Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана
Розглядаються структури Uq(sl₂)-модульної алгебри на алгебрi полiномiв Лорана над квантовою площиною. Встановлено взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж такими структурами та подiбними їм структурами на пiдалгебрi регулярних полiномiв. Подано повний перелiк зазначених структур, що вiдповiдають нетри...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88544 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана / С.Д. Синельщиков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 22-25. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88544 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-885442015-11-17T03:02:13Z Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана Синельщиков, С.Д. Математика Розглядаються структури Uq(sl₂)-модульної алгебри на алгебрi полiномiв Лорана над квантовою площиною. Встановлено взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж такими структурами та подiбними їм структурами на пiдалгебрi регулярних полiномiв. Подано повний перелiк зазначених структур, що вiдповiдають нетривiальним матрицям з SL(2, Z). Рассматриваются структуры Uq(sl₂)-модульной алгебры на алгебре полиномов Лорана над квантовой плоскостью. Установлено взаимно однозначное соответствие между такими структурами и подобными им структурами на подалгебре регулярных полиномов. Приведен полный список указанных структур, отвечающих неединичным матрицам из SL(2, Z). The structures of the Uq(sl₂)-module algebra on the Laurent polynomial algebra over a quantum plane are considered. We establish a natural one-to-one correspondence between such structures and similar structures on the subalgebra of regular polynomials. A complete list of the above structures corresponding to the non-identity matrices from SL(2, Z) is presented. 2014 Article Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана / С.Д. Синельщиков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 22-25. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88544 512.554.342 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Синельщиков, С.Д. Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана Доповіді НАН України |
| description |
Розглядаються структури Uq(sl₂)-модульної алгебри на алгебрi полiномiв Лорана над
квантовою площиною. Встановлено взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж такими
структурами та подiбними їм структурами на пiдалгебрi регулярних полiномiв. Подано повний перелiк зазначених структур, що вiдповiдають нетривiальним матрицям з SL(2, Z). |
| format |
Article |
| author |
Синельщиков, С.Д. |
| author_facet |
Синельщиков, С.Д. |
| author_sort |
Синельщиков, С.Д. |
| title |
Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана |
| title_short |
Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана |
| title_full |
Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана |
| title_fullStr |
Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана |
| title_full_unstemmed |
Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана |
| title_sort |
про симетрії квантової площини та її розширення лорана |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88544 |
| citation_txt |
Про симетрії квантової площини та її розширення Лорана / С.Д. Синельщиков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 11. — С. 22-25. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT sinelʹŝikovsd prosimetrííkvantovoíploŝinitaíírozširennâlorana |
| first_indexed |
2025-07-06T16:20:40Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:20:40Z |
| _version_ |
1836915192841109504 |
| fulltext |
УДК 512.554.342
С.Д. Синельщиков
Про симетрiї квантової площини та її розширення
Лорана
(Представлено академiком НАН України Є.Я. Хрусловим)
Розглядаються структури Uq(sl2)-модульної алгебри на алгебрi полiномiв Лорана над
квантовою площиною. Встановлено взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж такими
структурами та подiбними їм структурами на пiдалгебрi регулярних полiномiв. По-
дано повний перелiк зазначених структур, що вiдповiдають нетривiальним матрицям
з SL(2,Z).
Добре вiдомо, що квантова площина Cq[x, y] несе структуру Uq(sl2)-модульної алгебри (див.,
зокрема, [1]). Йдеться про одну видiлену структуру, яку використовували в численних за-
стосуваннях. Питання про те, наскiльки єдиною є ця структура, було вперше поставлено
в роботi [2]. З’ясувалося, що iснує незчисленне сiмейство неiзоморфних структур Uq(sl2)-мо-
дульної алгебри на квантовiй площинi, для яких подано повну класифiкацiю. Пiзнiше С. Ду-
плiй, Й. Хонг та Ф. Лi розглянули структури Uq(slm)-модульної алгебри на узагальненiй
квантовiй площинi, яка є алгеброю полiномiв з n змiнними, що квазiкомутують, m, n > 2 [3].
В усiх цих випадках зазначенi структури належать до скiнченної кiлькостi серiй, кожна
з яких характеризується парою (у найпростiшому випадку [2]; взагалi їх (m − 1)n) так
званих вагових констант, що визначають дiю картанiвських генераторiв квантової унiвер-
сальної обгортуючої алгебри на генератори (узагальненої) квантової площини.
На думку автора, певний iнтерес також становить дещо iнше узагальнення результа-
тiв [2], порiвняно з [3]. А саме, замiсть збiльшення кiлькостi m та n генераторiв пропо-
нується, залишивши m = n = 2, додати оберненi елементи x−1 та y−1 для генераторiв
квантової площини. У такий спосiб ми одержуємо алгебру Cq[x±1, y±1] полiномiв Лорана
над квантовою площиною, що, як покажуть подальшi дослiдження, є бiльш симетричним
об’єктом, нiж стандартна квантова площина. Тобто структури, поданi в [2], можна одер-
жати вiдокремленням тих iз структур на розширенiй алгебрi Cq[x±1, y±1], якi залишають
iнварiантними пiдалгебру Cq[x, y]. На цьому шляху належить подолати певне ускладнення,
пов’язане з тим фактом, що на цiй бiльш широкiй алгебрi дiя картанiвського генератора,
у загальному випадку, не зводиться до множення x та y на ваговi константи.
Нехай H — алгебра Хопфа з комноженням ∆, коодиницею ε та антиподом S [4]. Нехай
також A — алгебра з одиницею 1. Ми будемо користуватися символiкою Свiдлера ∆(h) =
=
∑
i
h′i ⊗ h′′i [5].
Визначення 1. Структурою H-модульної алгебри на A називається гомоморфiзм ал-
гебр π : H → EndCA з такими властивостями:
(i) π(h)(ab) =
∑
i
π(h′i)(a) · π(h′′i )(b) для всiх h ∈ H, a, b ∈ A;
(ii) π(h)(1) = ε(h)1 для всiх h ∈ H.
© С.Д. Синельщиков, 2014
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
Такi структури ми будемо називати просто симетрiями, якщо алгебриH та A однозначно
визначенi контекстом.
Симетрiї π1, π2 називаються iзоморфними, якщо iснує автоморфiзм Ψ алгебри A такий,
що Ψπ1(h)Ψ
−1 = π2(h) для всiх h ∈ H.
У цiй роботi ми вважаємо параметр q ∈ C \ {0} таким, що не є коренем з одиницi
(qn ̸= 1 для всiх ненульових цiлих n). Розглянемо квантову площину Cq[x, y], що є алгеброю
з одиницею, яка визначена двома генераторами x, y та єдиним спiввiдношенням
yx = qxy.
Додамо до перелiку генераторiв ще два елементи x−1, y−1, а до перелiку спiввiдношень —
такi спiввiдношення:
xx−1 = x−1x = yy−1 = y−1y = 1. (1)
Алгебра з одиницею Cq[x±1, y±1], що виникає у такий спосiб, називається розширенням
Лорана квантової площини (бiльш точна назва — алгебра полiномiв Лорана на квантовiй
площинi).
Кожнiй матрицi σ =
(
k l
m n
)
∈ SL(2,Z) та парi ненульових комплексних чисел (α, β) ∈
∈ (C∗)2 поставимо у вiдповiднiсть автоморфiзм φσ,α,β алгебри Cq[x±1, y±1], визначений на
генераторах у такий спосiб:
φσ,α,β(x) = αxkym; φσ,α,β(y) = βxlyn. (2)
Добре вiдомий результат стверджує, що будь-який автоморфiзм алгебри Cq[x±1, y±1] має
вигляд (2), а група Aut(Cq[x±1, y±1]) автоморфiзмiв алгебри Cq[x±1, y±1] є напiвпрямим
добутком своїх пiдгруп SL(2,Z) та (C∗)2, який задається так:
σ(α, β)σ−1 = (α, β)σ
def
= (αkβm, αlβn)
[6] (див. також [7, 8]).
Квантова унiверсальна обгортуюча алгебра Uq(sl2) є асоцiативною алгеброю з одиницею,
яка визначається генераторами Шеваллє k, k−1, e, f та спiввiдношеннями [1]
k−1k = 1, kk−1 = 1,
ke = q2ek,
kf = q−2fk,
ef − fe =
k− k−1
q − q−1
.
Стандартна структура алгебри Хопфа на Uq(sl2) визначається явним описом комножен-
ня ∆, коодиницi ε та антипода S, що також мiститься в [1].
Варто зазначити таке. Якщо задано Uq(sl2)-симетрiю алгебри Cq[x±1, y±1], то карта-
нiвський генератор k дiє автоморфiзмом цiєї алгебри; це є наслiдком визначень. Зокрема,
з огляду на поданий вище загальний вигляд таких автоморфiзмiв (2), кожна симетрiя ви-
значає певну матрицю σ ∈ SL(2,Z) як у (2).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 23
Однiєю з проблем, що ми маємо на метi вирiшити, є встановлення зв’язку мiж Uq(sl2)-си-
метрiями алгебри Cq[x±1, y±1] та Uq(sl2)-симетрiями пiдалгебри Cq[x, y]. Перше й цiлком
тривiальне зауваження полягає в тому, що кожна симетрiя алгебри Cq[x±1, y±1], яка зали-
шає iнварiантною пiдалгебру Cq[x, y], може бути обмежена на цю пiдалгебру. Виявляється,
що iснує й “зворотна” процедура. А саме, нехай задано довiльну симетрiю на Cq[x±1, y±1],
яка не обов’язково залишає iнварiантною пiдалгебру Cq[x, y]. Мають мiсце такi властивостi:
k(x−1) = k(x)−1, k(y−1) = k(y)−1; (3)
e(x−1) = −x−1e(x)k(x)−1, e(y−1) = −y−1e(y)k(y)−1; (4)
f(x−1) = −k−1(x)−1f(x)x−1, f(y−1) = −k−1(y)−1f(y)y−1. (5)
Цi формули є наслiдком визначення 1, визначення алгебри Хопфа Uq(sl2) та спiввiдно-
шень (1).
Отже, якщо задана симетрiя алгебри Cq[x, y], формули (3)–(5) визначають продовження
цiєї симетрiї на додатковi генератори x−1, y−1 i, як наслiдок, на алгебру Cq[x±1, y±1]. Де-
тальне дослiдження показує, що таке продовження є корректно визначеним. Цей результат
формулюємо у виглядi
Твердження 2. Iснує природна взаємно однозначна вiдповiднiсть (у зазначеному вище
сенсi) мiж Uq(sl2)-симетрiями алгебри Cq[x, y] та Uq(sl2)-симетрiями алгебри Cq[x±1, y±1],
що залишають iнварiантною пiдалгебру Cq[x, y].
Це твердження може бути iнтерпретоване в такий спосiб: алгебра Cq[x±1, y±1] є “бiльш
симетричною”, нiж алгебра Cq[x, y], оскiльки будь-яка симетрiя алгебри Cq[x, y] природним
чином пiдiймається до симетрiї алгебри Cq[x±1, y±1]. Отже, виникає питання: наскiльки
“бiльшою” є симетричнiсть поширеної алгебри. Остаточну вiдповiдь на це питання перед-
бачається подати в наступних роботах, у яких буде здiйснено повну класифiкацiю симетрiй
алгебри Cq[x±1, y±1]. У цiй роботi ми обмежуємося поданням повного перелiку симетрiй,
у яких дiї картанiвського генератора k вiдповiдає неодинична матриця σ ∈ SL(2,Z).
Нехай задана матриця σ =
(
k l
m n
)
∈ SL(2,Z), та λ й µ — її власнi значення. Ми
розглянемо два диз’юнктнi набори припущень щодо σ:
(i) λ = µ та (оскiльки λµ = 1) |λ| = |µ| = 1, за винятком випадку σ = I;
(ii) λ, µ ∈ R та λ, µ /∈ {−1, 1}.
Зрозумiло, що за межами випадкiв (i) i (ii), разом узятих, залишається лише матриця
σ = I. Розгляд симетрiй, для яких матриця σ є одиничною, виходить за рамки даної роботи.
Випадкам (i) i (ii) вiдповiдають такi двi теореми:
Теорема 3. Iснує двопараметричне (α, β) ∈ (C∗)2 сiмейство Uq(sl2)-симетрiй алгебри
Cq[x±1, y±1], для яких дiї картанiвського генератора k вiдповiдає матриця σ = −I:
π(k)x = α−1x−1; π(k)y = β−1y−1;
π(e)x = 0; π(e)y = 0;
π(f)x = 0; π(f)y = 0.
Цей перелiк симетрiй iз σ = −I є повним. Усi цi симетрiї є iзоморфними, зокрема симетрiї
з α = β = 1.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №11
Теорема 4. Не iснує жодної Uq(sl2)-симетрiї алгебри Cq[x±1, y±1], для якої картанiв-
ський генератор k дiяв би автоморфiзмом φσ,α,β таким, що матриця σ ∈ SL(2,Z) має
власнi значення λ, µ iз властивiстю |λ| = |µ| = 1, за винятком σ = ±I.
Теорема 5. Не iснує жодної Uq(sl2)-симетрiї алгебри Cq[x±1, y±1], для якої картанiв-
ський генератор k дiяв би автоморфiзмом φσ,α,β таким, що матриця σ ∈ SL(2,Z) має
власнi значення λ, µ ∈ R та λ, µ /∈ {−1, 1}.
Внаслiдок теорем 4 та 5, теорема 3 дає повний перелiк симетрiй, для яких дiї карта-
нiвського генератора k вiдповiдає неодинична матриця. Подальше дослiдження матиме на
метi опис симетрiй, для яких, подiбно до [2], дiя картанiвського генератора k визначається
множенням генераторiв x та y на ваговi константи.
1. Kassel C. Quantum groups. – New York: Springer, 1995. – 531 p.
2. Duplij S., Sinel’shchikov S. Classification of Uq(sl2)-module algebra structures on the quantum plane //
J. Math. Phys., Anal., and Geom. – 2010. – 6, No 4. – P. 406–430.
3. Duplij S., Hong Y., Li F. Uq(slm+1)-module algebra structures on the coordinate algebra of a quantum
vector spaces // J. Lie Theory. – 2015. – 25, No 2. – P. 327–361 (in press).
4. Abe E. Hopf algebras. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980. – 284 p.
5. Sweedler M.E. Hopf algebras. – New York: Benjamin, 1969. – 350 p.
6. Kirkman E., Procesi C., Small L. A q-analog for the Virasoro algebra // Commun. Algebra. – 1994. – 22,
Iss. 10. – P. 3755–3774.
7. Alev J., Dumas F. Rigidité des plongements des quotients primitifs minimaux de Uq(sl(2)) dans l’algèbre
quantique de Weyl–Hayashi // Nagoya Math. J. – 1996. – 143. – P. 119–146.
8. Park H.G., Lee J., Choi S.H. et al. Automorphism groups of some algebras // Sci. China Series A: Math. –
2009. – 52, No 2. – P. 323–328.
Надiйшло до редакцiї 06.05.2014Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
НАН України iм. Б. I. Вєркiна, Харкiв
С.Д. Синельщиков
О симметриях квантовой плоскости и ее расширения Лорана
Рассматриваются структуры Uq(sl2)-модульной алгебры на алгебре полиномов Лорана над
квантовой плоскостью. Установлено взаимно однозначное соответствие между такими
структурами и подобными им структурами на подалгебре регулярных полиномов. Приведен
полный список указанных структур, отвечающих неединичным матрицам из SL(2,Z).
S.D. Sinel’shchikov
On symmetries of a quantum plane and its Laurent extension
The structures of the Uq(sl2)-module algebra on the Laurent polynomial algebra over a quantum
plane are considered. We establish a natural one-to-one correspondence between such structures and
similar structures on the subalgebra of regular polynomials. A complete list of the above structures
corresponding to the non-identity matrices from SL(2,Z) is presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №11 25
|