О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин
The harmonic elastoelectric vibrations of a thin ring plate are considered. An effect of boundary conditions on the natural frequencies is studied. The asymptotic properties of the frequency spectrum are established. A dependence of the resonance frequencies, current anti-resonance, dynamica...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95408 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин / Н.А. Шульга, О.И. Безверхий, О.И. Макиевский // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 75-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95408 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954082016-02-26T03:02:48Z О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин Шульга, Н.А. Безверхий, О.И. Макиевский, О.И. The harmonic elastoelectric vibrations of a thin ring plate are considered. An effect of boundary conditions on the natural frequencies is studied. The asymptotic properties of the frequency spectrum are established. A dependence of the resonance frequencies, current anti-resonance, dynamical coefficient of electro-magnetic coupling on the relative size of plate is analyzed. В задачах для гармонічних пружноелектричних коливань тонкої кільцевої пластини досліджено вплив граничних умов на власні частоти, встановлено асимптотичні властивості частотного спектру, проаналізовано залежність частот резонансу, антирезонансу струму та динамічного коефіцієнта електромеханічного зв’язку від відносного розміру пластини. 2010 Article О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин / Н.А. Шульга, О.И. Безверхий, О.И. Макиевский // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 75-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95408 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The harmonic elastoelectric vibrations of a thin ring plate are considered. An
effect of boundary conditions on the natural frequencies is studied. The asymptotic properties of
the frequency spectrum are established. A dependence of the resonance frequencies, current
anti-resonance, dynamical coefficient of electro-magnetic coupling on the relative
size of plate is analyzed. |
| format |
Article |
| author |
Шульга, Н.А. Безверхий, О.И. Макиевский, О.И. |
| spellingShingle |
Шульга, Н.А. Безверхий, О.И. Макиевский, О.И. О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин Прикладная механика |
| author_facet |
Шульга, Н.А. Безверхий, О.И. Макиевский, О.И. |
| author_sort |
Шульга, Н.А. |
| title |
О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин |
| title_short |
О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин |
| title_full |
О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин |
| title_fullStr |
О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин |
| title_full_unstemmed |
О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин |
| title_sort |
о резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95408 |
| citation_txt |
О резонансных частотах упругоэлектрических колебаний пьезокерамических пластин / Н.А. Шульга, О.И. Безверхий, О.И. Макиевский // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 75-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT šulʹgana orezonansnyhčastotahuprugoélektričeskihkolebanijpʹezokeramičeskihplastin AT bezverhijoi orezonansnyhčastotahuprugoélektričeskihkolebanijpʹezokeramičeskihplastin AT makievskijoi orezonansnyhčastotahuprugoélektričeskihkolebanijpʹezokeramičeskihplastin |
| first_indexed |
2025-07-07T02:12:42Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:12:42Z |
| _version_ |
1836952440630411264 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 9
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 9 75
Н .А .Шул ь г а 1
, А .И . Б е з в е р х и й 2
, О .И .Ма к и е в с к и й 3
О РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТАХ УПРУГОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
1 3− Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина,
e-mail:
1, 3
electr@inmech.kiev.ua; 2
o_bezver@ukr.net;
Abstract. The harmonic elastoelectric vibrations of a thin ring plate are considered. An
effect of boundary conditions on the natural frequencies is studied. The asymptotic proper-
ties of the frequency spectrum are established. A dependence of the resonance frequencies,
current anti-resonance, dynamical coefficient of electro-magnetic coupling on the relative
size of plate is analyzed.
Key words: piezoceramic plate, resonance and anti-resonance frequencies, asymptotics
of frequency spectrum.
Введение.
Пьезоэлектрические тонкостенные конструктивные элементы круглой формы ис-
пользуются в ультразвуковых устройствах разного функционального назначения.
Осесимметричные радиальные колебания тонких пьезокерамических дисков и коль-
цевых пластин с толщинной поляризацией, начиная со статьи [12], изучены во многих
работах [1, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14]. Однако, систематический анализ влияния условий
закрепления краев пластины на резонансные частоты колебаний отсутствуют. Этому
вопросу и посвящено настоящее исследование.
В данной статье установлены асимптотические свойства частотного спектра и по-
казано, что уже при низких частотах с допустимой погрешностью их можно опреде-
лить по простым асимптотическим формулам. Выяснено также, какие из условий за-
крепления соответствуют более жесткой механической системе. Выяснена зависи-
мость частот резонанса, антирезонанса тока, а также динамического коэффициента
электромеханической связи (КЭМС) от относительного размера пластины.
§1. Постановка задачи.
Тонкую пьезокерамических пластину толщиной h отнесем к цилиндрической
системе координат or zθ , координатная плоскость 0z = которой совпадает со сре-
динной плоскостью пластины. При осесимметричных колебаниях пластины с тол-
щинной поляризацией воспользуемся [5, 7] материальными соотношениями в форме
11 12 13 13 ;E E E
r r z z
s s s d E
θ
ε σ σ σ= + + +
21 11 13 13 ;E E E
r z z
s s s d E
θ θ
ε σ σ σ= + + +
( )31 33 33 ;E E
z r z z
s s d E
θ
ε σ σ σ= + + +
( )31 33 33 .T
z r z z
D d d E
θ
σ σ σ ε= + + + (1.1)
Если тонкая пьезокерамическая пластина с электродированными лицевыми плос-
костями 2z h= ± находится в условиях плоского напряженного состояния, то, при-
няв [5, 7] гипотезы ( , )
r r
u u r t= , 0u
θ
= , 0
z
σ = , ( , )
z z
E E r t= , из соотношений (1.1)
получим формулы
76
312
11
1
(1 ) ;
(1 )
r r
r E E zE
E
u u
d E
r rs
σ ν ν
ν
∂
= + − +
∂−
312
11
1
(1 )
(1 )
r r
E E zE
E
u u
v d E
r rs
θ
σ ν
ν
∂
= + − +
∂−
, (1.2)
в которых использованы формулы для деформаций в цилиндрических координатах и
12 11
E E
E
v s s= − .
Из трех уравнений колебаний в цилиндрических координатах в случае осесим-
метричной плоской задачи используется [6, 8] только одно
2
2
rr r
u
r r t
θ
σ σσ
ρ
−∂ ∂
+ =
∂ ∂
. (1.3)
При электродированных лицевых плоскостях тонкая пластина находится между
эквипотенциальными поверхностями и электрическое поле в ней можно принять не-
зависимым от координат ,r θ . В таком случае, подставляя (1.2) в (1.3), получаем урав-
нение колебаний относительно перемещения ( , )
r
u r t в виде
2 2
2
112 2 2
1
(1 ) Er r r r
E
u u u u
s
r rr r t
ν ρ
∂ ∂ ∂
+ − = −
∂∂ ∂
. (1.4)
При неэлектродированных лицевых плоскостях пластины из пьезокерамики как
диэлектрика с большой относительной диэлектрической постоянной, электрические
граничные условия при 2z h= ± имеют вид [6, 8] ( , , 2 , ) 0
z
D r z h tθ = ± = . Поскольку
пластина является тонкой, то можно принять 0
z
D = по всему объему пластины. То-
гда из материальных зависимостей (1.1), пренебрегая
z
σ и определив из четвертого урав-
нения (1.1) 31 33( ) T
z r
E d
θ
σ σ ε= − + и подставив это значение
z
E в первые два уравнения
(1.1), получим
2
11
1
;
(1 )
r r
r DD
D
u u
r rs
σ ν
ν
∂
= +
∂−
2
11
1
(1 )
r r
DD
D
u u
r rs
θ
σ ν
ν
∂
= +
∂−
. (1.5)
В этих формулах используются такие зависимости для постоянных материала:
2
11 11 31 33
D E T
s s d ε= − , 2
12 12 31 33
D E T
s s d ε= − , 12 11
D D
D
s sν = − . (1.6)
Подставляя (1.5) в (1.3), получим уравнение относительно ( , )
r
u r t в виде
2 2
2
112 2 2
1
(1 ) Dr r r r
D
u u u u
s
r rr r t
ν ρ
∂ ∂ ∂
+ − = −
∂∂ ∂
, (1.7)
которое только коэффициентом отличаются от уравнения (1.4).
§2. Радиальные электромеханические колебания кольцевой пластины (кольца).
Рассмотрим поляризуемую по толщине тонкую кольцевую пьезокерамическую плас-
тину с внутренним радиусом 0r и внешним радиусом 1r , покрытую на лицевых плоскос-
тях тонкими электродами. При гармонических колебаниях ( , ) Re ( ) expa
r r
u r t u r i tω= %
с циклической частотой ω% решение уравнения (1.4) относительно амплитуды пере-
мещение ( )a
r
u r выражается [6] через цилиндрические функции Бесселя первого и вто-
рого рода первого порядка
( ) ( ) ( )1 1
a
r E E
u r ARJ k r BRY k r= + . (2.1)
где 2 2 2
11(1 ) E
E E
k sν ρω= − % .
77
Пользуясь (2.1), (1.2), находим следующие выражения для напряжений
r
σ ,
θ
σ :
( ) ( ) ( )( )1 1 132
11
1
Re 1 ;
(1 )
a i t
r E E E zE
E
Aa k r Bb k r v d E e
s
ω
σ
ν
= + − +
−
(2.2)
( ) ( ) ( )( )2 2 132
11
1
Re 1
(1 )
a i t
E E E zE
E
Aa k r Bb k r v d E e
s
ω
θ
σ
ν
= + − +
−
,
где a
z
E – амплитуда напряженности электрического поля, Re expa
z z
E E i tω= и ис-
пользованы обозначения:
( ) ( ) ( ) ( )1 0 11 ;
E E E E E
R
a k r k RJ k r v J k r
r
= − −
( ) ( ) ( ) ( )1 0 11 ;
E E E E E
R
b k r k RY k r v Y k r
r
= − −
( ) ( ) ( ) ( )2 0 11 ;
E E E E E E
R
a k r v k RJ k r v J k r
r
= + −
( ) ( ) ( ) ( )2 0 11
E E E E E E
R
b k r v k RY k r v Y k r
r
= + − . (2.3)
Рассмотрим возможные варианты граничных условий при 0r r= и 1r r= .
При граничных условиях на свободных краях кольца
( )0 , 0;
r
r tσ = ( )1, 0,
r
r tσ = (2.4)
пользуясь формулами (2.1) для напряжений, получаем систему алгебраических урав-
нений
( ) ( ) ( )1 0 1 0 131 ;a
E E E z
Aa k r Bb k r v d E+ = + ( ) ( ) ( )1 1 1 1 131 ,a
E E E z
Aa k r Bb k r v d E+ = + (2.5)
из которой находим постоянные интегрирования
( ) ( ) ( )( )
1
13 1 1 1 01 ;
a
E z E E
A v d E b k r b k r
σσ
−
= + − ∆
( ) ( ) ( )( )
1
13 1 0 1 11 ,
a
E z E E
B v d E a k r a k r
σσ
−
= + − ∆ (2.6)
где определитель имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 1 1 0E E E E
a k r b k r a k r b k r
σσ
∆ = − . (2.7)
Из формул (2.1), (2.2), (2.6) следует, что резонансные частоты определяются из
частотного уравнения
( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 1 1 0 0
E E E E
a k r b k r a k r b k r− = . (2.8)
При высоких частотах, пользуясь асимптотическими формулами для цилиндрических
функций [3, 6]
( )
2
cos ;
2 4
n
n
J z z
z
π π
π
≅ − −
( )
2
sin
2 4
n
n
Y z z
z
π π
π
≅ − −
, (2.9)
для частотного уравнения (2.8) находим асимптотическое выражение
( )
2
1 0
0 1
2
sin 0E
E
k R
k r r
r rπ
− ≈ . (2.10)
78
Это значит, что с увеличением частот свободных колебаний их можно определить по
асимптотической формуле
( )
1 0
1
E
n R
k R
r r
π−
=
−
, (2.11)
в которой целое число 1n >> . Частотный спектр (2.11) отвечает колебаниям за ради-
альными формами, когда на ширине кольца 1 0r r− укладывается целое число полу-
волн (полуволновые колебания). Такое свойство частотного спектра без теоретиче-
ского обоснования было отмечено в статье [4].
При внутреннем жестко закрепленном и внешнем свободном краях кольца
( )0 , 0;
r
u r t = ( )1, 0
r
r tσ = (2.12)
постоянные интегрирования определяются из алгебраической системы
( ) ( )1 0 1 0 0;
E E
AJ k r BY k r+ = ( ) ( ) ( )1 1 1 1 131 a
E E E z
Aa k r Bb k r v d E+ = + , (2.13)
и имеют такой вид:
( ) ( )
1
13 1 01 a
E z E u
A v d E Y k r
σ
−
= − + ∆ , ( ) ( )
2
1
13 1 01
a
E z E r
B v d E J k r
−
= + ∆ , (2.14)
где для определителя
uσ
∆ имеем выражение
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 0 1 1 1 0 1 1r E E E E
J k r b k r Y k r a k r∆ = − . (2.15)
Из формул (2.1), (2.2), (2.14) следует, что резонансные частоты определяются из час-
тотного уравнения
( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 0 1 1 0
E E E E
J k r b k r Y k r a k r− = . (2.16)
При высоких частотах, пользуясь асимптотическими формулами (2.9) для цилиндри-
ческих функций, для частотного уравнения (2.16) находим асимптотическое выражение
( )1 0
0 1
2
cos 0
E
R
k r r
r rπ
− ≈ . (2.17)
Это значит, что с увеличением частот свободных колебаний их можно определить по
асимптотической формуле
( )
1 0
2 1 2
E
R n
k R
r r
π−
=
−
, (2.18)
в которой целое число 1n >> . Частотный спектр (2.18) отвечает колебаниям по ради-
альным формам, когда на ширине кольца 1 0r r− укладывается нечетное число четвер-
тей волны (четвертные колебания).
При свободном внутреннем крае и закрепленном внешнем крае
0( , ) 0;
r
r tσ = 1( , ) 0.
r
u r t = (2.19)
постоянные интегрирования находятся из системы алгебраических уравнений
( ) ( ) ( )1 0 1 0 131 ;a
E E E z
Aa k r Bb k r v d E+ = + ( ) ( )1 1 1 1 0
E E
AJ k r BY k r+ = , (2.20)
и имеют вид
( ) ( )
3
1
13 1 11 ;
E za E r
A v d E Y k r
−
= + ∆ ( ) ( )
1
13 1 11 ;
E za E u
B v d E J k r
σ
−
= − + ∆ (2.21)
( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 0 1 1u E E E E
a k r Y k r b k r J k r
σ
∆ = − . (2.22)
79
Из формул (2.1), (2.2), (2.21) следует, что резонансные частоты определяются из час-
тотного уравнения
( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 0 1 1 0
E E E E
a k r Y k r b k r J k r− = . (2.23)
При высоких частотах, используя асимптотические формулы (2.9), для частотного
уравнения (2.23) находим асимптотическое выражение
( )1 0
0 1
2
cos 0,
E
R
k r r
r rπ
− ≈ (2.24)
которое совпадает с (2.17). Это значит, что с увеличением частот свободных колеба-
ний их можно определить по асимптотической формуле
( )
1 0
2 1 2
E
R n
k R
r r
π−
=
−
, (2.25)
в которой целое число 1n >> . Частотный спектр (2.25), как и частотный спектр (2.18),
отвечает колебаниям за радиальными формами, когда на ширине кольца 1 0r r− укла-
дывается нечетное число четвертей волны (четвертные колебания). Отметим, что
асимптотические значения собственных частот колебаний при граничных условиях
(2.12) и (2.19), как это следует из формул (2.25) и (2.18), совпадают.
При колебаниях деформируемого тела наряду с резонансными частотами могут
появляться частоты, при которых какая-либо из полевых функций превращается в
нуль. Такие частоты принято называть антирезонансными частотами соответствую-
щей полевой функции. В электроупругости важное значение имеют антирезонансные
частоты тока проводимости.
Для их определения находим амплитуду тока проводимости через электродиро-
ванное кольцо 0 1r r r< <
( )
( ) ( )( )
13
1 1 1 0 1 0
11
2
1
a
E EE
E
Rd
I i A r J k r r J k r
s
π
ω
ν
= − − +
−
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 1 2
1 1 1 0 1 0 1 0 33 1T
E E p
B rY k r r Y k r i r r h U kωπ ε
−+ − + − − , (2.26)
где 2 2 1
1 0 33( ) T T
r r h Cπ ε
−
− = – диэлектрическая емкость пластины, 2 2
13 11 332 / (1 ) E T
E p
d s kν ε− =
– планарный КЭМС [1, 2]; U – разность потенциалов на электродах при 1a
z
E Uh
−
= − .
Пользуясь формулой (2.26) и значениями постоянных интегрирования при различных
граничных условиях (2.4), (2.12), (2.19), которые сокращенно представим в виде
( ) ( )131 ;a
E z E
A d E a k Rν= + ( ) ( )131 ,a
E z E
B d E b k Rν= + (2.27)
для проводимости при различных граничных условиях получим следующую формулу:
( )
2
2
1 1 0 1 02 2
1 0
1 (1 ) ( ) ( ) ( )
pT
p E E E E
Rk
Y i C k a k R r J k r r J k r
r r
ω ν
= − + + − + −
( )1 1 1 0 1 0( ) ( ) ( ) .
E E E
b k R rY k r r Y k r
+ −
(2.28)
Таким образом, антирезонанс тока a
I YU= определяется из условия равенства
проводимости нулю
( )
2
2
1 1 1 0 1 02 2
1 0
1 (1 ) ( ) ( ) ( )
pT
p E E E E
Rk
Y i C k a k R r J k r r J k r
r r
ω ν
≡ − + + − + −
80
( )1 1 1 0 1 0( ) ( ) ( ) 0.
E E E
b k R rY k r r Y k r
+ − =
(2.29)
При обоих жестко закрепленных краях
( )0 , 0;
r
u r t = ( )1, 0
r
u r t = (2.30)
из соответствующей системы алгебраических уравнений
( ) ( )1 0 1 0 0;
E E
AJ k r BY k r+ = ( ) ( )1 1 1 1 0
E E
AJ k r BY k r+ = (2.31)
следует, что вынужденные колебания в этом случае электрическим потенциалом не
возбуждаются, а частоты свободных (собственных) колебаний определяются из ра-
венства нулю
( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 0 1 1 0
E E E E
J k r Y k r Y k r J k r− = (2.32)
определителя системы (2.31) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 1 0 1 1uu E E E E
J k r Y k r Y k r J k r∆ = − .
При высоких частотах, пользуясь асимптотическими формулами (2.9) для цилин-
дровых функций для частотного уравнения (2.32) находим асимптотическое выражение
( )1 0
0 1
2
sin 0
E
E
k r r
k r rπ
− ≈ . (2.33)
Это значит, что с увеличением частот свободных колебаний их можно определить по
асимптотической формуле
1 0
E
nR
k R
r r
π
=
−
, (2.34)
в которой целое число 1n >> . Частотный спектр (2.8) отвечает колебаниям по ради-
альным формам, когда на ширине кольца 1 0r r− укладывается целое число полуволн
(полуволновые колебания).
§3. Анализ результатов.
Результаты расчетов резонансных частот для кольцевых пластин 0 1r r r R< < = из
пьезокерамики ЦТС-19 при физико-механических параметрах [2] 37740 кг мρ
−
= ⋅ ,
12 2
11 15,2 10 H мE
s
− −
= ⋅ ⋅ , 12 2
12 5,8 10 H мE
s
− −
= ⋅ ⋅ 12 2
13 5,3 10 H мE
s
− −
= − ⋅ ⋅ , 12 2
33 16,9 10 H мE
s
− −
= ⋅ ⋅ ,
12 2
44 42,6 10 H мE
s
− −
= ⋅ ⋅ , 12 1
13 125 10 Кл Нd
− −
= − ⋅ ⋅ , 12 1
33 304 10 Кл Нd
− −
= ⋅ ⋅ 12 1
51 450 10 Кл Нd
− −
= ⋅ ⋅ ,
11 01490T
ε ε= , 33 01380T
ε ε= , 12 1
0 8,85 10 Ф мε
− −
= ⋅ ⋅ для различных условий закрепления и
отношении радиусов 0 0,35r R = приведены в табл. 1.
В табл. 1 для каждой частоты ( )N указаны точные (над чертой) и асимптотиче-
ские (под чертой) значения. Из результатов таблицы следует, что кольцевая пластина
с закрепленной внешней границей (условия (2.19)) является более жесткой механиче-
ской системой, чем с закрепленной внутренне границей (условия (2.12)), хотя при
граничных условиях (2.12) и (2.19) собственные частоты, за исключением первых
двух частот, практически совпадают.
Как ранее отмечалось электромеханические колебания, при жестком закреплении
обоих краёв (граничные условия (2.30)), не возбуждаются. Собственные частоты при
жестком закреплении обоих краёв (2.30) согласно проведенным расчетам по (2.32)
имеют значение: 5,4277, 10,5707, 15,7642, 20,9744, 26,1917, 31,4129, 36,6361, 41,8607,
47,0863, а их асимптотические значения вычисленные по (2.35) равны 5,2289, 10,4577,
15,6866, 20,9154, 26,1443, 31,3731, 36,6020, 41,8308, 47,0597.
81
Таблица 1
Граничные условия
N
(2.4) (2.12) (2.19)
1,6266 2,8073 3,3778
1
– – –
5,5784 7,9602 8,0946
2
5,2289 7,8433 7,8433
10,6221 13,1479 13,2183
3
10,4577 13,0722 13,0722
15,7939 18,3564 18,4042
4
15,6866 18,3011 18,3011
20,9953 23,5734 23,6097
5
20,9154 23,5299 23,5299
26,2079 28,7945 28,8239
6
26,1443 28,7588 28,7588
31,4200 34,0179 34,0426
7
31,3731 33,9877 33,9877
36,6472 39,2428 39,2641
8
36,6020 39,2166 39,2166
41,8704 44,4686 44,4873
9
41,8308 44,4454 44,4454
47,0948 49,6950 49,7117
10
47,0597 49,6743 49,6743
В зависимости от условий закрепления (граничных условий) первые собственные
частоты значительно отличаются – приблизительно в два раза при закреплении по
внешнему контуру (условия (2.19)) по отношению к незакрепленным (свободным)
краям (условия (2.4)), и более чем в три раза при закреплении по обоим краям (усло-
вия (2.30)) по отношению к свободным краям (условия (2.4)). С ростом номера часто-
ты отличие в собственных частотах уменьшается до 5% для десятой частоты. Асим-
птотические формулы дают хорошее( с точностью до 5%) приближение уже для
третьих частот.
Для пьезокерамических кольцевых пластин из PZT-4 при физико-механичес-
ких параметрах [2, 5] 37500 кг мρ
−
= ⋅ , 12 2
11 12,3 10 H мE
s
− −
= ⋅ ⋅ , 12 2
12 4,05 10 H мE
s
− −
= − ⋅ ⋅
12 2
13 5,31 10 H мE
s
− −
= − ⋅ ⋅ , 12 2
33 15,5 10 H мE
s
− −
= ⋅ ⋅ , 12 2
44 39,0 10 H мE
s
− −
= ⋅ ⋅ , 12 1
13 123 10 Кл Нd
− −
= − ⋅ ⋅ ,
12 1
33 289 10 Кл Нd
− −
= ⋅ ⋅ 12 1
51 496 10 Кл Нd
− −
= ⋅ ⋅ , 11 01475T
ε ε= , 33 01300T
ε ε= , 12 1
0 8,85 10 Ф мε
− −
= ⋅ ⋅
при условияx закрепления краёв (2.12) в табл. 2 приведены первые резонансные
r
ω и
антирезонансные
ar
ω частоты при различных отношениях 0r R . Так как на резонанс-
ной частоте механические величины и электрический ток достигают максимальных
значений, а на антирезонансной частоте электрический ток минимален, то «расстоя-
ние» между этими частотами характеризует эффективность электромеханического
преобразования энергии (динамический КЭМС) определяется по формуле Мезона
2 2 2 2( ) /
d ar r ar
k ω ω ω= −% % % [11]).
Отметим, что при малых отношениях 0r R (0,001; 0,1) резонансные
r
ω и антире-
зонансные
ar
ω чатоты практически совпадают с аналогичными частотами для сплош-
ного диска [2, 4]. С ростом отношения 0r R растут как резонансные, так антирезо-
нансные частоты. Так, первая резонансная частота при 0 0,6r R = возрастает в 1,9
раза, а антирезонансная частота – в 1,89 раза по сравнению с частотами при
0 0,001r R = . Вторая резонансная частота – при 0 0,6r R = возрастает в 2,19 раза, а
82
антирезонансная частота в 2,17 раза по сравнению с частотами при 0 0,001r R = . Ди-
намический КЭМС на первом резонансе при 0 0,001r R = равен: 2 0,626
d
k = , а при
0 0,6r R = – 2 0,23
d
k = , на втором резонансе при 0 0,001r R = КЭМС равен:
2 0,041
d
k = , при 0 0,6r R = – 2 0,036
d
k = , т.е. с ростом отношения 0r R значение
КЭМС падает.
Таблица 2
Из данных, приведенных в табл. 2 следует, что при малых отношениях 0r R
(0,001; 0,1) динамический коэффициент электромеханической связи с ростом частоты
быстро падает, в то время как при средних отношениях 0r R (0,4; 0,5; 0,6) динамиче-
ский коэффициент понижается медленнее.
Р Е З ЮМ Е В задачах для гармонічних пружноелектричних коливань тонкої кільцевої пла-
стини досліджено вплив граничних умов на власні частоти, встановлено асимптотичні властивості
частотного спектру, проаналізовано залежність частот резонансу, антирезонансу струму та
динамічного коефіцієнта електромеханічного зв’язку від відносного розміру пластини.
1. Исследование коэффициента электромеханической связи в круглых пьезокерамических пластинах /
Андрущенко В.А., Вовкодав И.Ф., Карлаш В.Л., Улитко А.Ф. // Прикл. механика. – 1975. – 11, №
4. – С. 42 – 48.
2. Кикучи Е. Ультразвуковые преобразователи. – М.: Мир, 1972. – 424 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). – М.: Наука,
1974. – 832 с.
4. Лазуткин В.Н., Цыганов Ю.В., Клюшниченко Е.Р. Радиальные колебания и электрический импе-
данс пьезокерамических колец с поляризацией по высоте // Пьезоелектрические материалы и
преобразователи. – Ростов на Дону. Изд-во РГУ: 1971. – С. 4 – 9.
5. Механика связанных полей в элементах конструкций. В 6-ти т. Т. 5. Электроупругость / Гринченко
В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. – К.: Наук. думка, 1989. – 280 с.
6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 736 с.
7. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – К.: Наук. думка, 1990. – 228 с.
8. Karlash V.L. Resonant Electromechanical Vibrations of Piezoelectric Shells of Revolution (Review) // Int.
Appl. Mech. – 2008. – 44, N 4. – P. 361 – 387.
9. Karlash V.L. Admittance-Frequency Response of a Thin Piezoceramic Half-Disk // Int. Appl. Mech. –
2009. – 45, N 10. – P. 1120 – 1126.
10. Kirichok I.F. Resonant Vibration and Heating of Ring Plates with Piezoactuators under Electromechanical
Loading and Shear Deformation // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 215 – 224.
11. Kirichok I.F., KarnaukhovM.V. Monoharmonic Vibrations and Vibrational Heating of an Electromechani-
cally Loaded Circular Plate with Piezoelectric Actuators Subject to Shear Strain // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 9. – P. 1041 – 1049.
12. Mason W.P. Electrostrictive effect in barium titanate ceramics // Phys. Rev. – 1948. – 74. – P. 215 – 222.
13. Mason W.P. Piezoelectricity, its history and applications // J. Acoust. Soc. Am. – 1981. – 70, № 6. –
P. 1561 – 1566.
14. Onoe M. Contour vibrations of isotropic circular plates // J. Acoust. Soc. Am. – 1956. – 28. – P. 1158 – 1162.
Поступила 14.05.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
0r R
0,001 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 N
r
ω
ar
ω
r
ω
ar
ω
r
ω
ar
ω
r
ω
ar
ω
r
ω
ar
ω
r
ω
ar
ω
1 2,19 2,525 2,24 2,57 2,35 2,71 2,89 3,33 3,39 3,88 4,18 4,76
2 5,714 5,835 5,93 6,06 6,46 6,595 8,39 8,56 10,02 10,21 12,48 12,71
3 9,08 9,16 9,55 9,63 10,555 10,64 13,914 14,012 16,662 16,774
4 12,423 12,484 13,18 13,25 14,675 14,736 19,445 19,516
5 15,77 15,81 16,84 16,89 18,81 18,858
6 19,10 19,136
|