Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды
Развиты представления общих решений уравнения Ламе для упругой среды, дополненного вязкими силами по Навье-Стоксу с использованием обобщенных потенциалов. Получены уравнения для обобщенных потенциалов и выражения для смещений. Записан аналог представления Дебая-Морса-Фешбаха, переходящий при отсутст...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/930 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды / В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 6, N 1. — С. 60-66. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-930 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9302008-10-15T18:41:35Z Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды Салтанов, В.Н. Салтанов, Н.В. Развиты представления общих решений уравнения Ламе для упругой среды, дополненного вязкими силами по Навье-Стоксу с использованием обобщенных потенциалов. Получены уравнения для обобщенных потенциалов и выражения для смещений. Записан аналог представления Дебая-Морса-Фешбаха, переходящий при отсутствии вязких сил в классическое представление Дебая-Морса-Фешбаха. Получены выражения для декрементов затухания упругих колебаний в бесконечном цилиндре и шаре. Розвинуті представлення загальних розв'язків рівняння Ламе для пружного середовища, доповненого в'язкими силами за Нав'є-Стоксом з використанням узагальнених потенціалів. Одержані рівняння для узагальнених потенціалів і вирази для зміщень. Записаний аналог представлення Дебая-Морса-Фешбаха, який при відсутності в'язких сил переходить у класичне представлення Дебая-Морса-Фешбаха. Отримані вирази для декрементів затухання пружних коливань у нескінченному циліндрі й кулі. Presentations of general solutions of the Lame equations for elastic medium supplemented with the Navier-Stokes viscous forces are developed using the generalized potentials. The equations for generalized potentials and the expressions for displacements are obtained. The analog of the Debay-Morse-Feshbach presentation, transferring into classical Debay-Morse-Feshbach presentation, is written. The expressions for decrements of attenuation of elastic oscillations are obtained for an infinite cylinder and a spherical solid. 2003 Article Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды / В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 6, N 1. — С. 60-66. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/930 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Развиты представления общих решений уравнения Ламе для упругой среды, дополненного вязкими силами по Навье-Стоксу с использованием обобщенных потенциалов. Получены уравнения для обобщенных потенциалов и выражения для смещений. Записан аналог представления Дебая-Морса-Фешбаха, переходящий при отсутствии вязких сил в классическое представление Дебая-Морса-Фешбаха. Получены выражения для декрементов затухания упругих колебаний в бесконечном цилиндре и шаре. |
| format |
Article |
| author |
Салтанов, В.Н. Салтанов, Н.В. |
| spellingShingle |
Салтанов, В.Н. Салтанов, Н.В. Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды |
| author_facet |
Салтанов, В.Н. Салтанов, Н.В. |
| author_sort |
Салтанов, В.Н. |
| title |
Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды |
| title_short |
Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды |
| title_full |
Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды |
| title_fullStr |
Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды |
| title_full_unstemmed |
Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды |
| title_sort |
обобщенные потенциалы в теории вязкой по навье-стоксу упругой среды |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/930 |
| citation_txt |
Обобщенные потенциалы в теории вязкой по Навье-Стоксу упругой среды / В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов // Акустичний вісник. — 2003. — Т. 6, N 1. — С. 60-66. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT saltanovvn obobŝennyepotencialyvteoriivâzkojponavʹestoksuuprugojsredy AT saltanovnv obobŝennyepotencialyvteoriivâzkojponavʹestoksuuprugojsredy |
| first_indexed |
2025-07-02T05:11:22Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:11:22Z |
| _version_ |
1836510696091680768 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 60 – 66
УДК 539.3
ОБОБЩЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ В ТЕОРИИ ВЯЗКОЙ
ПО НАВЬЕ-СТОКСУ УПРУГОЙ СРЕДЫ
В. Н. С АЛ ТА Н О В∗, Н. В. СА Л ТА Н ОВ∗∗
∗Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
∗∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 17.12.2002
Развиты представления общих решений уравнения Ламе для упругой среды, дополненного вязкими силами по
Навье –Стоксу с использованием обобщенных потенциалов. Получены уравнения для обобщенных потенциалов и
выражения для смещений. Записан аналог представления Дебая –Морса–Фешбаха, переходящий при отсутствии
вязких сил в классическое представление Дебая –Морса–Фешбаха. Получены выражения для декрементов затуха-
ния упругих колебаний в бесконечном цилиндре и шаре.
Розвинутi представлення загальних розв’язкiв рiвняння Ламе для пружного середовища, доповненого в’язкими си-
лами за Нав’є –Стоксом з використанням узагальнених потенцiалiв. Одержанi рiвняння для узагальнених потенцiа-
лiв i вирази для змiщень. Записаний аналог представлення Дебая –Морса –Фешбаха, який при вiдсутностi в’язких
сил переходить у класичне представлення Дебая –Морса–Фешбаха. Отриманi вирази для декрементiв затухання
пружних коливань у нескiнченному цилiндрi й кулi.
Presentations of general solutions of the Lame equations for elastic medium supplemented with the Navier – Stokes viscous
forces are developed using the generalized potentials. The equations for generalized potentials and the expressions for
displacements are obtained. The analog of the Debay –Morse – Feshbach presentation, transferring into classical Debay –
Morse –Feshbach presentation, is written. The expressions for decrements of attenuation of elastic oscillations are obtained
for an infinite cylinder and a spherical solid.
ВВЕДЕНИЕ
В линейных и нелинейных математических мо-
делях, используемых в теории упругости, теории
электромагнетизма, гидромеханике и других есте-
ственных науках, важное место занимает пробле-
ма получения аналитических представлений об-
щих решений соответствующих дифференциаль-
ных уравнений на основе различных разреша-
ющих функций [1 – 25]. Исследование указанной
проблемы важно как для изучения внутренней
структуры и особенностей исходных систем урав-
нений, так и для решения прикладных задач.
В теории упругости к числу наиболее распро-
страненных разрешающих функций относятся
потенциалы Гельмгольца – Стокса – Грина – Ламе,
Дебая – Морса – Фешбаха, Папковича – Нейбера,
Галеркина, Юнгдала и другие. В теории электро-
магнетизма фундаментальное значение имеют
электрический и магнитный потенциалы, а также
электрический и магнитный потенциалы Герца. В
гидромеханике широко применяются потенциалы
скорости и ускорения, разрешающие функции
Клебша и Соболева, разрешающие функции газо-
динамических течений в переменных годографа
и спидографа, разрешающие функции Ламба и
Хаппеля – Бреннера в теории стоксовых течений.
Особо следует отметить также разрешающую
функцию частицы в теории однопараметрических
нестационарных течений газа, а также функцию
тока в теориях двухпараметрических стацио-
нарных течений газа и двухпараметрических
стационарных и нестационарных течений несжи-
маемой жидкости. Для трехмерных течений газа
в стационарном случае существуют две разре-
шающие функции Гиза – Скобелкина [21, 24, 25],
с помощью которых определяются компоненты
скорости и расход газа через трубку тока. В
нестационарном трехмерном случае вводятся три
разрешающие функции Давыдова – Йи [6, 25], че-
рез которые выражаются плотность и компоненты
скорости.
Учитывая указанное выше многообразие разре-
шающих функций (в том числе собственно потен-
циалов), авторы данной статьи используют тер-
мин “обобщенный потенциал”, понимая его в весь-
ма широком смысле.
В ряде случаев применение обобщенных потен-
циалов (например, функции частицы, функции то-
ка, обобщенного потенциала в случае однородных
винтовых течений и других) приводит к пониже-
нию порядка исходной системы уравнений. Это
особенно важно с точки зрения численных мето-
дов. Зачастую использование обобщенных потен-
циалов дает возможность использовать вариаци-
онные принципы. В частности, такой подход ра-
сширяет возможности применения прямых мето-
дов (Ритца, Канторовича, конечных элементов и
60 c© В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов, 2003
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 60 – 66
других) к анализу задач математической физики.
Нередко оказывается удобным [1 – 3, 8, 9, 17]
использование редукции основной начально-
краевой задачи к скалярной задаче для одного
уравнения, определяющего обобщенный суперпо-
тенциал. Как отмечено в работе [3], в наибольшей
степени преимущества, предоставляемые таким
подходом, проявляются при использовании чис-
ленных методов. Это проявляется в сокращении
количества искомых функций до одной скалярной
(обобщенного суперпотенциала), что приводит
к значительной экономии машинного времени и
ресурса используемых ЭВМ [1,3, 8].
Цель данной статьи – развитие представлений
общих решений уравнения Ламе, дополненного
вязкими силами по Навье – Стоксу, с использова-
нием обобщенных потенциалов типа упомянутых
в [13, 15, 17], а также рассмотрение с помощью по-
строенных представлений некоторых примеров за-
тухания колебаний, обусловленных вязким трени-
ем.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРЕДСТАВ-
ЛЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
В ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОМ НЕСТАЦИО-
НАРНОМ СЛУЧАЕ
Зачастую скорость макроскопического движе-
ния в упругом теле невелика, так что диссипация
энергии оказывается весьма малой. В таких слу-
чаях движение может быть описано посредством
обычных уравнений движения, в которых к дей-
ствующим в теле силам следует добавить вязкую
силу, являющуюся линейной функцией пространс-
твенных производных от скоростей [20, 26, 27].
Оставаясь в рамках этих допущений, обратимся к
уравнению Ламе, дополненному вязкой силой по
аналогии с уравнением Навье – Стокса [20, 26, 27]:
grad div~u − ε
[
rot rot ~u +
∂2~u
∂τ2
+
+(a rot rot − b graddiv)
∂~u
∂τ
]
= 0,
ε =
c2
s
c2
l
, dτ = csdt, k∗ =
ω∗
cs
,
a =
η
ρcs
, b =
ζ
ρcs
+
4η
3ρcs
.
(1)
Здесь ~u – динамическая составляющая перемеще-
ния (смещение); cs и cl – скорости распростране-
ния волн сдвига и сжатия соответственно; ρ – плот-
ность среды; η и ζ – динамические коэффициенты
вязкости. Для удобства дальнейшего рассмотре-
ния придадим рассматриваемому уравнению не-
сколько более компактную форму:
Db
τ grad div~u − ε
(
Da
τ rot rot~u +
∂2~u
∂τ2
)
= 0,
Da
τ ≡ 1 + a
∂
∂τ
, Db
τ ≡ 1 + εb
∂
∂τ
.
(2)
Смещение ~u представим в виде [13, 15, 16]:
~u = ∇ΦS + rot(qχ~e1) + qS~e1 , q = q(x1). (3)
Здесь ΦS , χ и S – обобщенные потенциалы; ~e1 –
единичный вектор к касательной координатной
линии x1. Множитель q(x1) считается заданной
функцией своего аргумента. Подставим выраже-
ние (3) в уравнение (1) и потребуем, чтобы полу-
чившееся при этом соотношение имело структуру
правой части выражения (3). В результате придем
к следующим условиям для коэффициентов Ламе:
h1 = 1,
∂
∂x1
h2
h3
= 0. (4)
Пусть условия (4) выполнены. Тогда из соотно-
шения, полученного после подстановки выраже-
ния (3) в уравнение (1), следует
(
Db
τ∆ − ε
∂2
∂τ2
)
ΦS+
+
[
Db
τκh +
(
Db
τ − εDa
τ
)
∂
∂x1
]
qS = 0,
κh ≡ 1
h2
3
∂h2
3
∂x1
,
(5)
(
Da
τ∆∗ − ∂2
∂τ2
){
qχ, qS
}
= 0,
∆∗ ≡ ∆ − κh
∂
∂x1
.
(6)
Здесь ∆ – оператор Лапласа. Таким образом, соот-
ношение (3) выражает смещение ~u через три обоб-
щенных потенциала ΦS , χ и S, удовлетворяющие
трем уравнениям третьего порядка (5), (6). Важ-
но, что среди приведенных в курсе [10] ортого-
нальных систем, в которых переменные в урав-
нениях вида (5), (6) разделяются, условиям (4)
удовлетворяют прямоугольная система (x1 =x, y
или z), три цилиндрических (круговая, эллипти-
ческая и параболическая, x1 =z), а также сфе-
рическая и коническая системы (x1 =R, где R –
радиус). Отметим, что обобщенный потенциал
В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 60 – 66
S аналогичен обобщенным газодинамическим по-
тенциалам [12] и обобщенному потенциалу поля
Громеки – Жуковского [17]. Кроме того, произвол
в выборе функции q(x1) может быть использо-
ван для преобразования и упрощения представле-
ния (3), (5), (6). В частности, в декартовой и трех
цилиндрических системах координат, указанных
выше, κh =0. Полагая x1 =z, q=1, выражение (3)
и уравнения (5), (6) запишем в виде
~u = ∇ΦS + rot(χ~ez) + S~ez ,
(
Db
τ − ε
∂2
∂τ2
)
ΦS +
(
Db
τ − εDa
τ
)
∂S
∂z
= 0,
(
Da
τ ∆ − ∂2
∂τ2
){
χ, S
}
= 0.
Для сферической и конической систем координат
положим q=R. Тогда выражение (3) и уравне-
ния (5), (6) также упрощаются:
~u = ∇ΦS + R
[
rot(χ~eR) + S~eR
]
,
(
Db
τ∆ − ε
∂2
∂τ2
)
ΦS+
+
[(
Db
τ − εDa
τ
)
R
∂
∂R
+ 3Db
τ − εDa
τ
]
S = 0,
(
∆ − ∂2
∂τ2
){
χ, S
}
= 0.
2. АНАЛОГ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЕБАЯ –
МОРСА –ФЕШБАХА
Обратимся к уравнению (5). Положим
ΦS = Φ +
∂qΨ
∂x1
, (7)
где Φ и Ψ – новые обобщенные потенциалы, при-
чем потенциал Φ удовлетворяет следующему ли-
нейному уравнению в частных производных тре-
тьего порядка:
(
Db
τ∆ − ε
∂2
∂τ2
)
Φ = 0. (8)
После подстановки выражения (7) в уравнение (5),
учтем в получившемся соотношении уравнение (8)
и равенство
∆
∂qΨ
∂x1
=
(
κh +
∂
∂x1
)
∆∗
(
qΨ
)
(9)
(в его справедливости можно убедиться с помо-
щью условий (4)). В результате имеем
Db
τ
(
κh +
∂
∂x1
)(
∆∗qΨ + qS
)
−
−ε
∂
∂x1
(
Da
τ qS +
∂2qΨ
∂τ2
)
= 0.
(10)
Уравнение (10) будет удовлетворено тождествен-
но, если положить
qS = −∆∗qΨ, (11)
(
Da
τ ∆∗ − ∂2
∂τ2
)
qΨ = 0. (12)
Подставим выражения (7) и (11) в представле-
ние (3) и воспользуемся соотношением
∇∂(qΨ)
∂x1
− ∆∗(qS)~e1 = rotrot(qΨ~e1) (13)
(оно также является следствием условий (4)). В
результате получаем
~u = ∇Φ + rot(qχ~e1) + rotrot(qΨ~e1). (14)
Таким образом, соотношение (14) выражает сме-
щение ~u через три обобщенных потенциала Φ, χ и
Ψ, удовлетворяющие трем независимым линейным
уравнениям в частных производных третьего по-
рядка (6), (8) (12). Как и ранее, произвол в выборе
функции q(x1) может быть использован для упро-
щения представления (6), (8), (12), (14).
В частности, в декартовой и указанных трех ци-
линдрических системах координат, полагая x1 =z,
q=1, выражение (14) и уравнения (6), (12) запи-
шем в виде
~u = ∇Φ + rot(χ~ez) + rot rot(Ψ~ez),
(
Da
τ ∆ − ∂2
∂τ2
){
χ, Ψ
}
= 0.
Заметим, что вид уравнения (8) не меняется.
В случае сферической и конической систем ко-
ординат положим q=R. Тогда выражение (14) и
уравнения (6), (12) также упрощаются:
~u = ∇Φ + Rrot(χ~eR) + rot rot(RΨ~eR),
(
Da
τ ∆ − ∂2
∂τ2
){
χ, Ψ
}
= 0.
Уравнение (8) не изменяется.
При отсутствии сил вязкости (a=0, b=0) урав-
нения (6), (8), (12) принимают вид
(
∆ − ε
∂2
∂τ2
)
Φ = 0, (15)
62 В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 60 – 66
(
∆∗ − ∂2
∂τ2
){
qχ, qΨ
}
= 0. (16)
В декартовой и цилиндрических системах коорди-
нат при q=1, а в сферических и конических систе-
мах при q=R уравнения (16) записываются так:
(
∆− ∂2
∂τ2
){
χ, Ψ
}
= 0. (17)
Таким образом, в рассматриваемом случае все три
обобщенных потенциала Φ, χ и Ψ удовлетворяют
независимым волновым уравнениям (15) и (17).
Представление (14), (15), (17) является классиче-
ским представлением Дебая – Морса – Фешбаха [7,
10].
3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРЕДСТАВ-
ЛЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
В ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОМ НЕСТАЦИ-
ОНАРНОМ СЛУЧАЕ
Обратимся к уравнению (2). Рассмотрение
проведем в ортогональной системе координат
(x1, x2, x3). При этом смещение ~u и коэффициенты
Ламе hm ортогональной системы координат пола-
гаем не зависящими от координаты x3:
∂{~u, hm}
∂x3
= 0, m = 1, 2, 3. (18)
Смещение ~u представим в виде
~u = ∇Φ + rot
(
Ψ
~e3
h3
)
+ q3
~e3
h3
, q3 ≡ h3u3. (19)
Здесь Φ – обобщенные потенциалы; u3 – тре-
тья компонента смещения. Подставляя выраже-
ние (19) в левую часть уравнения (2) и учитывая
условия (18), убеждаемся, что левая часть полу-
чившегося соотношения имеет структуру правой
части выражения (19). Приравнивая к нулю стоя-
щие под знаком градиента и ротора выражения из
левой части полученного соотношения и выраже-
ние, являющееся множителем при ~e3, запишем
(
Db
τ∆ − ε
∂2
∂τ2
)
Φ = 0, (20)
(
Da
τD− ∂2
∂τ2
){
Ψ, q3
}
=0,
D≡ h3
h1h2
(
∂
∂x1
h2
h3h1
∂
∂x1
+
∂
∂x2
h1
h3h2
∂
∂x2
)
.
(21)
Таким образом, с учетом предположений (18)
уравнение (2) сведено к решению трех независи-
мых линейных уравнений в частных производных
третьего порядка (20) и (21), служащих для опре-
деления трех величин Φ, Ψ и q3. Если эти величи-
ны найдены, то смещение ~u определяется с помо-
щью выражения (19).
4. ВЯЗКОЕ ЗАТУХАНИЕ КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ И КОЛЕБАНИЙ С ДИЛАТА-
ЦИЕЙ В БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ
Рассмотрение указанных примеров проведем в
цилиндрической системе координат (z, r, ϕ), ось
z которой совпадает с осью цилиндра. При этом
предполагается наличие азимутальной симметрии
(∂/∂ϕ≡0).
Рассмотрим затухание крутильных колебаний.
При Φ=0 и Ψ=0 уравнения (20) для Φ и (21) для
Ψ удовлетворяются тождественно. Уравнение (21)
для величины q3 принимает следующий вид:
[(
1+a
∂
∂τ
)(
r
∂
∂r
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
)
− ∂2
∂τ2
]
qϕ =0,
qϕ ≡ q3, qϕ = ruϕ.
(22)
Частное решение уравнения (22), ограниченное
при r=0, получаемое методом разделения пере-
менных, записывается как
qϕ = q0
ϕrJ1(k⊥r) sin kzze−γst cosωst,
γs = csak2/2, ωs = csk
√
1 − a2k2/4 ,
k2 = k2
⊥
+ k2
z.
(23)
Здесь q0
ϕ – постоянная; J1 – функция Бесселя пер-
вого порядка; k2 – положительная постоянная ра-
зделения; kz и k⊥ – продольные и поперечные к
оси z составляющие волнового вектора.
Пусть поверхность цилиндра “зажата”:
r = r0, qϕ = 0, (24)
где r0 – радиус цилиндра. Подставляя в усло-
вие (24) выражение (23) для qϕ, получаем
k⊥ = µm/r0, m = 1, 2, . . . , (25)
где µm – корни уравнения J1(µm)=0. В частности,
µ1 =3.832. С учетом вида (1) для величины a, а
также выражений (23) для k2 и (25) для k⊥, из
соотношения (23) для γs имеем
γs =
η
2ρ
(
µ2
m
r2
0
+ k2
z
)
(26)
Декремент затухания колебаний γs, обусловлен-
ный вязкостью, является нарастающей функцией
В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 60 – 66
Рисунок. Зависимость декремента вязкого затухания
крутильных колебаний в бесконечном цилиндре
от продольного волнового числа при различных
поперечных волновых числах:
1 – µ1 =3.832, 2 – µ2 =7.016, 3 – µ3 =10.173
величин µm и kz и убывающей функцией радиуса
r0. В безразмерном виде соотношение (26) запи-
сывается как
γ̄s = µ2
m + k̄2
z ,
γ̄s ≡ 2ρr2
0γ
η
, k̄z ≡ kzr0.
(27)
Зависимости γ̄s = γ̄s(k̄z) для m=1, 2, 3 представле-
ны на рисунке.
Рассмотрим затухание колебаний с дилатацией.
При Ψ=0 и q3 =0 уравнения (21) удовлетворяются
тождественно. Уравнение (20) в цилиндрической
системе координат принимает следующий вид:
[(
1+b
∂
∂τ
)(
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
)
−ε
∂2
∂τ2
]
Φ = 0. (28)
Ограниченное при r=0 частное решение уравне-
ния (28), получаемое методом разделения пере-
менных, имеет структуру
Φ = Φ0J0(k⊥r) sin kzze−γlt cos ωlt,
γl = csbk
2/2, ωl = csk
√
1 − εb2k2/4,
(29)
Здесь Φ0 – постоянная; J0 – функция Бесселя ну-
левого порядка; величины k2, kz и k⊥ имеют тот
же смысл, что и в соотношениях (23).
Пусть на поверхности цилиндра выполнено
условие
r = r0, ur =
∂Φ
∂r
= 0. (30)
Подставляя в условие (30) выражение (29) для по-
тенциала Φ, приходим к соотношению (25). С уче-
том вида (1) для величины b, а также выраже-
ний (23) для k2 и (25) для k⊥, из соотношения (29)
для γl получаем
γl =
1
2ρ
(
4
3
η + ζ
)(
µ2
m
r2
0
+ k2
z
)
. (31)
В безразмерном виде соотношение (31) имеет вид
γ̄l = µ2
m + k̄2
z ≡ 6ρr2
0γl
4η + 3ζ
. (32)
При этом для величины k̄z справедливо выраже-
ние (27).
Из выражений (26) и (31) следует, что декремент
затухания колебаний с дилатацией в 4/3+ζ/η раз
больше декремента затухания крутильных колеба-
ний.
5. ВЯЗКОЕ ЗАТУХАНИЕ КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ И КОЛЕБАНИЙ С ДИЛАТА-
ЦИЕЙ В ШАРЕ
Ограниченное при R=0 частное решение урав-
нения (21) для q3 в сферических координатах
(R, Θ, ϕ), получаемое методом разделения пере-
менных, имеет следующий вид:
uϕ =
u0
ϕ√
R̄
jn+ 1
2
(R̄)P (1)
n (cos Θ)e−γst cos ωst,
q3 =R sin Θuϕ R̄=kR, n=0, 1, 2, . . .
(33)
Здесь u0
ϕ – постоянная; jn+ 1
2
– сферические функ-
ции Бесселя; P
(1)
n – присоединенные полиномы Ле-
жандра; k2 – положительная постоянная разделе-
ния. Для величин γs и ωs справедливы выраже-
ния (23).
Если поверхность шара “зажата” (R=R0, uϕ =0,
где R0 – радиус шара), то с помощью соотноше-
ния (33) получаем следующее выражение для без-
размерного декремента затухания:
γ̄s = µ2
nm ≡ (2ρR2
0γ/η). (34)
64 В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 60 – 66
Здесь µnm – корни уравнения jn+ 1
2
(µnm)=0. Из
выражения (34) видно, что затухание колебаний
возрастает как с ростом n, так и с ростом m.
Рассмотрим затухание колебаний с дилатацией.
Ограниченное при R=0 частное решение уравне-
ния (20), получаемое методом разделения пере-
менных, имеет следующий вид:
Φ =
Φ0√
R̄
jn+ 1
2
(R̄)Pn(cos Θ)e−γlt cosωlt, (35)
Здесь Φ0 – постоянная; jn+ 1
2
– сферические функ-
ции Бесселя; Pn – полиномы Лежандра; величина
R̄ определяется согласно выражения (33); величи-
ны γl и ωl определяются согласно выражений (29).
Пусть на поверхности шара выполнено условие
R = R0, uR =
∂Φ
∂R
= 0. (36)
Подставляя в условия (36) выражение (35) для по-
тенциала Φ, приходим к уравнению
n
R0
jn+ 1
2
(R̄0)−jn+ 3
2
(R̄0)=0, R̄0≡kR0. (37)
В результате для величины k имеем
k =
νnm
R0
, m = 1, 2, . . . (38)
Здесь νnm – корни уравнения (37). Далее, с помо-
щью выражения (29) для γl получаем следующее
выражение для безразмерного декремента затуха-
ния колебаний с дилатацией:
γ̄l =
(
4
3
+
ζ
η
)
ν2
nm, γ̄l ≡
2ρR2
0γl
η
(39)
Сравним декременты затухания крутильных ко-
лебаний и колебаний с дилатацией в шаре при
n=0. Согласно формулам (34) и (39), для отно-
шения декремента затухания γ̄l к декременту за-
тухания γ̄s справедливо выражение
γ̄l
γ̄s
=
(
4
3
+
ζ
η
)(
νnm
µnm
)2
. (40)
Первые пять корней уравнения j 1
2
(µ0m)=0
таковы: µ01 =3.1416; µ02 =6.2832; µ03 =9.4248;
µ04=12.566; µ05 =15.708. Первые пять корней
уравнения (37) при n=0 следующие: ν01 =4.4934;
ν02=7.7253; ν03=10.904; ν04=14.066; ν05 =17.221.
Как видно из формулы (40), отношение декре-
ментов для указанных корней всегда больше
единицы. При этом наибольшего значения (> 2.7)
оно достигает при m=1.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В специальном классе ортогональных коорди-
натных систем (4) с использованием обобщенных
потенциалов типа упомянутых в [13, 15, 17] разви-
ты представления общих решений уравнения Ламе
для упругой среды, дополненного вязкими силами
по Навье – Стоксу. Для определения трех обобщен-
ных потенциалов получены три линейных диффе-
ренциальных уравнения третьего порядка в част-
ных производных, два из которых образуют сис-
тему, третье является независимым. Получен ана-
лог представления Дебая – Морса – Фешбаха. При
этом задача сведена к трем независимым линей-
ным уравнениям в частных производных третьего
порядка, служащим для определения трех обоб-
щенных потенциалов. В случае отсутствия вязких
сил полученное в работе представление перехо-
дит в классическое представление Дебая – Морса –
Фешбаха.
Важно отметить, что среди приведенных в мо-
нографии [10] ортогональных систем координат, в
которых переменные в уравнениях для обобщен-
ных потенциалов разделяются, условиям (4) удов-
летворяют прямоугольная система (x1 =x, y или
z), три цилиндрические (круговая, эллиптическая
и параболическая, x1 =z), а также сферическая и
коническая системы (x1 =R, где R – радиус).
В двухпараметрической нестационарной зада-
че (~u=~u(x1, x2, t)) в специальном классе ортого-
нальных систем координат (18) задача сведена к
трем независимым линейным дифференциальным
уравнениям в частных производных третьего по-
рядка, служащим для определения обычного по-
тенциала Φ, функции тока Ψ и компоненты сме-
щения u3. Важно отметить, что к классу ортого-
нальных координатных систем (18) относится ряд
систем, в которых переменные в уравнениях для
Φ, Ψ и u3 разделяются.
Получены выражения для декрементов затуха-
ния упругих колебаний в шаре и бесконечном ци-
линдре. Как оказалось, колебания с дилатацией
затухают существенно сильнее, чем крутильные
колебания.
БЛАГОДАРНОСТИ
Авторы благодарят профессора И. Т. Селезова
за полезные дискуссии, касающиеся содержания
данной статьи.
1. Амиралиев Г. М. Исследование разностных схем
для квазилинейного уравнения Соболева //
В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 1. С. 60 – 66
Дифф. ур-ния.– 1987.– 23, N 8.– С. 1453–1455.
2. Габов С. А. Новые задачи математической теории
волн.– М.: Наука, 1998.– 448 с.
3. Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи не-
стационарных внутренних волн.– М.: Наука, 1990.–
344 с.
4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко-
лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум-
ка, 1981.– 284 с.
5. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Черевко М. А. Дифра-
кция упругих волн.– К.: Наук. думка, 1978.– 308 с.
6. Давыдов Б. Вариационный принцип и канониче-
ские уравнения для идеальной жидкости // Докл.
АН СССР.– 1949.– 69, N 2.– С. 165–168.
7. Дебай П. Избранные труды.– Л.: Наука, 1987.–
560 с.
8. Инербаев М. С. Обоснование разностных схем с
дополнительными неизвестными для квазилиней-
ного уравнения Соболева // Ж. вычисл. мат. и
мат. физ.– 1991.– 31, N 3.– С. 457–461.
9. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г.
О нестационарных волнах в средах с анизотропной
дисперсией // Ж. вычисл. мат. и мат. физ.– 1999.–
39, N 6.– С. 1006–1022.
10. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физи-
ки. Том 2.– М.: ИИЛ, 1960.– 896 с.
11. Новацкий В. Теория упругости.– М.: Мир, 1975.–
872 с.
12. Салтанов Н. В. Аналитическая гидромеханика.–
К.: Наук. думка, 1984.– 200 с.
13. Салтанов Н. В. К представлению общих решений
уравнения Ламе и векторного волнового уравне-
ния // Прикл. мех.– 1990.– 26, N 7.– С. 108–111.
14. Салтанов Н. В. Развитие аналитической механики
сплошной среды на основе обобщенных потенци-
алов / Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук.– К.:
Ин-т гидромех. НАН Украины, 1992.– 34 с.
15. Салтанов Н. В. Обобщенные потенциалы в ма-
гнитной гидродинамике и динамике вращающейся
жидкости // Прикл. гидромех.– 2000.– 2(74),
N 4.– С. 82–98.
16. Салтанов Н. В. Обобщенные потенциалы, инвари-
анты Римана и простые волны в аналоге метода
годографа Чаплыгина – Седова в магнитной газо-
вой динамике // Прикл. гидромех.– 2002.– 4(76),
N 3.– С. 59–70.
17. Салтанов Н. В., Горбань В. А. Вихревые струк-
туры в жидкости: аналитические и численные
решения.– К.: Наук. думка, 1993.– 244 с.
18. Салтанов Н. В., Салтанов В. Н. К магнитной ги-
дродинамике вращающейся неоднородной жидко-
сти в стационарном случае // Прикл. гидромех.–
1999.– 1(73), N 3.– С. 32–47.
19. Салтанов Н. В., Шестопал П. А. Обобщенные по-
тенциалы в теории вращающейся упругой сре-
ды // Вестник Херсон. гос. тех. ун-та.– 2000.– 2,
N 8).– С. 201–205.
20. Селезов И. Т., Селезова Л. В. Волны в магнитоги-
дроупругих средах.– К.: Наук. думка, 1975.– 164 с.
21. Скобелкин В. И. Вариационные принципы в ги-
дродинамике // ЖЭТФ.– 1956.– 31, вып. 2(8).–
С. 317–323.
22. Улитко А. Ф. Метод собственных векторных
функций в пространственных задачах теории
упругости.– К.: Наук. думка, 1979.– 264 с.
23. Chandrasekharaiah D. S. A complete solution in
elastodynamics // Acta Mechanica.– 1990.– 84, N 1–
4.– P. 185–190.
24. Giese J. The stream functions for the three dimensi-
onal flows // J. Math. Phys.– 1951.– 30, N 1.– P. 31–
35.
25. Yih C.-S. Fonctions de courant dans les ecoulements
a trois dimensions // Houlle blanche.– 1957.– 12,
N 3.– P. 445–450.
26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости.–
М.: Наука, 1965.– 204 с.
27. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика.– М.:
Наука, 1986.– 736 с.
66 В. Н. Салтанов, Н. В. Салтанов
|