a – действительные числа, 1 , , ,i j k − элементы базиса. Здесь 1 –
вещественная единица, , ,i j k
трактуются как специальные кватернионы (ги-
перкомплексные единицы) либо как базисные векторы трехмерного про-
странства [3, 11]. Для элементов базиса пространства кватернионов приняты
специальные правила умножения:
Множество, состоящее из восьми элементов 1 , , , ,i j k 1 , , ,i j k (здесь
знак минус служит различительным значком), составляет группу кватернио-
нов с известной таблицей умножения (табл. 3) [6].
Таблица 3
Таблица умножения группы кватернионов
Из сравнения таблиц умножения группы кватернионов и найденных не-
коммутативных подгрупп восьмого порядка устанавливается их изоморфность.
4. Кватернионные матрицы. Порядок сопоставления элементов базиса
пространства кватернионов мономиальным (1, 0, -1)-матрицам рассматрива-
емых некоммутативных подгрупп не является единственным. Перечень кон-
кретных вариантов сопоставления для двух некоммутативных подгрупп при-
водится в таблице 4.
Таблица 4
Варианты сопоставления мономиальных матриц элементам
базиса кватерниона
Эле-
мент
базиса
Элементы подгрупп
Из этого множества вариантов выбирается, в частности, для первой не-
коммутативной подгруппы вариант № 16, а для второй некоммутативной
подгруппы – вариант № 10, т. е.
96
.,,,
,,,,
3210
3210
1
1
SkRjTiA
RkTjSiA
Эти варианты сопоставления удовлетворяют критерию упорядоченности,
симметрии, отраженной в возможности применения операции транспониро-
вания. Здесь для выделенных базисных матриц представляется целесообраз-
ным воспользоваться обозначениями базиса, согласно таблице 5.
Таблица 5
Базисные матрицы, изоморфные элементам кватерниона
Элемен-
ты
кватер-
ниона
Базисные матрицы Обозначения
l 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A
0 0A E
i 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
T S
1 1 1 1, tT E S E
j 2 2
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
R T
2 2 2 2, tR E T E
k 3 3
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
S R
3 3 3 3, tS E R E
-1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A
0A I
-i 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
T S
1 1 1 1,t t tT E S E
-j 2 2
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
R T
2 2 2 2,t t tR E T E
-k 3 3
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
S R
3 3 3 3,t t tS E R E
97
Эти обозначения отражают возможность преобразования базисных мат-
риц применением вводимых операций транспонирования: полного (переста-
новка всех строк и столбцов), внешнего (перестановка первой строки и
столбца) и внутреннего (перестановка элементов ядра, т. е. исключая первую
строку и столбец). Кватерниону и сопряженному кватерниону сопоставляют-
ся по две матрицы упорядоченной структуры:
0 1 2 3 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 1 2 3 3
t t t t t tt t
t t tt
t t tt
E E E E aA
E E E E aA
E E E E aA
E E E E aA
.
В развернутой записи получим соответственно:
0 1 2 3 0 1 2 3
1 0 3 2 1 0 3 2
2 3 0 1 2 3 0 1
3 2 1 0 3 2 1 0
0 1 2 3 0 1 2 3
1 0 3 2 1 0 3 2
2 3 0 1 2 3 0 1
3 2 1 0 3 2 1 0
; ;
; .
t
t t t
a a a a a a a a
a a a a a a a a
A A
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
A A
a a a a a a a a
a a a a a a a a
5. Транспонирование. Составленные матрицы обладают очевидной
упорядоченностью, так как преобразуются одна в другую применением
предложенных операций полного, внешнего и внутреннего транспонирова-
ния. Матрица
t A образуется из матрицы A в результате перестановки пер-
вой строки и первого столбца, матрица
t tA является транспонированной по
отношению к матрице A , а матрица
tA – транспонированной по отноше-
нию к
t A , т. е. имеет место следующие правила транспонирования:
, , ,
, , ,
, , ,
, , .
t t tt t t t t
t t t t
t t t t t t t t
t t t t
t t t t t t
t t t t
t t t t t t
A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A
6. Апробация кватернионных матриц. Введенные кватернионные мат-
рицы представляют в эквивалентной записи основные операции векторной
алгебры в частном случае, когда скалярная часть кватерниона равна нулю.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих соответствий скалярно-
векторных произведений нескольких векторов и мультипликативных компо-
зиций кватернионных матриц:
98
- для двух векторов ,a b
0 0 0
1
0 2
ta b
A A b
, 0 0 0
0 1
2
tA A b
a b
;
- для трех векторов , ,a b c
0 0 0 0 0
1
0 4
t t
a b c
A A B B c
,
0 0 0 0 0
0 1
4
t tA A B B c
a b c
;
- для четырех векторов , , ,a b c d
0 0 0 0 0 0 0
1
0 8
t t t
a b c d
A A B B C C d
,
0 0 0 0 0 0 0
0 1
8
t t tA A B B C C d
a b c d
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1
8
t t t t tA A B B B B A A C C d
a b c d
,
и другие соответствия.
Пример Для иллюстрации применения приведенных соответствий рас-
сматривается кинематическая задача о выборе траектории движения много-
разовой авиационно-космической транспортной системы [12]. Создание пол-
ностью многоразовой авиационно-космической транспортной системы в
Украине требует решения ряда специальных проблем, одной из которых яв-
ляются территориальные ограничения. Традиционные траектории полёта ра-
кетно-космических систем в виде пологих линий в плоскости стрельбы ока-
зываются неприемлемыми в силу невозможности обеспечения отчуждаемых
территорий. Применение авиационно-космической системы, где в качестве
первой ступени используется самолёт-носитель АН-225, второй ступени −
воздушно-космический самолёт с гиперзвуковым прямоточным воздушно-
реактивным двигателем, позволяет реализовать принципиально новые траек-
тории выведения полезной нагрузки в виде спирале-винтовой линии, приве-
денной на рис. 1.
99
Рис. 1
Пусть пространственная траектория задана в неподвижной системе коор-
динат наземного комплекса (авиабаза) годографом
2 3 2 3 2 3
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3cos sin ,r i t t t t j t t t t k h h t h t h t
где , , 0,1,2,3i ih i − варьируемые параметры траектории, определяе-
мые по заданным краевым условиям и очевидной зависимости: 2kt n , в
которой n − количество витков, kt − время разделения ступеней.
В качестве исходных данных используются следующие кинематические
параметры траектории: 0H и 0L − высота и расстояние от авиабазы в
горизонтальной плоскости до точки входа первой ступени на спирале-
винтовую траекторию, kH t и kL t − высота и расстояние от авиабазы в
горизонтальной плоскости до точки разделения ступеней, 0v и 0w −
горизонтальная и вертикальная составляющие скорости самолёта-носителя в
начальной точке спирале-винтовой траектории, kv t и kw t − горизон-
тальная и вертикальная составляющие скорости самолёта-носителя в момент
отделения воздушно-космического самолёта.
По заданным исходным данным составляются две независимые системы
алгебраических уравнений относительно варьируемых параметров искомой
траектории: линейная и нелинейная. Эти системы допускают аналитическое
решение (методом Жордана–Гаусса) в виде
0 0 ,h H 1 0 ,h w
2 2
0 2 0
3 ,
k k
k k
H t H w t w
h
t t
3 2 3
0 0
2 ,
k k
k k
w t w H t H
h
t t
0 0 ,L 2 2 2
1 0 0 ,v L
100
2 2 2 2 2 2
2 2
0 00
3 2 ,
k kk
k k k
v L v t L tL t L
t t t
2 2 2 2 2 2
3 2 2 3
0 0 0
2
k k k
k k k
v t L t v L L t L
t t t
при условии 2 2 2v t L t .
Для полученной спирале-винтовой траектории аналитически находятся
основные кинематические параметры: единичные векторы касательной ,
главной нормали n , бинормали b , а также кривизна K , кручение , мат-
рица направляющих косинусов, связывающая оси сопровождающего трёх-
гранника и неподвижные оси наземного комплекса [9], т. е.
,
r
V
4
,
r r r
n
V K
5
,
r r r r
b
V K
3
,
r r
K
V
2
,
1
r r r
r r r r
V r r r r r r r r
2 .V r r
Используемые в приведенных формулах сложные векторные произведе-
ния удобно вычислять с помощью предлагаемых матричных алгоритмов,
адаптированных к компьютерной реализации:
1
,
2
tr r R R r
1
,
2
tr r R R r
21
,
4
tr r r R R r
1
,
4
t tr r r R R R R r
31
.
8
tr r r r R R r
Отметим также, что
41
.
16
t tr r r r
r R R r
r r r r r r r r
Здесь , , ,t tR R R R – кватернионные матрицы с нулевой скалярной ча-
стью.
Таким образом, получаем следующие формулы:
1
r
V
,
2
4
1
4
tn R R r
V K
,
3
5
1
8
tb R R r
V K
,
101
2
4
4 t t
t t
V R R R R r
r R R r
,
2
2
64
t tr R R r
K
V
,
2
2 1
4
t tV r R R r
.
Зависимость орт сопровождающего трехгранника и базовой системы от-
счета в кватернионных матрицах имеет вид:
2 3
3
4
1 1
0 0 0 4
4 2
t tn b i j k V K r R R r R R r
V K V
.
Откуда непосредственно находится матрица направляющих косинусов.
Заключение. В аналитической и вычислительной динамике предлагается
применять математический аппарат кватернионных матриц, который доста-
точен как для построения математических моделей механических систем, так
и при проведении вычислительных экспериментов в процессе динамического
проектирования образцов новой техники. Исчисление кватернионных матриц
адаптировано к компьютерным технологиям и изоморфно алгебре кватерни-
онов, обобщает алгебру действительных и комплексных чисел, векторную
алгебру на плоскости и в трехмерном пространстве [3, 11].
Установлен базис вводимой совокупности четырех кватернионных мат-
риц на множестве элементов четырехмерного ортонормированного про-
странства и противоположных элементов в виде мономиальных (1, 0, -1) мат-
риц, составляющих две некоммутативные подгруппы восьмого порядка. По-
казана изоморфность элементов базиса пространства кватернионов и постро-
енных совокупностей базисных матриц. Симметрия кватернионных матриц
отражена в трех операциях транспонирования и целесообразных обозначени-
ях. Приведенные результаты составляют основополагающий элемент исчис-
ления кватернионных матриц. Рассмотренными кватернионными матрицами
представлены в эквивалентной записи сложные векторно-скалярные произ-
ведения, используемые в динамике твердого тела. Аналитически решена за-
дача об определении основных кинематических параметров спирале-
винтовой траектории многоразовой авиационно-космической транспортной
системы. Расчетные алгоритмы представлены в форме кватернионных мат-
риц, обеспечивающей удобную компьютерную реализацию.
1. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. – М. : Наука, 1976. – 352 с.
2. Блехман И. И. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложения математики /
И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко. – М. : Наука. Главная ред. физ.-мат. лит., 1983. – 328 с.
3. Бранец В. Н. Механика космического полета: Применение кватернионов в задачах ориентации твердого
тела / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. – М. : Наука, 1973. – 320 с.
4. Икес Б. П. Новый метод выполнения численных расчетов, связанных с работой системы управления
ориентацией, основанный на использовании кватернионов / Б. П. Икес // Ракетная техника и космонав-
тика. – 1970. – Т.8, №1. – С. 13 − 19.
5. Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины (1918 – 2008) : 90 лет Института (История.
Структура. Информационные аспекты) / Под общ. ред. А. Н. Гузя. Сост. И. С. Чернышенко, Я. Я. Руши-
цкий. – К. : Літера ЛТД, 2008. – 320 с .
6. Каргаполов М. И. Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. – М. : Наука, 1982. –
288 с.
7. Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. Аналитические ме-
тоды / В. Н. Кошляков. – М. : Наука, 1985. – 288 с.
102
8. Кравец Т. В. Об использовании кватернионных матриц для описания вращательного движения твердого
тела в пространстве / Т. В. Кравец // Техническая механика. – 2001. – №1. – С. 148 – 157.
9. Кравец Т. В. Определение по вектору Гиббса ориентации сопровождающего трехгранника траектории
свободного твердого тела / Т. В. Кравец // Техническая механика. – 2002. – №1. – С. 27 – 32.
10. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. – М. : Наука, 1970. – 400 с.
11. Онищенко С. М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автоном-
ные системы / С. М. Онищенко. – Киев : Наук. думка, 1983. − 208 с.
12. Определение кинематических параметров движения ступеней авиационно-космических систем /
А. П. Панов, В. П. Гусынин, И. И. Сердюк, А. С. Карпов // Техническая механика. – 1999. – №1. – С. 76 –
83.
13. Плотников П. К. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела /
П. К. Плотников, Ю. Н. Челноков // Сб. научн.-метод. статей по теорет. механике. − М. : Высшая школа,
1981.− Вып. 11. − С. 122 − 128.
14. Стражева И. В. Векторно-матричные методы в механике полета / И. В. Стражева, В. С. Мелкумов. −
М. : Машиностроение, 1973. − 260 с.
15. Фрезер Р. Теория матриц и её приложение к дифференциальным уравнениям и динамике / Р. Фрезер,
В. Дункан, А. Коллар. – М. : Изд. Иностр. лит., 1950. – 445 с.
16. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их
приложения. Геометрия и кинематика движения / Ю. Н. Челноков. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 512 с.
17. Kravets V. V. On the Nonlinear Dynamics of Elastically Interacting Asymmetric Rigid Bodies / V. V. Kravets,
Т. V. Kravets // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, №1. – Р. 110 − 114.
18. Kravets V. V. Using Quaternion Matrices to Describe the Kinematics and Nonlinear Dynamics of an Asym-
metric Rigid Body / V. V. Kravets, Т. V. Kravets, A. V. Kharchenko // Int.Appl.Mech. – 2009. – 45, № 2 –
Р. 223 − 231.
19. Larin V. B. On the Control Problem for a Compound Wheeled Vehicle / V. B. Larin // Int.Appl.Mech. – 2007.
– 43, № 11 – Р. 1269 − 1275.
20. Lobas L. G. Quantitative and Analytical Methods in Dynamics of Wheel Machines / L. G. Lobas, V. G. Ver-
bitsky. – Kyiv : Naukova Dumka, 1990. – 232 p.
21. Martynyuk A. A. Qualitative Methods in Nonlinear Dynamics : Novel Approaches to Liapunov’s Matrix Func-
tions / A. A. Martynyuk. – New York – Basel : Marsel Dekker, 2002. – 301 p.
Днепропетровский национальный университет Получено 14.06.13,
железнодорожного транспорта в окончательном варианте 26 07.13
имени акад. В. Лазаряна
|