Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями
The problem of identification is considered for an external non-stationary loading, which acts on an electroelastic bimorph (metal – piezoceramics) beam with split- type electrically conductive coverings. The solution is obtained with using the Laplace integral transform in time. The transiti...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95406 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями / Бабаев А.Э., Янчевский И.В. // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 60-70. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95406 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954062016-02-26T03:02:51Z Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями Бабаев, А.Э. Янчевский, И.В. The problem of identification is considered for an external non-stationary loading, which acts on an electroelastic bimorph (metal – piezoceramics) beam with split- type electrically conductive coverings. The solution is obtained with using the Laplace integral transform in time. The transition to the original space is done analytically. The basic quantities are determining basing on the solution of system of Volterra integral eqquations. Розглянуто задачу ідентифікації зовнішнього нестаціонарного навантаження, що діє на електропружну біморфну (метал – п’єзокераміка) балку з розрізними струмопровідними покриттями. Розв’язок отримано з використанням інтегрального перетворення Лапласа у часі. Перехід в простір оригіналів виконано аналітично. Основні величини визначаються на основі розв’язання системи інтегральних рівнянь Вольтерра. 2010 Article Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями / Бабаев А.Э., Янчевский И.В. // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 60-70. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95406 0032-8243 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The problem of identification is considered for an external non-stationary
loading, which acts on an electroelastic bimorph (metal – piezoceramics) beam with split-
type electrically conductive coverings. The solution is obtained with using the Laplace integral
transform in time. The transition to the original space is done analytically. The basic quantities
are determining basing on the solution of system of Volterra integral eqquations. |
| format |
Article |
| author |
Бабаев, А.Э. Янчевский, И.В. |
| spellingShingle |
Бабаев, А.Э. Янчевский, И.В. Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями Прикладная механика |
| author_facet |
Бабаев, А.Э. Янчевский, И.В. |
| author_sort |
Бабаев, А.Э. |
| title |
Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями |
| title_short |
Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями |
| title_full |
Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями |
| title_fullStr |
Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями |
| title_full_unstemmed |
Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями |
| title_sort |
определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95406 |
| citation_txt |
Определение ударной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную балку с разрезными токопроводящими покрытиями / Бабаев А.Э., Янчевский И.В.
// Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 60-70. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT babaevaé opredelenieudarnojnagruzkidejstvuûŝejnaélektroupruguûbimorfnuûbalkusrazreznymitokoprovodâŝimipokrytiâmi AT ânčevskijiv opredelenieudarnojnagruzkidejstvuûŝejnaélektroupruguûbimorfnuûbalkusrazreznymitokoprovodâŝimipokrytiâmi |
| first_indexed |
2025-07-07T02:12:36Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:12:36Z |
| _version_ |
1836952434644090880 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 9
60 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 9
А . Э . Б а б а е в 1
, И .В .Ян ч е в с к и й 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ
НА ЭЛЕКТРОУПРУГУЮ БИМОРФНУЮ БАЛКУ
С РАЗРЕЗНЫМИ ТОКОПРОВОДЯЩИМИ ПОКРЫТИЯМИ
1
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: artashes@i.com.ua
2
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет,
ул. Петровского, 25, 61002, Харьков, Украина; e-mail: yanchevsky@khadi.kharkov.ua
Abstract. The problem of identification is considered for an external non-stationary
loading, which acts on an electroelastic bimorph (metal – piezoceramics) beam with split-
type electrically conductive coverings. The solution is obtained with using the Laplace inte-
gral transform in time. The transition to the original space is done analytically. The basic
quantities are determining basing on the solution of system of Volterra integral eqquations.
Key words: asymmetric bimorph beam, identification, non-stationary loading, Laplace
integral transform.
Введение.
Конструктивные элементы, обладающие электроупругими свойствами, находят
широкое практическое применение в качестве датчиков давлений или механических
вибраторов, работающих, соответственно, в режиме прямого или обратного пьезо-
электрического эффекта. Вышеуказанным объясняется интерес к исследованиям в
области электроупругости и гидроэлектроупругости, большинство из которых выпол-
нено в предположении, что динамический процесс является периодическим во време-
ни [4, 7]. К актуальным относятся задачи данного научного направления, сформули-
рованные в нестационарной постановке. Это обусловлено расширением функцио-
нальных возможностей пьезопреобразователей энергии при их работе в переходных
режимах. Библиографии публикаций, посвященных исследованиям нестационарных
процессов при взаимодействии систем тонкостенных электроупругих оболочек с
жидкостью, приведены в монографии [1] и обзорной статье [9]. Из публикаций по-
следних лет по указанной проблематике отметим [11 – 13].
Достаточно распространенными в инженерной практике являются электромеха-
нические преобразователи биморфного типа, представляющие собой двухслойные
(металл – пьезокерамика) пластинки или балки. Нестационарные колебания биморф-
ной полосы и балки со сплошными токопроводящими покрытиями при их, соответст-
венно, электрическом и механическом возбуждениях исследованы в статьях [2, 3]. В
процессе эксплуатации электроупругих конструктивных элементов возможны случаи,
когда внешняя нестационарная нагрузка является априори неизвестной. Тогда ее вид
может быть определен, в частности, на основании данных регистрации разности по-
тенциалов между токопроводящими покрытиями пьезопреобразователей, работаю-
щих в режиме прямого пьезоэлектрического эффекта. Указанной проблематике по-
священа настоящая статья.
61
1. Постановка задачи.
Рассмотрим биморфную электроупругую балку прямоугольного поперечного се-
чения длиной 2l , шириной b и с толщинами слоев
m
h и
p
h . Индексами «m» и «p»
обозначены физические и геометрические характеристики, соответственно, металли-
ческого и пьезокерамического элементов двухслойного пакета. Введем декартову
систему координат xOz , ось Ox которой совпадает с осью приведения балки и от-
стоит от плоскости контакта слоев на расстоянии
0
z (рис. 1).
l
h
p
h
m
O
z
P(x,t)
z
0
x
2
V1 V2 V
N
V -1V -2V
-N
∆l
x0
x1 x2
Рис. 1
Начало координат равноудалено от торцов балки. Постановка рассматриваемой зада-
чи выполнена в рамках гипотез Кирхгофа – Лява для двухслойного пакета в целом [2,
10]. С их учетом продольные перемещения u изменяются по толщине линейно
( ( ) ( )0
u x, z,t u x,t=
( )w x,t
z
x
∂
−
∂
,
0
u – перемещения точек, принадлежащих оси приве-
дения
0
z z= ), а поперечные w – не зависят от z ( ( ) ( )w x, z,t w x,t= ). Отметим, что
при
p 2 m 2
11 p 11 m
0
1
2
c h c h
z
B
−
= , где
p m
1 11 p 11 m
B c h c h= + , m
11
c и p
11
c – модули упругости металличес-
кого и пьезокерамического элементов пакета, функции
0
u и w удовлетворяют неза-
висимым уравнениям [2, 10]. Электроупругий слой поляризован вдоль вертикальной
оси Oz . Токопроводящее покрытие (электрод) на границе
p 0
z h z= − + разделено раз-
резами на 2N равных частей. Сплошное покрытие на поверхности контакта слоев
заземлено, что обеспечивает равенство нулю потенциала электрического поля пьезо-
керамического слоя при
0
z z= . Выбран вариант шарнирного опирания торцов балки,
подвижных в продольном направлении. Не понижая общности разработанного метода
решения, ограничимся случаем действия на биморф нестационарной распределенной
нагрузки ( )P x,t , симметричной относительно оси Oz ( ) ( )( )P x,t P x,t− = . Между
токопроводящими покрытиями (сплошным и секциями разрезного:
1
0 x x< < ,
1
0x x− < < ; …;
1N
x x l
−
< < ,
1N
l x x
−
− < < − ;
i
x i l= ⋅ ∆ , 1i ,..., N= , l l N∆ = ), в резуль-
тате деформирования балки, возбуждаются разности потенциалов
1
V ,
1
V
−
, …,
N
V ,
N
V
−
(имеет место режим прямого пьезоэлектрического эффекта). При этом, между
разомкнутыми электродами пьезокерамического слоя не протекают токи смещений
1
I ,
1
I
−
, …,
N
I ,
N
I
−
. Очевидно, что в случае симметричной относительно оси Oz на-
грузки, выполняются равенства
1 1
V V
−
= , …,
N N
V V
−
= .
Введем безразмерные обозначения, согласно которым продольные
0
u и попереч-
ные w перемещения, а также геометрические параметры l , b ,
p
h ,
m
h ,
0
z , x и z
отнесены к l ; время t – к
2
2 1
B l B (
2 p p m m
B h hρ ρ= + ,
p
ρ и
m
ρ – плотности мате-
62
риалов двухслойного пакета); продольное усилие
x
T и внешняя нагрузка P – к
1
bB ;
изгибающий момент M – к
1
bB l ; разности потенциалов
i
V
±
( 1i ,..., N= ) и напряжен-
ность электрического поля
z
E – к
1 1 31
b B e lξ = (
31
e – пьезомодуль керамики); ин-
дукция
z
D – к
1 33 31
S
bB e lε (
33
S
ε – диэлектрическая проницаемость материала); токи
смещений
i
I
±
между электродами
p 0
z h z= − + и
0
z z= – к
2 31 31
S
bB l eε .
С учетом принятых допущений неизвестные
0
u и w удовлетворяют следующим
уравнениям [2]:
2 2
0 0
2 2
0
u u
x t
∂ ∂
− =
∂ ∂
; (1)
4 2
4
0 04 2
w w
P
x t
β γ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
, (2)
где
4
0 2 3
B l Bβ = ; 2
0 1 3
B l Bγ = ;
2 322
p pp 2 m 2 31m
3 11 p 0 0 p 11 m 0 0 m
333 3 12
S
h heh
B c h z z h c h z z h
ε
= − + + + + +
.
В случае указанных ранее условий закрепления торцов балки и условий непроте-
кания токов смещений в пьезокерамическом слое (его электроды разомкнуты) выпол-
няются равенства: 0
x x l
T
=±
= , 0
x l
w
=±
= , 0
x l
M
=±
= , 0
i
I
±
= ( )1i , ..., N= , которые
записываются относительно неизвестных
0
u , w ,
i
V
±
( )1i , ..., N= в виде [2]
01
31
N
x l
uB
V
e l x
±
=±
∂
=
∂
; 0
x l
w
=±
= ;
2
1
4 2
0 31
N
x l
B w
V
e a xβ
±
=±
∂
= −
∂
;
1
31 p
0
33
i
i
x
i S
x
e h a w
V u
l xlε
−
±
∂
= − −
∂∆
(i=1,….,N;
0 p
2a z h= − ). (3)
Начальные условия – однородные (до момента времени 0t = биморфная балка
находится в состоянии покоя).
2. Задача идентификации.
Пусть разности потенциалов между электродами пьезокерамического слоя
i
V
±
( )1i ,..., N= являются известными величинами переменной t (например, зарегистри-
рованными измерительными устройствами). Задача состоит в определении внешней
ударной нагрузки ( )P x,t , которая аппроксимируется в виде кусочно-постоянной
четной функции переменной x ,
( )
( )
( ) ( ) ( )1
1
N
N
i i i
i
P x,t p t H x x H x x
−
=
= − − − ∑% . (4)
В представлении (4)
( )
( )
N
i
p t – искомые величины; ( )H x – единичная функция
Хевисайда.
Разложим нагрузку ( )P x,t% (4) в ряд Фурье
( )
( )
( )
1
1 1
2
sin sin cos
N
N i i
i
i k
k x k xl k x
P x,t p t
l k l l l
π π π
π
∞
−
= =
∆
= + −
∑ ∑% . (5)
63
Отметим, что в задаче идентификации (1) – (5), в отличие от рассмотренной ниже
прямой задачи, где внешняя ударная нагрузка ( )P x,t является известной функцией,
продольные перемещения и прогибы балки в дальнейшем будут обозначены через
0
u%
и w% . Ее решение, соответствующее нагрузке ( )P x,t% , получено с использованием
интегрального преобразования Лапласа по времени. В пространстве изображений об-
щие решения дифференциальных уравнений (1) – (2) при нечетных продольных
0
u%
( ) ( )( )0 0u x,t u x,t= − −% % и четных поперечных w% ( ) ( )( )w x,t w x,t= −% % перемещениях, с
учетом разложения (5), имеют вид
( ) ( ) ( ) ( )[ ]0
1
L L
s l x s l xu x,s B s e e
s
− − − +
= −
% ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 2 2
1
N
N L LL L L L L
i i
i
w x,s A s F x,s A s F x,s p s x,s
=
= + + Ψ∑ %% , (6)
где
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
0 2 2 2
1
1 1L
i ik
k k
x,s x
s s
α α
µ
∞
=
Ψ = +
+
∑% ;
( )1 0
0 4
0
l
l
γ
α
β
∆
= ;
( )
( )
1 0
4
0
2
cos
ik ik
k x
x
k l
γ π
α η
πβ
=
; 1sin sini i
ik
k x k x
l l
π π
η
−
= − ;
2 2
2 2
0
k
k
l
π
µ
β
= .
Здесь индексом L обозначены соответствующие трансформанты; s – параметр пре-
образования; ( )1
L
A s , ( )2
L
A s , ( )
L
B s – неизвестные функции;
( ) ( ) ( )1 1 2
L L L
F x,s f x,s f x,s= + ; ( ) ( ) ( )2 1 2
L L L
F x,s g x,s g x,s= + ;
( )
( )
( )( )
1
j
y x sL
j j
f x, s e cos y x s
s
−
= ; ( )
( )
( )( )
1
j
y x sL
j j
g x,s e sin y x s
s
−
= ; (7)
( ) ( )0
1
1
2
j
j
y x l xβ = + −
( )1 2j ;= .
В результате подстановки решений (6) в условия (3) получим уравнение относи-
тельно неизвестной ( )
L
B s и систему 2N + уравнений относительно ( )1
L
A s , ( )2
L
A s
и
( )
( )
N L
i
p s ( )1i , ..., N= :
( ) ( ) ( )2
1
L L
ls
N
B s V se
−
=+ ; ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 2 2
1
0
N
N L LL L L L
i i
i
A s F l ,s A s F l ,s p s l ,s
=
+ + Ψ =∑ % ;
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1 2 2 1 2
1
1N
N L LL L L L L
i i N
i
A s F l ,s A s F l ,s p s s V s
s
ξ
=
− − Ψ = −∑ % ; (8)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 2 2 4
1
j j
L L L L L
s l x s l x
j j
A s s A s s B s
e e
s
ξ −
− − − −
Φ + Φ −
− −
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )1
3
3
1
j j
N
N L L L
s l x s l x
i ij j
i
p s s V s
e e
ξ−
− + − +
=
− Ψ =
− + ∑ % ( )1j ,..., N= ,
где введены обозначения:
64
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 4 1 3 3 1
L L L L L
j j j j j
s F x ,s F x ,s F x ,s F x ,s
− −
Φ = − + − ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 1 3 3 1
L L L L L
j j j j j
s F x ,s F x ,s F x ,s F x ,s
− −
Φ = − − + ;
( ) ( ) ( )3 1 2
L L L
F x,s s f x,s f x,s = − ; ( ) ( ) ( )4 1 2
L L L
F x,s s g x, s g x, s = − ; (9)
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1
1L
i ik
k k
s
s s
α
µ
∞
=
Ψ =
+
∑% ;
( )
( )
( )3 3
2 2
1
1L
ij ik jk
k k
s
s
α η
µ
∞
=
Ψ =
+
∑% ;
( ) ( )
( )
2 1
ik ik ik k
lα α η µ= ;
( )3 0
5
0
2 2
ik ik
l
γ
α η
β
= ; 2
2 0
a
l
ξ β= ; 33
3 4
31 p
S
l
e h
ε
ξ ξ
∆
= ;
4
0
2l
a
ξ
β
= .
Решение системы уравнений (8) связано с необходимостью раскрытия определи-
телей 3N + порядка. При этом получаемые формулы для искомых величин становят-
ся настолько сложными и громоздкими, что последующая их инверсия связана с
принципиальными математическими трудностями. Согласно разработанному методу
решения производится строгое обращение равенств (8) и удовлетворение им осущест-
вляется в пространстве оригиналов. В результате неизвестная функция ( )B t опреде-
ляется по формуле
( ) ( ) ( ) ( )2 2
N
B t V t B t l H t l= − − ⋅ − , (10)
а ( )1
A t , ( )2
A t и
( )
( )
N
i
p t ( )1i ,..., N= – при решении следующей системы 2N + ин-
тегральных уравнений Вольтерра:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 2 2
10 0 0
0
t t tN
N
i i
i
A F l ,t d A F l ,t d p l ,t dτ τ τ τ τ τ τ τ τ
=
− + − + Ψ − =∑∫ ∫ ∫ % ;
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1 2 2 1 2
10 0 0 0
t t t tN
N
i i N
i
A F l ,t d A F l ,t d p t dt V d ;τ τ τ τ τ τ τ τ ξ τ τ
=
− − − − Ψ − = −∑∫ ∫ ∫ ∫%
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3
1 1 2 2
10 0 0
t t tN
N
j j i ij
i
A t d A t d p t dτ τ τ τ τ τ τ τ τ
=
Φ − + Φ − − Ψ − =∑∫ ∫ ∫ % (11)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )1
3 4 1
0 0
j j
t l x t l x
j
j j
V t H t l x B d H t l x B dξ ξ τ τ τ τ
−
− − − −
−
= + − − − − − −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) 1
1
0 0
j j
t l x t l x
j j
H t l x B d H t l x B dτ τ τ τ
−
− + − +
−
− − + + − +
∫ ∫ ( )1j , , N= K ,
где принято:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
0
1
1
sin
i ik ik k
k k
x,t t x tα α η µ
µ
∞
=
Ψ = +∑% ;
( )
( )
( )
( )
2 2
2
1
1
1 cos
i ik ik k
k k
t dtα η τµ
µ
∞
=
Ψ = − ∑% ;
( )
( )
( )
( )
3 3
sin
ij ik ik jk k
k=1 k
1
t = tα η η µ
µ
∞
Ψ ∑% .
65
В приведенных равенствах ядра ( )1
F l,t , ( )2
F l,t (7) и ( )1 j
tΦ , ( )2 j
tΦ (9), кото-
рые выражаются через функции ( )3
F x,t и ( )4
F x,t , получены аналитически с исполь-
зованием таблиц операционного исчисления [5]:
( )
( )( )
( ) ( )
2 2
1 1
cos 1
2 2
j
y x s j j
j
y x y x
L e C Sy x s
s t t
−−
= − −
;
( )
( )( )
( ) ( )
2 2
1 1
sin
2 2
j
y x s
j j
j
y x y x
L e C Sy x s
s t t
−−
= −
;
( )
( )( )
( )
2
1 1 1
cos cos
2
j
y x s j
j
y x
eL y x s
ts tπ
−−
=
;
( )
( )( )
( )
2
1 1 1
sin sin
2
j
y x s
j
j
y x
L e y x s
s t tπ
−−
=
,
где ( )
( )
0
cos1
2
C d
ζ
κ
ζ κ
π κ
= ∫ и ( )
( )
0
sin1
2
S d
ζ
κ
ζ κ
π κ
= ∫ – интегралы Френеля; 1
L
− –
оператор обратного преобразования Лапласа.
Решение системы интегральных уравнений (11) получено численно. Выбранный
временной интервал разбивался на отрезки t∆ и на каждом шаге по времени t при-
менены квадратурные аппроксимации искомых величин в виде прямоугольников. Для
получения устойчивого решения системы использованы специальные регуляризи-
рующие алгоритмы [6, 8]. Точность выполненных расчетов контролировалась варьи-
рованием значений шага разбиения t∆ . Коэффициент относительной невязки прини-
мался равным 0,05.
Значения ( )1
A t , ( )2
A t , ( )B t и
( )
( )
N
i
p t ( )1i , ..., N= позволяют восстановить
внешнюю ударную нагрузку ( )P x,t% , приближенно представленную в виде кусочно-
постоянной функции (4), и найти продольные перемещения точек оси приведения
( )0
u x,t% и прогиб балки ( )w x,t% , которые в результате инверсии выражений (6) опре-
деляются формулами
%
( ) ( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
0
0 0
t l x t l x
u x,t H t l x B d H t l x B dτ τ τ τ
− − − +
= − − − − +∫ ∫ ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 2 2
10 0 0
t t tN
N
i i
i
w x,t A F x,t d A F x,t d p x,t dτ τ τ τ τ τ τ τ τ
=
= − + − + Ψ −∑∫ ∫ ∫ %% (12)
Аналогично могут быть вычислены другие характеристики напряженно-деформи-
рованного состояния биморфа.
3. Прямая задача.
Для определения разностей потенциалов между секционированными электродами
пьезокерамического слоя, используемых при идентификации внешней нагрузки
( )P x,t% , решена соответствующая прямая задача, при формулировке которой функции
66
( )Q t и ( )R x ( ) ( ) ( )( )P x,t Q t R x= ⋅ являются заданными, а ( )
j
V t (j = 1, …, N),
( )0
u x,t и ( )w x,t – искомыми. В этом случае при записи формул (6) и (8) слагаемое
( )
( )
( )
( )
1
1
N
N L L
i i
i
p s x,s
=
Ψ∑ % следует заменить на ( )
( )
( )
1 LL
Q s x,sΨ ,
( )
( )
( )
( )
2
1
N
N L L
i i
i
p s s
=
Ψ∑ % –
на ( )
( )
( )
2 LL
Q s sΨ ,
( )
( )
( )
( )
3
1
N
N L L
i ij
i
p s s
=
Ψ∑ % – на ( )
( )
( )
3 LL
j
Q s sΨ , где
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1 1
0 2 2 2
10
1
cos
l
L k
k k
x k
x,s R d
ls s
α πξ
ξ ξα
µ
∞
=
Ψ = +
+
∑∫ ;
( )
( ) ( )
( )
( )
1
2
2
2 2
1
cos
N
l
L k
kx k
k
s R d
ls s
α πξ
ξ ξ
µ
−
∞
=
Ψ =
+
∑∫ ;
( )
( ) ( )
( )
1
3
3
2 2
1
cos
j
j
x
jkL
j
k kx
k
s R d
ls
α πξ
ξ ξ
µ
−
∞
=
Ψ =
+
∑∫ ;
( )1 0
0 4
0 l
γ
α
β
= ;
( )
( )
1 0
4
0
2
cos
k
k x
x
l l
γ π
α
β
=
;
( ) ( )
( )
2 1
k k k
lα α µ= ;
( )3 0
5
0
2 2
jk jk
l
γ
α η
β
= .
Оригиналы функций ( )1 L
Ψ , ( )2 L
Ψ и
( )3 L
j
Ψ являются табличными [5]. Остальные
компоненты общих решений (6) и системы (8) остаются неизменными.
В результате инверсии системы уравнений, обеспечивающих принятые условия
закрепления торцов и непротекания токов в пьезокерамическом слое, данная задача,
как и предыдущая, сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра,
аналогичной (11). Формула, описывающая прогиб балки, примет вид
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 1 2 2
0 0 0
t t t
w x,t A F x,t d A F x,t d Q x,t dτ τ τ τ τ τ τ τ τ= − + − + Ψ −∫ ∫ ∫ .
На первом этапе рассмотрена прямая задача, в результате решения которой при
заданной внешней нагрузке ( ) ( ) ( )P x,t Q t R x= ⋅ определены разности потенциалов
между токопроводящими покрытиями ( )
j
V t (j = 1, …, N) и прогибы ( )w x,t . Далее
числовые значения функций ( )
j
V t использованы как исходные данные при решении
задачи идентификации силового воздействия.
4. Числовые результаты.
При проведении расчетов приняты следующие параметры асимметричной би-
морфной балки: l = 25 мм, b = 10 мм; hр = 1 мм, ρр=7600 кг / м
3
, p
11
c =13,6⋅10
10
Н/м
2
,
33
S
ε =1280 ⋅ ε0, ε0 = 8,85⋅10
-12
Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума; d31=
=–178⋅10
-12
Кл/H, e31 = –7,9 Кл/м
2
(пьезокерамика PZT-5 [4]); hm=0,5 мм, ρm =
= 7800 кг/м
3
, m
11
c =11,3⋅10
10
Н/м
2
(титан ВТ-6).
На рис. 2, а приведены функции
( )
( )
N
i
p t , фигурирующие в кусочно-ступенчатом
представлении внешней нагрузки ( )P x,t% (4), полученные при исходных значениях
67
( )
j
V t (j = 1, …, N), которые были вычислены при воздействии нагрузки вида
( ) ( ) ( )cos 2P x,t H t xπ= ⋅ . Сплошные линии соответствуют случаю 4N = , штрихо-
вая – 1N = . На рис. 2, б показано распределение по длине балки аппроксимирован-
ной ( )P x, t% при 4N = (сплошная линия) и заданной при решении прямой задачи
( )P x, t (штриховая линия) нагрузок в момент времени 200t = .
Результаты расчетов свидетельствуют, что при четырехчленной аппроксимации
(4) функции
( )
( )
4
i
p t близки к постоянным значениям. Поэтому на рис. 2, б вид
( )P x, t% остается практически неизменным при любых других значениях t. В случае
1N = наблюдаются значительные осцилляции
( )
( )
1
1
p t , в результате чего значения
( )
( )
( )
1
1P x, t p t=% изменяются в достаточно широком диапазоне.
0
140
p
(N)
i
(t)
1
t
0.5
p
(1)
1 (t)
280
p
(4)
1 (t) p
(4)
2 (t) p
(4)
3 (t) p
(4)
4 (t)
а
0
0.25
P
x
0.5
0.5 0.75
t=200
P
t=200
б
Рис. 2
68
На рис. 3 в виде сплошных линий изображены результаты вычислений
( )
( )
N
i
p t
(рис. 3, а), когда 3N = (токопроводящее покрытие на поверхности
0 p
z z h= − состоит
из шести секций), и ( )P x, t% – в момент времени 200t = (рис. 3, б). При этом нагруз-
ка, используемая в прямой задаче, имела вид ( ) ( ) ( )[ 210 ]P x,t H t H t= − − ×
( )1 0 5H x , × − − .
Штриховая линия иллюстрирует график ( )P x,t при 200t = (рис. 3, б). В интер-
вале времени ( )0 210t≤ ≤ , когда нагрузка отлична от нуля, изменения коэффициен-
тов
( )
( )
3
i
p t во времени несущественны, а при 210t > – они близки к нулю. Характер-
но, что на рис. 2, б и 3, б площади, ограниченные кривыми ( )P x,t% и ( )P x, t , осью
абсцисс и ординатами 0x = и 1x = , практически совпадают. Для этого варианта на-
гружения выполнено сопоставление результатов расчета прогибов балки в точках
0x = и 0 5x ,= , полученных при решении прямой задачи (пунктирные линии) и зада-
чи идентификации (сплошные линии) (рис. 4).
140 t280
0
p
(3)
i
(t)
p
(3)
1 (t)
p
(3)
2 (t)
p
(3)
3 (t)
0.5
1
а
0
0.33 x0.67
0.5
P
t=200
P
t=200
б
Рис. 3
69
0
140 280
w(x,t)
t
-1
-2
1
w(x,t)
x=0
x=0.5
Рис. 4
Отметим, что при построении графиков значения ( )w x,t% и ( )w x,t были отнесе-
ны к статическому прогибу балки в точке 0x = при действии единичной нагрузки
вида ( ) ( )1 0 5P x H x ,= − − . Несмотря на некоторое отличие кривых ( )P x,t% и
( )P x, t , приведенных на рис. 3, б, результаты расчетов прогибов ( )w x,t% и ( )w x,t
достаточно близки (рис. 4).
Заключение. Таким образом, в данной работе рассмотрена задача идентификации
внешней нестационарной нагрузки, действующей на электроупругую биморфную
(метал – пьезокерамика) балку с разрезанными токопроводящими покрытиями. Ре-
шение получено с использованием интегрального преобразования Лапласа во време-
ни. Переход в пространство оригиналов выполнено аналитически. Основные величи-
ны определяются на основе решения интегральных уравнений Вольтерра.
Отметим также, что полученные результаты свидетельствуют об эффективности
разработанного метода идентификации нестационарных нагрузок, действующих на
электроупругие биморфные балки.
Р Е З Ю М Е . Розглянуто задачу ідентифікації зовнішнього нестаціонарного навантаження, що
діє на електропружну біморфну (метал – п’єзокераміка) балку з розрізними струмопровідними по-
криттями. Розв’язок отримано з використанням інтегрального перетворення Лапласа у часі. Перехід в
простір оригіналів виконано аналітично. Основні величини визначаються на основі розв’язання сис-
теми інтегральних рівнянь Вольтерра.
1. Бабаев А.Э. Нестационарные волны в сплошных средах с системой отражающих поверхностей. –
К.: Наук, думка, 1990. – 176 с.
2. Бабаев А.Э., Бабаев А.А., Янчевский И.В. Нестационарные колебания биморфной балки в режимах
прямого и обратного пьезоэлектрического эффекта // Актуальные проблемы физико-механичес-
ких исследований. Акустика и волны. – 2007. – № 3. – С. 16 – 27.
3. Бабаев А.Э., Мосеенков Ю.Б. Нестационарные колебания тонкостенной электроупругой полосы //
ДАН УССР. Серия: Математика, естествознание, технические науки. – 1994. – № 12. – С. 54 – 58.
4. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – К.: Наук. думка, 1989. – 280 с. –
(Механика связанных полей в элементах конструкций: В 6-ти т. Т.5.)
5. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высш. шк.,
1965. – 466 с.
70
6. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некоррект-
ных задач. – М.: Наука, 1990. – 229 с.
7. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – К.: Наук. думка, 1990. – 228 с.
8. Янютин Е.Г., Янчевский И.В., Воропай А.В., Шарапата А.С. Задачи импульсного деформирования
элементов конструкций. – Харьков: ХНАДУ, 2004. – 392 с.
9. Guz A.N., Kubenko V.D., Babaev A.E. Dynamics of Shell Systems Interacting with a Liquid // Int. Appl.
Mech. − 2002. − 38, N 3. − P. 260 − 301.
10. Rudnitskii S.I., Sharapov V.M., Shul'ga N.A. Vibrations of a Bimorphic Disk Transducer of the Metal-
Piezoceramic Type // Int. Appl. Mech. – 1990. – 26, N 10. − P. 973 – 980.
11. Shul'ga N.A., Grigor'eva L.O. Method of Characteristics in Analysis of the Propagation of Electroelastic
Thickness Oscillations in a Piezoceramic Layer under Electric Excitation // Int. Appl. Mech. − 2008. −
44, N 10. – P. 1093 − 1097.
12. Shul'ga N.A., Grigor'eva L.O. Propagation of Two-Dimensional Nonstationary Vibrations in an Electri-
cally Excited Piezoceramic Prismatic Body // Int. Appl. Mech. − 2008. − 44, N 11. – P. 1258 − 1264.
13. Wang H.M., Ding H.J., Chen Y.M. Dynamic Solution of a Multilayered Orthotropic Piezoelectric Hollow
Cylinder for Axisymmetric Plane Strain Problems // Int. J. Solids and Struct. − 2005. − 42, iss. 1. –
P. 85 − 102.
Поступила 28.08.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|