Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении
Методом частичных областей решена задача о локальном вибровозбуждении плоскопараллельного слоя акустической среды, лежащего на абсолютно жестком основании. В качестве источника вибрации выступал приложенный к свободной поверхности слоя круглый жесткий поршень, совершающий гармонические колебания с з...
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/919 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении / В.Н. Олийнык // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 1. — С. 42-49. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-919 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9192008-10-15T18:27:00Z Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении Олийнык, В.Н. Методом частичных областей решена задача о локальном вибровозбуждении плоскопараллельного слоя акустической среды, лежащего на абсолютно жестком основании. В качестве источника вибрации выступал приложенный к свободной поверхности слоя круглый жесткий поршень, совершающий гармонические колебания с заданной нормальной скоростью. Такая система предложена в качестве механической модели контактного взаимодействия поверхностных мягких биотканей грудной клетки человека с кинематическими датчиками, применяемыми в медицине и биофизических исследованиях. При этом возможность распространения в тканях поперечных волн игнорировалась. При проведении численного анализа основное внимание было уделено расчету частотных зависимостей импеданса излучения поршня в диапазоне, соответствующем слышимому звуку. Знание этой характеристики необходимо для прогнозирования искажений, вносимых присутствием датчика в колебания грудной клетки в зоне контакта. Полученные результаты свидетельствуют о том, что, пренебрегая распространением поперечных волн, невозможно адекватно смоделировать контактное взаимодействие вибратора (датчика) с биотканью. Методом часткових областей розв'язано задачу про локальне віброзбудження плоскопаралельного шару акустичного середовища, який лежить на абсолютно жорсткій основі. За джерело вібрації правив прикладений до вільної поверхні шару круглий жорсткий поршень, який здійснює гармонічні коливання із заданою нормальною швидкістю. Таку систему запропоновано як механічну модель контактної взаємодії поверхневих м'яких біотканин грудної клітки людини з кінематичними сенсорами, які застосовуються у медицині й біофізичних дослідженнях. При цьому можливість розповсюдження в тканинах поперечних хвиль ігнорувалась. При проведенні чисельного аналізу основну увагу було приділено розрахунку частотних залежностей імпедансу випромінювання поршня в діапазоні, який відповідає чутному звуку. Знання цієї характеристики необхідне для прогнозування спотворень, які вносяться присутністю сенсора у коливання грудної клітки в зоні контакту. Одержані результати свідчать про те, що, нехтуючи можливістю розповсюдження поперечних хвиль, неможливо адекватно змоделювати контактну взаємодію вібратора (сенсора) з біотканиною. A problem on local vibrational excitation of a plane-parallel layer of acoustical medium, which is situated on absolutely rigid foundation is solved by the method of partial domains. A circular piston attached to a free surface of the layer and harmonically oscillating with a given normal velocity was considered as a source of vibration. Such system was offered as the mechanical model of a contact interaction between the surface soft tissues of human thorax and a kinematic sensor, like the one used in medicine and biophysical researches. At the same time the possibility of propagation of the transverse waves in the tissues was ignored. When conducting the numerical analysis the main attention was paid to calculating the frequency dependencies of piston's radiation impedance in range corresponding to audible sound. This characteristic is necessary to be known to forecast the distortions introduced by presence of a sensor in vibration of the thorax in a contact zone. Obtained results give evidence that when neglecting the possibility of propagation of the transverse waves it is impossible to simulate properly a contact interaction between the vibrator (sensor) and the biotissue. 2002 Article Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении / В.Н. Олийнык // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 1. — С. 42-49. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/919 534.26 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Методом частичных областей решена задача о локальном вибровозбуждении плоскопараллельного слоя акустической среды, лежащего на абсолютно жестком основании. В качестве источника вибрации выступал приложенный к свободной поверхности слоя круглый жесткий поршень, совершающий гармонические колебания с заданной нормальной скоростью. Такая система предложена в качестве механической модели контактного взаимодействия поверхностных мягких биотканей грудной клетки человека с кинематическими датчиками, применяемыми в медицине и биофизических исследованиях. При этом возможность распространения в тканях поперечных волн игнорировалась. При проведении численного анализа основное внимание было уделено расчету частотных зависимостей импеданса излучения поршня в диапазоне, соответствующем слышимому звуку. Знание этой характеристики необходимо для прогнозирования искажений, вносимых присутствием датчика в колебания грудной клетки в зоне контакта. Полученные результаты свидетельствуют о том, что, пренебрегая распространением поперечных волн, невозможно адекватно смоделировать контактное взаимодействие вибратора (датчика) с биотканью. |
| format |
Article |
| author |
Олийнык, В.Н. |
| spellingShingle |
Олийнык, В.Н. Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении |
| author_facet |
Олийнык, В.Н. |
| author_sort |
Олийнык, В.Н. |
| title |
Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении |
| title_short |
Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении |
| title_full |
Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении |
| title_fullStr |
Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении |
| title_full_unstemmed |
Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении |
| title_sort |
акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/919 |
| citation_txt |
Акустические свойства слоя на жестком основании при локальном вибровозбуждении / В.Н. Олийнык // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 1. — С. 42-49. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT olijnykvn akustičeskiesvojstvasloânažestkomosnovaniiprilokalʹnomvibrovozbuždenii |
| first_indexed |
2025-07-02T04:32:15Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:32:15Z |
| _version_ |
1836508235307155456 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
УДК 534.26
АКУСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
СЛОЯ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ
ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ВИБРОВОЗБУЖДЕНИИ
В. Н. ОЛ И Й Н Ы К
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 15.10.2001 � Пересмотрено 14.02.2002
Методом частичных областей решена задача о локальном вибровозбуждении плоскопараллельного слоя акусти-
ческой среды, лежащего на абсолютно жестком основании. В качестве источника вибрации выступал приложен-
ный к свободной поверхности слоя круглый жесткий поршень, совершающий гармонические колебания с заданной
нормальной скоростью. Такая система предложена в качестве механической модели контактного взаимодействия
поверхностных мягких биотканей грудной клетки человека с кинематическими датчиками, применяемыми в меди-
цине и биофизических исследованиях. При этом возможность распространения в тканях поперечных волн игнори-
ровалась. При проведении численного анализа основное внимание было уделено расчету частотных зависимостей
импеданса излучения поршня в диапазоне, соответствующем слышимому звуку. Знание этой характеристики не-
обходимо для прогнозирования искажений, вносимых присутствием датчика в колебания грудной клетки в зоне
контакта. Полученные результаты свидетельствуют о том, что, пренебрегая распространением поперечных волн,
невозможно адекватно смоделировать контактное взаимодействие вибратора (датчика) с биотканью.
Методом часткових областей розв’язано задачу про локальне вiброзбудження плоскопаралельного шару акустично-
го середовища, який лежить на абсолютно жорсткiй основi. За джерело вiбрацiї правив прикладений до вiльної
поверхнi шару круглий жорсткий поршень, який здiйснює гармонiчнi коливання iз заданою нормальною швидкi-
стю. Таку систему запропоновано як механiчну модель контактної взаємодiї поверхневих м’яких бiотканин грудної
клiтки людини з кiнематичними сенсорами, якi застосовуються у медицинi й бiофiзичних дослiдженнях. При цьому
можливiсть розповсюдження в тканинах поперечних хвиль iгнорувалась. При проведеннi чисельного аналiзу основ-
ну увагу було придiлено розрахунку частотних залежностей iмпеданса випромiнювання поршня в дiапазонi, який
вiдповiдає чутному звуку. Знання цiєї характеристики необхiдне для прогнозування спотворень, якi вносяться при-
сутнiстю сенсора у коливання грудної клiтки в зонi контакту. Одержанi результати свiдчать про те, що, нехтуючи
можливiстю розповсюдження поперечних хвиль, неможливо адекватно змоделювати контактну взаємодiю вiбратора
(сенсора) з бiотканиною.
A problem on local vibrational excitation of a plane-parallel layer of acoustical medium, which is situated on absolutely
rigid foundation is solved by the method of partial domains. A circular piston attached to a free surface of the layer and
harmonically oscillating with a given normal velocity was considered as a source of vibration. Such system was offered as
the mechanical model of a contact interaction between the surface soft tissues of human thorax and a kinematical sensor,
like the one used in medicine and biophysical researches. At the same time the possibility of propagation of the transverse
waves in the tissues was ignored. When conducting the numerical analysis the main attention was paid to calculating
the frequency dependencies of piston’s radiation impedance in range corresponding to audible sound. This characteristic
is necessary to be known to forecast the distortions introduced by presence of a sensor in vibration of the thorax in a
contact zone. Obtained results give evidence that when neglecting the possibility of propagation of the transverse waves
it is impossible to simulate properly a contact interaction between the vibrator (sensor) and the biotissue.
ВВЕДЕНИЕ
Волновые процессы в слое являются традицион-
ным для акустики объектом исследований. В за-
дачах с такой геометрией, как правило, возможна
четкая и ясная физическая трактовка результатов
в терминах теории волноводов. Поэтому слоистые
структуры весьма популярны при моделировании
реальных процессов в гидро- и сейсмоакустике,
материаловедении и неразрушающем контроле.
Особо следует выделить задачи, связанные
со взаимодействием контактных измерительных
устройств и поверхностей податливых материа-
лов. В этом случае присутствие измерительно-
го устройства может приводить к существенному
искажению ближнего поля, по сравнению со сво-
бодной поверхностью, поскольку создаваемая им
механическая нагрузка не является пренебрежи-
мо малой. Наибольшую актуальность проблема та-
кого взаимодействия приобрела в связи с разви-
тием современных методов объективной регистра-
ции звуков дыхания и сердечной деятельности на
поверхности грудной клетки человека [1]. Дело в
том, что, несмотря на более чем полувековую исто-
рию исследований, до сих пор нет достаточно пол-
ного и непротиворечивого представления ни о ме-
ханических свойствах мягких биотканей [2 – 4], ни
о закономерностях поведения контактного датчи-
ка на поверхности тела [5 – 7]. Кроме того, на сего-
дняшний день до конца не выяснена роль, которую
играет в формировании виброакустического поля
вблизи зоны контакта тип закрепления датчика на
42 c© В. Н. Олийнык, 2002
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
теле.
Исходя из этого, представляется целесообра-
зным провести решение ряда модельных задач о
локальном вибровозбуждении слоя сплошной сре-
ды, задаваясь при этом различными ее реологи-
ческими моделями. Такой подход должен способ-
ствовать выявлению роли различных факторов в
формировании картины контактного взаимодей-
ствия поверхности тела человека с вибратором или
вибродатчиком. Очевидно, что в качестве первого
приближения следует взять линейную изотропную
упругую среду. Заметим, что упрощающая замена
слоистого строения грудной клетки структурой, в
которой слой податливых поверхностных тканей
расположен на более жесткой подложке, достато-
чно широко применяется в задачах по моделиро-
ванию вибровозбуждения поверхности тела [8, 9].
С точки зрения динамической теории упруго-
сти, вибратор или датчик естественно рассматри-
вать как жесткий штамп, контактирующий с де-
формируемой поверхностью. Для того, чтобы оха-
рактеризовать поведение такой системы, широ-
ко используется специфическая величина – вхо-
дной механический импеданс поверхности в зо-
не контакта. По сути, входной импеданс инте-
гральным образом описывает механические свой-
ства той пространственной области деформируе-
мой среды, которая существенным образом уча-
ствует во взаимодействии со штампом [1, 4, 6].
Заметим, что указанная постановка может быть
сформулирована и как задача о нахождении импе-
данса излучения поршня с однородным распреде-
лением амплитудной функции скорости, колеблю-
щегося на поверхности податливого слоя.
Целью данной статьи является рассмотрение за-
дачи о вибровозбуждении деформируемого слоя
при упрощающем предположении об отсутствии в
среде поперечных волн.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫБОР РА-
СЧЕТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Рассмотрим задачу о колебаниях плоскопарал-
лельного слоя толщиной h, лежащего на неподви-
жном абсолютно жестком основании. Верхнюю по-
верхность слоя будем считать свободной от напря-
жений, за исключением круговой площадки ради-
уса r0, на которой задана гармонически изменяю-
щаяся во времени по закону V0e
−iωt колебательная
скорость (рис. 1). Предположим, что среда, запол-
няющая слой, – акустическая и имеет плотность ρ
и скорость звука c.
Поскольку изначально мы задались целью смо-
делировать ситуацию вибрационного возбуждения
r0
r
z
0
V0 . e
-i t
h
III
Рис. 1. Слой на жестком основании,
возбуждаемый круглым поршнем
поверхности тела человека, то физические кон-
станты среды следует выбрать, основываясь на
известных экспериментальных данных о свойствах
мягких биотканей [2, 5]. Что касается плотности,
то она ненамного превышает плотность воды. По-
этому, как и большинство исследователей, будем
полагать ρ=1100 кг/м
3
. Измерение скорости зву-
ка (продольной волны) также не вызывает особых
трудностей. Ее принято считать практически рав-
ной скорости звука в воде: c=1500 м/с.
Строго говоря, предположение о том, что в рас-
сматриваемой среде не могут распространяться
поперечные волны, не соответствует действитель-
ности. Однако, применительно к мягким биотка-
ням, в которых скорость распространения попе-
речных волн намного меньше скорости звука1, в
качестве первого модельного приближения чисто
акустическое описание среды выглядит вполне ло-
гичным.
Для мягких биотканей характерно значительное
затухание упругих волн, но имеющиеся на этот
счет количественные данные довольно противоре-
чивы [2, 4, 6]. Оставляя в стороне вопрос об иссле-
довании истинных причин и характера затухания
звука в биотканях, в этой работе ограничимся про-
стейшим случаем – декремент затухания δ=0.
Переходя к выбору геометрических параметров,
отметим, что рассматриваемая задача характери-
зуется волновой толщиной слоя kh (где k=ω/c) и
безразмерным отношением r0/h.
Будем исходить из того, что для подавляющего
большинства людей толщина поверхностных мяг-
ких тканей, покрывающих реберный каркас гру-
дной клетки, составляет от 1 до 5 см. Нас ин-
тересует вибрационный отклик грудной клетки
на частотах звукового диапазона, ведь именно
1По разным оценкам, скорость поперечных волн в
мышечной ткани и эпителии составляет от 5 до 50 м/с [2,
3, 5].
В. Н. Олийнык 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
здесь сосредоточена диагностически значимая ин-
формация о состоянии сердца и органов респира-
торной системы, получаемая посредством их ау-
скультации. Принято считать, что верхняя часто-
та слышимых звуков составляет 20 кГц. Тогда в
рамках рассматриваемой модели kh<5.
Согласно данным, опубликованным в [1, 10,
11], характерные диаметры контактных датчи-
ков, используемых для регистрации сигналов на
поверхности грудной клетки, составляют от 2
до 4 см. Следовательно, с учетом принятого
предположения о величине h, следует считать
0.2≤r0/h≤2. Заметим, что, в силу малости вол-
новых размеров контактного датчика в интересу-
ющем нас диапазоне частот, импедансный подход
должен вполне удовлетворительно описывать ло-
кальное поведение биоткани с точки зрения осо-
бенностей кинематики датчика, закрепленного на
поверхности тела.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
И ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
В соответствии с принятыми допущениями, аку-
стическое поле в слое описывается потенциалом Φ,
удовлетворяющим уравнению Гельмгольца:
∇2Φ + k2Φ = 0. (1)
Введенный акустический потенциал однозначно
связан с физическими полями давлений и скоро-
стей [12]:
p = ρ
∂Φ
∂t
= −iωρΦ, ~v = −gradΦ.
Заметим, что вследствие радиальной симметрии
постановки, Φ=Φ(r, z), т. е. поле зависит только
от радиальной и толщинной координат. При этом
оператор Лапласа, записанный в цилиндрической
системе координат, упрощается до
∇2 =
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
.
Физической модели рассматриваемой системы
соответствует следующий набор граничных усло-
вий:
∂Φ
∂z
= V0, 0 ≤ r ≤ r0, z = 0,
Φ = 0, r0 < r < ∞, z = 0,
∂Φ
∂z
= 0, 0 ≤ r < ∞, z = h,
(2)
причем первые два относятся к свободной по-
верхности, возбуждаемой круглым жестким ви-
братором радиуса r0, а последнее описывает кон-
такт слоя с абсолютно жестким основанием. За-
мыкает математическую формулировку условие
при r→ ∞, которое можно трактовать, напри-
мер, как постулирование отсутствия акустических
источников на бесконечности [12].
Постановка (1), (2) является задачей со сме-
шанными граничными условиями на поверхности
z=0. Традиционно такие задачи решаются с помо-
щью интегральных преобразований по пространс-
твенным координатам, приводящих к весьма гро-
моздким вычислительным процедурам [13]. В свя-
зи с этим в биоакустике зачастую используют
упрощенную постановку, при которой на площадке
контакта считается заданной не скорость, а рав-
номерно распределенные механические напряже-
ния [9, 14]. Ясно, что такая замена не вполне аде-
кватна, поскольку изначальное задание известных
напряжений в зоне контакта не позволяет в полной
мере исследовать влияние такого важного факто-
ра как степень сцепления штампа с поверхностью
слоя в том случае, когда учитывается наличие ка-
сательных напряжений.
Альтернативный подход к решению подобных
смешанных граничных задач основан на разбие-
нии полной области существования поля на не-
сколько подобластей, которые имеют канониче-
скую форму и не содержат разрывов (в смысле
смены типов граничных условий) на гладких ча-
стях границ. Предполагается, что в каждой из та-
ких подобластей можно явным образом записать в
виде ряда Фурье общее решение, в точности удов-
летворяющее условиям на принадлежащей ей ча-
сти границы исходной области. Для того, чтобы
убрать произвол, содержащийся в решениях для
каждой из подобластей, на их общих границах до-
полнительно задаются естественные условия не-
прерывности (сопряжения) физических полей. Да-
лее, с помощью процедуры ортогонализации, фун-
кциональные уравнения, соответствующие услови-
ям сопряжения, трансформируются в бесконечные
системы линейных алгебраических уравнений.
На сегодняшний день этот подход, за которым
закрепилось название “метод частичных обла-
стей”, широко применяется для решения волно-
вых задач акустики, теории волноводов и т. п. [12].
Основными его достоинствами являются методи-
ческая простота, а также достаточно большая гиб-
кость при выборе геометрии подобластей [15, 16].
Как показано на ряде примеров, применитель-
но к задачам линейной акустики, метод части-
чных областей обеспечивает приемлемую скорость
44 В. Н. Олийнык
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
сходимости и точность численных результатов. В
частности, следует отметить достаточно высокую
эффективность указанного подхода к решению за-
дачи о звуковом поле в цилиндре [16], постанов-
ка которой во многом сходна с рассматриваемой
здесь задачей о слое.
Исходя из вышеизложенного, для решения гра-
ничной задачи (1), (2) применим метод частичных
областей. Очевидно, что рассматриваемый слой
может быть разбит на две подобласти (см. рис. 1)
I : 0 ≤ r ≤ r0, 0 ≤ z ≤ h,
II : r0 < r < ∞, 0 ≤ z ≤ h,
в каждой из которых общее решение для звукового
поля записывается в виде соответствующего ряда
по собственным функциям:
ΦI =
V0
k
{
−
cos k(z−h)
sin kh
+
∞∑
n=0
AnJ0(k
I
nr) cos
πn
h
z
}
,
ΦII =
V0
k
∞∑
m=0
BmH
(1)
0 (kII
mr) sin
π(2m+1)
2h
z.
(3)
Здесь J0 и H
(1)
0 – соответственно функции Бесселя
и Ханкеля первого рода, имеющие нулевой поря-
док;
kI
n =
√
k2 −
(
πn
h
)2
;
kII
m =
√
k2 −
(
π(2m + 1)
2h
)2
.
Заметим, что в представлении поля для области I
первое слагаемое позволяет удовлетворить неодно-
родное условие на поверхности поршня (штампа).
Что касается ряда в области II, он выбран таким
образом, чтобы при выбранной временной зависи-
мости для физических полей автоматически удов-
летворялось условие на бесконечности.
Условия сопряжения в нашем случае записыва-
ются для акустического потенциала и его произво-
дной по координате r, что соответствует требова-
нию непрерывности полей давления и нормальной
составляющей колебательной скорости на границе
раздела подобластей:
ΦI = ΦII,
∂ΦI
∂z
=
∂ΦII
∂z
,
0 ≤ z ≤ h, r = 0.
(4)
Подставив в эти соотношения ряды (3), после
применения процедуры ортогонализации получа-
ем бесконечную систему линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно неопределенных ко-
эффициентов An и Bm:
AnJ0(k
I
nr0)ε
I
nn−
−
∞∑
m=0
BmH
(1)
0 (kII
mr0)εnm = −ε̃n,
∞∑
n=0
AnkI
nJ ′
0(k
I
nr0)εnm−
−BmkII
mH
(1)
0
′(kII
mr0)ε
II
mm = 0.
(5)
В уравнениях (5) штрихами обозначены произво-
дные по полным аргументам. Кроме того,
εI
nn =
1
h
h∫
0
cos2
πn
h
zdz =
1 , n=0,
1
2
, n>0;
εII
mm =
1
h
h∫
0
sin2 π(2m+1)
2h
zdz =
1
2
;
εnm =
1
h
h∫
0
cos
πn
h
sin
π(2m+1)
2h
zdz =
=
2
π
2m+1
(2m+1)2−4n2
;
ε̃n =
1
h sinkh
h∫
0
cos k(z−h) cos
πn
h
zdz =
=
kh
(kh)2−(πn)2
.
По определению, импеданс излучения жестко-
го поршня или, что в данном случае то же самое,
механический импеданс контактного участка слоя
равен отношению полной реакции на поверхности
поршня к его нормальной скорости:
Z =
2π
V0
r0∫
0
p0(r)rdr.
Здесь p0(r)=−iωρΦI(r, 0) – акустическое давление
на поверхности поршня. Зная распределение аку-
стического поля под поршнем и воспользовавшись
известными правилами интегрирования функций
Бесселя [17], запишем в явном виде выражение
для полного импеданса, являющееся базовым для
В. Н. Олийнык 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
последующего количественного анализа:
Z =
−2πiωρ
V0
r0∫
0
ΦI(r, 0)rdr = ρcπr2
0Z
∗ =
= −iρcπr2
0
{
−ctg kh + 2
∞∑
n=0
An
J1(k
I
nr0)
kI
nr0
}
,
(6)
где Z∗ – значение импеданса, нормированное к
волновому сопротивлению среды ρc и площади
поршня.
В завершение сделаем замечание о сходимости
решения рассматриваемой задачи вблизи линии
смены типа граничного условия r=r0, z=0. Со-
гласно [12, 18], здесь поле скоростей имеет осо-
бенность, порядок которой однозначно опреде-
ляется локальной геометрией и типами грани-
чных условий в окрестности кромки поршня. Как
нетрудно убедиться, следуя методике, изложен-
ной в [18], в данном случае скорости (произво-
дные акустического потенциала Φ) будут иметь
на кромке поршня особенности порядка R−1/2, где
R=
√
(r − r0)2+z2. Знание характера особенности
важно с точки зрения формально однозначного
описания акустического поля в рассматриваемой
области, однако опыт решения конкретных задач
говорит о том, что эффекты, связанные с учетом
особенностей, проявляются лишь вблизи угловых
точек и точек смены типа граничного условия [12].
Кроме того, хотя в силу смены типа условия, при
r=r0 на поверхности слоя должен наблюдаться
скачок давления (разрыв первого рода) [16], за
счет интегрирования по площади поршня, ряд (6)
для импеданса излучения должен обладать более
быстрой сходимостью, чем ряд для акустическо-
го потенциала ΦI. Это позволяет применить к ре-
шению бесконечной линейной системы (5) метод
простой редукции, не заботясь о выделении осо-
бенностей в окрестности линии r=r0, z=0.
Рис. 2 и 3 иллюстрируют качество выполнения
условий сопряжения по акустическому потенциалу
и скорости vr на границе раздела подобластей I, II.
Как видно из графиков, везде, кроме небольших
глубин z<0.1, наблюдается хорошее согласование
акустических полей при r=r0. Заметим, что при-
веденная на указанных рисунках картина достато-
чно типична для широкого диапазона параметров
kh и r0/h. В подавляющем большинстве случаев
удовлетворительного сопряжения удавалось доби-
ться, удерживая при применении метода простой
редукции к системе (5) всего по 5÷6 коэффици-
ентов An и Bm. Это свидетельствует о высокой
эффективности выбранной методики решения и ее
реализации в виде численного алгоритма.
3. АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ РЕЗУЛЬ-
ТАТОВ
Прежде, чем приступить к количественному
анализу, отметим, что при kh<π/2 все собствен-
ные моды, входящие в ряд для ΦII, являются не-
однородными. Действительно, указанные kh со-
ответствуют частотам, лежащим ниже частоты
запирания волновода с одной мягкой границей.
Следовательно, в длинноволновом (низкочасто-
тном) диапазоне не наблюдается излучения аку-
стической энергии и радиационная составляющая
активной компоненты входного импеданса ReZ
равна нулю (а поскольку мы положили δ=0, то
и ReZ=0).
Оценим поведение мнимой части импеданса на
низких частотах (kh�1). Анализируя систему (5),
легко убедиться, что при kh→0 справедливы оцен-
ки A0 =O(1/kh) и An =O(kh), n≥1. Воспользовав-
шись асимптотическими свойствами функций Бес-
селя при малых значениях аргумента [17], в окре-
стности kr0 =0 имеем, с точностью до главного
члена,
2A0
J1(kr0)
kr0
=
1
kh
+ O(kr0).
В то же время, при kh→0
ctg kh =
1
kh
+ O(kh).
С учетом этих соотношений, из формулы (6) по-
лучаем, что при kh→0 Z∼−iωM , где M =const.
Таким образом, в пренебрежении распространени-
ем поперечных волн низкочастотная асимптотика
импеданса поршня, взаимодействующего с дефор-
мируемым слоем, носит массовый характер.
Этот вывод весьма наглядно иллюстрируется с
помощью известного в акустике подхода, именуе-
мого методом мнимых источников. Действитель-
но, рассматриваемая задача о колебаниях поршня
на свободной границе эквивалентна задаче о жес-
тком поршне, осциллирующем вокруг нейтрально-
го положения z=0 посредине слоя толщины 2h,
имеющего жесткие стенки z=±h. По существу,
осциллирующий поршень представляет собой сво-
еобразный диполь, который на низких частотах
организует интенсивное движение среды в бли-
жнем поле: периодическое “перекачивание” между
областями z<0 и z>0. В таком случае присут-
ствие среды ощущается поршнем как некоторая
присоединенная масса. Очевидно, что эти рассу-
ждения применимы и к ограниченным областям с
плоской свободной поверхностью.
На рис. 4 показаны типичные зависимости
Z(kh) для двух разных отношений r0/h. Для
46 В. Н. Олийнык
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
k / V0 . | (r0, z) |
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
z
/ h
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
I
II
arg (r0, z)
-180o -90o 0o 90o
z
/ h
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
III
а б
Рис. 2. Акустический потенциал при r=r0, kh=5, r0/h=0.7 (в рядах (3) удержано по 8 членов):
сплошные – ряд для области I, штриховые – ряд для области II
k r0 / V0 . | vr (r0, z) |
0 0.5 1 1.5
z
/ h
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
I
II
arg vr (r0, z)
-180o -90o 0o 90o 180o
z
/ h
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
I
II
а б
Рис. 3. Радиальная скорость при r=r0, kh=5, r0/h=0.7 (в рядах (3) удержано по 8 членов):
сплошные – ряд для области I, штриховые – ряд для области II
удобства восприятия активная часть импедан-
са ReZ(kh) дана в логарифмическом масшта-
бе, тогда как реактивная ImZ(kh) – в линей-
ном. Из графиков следует, что с качественной
точки зрения поведение импеданса диктуется, в
первую очередь, изменением волновой толщины
слоя. Действительно, резонансы системы, опре-
деляемые условием ImZ(kh)=0 (при смене ха-
рактера с упругого на массовый), независимо от
величины r0, явно тяготеют к волновым числам
kh=π(2m + 1)/2. Это естественным образом свя-
зано с тем, что при каждом из указанных зна-
чений kh происходит открытие волновода на со-
ответствующей (m-ой) моде, см. зависимости для
В. Н. Олийнык 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
kh
0 /2 3 /2
R
e
Z
*
10-2
10-1
100
101
kr0
0 /2
Im
Z
*
-20
-10
0
10
20
kh
0 /2 3 /2
R
e
Z
*
10-2
10-1
100
101
102
kr0
0 /2 3 /2 2
Im
Z
*
-40
-20
0
20
40
а б
Рис. 4. Импеданс излучения поршня для r0/h=0.7 (а) и r0/h=1.3 (б):
сплошные – ReZ, штриховые – ImZ
ReZ(kh).
Проследим за точками, в которых импеданс ме-
няет тип с массового на упругий. Характерная
особенность этих своеобразных резонансов колеба-
тельных систем заключается в том, что в их окре-
стности наблюдается резкое возрастание ImZ, так
что система становится невосприимчивой к по-
пыткам “вкачать” в нее энергию. По этой причине
резонансные точки такого типа получили назва-
ние “антирезонансов”. Известно, что резонансы и
антирезонансы в системе всегда чередуются [19].
Любопытно, что, с формальной точки зрения, пер-
вым резонансом слоя со свободной верхней грани-
цей будет kh=0. В таком случае первый антирезо-
нанс должен находиться в пределах 0≤kh≤π/2,
т. е. еще до того, как первая собственная мода в
подобласти II станет распространяющейся. Поэто-
му при подходе к первому антирезонансу активная
часть импеданса равна нулю, а реактивная обра-
щается в бесконечность. Особенно хорошо это ви-
дно на рис. 4, б.
Что касается последующих антирезонансов, то,
как и следовало ожидать, вследствие уноса аку-
стической энергии на бесконечность импеданс
здесь остается ограниченным, а вместо разрыва
второго рода наблюдается резкий переход мнимой
части через нуль. При этом на соответствующей
частоте наблюдается пик ReZ. Видно также, что
с ростом отношения r0/h частоты антирезонансов
снижаются. Таким образом, влияние относитель-
ной величины поршня проявляется, в основном, в
изменении частот антирезонансов и амплитудных
значений Z.
Сравнивая полученные результаты с экспери-
ментальными данными о входном импедансе слоя
мягких биотканей, нагружаемых вибратором, не-
обходимо отметить следующее. Верхний предел
частотной полосы, характерной для звуков дыха-
ния и сердца, составляет 2÷4 кГц [20]. В рам-
ках принятых модельных оценок это соответству-
ет волновым размерам kh<1. С точки зрения
продольных волн, этот диапазон является дорезо-
нансным, а следовательно, импеданс в нем дол-
жен иметь массовый характер и быть пример-
но пропорциональным частоте. Однако все изве-
стные экспериментальные характеристики, полу-
ченные для полосы частот от 0 до 1000 Гц, го-
ворят об обратном – на низких частотах ImZ
ведет себя как упругость, а характер массы
приобретает только после резонанса в районе
f =100÷200 Гц [4, 6].
Такое поведение системы может быть объясне-
но только при усложнении базовой модели иссле-
дуемого объекта. В первую очередь, это можно
сделать, введя в рассмотрение наличие касатель-
ных напряжений в среде по типу линейной упру-
гости, что эквивалентно возможности распростра-
нения в слое поперечных волн. Действительно, на-
личие касательных напряжений может эффектив-
но препятствовать “свободному перетеканию” сре-
ды в ближнем поле вибратора, формируя упругую
реакцию на нагружение свободной поверхности. В
48 В. Н. Олийнык
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 1. С. 42 – 49
качестве косвенного аргумента в защиту этой ги-
потезы можно привести модель [9], дающую ча-
стотную зависимость импеданса, качественно схо-
дную с экспериментальной. Здесь “касательные на-
пряжения” фиктивно вводились за счет наличия
мембраны, покрывающей свободную поверхность
объекта, имитирующего грудную клетку.
Можно предположить, что экспериментально
зафиксированный резонанс слоя биоткани связан
с открытием волновода в области I на низшей мо-
де для поперечной волны. В пользу этого говорит
следующее рассуждение. Условие открытия вол-
новода можно записать в виде cs =4fh, где cs –
скорость поперечных волн. Подставив в эту фор-
мулу оценочные пределы изменения h и экспе-
риментально зафиксированные значения резонан-
сной частоты, получаем cs =4÷40 м/с, что вполне
удовлетворительно согласуется с данными, приве-
денными в работах [2, 3].
ВЫВОДЫ
1. Кинематически возбуждаемый с помощью ви-
братора слой акустической среды с одной сво-
бодной поверхностью демонстрирует волно-
водное поведение, обуславливаемое наличием
дискретного спектра частот запирания, кото-
рые являются функциями волновой толщины
слоя.
2. Акустический импеданс слоя в области низ-
ких частот носит массовый характер. Это про-
тиворечит экспериментальным данным, со-
гласно которым слой мягких биотканей де-
монстрирует упругое поведение при частоте,
стремящейся к нулю.
3. Полученные результаты свидетельствуют о
том, что, пренебрегая распространением попе-
речных волн, невозможно адекватно смодели-
ровать контактное взаимодействие вибратора
(датчика) с биотканью.
1. Олiйник В. Н. Рацiональне проектування п’єзоа-
кселерометрiв для вимiрювань на пiддатливих по-
верхнях // Акуст. вiсн.– 1998.– 1, N 3.– С. 54–65.
2. Самойлов В. О., Понамаренко Г. Н., Енин Л. Д.
Низкочастотная биоакустика.– С.-Пб.: Реверс,
1994.– 215 с.
3. Пашовкин Т. Н., Сарвазян А. П. Механические
характеристики мягких биологических тканей //
Методы вибрационной диагностики реологических
характеристик мягких материалов и биологиче-
ских тканей.– Горький: ИПФ АН СССР, 1989.–
С. 105–115.
4. Тиманин Е. М. Модель формирования импедан-
сных свойств мягких биологических тканей //
Методы вибрационной диагностики реологических
характеристик мягких материалов и биологиче-
ских тканей.– Горький: ИПФ АН СССР, 1989.–
С. 75–91.
5. Oestreicher H. L. Field and impedance of an ocsillati-
ng sphere in a viscoelastic medium with an applicati-
on to biophysics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1951.– 23,
N 6.– P. 707–714.
6. Verburg J., van Vollenhoven E. Phonocardiography:
physical and technical aspects and clinical uses //
Non invasive physiological measurements.– London:
Academic press, 1979.– P. 213–259.
7. Zhang X., Royston T. J., Mansy H. A., Sandler R. H.
Radiation impedance of a finite circular piston on
a viscoelastic half-space with application to medical
acoustics // J. Acoust. Soc. Amer.– 2001.– 109, N 2.–
P. 795–802.
8. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Волны в поверхно-
стном слое мягкой биоткани на полупространстве
из твердой биоткани // Акуст. ж.– 1994.– 40, N 2.–
С. 270–274.
9. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Олейник В. Н.
Проблемы моделирования акустических свойств
грудной клетки и измерения шумов дыхания //
Акуст. ж.– 1995.– 41, N 5.– С. 758–768.
10. Vermarien H., van Vollenhoven E. The recording of
heart vibrations: a problem of vibration measurement
on soft tissue // Med. & Biol. Eng. & Comput.–
1984.– 22.– P. 168–178.
11. Антонец А. В., Анишкина Н. М. Пьезоакселероме-
тры ПАМТ // Виброакустические поля сложных
объектов и их диагностика.– Горький: ИПФ АН
СССР, 1989.– С. 191–203.
12. Гринченко В. Т., Вовк И. В. Волновые задачи рас-
сеяния звука на упругих оболочках.– К.: Наук.
думка, 1986.– 235 с.
13. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф.
Динамика неоднородных линейно-упругих сред.–
М.: Наука, 1989.– 344 с.
14. Клочков Б. Н. Ближнее поле силового низко-
частотного источника на слоистой биоткани //
Акуст. ж.– 2002.– 48, N 1.– С. 70–76.
15. Гринченко В. Т. Развитие метода решения задач
излучения и рассеяния звука в неканонических
областях // Гидромеханика.– 1996.– 70.– С. 27–40.
16. Вовк И. В., Городецкая Н. С. Об особенностях
применения метода частичных областей для оце-
нок звукового поля в ограниченных областях //
Гидромеханика.– 1995.– 69.– С. 36–42.
17. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегра-
лов, сумм, рядов и произведений.– М.: Физматгиз,
1971.– 1108 с.
18. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория
дифракции.– М: Мир, 1964.– 428 с.
19. Скучик Е. Простые и сложные колебательные
системы.– М.: Мир, 1971.– 557 с.
20. Вовк И. В., Гринченко В. Т., Дахнов Л. С., Крижа-
новский В. В., Олийнык В. Н. Шумы дыхания че-
ловека: объективизация аускультативных призна-
ков // Акуст. вiсн.– 1999.– 2, N 3.– С. 11–32.
В. Н. Олийнык 49
|