Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя
Запроваджено нове узальнення функцiї Бесселя, подано її iнтегральне зображення, основнi властивостi. Побудовано узагальнене iнтегральне перетворення типу Бесселя, подано формулу обернення цього iнтегрального перетворення....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88628 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя / Н.О. Вiрченко, М.О. Четвертак // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88628 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-886282015-11-19T03:02:12Z Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя Вірченко, Н.О. Четвертак, М.О. Математика Запроваджено нове узальнення функцiї Бесселя, подано її iнтегральне зображення, основнi властивостi. Побудовано узагальнене iнтегральне перетворення типу Бесселя, подано формулу обернення цього iнтегрального перетворення. Введено новое обобщение функции Бесселя, дано ее интегральное представление, основные свойства. Построено обобщенное интегральное преобразование типа Бесселя, дается формула обращения этого интегрального преобразования. A generalization of the Bessel function is introduced. Its integral representation and basic properties are given. A generalized integral transform of the Bessel type is constructed. The inversion formula of this integral transform is given. 2014 Article Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя / Н.О. Вiрченко, М.О. Четвертак // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88628 517.3, 517.144 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Вірченко, Н.О. Четвертак, М.О. Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя Доповіді НАН України |
| description |
Запроваджено нове узальнення функцiї Бесселя, подано її iнтегральне зображення, основнi властивостi. Побудовано узагальнене iнтегральне перетворення типу Бесселя, подано формулу обернення цього iнтегрального перетворення. |
| format |
Article |
| author |
Вірченко, Н.О. Четвертак, М.О. |
| author_facet |
Вірченко, Н.О. Четвертак, М.О. |
| author_sort |
Вірченко, Н.О. |
| title |
Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя |
| title_short |
Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя |
| title_full |
Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя |
| title_fullStr |
Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя |
| title_full_unstemmed |
Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя |
| title_sort |
про одне узагальнене інтегральне перетворення типу бесселя |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88628 |
| citation_txt |
Про одне узагальнене інтегральне перетворення типу Бесселя / Н.О. Вiрченко, М.О. Четвертак // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT vírčenkono proodneuzagalʹneneíntegralʹneperetvorennâtipubesselâ AT četvertakmo proodneuzagalʹneneíntegralʹneperetvorennâtipubesselâ |
| first_indexed |
2025-07-06T16:25:42Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:25:42Z |
| _version_ |
1836915510145449984 |
| fulltext |
УДК 517.3, 517.144
Н.О. Вiрченко, М. О. Четвертак
Про одне узагальнене iнтегральне перетворення типу
Бесселя
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Запроваджено нове узальнення функцiї Бесселя, подано її iнтегральне зображення, ос-
новнi властивостi. Побудовано узагальнене iнтегральне перетворення типу Бесселя,
подано формулу обернення цього iнтегрального перетворення.
У математицi, у багатьох галузях технiки, природознавства метод iнтегральних перетворень
є одним iз ефективних сучасних аналiтичних методiв розв’язання проблем [1–3]. А серед
рiзних iнтегральних перетворень (перетворення Ганкеля, Гiльберта, Ганкеля–Шварца, Меє-
ра, Хардi, Вебера та iн.) саме iнтегральне перетворення типу Бесселя найбiльше поширене
i часто вживане.
Функцiї Бесселя виникли ще в XVIII ст. при розглядi рiзноманiтних задач про поши-
рення тепла у твердому круглому цилiндрi, при дослiдженнi коливання мембрани тощо.
Видатнi математики (Ейлер, Бернуллi, Лагранж, Якобi, Пуассон та iн.) дослiджували рi-
знi типи функцiй Бесселя, давали цiкавi їх застосування [7]. Iнтерес до цих функцiй i нинi
великий завдяки широким застосуванням їх.
Розвиток механiки суцiльного середовища, математичної фiзики, аеродинамiки, кван-
тової механiки, теорiї iмовiрностей, астрофiзики, бiомедицини тощо спонукає до запровад-
ження нових типiв iнтегральних перетворень.
У данiй роботi запроваджено нове узальнення функцiї Бесселя, подано застосування її
до побудови нового узагальненого iнтегрального перетворення типу Бесселя.
1. Узагальнену функцiю Бесселя Jµ,ω(x) запроваджуємо як один iз розв’язкiв такого
диференцiального рiвняння:
x2y′′ + xy′ + (x− µ2)(x+ ω2)y = 0, (1)
де µ, ω ∈ Z.
Зауважимо, що рiвняння (1) буде рiвнянням Бесселя при µ2 = ω2 = ν.
Вiдповiдно до [5] шукаємо розв’язок диференцiального рiвняння (1) у виглядi узагаль-
неного степеневого ряду:
y =
∞∑
k=o
ckx
k+ρ, c0 6= 0, (2)
де ρ — корiнь визначального рiвняння. Коефiцiєнти в (1) — це аналiтичнi функцiї при всiх x.
Пiдставивши (2) в (1), прирiвнявши до нуля коефiцiєнти при однакових степенях x,
дiстанемо рекурентну систему рiвнянь для визначення ck:
[(ρ+ k)2]ck + ck−2 + (µ2 − ω2)ck−1 = 0, k = 2, 3, . . . .
© Н.О. Вiрченко, М. О. Четвертак, 2014
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
Матимемо
c2m = −c2m−2 + (ω2 − µ2)c2m−1
(ρ+ 2m)2 − µ2ω2
, m = 1, 2, . . . . (3)
Виконавши вiдповiднi перетворення з врахуванням формули [6]:
1
z
=
Γ(z)
Γ(z + 1)
,
дiстанемо
Jµ,ω(x) =
(
x
2
)µ2 1
Γ
(
µ2 + µω + 2
2
) 1F2
(
1;
µ2 − µω + 2
2
,
µ2 + µω + 2
2
;−x
2
4
)
, (4)
де 1F2 — гiпергеометрична функцiя [6]. Зауважимо, що при µ2 = ω2 = ν (4) буде функцiєю
Бесселя
Jν(x) =
(
x
2
)ν 1
Γ(ν + 1)
0F1
(
ν + 1;−x
2
4
)
.
Справдi, при µ2 = ω2 = ν маємо
Jµ,ω(x) =
(
x
2
)µ2 1
Γ
(
2µ2 + 2
2
) 1F2
(
1;
µ2 − µω + 2
2
,
µ2 + µω + 2
2
;−x
2
4
)
=
=
(
x
2
)ν 1
Γ(ν + 1)
1F2
(
1; 1, µ2 + 1;−x
2
4
)
=
(
x
2
)ν 1
Γ(ν + 1)
0F1
(
ν + 1;−x
2
4
)
=Jν(x).
Подамо властивостi узальненої функцiї Бесселя Jµ,ω(x).
Легко зауважити, що ряд (4) рiвномiрно збiгається на будь-якому скiнченному промiжку
[0, a]. Тому y, визначений (4), є розв’язком рiвняння (1) при довiльному c0. Iз вигляду
функцiї 1F2(a; c, d;x) випливає властивiсть симетрiї щодо параметрiв c i d.
Очевидна iз вигляду функцiї 1F2(a; c, d;x) властивiсть симетрiї щодо параметрiв c i d.
Теорема 1 (про iнтегральне зображення функцiї Jµ,ω(x)). При умовах iснування фун-
кцiї Jµ,ω(x) має мiсце таке iнтегральне зображення функцiї Jµ,ω(x):
Jµ,ω(x) = A
1∫
0
1∫
0
e−tτ
x2
4 (1− t)
µ2+µω
2
−1(1− τ)
µ2−µω
2 τ−1dtdτ, (5)
де A = µ2 + µω/2.
Доведення здiйснюється за допомогою вiдповiдних перетворень з урахуванням виразу
для бета-функцiї [5]:
B(α, β) =
1∫
0
tα−1(1− t)β−1dt =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α+ β)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 25
Ряд для функцiї Jµ,ω(x) можна диференцiювати почленно. Диференцiюючи, отримуємо
d
dx
1F2(a; c, d;x) =
∞∑
n=0
a(a+1)n−1
c(c+1)n−1d(d+1)n−1
nxn−1
n(n− 1)!
=
a
cd
1F2(a+1; c+1, d+1;x). (6)
У нас для зручностi позначено: a = 1, c = (µ2 − µω)/2 + 1, d = (µ2 + µω)/2 + 1. А для
похiдної
dn
dxn
1F2 матимемо
dn
dxn
1F2(a; c, d;x) =
(a)n
(c)n(d)n
1F2(a+ n; c+ n, d+ n;x), n = 1, 2, 3, . . . . (7)
Безпосереднiм диференцiюванням можна отримати низку формул для
d
dx
(xa1F2(a; c, d;x)),
dn
dxn
(xa+n−1
1F2(a; c, d;x)) та iн.
2. Запровадимо узагальнене iнтегральне перетворення типу Бесселя у формi
(Iµ,ωf)(x) =
∞∫
0
Jµ,ω
(
a; c, d;−x
2
4
t
)
f(t)dt, (8)
де a = 1, c = (µ2 − µω)/2 + 1, d = (µ2 + µω)/2 + 1.
Для простоти розглянемо (8) у такому виглядi:
(Iµ,ωf)(x) =
∞∫
0
Jµ,ω(a; c, d;−xt)f(t) dt, (9)
де a, c, d ∈ C, Re a > 0.
Врахувавши вигляд Jµ,ω(x), переконуємось, що iнтегральне перетворення (9) — це iн-
тегральне G-перетворення [1]:
(Gf)(x) =
∞∫
0
Gm,np,q [xt|(αi)1,p(βj)1,q
]f(t) dt. (10)
Тут Gm,np,q — функцiя Меєра:
Gm,np,q [z|(ai)1,p(bj )1,q
] = Gm,np,q [z|a1,...,apb1,...,bq
] =
1
2πi
∫
L
m∏
j=1
Γ(βj + s)
n∏
i=1
Γ(1− ai − s)
p∏
i=n+1
Γ(ai + s)
q∏
j=m+1
Γ(1− βj − s)
z−sds. (11)
Для побудови формули обернення iнтегрального перетворення (9) скористаємось iнте-
гральним перетворенням Меллiна [2]. Для (1F2f) згiдно з [1] перетворення Меллiна має
вигляд
(M1F2f)(s) = K(s)(Mf)(1− s), (12)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
де
K(s) =
Γ(s)Γ(a− s)
Γ(c− s)Γ(d− s)
, (13)
при умовах
0 < Re s < min
[
Re a,
1
4
+ Re
(
c+ d+ a
2
)]
. (14)
Iз (12), (13) очевидно, що маємо G-iнтегральне перетворення вигляду
(1F2f)(x) =
∞∫
0
G1,1
1,3[xt|1−a0,1−c,1−d]f(t) dt. (15)
Для цього iнтегрального перетворення необхiднi сталi a∗, ∆∗, a∗1, a
∗
2, α, β, γ матимуть
вигляд
a∗ =
n∑
i=1
αi −
p∑
i=n+1
αi +
m∑
j=1
βj −
q∑
j=m+1
βj = 0;
∆ =
q∑
j=1
βj −
n∑
i=1
αi = 2;
a∗1 =
m∑
j=1
βj −
p∑
i=n+1
= 1;
a∗2 =
n∑
i=1
αi −
q∑
j=m+1
βj = −1; γ = a− c− d.
(16)
Подамо окремi випадки (1F2f).
Якщо f ∈ Lν,2, λ ∈ C, Reλ > −ν, то (1F2f) матиме вигляд
(1F2f(x)) = x−λ
d
dx
xλ+1
∞∫
0
G1,2
2,4[xt|
−λ,1−a
0,1−c,1−d,−λ−1]f(t) dt. (17)
Якщо Reλ < −ν, то
(1F2f(x)) = x−λ
d
dx
xλ+1
∞∫
0
G2,1
2,4[xt|
1−a,−λ
−λ−1,0,1−c,1−d]f(t) dt. (18)
Справедлива
Теорема 2. Нехай 0 < 1−ν < Re a, α0 = max[1−Re c, 1−Re d]. Якщо ν > α0, Reλ > ν−1,
2(1 − ν) + Re(a − c − d) = 0, f ∈ Lν,2, то формула обернення має вигляд
f(x) = x−λ
d
dx
xλ+1
∞∫
0
G2,1
2,4[xt|
−λ,1−a
c−1,d−1,0,−λ−1](1F2f)(t) dt. (19)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 27
Якщо Reλ < ν − 1, то формула обернення буде такою:
f(x) = −x−λ d
dx
xλ+1
∞∫
0
G3,0
2,4[xt|
a−1,−λ
−λ−1,c−1,d−1,0](1F2f)(t) dt. (20)
1. Kilbas A.A., Saigo M. H-transforms. – London: Chapman and Hall, 2004. – 390 p.
2. Вiрченко Н.О. Узагальненi iнтегральнi перетворення. – Київ: Задруга, 2013. – 397 с.
3. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях. – Харьков: Вища шк., 1984. – 120 с.
4. Брычков Ю.А., Прудников А.П., Шишов В.С. Операционное исчисление // Итоги науки и техники.
Математический анализ. – Москва: ВИНИТИ АН СССР, 1979. – С. 99–148.
5. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференцiальнi рiвняння в задачах. – Київ:
Либiдь, 2003. – 504 с.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – Москва: Наука, 1965. – Т. 1. – 294 с.
7. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1949. – Ч. 1. – 787 с.
Надiйшло до редакцiї 05.06.2014НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Н.А. Вирченко, М. А. Четвертак
Об одном обобщенном интегральном преобразовании типа Бесселя
Введено новое обобщение функции Бесселя, дано ее интегральное представление, основные
свойства. Построено обобщенное интегральное преобразование типа Бесселя, дается фор-
мула обращения этого интегрального преобразования.
N.O. Virchenko, M. O. Chetvertak
On one generalized integral transform of the Bessel type
A generalization of the Bessel function is introduced. Its integral representation and basic properties
are given. A generalized integral transform of the Bessel type is constructed. The inversion formula
of this integral transform is given.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
|