Характеризация плоских слоений
Показано, что C²-слоение коразмерности один неотрицательной кривизны Риччи на замкнутом многообразии M, слои которого имеют конечно порожденную фундаментальную группу, является плоским тогда и только тогда, когда M является K(π, 1)-многообразием....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88625 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Характеризация плоских слоений / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 12-17. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88625 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-886252015-11-19T03:02:05Z Характеризация плоских слоений Болотов, Д.В. Математика Показано, что C²-слоение коразмерности один неотрицательной кривизны Риччи на замкнутом многообразии M, слои которого имеют конечно порожденную фундаментальную группу, является плоским тогда и только тогда, когда M является K(π, 1)-многообразием. Показано, що C²-шарування ковимiрностi один невiд’ємної кривини Рiччi на замкненому многовидi M, шари якого мають скiнченно породжену фундаментальну групу, є пласким тодi i тiльки тодi, коли M є K(π, 1)-многовидом. We show that a codimension one C²-foliation of nonnegative Ricci curvature on a closed manifold M, whose leaves have finitely generated fundamental group, is flat if and only if M is a K(π, 1)-manifold. 2014 Article Характеризация плоских слоений / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 12-17. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88625 515.168.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Болотов, Д.В. Характеризация плоских слоений Доповіді НАН України |
| description |
Показано, что C²-слоение коразмерности один неотрицательной кривизны Риччи на
замкнутом многообразии M, слои которого имеют конечно порожденную фундаментальную группу, является плоским тогда и только тогда, когда M является K(π, 1)-многообразием. |
| format |
Article |
| author |
Болотов, Д.В. |
| author_facet |
Болотов, Д.В. |
| author_sort |
Болотов, Д.В. |
| title |
Характеризация плоских слоений |
| title_short |
Характеризация плоских слоений |
| title_full |
Характеризация плоских слоений |
| title_fullStr |
Характеризация плоских слоений |
| title_full_unstemmed |
Характеризация плоских слоений |
| title_sort |
характеризация плоских слоений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88625 |
| citation_txt |
Характеризация плоских слоений / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 12-17. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bolotovdv harakterizaciâploskihsloenij |
| first_indexed |
2025-07-06T16:25:31Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:25:31Z |
| _version_ |
1836915498333241344 |
| fulltext |
УДК 515.168.3
Д.В. Болотов
Характеризация плоских слоений
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Показано, что C2-слоение коразмерности один неотрицательной кривизны Риччи на
замкнутом многообразии M , слои которого имеют конечно порожденную фунда-
ментальную группу, является плоским тогда и только тогда, когда M является
K(π, 1)-многообразием.
Цель данной работы — доказать следующую теорему.
Теорема 1. Пусть M — замкнутое риманово многообразие с заданным C2-слоением
F коразмерности один неотрицательной кривизны Риччи. Предположим, что все слои
имеют конечно порожденную фундаментальную группу. Тогда:
1) π1(M) — почти полициклическая группа;
2) F плоское тогда и только тогда, когда M является K(π, 1)-многообразием.
Замечание 1. До сих пор неизвестно, существует ли полное риманово многообразие
неотрицательной кривизны Риччи с бесконечно порожденной фундаментальной группой.
Заметим также, что фундаментальная группа многообразия неотрицательной секционной
кривизны всегда конечно порождена.
Замечание 2. Случай n = 3 был разобран автором в [1].
Предварительные сведения. В [2] автором была описана топологическая структура
замкнутых многообразий, допускающих слоения коразмерности один неотрицательной кри-
визны Риччи. В частности, было показано, что слоение неотрицательной кривизны Риччи
является слоением почти без голономии и имеет место одна из следующих возможностей:
1. Слоение не имеет компактных слоев. В этом случае все слои всюду плотны и диф-
феоморфны некоторому открытому многообразию L, которое мы назовем типичным слоем,
а многообразие является расслоением над окружностью. В этом случае имеем групповое
расширение
1 → π1(L) → π1(M) → Zk → 0. (1)
2. Многообразие можно разбить на конечное число блоков1, где слоение выглядит доста-
точно просто. А именно, либо блок гомеоморфен прямому произведению K × I компактно-
го слоя на отрезок, либо внутри блока все слои диффеоморфны некоторому типичному
некомпактному слою L. В последнем случае фундаментальная группа блока B является
групповым расширением
1 → π1(L) → π1(B)
φ→ Zk → 0. (2)
При этом k > 1, и если k = 1, то intB является расслоением над окружностью со слоем L.
В этом случае блок называется собственным блоком. Если же k > 2, то все внутренние слои
всюду плотны в B и блок называется плотным. Для любого k имеет место гомеоморфизм
ĩntB ≃ L̃× R. (3)
© Д.В. Болотов, 2014
1Блоком мы называем компактное подмногообразие с границей, состоящей из слоев.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
М. Громовым было введено понятие асимптотической размерности asdimX метричес-
кого пространства X.
Определение 1. asdimX = n, если для любого равномерно ограниченного открытого
покрытия V существует равномерно ограниченное покрытие U кратности n + 1 такое, что
V ≺ U (любой элемент покрытия V содержится в некотором элементе покрытия U), и не
существует такого покрытия меньшей кратности.
Напомним некоторые свойства асимптотической размерности дискретных групп с мет-
рикой слов (см. 3):
1) asdimπ1(M) > dimM , если M является K(π, 1)-многообразием;
2) asdimH 6 asdimG для любой подгруппы H ⊂ G;
3) asdimH = asdimG для любой подгруппы H ⊂ G конечного индекса;
4) asdimG 6 asdimKer f + asdim Im f .
Определение 2. Группа G называется полициклической, если она содержит субнор-
мальную серию (каждая подгруппа Gi+1 нормальна в Gi)
1 = Gn ⊂ Gn−1 ⊂ · · · ⊂ G0 = G (4)
такую, что каждая группа Gi/Gi+1 является циклической.
Известно (Хирш), что класс групп, для которых существует субнормальная серия (∗) та-
кая, что каждая фактор-группа Gi/Gi+1 является или циклической, или конечной группой,
совпадает с классом почти полициклических групп, т. е. групп, содержащих полицикличес-
кую подгруппу конечного индекса.
Определение 3. Числом Хирша h(G) почти полициклической группы G называется
число бесконечных циклических факторов Gi/Gi+1 в (∗). Заметим, что это число не зависит
от субнормальной серии (∗).
Для почти полициклической группы G имеем (см. [3]):
1) asdimG = asdimKer f + asdim Im f ;
2) asdimG = h(G), где h(G) — число Хирша группы G.
Следующее утверждение было доказано автором в [4].
Предложение 1. Пусть B — блок без внутренних компактных слоев, оснащенный
слоением неотрицательной кривизны Риччи, и граница ∂B имеет более одной компоненты
связности. Тогда:
1) каждый внутренний слой является регулярным изометрическим накрытием любого
граничного слоя K ∈ ∂B;
2) число компонент связности границы ∂B равно 2, а B является h-кобордизмом.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы, докажем следующее утверждение.
Предложение 2. Пусть B — блок без внутренних компактных слоев, оснащенный
слоением неотрицательной кривизны Риччи. Если фундаментальная группа типичного
слоя L конечно порождена, то:
1) фундаментальная группа π1(B) является почти полициклической;
2) образ гомоморфизма i∗ : π1(K) → π1(B), индуцированного включенем граничного слоя
i : K → B, имеет индекс в π1(B), не превосходящий 2.
Доказательство. Так как π1(L) конечно порождена, то она содержит нормальную
нильпотентную подгруппу конечного индекса [5]. Из последовательности (2) следует, что
π1(B) является почти полициклической группой. А.И. Мальцев доказал (см. [6]), что лю-
бая подгруппа почти полициклической группы, в частности i∗π1(K) ⊂ π1(B), является
пересечением подгрупп конечного индекса. Поэтому если индекс i∗π1(K) в π1(B) больше 1,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 13
то существует конечнолистное накрытие блока B, имеющее более одной компоненты связ-
ности границы. Тогда из предложения 1 немедленно следует, что индекс i∗π1(K) в π1(B)
равен 2. Предложение доказано.
Доказательство теоремы 1. Из слоеной теоремы Картана–Адамара [7] следует, что
плоское слоение может быть только на K(π, 1)-многообразии.
Докажем теорему в другую сторону. Будем предполагать многообразие и слоение ориен-
тируемым, переходя в случае необходимости к конечнолистному накрытию.
Случай 1. F не содержит компактных слоев. Тогда F слоение без голономии, по теореме
Новикова (см. [8]) M расслаивается над S1, M̃ ∼= L̃× R и имеет место групповое расшире-
ние (1). Из [9] следует, что все слои изометричны риманову произведению N × Ek, где N
компактно. Из теоремы Чигера–Громолла о расщеплении [10] следует, что F плоское тогда
и только тогда, когда M асферично.
Случай 2. Предположим, F содержит компактные слои. Тогда замыкание каждого слоя
содержит компактный слой (см. [2, следствие 1]), и конечным числом компактных слоев мы
можем разбить многообразие M на блоки, каждый из которых либо гомеоморфен прямому
произведению K × I, где K — компактный слой, либо является блоком без внутренних
компактных слоев. В дальнейшем под блоком мы будем понимать лишь те блоки, которые
входят в данное разбиение. Разобьем рассматриваемый случай на два.
a. Границы всех блоков имеют две компоненты связности.
В этом случае из предложения 1 следует, что все слои имеют изометричные универсаль-
ные накрытия. Более того, блоки являются h-кобордизмами, и M можно представить как
фактор многообразия M по свободному и дискретному действию группы Z, где M является
объединением бесконечного числа копий многообразия с краем, полученного в результате
разрезания M некоторым компактным слоем K. Понятно, что π1(M) = π1(K) и имеет
место расширение
1 → π1(K) → π1(M) → Z → 0.
Заметим, что π1(K) содержит свободную абелеву подгруппу Zk конечного индекса (см. [5]).
Из теоремы о расщеплении Чигера–Громолла следует, что если k < dimK, то k < dimK−1.
В этом случае число Хирша группы π1(M) меньше, чем dimM . Вспомним, что число Хир-
ша почти полициклической группы π совпадает с асимптотической размерностью группы,
которая, в свою очередь, не меньше размерности K(π, 1)-многообразия. Поэтому если M
есть K(π, 1)-многообразие, то компактные слои, а значит, по предложению 1, все слои, при-
надлежащие блокам без внутренних компактных слоев, являются плоскими. Из теоремы
Нисимори (см. [11]), которая описывает поведение слоения в окрестности компактного слоя
с абелевой голономией, а также из замкнутости множества компактных слоев (см. [12])
следует, что всякий некомпактный слой исключительного блока K × I принадлежит блоку
B′ ⊂ K × I без внутренних компактных слоев. По построению, существует трансверсаль,
пересекающая все слои блока K × I. Значит блок B′ дожен иметь два граничных слоя
и обязан быть плоским согласно вышедоказанному.
b. Существует блок с одной компонентой связности границы.
В этом случае M можно представить в виде объединения M = A
⋃
B, где A
⋂
B — объе-
динение блоков, имеющих две компоненты связности границы, если такие блоки сущест-
вуют, и A
⋂
B — единственный компактный слой в противном случае. Тогда C =M \ intB
и D = M \ intA — блоки с одной компонентой связности границы. Из предложения 1 сле-
дует, что если B является объединением конечного числа блоков, граница которых имеет
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
две связные компоненты, то вложение i : K → B граничного слоя является гомотопичес-
кой эквивалентностью, следовательно, вложения ∂C → A
⋂
B и ∂D → A
⋂
B являются
гомотопическими эквивалентностями.
Напомним следующую теорему.
Теорема 2 [13.] Если для некоторой группы G следующая диаграмма коммутативна:
G
π1(A)
π1(A
⋂
B)
H
H
H
H
H
Hj
-
�
�
�
�
�
�*
π1(B)
H
H
H
H
H
Hj �
�
�
�
�
�*
ρ1
ρ3
ρ2
φ1
φ2
то однозначно определен гомоморфизм σ : π1(M) → G такой, что ρi = σ ◦ ψi, i = 1, 2, 3,
где φ1, φ2, а также ψ1 : π1(A) → π1(M), ψ2 : π1(B) → π1(M), ψ3 : π1(A
⋂
B) → π1(M) —
гомоморфизмы, индуцированные включениями.
Отметим, что линейно связные подмножества A, B и A
⋂
B в цитируемой теореме долж-
ны быть открытыми и линейно связными. Но это требование можно ослабить, потребовав,
чтобы существовали открытые подмножества UA, UB и U
A
⋂
B
, содержащие A, B и A
⋂
B
соответственно, для которых множества A, B и A
⋂
B являются сильными деформацион-
ными ретрактами. В нашем случае блоки A, B и A
⋂
B удовлетворяют этому требованию.
Достаточно к границам блоков A, B и A
⋂
B добавить маленькие открытые воротники.
Предположим, гомоморфизмы φi сюръективны. Пусть N — группа, порожденная
Kerφ1
⋃
Kerφ2. Положим G = π1(A
⋂
B)/N , а ρi — отображения факторизации.
Тогда имеем
π1(A) ∼= π1(A
⋂
B)/Kerφ1, π1(B) ∼= π1(A
⋂
B)/Kerφ2,
G ∼= π1(A)/(N/Ker φ1) ∼= π1(B)/(N/Ker φ2) ∼= π1(M).
Из предложения 2 следует, что группа π1(A) является почти полициклической. Так как
подгруппа и образ почти полициклической группы является почти полициклической груп-
пой, то π1(M) — почти полициклическая группа. Из предположения, что M является
K(π, 1)-многообразием, следует, что asdimπ1(M) > n. Вспомним, что для почти поли-
циклической группы G и гомоморфизма f : G → G′ имеем asdimG = asdimKer f +
+asdim Im f . Напомним также, что фундаментальная группа замкнутого многообразия не-
отрицательной кривизны Риччи содержит свободную абелеву подгруппу конечного индекса
(см. [5]) и asdimZk = k (см. [3]). Учитывая теорему о расщеплении Чигера–Громолла по-
лучаем, что для любого компактного слоя K имеем asdimπ1(K) = n− 1 и все компактные
слои должны быть плоскими, а значит, K(π, 1)-многообразиями. А так как фундаменталь-
ная группа плоского многообразия не содержит кручения, то, учитывая предложение 2
и свойства асимптотической размерности, гомоморфизмы φi должны быть мономорфизма-
ми, а значит, изоморфизмами. В частности, φ1 : π1(A
⋂
B) → π1(A) — изоморфизм. Тогда
для универсального накрытия C̃ → C существует классифицирующее отображение
h : C → ∂C ∼ A
⋂
B ∼ B(π1(A)),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 15
а композиция h ◦ i является гомотопической эквивалентностью, где i : ∂C → C — вложение
граничного слоя. Это означает, что индуцированный гомоморфизм
i∗ : Hn−1(∂C) → Hn−1(C)
есть мономорфизм, что невозможно.
Таким образом, хотя бы один из гомоморфизмов φi не сюръективен и, согласно пре-
дложению 1, его образ является подгруппой индекса 2. Напомним, что всякая подгруппа
индекса 2 нормальна. Предположим, что φ1 не cюръективен. Тогда положим G = Z2, а ρ1
определим как гомоморфизм факторизации
ρ1 : π1(A) → π1(A)/ Im φ1 = Z2.
Если φ2 cюръективен, положим ρ2 = ρ3 = 0. Так как ρ1 = σ◦ψ1, то σ : π1(M) → Z2 нетри-
виален. Перейдем к соответствующему двулистному накрытию M . Для простоты пусть A,
B и A
⋂
B обозначают разбиение M , аналогичное разбиению M . Нетрудно видеть, что φ1
и φ2 уже сюръективны и мы приходим к противоречию согласно сказанному выше.
Мы заключаем, что φ2 не cюръективен, и определим ρ2 : π1(A) → π1(A)/Imφ1 = Z2
как гомоморфизм факторизации, а ρ3 = 0. Нетрудно видеть, что в этом случае двулистное
накрытиеM , соответствующее ядру σ : π1(M) → Z2, удовлетворяет рассмотренному случаю
2a). А так как утверждение теоремы верно для M , то оно верно и для M . Теорема доказана.
Автор выражает благодарность проф. А.А. Борисенко за внимание к работе и полезные за-
мечания.
1. Болотов Д.В. Топология плоских слоений коразмерности один // Доп. НАН України. – 2013. – № 9. –
С. 16–21.
2. Болотов Д.В. Топология слоений коразмерности 1 неотрицательной кривизны // Мат. сб. – 2013. –
204, № 5. – С. 3–24.
3. Bell G., Dranishnikov A. Asymptotic dimension // math.GT/0703766.
4. Болотов Д.В. О слоениях сфер // Доп. НАН України. – 2014. – № 8. – С. 7–13.
5. Wilking B. On fundamental groups of manifolds of nonnegative curvature // Diff. Geom. and its Appl. –
2000. – 13, No 2. – P. 129–165.
6. Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы // Уч. зап. Иванов. пед. ин-та. – 1958. – 18. –
С. 49–60.
7. Stuck G. Un analogoue feuillete du theoreme de Cartan–Hadamard // C. R. Acad. Sci. Paris. – 1991. –
313. – P. 519–522.
8. Новиков С.П. Топология слоений // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1965. – 14. – С. 249–278.
9. Adams S., Freire A. Nonnegatively curved leaves in foliations // J. Different. Geom. – 1991. – 34, No 3. –
P. 681–700.
10. Cheeger J., Gromoll D. The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature // J. Different.
Geom. – 1971. – 6. – P. 119–128.
11. Nishimori T. Compact leaves with abelian holonomy // Tohoku Math. J. – 1975. – 27. – P. 259–272.
12. Тамура И. Топология слоений. – Москва: Мир, 1979. – 317 с.
13. Масси У., Столлингс Д. Алгебраическая топология. Введение. – Москва: Мир, 1977. – 344 с.
Поступило в редакцию 11.06.2014Физико-технический институт низких температур
НАН Украины им. Б.И. Веркина, Харьков
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
Д.В. Болотов
Характеризацiя пласких шарувань
Показано, що C2-шарування ковимiрностi один невiд’ємної кривини Рiччi на замкненому
многовидi M , шари якого мають скiнченно породжену фундаментальну групу, є пласким
тодi i тiльки тодi, коли M є K(π, 1)-многовидом.
D.V. Bolotov
Characterization of flat foliations
We show that a codimension one C2-foliation of nonnegative Ricci curvature on a closed mani-
fold M , whose leaves have finitely generated fundamental group, is flat if and only if M is a
K(π, 1)-manifold.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 17
|