Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов
Рассмотрена внешняя гидродинамическая задача электроразряда в воде при вводе в цилиндрический канал энергии в виде ряда последовательных импульсов. Выполнена постановка соответствующей начально-краевой задачи с подвижной границей для волнового уравнения. Аналитическое решение задачи получено методом...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/932 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов / А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 3. — С. 12-18. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-932 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9322008-10-15T18:32:44Z Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов Вовченко, А.И. Ковалев, В.Г. Поздеев, В.А. Рассмотрена внешняя гидродинамическая задача электроразряда в воде при вводе в цилиндрический канал энергии в виде ряда последовательных импульсов. Выполнена постановка соответствующей начально-краевой задачи с подвижной границей для волнового уравнения. Аналитическое решение задачи получено методом нелинейного преобразования времени. Показано влияние наложения малых пульсаций на линейный закон роста радиуса канала. Выявлены особенности гидродинамических характеристик электроразряда. Розглянуто зовнішню гідродинамічну задачу електричного розряду у воді при введенні у циліндричний канал енергії у вигляді послідовності імпульсів. Виконано постановку відповідної початково-граничної задачі з рухомою границею для хвильового рівняння. Аналітичне рішення задачі отримано методом нелінійного перетворення часу. Показано вплив накладення малих пульсацій на лінійний закон зростання радіуса каналу. З'ясовано особливості гідродинамічних характеристик електророзряду. An external hydrodynamical problem of electric discharge in water is considered when energy is supplied in the cylindrical channel as a sequence of pulses. Corresponding initial-boundary problem with moving boundary for the wave equation is formulated. The analytical solution of the problem is obtained by the method of nonlinear transformation of a time. The influence of imposing of small pulsations on the linear law of growth of the channel's radius is shown. Peculiarities of hydrodynamical characteristics of the electric discharge are revealed. 2002 Article Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов / А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 3. — С. 12-18. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/932 533.06.011 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена внешняя гидродинамическая задача электроразряда в воде при вводе в цилиндрический канал энергии в виде ряда последовательных импульсов. Выполнена постановка соответствующей начально-краевой задачи с подвижной границей для волнового уравнения. Аналитическое решение задачи получено методом нелинейного преобразования времени. Показано влияние наложения малых пульсаций на линейный закон роста радиуса канала. Выявлены особенности гидродинамических характеристик электроразряда. |
| format |
Article |
| author |
Вовченко, А.И. Ковалев, В.Г. Поздеев, В.А. |
| spellingShingle |
Вовченко, А.И. Ковалев, В.Г. Поздеев, В.А. Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов |
| author_facet |
Вовченко, А.И. Ковалев, В.Г. Поздеев, В.А. |
| author_sort |
Вовченко, А.И. |
| title |
Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов |
| title_short |
Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов |
| title_full |
Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов |
| title_fullStr |
Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов |
| title_full_unstemmed |
Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов |
| title_sort |
гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/932 |
| citation_txt |
Гидродинамические характеристики электрического разряда в жидкости при вводе энергии в канал в виде повторяющихся импульсов / А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 3. — С. 12-18. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vovčenkoai gidrodinamičeskieharakteristikiélektričeskogorazrâdavžidkostiprivvodeénergiivkanalvvidepovtorâûŝihsâimpulʹsov AT kovalevvg gidrodinamičeskieharakteristikiélektričeskogorazrâdavžidkostiprivvodeénergiivkanalvvidepovtorâûŝihsâimpulʹsov AT pozdeevva gidrodinamičeskieharakteristikiélektričeskogorazrâdavžidkostiprivvodeénergiivkanalvvidepovtorâûŝihsâimpulʹsov |
| first_indexed |
2025-07-02T04:32:38Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:32:38Z |
| _version_ |
1836508259306962944 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 12 – 18
УДК 533.6.011
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАЗРЯДА В ЖИДКОСТИ
ПРИ ВВОДЕ ЭНЕРГИИ В КАНАЛ В ВИДЕ
ПОВТОРЯЮЩИХСЯ ИМПУЛЬСОВ
А. И. ВО В ЧЕНКО, В. Г. КО В А ЛЕ В, В. А. ПО ЗДЕЕ В
Институт импульсных процессов и технологий НАН Украины, Николаев
Получено 15.12.2001
Рассмотрена внешняя гидродинамическая задача электроразряда в воде при вводе в цилиндрический канал энер-
гии в виде ряда последовательных импульсов. Выполнена постановка соответствующей начально-краевой задачи
с подвижной границей для волнового уравнения. Аналитическое решение задачи получено методом нелинейного
преобразования времени. Показано влияние наложения малых пульсаций на линейный закон роста радиуса канала.
Выявлены особенности гидродинамических характеристик электроразряда.
Розглянуто зовнiшню гiдродинамiчну задачу електричного розряду у водi при введеннi у цилiндричний канал енергiї
у виглядi послiдовностi iмпульсiв. Виконано постановку вiдповiдної початково-граничної задачi з рухомою границею
для хвильового рiвняння. Аналiтичне рiшення задачi отримано методом нелiнiйного перетворення часу. Показано
вплив накладення малих пульсацiй на лiнiйний закон зростання радiуса каналу. З’ясовано особливостi гiдродина-
мiчних характеристик електророзряду.
An external hydrodynamical problem of electric discharge in water is considered when energy is supplied in the cylindrical
channel as a sequence of pulses. Corresponding initial-boundary problem with moving boundary for the wave equation
is formulated. The analytical solution of the problem is obtained by the method of nonlinear transformation of a time.
The influence of imposing of small pulsations on the linear law of growth of the channel’s radius is shown. Peculiarities
of hydrodynamical characteristics of the electric discharge are revealed.
ВВЕДЕНИЕ
Генерация электрического разряда в жидкости
нашла множество практических приложений. В
качестве примеров достаточно привести получение
и исследование плотной низкотемпературной пла-
змы, гидроакустические системы, использующие-
ся в освоении Мирового океана, технологические
установки по импульсной обработке материалов.
Одним из способов достижения желаемых энерге-
тических и гидродинамических характеристик ра-
зряда является вариация закона ввода энергии в
канал. Чаще всего используется закон ввода энер-
гии в виде одиночного импульса. При этом функ-
ция изменения радиуса канала во времени – глад-
кая возрастающая, а волна давления имеет вид
одиночного импульса. Теория формирования по-
лей давления для этого случая достаточно полно
исследована в [1 –3].
Ввод в канал энергии в виде ряда последова-
тельных импульсов значительно расширяет воз-
можности получения функции давления. В [4 –6]
теоретически показано, что путем параметриче-
ского изменения параметров разрядной цепи при
одиночном разряде можно получить закон ввода
энергии достаточно сложного вида, в том числе
в виде последовательности импульсов. В [7] со-
держится экспериментальное подтверждение это-
го утверждения. При этом оказывается, что функ-
ция радиуса полости близка к линейной, однако
может иметь изломы. Заметим, что с математи-
ческой точки зрения внешняя гидродинамическая
задача разряда корректно моделируется начально-
краевой задачей с подвижной границей для линей-
ного волнового уравнения.
При излучении волн подвижной границей наи-
более сложным является случай цилиндрической
симметрии. Так, до сих пор получено лишь одно
точное решение начально-краевой задачи при ра-
сширении цилиндра нулевого начального радиуса
с постоянной скоростью [8]. Здесь под точным ре-
шением мы понимаем решение, удовлетворяющее
точно как волновому уравнению, так и гранично-
му условию на подвижной границе. Заметим, что
в работах [9, 10] под точным решением начально-
краевой волновой задачи с подвижной границей
понималось решение, точно удовлетворяющее вол-
новому уравнению, но с законом движения грани-
цы, определяемом численно с любой наперед за-
данной точностью. Вообще же рассмотрение вол-
новой задачи с подвижной границей для ненулево-
го начального радиуса и разрывной функции ско-
рости вызывает значительные сложности.
Гидродинамические характеристики электров-
12 c© А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев, 2002
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 12 – 18
зрыва в жидкости при вводе энергии в канал в
виде последовательности двух импульсов получе-
ны на основе решения внешней гидродинамиче-
ской задачи различными аналитическими метода-
ми в [9, 11, 12]. Следует, однако, отметить, что ре-
зультаты этих работ противоречивы. Например,
в [11, 12] путем анализа полученного приближен-
ного решения внешней гидродинамической задачи
показано, что при определенных соотношениях ки-
нематических характеристик канала функция дав-
ления на его стенке представляет собой последова-
тельность убывающих по амплитуде импульсов, а
функция давления в фиксированной точке волно-
вой зоны – последовательность импульсов с расту-
щими амплитудами. В [9] на основе существенно
иного подхода к решению задачи утверждается,
что обе функции давления должны иметь одина-
ковый характер. Кроме того, если в [11,12] показа-
но, что периоды следования импульсов в назван-
ных функциях давления должны соответствовать
соотношениям, описывающим эффект Доплера, то
в [9] утверждается, что эти периоды одинаковы.
Объяснению и устранению указанных противоре-
чий посвящена настоящая работа.
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И МА-
ТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ВНЕШ-
НЕЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Полная постановка физической задачи о высо-
ковольтном электрическом разряде в жидкости
включает в себя как внутреннюю задачу форми-
рования плазменной полости в канале, так и вне-
шнюю гидродинамическую задачу формирования
поля давления, вызванного расширяющимся кана-
лом [1]. Система уравнений для описания внутрен-
ней задачи включает уравнения разрядной цепи с
нелинейным сопротивлением канала и уравнение
баланса энергии. Она сводится к соотношению ви-
да
F1
(
R(t), VR(t), PR(t), N (t)
)
= 0, (1)
где t – время; R(t) – закон изменения радиуса кана-
ла (полости) во времени; VR(t) – скорость расши-
рения полости, которая для непроницаемой грани-
цы равна производной от функции радиуса; N (t) –
закон ввода мощности в канал разряда; PR(t) –
функция давления в канале.
Решение внешней гидродинамической задачи
волнового движения жидкости, вызванного рас-
ширением канала разряда, дает связь
F2
(
R(t), VR(t), PR(t)
)
= 0. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволя-
ет определить кинематические и динамические ха-
рактеристики разряда в жидкости, а затем найти
возбужденное им волновое поле давления в жид-
кости.
Следует, однако, отметить, что введение ряда
допущений при математической постановке вну-
тренней задачи (в частности, при выводе урав-
нения баланса энергии) приводит при интегри-
ровании системы (1), (2) к сглаживанию иско-
мых функций R(t) и PR(t). С прикладной (ин-
женерной) точки зрения это несущественно. В то
же время, некоторые особенности кинематических
характеристик канала можно учесть лишь при
аналитическом решении внешней гидродинамиче-
ской задачи. Так, в [7] экспериментально показа-
но, что функция R(t) может иметь излом (следо-
вательно, в соответствующей функции VR(t) бу-
дет наблюдаться конечный разрыв). Представляе-
тся важным определить влияние математических
особенностей функций в граничном условии на по-
движной границе на функцию давления. Реше-
ние внешней гидродинамической задачи имеет и
самостоятельное значение как методический под-
ход, используемый при диагностике плазмы кана-
ла по измеренным его кинематическим характери-
стикам.
Исходя из сказанного, рассмотрим внешнюю ги-
дродинамическую задачу определения волнового
поля давления, вызванного расширением канала
по заданному закону. Будем полагать, что канал
имеет достаточную протяженность, а время его
расширения мало (или канал развивается между
плоскими электродами). В этом случае рассмотре-
ние сводится к плоской задаче о расширении бес-
конечного цилиндра в жидкости. Жидкость счи-
таем идеальной сжимаемой, а движение ее потен-
циальным (с потенциалом скоростей Φ). Ограни-
чиваясь рассмотрением разряда малой мощности,
скорость расширения канала полагаем малой, по
сравнению со скоростью звука в жидкости c0.
Принятые допущения позволяют для описания
движения жидкости, вызванного расширением ци-
линдрического канала, воспользоваться линейным
волновым уравнением с заданием кинематическо-
го граничного условия на подвижной границе кон-
такта канал – жидкость. Корректность такой мате-
матической постановки обоснована в [10,13,14].
Таким образом, внешняя гидродинамическая за-
дача сводится к следующей начально-краевой за-
даче математической физики с подвижными гра-
ницами:
∂2Φ
∂r2
+
1
r
∂Φ
∂r
− 1
c2
0
∂2Φ
∂t2
= 0, VR =
∂Φ
∂r
при R0 ≤ r ≤ c0t,
(3)
А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 12 – 18
VR =
∂Φ
∂r
=
∂R
∂t
при r = R(t), (4)
Φ =
∂Φ
∂t
= 0 при r = R(t), r = R0. (5)
Поле давлений P (r, t) определим по известному
потенциалу скоростей Φ(r, t) в соответствии с [2,3]
как
P (r, t) = −ρ0
∂Φ
∂t
при r � R0, (6)
P (r, t)=−ρ0
[
∂Φ
∂t
+
1
2
(
∂Φ
∂r
)2
− 1
2c2
0
(
∂Φ
∂t
)2]
при r = R(t).
(7)
Здесь и ниже ρ0 – невозмущенная плотность жид-
кости.
Отметим, что в [14] в задаче о медленном расши-
рении цилиндрической полости нулевого началь-
ного радиуса показано, что потенциал скоростей
Φ(r, t) может быть найден из линейного волнового
уравнения (3), а давление в ближней к полости зо-
не – по интегралу Коши – Лагранжа с учетом ква-
дратичной составляющей:
P (r, t) = −ρ0
[
∂Φ
∂t
+
1
2
(
∂Φ
∂r
)2 ]
. (8)
В [10] интеграл вида (8) предложено использо-
вать для любой геометрии волнового движения
жидкости. Вместе с тем, в [14] отмечено, что для
плоской волны сжимаемостью в интеграле Ко-
ши – Лагранжа пренебрегать нельзя и применение
формулы (8) некорректно. Соотношения (6), (7)
отвечают этим требованиям. Так, в дальней зоне
r�R0 и при t∼0, где R(t)∼R0, имеем плоское те-
чение и
∂Φ
∂r
− 1
c0
∂Φ
∂t
= 0,
откуда получаем выражение (6). При нулевом на-
чальном радиусе полости R(0)=R0=0 вторая ква-
дратичная составляющая в соотношении (7) мала,
по сравнению с первой, так что уравнение (7) в
пределе переходит в уравнение (8). Таким обра-
зом, начально-краевая задача с подвижной грани-
цей контакта полость – жидкость (3) – (8) является
корректной математической моделью внешней ги-
дродинамической задачи электрического разряда
в жидкости, где функция R(t) полагается извест-
ной (например, из эксперимента).
2. ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Для решения начально-краевой задачи (3) –
(7) следует получить решение волнового уравне-
ния (3), а затем с его помощью удовлетворить гра-
ничное условие на подвижной границе (4). После
нахождения потенциала скоростей поле давления
вычисляется в соответствии с выражениями (6),
(7), которые в безразмерных переменных удобно
представить в виде
P̄ (r, t) =
{
P̄1 при r � R0,
P̄1 + P̄21 + P̄22 при r ∼ R(t),
(9)
где
P̄1 = −(∂Φ/∂t)/(ρ0c
2
0);
P̄ = P/(ρ0c
2
0); V̄ = V/c0;
P̄21 = −V̄ 2/2; P̄22 = −P̄ 2/2.
Видно, что для плоских волн
P̄1 = V̄ , P̄21 + P̄22 = 0, P̄ = P̄1. (10)
В уравнениях (9) главная часть давления обо-
значена как P̄1. Квадратичные же добавки могут
быть найдены потом по мере надобности.
Для решения уравнения (3) воспользуемся пре-
образованием Лапласа. Тогда решение уравне-
ния (3) в области изображений с учетом нулевых
начальных условий и условия излучения (убегания
волны на бесконечность) примет вид
Φ̄L(r, p) = B(p)K0(ap), (11)
V̄ L(r, p) = − 1
c2
0
pB(p)K1(ap), (12)
P̄ L(r, p) = − 1
c2
0
pB(p)K0(ap). (13)
Здесь p – параметр преобразования; B(p) – посто-
янная интегрирования; K0(ap), K1(ap) – модифи-
цированные функции Бесселя; a=r/c0; верхним
индексом L обозначена трансформанта функции
по Лапласу.
Переходя в соотношениях (12) и (13) к оригина-
лам, получаем
V̄ (r, t) = − 1
rc0
t−r/c0∫
0
B(τ )(t − τ )dτ√
(t − τ )2 − (r/c0)2
, (14)
P̄ (r, t) = − 1
rc0
t−r/c0∫
0
B′(τ )(t − τ )dτ√
(t − τ )2 − (r/c0)2
, (15)
Считая функцию B(t) известной, радиус канала
определим из уравнения, получаемого из соотно-
шения (14) при r=R(t):
t−r/c0∫
0
B(τ )(t − τ )dτ√
(t − τ )2 − (R(t)/c0)2
= −R(t)VR(t). (16)
14 А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 12 – 18
Принимая в соотношении (16) B′(τ )=B0H+(τ )
(где B0=−M2
0 c2
0/(1−M 2
0 )−1/2), имеем R(t)=V0t.
Тогда из соотношений (15) получаем функции дав-
ления [8]:
P̄R(t) =
M0√
1 − M 2
0
ln
1 +
√
1 − M2
0
M0
,
P̄ (r, t) =
M0√
1 − M 2
0
Arch
(
c0t
r
)
.
(17)
Считая B′(τ )=B0δ(τ ), из выражений (14), (15)
получаем представления для волновых полей, сов-
падающие с решением [9]:
V̄ (r, t) =
B0√
t2 − (r/c0)2
,
P̄1(r, t) =
B0√
t2 − (r/c0)2
,
P̄R(t) =
B0√
t2 − (R/c0)2
,
(18)
где B0 =−R0V0; V0 =VR(0).
Отметим, что решение (18) получено для R0=0.
При R0 6=0 в соотношении (18) следует принять
t÷t+R0/c0.
3. ЛИНЕЙНЫЙ РОСТ РАДИУСА ПОЛОСТИ
С НАЛОЖЕНИЕМ ПУЛЬСАЦИЙ МАЛОЙ
АМПЛИТУДЫ
Используя асимптотику для больших значений
величины a=rp/c0, трансформанту потенциала
скоростей (10) можно приближенно записать в ви-
де
ΦL(r, p) ≈ f(t0)
r1/2
e−(r−R0)p/c0
(
1− 1
8
c0
rp
+ . . .
)
. (19)
В области оригиналов выражение (19) принимает
вид
Φ(r, t) ≈ f(t0)
r1/2
− 1
8
c0
r3/2
t0∫
0
f(τ )dτ + . . . (20)
где t0= t−(r−R0)/c0.
Ясно, что в соотношениях (19), (20) второе сла-
гаемое мало, по сравнению с первым. Исходя из
этого, применим метод последовательных прибли-
жений, где в качестве первого приближения мож-
но использовать следующее представление для по-
тенциала скоростей [15,16]:
Φ(r, t) =
f(t0)
r1/2
. (21)
Используя представление (21), с помощью метода
нелинейного преобразования времени [16, 17] най-
дем следующую функцию давления на стенке ка-
нала [16]:
P̄R(t)= V̄R(t)− c0
2R(t)
exp
(
−c0
2
t∫
0
dτ
R(τ )
)
×
×
t∫
0
V̄R(τ )
(
1− 1
c0
dR(τ )
dτ
)
exp
(
−c0
2
τ∫
0
dτ ′
R(τ ′)
)
dτ.
(22)
Нетрудно показать, что связь функции давления
на стенке канала PR(t) с профилем волны давле-
ния для фиксированной точки волнового поля Pr
в общем случае имеет вид
RR(t) =
(
r
R(t)
)1/2
Pr
(
t − R(t) − R0
c0
)
. (23)
Заметим, что в выражения (22), (23) входит толь-
ко главная часть давления.
Анализ экспериментально полученных кривых
R(t) в [7] дает возможность достаточно точно
аппроксимировать их следующими соотношения-
ми [12]:
R(t) = R0 + V0t + R1| sin ω0t|,
VR(t) = V0 + V1 cos ω0(t − tm),
tm = mT1, m = 0, 1, 2 . . .
(24)
Здесь R0 – радиус канала при t=0; V0 – скорость
линейного роста радиуса; R1 – амплитуда пуль-
саций; ω0 – круговая частота, связанная с пери-
одом пульсаций T1 соотношением ω0=π/T1. Так
как амплитуда пульсаций мала (|R0/R(t)|�0), то
граничное условие на подвижной границе (4) для
закона роста радиуса (24) принимает вид
∂Φ
∂r
= VR(t) = V0 + V1 cos ω0(t − tm)
при r = R(t) = R0 + V0t.
(25)
С учетом последнего соотношения давление на
стенке полости (22) определим как
P̄R(t) = P̄R1(t) + P̄R2(t), (26)
P̄R1(t) =
3M2
0
1 + 2M0
×
×
[
1 − 1 − M0
3M0
(1 + t̄)−(1+1/(2M0))
]
,
(27)
А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 12 – 18
P̄R2(t) = M1
[
cos ω̄0(t − tm)−
−1 − M0
2M0
(1 + t̄)−(1+1/(2M0))I(t)
]
,
I(t) =
t̄∫
0
cos ω̄0(t − tm)(1 + t̄)1/(2M0)dt̄,
(28)
где M0 =V0/c0; M1 =V1/c0; t̄=V0t/R0;
ω̄0=ω0R0/V0. Как видно из формул (26) – (28),
первая составляющая давления P̄R1 совпадает
с выражением для давления при постоянной
скорости расширения полости [16], а вторая P̄R2
отражает влияние пульсаций малой амплитуды.
Заметим, что принцип суперпозиции даже в этом
случае не выполняется.
Обозначим через A11 и A12 амплитуды импуль-
сов давления на стенке канала, а через A21, A22 –
амплитуды соответствующих импульсов в точке
волновой зоны. На основании выражений (26) –
(28) получим
A11 = P̄R(0) = P̄R1(0) + P̄R2(0) = M0 + M1,
A12 = P̄R(T1 + 0) − PR(T1 − 0) =
= P̄R1(T1) + P̄R2(T1),
(29)
где T1 – период;
PR2(T1) = PR2(T1 + 0)PR2(T1 − 0) =
= M1
[
2 − 1 − M0
2M0
(1 + T̄1)
−(1+1/(2M0))I(T̄1)
]
.
Так как в нашем случае T̄1�1, то
P̄R1(T1) ≈
3M2
0
1 + 2M0
,
P̄R2(T1) ≈ 2M1 − M1
1 − M0
2M0
1
T̄ 2
1
,
Таким образом, окончательно
A12 ≈ 2M1. (30)
Обозначив отношение амплитуд на стенке по-
лости как K1 =A11/A12, а для волновой зоны как
K2=A21/A22, из соотношения (23) получим
K2 ≈ K1(1 + T̄1)
−1/2, (31)
где T̄1 =T1V0/R0; K1≈ (M0+M1)/(2M1). Как ви-
дно из формулы (31) отношение амплитуд им-
пульсов давления в точке волновой зоны всегда
больше, чем отношение соответствующих ампли-
туд импульсов на стенке канала. Если K1>1, но
(1+T̄1)
1/2>1/K1, то K2 >1. Заметим, что этот ре-
зультат совпадает с выводами [11,12].
Соотношение для функций давления (23) позво-
ляет получить еще одно интересное заключение.
Так, с учетом граничного условия (25) из выраже-
ния (23) имеем
PR(t) =
[
r
R(0)
]1/2Pr
(
t(1 − M0)
)
(1 + t̄)1/2
.
Полагая в полученном соотношении t=T1, полу-
чаем соотношение периодов пульсаций в волновой
зоне T̄1 и на стенке канала T̄2:
T̄2 ≈ T̄1(1 − M0). (32)
Формула (32) свидетельствует о том, что период
следования импульсов давления в волновой зоне
уменьшается, а частота пульсаций давления уве-
личивается, по сравнению с частотой пульсаций
давления на стенке канала. Этот результат нахо-
дится в полном соответствии с эффектом Доплера.
На рисунке приведена графическая иллюстра-
ция решения задачи (23) – (32) при M0=3M1=0.1;
T1 =8. Тогда K1=2; K2 =2/3; T̄2 =0.9; T̄1 =7.2.
4. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ РАЗ-
ЛИЧНЫХ ПОДХОДОВ
Переходя к сравнительному анализу результа-
тов настоящей работы и работы [9], отметим, что
полное количественное их сравнение затруднено
из-за существенного различия в подходах к реше-
нию внешней гидродинамической задачи и в пред-
ставлениях закона расширения канала R(t). Так,
в настоящей работе кинематика канала представ-
лена в виде суммы линейного расширения и пуль-
саций малой амплитуды (см. выражение (24)), а
в [9] принят более сложный вид:
R(t)(R0 + [A(tH(t) + A((t − t1)H(t − t1)]
1/2,
где A0, A1, t1 – постоянные; H(t) – единичная
функция Хевисайда. Несмотря на различие пред-
ставлений R(t), в данном случае оба они дают вре-
менную зависимость, близкую к линейной.
Решение внешней гидродинамической задачи в
настоящей работе было основано на следующих
допущениях: граничное условие задается на гра-
нице, движущейся с постоянной скоростью ввиду
близости закона к линейному, а решение волново-
го уравнения находится приближенно в виде выра-
жения (21). Это позволило получить сведения о со-
отношениях амплитуд импульсов давления в виде
16 А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 12 – 18
t
0 T1 2T1
R
1
t
0 T1 2T1
VR
Mo+M1
M0-M1
а б
t
0 T1 2T1
PR
A11
A12
t
0 T1 2T1
Pr
T2 T2
A22
A21
в г
Рисунок. Кинематические и динамические характеристики разряда
простых соотношений (29) – (31). Их анализ объяс-
няет выводы работ [9] и [11,12] как соответствую-
щие разным кинематическим характеристикам ка-
нала.
Решение внешней гидродинамической задачи
в [9] основывалось на некорректном распростра-
нении использования точного решения волново-
го уравнения вида (18) для нулевого начального
радиуса цилиндрического канала на случай, ко-
гда начальный радиус не равен нулю. Кроме того,
решение вида (18) и его разновидность, описан-
ная в [9], становятся бесконечными в момент t=0.
Это, кстати, вынудило авторов работы [9] выбрать
за начальный момент времени его некоторое не-
нулевое значение, что внесло неопределенность в
процедуру нахождения амплитуд импульсов дав-
ления.
Подытоживая сказанное, заметим, что, вслед-
ствие приближенного характера решений задачи,
представленных как в [9], так и в [11,12], получен-
ные в этих работах гидродинамические характери-
стики также являются некоторыми приближения-
ми. Кроме того, результаты работ [9] и [11, 12] не
противоречат друг другу, поскольку соответству-
ют различным соотношениям кинематических па-
раметров канала. Аналитическое решение, полу-
ченное в [11, 12], отражает эффект Доплера. Ре-
зультаты же статьи [9], использующие численный
анализ, не выявили этот эффект, поскольку в рас-
смотренном случае он проявляется слабо.
А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 12 – 18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Кратко сформулируем основные результаты и
выводы по работе.
1. Выполнена постановка начально-краевой за-
дачи с подвижной цилиндрической границей
контакта, являющейся математической моде-
лью внешней гидродинамической задачи элек-
трического разряда в жидкости для закона
ввода в канал энергии в виде последователь-
ности импульсов. При этом кинематическое
граничное условие в виде разрывной функ-
ции скорости расширения канала задавалось
на подвижной границе, движущейся с посто-
янной скоростью.
2. В рамках приближенного описания цилиндри-
ческих волн методом нелинейного преобразо-
вания времени получено аналитическое реше-
ние поставленной задачи. Получены соотно-
шения между кинематикой канала и функ-
циями давления на его стенке, а также в вол-
новой зоне в явном виде. Это позволило прове-
сти качественный анализ гидродинамических
процессов без выполнения численных расче-
тных процедур.
3. Корректность модели дополнительно под-
тверждается тем, что в системе обнаружен
эффект Доплера. В данном случае он заклю-
чается в уменьшении периода следования им-
пульсов давления в фиксированной точке вол-
новой зоны, по сравнению с периодом следо-
вания импульсов на границе канала.
4. Функции давления на стенке канала и вол-
новой зоне получены в виде последовательно-
стей импульсов. Определены условия, при ко-
торых убывание амплитуд импульсов на кон-
тактной границе приводит к росту амплитуд
в волновой зоне.
5. Полученные теоретические результаты иллю-
стрируют новые возможности управления ги-
дродинамическими характеристиками канала
электрического разряда в жидкости.
1. Наугольных К. А. Электрические разряды в воде.–
М.: Наука, 1971.– 155 с.
2. Поздеев В. А. Прикладная гидродинамика элек-
трического разряда в жидкости.– K.: Наук. думка,
1980.– 192 с.
3. Бескаравайный Н. М., Дыхта В. В., Кова-
лев В. Г., Тульский В. В. Прикладная гидроди-
намика электровзрыва.– K.: Наук. думка, 1992.–
200 с.
4. Иванов А. В., Вовченко А. И., Богаченко С. А.
О возможности управления электрическими и ги-
дродинамическими процессами подводных искро-
вых разрядов // Техн. электродинам.– 1983.– N 6.–
С. 15–20.
5. Вовченко А. И. Исследование характеристик по-
дводного искрового разряда при параметрическом
изменении электрических характеристик разря-
дной цепи // Техн. электродинам.– 1983.– N 1.–
С. 13–16.
6. Вовченко А. И. и др. Взрывные процессы превра-
щения электрической и химической энергий.– K.:
Наук. думка, 1987.– 128 с.
7. Вовченко А. И., Поздеев В. А., Штомпель И. А.
Параметры подводного электрического разря-
да в условиях сложного энерговвода // Техн.
электродинам.– 1985.– N 3.– С. 16–19.
8. Бескаравайный Н. М., Поздеев В. А. Волновые
задачи о расширении полости в жидкости с уче-
том конечности перемещения границ // Физико-
механические процессы при высоковольтном ра-
зряде в жидкости.– K.: Наук. думка, 1980.– С. 88–
97.
9. Крутиков В. С., Лопатнев А. Г. Особенности ги-
дродинамических характеристик импульсных про-
цессов в сжимаемой среде при многократном
(пульсирующем) законе ввода энергии // Письма
в ЖТФ.– 1999.– 25, N 14.– С. 34–41.
10. Крутиков В. С. О границах применимости ре-
шений волнового уравнения в областях с подви-
жными проницаемыми границами в задачах им-
пульсной гидродинамики и акустики // Акуст. ж.–
1996.– 42, N 4.– С. 534–540.
11. Vovchenko A. I., Kovalev V. G., Pozdeev V. A.
Behavioural peculiarities of complex input // Final
prog. and abstr. of 11-th Int. Pulsed Power Conf.–
Baltimore, Maryland, USA.– 1997.– P. 429.
12. Вовченко А. И., Ковалев В. Г., Поздеев В. А. Осо-
бенности гидродинамических характеристик высо-
ковольтного электрического разряда в жидкости
при двухимпульсном законе ввода мощности //
Письма в ЖТФ.– 1997.– 23, N 9.– С. 58–61.
13. Поздеев В. А. Влияние подвижности возмущаю-
щей границы и нелинейности среды на волновое
поле, вызванное нестационарным движением пло-
ского поршня // Акуст. ж.– 1995.– 41, N 1.– С. 162–
165.
14. Слепян Л. И. Об уравнениях динамики осесимме-
тричной полости в идеальной сжимаемой жидко-
сти // Докл. АН СССР.– 1985.– 282, N 4.– С. 809–
813.
15. Тюлин В. Н. Введение в теорию излучения и рас-
сеяния звука.– М.: Наука, 1976.– 256 с.
16. Поздеев В. А. Нестационарные волновые поля в
областях с подвижными границами.– К.: Наук.
думка, 1992.– 244 с.
17. Поздеев В. А. Метод нелинейного преобразования
времени в краевых задачах теории потенциала с
подвижными границами для линейного волнового
уравнения // ПММ.– 1991.– N 6.– С. 1055–1058.
18 А. И. Вовченко, В. Г. Ковалев, В. А. Поздеев
|