Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль
Обгрунтовано узагальнення кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка, яким описується еволюцiя стану видiленої частинки в оточеннi нескiнченного числа частинок, взаємодiючих як твердi кулi з пружним зiткненням. Розглянуто скейлiнговi наближення розв’язку побудованого кiнетичного рiвняння....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88629 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль / І.В. Гап’як, В.І. Герасименко // Доповіді Національної академії наук України. — 2014. — № 12. — С. 29-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88629 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-886292017-11-27T09:05:55Z Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль Гап'як, І.В. Герасименко, В.І. Математика Обгрунтовано узагальнення кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка, яким описується еволюцiя стану видiленої частинки в оточеннi нескiнченного числа частинок, взаємодiючих як твердi кулi з пружним зiткненням. Розглянуто скейлiнговi наближення розв’язку побудованого кiнетичного рiвняння. Обосновано обобщение кинетического уравнения Фоккера–Планка, которым описывается эволюция состояния выделенной частицы в окружении бесконечного числа частиц, взаимодействующих как твердые шары с упругими столкновениями. Рассмотрены скейлинговые аппроксимации решения построенного кинетического уравнения. For a many-particle system composed of a tracer hard sphere and an environment of hard spheres with elastic collisions, the generalized Fokker–Planck kinetic equation is justified. The scaling approximations of a solution of the constructed kinetic equation are considered. 2014 Article Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль / І.В. Гап’як, В.І. Герасименко // Доповіді Національної академії наук України. — 2014. — № 12. — С. 29-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88629 517.9+531.19+530.145 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Гап'як, І.В. Герасименко, В.І. Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль Доповіді НАН України |
| description |
Обгрунтовано узагальнення кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка, яким описується
еволюцiя стану видiленої частинки в оточеннi нескiнченного числа частинок, взаємодiючих як твердi кулi з пружним зiткненням. Розглянуто скейлiнговi наближення розв’язку побудованого кiнетичного рiвняння. |
| format |
Article |
| author |
Гап'як, І.В. Герасименко, В.І. |
| author_facet |
Гап'як, І.В. Герасименко, В.І. |
| author_sort |
Гап'як, І.В. |
| title |
Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль |
| title_short |
Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль |
| title_full |
Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль |
| title_fullStr |
Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль |
| title_full_unstemmed |
Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль |
| title_sort |
немарковське кінетичне рівняння фоккера–планка для системи твердих куль |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88629 |
| citation_txt |
Немарковське кінетичне рівняння Фоккера–Планка для системи твердих куль / І.В. Гап’як, В.І. Герасименко // Доповіді Національної академії наук України. — 2014. — № 12. — С. 29-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gapâkív nemarkovsʹkekínetičnerívnânnâfokkeraplankadlâsistemitverdihkulʹ AT gerasimenkoví nemarkovsʹkekínetičnerívnânnâfokkeraplankadlâsistemitverdihkulʹ |
| first_indexed |
2025-07-06T16:25:46Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:25:46Z |
| _version_ |
1836915514075512832 |
| fulltext |
УДК 517.9+531.19+530.145
I. В. Гап’як, В. I. Герасименко
Немарковське кiнетичне рiвняння Фоккера–Планка
для системи твердих куль
(Представлено академiком НАН України А. Г. Загороднiм)
Обгрунтовано узагальнення кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка, яким описується
еволюцiя стану видiленої частинки в оточеннi нескiнченного числа частинок, взаємо-
дiючих як твердi кулi з пружним зiткненням. Розглянуто скейлiнговi наближення
розв’язку побудованого кiнетичного рiвняння.
Однiєю з вiдкритих проблем теорiї еволюцiйних рiвнянь систем багатьох частинок зали-
шається проблема математичного обгрунтування виведення кiнетичних рiвнянь типу рiв-
няння Фоккера–Планка для видiленої частинки, яка взаємодiє iз системою нескiнченної
кiлькостi частинок. Вирiшення цього питання, зокрема, дало б можливiсть пояснити ме-
ханiзм виникнення стохастичної поведiнки в системах багатьох частинок статистичної ме-
ханiки [1, 2].
Як вiдомо, за допомогою феноменологiчних мiркувань кiнетичне рiвняння Фоккера —
Планка вперше було сформульовано в роботах [3, 4]. На основi методiв теорiї збурень один
з пiдходiв до обгрунтування рiвняння Фоккера–Планка бере свої витоки з праць М.М. Бо-
голюбова [1, 2]. В сучасних працях [5, 6] основний пiдхiд до дослiдження зазначеної пробле-
ми грунтується на побудовi скейлiнгової границi, наприклад дифузiйної границi, розв’язку
еволюцiйних рiвнянь, якими описується еволюцiя стану видiленої частинки в оточеннi бага-
тьох частинок, якi знаходяться в рiвноважному станi (термостатi), зокрема розв’язку зада-
чi Кошi для iєрархiї рiвнянь ББГКI (Боголюбов–Борн–Грiн–Кiрквуд–Iвон) такої системи,
побудованого методами теорiї збурень. Вiдзначимо також широке застосування рiвняння
Фоккера — Планка до опису кiнетичних процесiв рiзноманiтної природи [7, 8].
Мета цiєї роботи полягає в математичному описi еволюцiї стану системи твердих куль
з пружними зiткненнями, яка складається з видiленої частинки i оточення довiльної кiль-
костi твердих куль, за допомогою кiнетичного рiвняння. Далi встановлено еквiвалентнiсть
опису еволюцiї такої системи на основi дуальної iєрархiї рiвнянь ББГКI для маргiнальних
спостережуваних i побудованого узагальнення кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка для
густини функцiї розподiлу видiленої частинки. Сформульованi ранiше кiнетичнi рiвняння
типу рiвняння Фоккера–Планка описують асимптотичну поведiнку розв’язку узагальненого
рiвняння Фоккера–Планка у вiдповiдних скейлiнгових наближеннях.
Розглянемо систему багатьох частинок, яка складається iз видiленої частинки i оточен-
ня — системи нефiксованої (довiльної) кiлькостi частинок. Будемо вважати, що частинки
взаємодiють мiж собою як пружнi кулi з дiаметром σ > 0. Нехай видiлена тверда куля
з масою M (важка частинка) характеризується фазовими змiнними (q, p) ≡ x ∈ R3 × R3,
а твердi кулi iз оточення мають однакову масу m (легкi частинки) i характеризуються
фазовими координатами (qi, pi) ≡ xi ∈ R3×R3, i > 1. Для такої системи частинок множина
конфiгурацiй W1+n ≡ {(q, q1, . . . , qn) ∈ R3(1+n)
∣∣|qi − qj| < σ хоча б для однiєї пари (i, j) : i 6=
6= j ∈ (1, . . . , n) та |q − qj| < σ, якщо j ∈ (1, . . . , n)} є множиною заборонених конфiгурацiй.
© I. В. Гап’як, В. I. Герасименко, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 29
Нехай Cγ — простiр послiдовностей b = (b1+0, b1+1, . . . , b1+n, . . .) вимiрних обмежених
функцiй визначених на вiдповiдних фазових просторах b1+n(x, x1, . . . , xn), якi є симетрич-
ними вiдносно перестановок аргументiв x1, . . . , xn i несиметричними вiдносно перестано-
вок аргументiв x1, . . . , xn та x, з нормою ‖b‖Cγ = max
n>0
γn
n!
‖b1+n‖C1+n , де ‖b1+n‖C1+n =
= max
x,x1,...,xn
∣∣b1+n(x, x1, . . . , xn)
∣∣ та γ < 1 — параметр.
Якщо B(0) = (B0
1+0(x), B
0
1+1(x, x1), . . . , B
0
1+s(x, x1, . . . , xs), . . .) ∈ Cγ — послiдовнiсть по-
чаткових маргiнальних спостережуваних величин системи, яка розглядається, то еволюцiя
спостережуваних описується непертурбативним розв’язком B(t) = (B1+0(t, x), B1+1(t, x, x1),
. . ., B1+s(t, x, x1, . . . , xs), . . .) задачi Кошi для дуальної iєрархiї рiвнянь ББГКI системи твер-
дих куль з пружними зiткненнями [9]:
B1+s(t, x, x1, . . . , xs) =
s∑
n=0
1
n!
s∑
j1 6=...6=jn=1
A1+n(t, {t
⋃
Y \ Z}, Z)B0
1+s−n(x, x1, . . . ,
. . . , xj1−1, xj1+1, . . . , xjn−1, xjn+1, . . . , xs), s > 0. (1)
Твiрний оператор A1+n(t) розкладу (1) є кумулянтом (1 + n)-го порядку груп операторiв
систем твердих куль, який визначається формулою
A1+n(t, {t
⋃
Y \ Z}, Z) .= ∑
P: ({t∪Y \Z},Z)=∪iZi
(−1)|P|−1(|P| − 1)!
∏
Zi⊂P S|θ(Zi)|(t, θ(Zi)), (2)
де вiдповiдними символами позначено множини iндексiв: Y ≡ (1, . . . , s), Z ≡ (j1, . . . , jn) ⊂
⊂ Y ; множина {t⋃Y \ Z} складається з одного елементу t
⋃
Y \ Z = (t, 1, . . . , j1 − 1, j1 +
+ 1, . . . , jn − 1, jn + 1, . . . , s), символ
∑
P — сума за всiма можливими розбиттями P мно-
жини ({t⋃ Y \ Z}, Z) на |P| непорожнiх пiдмножин Zi ∈ ({t⋃ Y \ Z}, Z), якi взаємно
не перетинаються, та вiдображення θ(·) є оператором декластеризацiї елементiв множи-
ни θ({t⋃Y \Z}, Z) = t
⋃
Y . Групи операторiв системи твердих куль визначенi на функцiях
b1+n ∈ C1+n за формулою
S1+n(t, t, 1, . . . , n)b1+n(x, x1, . . . , xn)
.
=
.
=
b1+n(X(t, x, x1, . . . , xn),X1(t, x, x1, . . . , xn), . . . ,Xn(t, x, x1, . . . , xn)),
(x, x1, . . . , xn) ∈ (R3(1+n) × (R3(1+n) \W1+n)) \M0
1+n,
0, (q, q1, . . . , qn) ∈ W1+n,
(3)
де функцiя Xi(t) — фазова траєкторiя i-ї твердої кулi з оточення i X(t) — фазова траєк-
торiя видiленої твердої кулi [10]. Зауважимо, що фазовi траєкторiї системи твердих куль
визначено не для всiх початкових даних (множина M0
1+n [10]), а майже скрiзь на фазово-
му просторi R3(1+n) × (R3(1+n) \W1+n). Група операторiв (3) визначена на просторi C1+n,
i вона є iзометричною w∗-неперервною групою. Iнфiнiтезимальний генератор L1+n групи
операторiв (3) збiгається з оператором Лiувiлля системи твердих куль, який для t > 0 має
таку структуру:
L1+n = L(t) +
n∑
j=1
L(j) + σ2
n∑
j1=1
Lint(t, j1) + σ2
n∑
j1<j2=1
Lint(j1, j2),
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
i на пiдпросторi C0
1+n ⊂ C1+n неперервно диференцiйованих функцiй з компактними носiя-
ми визначається операторами Лiувiлля вiльної еволюцiї:
L(t)b1+n .
= −
〈
p
M
,
∂
∂q
〉
b1+n(x, x1, . . . , xn),
L(j)b1+n .
= −
〈
pj
m
,
∂
∂qj
〉
b1+n(x, x1, . . . , xn), n > 0,
(4)
та операторами Lint(j1, j2) i Lint(t, j1), якi на просторi C1+n визначаються в сенсi w∗-слабкої
збiжностi вiдповiдно такими формулами:
Lint(j1, j2)b1+n
.
=
∫
S2+
dη
〈
η,
(
pj1
m
− pj2
m
)〉
(b1+n(x, x1, . . . , qj1 , p
⋆
j1 , . . . , qj2 , p
⋆
j2 , . . . , xn)−
− b1+n(x, x1, . . . , xn))δ(qj1 − qj2 + ση), n > 1,
Lint(t, j1)b1+n
.
=
∫
S20,+
dη
〈
η,
(
p
M
− ps+1
m
)〉
(b1+n(q, p
∗, x1, . . . , qj1 , p
∗
j1 , . . . , xn)−
− b1+n(x, x1, . . . , xn))δ(q − qj1 + ση), n > 0,
(5)
де символом 〈·, ·〉 позначено скалярний добуток, S2+
.
= {η ∈ R3 | |η| = 1, 〈η, (pj1 − pj2)〉 > 0},
S20,+
.
= {η ∈ R3 | |η| = 1, 〈η, (mp −Mpj1)〉 > 0}, i значення iмпульсiв пiсля зiткнення p⋆j1 , p
⋆
j2
та p∗, p∗j1 визначаються вiдповiдними виразами:
p⋆j1
.
= pj1 − η〈η, (pj1 − pj2)〉,
p⋆j2
.
= pj2 + η〈η, (pj1 − pj2)〉;
p∗
.
= p− 2Mm
M +m
η
〈
η,
(
p
M
− pj1
m
)〉
,
p∗j1
.
= pj1 +
2Mm
M +m
η
〈
η,
(
p
M
− pj1
m
)〉
.
(6)
Для t < 0 iнфiнiтезимальний генератор групи (3) визначається вiдповiдним оператором.
Надалi будемо розглядати початковi стани, в яких стан видiленої частинки i оточення
є статистично незалежними (умова хаосу [9]), тобто в початковий момент часу стан систе-
ми описується послiдовнiстю F (c) = (F
(c)
1+0, F
(c)
1+1, . . . , F
(c)
1+s, . . .) таких маргiнальних функцiй
розподiлу:
F
(c)
1+s(x, x1, . . . , xs) = F 0
1+0(x)F
0
0+s(x1, . . . , xs)
s∏
i=1
X2(q, qi), s > 0, (7)
де X2(q, qi) — функцiя Хевiсайда дозволених конфiгурацiй R6 \ W2 двох твердих куль та
функцiї F 0
1+0 i F 0
0+s належать вiдповiдним просторам L1
1+n ≡ L1(R3(1+n)× (R3(1+n) \W1+n))
функцiй f1+n визначених на фазовому просторi 1+n частинок, якi є симетричними вiдносно
перестановки аргументiв x1, . . . , xn i несиметричними вiдносно перестановок аргументу x
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 31
та аргументiв x1, . . . , xn, дорiвнюють нулю на множинi заборонених конфiгурацiй W1+n,
з такою нормою: ‖f1+n‖ =
∫
|f1+n(x, x1, . . ., xn)|dxdx1 · · · dxn. Пiдпростору L1
1+n,0 ⊂ L1
1+n
належать неперервно диференцiйованi функцiї з компактними носiями.
Для початкових станiв (7) середнi значення (математичнi сподiвання) маргiнальних спо-
стережуваних (1) визначаються за допомогою такого функцiонала:
(B(t), F (c)) =
∞∑
s=0
1
s!
∫
(R3×R3)s+1
dxdx1 · · · dxsB1+s(t, x, x1, . . . , xs)F
0
1+0(x)×
× F 0
0+s(x1, . . . , xs)
s∏
i=1
X2(q, qi). (8)
Оскiльки для функцiй (1) за умови γ < e−1 справедлива така оцiнка: ‖B(t)‖Cγ 6 e2(1 −
− γe)−1‖B(0)‖Cγ , функцiонал (8) iснує за умови, що ‖F 0
1+0‖L1(R3×R3) < γ.
Сформулюємо основний результат роботи. Для функцiонала (8) справедливе таке зо-
браження:
(B(t), F (c)) = (B(0), F (t | F1+0(t))), (9)
де F (t | F1+0(t)) = (F1+0(t), F1+1(t | F1+0(t)), . . . , F1+s(t | F1+0(t)), . . .) — послiдовнiсть мар-
гiнальних функцiоналiв стану F1+s(t | F1+0(t)) = F1+s(t, x, x1, . . . , xs | F1+0(t)), якi є фун-
кцiоналами вiдносно одночастинкової (маргiнальної) функцiї розподiлу видiленої твердої
кулi
F1+0(t, x) =
∞∑
n=0
1
n!
∫
(R3×R3)n
dx1 . . . dxnA
∗
1+n(t, t, 1, . . . , n)F
0
1+0(x)F
0
0+n(x1, . . . , xn)×
×
n∏
i=1
X2(q, qi). (10)
Твiрний оператор A
∗
1+n(t) розкладу в ряд (10) є кумулянтом (n + 1)-го порядку груп опе-
раторiв {S∗
1+n(t)}n>0, спряжених в сенсi функцiонала (8) до груп операторiв (3) (S∗
1+n(t) =
= S1+n(−t)), який визначається таким розкладом
A
∗
1+n(t, t, 1, . . . , n) =
∑
P : (t,1,...,n)=
⋃
iXi
(−1)|P|−1(|P| − 1)!
∏
Xi⊂P
S∗
|Xi|
(t,Xi), (11)
де символ
∑
P
— сума за всiма можливими розбиттями P множини (t, 1, . . . , n) на |P| непоро-
жнiх пiдмножин Xi ∈ (t, 1, . . . , n), якi взаємно не перетинаються.
Маргiнальнi функцiонали стану F1+s(t | F1+0(t)), s > 1, з послiдовностi F (t | F1+0(t))
зображуються такими розкладами в ряд:
F1+s(t, x, x1, . . . , xs | F1+0(t))
.
=
.
=
∞∑
n=0
1
n!
∫
(R3×R3)n
dxs+1 · · · dxs+nV1+n(t, {t, Y },X \ Y )F1+0(t, x), (12)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
де твiрнi еволюцiйнi оператори V1+n(t), n > 0, визначаються такими розкладами:
V1+n(t, {t, Y },X \ Y )
.
= n!
n∑
k=0
(−1)k
n∑
m1=1
· · ·
n−m1−···−mk−1∑
mk=1
1
(n−m1 − · · · −mk)!
×
× A
∗
1+n−m1−···−mk
(t, {t, Y }, s + 1, . . . , s+ n−m1 − · · · −mk)×
× F 0
0+s+n−m1−···−mk
(x1, . . . , xs+n−m1−···−mk)
s+n−m1−...−mk∏
i1=1
X2(q, qi1)A
∗
1(−t, t)×
×
k∏
j=1
(
1
mj !
A
∗
1+mj (t, t, s +1 +n−mj −· · · −mk, . . . , s+n−mj+1 −· · · −mk)×
× F 0
0+mj (xs+1+n−mj−···−mk , . . . , xs+n−mj+1−···−mk)×
×
s+n−mj+1−···−mk∏
i2=s+1+n−mj−···−mk
X2(q, qi2)A
∗
1(−t, t)
)
. (13)
За умови на густину частинок оточення
1
v
< e−4, ряд (12) збiгається за нормою простору
L1(R3(1+s)×(R3(1+s)\W1+s)) [11]. Маргiнальнi функцiонали стану (12) описують усi можливi
кореляцiї, якi виникають у процесi еволюцiї видiленої твердої кулi з пружними зiткненнями
з нескiнченною кiлькiстю твердих куль оточення.
Для доведення основного результату встановимо справедливiсть рiвностi (9) у випадку
спецiальних класiв маргiнальних спостережуваних. Оскiльки для маргiнальних спостере-
жуваних видiленої частинки B(t)(0) = (b1+0(x), 0, . . .) розклад (1) набуває вигляду
B
(t)
1+s(t, x, x1, . . . , xs) = A1+s(t, t, Y )b1+0(x), s > 0,
то для функцiонала (8) справедливе таке зображення:
(B(t)(t), F (c)) = (B(t)(0), F (t | F1+0(t))) =
∫
R3×R3
dxb1+0(x)F1+0(t, x),
де одночастинкова маргiнальна функцiя розподiлу видiленої кулi F1+0(t, x) визначається
розкладом у ряд (10).
Для маргiнальних спостережуваних (1 + k)-арного типу, тобто B(1+k)(0) = (0, . . . , 0,
b1+k(x, x1, . . . , xk), 0, . . .), k > 1, справедлива така рiвнiсть:
(B(1+k)(t), F (c)) = (B(1+k)(0), F (t | F1+0(t))) =
=
1
k!
∫
(R3×R3)k+1
dxdx1 · · · dxkb1+k(x, x1, . . . , xk)F1+k(t, x, x1, . . . , xk | F1(t)),
де маргiнальний функцiонал стану F1+k(t | F1+0(t)) визначається розкладом у ряд (12).
Доведення цiєї рiвностi грунтується на застосуваннi кластерних розкладiв кумулянтiв
груп операторiв системи твердих куль (2), якi є двоїстими до кiнетичних кластерних роз-
кладiв кумулянтiв груп операторiв (11), введених у роботi [11].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 33
Нехай F 0
1+0 ∈ L1(R3 × R3) i F 0
0+s ∈ L1(R3s × (R3s \Ws)). Тодi функцiя (10) задовольняє
при t > 0 задачу Кошi для узагальненого кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка
∂
∂t
F1+0(t, x) = −
〈
p
M
,
∂
∂q
〉
F1+0(t, x) + σ2
∫
R3×S20,+
dp1dη
〈
η,
(
p
M
− p1
m
)〉
×
× (F1+1(t, q, p
∗, q − ση, p∗1 | F1+0(t, x))− F1+1(t, x, q + ση, p1 | F1+0(t, x))), (14)
F1+0(t, x)|t=0 = F 0
1+0(x), (15)
де функцiонали в iнтегралi зiткнень визначаються розкладом у ряд (12) у випадку s = 1
та використано стандартнi позначення для кiнетичного рiвняння Енскога [11]. Для t < 0
узагальнене кiнетичне рiвняння Фоккера–Планка має вiдповiдний вигляд.
Розглянемо структуру узагальненого фоккер-планкiвського iнтеграла зiткнень (14), а са-
ме перший член його розкладу. Оскiльки для групи операторiв S∗
2(t, t, 1) справедливе рiв-
няння Дюамеля, перший член розкладу iнтеграла зiткнень I(0)
GFPE зображується в такiй
формi:
I(0)
GFPE = σ2
∫
R3×S20,+
dp1dη
〈
η,
(
p
M
− p1
m
)〉
(F 0
0+1(q − ση − p∗1t, p
∗
1)F1+0(t, q, p
∗)−
− F 0
0+1(q + ση − p1t, p1)F1+0(t, x)) + σ2
∫
R3×S20,+
dp1dη
(
p
M
− p1
m
)〉 t∫
0
dτ(S∗
1(t− τ, t∗)×
× S∗
1(t− τ, 1∗−)L∗
int(t
∗, 1∗−)S
∗
2(τ, t
∗, 1∗−)F
0
0+1(q − ση, p∗1)S
∗
1(−t, t∗)F1+0(t, q, p
∗)−
− S∗
1(t− τ, t)S∗
1 (t− τ, 1+)L∗
int(t, 1+)S
∗
2(τ, t, 1+)F
0
0+1(q + ση, p1)S
∗
1(−t, t)F1+0(t, x)),
де оператор L∗
int є спряженим у сенсi функцiонала (8) до оператора (5) [10].
Таким чином, у випадку рiвноважної функцiї розподiлу F 0
0+1 перший член розкладу
iнтеграла зiткнень I(0)
GFPE узагальненого кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка формаль-
но збiгається з iнтегралом зiткнень кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка, побудованого
в роботi Боголюбова [2] методами теорiї збурень.
За допомогою немарковського кiнетичного рiвняння Фоккера–Планка (14) в скейлiнго-
вих границях [6, 9] можна обгрунтувати кiнетичнi рiвняння марковського типу. Зокрема
зауважимо, що в марковському наближеннi узагальнений фоккер-планкiвський iнтеграл
зiткнень у просторово однорiдному випадку має бiльш загальну структуру, нiж канонiчний
iнтеграл зiткнень рiвняння Фоккера–Планка.
Таким чином, у роботi доведено еквiвалентнiсть опису еволюцiї системи твердих куль
з пружними зiткненнями, яка складається з видiленої частинки i оточення, в термiнах мар-
гiнальних спостережуваних (1) та послiдовнiстю явно визначених маргiнальних функцiо-
налiв (12), якi визначаються розв’язком (10) узагальненого кiнетичного рiвняння Фоккера–
Планка (14). Iншими словами, встановлено, що альтернативний метод опису еволюцiї станiв
видiленої частинки в системi багатьох частинок грунтується на немарковському кiнетично-
му рiвняннi Фоккера–Планка (14).
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
1. Крилов М.М., Боголюбов М.М. Про рiвняння Фоккера–Планка, що виводяться в теорiї пертурбацiй
методом, основаним на спектральних властивостях пертурбацiйного гамiльтонiана // Зап. каф. мат.
фiзики Iн-ту будiвельної механiки АН УРСР. – 1939. – 4. – С. 5–80.
2. Боголюбов Н.Н. О стохастических процессах в динамических системах // Физика элементарных
частиц и атомного ядра. – 1978. – 9, вып. 4. – С. 501–579.
3. Fokker A.D. Die mittlere energie rotierender elektrischer dipole im strahlungsfeld // Ann. Phys. – 1914. –
43. – P. 810–820.
4. Planck M. Über einen Satz der statistischen Dynamik und eine Erweiterung in der Quantumtheorie //
Sitzungsber. Königlich Preussisch. Akad. Wiss. – 1917. – P. 324–341.
5. Erdös L. Classical and quantum Brownian motion // Ann. Henri Poincaré. – 2007. – 8. – P. 621–685.
6. Gallagher I., Saint-Raymond L., Texier B. From Newton to Boltzmann: Hard Spheres and Short-range
Potentials / Zürich Lectures in Advanced Mathematics. – Zürich: EMS Publ. House, 2014. – 148 p.
7. Zagorodny A.G., Weiland J. Statistical theory of turbulent transport (non-Markovian effects) // Physica
of Plasmas. – 1999. – 6. – P. 2359–2372.
8. Zagorodny A.G. BBGKY hierarchy and kinetic theory of dusty plasmas // Theor. Math. Phys. – 2009. –
180, No 2. – P. 1101–1112.
9. Gerasimenko V. I. On the approaches to the derivation of the Boltzmann equation with hard sphere colli-
sions // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine. – 2013. – 10, No 2. – P. 71–95.
10. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. — Dord-
recht: Kluwer, 1997. – 254 p.
11. Гап’як I. В., Герасименко В. I. Узагальнене кiнетичне рiвняння Енскога // Доп. НАН України. –
2012. – № 3. – С. 7–13.
Надiйшло до редакцiї 01.07.2014Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Iнститут математики НАН України, Київ
И.В. Гапьяк, В.И. Герасименко
Немарковское кинетическое уравнение Фоккера–Планка
для системы твердых шаров
Обосновано обобщение кинетического уравнения Фоккера–Планка, которым описывается
эволюция состояния выделенной частицы в окружении бесконечного числа частиц, взаимо-
действующих как твердые шары с упругими столкновениями. Рассмотрены скейлинговые
аппроксимации решения построенного кинетического уравнения.
I. V. Gapyak, V. I. Gerasimenko
The non-Markovian Fokker–Planck kinetic equation for a system of
hard spheres
For a many-particle system composed of a tracer hard sphere and an environment of hard spheres
with elastic collisions, the generalized Fokker–Planck kinetic equation is justified. The scaling
approximations of a solution of the constructed kinetic equation are considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 35
|