Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред

Решения параболического уравнения дифракции для ультразвуковых пучков волн, излучаемых преобразователями с аподизированной апертурой, использованы для оценки доплеровских спектров и определения их ширины при зондировании биологических сред нефокусированными, фокусированными и импульсными волнами. По...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2004
1. Verfasser:	Баранник, Е.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2004
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/945
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред / Е. А. Баранник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 2. — С. 3-24. — Бібліогр.: 44 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-945
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-9452008-10-15T19:15:51Z Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред Баранник, Е.А. Решения параболического уравнения дифракции для ультразвуковых пучков волн, излучаемых преобразователями с аподизированной апертурой, использованы для оценки доплеровских спектров и определения их ширины при зондировании биологических сред нефокусированными, фокусированными и импульсными волнами. Показано, что при импульсном излучении ширина спектров от линии тока неинвариантна по отношению к глубине зондирования и зависит от взаимного расположения измерительного объема и реального фокуса. Доказана зависимость модальной доплеровской частоты от положения линии тока в измерительном объеме. Найдены спектры доплеровских сигналов для аксиально-симметричных потоков с различным профилем скоростей. Развитая теория обобщена на случай пространственно неоднородного движения, что дает возможность оптимизации методов ультразвуковой доплеровской эхоскопии. Рішення параболічного рівняння дифракції для ультразвукових пучків хвиль, що випромінюються перетворювачами з аподизованою апертурою, використані для оцінки допплерівських спектрів і винайдення їх ширини при зондуванні біологічних середовищ нефокусованими, фокусованими та імпульсними хвилями. Показано, що при імпульсному випромінюванні ширина спектру від лінії току неінваріантна по відношенню до глибини зондування і залежить від взаємного розташування вимірювального об'єму і реального фокуса. Доказана залежність модальної допплерівської частоти від розташування лінії току у вимірювальному об'ємі. Винайдені спектри допплерівських сигналів для аксіально-симетричних потоків з різним профілем швидкості. Теорія, що розвинена, узагальнена на випадок просторово неоднорідного руху, що дає можливість оптимізації методів ультразвукової допплерівської ехоскопії. The closed solutions of parabolic diffraction equation for ultrasound wave beams irradiating by transducers with apodized apertures are used for estimation of Doppler spectra and evaluation of their bandwidth under nonfocused, focused and pulsed probing of biological media. It has been shown that under pulsed irradiation the Doppler spectrum from the flow-line is not invariant with sounding depths and depends on the positional relationship of the sample volume and the real focal point. The spectra of Doppler signals from axially-symmetrical flows with different velocity profiles were established. The developed theory is generalized on the case of spatially nonuniform movement that gives the possibility to optimize the methods of ultrasound Doppler echoscopy. 2004 Article Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред / Е. А. Баранник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 2. — С. 3-24. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/945 534.6.615,471:616-073.4-8:389 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Решения параболического уравнения дифракции для ультразвуковых пучков волн, излучаемых преобразователями с аподизированной апертурой, использованы для оценки доплеровских спектров и определения их ширины при зондировании биологических сред нефокусированными, фокусированными и импульсными волнами. Показано, что при импульсном излучении ширина спектров от линии тока неинвариантна по отношению к глубине зондирования и зависит от взаимного расположения измерительного объема и реального фокуса. Доказана зависимость модальной доплеровской частоты от положения линии тока в измерительном объеме. Найдены спектры доплеровских сигналов для аксиально-симметричных потоков с различным профилем скоростей. Развитая теория обобщена на случай пространственно неоднородного движения, что дает возможность оптимизации методов ультразвуковой доплеровской эхоскопии.
format	Article
author	Баранник, Е.А.
spellingShingle	Баранник, Е.А. Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред
author_facet	Баранник, Е.А.
author_sort	Баранник, Е.А.
title	Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред
title_short	Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред
title_full	Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред
title_fullStr	Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред
title_full_unstemmed	Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред
title_sort	локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2004
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/945
citation_txt	Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред / Е. А. Баранник // Акуст. вісн. — 2004. — Т. 7, N 2. — С. 3-24. — Бібліогр.: 44 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT barannikea lokalʹnyeéffektyformirovaniâulʹtrazvukovogodoplerovskogootklikabiologičeskihsred
first_indexed	2025-07-02T05:11:48Z
last_indexed	2025-07-02T05:11:48Z
_version_	1836510723224633344
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 УДК 534.6.615,471:616-073.4-8:389 ЛОКАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ УЛЬТРАЗВУКОВОГО ДОПЛЕРОВСКОГО ОТКЛИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД Е. А. Б А РА Н Н И К Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина Получено 20.11.2003 Решения параболического уравнения дифракции для ультразвуковых пучков волн, излучаемых преобразователя- ми с аподизированной апертурой, использованы для оценки доплеровских спектров и определения их ширины при зондировании биологических сред нефокусированными, фокусированными и импульсными волнами. Показано, что при импульсном излучении ширина спектров от линии тока неинвариантна по отношению к глубине зондирования и зависит от взаимного расположения измерительного объема и реального фокуса. Доказана зависимость модальной доплеровской частоты от положения линии тока в измерительном объеме. Найдены спектры доплеровских сигналов для аксиально-симметричных потоков с различным профилем скоростей. Развитая теория обобщена на случай про- странственно неоднородного движения, что дает возможность оптимизации методов ультразвуковой доплеровской эхоскопии. Рiшення параболiчного рiвняння дифракцiї для ультразвукових пучкiв хвиль, що випромiнюються перетворювачами з аподизованою апертурою, використанi для оцiнки допплерiвських спектрiв i винайдення їх ширини при зондуван- нi бiологiчних середовищ нефокусованими, фокусованими та iмпульсними хвилями. Показано, що при iмпульсному випромiнюваннi ширина спектру вiд лiнiї току неiнварiантна по вiдношенню до глибини зондування i залежить вiд взаємного розташування вимiрювального об’єму i реального фокуса. Доказана залежнiсть модальної доппле- рiвської частоти вiд розташування лiнiї току у вимiрювальному об’ємi. Винайденi спектри допплерiвських сигналiв для аксiально-симетричних потокiв з рiзним профiлем швидкостi. Теорiя, що розвинена, узагальнена на випадок просторово неоднорiдного руху, що дає можливiсть оптимiзацiї методiв ультразвукової допплерiвської ехоскопiї. The closed solutions of parabolic diffraction equation for ultrasound wave beams irradiating by transducers with apodized apertures are used for estimation of Doppler spectra and evaluation of their bandwidth under nonfocused, focused and pulsed probing of biological media. It has been shown that under pulsed irradiation the Doppler spectrum from the flow- line is not invariant with sounding depths and depends on the positional relationship of the sample volume and the real focal point. The spectra of Doppler signals from axially-symmetrical flows with different velocity profiles were established. The developed theory is generalized on the case of spatially nonuniform movement that gives the possibility to optimize the methods of ultrasound Doppler echoscopy. ВВЕДЕНИЕ Как известно, ультразвуковые доплеровские ме- тоды служат эффективным средством неинвазив- ного исследования характеристик движения тка- ней в организме человека и широко применяются в кардиологии и сосудистой диагностике [1,2]. В их основе лежит регистрация частоты доплеровского сдвига волн, рассеянных подвижными неодноро- дностями исследуемой среды. С точки зрения то- чности измерения параметров движения (скоро- сти ~V и ее градиентов в заданной области) спе- ктральные свойства доплеровского отклика явля- ются определяющими для всех ультразвуковых доплеровских методик [1 – 3]. Они зависят не толь- ко от физических свойств исследуемой биологиче- ской среды [1, 4], но и от характеристик ультра- звуковых полей, применяемых для зондирования. В частности, помимо градиентов скорости движе- ния, к факторам, определяющим ширину допле- ровского спектра, относятся ограниченные разме- ры реальных пучков волн, дифракционная кри- визна их волновых фронтов и величина форми- руемого пучками измерительного объема. Необхо- димо подчеркнуть, что все перечисленные факто- ры с физической точки зрения оказываются след- ствием неопределенности волновых векторов ре- альных ультразвуковых полей. На это впервые указано в работе [5]. В соответствии с принци- пом дополнительности, общим для всех волновых процессов, спектральное уширение доплеровско- го отклика является платой за улучшенную про- странственную разрешающую способность, необ- ходимую для медицинской эхоскопии. Исторически сложилось деление спектрально- го уширения доплеровского отклика на две ча- сти – времяпролетную [6,7] и геометрическую [8,9]. Первая из них связана с локальной ограниченно- стью участка траектории рассеивающей неодноро- дности при прохождении ею измерительного объе- ма, что приводит к амплитудной модуляции до- плеровского отклика и соответствующему время- пролетному уширению спектра. Под геометриче- ской частью ширины спектра с центральной ча- стотой ωd = 2kV cos θ понимают составляющую, обусловленную изменением угла θ между направ- c© Е. А. Баранник, 2004 3 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 Рис. 1. Взаимное расположение поля преобразователя и линий тока в области движения среды R: 1 – поверхности равной фазы, 2 – поверхности равной амплитуды лением движения и направлением волнового ве- ктора ~k. Как показано на рис. 1, оно зависит от локальной кривизны волновых фронтов. Волно- вой вектор нормален к поверхностям равной фа- зы, поэтому отклонение волн от плоских приводит к уширению спектра из-за частотной модуляции доплеровского отклика. Частично указанное деление появилось в ре- зультате определенных трудностей корректного описания дифракции ультразвуковых пучков волн в широком диапазоне глубин, который использу- ется в медицинских приложениях и включает в себя ближнюю зону излучения. Часть теоретиче- ских работ [10 –14], в том числе и анализ спе- ктров при фокусировании прямоугольной аперту- рой [11], выполнена с использованием параксиаль- ного приближения для ультразвуковых полей в дальней (фраунгоферовой) зоне излучения. Наи- более общий результат для доплеровского спе- ктра линии тока, полученный в этом приближе- нии [12 – 14], установил линейную связь между ши- риной спектра и геометрическими параметрами преобразователя: Bd = 2kV W F sin θ. (1) Здесь W – апертура круглого ультразвукового преобразователя; F – фокусное расстояние. Для случая непрерывного излучения волн была сфор- мулирована гипотеза об инвариантности шири- ны спектра при различных положениях линии то- ка, проходящей через ось коаксиальных фокуси- рованных пучков падающих и отраженных волн. Для эхо-импульсных систем такая инвариантность была продемонстрирована экспериментально при больших углах зондирования [15]. Заметим, что приведенные результаты получе- ны в рамках простой физической модели дискре- тных рассеивателей ультразвука. Кроме того, для медицинских приложений важны не столько спе- ктры от линий тока жидкости (например, крови), сколько полные спектры доплеровского отклика, непосредственно определяющие точность оценки параметров исследуемых движений среды. Нако- нец, необходимо оценить относительные вклады различных физических факторов в доплеровские спектры и применимость полученных результатов в ближней зоне излучения. С этой целью предло- жен [16 – 20] и развит [21 – 24] подход, основанный на модели неоднородного континуума и использу- ющий известные точные решения параболического уравнения дифракции [25,26].Принимая во внима- ние известную связь между параболическим урав- нением дифракции и классическим параксиаль- ным приближением в акустике [27], можно утвер- ждать, что получаемые этим способом оценки до- стоверны в пределах своей применимости и имеют ряд практических преимуществ. В данной рабо- те излагаются основные результаты, полученные в рамках такого подхода, и вытекающие из них реко- мендации по оптимизации доплеровских методов. 1. ДОПЛЕРОВСКАЯ ЭХОСКОПИЯ И ОБРА- ТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ Как отмечено в [28, 29], теоретические и пра- ктические задачи акустической интроскопии са- мым непосредственным образом связаны с раз- личными решениями обратной задачи рассеяния (ОЗР) [30]. По сути, ОЗР является задачей удален- ного зондирования. Это важно для большинства практических приложений, включая томографи- ческие [31 – 34], в которых рассеянное поле изме- ряется в некоторой области Y , удаленной от ис- следуемой области R (рис. 2). Определяемые пара- метры исследуемой среды могут быть весьма раз- личными по физическому содержанию (это зави- сит исключительно от характера взаимодействия волн со средой и полноты его учета). В линейном приближении развитые подходы к решению ОЗР 4 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 и вытекающие из них методы ультразвуковой ин- троскопии позволяют идентифицировать неодно- родности плотности и сжимаемости среды. Однако если под рассеянным понимать также поле волн, обусловленных нелинейным взаимодействием уль- тразвука со средой, то к числу определяемых па- раметров добавляется коэффициент нелинейности среды [28]. Распространение звуковых волн в несопротив- ляющейся сдвигу сжимаемой среде описывается одним уравнением, вытекающим из закона сохра- нения массы, уравнения Эйлера и уравнения тер- модинамического состояния [35]. В неоднородной среде уравнение для акустического давления име- ет вид [30] ∆P (~r, t)− 1 c2(~r) ∂2 ∂t2 P (~r, t) = = F (~r, t) + ∇ρ(~r) ρ(~r) [ ∇P (~r, t) + ~f(~r, t) ] , (2) где ρ(~r) – локальное равновесное значение плот- ности среды; c(~r) – локальная равновесная фа- зовая скорость звука; ~f(~r, t) – внешняя сила; F (~r, t)=−∇ ~f(~r, t) – функция источников перви- чных волн. Внешняя сила является источником первичного поля PX(~r), разное задание которо- го соответствует облучению различными способа- ми – с изменением частоты, ракурса и т. д. Без ограничения общности можно опустить в выраже- нии (2) слагаемое, пропорциональное ~f(~r, t), по- скольку область R ограничена и не пересекается ни с областью Y , ни и с областью локализации источников X. Для описания двух типов акустических неодно- родностей [30], связанных с флуктуациями плот- ности и сжимаемости среды, локальную скорость распространения ультразвуковых волн выража- ют через функцию сжимаемости β(~r), выделяя в явном виде флуктуации плотности и сжимаемо- сти на фоне их постоянных составляющих ρ0 и β0 [1, 36]: ρ̃(~r) = [ρ(~r) − ρ0] ρ −1(~r), β̃(~r) = [β(~r) − β0]β0 −1. Некоторая несимметричность определения функ- ций ρ̃(~r) и β̃(~r) позволяет перейти к дифферен- циальному уравнению с наиболее простой правой Рис. 2. Общая схема ОЗР [30]: взаимное расположение в объеме Ω источников первичного поля X , исследуемой среды R и области наблюдения Y частью: ∆P (~r, t) − 1 c02 ∂2 ∂t2 P (~r, t) = 1 c02 β̃(~r) ∂2 ∂t2 P (~r, t)+ +∇ [ρ̃(~r)∇P (~r, t)] + F (~r, t), (3) где β0 =(ρ0c0 2)−1 – равновесная сжимаемость в отсутствии неоднородностей. В случае гармониче- ских волн решение уравнения (3) дается формулой Кирхгофа [37]: P (~r)=PX(~r)+ ∫ R G(~r−~r′)× × { −k2β̃(~r′)PR(~r′)+∇′[ρ̃(~r′)∇′PR(~r′)] } d~r′+ + ∫ S [P (~r′)∇′G(~r−~r′)−G(~r−~r′)∇′P (~r′)]d~S′. (4) Здесь PR(~r) – акустическое поле в обла- сти локализации неоднородностей R; G(~r)=− exp(ikr)/(4πr) – функция Грина сво- бодного трехмерного пространства; S и ~n – ограничивающая объем Ω поверхность и ее вне- шняя нормаль (см. рис. 2). При неограниченном увеличении объема поверхность S удаляется Е. А. Баранник 5 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 на бесконечность, где все акустические поля расходятся сферически, поэтому поверхностный интеграл оказывается строго равным нулю. Заметим, что вклад поверхностных интегралов является главным, если стоит задача идентифи- кации ограниченных рассеивателей произвольной формы [30]. Вычисление поверхностных интегра- лов важно при использовании различных методов акустической голографии [38]. Большинство работ по исследованию прикла- дных ОЗР посвящено их решению в приближени- ях однократного рассеяния Борна или плавных во- змущений Рытова [30, 34]. Этим условиям хорошо удовлетворяют неоднородности в мягких биологи- ческих тканях и жидкостях, являющиеся слабыми рассеивателями [1,4]. После интегрирования по ча- стям второго слагаемого в подынтегральном выра- жении уравнения (4) и учитывая принцип взаим- ности, приходим к выражению для регистрируе- мого ультразвукового отклика среды в приближе- нии Борна [1, 36]: es(t) = e−iωt ∫ R { −k2β̃(~r′, t)PX(~r′)Pr(~r ′)− −ρ̃(~r′, t)∇′PX(~r′)∇′Pr(~r ′) } d~r′. (5) В соответствии с принципом взаимности [35, 36] фигурирующая здесь функция чувствительности принимающей системы Pr(~r) с точностью до ра- змерного множителя совпадает с ее полем излуче- ния. В результате доплеровский отклик, получа- ющийся после демодуляции сигнала отклика (5), имеет вид [1] ed(t) = k2 ∫ R e2i(~k~r+ϕ)G′(~r)× × { β̃(~r, t) − ρ̃(~r, t)γ(~r) } d3r, (6) где ~k=(~kr+~kt)/2 – волновой вектор функции ра- спределения чувствительности по полю G′(~r) в приближении плоских волн; ϕ=(ϕt+ϕr)/2 – по- стоянная фаза. Функция чувствительности G′(~r) представляет собой произведение амплитуды па- дающих волн G′ t(~r) и функции чувствительности к рассеянным волнам G′ r(~r) с учетом отклонения истинных фаз Φt(~r) и Φr(~r) этих комплексных ве- личин от фазы плоских волн: G′ t,r(~r) = Gt,r(~r)e iΦ′ t,r(~r) = = Gt,r(~r)e iΦt,r−i(~kt,r~r+ϕt,r) (7) (Gt,r(~r) – действительные функции). Наконец, без- размерный параметр γ(~r) = (~kt + ~αt)(~kr + ~αr)k −2, (8) ~αt,r = ~∇Φ′ t,r(~r) − iG−1 t,r (~r) ~∇Gt,r(~r), (9) в подынтегральном выражении формулы (6) отли- чается от единицы малыми добавками, обуслов- ленными дифракционной расходимостью пучков волн и искривлением волновых фронтов. Отметим, что выражение (6) представляет собой доплеровский отклик в случае, когда отражение формируется не дискретными рассеивателями, а флуктуациями плотности и сжимаемости среды (континуальная модель). Для определения спе- ктров отклика при отражении ультразвука совоку- пностью дискретных рассеивателей с малыми ра- змерами достаточно просуммировать вклады ка- ждого из них и задать закон движения при по- мощи аргумента ~r−~V t в δ-функциях, описываю- щих пространственное распределение рассеивате- лей. После этого вычисление спектров сводится к прямому преобразованию Фурье выражения (6). Дискретная модель в принципе пригодна также для описания движущихся поверхностей структур сердца, пульсирующих стенок кровеносных сосу- дов и т. п. Для описания же полного спектра мощ- ности доплеровского сигнала при движении крови или мягких тканей можно воспользоваться извест- ной связью спектров с Фурье-образом автокорре- ляционной функции e∗d(t)ed(t+τ ). Подставляя в это выражение соотношение (6), заменяя усредне- ние по времени усреднением по статистическому ансамблю и полагая, что рассеиватели ультразву- ка взаимодействуют лишь с ближайшими соседя- ми, для спектра мощности от линии тока находим S(ω, y, z) = = k4vV { 〈β̃2〉 ∣ ∣TF [e2ikV t cos θG′(V t, y, z)] ∣ ∣ 2− −2〈β̃ρ̃〉Re { TF [e2ikV t cos θG′(V t, y, z)]× ×TF ∗[e2ikV t cos θγ(V t, y, z)G′(V t, y, z)] } + +〈ρ̃2〉 ∣ ∣TF [e2ikVt cos θγ(V t, y, z)× ×G′(V t, y, z)] ∣ ∣ 2 } . (10) Здесь TF [f(t)] – Фурье-образ функции f(t); v – по- стоянная, определяющая радиус корреляции рас- 6 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 сеивающих неоднородностей (она имеет размер- ность м3 и по порядку величины равна их объе- му); 〈ρ̃2〉 – среднеквадратическая по ансамблю ве- личина флуктуаций плотности среды (по анало- гии введены также 〈β̃2〉 и 〈β̃ρ̃〉). В выражении (10), описывающем физическую модель биологической среды в виде неоднородного континуума, под хара- ктерной величиной v для крови можно понимать объем эритроцита, хотя возможна агрегация таких клеток, изменяющаяся со временем в течение кар- диоцикла и определяющая радиус корреляции [1]. В частности, случайные пульсации скорости в тур- булентных потоках крови увеличивают диапазон концентраций элементов среды и радиусов корре- ляции. 2. ДОПЛЕРОВСКИЕ СПЕКТРЫ ПРИ НЕ- ПРЕРЫВНОМ ИЗЛУЧЕНИИ УЛЬТРАЗВУ- КОВЫХ ВОЛН 2.1. Составляющая спектра от линии тока Для получения одноэлементных ультразвуко- вых преобразователей с амплитудно-частотной ха- рактеристикой, имеющей выраженный резонанс на частоте излучения, жесткое закрепление актив- ного пьезоэлемента производят только по крае- вой области [27]. Поэтому амплитуда колебаний на рабочей поверхности реальных преобразовате- лей спадает по мере приближения к краю пье- зоэлемента и хорошо аппроксимируется гауссовой кривой. Для многоэлементных преобразователей с электронным фазированием с целью подавле- ния боковых лепестков функции чувствительно- сти и получения более гладкого распределения поля вдоль акустической оси в последнее время обычно применяют апертурную аподизацию [27]. Поэтому при вычислении спектров доплеровско- го отклика целесообразно использовать известное решение параболического уравнения дифракции, полученное для пучков волн с гауссовым профи- лем амплитуды колебаний на излучающей поверх- ности [25, 26]: Gt(~r) = P0 √ 1 + x′2/l2F × × exp { −y ′2 + z′2 α2b2 1 1 + x′2/l2F } , Φ′ t(~r) = y′2 + z′2 α2b2 x/lF 1 + x′2/l2F − arctg x′ lF . (11) Здесь “штрихованная” система координат связана с преобразователем (см. рис. 1); P0 – амплитуда волн в центре излучающей поверхности; α≤1 – постоянный коэффициент, связывающий ширину начального гауссовского распределения с радиу- сом физической апертуры b и определяющий ее эффективную величину W =2a=2αb (lF =πa2/λ – длина зоны Френеля). В рассматриваемом случае Φ′ r(~r)=Φ′ t(~r), ~kr =~kt =~k, а функция Gr(~r) равна Gt(~r) с точностью до постоянного размерного мно- жителя. Для гауссовых пучков волн (11) каждый из фи- гурирующих в формуле (10) Фурье-образов мож- но вычислить, используя методы асимптотиче- ской оценки интегралов и, в частности, метод пе- ревала [39]. Большим параметром, обусловлива- ющим применимость метода, является величина l2F /a 2�1, поскольку отношение радиуса к длине волны всегда составляет a/λ≥10. Тогда TF [e2ikVt cos θG′(V t, y, z)] = = A V +∞ ∫ −∞ ψ(w)ef(w) l2F /a2 dw ≈ ≈ A V a lF ef(w0) l2F /a2 √ 2π \|f ′′(w0)\| ψ(w0)e iθ, (12) где A – постоянная, с точностью до размерного множителя пропорциональная P0. Функции ком- плексного переменного ψ(w) и f(w) имеют вид ψ(w) = l2F l2F + x′2(w, y) , (13) f(w) = 2 { y′2(w, y) + z2 l2F + x′2(w, y) [ −1 + i x′(w, y) lF ] − −ia 2 l2F arctg x′(w, y) lF − 2iΩ cos θ w lF } , (14) Ω = ω ωd − 1 = ω 2kV cos θ − 1. Величина w0 в выражении (12) является кор- нем уравнения f ′(w)=0, а угол θ определяет ли- нию наибольшего ската Im f(w)=const в плоско- сти комплексного переменного w, проходящую че- рез точку перевала w0. Оценка всех Фурье-образов в формуле (10) проводится аналогично, поэтому в результате получаем S(ω, y, z) = = 2π ( Ak2 a lF )2 v V e2Re f(w0) l2F /a2 \|ψ(w0)\|2 \|f ′′(w0)\| × × { 〈β̃2〉 − 2〈β̃ρ̃〉Re γ(w0) + 〈ρ̃2〉\|γ(w0)\|2 } . (15) Е. А. Баранник 7 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 Решения уравнения для определения точки пере- вала w0 1 X′2 + 1 [ (Y ′2 + Z2) X′ + i X′ − i + α2B2 ] cos θ− −2Y ′ X′ + i X′2 + 1 sin θ + 2Ω cos θ = 0, (16) записанного в безразмерных переменных X′ =x′/lF , Y ′=y′/lF , Z=z/lF , αB=a/lF , в общем случае неизвестны. Однако задача сильно упрощается для области частот \|Ω cos θ\|�1 вбли- зи центральной доплеровской частоты ωd спектра мощности от линии тока. Такое ограничение не является очень жестким. В самом деле, как будет показано ниже, наибольший вклад в низкочасто- тную часть полного спектра вносят не “хвосты” быстроспадающих функций S(ω, y, z), а те части области R, в которых движение среды характе- ризуется малыми скоростями и соответственно малыми центральными частотами спектров линий тока. Для не слишком протяженных в направле- нии оси Oz областей R справедливо неравенство \|Z\|�1. Тогда искомое решение удовлетворяет неравенству \|Y ′\|�1. Действительно, удерживая в выражении (16) члены первого порядка малости, находим Y ′ = ( L0 − 1 sin θ Y − i ) Ω cos θ sin θ , (17) где L0 = l0/lF – безразмерное расстояние до начала системы координат (x, y, z) в области R. В соответ- ствии с соотношением (17) неравенство \|Y ′\|�1 выполняется, по крайней мере, для не слишком малых углов θ. В результате из формулы (17) по- лучаем w0 = −y cos θ sin θ + ( l0 − y sin θ − ilF ) Ω cos θ sin2 θ . (18) В то же время, из соотношения (14) видно, что величина Re f(w0) квадратична по малым Z, Ω cos θ и B. Следовательно, показатель экспонен- ты в выражении (15) с учетом множителя B−2 имеет в рассматриваемом приближении нулевой порядок малости. Поэтому при вычислении γ(w0), ψ(w0) и f ′′(w0) малыми дифракционными добав- ками можно пренебречь. В результате находим окончательное выражение для спектра мощности доплеровского сигнала от линии тока [16]: S(ω, y, z) = π 2 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 × ×(Aak2)2 sin2 θ v V l3F [ l2F + (l0 − y/ sin θ) 2 ]3/2 × × exp { −4l2F a2 ctg 2θ× × [ Ω2 + z2tg 2θ l2F + (l0 − y/ sin θ)2 ]} , (19) которое для дальнейшего анализа удобно записать в виде S(ω, y, z) = S(ωd, y, z)e −Ω2/(2σ0 2), σ0 2 = tg 2θ = a2 8l2F tg 2θ = W 2 32l2F tg 2θ. (20) Функция S(ωd , y, z) определяет только зависи- мость амплитуды доплеровского спектра от по- ложения линии тока относительно зондирующего пучка волн. Из выражения (20) следует, что цен- тральная часть доплеровского спектра линии то- ка, сформированного пучками волн с гауссовым профилем амплитуды колебаний на излучающей и принимающей поверхности, имеет гауссову фор- му с шириной Bd = 4σ0ωd = 2kV W 21/2lF sin θ, (21) не зависящей от глубины залегания линии тока, если линейные размеры рассеивающей области в направлении, перпендикулярном к линии тока и оси пучков волн, существенно меньше длины зоны дифракции. Ширина спектра определяется отно- шением начальной ширины гауссовского распреде- ления амплитуды к длине волны и углом падения волн. Физически этот результат объясняется тем, что увеличение ширины спектра с ростом глуби- ны из-за дифракционного искривления волнового фронта в точности компенсируется уменьшением времяпролетного уширения. При этом глубина за- легания линии тока l0−y/ sin θ влияет лишь на ам- плитуду спектра. 2.2. Полный спектр мощности для аксиально- симметричных течений Выражение (19) существенно упрощается, если размеры области R в направлении оси Oy так- же ограничены длиной зоны дифракции. В 8 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 частности, для аксиально-симметричных потоков V =V (ρ), где ρ= √ y2 + z2≤R� lF , малость попе- речных размеров области R позволяет при вычис- лении полного спектра S(ω) пренебречь зависимо- стью от координаты y и произвести интегрирова- ние по угловой переменной цилиндрических коор- динат (ρ, ϕ) [16]: S(ω) = R ∫ 0 2π ∫ 0 S(ω, ρ, ϕ)ρdρdϕ = = v 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 (πARak2)2 sin2 θ × × l3F (l2F + l02)3/2 1 ∫ 0 1 V (x) I0 ( 2R2 a2 l2F l2F + l02 x ) × × exp { −4l2F a2 ctg 2θ [ Ω2 + x 2 R2tg 2θ l2F + l02 ]} dx. (22) Здесь x=ρ2/R2; I0(x) – цилиндрическая функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка. В общем случае параметром, обрезающим интегри- рование по глубине x′ и соответственно координа- те y, является длина затухания ультразвука. Далее рассмотрим доплеровские спектры для потоков вида V (x)=V0(1−xn/2, где V0 – макси- мальная скорость; n≥2 (n=2 соответствует те- чению Пуазейля). Тогда после очевидной при lF /(αb)�1 замены 1√ π 2lF a exp [ − ( 2lF a ctg θΩ )2 ] → → δ(ctg θΩ) = 1 ctg θ δ(Ω) (23) и интегрирования с δ-функцией находим [16] S(ω) = 2 √ π n 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 a (πARk2)2 ω0 sin θ × × l3F (l2F + l02)3/2 v ( 1 − ω ω0 )1−2/n × ×I0 ( 2R2 a2 l2F l2F + l02 ( 1 − ω ω0 )2/n ) × × exp { −2R2 a2 l2F l2F + l02 ( 1 − ω ω0 )2/n } , (24) где ω0 =2kV0 cos θ – “максимальная” частота до- плеровского сдвига, отвечающая максимальной скорости течения V0. Согласно общему выраже- нию (24) ширина спектра слабо зависит от глуби- ны l0 и при неизменном l0 как функция безразмер- ной переменной ω/ω0 не зависит от угла падения волн. Из формулы (24) следует также, что при сои- змеримых величинах R и a скорость роста спек- тральной плотности мощности по мере приближе- ния частоты к “максимальному” значению ω0 опре- деляется либо острой степенной функцией (при n>2), либо медленно изменяющимся с частотой и конечным при ω=ω0 произведением экспонен- циальной и бесселевой функций (течение Пуазей- ля). Такое отличие спектральных характеристик доплеровского отклика для течения Пуазейля свя- зано с тем, что течения с n>2 характеризуются более наполненными профилями скорости по по- перечному сечению. Лишь малая часть объема на периферии таких течений имеет низкие скорости (рис. 3, а). В предельном случае широких пучков волн R/a→0 общее выражение (24) переходит в форму- лу спектральной мощности доплеровского сигнала S(ω) = 2 √ π 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 a (πARk2)2 ω0 sin θ × × l3F (l2F + l02)3/2 v n ( 1 − ω ω0 )1−2/n , (25) которая отличается от приведенной в [1] только размерным множителем. В соответствии с этим выражением спектр для течения Пуазейля равно- мерен вплоть до “максимальной” частоты. С ростом радиуса потока низкочастотные со- ставляющие спектра уменьшаются из-за части- чной потери мощности сигнала от медленно дви- жущихся краевых областей с большими значения- ми z. В результате слабая зависимость от частоты (для течения Пуазейля) сменяется для более на- полненных профилей более острой степенной зави- симостью с показателем степени 1/n−1. Действи- тельно, подставляя в формулу (24) асимптотику функции Бесселя мнимого аргумента при больших значениях аргумента [40] Iν(x) ≈ ex √ 2πx × × [ q1 − 4ν2 − 1 8x + (4ν2 − 1)(4ν2 − 9) 128x2 − . . . ] и ограничиваясь главным членом разложения, на- Е. А. Баранник 9 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 / R 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V ( ) /V 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n=2 n=4 n=8 / 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 S ( ) 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 n=2 n=4 n=8 а б Рис. 3. Профили скорости потока вида V (ρ) = V0[1 − (ρ/R)n)] при значениях n = 2, 4, 8 (а) и соответствующие им формы нормированных спектров (26) для узких пучков волн (б) ходим [16] S(ω) = 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 R (πAak2)2 ω0 sin θ × × l2F l2F + l02 v n ( 1 − ω ω0 )1−1/n . (26) Спектральные кривые (26) при разных значениях n показаны на рис. 3, б. Отметим, что для области частот ω≥ω0 асим- птотическая оценка интеграла (22) по методу Ла- пласа приводит к экспоненциальному убыванию спектральной плотности мощности S(ω) [16]. На- личие в спектре составляющих с частотой выше “максимальной” является проявлением локальных дифракционных эффектов распространения волн, а именно, конечной ширины спектра линии то- ка с максимальной скоростью. Физически поня- тен также результат, который может быть получен из выражения (22) для “поршневого” потока с по- стоянной по сечению скоростью V0. В этом случае величина Ω в показателе подынтегральной экспо- ненты не зависит от переменной интегрирования. Остающийся интеграл есть некоторая константа, не зависящая от частоты, поэтому спектр мощнос- ти может быть записан как S(ω) = S(ω0)e −Ω2/(2σ0 2), (27) где S(ω0) – амплитудное значение спектра. Легко видеть, что ширина полного спектра тем больше, чем уже начальный пучок волн и соответственно больше его дифракционная расходимость. С рос- том ширины пучка спектр сужается. В частности, приближению геометрической акустики соответ- ствует предельный случай lF /a=πa/λ→∞. Тогда для “поршневого” потока спектр мощности (27) пе- реходит в δ-функцию на частоте ω=ω0. Это со- ответствует классическому рассмотрению эффек- та Доплера для плоских волн [35]. 2.3. Зависимость спектра линии тока от взаим- ной конфигурации падающего и рассеянного пучков волн Для доплеровских методов с использованием не- прерывного излучения, наряду с эффектами ди- фракции, наиболее существенным является влия- ние на спектры конфигурации применяемых уль- тразвуковых пучков волн. Это связано с тем, что изменение, например, угла Φ между осями пада- ющего и отраженного пучков приводит к измене- нию величины образованного ими в области дви- жения R измерительного объема и конфигурации волновых фронтов в нем (рис. 4). Если измери- тельный объем внутри области пересечения уль- тразвуковых пучков выходит за пределы области R, то его границы включают в себя соответствую- щий участок ее границы. Иными словами, изме- рительный объем оказывается локально ограни- ченным не только в поперечном, но и (до неко- торой степени) в продольном направлении. При этом спектр сигнала доплеровского отклика зави- сит от угла Φ и разности l0−f , характеризующей взаимное расположение движущейся среды и точ- ки пересечения f осей падающего и отраженного 10 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 пучков волн. Записывая функцию распределения чувстви- тельности по полю в виде произведения амплиту- ды падающих волн и функции чувствительности преобразователя к рассеянным волнам в прибли- жении параболического уравнения дифракции, не- сложно получить выражения для функций ψ(w) и f(w). Обе эти величины в рассматриваемом слу- чае являются функциями координат ~r′ и ~r′′, при- чем начало отсчета “штрихованной” системы ко- ординат находится в центре излучающего элемен- та преобразователя, а дважды “штрихованной” – в центре принимающего элемента. Безразмерная частотная переменная Ω = ω ωd − 1 = ω 2kV cos θ cos(Φ/2) − 1 определяется в данном случае через частоту до- плеровского сдвига ωd, которая равна нулю при встречном расположении ультразвуковых пучков волн (Φ=π). С целью упрощения выкладок и нахождения аналитических выражений для спектров будем полагать Y ′, Y ′′, Z�1. Тогда согласно форму- лам (8), (9) безразмерная величина γ(~r′, ~r′′) отли- чается от cos Φ лишь малыми дифракционными добавками. Поэтому разность γ(~r′, ~r′′)−cos Φ име- ет порядок малости величин Y ′, Y ′′ и Z. Нера- венство Z�1 накладывает ограничения только на поперечные размеры области R. Более сложна си- туация с условиями Y ′, Y ′′�1, поскольку Y ′ и Y ′′ зависят от величины w0, которая сама определя- ется из уравнения, содержащего Y ′ и Y ′′ ввиду зависимости от этих величин функции f(w). Как результат, требуется найти самосогласованное ре- шение W0 =w0/lF уравнения для точки перевала вида [ (Y ′2 + Z2) X′ + i X′ − i + α2B2 ] cos(θ + Φ/2) X′2 + 1 + + [ Y ′′2 + Z2) X′′ + i X′′ − i + α2B2 ] cos(θ − Φ/2) X′′2 + 1 − −2Y ′ X′ + i X′2 + 1 sin(θ + Φ/2)− −2Y ′′ X′′ + i X′′2 + 1 sin(θ − Φ/2)+ +4Ω cos θ cos(Φ/2) = 0. (28) В линейном по малым Y ′, Y ′′, Z и B приближе- нии решение уравнения (28) несложно найти для Рис. 4. Двухэлементный ультразвуковой преобразователь и конфигурация формируемого им в области движения среды измерительного объема области частот вблизи центральной частоты до- плеровского сдвига ωd. Например, для величины Y ′ в этом случае имеем Y ′ = (L0 − F ) sin(Φ/2)× × { 1 − 2 sin(θ + Φ/2) cos θ sin(Φ/2) sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) } − − Y sin(θ − Φ/2) sinΦ sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) + +2Ω sin(θ + (Φ/2))× × (L0 − i cos(Φ/2)) cos θ sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) . (29) Выражение для Y ′′ получается из выражения для Y ′ заменой Φ→−Φ. Из выражения (29) следует, что условие само- согласования Y ′, Y ′′�1 выполняется, если L0−F , Y �1. Таким образом, условие применимости ре- шения и вытекающих из него выражений для спе- ктров мощности оказывается независящим от угла Φ и сводится к малости поперечных размеров области R и величины l0−f по сравнению с дли- Е. А. Баранник 11 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 ной зоны Френеля. В результате с учетом квадра- тичности Re f(w0) по малым Y , Z, αB, L0−F и Ω из формулы (15) находим [17] S(ω, y, z) = π(Aak)2 sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) × × 〈 (β̃ − ρ̃ cos Φ)2 〉 l3F cos3(Φ/2) [l2F cos2(Φ/2) + l02]3/2 v V × × exp { −8l2F a2 cos2 θ cos2(Φ/2) sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) × × [ Ω2 + z2tg 2θ l2F cos2(Φ/2) + l02 × ×sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) 2 cos2 θ + + [y − (l0 − f) sin θ]2 l2F cos2(Φ/2) + l02 sin2 Φ 4 cos2 θ ]} . (30) Особенностью спектра мощности от линии то- ка (30), имеющего гауссову форму (20), является зависимость его ширины от угла Φ: Bd = 4σωd = 2kV a lF × × [ sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) ]1/2 . (31) Непосредственное дифференцирование по Φ пока- зывает, что для всех углов 0<Φ<π безразмер- ная ширина спектра σ с ростом Φ увеличивае- тся: ∂σ/∂Φ>0. Для размерной ширины спектра из формулы (31) получаем ∂ ∂Φ Bd = kV a lF cos 2θ sin Φ [ sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) ]1/2 . При 0<θ<π/4 с ростом угла Φ между падающим и отраженным пучками волн монотонно убыва- ет величина измерительного объема и, как след- ствие, время пролета рассеивателей ультразвука. При неизменной кривизне волновых фронтов это означает увеличение времяпролетной составляю- щей ширины спектра. Наоборот, при π/4<θ<π/2 с ростом угла Φ измерительный объем в направ- лении движения рассеивателей увеличивается, а ширина доплеровского спектра уменьшается. При увеличении разности l0−f >0 (например, посредством смещения преобразователя как цело- го вдоль оси A, см. рис. 4), можно было бы ожи- дать сужения спектра в результате дифракцион- ного увеличения измерительного объема. Однако при этом кривизна волновых фронтов, пересекае- мых одной и той же линией тока, также увеличива- ется. Таким образом, полная ширина спектра фор- мируется под действием двух противоположных тенденций, что приводит к ее независимости от параметра l0−f и глубины залегания линии тока l0 sin θ−y. Заметим, наконец, что амплитуда спе- ктра линии тока экспоненциально зависит от по- ложения (l0−f) sin θ−y линии тока относительно точки пересечения пучков волн f , причем сама за- висимость определяется в основном углом Φ. В ре- зультате максимален доплеровский отклик от ли- нии тока, проходящей через точку f , где макси- мальна функция чувствительности. 2.4. Влияние взаимной конфигурации пучков волн на полный спектр Свойства полного спектра S(ω) хорошо видны на примере аксиально-симметричных течений. В этом случае при интегрировании спектра (30) по объему возникает интеграл по углу ϕ цилиндриче- ской системы координат: I = 2π ∫ 0 exp { − 4l2F cos2(Φ/2) l2F cos2(Φ/2)+l02 ρ2 a2 sin2 ϕ− − 2l2F cos2 Φ/2 l2F cos2(Φ/2)+l02 R2 a2 ( ρ R cosϕ− l0−f R sin θ )2 × × sin2 Φ sin2(θ+Φ/2)+sin2(θ−Φ/2) } dϕ. Аналитическое его вычисление в общем виде не представляется возможным, поэтому ограничимся рассмотрением двух важных предельных случаев. Если расстояние от точки пересечения осей пучков волн до начала системы координаты невелико по сравнению с радиусом потока \|l0−f \|�R, то иско- мый интеграл I несложно свести к табличному для цилиндрической функции Бесселя мнимого аргу- мента. Переходя аналогично выражению (23) к δ- функции в подынтегральном выражении и инте- грируя по ρ с δ-функцией, приходим к следующе- 12 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 му выражению для спектра [17]: S(ω) = 2 √ 2π 〈 (β̃ − ρ̃ cos Φ)2 〉 a(πARk2)2 [sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2)]1/2 × × l3F (l2F + l02)3/2 v I0 { a− ( 1 − ω ω0 )2/n } nω0 ( 1 − ω ω0 )1−2/n × × exp { −a+(1 − ω ω0 )2/n } ≡ ≡ C I0 { a− ( 1 − ω ω0 )2/n } nω0 ( 1 − ω ω0 )1−2/n × × exp { −a+(1 − ω ω0 )2/n } , a± = l2F cos2(Φ/2) l2F cos2(Φ/2) + l02 R2 a2 × × [ 2 ± sin2 Φ sin2(θ + Φ/2) + sin2(θ − Φ/2) ] , (32) где C – размерная постоянная величина. Выражение (32) является прямым обобщением формулы (24) на случай конечных углов Φ. По- нятно, что очень широкие пучки волн при лю- бых углах пересечения формируют в области пе- ресечения измерительный объем достаточно боль- ших размеров. Следовательно, в этом предель- ном случае функциональная зависимость спектра мощности от частоты по-прежнему описывается формулой (25), что и вытекает непосредственно из выражения (32) при R/a→0. Главной отличи- тельной чертой спектра (32) является более эф- фективное вырезание низкочастотных спектраль- ных составляющих при увеличении радиуса пото- ка. Действительно, после подстановки в форму- лу (32) асимптотики функции Бесселя при боль- ших значениях аргумента находим S(ω) = C√ 2πa− × × exp { −(a+ − a−) ( 1 − ω ω0 )2/n } nω0 ( 1 − ω ω0 )1−1/n . (33) Рис. 5. Формы нормированных спектров (33) для пучков непрерывных волн различной ширины: сплошные – R/a=0, штриховые – R/a=1, штрих-пунктирные – R/a=5 Спектральные кривые (33) при разных значени- ях n представлены на рис. 5. При этом нормиров- ка выбрана так, чтобы кривые с R/a=0 совпада- ли при разных n с соответствующими кривыми на рис. 3, б. При расчете принято l0/a=20, lF /a=50, θ=60◦, Φ=30◦. В соответствии с выражением (33) величина низкочастотных составляющих спектра определяется не только и не столько степенной функцией, как это было при Φ=0, сколько экспо- ненциальной. Такой результат является прямым следствием большей локализации измерительного объема, в который в основном попадают высоко- скоростные линии тока крови вблизи оси сосуда. В данном случае уменьшается вклад в спектр не только линий тока с большой координатой z, но и линий тока, находящихся на большом расстоянии от точки f вдоль оси A′. Экспоненциальное убыва- ние в низкочастотной области тем заметнее, чем больше отношение R/a и (для не слишком боль- ших углов Φ) величина sin2 Φ. В целом же изменения относительной ширины доплеровского спектра при Φ=0 и Φ 6=0 с умень- шением отношения R/a идентичны – спектр су- жается и его сужение сильнее при Φ 6=0 ( см., на- пример, иллюстрацию в [2] при доплеровском зон- дировании пучком непрерывных волн бедренной, подколенной и икроножной артерий, которые име- ют в норме существенно различные диаметры). Рассмотрим теперь обратный предельный слу- чай \|l0−f \|�R, когда точка пересечения осей пу- чков ультразвуковых волн находится вдали от области R. Тогда при достаточно больших углах Φ в показателе экспоненты интеграла I можно пре- небречь членами, пропорциональными ρ2 . Остав- Е. А. Баранник 13 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 шийся интеграл по ϕ сводится к функции Бесселя, что приводит к выражению вида S(ω)=C exp { −(a+−a−) (l0−f)2 R2 sin2 θ } × × I0 { 2(a+−a−) l0−f R sin θ ( 1− ω ω0 )1/n } nω0 ( 1− ω ω0 )1−2/n . (34) Прежде всего отметим, что аналогично форму- ле (32) выражение (34) при a�\|l0−f \|�R, ко- гда измерительный объем полностью охватыва- ет область течения, переходит в спектр мощнос- ти доплеровского сигнала для широких пучков волн. Однако, в отличие от соотношения (32), су- жение пучков волн a∼R�\|l0−f \| не приводит к потере мощности сигнала от медленно движущи- хся периферийных частей потока и эффективно- му вырезанию низкочастотной части спектра (33). Наоборот, имеет место общее уменьшение мощнос- ти сигнала с одновременным экспоненциальным ростом низкочастотных составляющих. Заменяя функцию Бесселя ее асимптотикой, находим, что спектр мощности с точностью до постоянного ра- змерного множителя описывается функцией вида exp { 2(a+ − a−) \|l0 − f \| R ( 1 − ω ω0 )1/n } nω0 ( 1 − ω ω0 )1−3/(2n) . (35) Существенное увеличение вклада низкочастотных составляющих спектра (35), определяемое отноше- нием (l0−f)/R и углами θ и Φ, свидетельствует о резком уменьшении доли той части течения, ко- торая находится в быстро движущейся централь- ной области потока. Иными словами, наибольший вклад в полный спектр здесь дают наиболее близ- кие к точке пересечения пучков волн линии тока с малой скоростью. Ввиду четности функции Бес- селя этот вывод справедлив при любом знаке ра- зности l0−f . Эффект резкого возрастания вкла- да низкочастотных составляющих при зондирова- нии потоков крови вблизи медленно движущейся стенки сосуда получил название “отклика стенки”, представляющего собой мощную помеху [1, 2]. 3. ИМПУЛЬСНАЯ ДОПЛЕРОВСКАЯ ЭХО- СКОПИЯ 3.1. Спектральные характеристики при импуль- сном излучении В приближении классического потенциала ско- ростей для акустических волн различной кон- фигурации показано, что зависимость времяпро- летного и полного уширения спектра от дли- тельности зондирующих импульсов тем сильнее, чем меньше угол θ [9, 11, 12]. Применение разви- того подхода позволяет непосредственно устано- вить относительный вклад каждого из физических факторов в ширину спектра доплеровского откли- ка, выяснить критерий применимости полученных предельных результатов и повысить информатив- ность такого параметра как дисперсия спектров. Будем полагать, что зондирующие импульсы имеют достаточно большую длительность и, соо- тветственно, относительно узкий спектр. В этом случае распространение и рассеяние любого участ- ка излучаемого импульса происходит так же, как при непрерывном излучении. Это дает возмож- ность использовать выражение (6). Зависимость же амплитуды доплеровского сигнала от време- ни, связанную с импульсным характером излуче- ния, можно учесть, переопределив соответствую- щим образом функцию чувствительности по полю G′(~r) [1]: G′ p(~r) = G′(~r)b ( T0 − 2x′(~r) c ) , (36) где b(t) – огибающая зондирующих импульсов. Здесь подразумевается общепринятый алгоритм обработки доплеровских сигналов, при котором демодулированный сигнал стробируется с некото- рой задержкой по времени T0 относительно каждо- го момента излучения импульсов. Величина за- держки определяет точку зондирования l0 =cT0/2, в которую удобно поместить начало системы коор- динат ~r=(x, y, z). При нахождении доплеровских спектров во- спользуемся выражением (10), ограничимся рас- смотрением импульсов с гауссовой огибающей b(t)=exp{−[(2ct/(Nλ)]2} (N – число периодов ко- лебаний в импульсе по уровню e−1) и применим метод перевала. Тогда с учетом выражения (36) 14 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 уравнение для точки перевала есть 1 X′2 + 1 [ (Y ′2 + Z2) X′ + i X′ − i + α2B2 ] − −2Y ′ X′ + i X′2 + 1 tg θ + i ( 4 πNαB )2 (L0 −X′)+ +2Ω = 0. (37) Для центральной части спектра решение уравне- ния (37) в линейном относительно Y ′ приближе- нии при малых Y , Z и αB имеет вид W0 = 1 2lF l0 − ilF sin2 θ + i ( 4lF πNa )2 cos2 θ × × { 2Ω cos θ − y sin θ cos θ× × [ 2 l0 − ilF − i lF ( 4lF πNa )2 ]} . (38) Проводя с помощью формулы (38) асимптотиче- скую оценку Фурье-образов в выражении (10), приходим к следующему выражению для допле- ровского спектра от линии тока [18]: S(ω, y, z) = = π 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 (Aa2k2)2 16 cos2 θ [σ0 4 + (πN)−4(l0/lF )2] 1/2 v V × × lF (l2F + l02)3/2 exp { − Ω2 2σ0 2 − 4l2F l2F + l02 z2 a2 − − 4σ2(πN)−2 σ0 4 + (πN)−4(l0/lF )2 × × [ 1 cos θ y a − tg θal0 8l2Fσ0 2 Ω ]2} , (39) σ0 2 = a2 8l2F tg 2θ + (πN)−2. (40) Полный спектр мощности доплеровского сигнала при зондировании среды на глубине l0 находим ин- тегрированием по линиям тока. Если характерный масштаб изменения скорости движения V суще- ственно больше величин a иNλ, характеризующих размеры измерительного объема, то интегрирова- ние приводит к простому результату [18]: S(ω) = π 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 (πAa2k2)2 64σ0\| cos θ\| × × v V Na2 l2F + l02 exp ( − Ω2 2σ0 2 ) . (41) Выражение (40) для дисперсии спектра мощнос- ти (41) дает ясное представление о соотношении дифракционной и времяпролетной импульсной со- ставляющих ширины спектра. Прежде всего отме- тим, что для рассматриваемых нефокусированных пучков волн эта величина не зависит от глуби- ны зондирования. В пределе непрерывных волн (N�1) ширина спектра (40) совпадает с выра- жением, описывающим ширину спектра при “пор- шневом” течении. Если же зондирование прои- зводится короткими импульсами при небольших углах θ, то ширина спектра для однородных по скорости потоков определяется только их длитель- ностью. Особенностью выражения (40) является то, что оно в принципе позволяет по эксперимен- тально измеренным значениям ωd и σ0 однозначно найти угол зондирования θ и абсолютное значение скорости, что весьма важно для медицинских си- стем ультразвуковой доплеровской диагностики. 3.2. Влияние фокусирования на доплеровские спектры В импульсно-доплеровских системах ультра- звуковой медицинской диагностики, как прави- ло, применяется фокусированный ультразвук, что позволяет улучшить поперечную разрешающую способность. Это означает, что изменение направ- ления волнового вектора и ширины пучков, об- условленные эффектами дифракции, имеет более сложную зависимость от глубины зондирования (рис. 6). Граничному условию с гауссовой аподи- зацией амплитуды колебаний и сферическим фо- кусированием волн отвечает решение параболиче- ского уравнения вида [26, 41] G′ t(~r) = P0 {(1 − γx′/lF )2 + x′2/l2F } 1/2 × × exp { −i arctg x′ lF − γx′ − iπH(x′ −R) } × × exp { l2F α2b2 y′2 + z′2 (lF − γx′)2 + x′2 × × [ −1 + i ( x′ lF + γ2 x ′ lF − γ )]} , (42) Е. А. Баранник 15 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 Рис. 6. Схематическое изображение зондирующего импульсного пучка волн, показывающее различное возможное положение линий тока со скоростью V относительно измерительного объема (1) и волновых фронтов (2) где γ= lF /R – степень фокусирования пучка; R – радиус кривизны излучающей поверхности; H(x) – ступенчатая функция Хевисайда. Заме- тим, что наличие разрывной функции Хевисай- да в формуле (42) вытекает из характера области определения арктангенса и не свидетельствует об истинном разрыве фазы ультразвуковых волн. Функция распределения чувствительностиG′(~r) может быть по-прежнему записана в виде (36). По- этому в соответствии с выражением (42) имеем G′(~r) = A exp { −2i arctg x′ lF − γx′ } (1 − γx′/l2F ) × × exp { 2l2F α2b2 y′2 + z′2 (lF − γx′)2 + x′2 × × [ −1 + i ( x′ lF + γ2 x ′ lF − γ )]} . (43) Здесь предполагается, что излучает и принима- ет волны одна и та же апертура W . Выражение (43) определяет функции f(w) и ψ(w), что дает возможность вычислить спектр от линии тока с помощью формулы (15) после решения уравнения для точки перевала, 1 X′2 + (1 − γX′)2 [ ( Y ′2 + Z2 ) × × [X′ − γ(1 − γX′) + i]2 (1 − γX′)2 +X′2 + α2B2 ] − −2Y ′ X′ − γ(1 − γX′) + i (1 − γX′)2 +X′2 tg θ+ +i ( 4 πNαB )2 (L0 −X′) + 2Ω = 0. В результате, по аналогии с выражением (39) и в том же приближении, приходим к следующему выражению для спектральной плотности мощнос- ти линии тока [19]: S(ω, y, z) = = π 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 (1 + γ2)1/2(Aa2k2)2 16 cos2 θ[σ0 4 + (πN)−4(l0/lF )2]1/2 × × v V lF {(lF − γl0)2 + l02}3/2 exp { − Ω2 2σ0 2 − − 4(1 + γ2)σ0 2(πN cos θ)−2 σ0 4 + (πN)−4[(1 + γ2)l0/lF − γ]2 × × { y a − sin θ[(1 + γ2)l0/lF − γ]a 8lFσ0 2 Ω }2 − − 4 (1 − γl0/lF )2 + l02/l2F z2 a2 } . (44) Здесь σ0 2 = a2 8l2F (1 + γ2)tg 2θ + (πN)−2. (45) Выражения (44) и (45) представляют собой пол- ное решение задачи о влиянии фокусирования уль- тразвуковых волн на доплеровский спектр сигна- ла линии тока. Выражение (45) позволяет без спе- циального рассмотрения получить ширину спе- ктра при непрерывном излучении фокусирован- 16 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 ных волн: Bd = 4σ0ωd = 2kV W 21/2lF (1 + γ2)1/2 sin θ. (46) В отличие от выражения (1), эта формула при сла- бом фокусировании переходит в соотношение (21) и предсказывает отличную от нуля ширину спе- ктра. Как известно, истинная фокальная длина F отличается от геометрической R и совпадает с ней только в пределе геометрической акустики [27]. Из выражения (42) следует, что амплитуда пу- чка с гауссовой аподизацией максимальна в точке F =γlF (1+γ2)−1, поэтому выражение (46) может быть представлено в виде, аналогичном (1): Bd = 2kV W (2RF )1/2 sin θ. (47) Зависимость ширины полного спектра доплеров- ского отклика от глубины зондирования появля- ется только при динамическом фокусировании: F = l0. Тогда при сильном фокусирования и боль- ших углах зондирования из формулы (45) получа- ем выражение σ0 =W tg θ/(4 √ 2l0), которое доста- точно хорошо согласуется, например, с результа- том σ0 =W tg θ/(2 √ 10l0), полученным для дальней зоны излучения многоэлементного линейного фо- кусирующего преобразователя с гауссовой аподи- зацией [11]. Несколько меньшая ширина этого спе- ктра объясняется более слабым цилиндрическим фокусированием, приводящим к уменьшению вре- мяпролетного уширения. Решение (44) справедливо для центральной ча- сти спектра мощности доплеровского сигнала от линии тока, расположенной на небольшом по срав- нению с lF расстоянии от точки зондирования l0. В отсутствии градиентов скорости движения такой точности достаточно для вычисления полного спе- ктра ввиду экспоненциального убывания S(ω, y, z) с расстоянием [19]: S(ω) = π 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 (πAa2k2)2 64σ0\| cos θ\| v V × × Na2 (lF − γl0)2 + l02 exp ( − Ω2 2σ0 2 ) . (48) В ультразвуковой диагностике импульсно- доплеровские методы используют для измерения скорости движения крови в выделенном объеме кровеносного сосуда, где градиенты скорости невелики (например, вблизи его оси). Ширина спектра в этом случае зависит только от пара- метров ультразвукового излучения и благодаря минимальному влиянию градиентов скорости оказывается меньше, чем при непрерывном излу- чении ультразвука за исключением случая (26) узких пучков волн [2]. Выражения (48) и (45) переходят соответствен- но в (41) и (40) в предельном случае слабого фоку- сирования. Фокусирование ультразвуковых волн, динамическое и статическое, приводит к увеличе- нию дисперсии из-за уменьшения измерительно- го объема. Весьма интересной и важной с точки зрения ультразвуковой диагностики особенностью полученного результата является то, что при ста- тическом фокусировании выражение для диспер- сии в пределах своей применимости не зависит от глубины зондирования. Иными словами, статиче- ское фокусирование и импульсный режим излуче- ния не нарушают инвариантности ширины полно- го спектра. 3.3. Модальная частота доплеровского сдвига Для анализа свойств спектра линии тока (44) амплитуда спектрального распределения несуще- ственна, поэтому перепишем это выражение в виде S(ω, y, z) = S0 exp { − Ω2 2σ0 2 − − 4(1 + γ2)(πN cos θ)−2σ0 2 σ0 4 + (πN)−4 [(1 + γ2)l0/lF − γ] 2× × { y a − sin θ[(1 + γ2)l0/lF − γ] aΩ 8lFσ0 2 }2 − − 4 (1 − γl0/lF )2 + l02/l2F z2 a2 } , (49) где S0 =S(ωd, 0, 0) – максимальное значение вели- чины S(ω, 0, 0). Из второго слагаемого в показате- ле экспоненты следует, что доплеровский спектр линии тока при импульсном излучении зависит от положения измерительного объема, задаваемого глубиной l0, и от координаты линии тока. Диффе- ренцируя выражение (49) по частоте и приравни- вая нулю производную, получаем выражение для Е. А. Баранник 17 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 Рис. 7. Зависимость нормированной на ωd модальной частоты доплеровского сдвига (50) от координаты линии тока при различной глубине зондирования и длительности зондирующих импульсов [21] (γ=5, lF /a=50): сплошные – N =4, крупный штрих – N =8, мелкий штрих – N =16 моды ωld спектрального распределения [21]: ωld ≡ ωd(1 + Ωld) = = ωd          1 + ( γtg θ πN )2 (l0 − F ) F 2σ0 2 + ( γ πN )2 (l0 − F )2 y sin θ          . (50) По сравнению с классической доплеровской ча- стотой ωd это выражение содержит дополнитель- ный член, который исчезает при N→∞ и изме- няет свой знак в соответствии с изменением зна- ка произведения (l0−F )y. Таким образом, при им- пульсном излучении классическое выражение ча- стоты доплеровского сдвига справедливо только для линии тока с равной нулю координатой y. Исключение из этого правила представляет собой специальный случай совмещенных в пространстве центра измерительного объема и реального фоку- са ультразвуковых пучков волн: l0 =F . На рис. 6 показаны два альтернативных положения линии тока относительно центра измерительного объема при двух его различных положениях относитель- но реального фокуса. Вне центра измерительно- го объема траектория рассеивающих неоднородно- стей проходит через ту область объема, где сред- нее значение угла между вектором ~k и линией то- ка существенно отличается от угла зондирования θ на оси пучка. Легко видеть, что знак этого откло- нения симметричен относительно точки F и анти- симметричен внутри измерительного объема отно- сительно его центра. Только при совпадающих фо- кусе и центре измерительного объема величина ра- зности углов равна нулю. Иными словами, в рас- сматриваемом приближении волновые фронты яв- ляются плоскими только в фокальной области. При больших углах зондирования θ→π/2, когда согласно формуле (45) W 4(2RF )1/2 tg θ � (πN)−1, (51) из разложения (50) находим ωld − ωd = 2kV 2W 2 RF l0 − F (Nλ)2 y cos θ. (52) В обратном предельном случае малых углов θ→0 эта разность имеет вид ωld − ωd = 2kV γ2(l0 − F ) F 2 + γ2(l0 − F )2 y sin θ. (53) Из выражений (52) и (53) следует, что в обоих пре- дельных случаях зависимость разности частот от глубины зондирования становиться пренебрежимо малой. При произвольных значениях угла между осью пучков волн и линиями тока величина ра- зности ωld−ωd оказывается порядка доплеровской частоты ωd, по крайней мере, вдали от точки ре- ального фокуса системы. В частности, на рис. 7 показана зависимость модальной частоты Допле- ра от координаты линии тока y′ = l0−y/ sin θ вдоль 18 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 оси преобразователя при θ=π/4 и для различных положений по глубине l0 центра измерительного объема, задаваемых формулой l0 (n) = F {1 + 2πγ−1σ0(N = 4)n}, −4 ≤ n ≤ 4. Градиент выражения (50) как функции l0 дости- гает максимума при l0 = F {1± πγ−1σ0(N = 4)N}. Таким образом, при длительности импульсов N=4 модальная доплеровская частота изменяе- тся с удалением от центра измерительного объе- ма наиболее быстро при глубине зондирования l0 = l0 (±2), что хорошо видно на рис. 7 [21]. Вариативность частоты доплеровского сдвига для линии тока представляет собой наиболее явное проявление влияния кривизны волновых фронтов. Приведенное объяснение смысла полученных ре- зультатов, по сути, основано на свойствах функ- ции чувствительности для формируемых ультра- звуковых полей, поэтому все другие случаи могут быть физически интерпретированы аналогичным образом. Например, существование боковых ле- пестков функции чувствительности может приве- сти к дополнительным спектральным максимумам из-за отличия направления вектора ~k внутри бо- ковых лепестков от его направления на оси пучка. Два дополнительных пика такого рода, симметри- чных относительно “основной” модальной допле- ровской частоты, устойчиво наблюдались в эк- спериментах при угле зондирования линий тока θ=90◦, когда модальная доплеровская частота для главного лепестка функции чувствительности рав- на нулю [15]. Судя по достаточно большой ширине, эти спектральные максимумы обусловлены имен- но узкими боковыми лепестками функции распре- деления чувствительности по полю. 3.4. Теорема инвариантности для доплеровско- го спектра линии тока Зависимость дисперсии доплеровского спектра линии тока от глубины зондирования и фоку- сного расстояния несложно получить, выражая спектр (49) непосредственно через введенную по- средством соотношения (50) величину Ωld [21]: S(ω, y, z) = S(ωld , y, z) exp { −(Ω − Ωld)2 2σ2 } , (54) σ2 = σ0 2 − W 2 32RF tg 2θ× × γ2 (πN) −2 (l0 − F ) 2 F 2σ0 2 + γ2 (πN) −2 (l0 − F ) 2 . (55) Функция S(ωld , y, z) определяет зависимость ам- плитуды доплеровского спектра линии тока от ее координат относительно измерительного объема. Из формулы (55) следует, что в точке фокуса ве- личина дисперсии достигает своего максимально- го значения, несмотря на то, что вклад кривизны волновых фронтов минимизируется, как это следу- ет из проведенного выше анализа. Следовательно, этот результат обусловлен наименьшей шириной пучков волн в фокусе, что приводит к наибольше- му времяпролетному уширению спектра. При больших углах зондирования (51) из выра- жения (55) получаем Bd = 4σωd = 2kV { W 2 2RF sin2 θ+ +16(πN)−2 [ 1 − γ2 ( l0 F − 1 )2] cos2 θ }1/2 . (56) В обратном предельном случае, когда время про- лета определяется не шириной пучков волн, а дли- тельностью зондирующих импульсов, ширина спе- ктра будет Bd = 2kV { W 2 2RF [ 1 + γ2 ( l0 F − 1 )2]−1 × × sin2 θ + 16(πN)−2 cos2 θ }1/2 . (57) Таким образом, ширина доплеровского спектра не зависит от глубины зондирования в обоих пре- дельных случаях, остается конечной и определя- ется либо шириной пучков волн, либо длительно- стью зондирующих импульсов. Результаты численного расчета величины дис- персии спектра (55) приведены на рис. 8. Зави- симость дисперсии от положения измерительно- го объема относительно точки фокуса при γ=2.5, γ=5 и γ=10 показана при том же угле θ и отно- шении lF /a, что и на рис. 7. Из рисунка видно, что длина зондирующих импульсов N , равно как и степень фокусирования γ, определяет не толь- ко скорость изменения модальной доплеровской частоты, но и скорость изменения дисперсии спе- ктра линии тока в окрестности точки экстрему- ма l0 =F . Таким образом, инвариантность спек- тральной ширины при использовании импульсно модулированных фокусированных пучков не яв- ляется свойством спектра каждой отдельной ли- нии тока, а лишь свойством интегрального спе- Е. А. Баранник 19 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 Рис. 8. Нормированная дисперсия σ2/σ0 2 доплеровского спектра линии тока, вычисленная по формуле (54) при различной длительности зондирующих импульсов [21]: сплошные – N =4, крупный штрих – N =8, мелкий штрих – N =16 ктра. Развитая теория позволяет точно сформу- лировать [21] теорему инвариантности для линии тока при импульсном режиме излучения фокуси- рованных волн: ширина спектра линии тока ин- вариантна относительно ее положения в измери- тельном объеме, если не изменяется относитель- ное положение фокуса и измерительного объема. В работе [15] с помощью известного метода подви- жного нитевидного фантома [42] сделана попытка экспериментально доказать теорему инвариантно- сти в том виде, в котором она была сформулиро- вана в [12,13]. Было показано, что ширина спектра от линии тока не зависит от глубины зондирова- ния при угле θ=90◦, но уже при θ=70◦ такая за- висимость появляется. Она объяснялась условия- ми проведения экспериментов и нестабильностью строго линейного движения нитевидного фантома. Если же учесть, что согласно формуле (56) зависи- мость ширины доплеровского спектра от l0 в пре- дельном случае θ→π/2 исчезает, то полученные результаты находят полное объяснение в рамках развитой теории без привлечения дополнительных соображений. 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДОПЛЕ- РОВСКОЙ ДИАГНОСТИКИ 4.1. Критерии оптимальности Инвариантность ширины спектра при статиче- ском фокусировании упрощает оптимизацию па- раметров доплеровской системы и обеспечива- ет стабильность ее работы в широком диапа- зоне глубин. Например, типическое низкочасто- тное ультразвуковое зондирование в медицин- ских приложениях реализуют с помощью ультра- звуковых преобразователей с апертурой порядка W =16 мм и длиной волны λ=0.5 мм, так что lF ≈40 см. Следовательно, диапазон положений линий тока, для которого справедливы сделанные выводы, приближенно определяется неравенством D≈2\|y\|�2lF ≈80 см. Ультразвуковое доплеров- ское зондирование с указанными параметрами пу- чков применяют в диапазоне глубин D≤20 см, ко- торый, очевидно, хорошо согласуется с разрешен- ным диапазоном положений линий тока. Тем не менее, в импульсных доплеровских диа- гностических методах все чаще применяют дина- мическое фокусирование волн, что улучшает про- странственное разрешение во всем диапазоне диа- гностических глубин при наличии градиентов ско- рости движения. Отсюда вытекает задача о вли- янии градиентов на спектральные характеристи- ки при импульсно модулированном излучении и, в более широком плане, связанная с ней пробле- ма выбора оптимальных параметров самой зонди- рующей системы. В дальнейшем под оптимальной пространственной разрешающей способностью (и, следовательно, под оптимальной апертурой пре- образователя и длительностью зондирующих им- пульсов) будут пониматься такие значения этих величин, при которых обеспечивается достаточная точность измерения средней скорости движения в измерительном объеме. Одним из главных источников искажений спе- ктров, приводящих к смещенности оценок сре- дней частоты доплеровского сдвига, является ее выход за пределы полосы однозначно определяе- мых частот (предел Найквиста) [1]. При импуль- сном излучении появление предела Найквиста свя- зано с частотой стробирования доплеровского си- гнала, которая определяется частотой повторения зондирующих импульсов. В этом смысле наибо- лее точными оказываются результаты оценок, по- лученных для спектров с минимальной шириной. Точность измерения средней частоты доплеров- ского спектра обсуждается также исходя из со- отношения Рао – Крамера [43]. Согласно ему, при неизменной энергии доплеровского сигнала точ- ность оценки можно повысить: 1) увеличивая длительность сигнала от рас- сеивающих неоднородностей, что означает уменьшение времяпролетной составляющей спектра; 2) уменьшая его частотную модуляцию, т. е. гео- 20 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 метрическую часть полной ширины спектра. По смыслу оба подхода (с точки зрения соотно- шения Рао – Крамера и предела Найквиста) при- водят к одному и тому же критерию минималь- ности ширины спектра. Указанный критерий по- зволяет непосредственно из выражений для ши- рины спектра определить, например, оптималь- ную апертуру в отсутствии градиентов скоро- сти: W =2 √ λR/π [20]. Поэтому при динамиче- ском фокусировании оптимальная апертура дол- жна уменьшаться с уменьшением l0. В то же вре- мя, ширина спектра (46) минимальна при N→∞. Однако неограниченно увеличивать длительность импульсов на самом деле нельзя не только из-за ухудшения разрешения, но и из-за роста ширины спектра, обусловленного вкладом градиентов ско- рости движения V (y, z). 4.2. Оптимальная длительность ультразвуко- вых импульсов При оценке оптимальных параметров системы в случае неоднородных потоков необходимо учи- тывать вклад, вносимый в ширину спектра гради- ентами скорости движения, приводящими к уве- личению ширины спектра и ограничению сверху допустимой длительности импульсов. Чтобы упро- стить рассмотрение, ограничимся наиболее инте- ресным с точки зрения диагностики случаем до- статочно больших углов θ. Тогда уширение спе- ктра связано прежде всего с градиентом скоро- сти движения в направлении оси Oy, поэтому без ограничения общности можно пренебречь зависи- мостью от координаты z величин V и Ω, разложе- ние которых по y имеет вид V (y) = V0 + V ′ 0y + V ′′ 0 2 y2, Ω(y) = Ω0 + Ω′ 0y + Ω′′ 0 2 y2. (58) Здесь V0 и Ω0 – скорость движения среды и безра- змерная частотная переменная на глубине l0. Под- ставляя разложение (58) в формулу (44) и инте- грируя последнюю по линиям тока, находим пол- ный спектр доплеровского отклика с учетом y- градиента скорости движения [20]: S(ω) = π 〈 (β̃ − ρ̃)2 〉 (πAa2k2)2 64σ0\| cos θ\| × × v V Na2 (lF − γl0)2 + l02 × × { 1 + (Ω′ 0 + Ω0Ω ′′ 0) a2 cos2 θ 8(1 + γ2) (πN)2 }−1/2 × × exp        −Ω0 2 2σ0 2 + Ω0Ω ′′ 0 sin2 θ 32 (Nλ)2 2σ0 2 + Ω′ 0 2 sin2 θ 32 (Nλ)22σ0 2        . (59) Вообще говоря, спектр (59) не является симметри- чным и не описывается функцией Гаусса ввиду зависимости его “дисперсии” от частоты. В част- ности, Ω′ 0 =−ωV ′ 0/ω0V0, ω0 =2kV0 cos θ. Тем не ме- нее, центральная часть спектра (59), для которой ω близка к ω0, по форме практически совпадает с кривой Гаусса. По смыслу разложения (58) пред- полагается, что пространственный масштаб d, на котором существенно изменяется скорость, велик по сравнению с λ. Поэтому в линейном по (λ/d)2 приближении дисперсия спектра (59) имеет вид σ2 = a2 8l2F ( 1 + l2F R2 ) tg 2θ+ + 1 (πN)2 + sin2 θ 64 (Nλ)2Ω′ 0 2. (60) Независимость этого выражения от знака градиен- тного члена означает, что наличие градиента ско- рости движения всегда приводит к уширению спе- ктра. Легко показать, что допустимые по точности измерения средней частоты значения длительно- сти зондирующих импульсов находятся в интер- вале N1 6=N 6=N2, где N1,2 – положительные кор- ни биквадратного уравнения ω0σ=2πσmax; σmax – максимально допустимая ширина спектра. При за- данной апертуре излучения – приема меньший из этих двух корней N = N1 = 2 √ 2 π (λ sin θ\|Ω′ 0\|)−1/2× × { g−1 − g−1 √ 1 − g2 }1/2 , g = 1 4π λ sin θ\|Ω′ 0\| ( 2πσmax ω0 )2 − a2 8l2F (1 + γ2)tg 2θ (61) Е. А. Баранник 21 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 соответствует наилучшей возможной продольной разрешающей способности системы, совместимой с заданной точностью измерения средней часто- ты в пределах измерительного объема. Как видно, величина N1 зависит от параметров пучков волн, заданной величины σmax и предполагаемой вели- чины градиентов скорости. Длительность зондирующих импульсов, обе- спечивающую наивысшую достижимую точность измерения (при худшей разрешающей способно- сти), несложно получить, минимизируя диспер- сию (60) по N . В результате находим N = Nopt = 2 √ 2 π (λ sin θ\|Ω′ 0\|)−1/2. (62) Ультразвук с малыми длинами волн используе- тся в медицинской диагностике для исследова- ния кровеносных сосудов с меньшим диаметром, определяющим порядок величины градиентного множителя \|Ω′ 0\|. Поэтому оценка (62) справедли- ва для всех частот, применяемых в доплеровской диагностике. Например, при исследовании кру- пных артериальных кровеносных сосудов с вну- тренним диаметром D=10÷20 мм используют ча- стоты в диапазоне 2÷4 МГц. Полагая λ=0.4 мм (∼ 3.5 МГц) и Ω′ 0 −1≈D/2=8 мм, из формулы (62) находим Nopt≈7/ √ sin θ, что соответствует реаль- но применяемым в доплеровских методах значени- ям и существенно больше принятых длин импуль- сов N=2÷4 для обычной ультразвуковой визуа- лизации. Отметим, наконец, что в выражения (60) – (62) входит только первая производная частотной пе- ременной. Этот результат объясняется тем, что при равной нулю первой производной профиль скоростей, определяемый вторыми производными, близок к “поршневому” в меру малости параметра (λ/d)4. 4.3. Оптимальная апертура излучения В рассматриваемом случае больших углов θ при оценке оптимальной апертуры преобразова- теля наиболее важен учет z-градиентов скорости движения. Как и ранее, используя в качестве исхо- дного выражение (44) и ограничиваясь первыми неисчезающими членами в разложениях по z, по- сле интегрирования приходим к дисперсии полно- го спектра [20]: σ2 = σ0 2 + a2 8 [ ( 1 − γ l0 lF )2 + l0 2 l2F ] Ω′ 0 2, Ω′ 0 = ∂Ω ∂z ∣ ∣ ∣ ∣ l0 . (63) Несложно видеть, что вклад градиентного члена в формуле (63) минимизируется при динамиче- ском фокусировании l0 =F . Поскольку при этом ультразвуковая система характеризуется и наи- лучшей поперечной разрешающей способностью, рассмотрим вначале динамическое фокусирова- ние, которое в том или ином виде реализуется во всех современных ультразвуковых доплеровских системах диагностики. Как правило, поперечное разрешение хуже продольного даже при наличии динамического фокусирования, поэтому под опти- мальной целесообразно понимать апертуру, кото- рая обеспечивает наилучшее поперечное разреше- ние, совместимое с заданной точностью измере- ния. Разрешение будет тем выше, чем меньше ра- змеры фокального пятна и, соответственно, боль- ше апертура W . Поэтому необходимо найти боль- ший из двух положительных корней биквадратно- го уравнения ω0σ=2πσmax. Для него получаем W = W2 = 2 √ λR π (1 + R2Ω′ 0 2ctg 2θ)1/4× ×{g−1 + g−1 √ 1 − g2}1/2, g = λ 4πR (1 +R2Ω′ 0 2ctg 2θ)1/2 ( 2πσmax ω0 )2 − 1 (πN)2 tg 2θ. (64) Наивысшая же возможная точность измерения средней частоты (с худшей разрешающей спосо- бностью) достигается при W = Wopt = 2 √ λR π (1 + R2Ω′ 0 2ctg 2θ)1/4. (65) Формула (65) указывает на необходимость умень- шения (увеличения) излучающей и принимающей апертур по мере уменьшения (увеличения) глуби- ны зондирования при динамическом фокусирова- нии. Принцип выбора оптимальных параметров с использованием выражения (63) в случае статиче- ского фокусирования аналогичен: W = W2 = Wopt { g−1 + g−1 √ 1 − g2 }1/2 , g = λ 4πR 1 ( 2πσmax ω0 )2 − 1 (πN)2 × × ([ tg 2θ + (R− l0) 2Ω′ 0 2 ] × × [ tg 2θ + l0 2Ω′ 0 2 ])1/2 , (66) 22 Е. А. Баранник ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 Wopt = 2 √ λR π { tg 2θ + l0 2Ω′ 0 2 tg 2θ + (R− l0)2Ω ′ 0 2 }1/4 . (67) Для численных оценок оптимальной апертуры излучения наименьшее значение величины σmax по критерию предела Найквиста может быть приня- то как σmax =400 Гц<fprf/2=2 кГц, где fprf – ха- рактерная частота повторения зондирующих им- пульсов. Тогда при R=60 мм, Ω′ 0 −1≈D/2=8 мм, θ=75◦ и V0 =2 м/с из формулы (64) следует W =12 мм. Если учесть, что физическая апертура излучения связана с эффективной соотношением 2b=W/α, то с учетом α≤1 приходим к величи- нам порядка 2b=14÷ 16 мм. Этот результат хоро- шо согласуется с реальными значениями, исполь- зуемыми в настоящее время для диапазона частот 2÷4 МГц. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенное рассмотрение показывает, что использование точных решений параболического уравнения дифракции для ультразвуковых пучков волн с гауссовой аподизацией излучающей и при- нимающей апертур позволяет оценить вклад раз- личных физических факторов в ширину допле- ровских спектров и установить ее величину при зондировании исследуемой среды нефокусирован- ными, фокусированными и импульсными волна- ми. Обобщение развитой при таком подходе тео- рии на случай наличия градиентов скорости дви- жения биологической среды позволяет определить оптимальные параметры для методов ультразву- ковой доплеровской эхоскопии на основе крите- рия минимальности ширины полного доплеров- ского спектра. Удобство оценки различных фи- зических эффектов, характерное для подходов с использованием решений параболического уравне- ния дифракции и более общего нелинейного урав- нения Хохлова – Заболоцкой – Кузнецова, привели к их широкому применению в биомедицинских приложениях [44]. Проведенное детальное исследование найден- ных доплеровских спектров от линий тока позво- ляет утверждать, что, в отличие от полных спе- ктров, ширина спектров линий тока в общем слу- чае неинвариантна по отношению к глубине зон- дирования и зависит от разности между глубиной залегания исследуемого объема среды и величиной реального фокусного расстояния. Для спектров линий тока доказана также зависимость модаль- ной частоты доплеровского сдвига от положения линии тока в измерительном объеме. Найдены полные спектры сигналов доплеровского отклика для аксиально-симметричных потоков жидкости с различными профилями скоростей и при различ- ных соотношениях между размерами области дви- жения и геометрией пучков волн. Сопоставление известных экспериментальных данных с резуль- татами теории и предложенными оценками опти- мальности указывает на их адекватность физиче- ской картине рассмотренных явлений и механи- змам формирования спектральных характеристик сигналов доплеровского отклика. 1. Применение ультразвука в медицине: Физические основы / Под ред. К. Хилла.– М.: Мир, 1989.– 568 с. 2. Гуч А. А., Дынник О. Б., Сухарев И. И., Вовчен- ко А. Я., Кориченский А. Н. Этюды современной ультразвуковой диагностики.– К.: Укрмед, 2000.– 192 с. 3. Kremkau F.W. Doppler ultrasound: principles and instruments.– Philadelphia: W. B. Saunders Co., 1995.– 373 p. 4. Физика визуализации изображений в медицине. Том 1. / Под ред. С. Уэбба.– М.: Мир, 1991.– 407 с. 5. Newhouse V. L., Furgason E. S., Johnson G. F., Wolf D. A. The dependence of ultrasound Doppler bandwidth on beam geometry // IEEE Trans. Son. Ultrason.– 1980.– 27, N 1.– P. 50–59. 6. Newhouse V. L., Bendick P. J., Varner L. W. Analysis of transit time effects on Doppler flow measurement // IEEE Trans. Biomed. Engng.– 1976.– 23, N 2.– P. 381–386. 7. Griffith J. M., Brody W. R., Goodman L. Resoluti- on performance of Doppler ultrasound flowmeters // J. Acoust. Soc. Amer.– 1976.– 60, N 2.– P. 607–610. 8. Bascom P. A. J., Cobbold R. S. C., Roelofs B. H. M. Influence of spectral broadening on continuous wave Doppler ultrasound spectra: a geometric approach // Ultrasound Med. Biol.– 1986.– 12, N 2.– P. 387–395. 9. Ata O. W., Fish P. J. Effect of deviation from plane wave conditions on the Doppler spectrum from an ultrasonic blood flow detector // Ultrasonics.– 1991.– 29, N 2.– P. 395–403. 10. Newhouse V. L., Censor D., Vonts T., Cisneros J. A., Goldberg B. Ultrasound Doppler probing of flows transverse with respect to beam axis // IEEE Trans. Biomed. Engng.– 1987.– 34, N 4.– P. 779–789. 11. Kim Y. M., Park S. B. Modeling of Doppler signal considering sample volume and field distribution // Ultrason. Imaging.– 1989.– 11, N 3.– P. 175–196. 12. Censor D., Newhouse V. L., Vonts T., Ortega H. V. Theory of ultrasound Doppler-spectra velocimetry for arbitrary beam and flow configurations // IEEE Trans. Biomed. Engng.– 1988.– 35, N 4.– P. 740–751. 13. Newhouse V. L., Reid J. Invariance of the Doppler bandwidth with flow displacement in the illuminati- ng field // J. Acoust. Soc. Amer.– 1991.– 90, N 5.– P. 2595–2601. 14. Guidi G., Newhouse V. L. Tortoli P. Doppler spectrum shape analysis based on the summation of flow-line spectra // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec. Freq. Contr.– 1995.– 42, N 5.– P. 907–915. Е. А. Баранник 23 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2004. Том 7, N 2. С. 3 – 24 15. Tortoli P., Guidi G., Mariotti V., Newhouse V. L. Experimental proof of Doppler bandwidth invari- ance // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec. Freq. Contr.– 1992.– 39, N 2.– P. 196–203. 16. Баранник Е. А. Влияние дифракционной расходи- мости и ширины пучков волн на спектр доплеров- ского сигнала // Акуст. ж.– 1992.– 38, N 2.– С. 237– 244. 17. Баранник Е. А. Зависимость спектральных ха- рактеристик доплеровского сигнала от геометрии ультразвукового преобразователя // Акуст. ж.– 1992.– 38, N 5.– С. 798–805. 18. Баранник Е. А. Ширина спектра доплеровского сигнала при импульсном режиме излучения // Акуст. ж.– 1993.– 39, N 5.– С. 939–941. 19. Баранник Е. А. Влияние фокусирования ультра- звуковых волн на дисперсию доплеровского спе- ктра // Акуст. ж.– 1994.– 40, N 2.– С. 212–214. 20. Barannik E. A. Optimum resolution of pulsed Doppler system // Acoust. Phys.– 1997.– 43, N 4.– P. 387–390. 21. Barannik E. A. Pulsed Doppler flow-line spectrum for focused transducers with apodized apertures // Ultrasonics.– 2001.– 39, N 2.– P. 311–317. 22. Bastos C. A. C., Fish P. J., Steel R., Vaz F. Doppler power spectrum from a Gaussian sample volume // Ultrasonics.– 2000.– 37, N 4.– P. 623–632. 23. Guidi G., Licciardello C., Falteri S. Intrinsic spectral broadening (ISB) in ultrasound Doppler as a combi- nation of transit time and local geometric broadeni- ng // Ultrasound Med. Biol.– 2000.– 26, N 5.– P. 853–862. 24. Tompson R. S., Aldis G. K. Flow spectra from spectral power density calculations for pulsed Doppler // Ultrasonics.– 2002.– 40, N 1–8.– P. 835– 841. 25. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики.– М.: Наука, 1975.– 228 с. 26. Новиков Б. К., Руденко О. В., Тимошенко В. И. Нелинейная гидроакустика.– Л.: Судостроение, 1981.– 264 с. 27. Кайно Г. Акустические волны. Устройства, визу- ализация и аналоговая обработка сигналов.– М.: Мир, 1990.– 656 с. 28. Буров В. А., Гуринович И. Е., Руденко О. В., Та- гунов Е. Я. Реконструкция пространственного ра- спределения параметра нелинейности и скорости звука в акустической нелинейной томографии // Акуст. ж.– 1994.– 40, N 6.– С. 922–929. 29. Буров В. А., Румянцева О. Д., Сасковец А. В. Акустическая томография и дефектоскопия как обратные задачи рассеяния // Вестн. Моск. Ун-та, Сер. 3. Физика, Астрономия.– 1994.– 38, N 6.– С. 61–71. 30. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике.– М.: Изд-во МГУ, 1989.– 152 с. 31. Zhang D., Gong X.-F. Experimental investigation of acoustic nonlinearity parameter tomography for excised pathological biological tissues // Ultrasound Med. Biol.– 1999.– 25, N 2.– P. 593–599. 32. Осетров А. В., Самоленков С. Н. О двух моделях акустических неоднородностей в дифракционной томографии // Акуст. ж.– 1996.– 42, N 6.– С. 679– 687. 33. Devaney A. J. Variable density diffraction tomography // J. Acoust. Soc. Amer.– 1985.– 78, N 1.– P. 120–130. 34. Kaveh M., Soumekh M., Mueller R. K. Further results on diffraction using Rytov’s approximation // Acoust. Imaging.– 1982.– 12, N 1.– P. 273–280. 35. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика.– М.: Наука, 1986.– 736 с. 36. Morse P. M., Ingard K. U. Theoretical acoustics.– New York: McGraw-Hill, 1968.– 927 p. 37. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения мате- матической физики.– М.: Наука, 1966.– 624 с. 38. Бадалян В. Г., Базулин Е. Г., Тихонов Д. С. Визуализация неоднородностей методом обобщен- ной многочастотной акустической голографии // Акуст. ж.– 1992.– 38, N3.– С. 396–401. 39. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.– М.: Наука, 1967.– 304 с. 40. Арфкен Г. Математические методы в физике.– М.: Атомиздат, 1970.– 712 с. 41. Rudenko O. V., Sarvazyan A. P., Emelianov S. Y. Acoustic radiation force and streaming induced by focused nonlinear ultrasound in a dissipative medi- um // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 99, N 5.– P. 2791–2798. 42. Walker A. R., Philips D. J., Powers D. E. Evaluati- ng Doppler devices using a moving string target // J. Clin. Ultrasound.– 1982.– 10, N 1.– P. 25–30. 43. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и моду- ляции. Том 3: Обработка сигналов в радио- и ги- дролокации и прием случайных гауссовых сигна- лов на фоне помех.– М.: Сов. радио, 1977.– 663 с. 44. Руденко О. В., Сарвазян А. П. Нелинейная аку- стика и биомедицинские приложения // Биомед. радиоэлектрон.– 2000.– N 3.– С. 6–19. 24 Е. А. Баранник

Локальные эффекты формирования ультразвукового доплеровского отклика биологических сред

Institution

Ähnliche Einträge