Условия устойчивости систем с переключениями

Рассмотрены динамические системы, описываемые комбинацией дифференциальных уравнений и дискретного переключающего сигнала. Цель работы: найти верхнюю оценку максимального показателя Ляпунова системы с переключениями и получить условия экспоненциальной устойчивости. При помощи качественных методов ан...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Пославский, С.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2014
Назва видання:	Техническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88495
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Условия устойчивости систем с переключениями / С.Ю. Пославский // Техническая механика. — 2014. — № 3. — С. 87-93. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88495
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-884952015-11-17T03:02:05Z Условия устойчивости систем с переключениями Пославский, С.Ю. Рассмотрены динамические системы, описываемые комбинацией дифференциальных уравнений и дискретного переключающего сигнала. Цель работы: найти верхнюю оценку максимального показателя Ляпунова системы с переключениями и получить условия экспоненциальной устойчивости. При помощи качественных методов анализа дифференциальных уравнений были получены новые условия экспоненциальной устойчивости. Результаты работы могут быть использованы при исследовании устойчивости различных систем автоматического управления и других динамических систем. Розглянуто динамічні системи, що описуються комбінацією диференціальних рівнянь і дискретного переключаючого сигналу. Мета роботи: знайти верхню оцінку максимального показника Ляпунова системи з переключенями і отримати умови експоненціальної стійкості. За допомогою якісних методів аналізу диференціальних рівнянь були отримані нові умови експоненціальної стійкості. Результати роботи можуть бути використані при дослідженні стійкості різних динамічних систем, систем автоматичного керування та інших динамічний систем. Dynamic systems described by a combination of differential equations and a discrete switching signal are examined. The research objective is to find an upper estimate for the Lyapunov maximum exponent of the switched system and conditions for exponential stability. New conditions for exponential stability have been found using qualitative analytic methods of differential equations. The results can be employed to investigate the stability of the various systems of automatic control and other dynamic systems.. 2014 Article Условия устойчивости систем с переключениями / С.Ю. Пославский // Техническая механика. — 2014. — № 3. — С. 87-93. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88495 517.938 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрены динамические системы, описываемые комбинацией дифференциальных уравнений и дискретного переключающего сигнала. Цель работы: найти верхнюю оценку максимального показателя Ляпунова системы с переключениями и получить условия экспоненциальной устойчивости. При помощи качественных методов анализа дифференциальных уравнений были получены новые условия экспоненциальной устойчивости. Результаты работы могут быть использованы при исследовании устойчивости различных систем автоматического управления и других динамических систем.
format	Article
author	Пославский, С.Ю.
spellingShingle	Пославский, С.Ю. Условия устойчивости систем с переключениями Техническая механика
author_facet	Пославский, С.Ю.
author_sort	Пославский, С.Ю.
title	Условия устойчивости систем с переключениями
title_short	Условия устойчивости систем с переключениями
title_full	Условия устойчивости систем с переключениями
title_fullStr	Условия устойчивости систем с переключениями
title_full_unstemmed	Условия устойчивости систем с переключениями
title_sort	условия устойчивости систем с переключениями
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88495
citation_txt	Условия устойчивости систем с переключениями / С.Ю. Пославский // Техническая механика. — 2014. — № 3. — С. 87-93. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT poslavskijsû usloviâustojčivostisistemspereklûčeniâmi
first_indexed	2025-07-06T16:17:24Z
last_indexed	2025-07-06T16:17:24Z
_version_	1836914988115034112
fulltext	87 УДК 517.938 С.Ю. ПОСЛАВСКИЙ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ Рассмотрены динамические системы, описываемые комбинацией дифференциальных уравнений и дискретного переключающего сигнала. Цель работы: найти верхнюю оценку максимального показателя Ляпунова системы с переключениями и получить условия экспоненциальной устойчивости. При помощи качественных методов анализа дифференциальных уравнений были получены новые условия экспоненци- альной устойчивости. Результаты работы могут быть использованы при исследовании устойчивости раз- личных систем автоматического управления и других динамических систем. Розглянуто динамічні системи, що описуються комбінацією диференціальних рівнянь і дискретного переключаючого сигналу. Мета роботи: знайти верхню оцінку максимального показника Ляпунова систе- ми з переключенями і отримати умови експоненціальної стійкості. За допомогою якісних методів аналізу диференціальних рівнянь були отримані нові умови експоненціальної стійкості. Результати роботи можуть бути використані при дослідженні стійкості різних динамічних систем, систем автоматичного керування та інших динамічний систем. Dynamic systems described by a combination of differential equations and a discrete switching signal are examined. The research objective is to find an upper estimate for the Lyapunov maximum exponent of the switched system and conditions for exponential stability. New conditions for exponential stability have been found using qualitative analytic methods of differential equations. The results can be employed to investigate the stability of the various systems of automatic control and other dynamic systems.. Введение. В последнее время значительное внимание уделяется иссле- дованию гибридных систем, в частности систем с переключением. Это связа- но с тем, что математические модели, построенные с использованием диффе- ренциальных уравнений с переключаемой правой частью, позволили адек- ватно описать значительное количество реальных систем в различных обла- стях науки и техники, например: двигатели с автоматической коробкой пере- дач, распределенные системы автоматизированного управления, электриче- ские схемы импульсных источников питания, коммуникационные протоколы сети Интернет и многие другие. Постановка проблемы. В статье рассматриваются динамические систе- мы, которые описываются комбинацией дифференциальных уравнений и дискретного переключающего сигнала ))),((()()( tttxftxAtx ii  , nRx , ],0[)( ht  , )()( 0 txtx  при ]0,[ ht  , },...,{ 1 mi AAA  , (1) где iA – заданные матрицы размерности nn . Функции )(t , )(0 tx и ),( txfi кусочно-непрерывны, причем Mtx )(0 и xktxfi ),( , (2) где  – любая норма вектора и согласованная норма матрицы. Переключающий сигнал },...1{),0[:)( mti  – кусочно-непрерывная по- стоянная функция, определяющая последовательность переключений между подсистемами. Анализ устойчивости является важной частью исследования таких си- стем. Отметим особенности систем с переключением, влияющие на их устойчивость. Представим систему, в которой 2Rx , }2,1{),0[:)( ti .  С.Ю. Пославский, 2014 Техн. механика. – 2014. – № 3. 88 Предположим, что обе подсистемы устойчивы с фазовыми траекториями, показанными на рис. 1 (а, б) соответственно. Рис. 1 Различный выбор переключающего сигнала )(ti может привести как к асимптотической устойчивости соответствующей системы (рис. 1, в), так и к неустойчивости (рис. 1, г). Другими словами, случайные переключения могут дестабилизировать переключающуюся систему, даже если все ее подсистемы являются устойчивыми. Это приводит к задаче об устойчивости системы при произвольных переключениях: необходимо найти условия, которые гаранти- руют устойчивость (1) для любого закона переключения )(ti . Решение этой задачи представляет интерес для систем, в которых меха- низм переключения неизвестен или слишком сложен, чтобы быть полезным для анализа устойчивости. Такой подход может также использоваться для анализа аварийного режима работы системы с известным законом переклю- чения. Анализ публикаций по теме исследования. Гибридные системы при- влекли внимание ученых во второй половине прошлого века. Прообразом таких систем были релейные системы и системы со скачкообразными изме- нениями параметров. Теория систем с переменной структурой разрабатыва- лась Барбашиным Е. А. и Емельяновым С. В. (см., например, [1, 2]). В рабо- тах Мартынюка А. А. [3, 4] рассматривались нелинейные системы со струк- турными возмущениями, для анализа устойчивости таких систем было пред- ложено использовать матричнозначные функции Ляпунова. Филлипов А. Ф. [5] рассматривал вопросы устойчивости однородных систем с произвольны- ми переключениями режимов. Современное состояние теории устойчивости систем с переключениями отображено в обзорах [6, 7]. Большинство суще- ствующих работ посвящено исследованию линейных систем. Для них были установлены условия устойчивости, связанные с условием существования общей квадратичной функции Ляпунова (ОКФЛ). Однако существование ОКФЛ дает только достаточные условия устойчивости, которые могут быть очень консервативными. Были предприняты попытки использования различ- ных классов функций Ляпунова для ослабления условий, основанных на ОКФЛ. Следует отметить, что для нелинейных систем не существует общих конструктивных способов построения функций Ляпунова. Для некоторых частных случаев были получены необходимые и достаточные условия устой- чивости [6 – 8]. В [9] для системы (1), в которой матрицы iA попарно комму- тируемы ( ijji AAAA  для всех ji  ), были получены условия устойчивости. а) б) в) г) 89 Цель статьи. Найти верхнюю оценку максимального показателя Ляпу- нова системы (1) для общего случая, получить условия экспоненциальной устойчивости систем с произвольными переключениями. Верхняя оценка максимального показателя Ляпунова. Максималь- ный показатель Ляпунова равен: ))((sup ti  , t titx ti ))(,(ln lim))((  , (3) где ))(( ti – показатель Ляпунова решения ))(,( titx , а супремум вычисляется по всем функциям )(ti , удовлетворяющим указанным выше условиям. Таким образом, начиная с некоторого N для любого решения системы (1) имеем )exp()( tNtx  , ),0( t . (4) Поэтому необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости системы служит неравенство 0 . Запишем (1) в виде ))),((()()()()( 00 tttxftxAAtxAtx ii  , (5) где m A A m i i  1 0 . Представим решение (5) в виде    t ii dssssxfsxAAstWxtWtx 0 0 ))),((()()(),()0()0,()(  , (6) где ),( stW матрицант уравнения )()( 0 txAtx  . Пусть  его наибольший показатель Ляпунова, тогда при некотором 0M и любых  ts0 ))(exp(),( stMstW   . (7) Очевидно, что верхнюю границу величины  следует искать в интерва- ле   . (8) Положим   .),()]((exp[)),,( ,))(exp())(,(max),( 0 0 00     t t i i dsstWssttv dsstAAstWtv   (9) 90 В силу (7) и (8) функции ),(0 tv и ),,( tv ограничены на ),0[  . Пусть ),(sup)( 00  tvv t  ),,(sup),(  tvv t  , при 0t . Матрицы iA и, следовательно, 0A постоянны, поэтому )(),( stWstW  ,     t i i dsstAAstWtv 0 00 ))(exp())((max),(     t i i dssAAsW 0 0 ))(exp())((max  ,   tt dssWssdsstWssttv 00 )()]((exp[)()]((exp[),,(  . Очевидно, что здесь ),(0 tv и ),,( tv монотонно возрастают по t , сле- довательно ),(lim)(0  tvv  , ),,(lim),(  tvv  при t . Пусть  – наибольший по )(t корень уравнения 1),()(0   kvv . (10) Соответствующая функция )(t определяется из следующих соображе- ний. Как видно из (9), ),,( tv убывает по  . Поэтому 0 и 0 при 1)0()0(0  kvv и 1)0()0(0  kvv , соответственно. С другой стороны, при возрастании )(t функция ),,( tv убывает при 0 и возрастает при 0 . Поэтому при вычислении ),( v и в (10) полагаем h в случае 1)0()0(0  kvv и 0 в случае 1)0()0(0  kvv (при 1)0()0(0  kvv левая часть (10) не зависит от )(t ). Следующая теорема дает верхнюю оценку показателя . Теорема 1. Для системы (1) при произвольном )(ti    . (11) Доказательство. Пусть )(tx – решение (1). Положив в (5) )exp()()( ttytx  , получим   t i dssysAAstWtxtWtty 0 0 )()exp())(,()exp()0()0,()exp()(    t i dssssyssfstWt 0 ))),(()))(((exp(),()exp(  . Используя (2), получим неравенство 91  )0()0,()exp()( xtWtty      t i i dssystAAstW 0 0 )())(exp())(,(max  (14)   t dsssystWsstk 0 ))((),()))((exp(  Пусть )(max)( * tyty  при ],0[  tt , (15) где )(**  ttt . Положив в (14) tt  и учитывая (15) и (9), получим  ),()()()0()0,()exp()( 0**  kvvtyxtWtty  . (16) Покажем, что при   функция )(ty ограничена на интервале ),0(  . Действительно, в противном случае t при t и в силу (7) и (8) 0)0()0,()exp(  xtWt . Так как ),(0 tv и ),,( tv убывают по  , то 1)( v при   и любых допустимых )(t (как показано выше,  опре- деляется при тех значениях )(t , для которых левая часть 10 максимальна). Но при этом неравенство (16) не выполняется для достаточно больших t . Полученное противоречие доказывает, что  )exp()()( ttxty  при   и 0t ; следовательно,    . Теорема 1 доказана. Условие экспоненциальной устойчивости. Следующая теорема дает достаточное условие экспоненциальной устойчивости системы (1) при про- извольном переключающем сигнале. Теорема 2. При условии 1)0()0(0  kvv (17) система (1) экспоненциально устойчива при любом переключающем сигнале. Доказательство. Как отмечено выше, необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости служит неравенство 0 , где  – максимальный показатель Ляпунова. Верхняя оценка максимального показателя Ляпунова  определяется из уравнения (10). При 0 левая часть (10) не зависит от )(t . Так как )(0 v и ),( v убывают по  , то 0 при 1)0()0(0  kvv и, следовательно, 0 . Теорема 2 доказана. Примеры расчетов. Проиллюстрируем применение полученных оценок на примерах. Пример 1. Рассмотрим трехмерную систему с переключениями. Пусть ))),((()()( tttxftxAtx ii  , xktxfi ),( , где 92               310 171 024 1A ,               212 350 008 2A ,               411 262 016 3A . По формуле mAA m i i   10 вычислим среднюю матрицу               411 262 016 0A . Условие экспоненциальной устойчивости (17) принимает вид         0 0 0 )( ))((max1 dssW dsAAsW k i i , где ]exp[)( 0sAsW  . На рис. 2 представлены графики верхней оценки наибольшего показате- ля Ляпунова )(k при различных значениях максимальной величины запаз- дывания h . При вычислениях задавались  и h , затем с помощью соотно- шения (10) определялись значения k (в расчетах использовалась евклидова норма )(sW , равная наибольшему собственному значению матрицы   2/1 )()( sWsW T ). Рис. 2 Функции ),( hk возрастают по h и k , однако 48830,),(lim  khk при 0 не зависит от h . Поэтому условие 48830,k гарантирует экспо- ненциальную устойчивость системы при любом конечном h . Пример 2. Рассмотрим теперь частный случай (1) – переключающуюся систему 93   )()( txIAtx i  , где I – единичная матрица и          21 32 1A ,          12 13 2A ,          21.0 24 3A . Матрица   3 1 0     m i i IA A  . Очевидно, что собственные значения матриц  IAi  равны  ip , 2,1p , где ip – собственные значения матрицы iA . При ...904.1 каж- дая подсистема устойчива. Вычисления показали, что при ...,* 6360          303.23.0 0636.3 0A , 1)0(0 v . Следовательно, если *  , система устойчива при любом переключа- ющем сигнале. Для этого примера, в [8] было показано, что условие ...082.1 является необходимым и достаточным для устойчивости рас- сматриваемой системы. Разница между условиями устойчивости позволяет судить о консервативности предложенных в данной работе достаточных условий. Выводы и перспективы дальнейших исследований. В данной работе предложен новый подход для анализа устойчивости систем с переключения- ми, найдена верхняя оценка максимального показателя Ляпунова для произ- вольного закона переключения. Получены достаточные условия экспоненци- альной устойчивости системы (1). Применение полученных оценок проиллю- стрировано на примерах. 1. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. – М. : Наука, 1967. – 224 с. 2. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой / С. В. Емельянов. – М. : Наука, 1967. – 336 с. 3. Мартынюк А. А. Об устойчивости систем с развивающимися возмущениями / А. А. Мартынюк // До- клады АН УССР, Сер. А. – 1975. – №7. – С. 613 – 616. 4. Мартынюк А. А. Анализ устойчивости непрерывных систем со структурными возмущениями / А. А. Мартынюк // Прикладная механика. – 2002. – Т. 38, № 7. – С. 25 – 52. 5. Филиппов А. Ф. Условия устойчивости однородных систем с произвольными переключениями режимов / А. Ф. Филиппов // Автоматика и телемеханика. – 1980. – № 8. – С. 48 – 55. 6. Lin H. Stability and Stabilizability of Switched Linear Systems : A Survey of Recent Results / H. Lin, P. J. Antsaklis // IEEE Trans. Automat. Control. – 2009. – Vol. 54. – P. 308 – 322. 7. Васильев С. Н. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем / С. Н. Васильев, А. И. Маликов // Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН. – Казань : Фолиант. – 2011. – Т.1. – С. 23 – 81. 8. Zevin A. A. General Solution of Stability Problem for Plane Linear Switched Systems and Differential Inclu- sions / A. A. Zevin, M. A. Pinsky // IEEE Trans. Automat. Control. – 2008. – Vol. 53. – P. 2149 – 2153. 9. Stability analysis for a class of nonlinear switched system / H. Bo, X. Xuping, A. N. Michel, P. J. Antsaklis // Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control. – 1999. – V. 5. – P. 4374 – 4379. Институт транспортных систем и технологий Получено 01.10.13 Национальной академии наук Украины, в окончательном варианте 17.09.14 Днепропетровск

Условия устойчивости систем с переключениями

Репозитарії

Схожі ресурси