Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем
Рассматривается псевдолинейная система уравнений возмущенного движения. Для такого класса систем уравнений получены достаточные условия ограниченности и асимптотической устойчивости движения. В качестве примера рассмотрена линейная система с почти постоянными коэффициентами....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88635 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 64-70. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88635 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-886352015-11-19T03:01:55Z Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. Механіка Рассматривается псевдолинейная система уравнений возмущенного движения. Для такого класса систем уравнений получены достаточные условия ограниченности и асимптотической устойчивости движения. В качестве примера рассмотрена линейная система с почти постоянными коэффициентами. Розглядається псевдолiнiйна система рiвнянь збуреного руху. Для цього класу систем рiвнянь отримано достатнi умови обмеженостi та асимптотичної стiйкостi руху. Як приклад розглянуто лiнiйну систему з майже сталими коефiцiєнтами. We consider a class of pseudolinear systems of equations of perturbed motion. The sufficient conditions of boundedness and stability via integral inequalities are derived. As an example, we considered a linear system of equations with almost constant coefficients. 2014 Article Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 64-70. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88635 531.36 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем Доповіді НАН України |
| description |
Рассматривается псевдолинейная система уравнений возмущенного движения. Для такого класса систем уравнений получены достаточные условия ограниченности и асимптотической устойчивости движения. В качестве примера рассмотрена линейная система с почти постоянными коэффициентами. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем |
| title_short |
Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем |
| title_full |
Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем |
| title_fullStr |
Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем |
| title_sort |
об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88635 |
| citation_txt |
Об асимптотическом поведении решений нестационарных псевдолинейных систем / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 64-70. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa obasimptotičeskompovedeniirešenijnestacionarnyhpsevdolinejnyhsistem AT černeckaâln obasimptotičeskompovedeniirešenijnestacionarnyhpsevdolinejnyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-06T16:26:06Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:26:06Z |
| _version_ |
1836915534965243904 |
| fulltext |
УДК 531.36
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк, Л. Н. Чернецкая
Об асимптотическом поведении решений
нестационарных псевдолинейных систем
Рассматривается псевдолинейная система уравнений возмущенного движения. Для та-
кого класса систем уравнений получены достаточные условия ограниченности и асим-
птотической устойчивости движения. В качестве примера рассмотрена линейная сис-
тема с почти постоянными коэффициентами.
В данной работе исследуется задача об асимптотическом поведении решений псевдолиней-
ных уравнений возмущенного движения. Эта задача является некоторым обобщением из-
вестной задачи об асимптотическом поведении решений систем дифференциальных урав-
нений с почти постоянными коэффициентами (см. [1–3]).
Постановка задачи. Рассмотрим псевдолинейную неавтономную систему уравнений
возмущенного движения
dx
dt
= (A+B(t, x))x, x(t0) = x0, (1)
где x ∈ Rn; A— n×n-постоянная матрица, а B(t, x) — n×n-матрица, определенная в области
R+ × S(ρ), S(ρ) = {x ∈ Rn : ‖x‖ < ρ}, B(t, 0) 6= 0 при всех t > 0. Если B(t, x) = B(t) при
всех (t, x) ∈ R+ × S(ρ), то система (1) обращается в линейную систему
dx
dt
= (A+B(t))x, x(t0) = x0, (2)
исследованию которой посвящены многие работы.
Далее будем предполагать, что матрица B(t, x) удовлетворяет свойству “малости” в опре-
деленном смысле. Например, B(t, x) такая, что
[H1.]
∞∫
0
‖B(s, x)‖ ds < +∞ в области значений (t, x) ∈ R+ × S(ρ);
[H2.] ‖B(t, x)‖ → 0 при t → ∞ равномерно по x ∈ S(ρ);
[H3.] ‖B(t, x)‖ 6 β(t),
∞∫
0
β(s) ds < +∞, где β(t) — непрерывная положительная функция
на [0,∞).
Представляет интерес для приложений выяснение условий, при которых некоторые
свойства решений системы
dy
dt
= Ay, y(t0) = y0 = x0, (3)
сохраняются для решений системы (1).
Условия ограниченности и асимптотической устойчивости решений.
Теорема 1. Если все решения системы (3) ограничены на [0,+∞), то все решения
системы (1) также ограничены на [0,+∞) при выполнении условия Н1.
© А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, 2014
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
Доказательство. Систему (1) представим в виде
dx
dt
= Ax+B(t, x)x, x(t0) = x0 (4)
и будем рассматривать слагаемое B(t, x)x в области R+ × S(ρ) как возмущение. Тогда
x(t) = y(t) +
t∫
0
U(t− s)B(s, x(s))x(s) ds, (5)
где y(t) — решение системы (3) с начальными условиями y(0) = x(0) = x0; а U(t) — решение
матричного уравнения
dU
dt
= AU, U(0) = E. (6)
Здесь E — n × n-единичная матрица. Поскольку все решения системы (3) ограничены
на [0,+∞), из соотношения (5) получаем
‖x(t)‖ 6 a1 + a1
t∫
0
‖B(s, x(s))‖‖x(s)‖ ds, (7)
где a1 = max
(
sup
t>0
‖y(t)‖, sup
t>0
‖U(t)‖
)
. Учитывая условие Н1 и применяя к неравенству (7)
лемму об интегральном неравенстве Гронуолла–Беллмана [1], получим
‖x(t)‖ 6 a1 exp
[
a1
t∫
0
‖B(s, x(s))‖ ds
]
6 a1 exp
[
a1
∞∫
0
‖B(s, x(s))‖ ds
]
= D <∞
при всех (t, x) ∈ R+ × S(ρ).
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Если в условиях теоремы 1 условие Н1 заменить условием Н3, то ее
утверждение сохраняется.
Следствие 1. Если в системе (1) B(t, x) = B(t) при всех x ∈ S(ρ) и выполняются все
условия теоремы 1, то все решения системы (2) ограничены на [0,∞).
Теорема 2. Если характеристический полином матрицы A асимптотически устой-
чив и выполняется условие Н2, то все решения системы (1) приближаются к состоянию
равновесия x = 0 при t → ∞.
Доказательство. Поскольку характеристический полином матрицы A асимптотически
устойчив, найдутся постоянные M > 0 и α > 0 такие, что для решения y(t) системы (3)
верна оценка
‖y(t)‖ 6M exp(−αt), t > 0, (8)
и так как y(t) = U(t)x0, то
‖U(t)‖ 6 b1 exp(−αt), (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 65
где b1 > 0. Поскольку ‖B(t, x)‖ → 0 при t→ ∞ равномерно по x ∈ S(ρ) и B(t, x) непрерывна
по t > 0, существует b2 > 0 такое, что
‖B(t, x)‖ 6 b2 при всех (t, x) ∈ R+ × S(ρ).
Выберем величину b1 так, что b1b2 < α. Далее, из уравнения (5) получим
‖x(t)‖ 6M exp(−αt) + b1b2
t∫
0
e−α(t−s)‖x(s)‖ ds
или
‖x(t)‖ exp(αt) 6M + b1b2
t∫
0
eαs‖x(s)‖ ds.
Отсюда следует, что
‖x(t)‖ exp(αt) 6M exp(b1b2)t
и, окончательно,
‖x(t)‖ 6M exp[(b1b2 − α)t].
Поскольку b1b2 < α, ‖x(t)‖ → 0 при t → ∞. Теорема 2 доказана.
Замечание 2. Если в теореме 2 условие Н2 заменить условием Н3, то ее утверждение
сохраняется.
Следствие 2. Если в системе (1) B(t, x) = B(t) при всех x ∈ S(ρ) и выполняются
все условия теоремы 2, то все решения системы (2) стремятся к состоянию равновесия
x = 0 при t → +∞.
Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:
1) существуют постоянные M > 0 и α > 0 такие, что
‖ exp(At)‖ 6M exp(−αt) при всех t > 0;
2) существуют ε ∈ (0, α/M) и t1 > t0 > 0, для которых
‖B(t, x)‖ 6 ε при всех t > t1 и x ∈ S(ρ).
Тогда все решения системы (1) стремятся к состоянию равновесия x = 0 при t→ ∞.
Доказательство. Пусть U(t) — фундаментальная матрица системы (3). Вследствие
того, что
dU(t)
dt
≡ [A+B(t, x)]U(t),
а exp[A(t − s)] является матрицей Коши для системы (3), имеем
U(t) = exp[A(t− t1)]U(t1) +
t∫
t1
exp[A(t− s)]B(s, x(s))U(s) ds. (10)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
Отсюда, согласно условию 1 теоремы 3, получим
‖U(t)‖ 6 exp(−αt)c +
t∫
t1
exp(−αt)M‖B(s, x(s))‖ exp(αs)‖U(s)‖ ds, (11)
где c = M‖U(t1)‖ exp(αt1). Преобразуем неравенство (11), используя обозначения
u(t) = ‖U(t)‖ exp(αt), v(t) =M‖B(t, x(t))‖,
к следующему:
u(t) 6 c+
t∫
t1
v(s)u(s) ds. (12)
Поскольку u(t) и v(t) — неотрицательные непрерывные функции и c > 0, к неравенству (12)
применима теорема Гронуолла–Беллмана [1], что приводит к оценке
u(t) 6 c exp
[ t∫
t1
v(s) ds
]
, t > t1.
Согласно условию 2 теоремы 3, выберем ε и t1 так, что ‖B(t, x)‖ 6 ε при всех t > t1
и x ∈ S(ρ). При этом
v(t) 6Mε,
t∫
t1
v(s) ds 6Mε(t− t1)
и
exp
[ t∫
t1
v(s)ds
]
6 K exp(Mεt), (13)
где K = exp(−Mεt1). Поскольку Mε − α < 0, β = α −Mε > 0 и, следовательно,
‖U(t)‖ = u(t) exp(−αt) 6 Kc exp(−βt).
Отсюда следует, что ‖U(t)‖ → 0 при t → ∞ и ‖x(t)‖ → 0 при t → ∞ для системы (1).
Теорема 3 доказана.
Следствие 3 (см. [5]). Если в системе (1) B(t, x) = B(t) при всех t > 0 и x ∈ S(ρ)
и выполняются все условия теоремы 3, то все решения системы (2) стремятся к состоя-
нию равновесия x = 0 при t → ∞, т. е. система (2) асимптотически устойчива.
Практическое применение теорем 2, 3 предполагает наличие оценки величины M > 0,
фигурирующей в неравенстве
‖U(t)‖ 6M exp(−αt). (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 67
Укажем один из способов такой оценки, используя следующее утверждение.
Лемма 1 (см. [6], с. 131). Пусть λi — собственные значения матрицы A и α0 =
= max
i
Reλi. Тогда
‖ exp(At)‖ 6 exp(α0t)
n−1∑
k=0
(2t‖A‖)k
k!
(15)
при всех t > 0.
Далее оценку (15) представим в виде
‖ exp(At)‖ 6 ψ(t) exp[(α0 + α)t], (16)
где ψ(t) = ϕ(t) exp(−αt), ϕ(t) =
n−1∑
k=0
(2t‖A‖)k
k!
. Пусть α0 < 0. Выберем α > 0 так, что
α0 + α < 0. При этом ψ(t) → 0 при t → +∞ и функция ψ(t) имеет максимальное значение
при t ∈ [0, ω). Это значение функции ψ(t) можно взять в качестве оценки величины M > 0
в неравенстве (14).
Следствие 4. Пусть для системы (1) выполняются следующие условия:
1) существует δ > 0 такое, что характеристический полином матрицы A+ δE асим-
птотически устойчив;
2) существует величина ε ∈ (0, δ/2d), для которой ‖B(t, x)‖ 6 ε при достаточно боль-
ших значениях t и при всех x ∈ S(ρ), где d — максимальное значение функции f(t) =
= ϕ(t) exp
(
−δ
2
t
)
на [0,∞).
Тогда все решения системы (1) стремятся к состоянию равновесия x = 0 при t→ ∞.
Доказательство. Установим вначале связь между собственными значениями характе-
ристического полинома Q(λ) матрицы A + δE и собственными значениями характеристи-
ческого полинома P (ρ) матрицы A. Поскольку Q(λ) = det(λE−A− δE) = det[(λ− δ)E−A]
и P (ρ) = det(ρE−A), P (λ−ρ) = Q(λ). Отсюда следует, что если λj — собственные значения
матрицы A + δE, то ρj = λj − δ — собственные значения матрицы A.
Поскольку действительные части γi собственных значений матрицы A + δE удовле-
творяют условиям γi < 0, i = 1, 2, . . . , n, для Reαi матрицы A имеют место неравенства
Reαi < −δ, i = 1, 2, . . . , n. Согласно лемме 1, имеем
‖ exp(At)‖ 6 ψ(t) exp(α0t), t > 0. (17)
Неравенство (17) перепишем в виде
‖ exp(At)‖ 6 f(t) exp
[(
α0 +
δ
2
)
t
]
, (18)
где f(t) = ψ(t) exp
(
−δ
2
t
)
. Из того, что α0 + δ < 0, следует, что α0 + δ/2 < −δ/2. Поэтому
‖ exp(At)‖ 6 d exp
(
−δ
2
t
)
, t > 0, (19)
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
где d — максимальное собственное значение функции f(t) на [0,∞). Применяя оценку (19)
в доказательстве теоремы 3, получаем утверждение следствия 4.
Следствие 5 (cм. [5]). Если в условиях следствия 4 B(t, x) = B(t) при всех t > 0
и x ∈ S(ρ), то все решения системы (2) стремятся к состоянию x = 0 при t → ∞.
Заключительные замечания. В работах [1–3] исследована проблема устойчивости
движения систем с почти постоянными коэффициентами. Метод интегральных неравенств
является эффективным средством анализа устойчивости движения такого рода систем.
Достаточные условия ограниченности и устойчивости, приведенные в данной работе, как
и следствия 1–5, навеяны известными результатами работ [1–5].
Более грубые (но и более простые) оценки постоянной M в неравенстве (14) могут быть
получены на основе неравенства
‖ exp(At)‖ 6 exp(R0t), (20)
где R0 = R(t0) — одно из чисел, удовлетворяющих условиям (10.6) из [6, с. 128].
Более тонкие оценки постоянной M могут быть получены, если учесть, что (см. [7])
exp(At) =
∑
j∈S
exp(λjt)Pj +
∑
j∈O
exp(λjt)Pj +
∑
j∈U
exp(λjt)Pj ,
где λ1, . . . , λn — собственные значения матрицы A; P1, . . . , Pn — проекторы, удовлетворяю-
щие условиям PiPj = Pi, если i = j, и PiPj = 0 в остальных случаях; S — множество λj
с отрицательной вещественной частью собственных значений; O — множество чисто мни-
мых λj ; U — множество λj с положительной вещественной частью собственных значений.
1. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. – Москва: Изд-во иностр.
лит-ры, 1954. – 215 с.
2. Rama Mohana Rao M. Ordinary differential equations. theory and applications. – New Delhi-Madras:
Affiliated East-West Press, 1980. – 266 p.
3. Мартынюк А.А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: метод интегральных нера-
венств. – Киев: Наук. думка, 1989. – 270 с.
4. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Ленинград; Москва: ОНТИ, 1935. – 386 с.
5. Тонков Е.Л. Устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва: Моск.
ин-т хим. машиностроения, 1972. – 72 с.
6. Былов Б.Ф., Виноград Р. Э. и др. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устой-
чивости. – Москва: Наука, 1966. – 576 с.
7. Hoppensteadt F. C. Analysis and simulation of chaotic systems. – Berlin: Springer, 1993. – 305 p.
Поступило в редакцию 30.05.2014Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины
Академiк НАН України А.А. Мартинюк, Л. Н. Чернецька
Про асимптотичну поведiнку рiшень нестацiонарних псевдолiнiйних
систем
Розглядається псевдолiнiйна система рiвнянь збуреного руху. Для цього класу систем рiв-
нянь отримано достатнi умови обмеженостi та асимптотичної стiйкостi руху. Як при-
клад розглянуто лiнiйну систему з майже сталими коефiцiєнтами.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 69
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk, L. N. Chernetskaya
On the asymptotic behavior of the solutions of nonstationary
pseudolinear systems
We consider a class of pseudolinear systems of equations of perturbed motion. The sufficient condi-
tions of boundedness and stability via integral inequalities are derived. As an example, we considered
a linear system of equations with almost constant coefficients.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
|