Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод

Представлен аналитико-численный алгоритм расчета гидроакустического волновода с параметрами, существенно меняющимися по трассе. При построении решения предполагалась возможность декомпозиции области волновода на элементарные подобласти, в которых потенциал скорости строится в виде суммы нормальных м...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2002
Автори:	Папков, С.О., Папкова, Ю.И., Ярошенко, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2002
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/954
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод / С.О. Папков, Ю.И. Папкова, А.А. Ярошенко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 3. — С. 61-71. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-954
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-9542008-10-15T18:34:52Z Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А. Представлен аналитико-численный алгоритм расчета гидроакустического волновода с параметрами, существенно меняющимися по трассе. При построении решения предполагалась возможность декомпозиции области волновода на элементарные подобласти, в которых потенциал скорости строится в виде суммы нормальных мод с неопределенными коэффициентами. Относительно последних получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Приведены примеры численных расчетов. Показано удовлетворительное согласование результатов с экспериментальными данными. Наведено аналітико-чисельний алгоритм розрахунку гідроакустичного хвилеводу з параметрами, які істотно змінюються по трасі. При побудові розв'язку передбачалась можливість декомпозиції області хвилеводу на елементарні підобласті, в яких потенціал швидкості будується у вигляді суми нормальних мод з невизначеними коефіцієнтами. Відносно останніх отримано нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Наведені приклади чисельних розрахунків. Показане задовільне узгодження результатів з експериментальними даними. An analytical-numerical algorithm of calculation of hydroacoustic waveguide with essentially varying parameters is offered. When developing the solution we accounted for the possibility to decompose the waveguide's domain into elementary subdomains, where the velocity potential is written as a sum of normal waves with undetermined coefficients. The infinite system of linear algebraic equations was obtained to found these coefficients. The examples of numerical calculations are presented. Satisfactory compliance of the results with experimental data is shown. 2002 Article Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод / С.О. Папков, Ю.И. Папкова, А.А. Ярошенко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 3. — С. 61-71. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/954 534.231 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Представлен аналитико-численный алгоритм расчета гидроакустического волновода с параметрами, существенно меняющимися по трассе. При построении решения предполагалась возможность декомпозиции области волновода на элементарные подобласти, в которых потенциал скорости строится в виде суммы нормальных мод с неопределенными коэффициентами. Относительно последних получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Приведены примеры численных расчетов. Показано удовлетворительное согласование результатов с экспериментальными данными.
format	Article
author	Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А.
spellingShingle	Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А. Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод
author_facet	Папков, С.О. Папкова, Ю.И. Ярошенко, А.А.
author_sort	Папков, С.О.
title	Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод
title_short	Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод
title_full	Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод
title_fullStr	Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод
title_full_unstemmed	Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод
title_sort	моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2002
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/954
citation_txt	Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод / С.О. Папков, Ю.И. Папкова, А.А. Ярошенко // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 3. — С. 61-71. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT papkovso modelirovanienerovnostejdonnyhsloevvgidroakustičeskomvolnovodenaosnovemetodanormalʹnyhmod AT papkovaûi modelirovanienerovnostejdonnyhsloevvgidroakustičeskomvolnovodenaosnovemetodanormalʹnyhmod AT ârošenkoaa modelirovanienerovnostejdonnyhsloevvgidroakustičeskomvolnovodenaosnovemetodanormalʹnyhmod
first_indexed	2025-07-02T04:33:10Z
last_indexed	2025-07-02T04:33:10Z
_version_	1836508292576182272
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 УДК 534.231 МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРОВНОСТЕЙ ДОННЫХ СЛОЕВ В ГИДРОАКУСТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ НА ОСНОВЕ МЕТОДА НОРМАЛЬНЫХ МОД С. О. ПАПКО В, Ю. И. ПАПКО В А, А. А. ЯРО ШЕНКО Севастопольский национальный технический университет Получено 4.06.2002 Представлен аналитико-численный алгоритм расчета гидроакустического волновода с параметрами, существенно меняющимися по трассе. При построении решения предполагалась возможность декомпозиции области волновода на элементарные подобласти, в которых потенциал скорости строится в виде суммы нормальных мод с неопре- деленными коэффициентами. Относительно последних получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Приведены примеры численных расчетов. Показано удовлетворительное согласование результатов с эк- спериментальными данными. Наведено аналiтико-чисельний алгоритм розрахунку гiдроакустичного хвилеводу з параметрами, якi iстотно змiню- ються по трасi. При побудовi розв’язку передбачалась можливiсть декомпозицiї областi хвилеводу на елементарнi пiдобластi, в яких потенцiал швидкостi будується у виглядi суми нормальних мод з невизначеними коефiцiєнта- ми. Вiдносно останнiх отримано нескiнченну систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Наведенi приклади чисельних розрахункiв. Показане задовiльне узгодження результатiв з експериментальними даними. An analytical-numerical algorithm of calculation of hydroacoustic waveguide with essentially varying parameters is offered. When developing the solution we accounted for the possibility to decompose the waveguide’s domain into elementary subdomains, where the velocity potential is written as a sum of normal waves with undetermined coefficients. The infinite system of linear algebraic equations was obtained to found these coefficients. The examples of numerical calculations are presented. Satisfactory compliance of the results with experimental data is shown. ВВЕДЕНИЕ Анализ звуковых полей, создаваемых подвод- ными источниками, широко используется как при исследованиях океана, так и при решении мно- гих прикладных задач акустики. Специфика за- дач, связанных с исследованием звуковых полей в океане, заключается в необходимости комплексно- го учета многих факторов, влияющих на процесс распространения звуковых волн, таких как фор- ма профиля скорости звука, геоакустические свой- ства дна и его неровности, поверхностные волны, гидродинамические процессы, внутренние локаль- ные неоднородности среды. Наиболее существен- ными из этих факторов являются скорость звука в океане, геологические и геометрические свойства дна [1]. Общая модель скорости звука может быть представлена в следующем виде: c(x, z, t) = c0(z) + c1(x) + c2(x, t), где x, z – пространственные координаты; c0(x) – рефракционный член; c1(x) – поправка к скорости звука, вызванная особенностями среды (обычно она имеет порядок c0 ·10−2); c2(x, t) – случайная компонента (порядка c0 ·10−4). Как правило, те- оретические исследования звуковых полей в оке- ане заключаются в построении математических приближений к реальной среде. При этом сло- жность полученных моделей волноводов опреде- ляется не только степенью влияния вышепере- численных факторов на распространение звука, но и возможностями вычислительной реализации. На сегодняшний день предложено уже достаточ- но большое количество моделей волноводов ра- зличной степени сложности (их обзор см. в рабо- тах [1 –7]). При теоретических исследованиях звуковых по- лей в океане плодотворным оказалось использо- вание плоскослоистых моделей волноводов, учи- тывающих геоакустические свойства дна. В рам- ках таких моделей волновод рассматривается как детерминированная среда, в которой основные па- раметры (скорость звука и плотность) зависят только от глубины. Впервые модель двухслойно- го волновода, состоящего из слоя воды с посто- янным профилем скорости звука, лежащего на жидком однородном полупространстве, использо- вали Пекерис и Л. М. Бреховских. В дальнейшем эта модель была обобщена на случай дискретно- слоистого волновода И. Толстым [6]. В настоящее время не существует единой мо- дели волновода, которая, наряду с детермини- рованной зависимостью параметров акустической среды от пространственных координат, позволяла c© С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко, 2002 61 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 r= r0 0 h1 z h2 hk hk+1 hN - 1 hN ,k +1(z), ρ A,k+1 ,1 (z), ρ ,1 ,2 (z), ρ ,2 . . . cA,N (z), ρA,N . . . cB, k+1(z), ρ B,k+1 cB,1 (z), ρ B,1 cB,2 (z), ρ B,2 . . . cB, N (z), ρB, N . . . r z0 Рис. 1. Слоисто-неоднородная акустическая структура на жестком основании, позволяющая моделировать неровности дна (выступ или впадину) бы учесть влияние рельефа дна и его геологиче- ских свойств. При малых изменениях характери- стик волновода широкое распространение получи- ли параболические приближения волнового урав- нения, предложенные Л. М. Бреховских, Де Сан- то и Бэром [2]. Пападакис и Вуд [5] при вычис- лении звуковых полей в случае горизонтально- неоднородной модели волновода использовали ме- тод параболической декомпозиции. При этом зву- ковое поле представлялось в виде интеграла реше- ний двух параболических уравнений. Преимуще- ство параболических приближений заключается в том, что численное решение параболических урав- нений требует гораздо меньшего объема вычисле- ний, по сравнению с решением уравнений гипербо- лического типа, так как в данном случае расчет ве- дется при последовательном продвижении по рас- стоянию. В частности, R. H. Hardin и E. D. Tappert при решении параболического уравнения предло- жили алгоритм расщепленных шагов (split step algorithm). A. D. Pierce, D. M. Milder, Л. М. Бреховских и др. для расчета горизонтально-неоднородных вол- новодов переменной глубины с параметрами, ма- ло меняющимися на цикле луча, применили ме- тод поперечных сечений. При этом использова- лись адиабатическое приближение и лучевой ин- вариант. При численной реализации собственные числа волновода сравнения рассчитывались мето- дом сеток. В. С. Булдырев и В. С. Буслаев [7] для горизонтально-неоднородных волноводов со ско- ростью звука, медленно изменяющейся по про- странственной координате, обобщили метод нор- мальных мод. При этом были использованы адиа- батические приближения, что позволило получить асимптотическое решение задачи расчета звуково- го поля. Для указанных подходов в большинстве слу- чаев не существует аналитических представлений звукового поля, что затрудняет возможность ка- чественного анализа акустических характеристик исследуемых волноводов. Поэтому, наряду с по- строением численных решений, в настоящее время активно развиваются и численно-аналитические методы расчета звуковых полей, позволяющие по- лучить решение многих практических задач ги- дроакустики в первом приближении. В первую очередь, к таким методам следует отнести обоб- щенный метод частичных областей, разработан- ный в монографии В. Т. Гринченко и И. В. Вов- ка [9]. В смежных с гидроакустикой областях знаний, таких как электродинамика и механика твердого деформированного тела, изучение свойств волно- водов также вызывает живой интерес. Качествен- ный и количественный анализ распространения упругих волн в полупространстве, бесконечном ци- линдре, полубесконечном цилиндре и некоторых упругих телах конечных размеров дан в моногра- фии В. Т. Гринченко и В. В. Мелешко [8]. В рабо- тах В. П. Шестопалова, В. В. Щербака предложен алгоритм расчета радиально-симметричных вол- нопроводящих структур с неоднородностями на основе использования аппарата бесконечных си- стем линейных алгебраических уравнений, что по- зволяет решить исходную задачу дифракции элек- тромагнитных волн [10]. Проведенный анализ публикаций свидетель- ствует о повышенном интересе к изучению волно- вых полей в акустических средах, неоднородных по глубине и вдоль трассы (в том числе, при уче- те влияния рельефа границ). В настоящее вре- мя широкое распространение получили прибли- женные методы расчета звуковых полей в нео- днородных гидроакустических волноводах с па- раметрами, являющимися гладкими функциями глубины и мало изменяющимися на расстояниях порядка длины волны (например, горизонтально- неоднородный волновод со слабо зависящими от расстояния параметрами или волновод перемен- ной глубины с малым наклоном дна). Для расчета волноводов с резким изменением рельефа дна и существенно меняющейся на расстоянии порядка длины волны горизонтальной составляющей ско- рости звука, как правило, используются числен- ные методы. Поэтому построение аналитических решений для таких систем представляет интерес как с точки зрения анализа их звуковых полей, так и с точки зрения тестирования численных ал- горитмов. 62 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЩЕЕ РЕ- ШЕНИЕ Накопленные к настоящему времени экспери- ментальные данные о рельефе дна океана (степе- ни его изрезанности, вертикальном расчленении, углах наклона) свидетельствуют о том, что для структуры донных слоев, в большинстве случа- ев, не характерна горизонтальная слоистость [11]. Это позволяет моделировать (в нулевом прибли- жении) поверхностный донный слой как некото- рую акустическую среду с постоянными плот- ностью и скоростью распространения звука. Ни- же предлагается математическая постановка за- дачи для гидроакустического волновода, имеюще- го слоистую структуру, которая позволяет смоде- лировать радиально-симметричный выступ (впа- дину) дна путем варьирования параметров сло- ев (рис. 1). Расположим начало цилиндрической системы координат на поверхности волновода над исто- чником звука: ось Oz направлена ко дну и сов- падает с осевой линией цилиндрического высту- па (впадины). Точечный источник звука с коор- динатами (0, z0) находится над выступом (впади- ной). Радиально-симметричный волновод ограни- чен свободной поверхностью и “жидким” дном на абсолютно жестком основании. Звуковое поле в данном волноводе определяется решением неоднородного уравнения Гельмгольца ∆Φ + ω2 c2 Φ = −S(ω)δ(z − z0)δ(r) 2πr (1) со следующими граничными условиями: Φ\|z=0 = 0, ∂Φ ∂z ∣∣∣∣ z=hN = 0, (2) где Φ – амплитуда потенциала скорости; ω и S(ω) – частота и интенсивность источника; ∆ – оператор Лапласа в цилиндрической системе координат: ∆ = ∂2 ∂z2 + 1 r ∂ ∂r + ∂2 ∂r2 . Условия непрерывности звукового поля на гра- нице слоев z=hk имеют вид lim z→hk− ρkΦ = lim z→hk+ ρk+1Φ, lim z→hk− ∂Φ ∂z = lim z→hk+ ∂Φ ∂z , k = 1, 2, . . . , N − 1. (3) Область волновода разобьем на две цилиндри- ческие области: (A) – при r<r0 и (B) – при r>r0. Пусть в каждой из областей амплитуда потенциа- ла скорости принимает значения ΦA и ΦB соответ- ственно. Из условий непрерывности для Φ(r, z) и ∂Φ(r, z)/∂r на границе раздела областей r=r0 сле- дуют соотношения ρAΦA\|r=r0 = ρBΦB \|r=r0 , ∂ΦA ∂r ∣∣∣∣ r=r0 = ∂ΦB ∂r ∣∣∣∣ r=r0 . (4) Общее решение ΦA(r, z) краевой задачи (1) – (3) для области (А), удовлетворяющее как гранич- ным условиям, так и условию излучения, нахо- дится методом разделения переменных и являе- тся линейной комбинацией стоячих и бегущих мод. Для области (В) общее решение ΦB(r, z) описыва- ет уходящую от излучателя волну: ΦA = iρA(z0)S(ω) 4 ∞∑ n=0 ϕA,n(z0)ϕA,n(z) hN∫ 0 ρA(s)ϕ2 A,n(s) ds × ×H (1) 0 (ξA,nr) + ∞∑ n=0 AnϕA,n(z)J0(ξA,nr), ΦB = ∞∑ n=0 BnϕB,n(z)H (1) 0 (ξB,nr), (5) где ξA,n, ϕA,n, ξB,n, ϕB,n – собственные числа и функции следующих краевых задач: ϕ′′ A + ( ω2 c2 A(z) − ξ2 A ) ϕA = 0, ϕA(0)=0, lim z→hk− ρA,kϕA(z)= lim z→hk+ ρA,k+1ϕA(z), lim z→hk− ϕ′ A(z)= lim z→hk+ ϕ′ A(z), ϕ′ A(hN ) = 0; (6) ϕ′′ B + ( ω2 c2 B(z) − ξ2 B ) ϕB = 0, ϕB(0)=0, lim z→hk− ρB,kϕB(z)= lim z→hk+ ρB,k+1ϕB(z), lim z→hk− ϕ′ B(z)= lim z→hk+ ϕ′ B(z), ϕ′ B(hN ) = 0, k = 1, 2, . . . , N − 1. (7) Краевые задачи (6), (7) не являются задачами типа Штурма – Лиувилля. В то же время, они име- ют дискретный спектр, состоящий из конечного числа вещественных и бесконечного числа чисто мнимых собственных чисел. Собственные функ- ции ϕσ,n(z) (σ∈{A, B}) краевых задач (6), (7) С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 63 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 ортогональны c весом ρσ(z), где ρσ(z)=ρσ,k при z∈ [hk−1; hk] (k=1, 2, . . . , N), в функциональном пространстве L2[0; hN ]. Данный результат явля- ется прямым обобщением подобного факта для идеальных волноводов, для которых краевая за- дача (6), (7) вырождается в задачу Штурма – Луивилля. Пусть λn =ξ2 A,n – квадрат собственного числа краевой задачи (6), которому соответствует соб- ственная функция ϕn(z) (ϕ̄n(z) – комплексно- сопряженная функция). Тогда ϕn(z)ϕ̄n(z) = \|ϕn(z)\|2 ϕ′ n(z)ϕ̄′ n(z) = \|ϕ′ n(z)\|2. Собственная функция ϕn(z) при z∈ [hk−1; hk] удовлетворяет краевым условиям и условиям не- прерывности (3). Отметим, что этим же условиям удовлетворяет и комплексно-сопряженная функ- ция ϕ̄n(z). В частности, для функции ϕ̄n(z) спра- ведливо соотношение lim z→hk− ρkϕ̄k,n(z) = lim z→hk+ ρk+1ϕ̄k+1,n(z). Домножим дифференциальное уравнение (6) на ρA(z)ϕ̄n(z) (ρA(z)=ρA,k при z∈ [hk−1; hk]) и проин- тегрируем его от в пределах от 0 до hN : N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 [ ϕ′′ k,n(z) + ω2 c2 A,k(z) ϕk,n(z) ] × ×ϕ̄k,n(z)dz=λn N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 ϕk,n(z)ϕ̄k,n(z)dz. (8) Преобразуем первый интеграл в соотноше- нии (8), выполнив интегрирование по частям: N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 ϕ′′ k,n(z)ϕ̄k,n(z) dz = = N∑ k=1 ρA,k[ϕ′ k,n(hk)ϕ̄k,n(hk)− −ϕ′ k,n(hk−1)ϕ̄k,n(hk−1)]− − N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 ϕ′ k,n(z)ϕ̄′ k,n(z) dz = = − N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 \|ϕ′ k,n(z)\|2 dz. (9) При получении выражения (9) было исполь- зовано следующее тождество, полученное с учетом условий непрерывности (3). При груп- пировке слагаемых была выполнена замена ϕ′ k+1,n(hk)=ϕ′ k,n(hk), k=1, 2, . . ., N−1: N∑ k=1 ρA,k[ϕ′ k,n(hk)ϕ̄k,n(hk)− −ϕ′ k,n(hk−1)ϕ̄k,n(hk−1)] = = ρA,1ϕ ′ 1,n(h1)ϕ̄1,n(h1)− −ρA,1ϕ ′ 1,n(0)ϕ̄1,n(0)+ +ρA,2ϕ ′ 2,n(h2)ϕ̄2,n(h2)− −ρA,2ϕ ′ 2,n(h1)ϕ̄2,n(h1) + . . .+ +ρA,N ϕ′ N,n(hN )ϕ̄N,n(hN )− −ρA,N ϕ′ N,n(hN−1)ϕ̄N,n(hN−1) = = [ρA,1ϕ̄1,n(h1)− −ρA,2ϕ̄2,n(h1)]ϕ ′ 1,n(h1) + . . .+ +[ρA,N−1ϕ̄N−1,n(hN−1)− −ρA,N ϕ̄N,n(hN−1)]ϕ ′ N−1,n(hN−1) = 0. (10) Из равенства (8) выразим величину λn: λn = N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 [ ω2 c2 A,k(z) \|ϕk,n(z)\|2−\|ϕ′ k,n(z)\|2 ] dz N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 \|ϕk,n(z)\|2 dz . Из полученного соотношения следует, что величи- ны λn принимают действительные значения, по- скольку функции, стоящие под знаком интеграла, являются вещественными. Используя выражение (9), получим верхнюю оценку для λn: λn = N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 [ ω2 c2 A,k(z) \|ϕk,n(z)\|2−\|ϕ′ k,n(z)\|2 ] dz N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 \|ϕk,n(z)\|2 dz ≤ ≤ N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 [ ω2 c2 A,k(z) \|ϕk,n(z)\|2 ] dz N∑ k=1 ρA,k hk∫ hk−1 \|ϕk,n(z)\|2 dz ≤ max z∈[0;hN ] ω2 c2 A ( z) . 64 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 Последнее соотношение показывает, что спектр краевой задачи (6) содержит конечное количество вещественных собственных чисел ξn, соответству- ющих незатухающим модам, и бесконечное число чисто мнимых чисел, соответствующих модам, эк- споненциально затухающим с ростом расстояния r. Из тождества (10) следует свойство ортогональ- ности с весом ρA(z) для собственных функций кра- евой задачи (6), интегрируемых с квадратом в про- странстве L2[0; hN ]: hN∫ 0 ρA(z)ϕn(z)ϕm(z) dz = = δn,m hN∫ 0 ρA(z)ϕ2 n(z) dz. (11) Здесь δn,m – символ Кронекера. Отметим, что именно свойство ортогональности позволяет по- строить в области (A) общее решение, удовле- творяющее неоднородному уравнению Гельмголь- ца (1). 2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ВЕРТИ- КАЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим краевую задачу ϕ′′ k + ( ω2 c2 k(z) − ξ2 k ) ϕk = 0, k = 1, 2, . . . , N, ϕ1(0) = 0, ϕ′ N (hN ) = 0, lim z→hk− ρkϕk(z) = lim z→hk+ ρk+1ϕk+1(z), lim z→hk− ϕ′ k(z) = lim z→hk+ ϕ′ k+1(z), k = 1, 2, . . . , N − 1, (12) где ϕk(z)≡ϕk,n(z) при z∈ [hk−1; hk]. Пусть профиль скорости звука c(z) определен системой опорных точек c(zi)=ci (в частности, рассчитанных из экспериментальных данных). То- гда отрезок z∈ [0; h] разбивается на N частей си- стемой точек {hk}N k=0, h0=0, в каждой из которых профиль скорости звука аппроксимируется соот- ношением c(z)=ck(z), z∈ [hk−1; hk]. Такое пред- ставление обеспечивает существование аналити- ческих решений дифференциального уравнения. Линейно-независимые решения уравнения (12) для аппроксимации вида ( ω ck(z) )2 = ak + bkz (13) при bk 6=0 выражаются через функции Эйри: ϕk 1(z, ξ) = Ai ( ξ2 − ak 3 √ b2 k − 3 √ bk z ) , ϕk 2(z, ξ) = Bi ( ξ2 − ak 3 √ b2 k − 3 √ bk z ) , (14) а при bk =0 – через показательную и тригономе- трические функции: ϕk 1(z, ξ)=    cos( √ ak−ξ2 z), ak−ξ2≥0, exp( √ ξ2−ak z), ak−ξ2 <0, ϕk 2(z, ξ)=    sin( √ ak−ξ2 z), ak−ξ2≥0, exp(− √ ξ2−ak z), ak−ξ2<0. (15) В выражениях (13) – (15) принято ak = ω2 hk+1 − hk ( hk+1 c2 k − hk c2 k+1 ) , bk = ω2 hk+1 − hk ( 1 c2 k+1 − 1 c2 k ) . Таким образом, на отрезке аппроксимации про- филя скорости звука z∈ [hk; hk+1] общее решение дифференциального уравнения (12) имеет вид ϕk = C1,kϕ1,k(z) + C2,kϕ2,k(z), (16) где ϕ1,k(z), ϕ2,k(z) – линейно-независимые ре- шения уравнения (12); C1,k и C2,k – неопре- деленные коэффициенты. Используя представле- ние (16), получаем из условий (12) следующую од- нородную систему линейных алгебраических урав- С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 65 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 нений относительно C1,k и C2,k, k=1, 2, . . ., N :    ϕ1,1(0)C1,1 + ϕ2,1(0)C2,1 = 0, ρ1ϕ1,1(h1)C1,1 + ρ1ϕ2,1(h1)C2,1− −ρ2ϕ1,2(h1)C1,2 − ρ2ϕ2,2(h1)C2,2 = 0, ϕ′ 1,1(h1)C1,1 + ϕ′ 2,1(h1)C2,1− −ϕ′ 1,2(h1)C1,2 − ϕ′ 2,2(h1)C2,2 = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ρkϕ1,k(hk)C1,k + ρkϕ2,k(hk)C2,k− −ρk+1ϕ1,k+1(hk)C1,k+1− −ρk+1ϕ2,k+1(hk)C2,k+1 = 0, ϕ′ 1,k(hk)C1,k + ϕ′ 2,k(hk)C2,k− −ϕ′ 1,k+1(hk)C1,k+1− −ϕ′ 2,k+1(hk)C2,k+1 = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϕ′ 1,N (hN )C1,N + ϕ′ 2,N (hN )C2,N = 0. (17) Приравняв к нулю определитель однородной системы (17), получим дисперсионное уравнение для определения собственных чисел {ξn}: ∆(ξ) = 0. (18) Элементы определителя (18) выражаются че- рез степенные, тригонометрические, показатель- ные функции и функции Эйри и Бесселя (см. фор- мулы (14), (15)). Следовательно, в комплексной ξ-плоскости существует счетное множество нулей уравнения (18), и краевая задача (12) имеет дис- кретный спектр λn≡ξ2 n. После определения собственных чисел из одно- родной системы (17) находим соответствующие им ненулевые решения {C1,k(ξn), C2,k(ξn)}, позволяю- щие построить общее решение задачи (16). 3. СВЕДЕНИЕ К БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕ- НИЙ Воспользовавшись условиями непрерывно- сти (4) и свойством ортогональности вертикаль- ных собственных функций, получим следующую бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффи- циентов, входящих в выражение для потенциала скорости (5):    xm = 1 γA m ∞∑ n=0 In,myn − iS(ω) 4γA m ρA(z0)× ×ϕA,m(z0)H (1) 0 (ξA,mr0), ym = 1 γB mξB,m H (1) 0 (ξB,mr0) H (1) 1 (ξB,mr0) ∞∑ n=0 J1(ξA,nr0) J0(ξA,nr0) × ×ξA,nIm,nxn + iρA(z0)S(ω) 4γB mξB,m H (1) 0 (ξB,mr0) H (1) 1 (ξB,mr0 )× × ∞∑ n=0 ξA,n γA n ϕA,n(z0)H (1) 1 (ξA,nr0)Im,n, m = 0, 1, 2 . . . . (19) В соотношениях (19) Im,n = hN∫ 0 ρB(z)ϕA,n(z)ϕB,m(z) dz; γσ m = hN∫ 0 ρσ(z)ϕ2 σ,m(z) dz, σ ∈ {A, B}; xm = XmJ0(ξA,mr0); ym = YmH (1) 0 (ξB,mr0). При вычислении коэффициентов бесконечной системы (19) основная трудность состоит в вычис- лении интегралов Im,n. В общем случае, их значе- ния могут быть найдены с помощью численных или аналитических процедур. Например, Im,n до- пускают представление в квадратурах при выпол- нении следующих условий: ω2 c2 B(z) − ω2 c2 A(z) = K при z ∈ [hk1 ; hk2 ], cA(z) = cB(z) в остальной части волновода. (здесь K – некоторая константа). Кроме того, ука- занные интегралы вычисляются точно, если ско- рость звука в морской среде на уровне выступа (или внутри впадины) является постоянной вели- 66 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 чиной. Тогда, интегрируя по частям, получаем Im,n = 1 ξ2 B,m − ξ2 A,n × × { N∑ j=1 ρB,j [ (ϕ (j) B,m(z))′ϕ (j) A,n(z)− −ϕ (j) B,m(z)(ϕ (j) A,n(z))′ }∣∣∣∣ hj hj−1 + + K (ξ2 B,m − ξ2 A,n)(ξ2 B,m − ξ2 A,n −K) × × k2∑ j=k1 ρB,j [ (ϕ (j) B,m(z))′ϕ (j) A,n(z)− −ϕ (j) B,m(z)(ϕ (j) A,n(z))′ }∣∣∣∣ hj hj−1 , где ϕ (j) σ,n =ϕσ,n при z∈ [hj−1; hj]. Для численного решения бесконечной систе- мы (19) применялся метод редукции: все неиз- вестные в бесконечной системе, начиная с но- мера Nr , полагались равными нулю, а уравне- ния при m≥Nr отбрасывались. Полученная ко- нечная система линейных алгебраических уравне- ний решалась относительно неизвестных xn, yn, n=0, 1, . . . , Nr−1. Особенности применения ука- занной вычислительной методики в задачах излу- чения и рассеяния звука подробно изложены в ра- боте [9]. Сходимость метода редукции при решении бес- конечных систем (19) для волновода, в котором верхний слой дна, включая выступ, состоит из осадков, иллюстрируется табл. 1, в которой даны значения неизвестных h1xm при различных значе- ниях порядка редукции Nr. Вычисления проводи- лись при следующих параметрах: • верхний слой дна – ρ0=1.8 г/см 3 , c0 =1600 м/с; • морская вода – ρB = 1.0 г/см 3 , cB =1450 м/с. Из таблицы видно, что наибольшую погрешность несут в себе последние компоненты приближенно- го решения. При этом неизвестные величины до- статочно быстро убывают по мере роста их поряд- кового номера. 4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В качестве численного примера приведем ра- счет поля модуля потенциала скорости \|Φ\| для гидроакустического волновода, имеющего глубину h1=100 м, с цилиндрическим выступом высотой 0.5h1 и радиусом 2h1 (рис. 2). Волновод располо- жен на слое осадков глубиной h2=2h1. Расчеты выполнялись при единичной интенсив- ности источника S(ω) для четырех случаев: а) дно и выступ абсолютно жесткие (идеальные граничные условия), что приближенно соот- ветствует модели каменистого грунта; б) верхний слой дна, включая выступ, состоит из осадков с параметрами ρ0 =2.0 г/см3, c0=1800 м/с; в) выступ, состоящий из осадков с параме- трами ρ1 =1.8 г/см 3 , c1 =1600 м/с, располо- жен на слое с параметрами ρ0 =2.0 г/см 3 , c0=1800 м/с; г) верхний слой дна, включая выступ, состоит из осадков с параметрами ρ0 =1.8 г/см 3 , c0=1600 м/с. Параметры морской среды полагались равными ρB =1.0 г/см 3 , cB = 1450 м/с. Из рис. 2 следует, что во всех исследованных случаях картины изолиний имеют одинаковый ка- чественный характер. Вариации параметров “жид- кого” дна приводят лишь к небольшим изменени- ям потенциала скорости. В основном, различия на- блюдаются под выступом около дна, где находится зона повышенных значений амплитуды потенциа- ла скорости, а следовательно, и звукового давле- ния. Такая особенность в распределении звуково- го давления, наблюдающаяся на низких частотах при различных физических параметрах слоистого дна, является характерной для рассматриваемого типа его геометрии (ступенчатая неровность). 5. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ- НЫМИ ДАННЫМИ Физическая модель, описанная в предыдущих разделах, обладает значительной степенью идеа- лизации. Исходя из этого, для верификации пре- дложенного подхода к расчету звукового поля было проведено сравнение вычислений с экспери- ментальными данными, полученными при измере- ниях в бухте Казачья (г. Севастополь). Эксперимент проводился при ясной погоде, мор- ское дно – ровное, глубина – 5 м. В качестве источника гармонического сигнала использовался пьезокерамический цилиндр, а в качестве прием- ника – гидрофон. Все измерительные устройства были откалиброваны в должном порядке. С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 67 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 Табл. 1. Сходимость метода редукции Nr = 10 Nr = 25 h1x0 −0.00039601 +0.00482324i −0.00040289 +0.00476042i h1x1 0.00015038 +0.00068632i 0.00014437 +0.00068047i h1x2 −0.00027878 −0.00290392i −0.00029506 −0.00290644i h1x4 −0.00011688 −0.00362165i −0.00011521 −0.00363183i 1x9 −0.00042777 −0.00010467i −0.00039300 −0.00013770i h1x24 — −0.00000167 +0.00001069i h1x49 — — Nr = 50 Nr = 100 h1x0 −0.00040399 +0.00475345i −0.00040441 +0.00475150i h1x1 0.00014343 +0.00067997i 0.00014318 +0.00067984i h1x2 −0.00029728 −0.00290814i −0.00029789 −0.00290841i h1x4 −0.00011517 −0.00363291i −0.00011522 −0.00363330i h1x9 −0.00039142 −0.00013848i −0.00039101 −0.00013867i h1x24 0.00000164 +0.00000699i 0.00000138 +0.00000659i h1x49 0.00001676 −0.00000256i −0.00001448 −0.00000373i 2h 3h 5h h 0.8h 0.6h 0.4h 0.2h 0 4h 0.1 0.05 0.01 0.01 0.01 0.05 z0 hz r 0.5h r0 h 2h 3h 4h 5h h 0.8h 0.6h 0.4h 0.2h 0 z r0.01 0.05 0.05 0.05 0.050.1 z0 0.5h а б h 2h 3h 4h 5h h 0.8h 0.6h 0.4h 0.2h 0 z r 0.01 0.05 0.05 0.1 0.01 0.05 0.01 0.05 z0 h 2h 3h 4h 5h h 0.8h 0.6h 0.4h 0.2h 0 z r 0.01 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.1 z 0 в г Рис. 2. Изолинии модуля потенциала скорости для источника, расположенного в точке (0.1h, 0), на частоте 100 Гц 68 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 Уровень фонового шума по гидрофону в конце измерений составлял 20 мВ. Водный слой имел не- большие вариации температуры: ∆t◦=2◦C (сред- нее значение температуры принималось равным t◦ср=25◦C). Средняя скорость звука вычислялась в соответствии с [11]: cср =1494 м/с, ∆c=2 м/с. Над источником звука располагался буй из пенопласта. Замеры амплитуды звукового давления проводи- лись при разных глубинах погружения приемника на расстоянии 5 м от источника. На рис. 3 показана структура гидроакустическо- го волновода, использованная при построении тео- ретического решения. Главное отличие этой поста- новки задачи от постановки, рассмотренной ранее (см. рис. 1), заключается в том, что теперь источ- ник звука полагается линейным, расположенным на отрезке [z01; z02] (z01=2 м, z02=3 м). Имеющиеся геологические данные свидетель- ствуют о том, что на месте проведения экспе- римента дно состоит из слоя песка, расположен- ного на каменистом основании. На рис. 3 ка- менистое дно аппроксимируется абсолютно жес- тким основанием, а слой песка – “жидким” слоем высотой (h3 =5 м), характеризующимся плотнос- тью ρ0 =2.0 г/см3 и скоростью звука c0 =1800 м/с (данные значения характерны для крупного пе- ска). Физические параметры буя полагались рав- ными ρб=0.2 г/см 3 ; cб=500 м/с [12] при размерах r0=0.5 м, h1 =0.2 м. Потенциал скорости вычисляется для данной модели волновода согласно алгоритму, предложен- ному в предыдущем разделе. В соответствии с принципом суперпозиции [13], для источника, рас- пределенного вдоль отрезка, с единичной интен- сивностью S(ω) общие решения в областях (А) и (В) (рис. 3) записываются как интегралы от выра- жений (5) (интегрирование выполняется по обла- сти источника – в пределах от z02 до z01): Φ̃A = i 4 ∞∑ n=0 z02∫ z01 ρA(z0)ϕA,n(z0)dz0 hN∫ 0 ρA(s)ϕ2 A,n(s)ds × ×ϕA,n(z)H (1) 0 (ξA,nr)+ + ∞∑ n=0 AnϕA,n(z)J0(ξA,nr); Φ̃B = ∞∑ n=0 BnϕB,n(z)H (1) 0 (ξB,nr). (20) r= r0 0 h1 z h2 h3 ( ) r z01 z02 ( ) Рис. 3. Модель волновода, используемая для сравнения с экспериментальными данными Соответствующая бесконечная система линей- ных алгебраических уравнений для определения коэффициентов An, Bn имеет вид    xm = 1 γA m ∞∑ n=0 In,myn− − iH (1) 0 (ξA,mr0) 4γA m z02∫ z01 ρA(z0)ϕA,m(z0)dz0, ym = 1 γB mξB,m H (1) 0 (ξB,mr0) H (1) 1 (ξB,mr0) × × ∞∑ n=0 J1(ξA,nr0) J0(ξA,nr0) ξA,nIm,nxn+ + i 4γB mξB,m H (1) 0 (ξB,mr0) H (1) 1 (ξB,mr0) × × ∞∑ n=0 ξA,n γA n H (1) 1 (ξA,nr0)Im,n× × z02∫ z01 ρA(z0)ϕA,m(z0)dz0, m = 1, 2, . . . , (21) где Im,n = hN∫ 0 ρB(z)ϕA,n(z)ϕB,m(z)dz; γσ m = hN∫ 0 ρσ(z)ϕ2 σ,m(z)dz, σ ∈ {A, B}; xm = XmJ0(ξA,mr0); ym = YmH (1) 0 (ξB,mr0). С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 69 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 z, \|P\|, а 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 z, \|P\|, б 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 z, \|P\|, в Рис. 4. Модуль амплитуды звукового давления, вычисленный на расстоянии r=5 м от источника: сплошная – теоретические значения, штриховая – экспериментальные значения; a – ω = 1000 Гц, б – ω=1100 Гц, в – ω=1200 Гц Табл. 2. Относительная погрешность совпадения расчетных данных с экспериментальными Частота, Гц 1000 1100 1200 δ, % 6.8 10.9 11.6 Система (21), как и система (19), решалась методом редукции, что позволило восстановить искомый потенциал скорости. Полученное реше- ние (20) должно совпадать с искомым звуковым давлением с точностью до константы, зависящей от частоты, плотности среды и интенсивности источника. Параметр h3, определяющий высоту слоя осадков на абсолютно жестком основании, подбирался с шагом 0.1 м таким образом, что- бы невязка полученного теоретического решения с экспериментальными данными была наимень- шей. Его оптимальное значение оказалось равным h3=7.8 м, что согласуется с данными о строении морского дна. На рис. 4 приведены значения нормированно- го модуля амплитуды звукового давления, рассчи- танные из выражения (20) и полученные экспери- ментально, для различных частот излучения. Зна- чения, полученные в эксперименте, на рисунках аппроксимированы сплайнами. Относительная по- грешность совпадения расчетов с экспериментом приведена в табл. 2, из которой следует, что с рос- том частоты возрастает и погрешность расчетов. При частотах ω≥1300 Гц относительная погре- шность превосходит 60 %. По-видимому, это свя- зано со значительной степенью идеализации, ха- рактерной для используемой модели (неучет зату- хания волн при распространении в толще морской воды и при отражении от дна, упрощенные фи- зическая структура и геометрия дна и т. д.). В то же время, удовлетворительным оказалось совпа- дение с экспериментом на частотах, соответству- ющих небольшому количеству незатухающих мод в системе (в случае, соответствующем рис. 4, оно составляло 2÷3). Таким образом, можно сделать вывод о применимости данного подхода в указан- ном частотном диапазоне. Для изучения влияния буя на звуковое поле был рассчитан модуль звукового давления в случае, когда буй отсутствует. В отсутствие буя расче- тная формула для потенциала скорости имеет бо- лее простой вид: Φ̃= i 4 ∞∑ n=0 z02∫ z01 ρ(z0)ϕn(z0)dz0 hN∫ 0 ρ(s)ϕ2 n(s)ds ϕn(z)H (1) 0 (ξnr). (22) На рис. 5 приведены значения модулей звуково- го давления для частоты 1000 Гц, рассчитанные из соотношения (22) и полученные экспериментально (при наличии буя). Наибольшая относительная по- 70 С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 3. С. 61 – 71 грешность расчетов составила 7.2 %. Следователь- но, влиянием буя в рамках предложенной модели можно пренебречь. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенные исследования позволили сделать следующие выводы. 1. Расчет звуковых полей для слоистого волно- вода на твердом основании, имеющего под источником звука радиально симметричный выступ, показал, что вариация параметров “жидкого” дна приводит к небольшим изме- нениям потенциала скорости (в основном, под выступом около дна, где находится зона по- вышенных значений звукового давления). Та- кая особенность в распределении звукового давления наблюдается при различных физи- ческих параметрах слоистого дна и является характерной для рассматриваемого типа его неровностей. 2. Для слоистого волновода на абсолютно жест- ком основании при наличии буя на поверхно- сти совпадение расчетных значений звуково- го давления с экспериментальными данными оказалось удовлетворительным для частот, соответствующих относительно небольшому количеству незатухающих мод. Таким обра- зом, предложенный численно-аналитический метод следует применять для частот, на кото- рых в системе существуют две – три распро- страняющиеся моды. 3. Анализ влияния буя на звуковое поле в пло- скослоистом волноводе с абсолютно жестким основанием показал, что присутствие буя не вносит существенных изменений в волновую картину, по сравнению со случаем свободной поверхности волновода. 1. Акустика океана / Под ред. Дж. Де Санто.– М.: Мир, 1982.– 318 с. 2. Бреховских Л. М., Лысанов Ю. П. Теоретические основы акустики океана.– Л.: Гидрометеоиздат, 1982.– 264 с. 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 z, \|P\|, Рис. 5. Модуль амплитуды звукового давления, вычисленный на расстоянии r=5 м от источника: сплошная – теоретические значения для модели без буя, штриховая – экспериментальные значения 3. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред.– М.: Наука, 1989.– 416 с. 4. Акустика океана: 80-ая школа-семинар акад. Л. М. Бреховских / РАН. Ин-т океа- нологии. Акуст. ин-т. РАО.– М.: Геос, 2000.– 211 с. 5. Распространение волн и подводная акустика / Под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. Пападакиса.– М.: Мир, 1980.– 229 с. 6. Толстой И., Клей К. С. Акустика океана. Теория и эксперимент в подводной акустике.– М.: Мир, 1969.– 301 с. 7. Булдырев В. С., Буслаев В. С. Применение анали- тических и численных методов в задачах распро- странения звука в океане // Акустические волны в океане.– М.: Наука, 1987.– С. 24–34. 8. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 9. Гринченко В. Т., Вовк И. В. Волновые задачи рас- сеяния звука на упругих оболочках.– К.: Наук. думка, 1986.– 240 с. 10. Щербак В. В. Многократные реализации в за- дачах дифракции // Доповiдi НАН України. Сер. А.– 1997.– N 4.– С. 103–108. 11. Егоров Н. И. Физическая океанография.– Л.: Ги- дрометеоиздат, 1974.– 455 с. 12. Таблицы физических величин / Под ред. И. К. Кикоина.– М.: Атомиздат, 1976.– 1006 с. 13. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики.– Л.: Судостроение, 1972.– 352 с. С. О. Папков, Ю. И. Папкова, А. А. Ярошенко 71

Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод

Репозитарії

Схожі ресурси