О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями
A mathematical model is proposed and the results are shown of studying the structure, kinematics and dynamics of the diesel engine with oblique washers. A structural scheme of the kinematic chain of statically determinate force system of engine is elaborated. The kinematic relationships are...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95410 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями / Е.Я. Антонюк, В.А. Сахарнов, Н.И. Коваль // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 83-96. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95410 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954102016-02-26T03:02:54Z О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями Антонюк, Е.Я. Сахарнов, В.А. Коваль, Н.И. A mathematical model is proposed and the results are shown of studying the structure, kinematics and dynamics of the diesel engine with oblique washers. A structural scheme of the kinematic chain of statically determinate force system of engine is elaborated. The kinematic relationships are obtained with taking into account the presence of Hooke joints and oblique washers. A mathematical model of the engine dynamical system is described. A numerical example is considered. The kinematics and dynamical processes of the engine are studied. Запропоновано математичну модель і наведено результати дослідження структури, кінематики та динаміки дизельного двигуна з косими шайбами. Розроблено структурну схему кінематичної ланки статично визначеної силової системи двигуна. Одержано кінематичні співвідношення з урахуванням наявності шарнірів Гука і косих шайб. Описано математичну модель динамічної системи двигуна. Розглянуто числовий приклад та досліджено кінематику та динамічні процеси двигуна. 2010 Article О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями / Е.Я. Антонюк, В.А. Сахарнов, Н.И. Коваль // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 83-96. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95410 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A mathematical model is proposed and the results are shown of studying the
structure, kinematics and dynamics of the diesel engine with oblique washers. A structural scheme
of the kinematic chain of statically determinate force system of engine is elaborated. The
kinematic relationships are obtained with taking into account the presence of Hooke joints and
oblique washers. A mathematical model of the engine dynamical system is described. A numerical
example is considered. The kinematics and dynamical processes of the
engine are studied. |
| format |
Article |
| author |
Антонюк, Е.Я. Сахарнов, В.А. Коваль, Н.И. |
| spellingShingle |
Антонюк, Е.Я. Сахарнов, В.А. Коваль, Н.И. О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями Прикладная механика |
| author_facet |
Антонюк, Е.Я. Сахарнов, В.А. Коваль, Н.И. |
| author_sort |
Антонюк, Е.Я. |
| title |
О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями |
| title_short |
О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями |
| title_full |
О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями |
| title_fullStr |
О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями |
| title_full_unstemmed |
О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями |
| title_sort |
о математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95410 |
| citation_txt |
О математической модели динамической системы двигателя с пространственно качающимися звеньями / Е.Я. Антонюк, В.А. Сахарнов, Н.И. Коваль // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 83-96. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT antonûkeâ omatematičeskojmodelidinamičeskojsistemydvigatelâsprostranstvennokačaûŝimisâzvenʹâmi AT saharnovva omatematičeskojmodelidinamičeskojsistemydvigatelâsprostranstvennokačaûŝimisâzvenʹâmi AT kovalʹni omatematičeskojmodelidinamičeskojsistemydvigatelâsprostranstvennokačaûŝimisâzvenʹâmi |
| first_indexed |
2025-07-07T02:12:49Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:12:49Z |
| _version_ |
1836952447664259072 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 9
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 9 83
Е .Я . А н т о н ю к 1
, В .А . С а х а р н о в 2
, Н .И . К о в а л ь 2
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ДВИГАТЕЛЯ С ПРОСТРАНСТВЕННО КАЧАЮЩИМИСЯ ЗВЕНЬЯМИ
1
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ;
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua
2
Ин-т электросварки им. Е.О. Патона НАНУ;
ул. Боженко, 11, 03680, Киев 150, МСП, Украина;
e-mail: Sakharnov VO@nas.gov.ua
Abstract. A mathematical model is proposed and the results are shown of studying the
structure, kinematics and dynamics of the diesel engine with oblique washers. A structural
scheme of the kinematic chain of statically determinate force system of engine is elaborated.
The kinematic relationships are obtained with taking into account the presence of Hooke
joints and oblique washers. A mathematical model of the engine dynamical system is de-
scribed. A numerical example is considered. The kinematics and dynamical processes of the
engine are studied.
Key words: mathematical model, diesel engine, oblique washers, structure of mecha-
nism, constraint, statically determinate force system, kinematics, dynamical process.
Введение.
Совершенствование двигателей внутреннего сгорания с целью повышения их
экономичности, надежности и качества работы представляет важную научно-техни-
ческую проблему современного машиностроения. Дизельные двигатели обладают
рядом преимуществ по сравнению с бензиновыми [5, 7, 13] – более просты в конст-
руктивном отношении, работают на менее качественном горючем, обеспечивают эко-
номию расхода топлива, большую безопасность в пожарном отношении, простоту
обслуживания. Кроме того, у них отсутствует система выработки электрической ис-
кры для воспламенения рабочей смеси и используются более высокие степени сжатия.
Перечисленные выше и ряд других преимуществ (в том числе более высокий коэффи-
циент полезного действия КПД) способствуют расширению применения дизелей в
автотракторном машиностроении, военной и других областях техники. Процесс соз-
дания новых дизельных двигателей состоит из ряда этапов, связанных с проектирова-
нием, экспериментальным их исследованием и последующей доводкой. К недостаткам
дизелей относится несколько более высокая стоимость и более низкий срок службы.
Важным шагом в деле создания нового дизеля является выбор кинематической
схемы его силовой установки. Выпускаемые в настоящее время дизельные и другие
двигатели внутреннего сгорания имеют коленчатые валы для преобразования посту-
пательного движения поршней во вращательное, что обусловливает ряд конструктив-
ных и технологических трудностей. Широкие перспективы совершенствования связа-
ны с двухтактными дизельными двигателями, у которых для передачи рабочих уси-
лий от поршневой группы к исполнительным механизмам вместо коленчатых валов
используются закрепленные на ведущем валу косые шайбы с дополнительными ки-
нематическими цепями. Двигатели внутреннего сгорания, выполненные по таким
схемам, в настоящее время не получили сколько-нибудь широкого распространения в
машиностроении. В [10] приводятся конструкции на основе таких схем. Отметим
также, что существуют защищенные патентами новые изобретения [15, 16] по конст-
84
рукции дизеля с косыми шайбами и аналогами шарниров Гука, которые свидетельст-
вуют о повышенных возможностях таких двигателей. Преимуществом отмеченной
схемы является упрощение конструкции, существенное снижение радиальных усилий
на поршне и цилиндре двигателя, а также значительное уменьшение скоростей
скольжения в шарнирах шатунов и поршней, что является обоснованной предпосыл-
кой для повышения долговечности и качества работы по сравнению с двигателями
традиционного исполнения и более высокому КПД. Цикл исследований по усовер-
шенствованию конструкции дизелей на основе этих патентов [15, 16], проводится в
Институте электросварки им. Е.О. Патона НАН Украины. Как отмечено выше, двух-
тактный двигатель согласно [15, 16] не имеет коленчатых валов, каждый из цилинд-
ров содержит по два движущихся в противоположных направлениях поршня (при
рабочем ходе) или навстречу друг другу – при обратном ходе; углы наклона шатунов
к осям цилиндров незначительны (до 2o ). Все это упрощает конструкцию, снижает
вес, удешевляет производство, повышает компактность, КПД и износостойкость,
обеспечивает высокую степень уравновешивания системы, в том числе продольных
усилий воздействия сгорающих газов на корпус двигателя.
Каждая проектно-конструкторская проработка неизбежно должна включать этап
синтеза структуры машины, в данном случае силовой установки двигателя. Целью
этого этапа является создание статически определимой системы механизмов, в кото-
рой отсутствуют пассивные (повторяющиеся) связи [10, 18]. При соблюдении такого
условия нагрузки в звеньях и кинематических парах (т.е. подвижных соединениях)
будут определяться только силовым технологическим и динамическим воздействием,
а в кинематических цепях не появятся дополнительные (пассивные) натяжения, воз-
никающие вследствие неизбежных погрешностей изготовления деталей и сборки уз-
лов машины, а также их деформации при работе. Как исключение, в обоснованных
случаях возможно допустить статическую неопределимость как, например, в много-
опорных валах, при условии высокой точности изготовления и обеспечения достаточ-
ной жесткости соответствующих элементов конструкции. Кроме того, в процессе син-
теза структуры системы должны быть исключены все избыточные степени свободы,
которые не обусловлены требованиями к кинематике движения выходного звена. В
данной статье (§1) приводится один из вариантов разработанной структурной схемы
без повторяющихся связей.
Кинематические исследования выполнены вследствие наличия косых шайб и ана-
логов шарниров Гука. С этим связана нелинейность кинематических передаточных
функций и динамической системы дизеля в целом. Определение соответствующих
кинематических зависимостей осуществлено в §2.
При создании новой машины большая роль отводится динамическому исследова-
нию двигателя и связанной с ним последующей системы механизмов, что позволяет
объективно осуществить последующие расчеты на прочность, износ и долговечность.
В статье (§3) разработаны динамические модели силовой установки дизеля на базе
уравнений Лагранжа – первого рода, соответственно, для системы с неидеальной свя-
зью и второго рода – для системы со всеми идеальными связями. На основе численно-
го решения на базе программного пакета MATLAB определены кинематика движения
и динамические нагрузки звеньев (§4).
§1. Структура.
Используемые в конструкции двигателя шарниры Гука (карданные передачи), в
общем случае, являются статически неопределимыми. Они принадлежат к так назы-
ваемым сферическим механизмам [6]: все три геометрические оси их подвижных
звеньев должны пересекаться в одной точке. При этом кинематическая цепь шарнира
Гука обладает одной степенью свободы, но имеет три повторяющиеся условия связи,
т.е. она трижды статически неопределима. Широкое применение шарниров Гука в
различных отраслях техники (транспорте, гироскопических системах и др.) обуслов-
ливает необходимость высокой культуры производства, обеспечивающей необходи-
мую точность изготовления и сборки. Полагаем, что в некоторых случаях можно су-
щественно расширить область допустимых отклонений размеров деталей шарниров
Гука от номинальных за счет увеличения подвижности кинематических пар, соедине-
ния крестовины с вилками и одного из валов (для последнего – в осевом направле-
85
нии). Возникающие при этом кинематические возбуждения будут несущественными и
не окажут заметного влияния на динамическую нагруженность системы.
Схема статически определимой системы силовой установки дизеля изображена на
рис. 1. При разработке схемы использованы метод «непринужденной сборки» [10] и
структурная формула Сомова – Малышева [1], позволяющая для относительно про-
стых кинематических цепей осуществить синтез на основании количества условий
связей. При этом отпадает необходимость в использовании уравнений связей и после-
дующей проверки отсутствия их линейной зависимости.
Рис. 1
Предлагаемая схема двигателя (рис.1) (согласно патентам [15, 16]), состоит их
двух частей, симметричных относительно вертикальной плоскости I – I, перпендику-
лярной оси выходного вала 1. Вал является многоопорным, что порождает стати-
ческую неопределимость подсистемы вал – корпус, однако при достаточной жестко-
сти корпуса и вала, а также высокой точности изготовления корпуса под подшипники,
статической неопределимостью данной подсистемы можно пренебречь. Тем более,
что фиксация вала от осевого перемещения осуществляется одним подшипником 2.
Неподвижно соединенные с валом 1 наклонные шайбы 3 и 4 в конечном счете обес-
печивают передачу силового воздействия от поршней 5 и 6 и шатунов 7 и 8 к валу 1.
В опытном образце двигателя предусмотрены по четыре поршня для каждой из час-
тей, однако их количество может быть иным. Ввиду того, что шатуны 7 и 8 воздейст-
вуют на звенья 9 и 10, которые могут вращаться в подшипниках 11 и 12 относительно
косых шайб 3 и 4, для исключения двух дополнительных степеней свободы вводятся
две кинематические цепи в форме шарниров Гука, включающие соответственно зве-
нья 9, 13 и 14 для левой части и 10, 15, 16 – для правой. Оси вращательных кинемати-
ческих пар, образованных корпусом 0 со звеньями 14 и 16 по возможности должны
располагаться горизонтально и параллельно Oy , чтобы компенсировать незначитель-
ные смещения вала 1 вдоль его оси при монтаже и вращении, обусловленные откло-
нениями фактических размеров от расчетных. Другой вариант кинематической груп-
пы, состоящей из звена 14 (и звена 16 для правой части двигателя) с соответствую-
86
щими кинематическими парами, дан на рис. 1 в виде узла H . Кроме подшипников 2,
17 и 18, а также 11 и 12 и соединений поршней с цилиндрами, все кинематические
пары являются сферическими шарнирами с четырьмя, тремя или двумя степенями
свободы (в последнем случае в изображении на схеме они содержат штрих, означаю-
щий исключение возможности поворота вокруг одной из осей координат, или пред-
ставлены как шар в цилиндре). Кинематические пары, образуемые поршнями (5, 6, …)
и неподвижными цилиндрами, принимаем как имеющие одну степень свободы. Сис-
тема в целом (рис. 1) имеет одну степень свободы ( 1)W = , т.е. положение любого из
звеньев силовой установки в любой момент времени будет определяться одной обоб-
щенной координатой, например, углом поворота 1ϕ вала 1 или перемещением какого-
либо из поршней вдоль оси соответствующего цилиндра. Одновременно в системе по
рис. 1 исключаются кинематические неопределенности в положениях вала 1 и звеньев
обоих шарниров Гука, что могло бы иметь место, если бы в каждый из них вместо
кинематической пары 19 (или 20) ввели соответственно звено 14 или 16 с вращатель-
ной и сферической кинематическими парами, т.е. придали полную симметрию систе-
ме силовой установки; при этом возникли бы избыточные степени свободы. Схема
рис. 1 [18] будет без принуждения компенсировать возникающие при работе торцевые
и радиальные биения вала 1, косых шайб 3 и 4, деталей 9 и 10, несоосность отверстий
в корпусе по оси Oy и параллельно ей и др.
§2. Кинематика.
Для динамического исследования нагруженности силовой установки должны
быть определены кинематические передаточные функции звеньев ввиду наличия ки-
нематических цепей, включающих косые шайбы и аналоги шарниров Гука.
Звенья 9 и 10 относительно шайб 3 и 4 (рис. 1) могут вращаться только вокруг
осей, совпадающих с нормалями к поверхностям шайб. В силу ограничений, налагае-
мых подшипниками 11 и 12, геометрические плоскости звеньев 9 и 10 всегда будут
совпадать с плоскостями окружностей косых шайб 3 и 4. Таким образом, любая ли-
ния, проходящая через радиус r окружности шайбы 3 (или 4), на своем продолжении
будет расположена на плоскости звена 9 (или 10). Кинематическая цепь, состоящая из
подвижных звеньев 9 и 13 и неподвижного корпуса 0 двигателя, включающая кинема-
тические пары, образованные звеном 13 с корпусом 0, а также звеньями 9 и 13 и под-
шипником 11 между звеном 9 и косой шайбой 3, представляет собой аналог шарнира
Гука. В инвертированном (обращенном) движении (рис. 2), когда всем звеньям двига-
теля, включая и корпус 0, придается угловая скорость 1ω− (останавливая вал 1), от-
меченная кинематическая цепь будет функционировать как традиционный шарнир
Гука, передающей под углом α движение от звена 0 к звену 9, вращающемуся на
подшипнике 12. Обозначения звеньев и кинематических пар на рис. 2 соответствуют
тем, которые даны на рис. 1. На рис. 3 изображена подробная расчетная схема такого
инвертированного механизма. Нумерация звеньев и кинематических пар та же, что и
Рис. 2
Рис. 3
87
на рис. 1. Отсчет угла 1ϕ поворота вала 1 будем осуществлять в плоскости попереч-
ного к валу 1 сечения от оси Oy прямоугольной системы координат Oxyz ; положи-
тельное направление – против вращения часовой стрелки. Начало O прямоугольной
системы координат совместим с точкой пересечения оси вала 1 с плоскостью косой
шайбы 3, ось Ox – с осью этого вала. Начальное положение плоскости косой шайбы 3
зададим так, чтобы она, располагалась в вертикальной плоскости и, пересекалась с
горизонтальной плоскостью xOy под углом α к оси Oy (α – представляет угол на-
клона плоскости шайбы 3 к оси вала 1). В этом положении плоскость косой шайбы 3
может быть определена двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности
шайбы 3 (радиуса r ), причем один из этих диаметров 3 4( , )K K расположен верти-
кально, а другой 1 2( , )M M – в горизонтальной плоскости. В обращенном движении
угловая скорость 0,0ω корпуса 0 двигателя будет равна 0,0 1ω ω= − , а угловая скорость
звена 9 (в направлении нормали 3n к плоскости шайбы 3) равна 9,0ω ; углы ϕ пово-
рота этих звеньев 0,0 1ϕ ϕ= − и 9,0ϕ . Угол 9,0ϕ и скорость 9,0ϕ& будут определены ни-
же. Поскольку косая шайба 3 (рис. 1) закреплена на валу 1, в обращенном движении
она будет неподвижна.
С учетом горизонтального положения осей шарниров, соединяющих звенья 0 и
13, а также 0 и 14, кинематическое уравнение шарнира Гука согласно [1, 8] будет
иметь вид
9,0 0,0tg tg cosϕ ϕ α= . (1)
Переходя к более удобной, чем (1) зависимости, после преобразований получим
0,0
9,0
2 2
0,0
cos
cos
1 sin sin
ϕ
ϕ
ϕ α
=
−
. (2)
Принимая во внимание, что значения углов 0,0ϕ и 9,0ϕ с течением времени не-
прерывно (по модулю) нарастают, представим (2) в виде
( )
2 2
9,0 0,0 0,02 ( 1) arccos cos / 1 sin sin
k
kϕ π ϕ ϕ α= + − − ( 0,1,2, ,k n= K ). (3)
Дифференцируя (1) по времени и заменяя 0,0ϕ и 0,0ϕ& на 1ϕ− и 1ϕ− & , найдем угло-
вую скорость 9,0ϕ& звена 9 для обращенного движения
2
1 9,0 1
9,0 2 2 2
1 1
cos cos cos
cos 1 sin sin
ϕ ϕ α ϕ α
ϕ
ϕ ϕ α
= − = −
−
& &
& . (4)
Обозначим через , ,
D D D
i i i
x y z координаты центра
i
D сферического шарнира i -
го поршня (на рис. 3 шарнир 1D поршня 1). Для координат ,
D D
i i
y z в обращенном
движении получаем зависимость (рис. 3)
1 1cos( )
D D
i i
y r ψ ϕ= − , 1 1sin( )
D D
i i
z r ψ ϕ= − . (5)
Здесь 1r – радиус расположения продольных осей цилиндров на окружности перпен-
дикулярного к валу 1 сечения корпуса двигателя, 1ϕ – угол поворота вала 1 в абсо-
лютном движении,
D
i
ψ – угол между плоскостью xOy и продольной осью i -го ци-
линдра, отсчитываемый от оси Oy в поперечном к оси вала 1 сечении в начальный
88
момент времени ( 0t = ). При равномерном расположении i цилиндров 2
D
i
iψ π= . В
системе координат Oxyz в обращенном движении координаты центров
i
B сфериче-
ских шарниров на звене 9 (рис. 1) имеют вид
9,0cos( )sin
B i
i
x R ψ ϕ α= − − ; 9,0cos( )cos
B i
i
y R ψ ϕ α= − ; 9,0sin( )
B i
i
z R ψ ϕ= − . (6)
Производная по времени t от координаты
B
i
x определяет скорость движения
точки
i
B вдоль оси Ox (параллельно оси i -го цилиндра), т.е.
1 9,0
2 2
1
sin( )sin cos
1 sin sin
i
B
i
R
x
ϕ ψ ϕ α α
ϕ α
−
= −
−
&
& . (7)
Если при анализе движения поршня ограничиться только скоростью
B
i
x& центра
шарнира
i
B , то кинематику диады, состоящей, например, из звеньев 5 и 7 с соответ-
ствующими тремя кинематическими парами, в первом приближении можно описать
как для системы, совершающей плоско-параллельное движение в плоскости, содер-
жащей ось Ox и точку 1D поршня.
Более точный анализ движения i -го поршня требует учета всех компонент ско-
рости точки
i
B , т.е. , ,
B B B
i i i
x y z& & & . Для этого предварительно следует найти угловую
скорость 9 9ω ϕ= & звена 9 в абсолютном движении, равную сумме векторов
3 9,0 1n iϕ ϕ+& & или в проекциях на оси координат Oxyz
9, 1 9,0 cos
x
ϕ ϕ ϕ α= +& & & ; 9, 9,0 1sin cos
y
ϕ ϕ α ϕ=& & ; 9, 9,0 1sin sin
z
ϕ ϕ α ϕ=& & . (8)
Линейные скорости
B
i
v точек
i
B центров шарниров определяются [4, 12] зависи-
мостью
( ) ( ) ( )9 9 9 9 9 9 9B B y B z B z B x B x B y B
i i i i i i i i
v R i z y j x z k y xω ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= × = − + − + −& & & & & & . (9)
В (9) проекции векторов
B
i
R и
i
ω соответствуют (6) и (8); , ,i j k – единичные
векторы по осям , ,Ox Oy Oz .
Координата
i
D
x центра сферического шарнира
i
D i -го поршня определяется за-
висимостью
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )
D B D B D B
i i
x x y y z z= − − − − −l , (10)
где l – длина шатунов (например, 7, рис. 1).
На основании (10) скорость движения i -го поршня имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2
2
1 1 1 1
D B D B D B D B
D B
D B D B
y y y y z z z z
x x
y y z z
− − + − −
= −
− − − −
& & & &
& &
l
, (11)
где, согласно (5) и (6) соответствующие скорости определяются выражениями
( )1 1 1 1
1
sin
D D
y r ϕ ψ ϕ= −&& ; ( )1 1 1 1
1
cos
D D
z r ϕ ψ ϕ= − −&& ;
( )
1 9,0 1 9,0sin cos
B
y Rϕ ψ ϕ α= −&& ; ( )
1 9,0 1 9,0sin
B
z Rϕ ψ ϕ= − −& ; (12)
89
i
B
x& –имеет вид (7). Кинематические передаточные функции от звеньев 9 и 13 к звену
1 имеют вид
2 2 2
9 1
9,1 2 2 2
1 1
1 sin (1 2sin cos )
1
(1 sin sin )
u
ϕ α ϕ α
ϕ ϕ α
− + +
= = +
−
&
&
;
913 1
13,1 2 2
1 1 1
cos sin cos
1 sin sin
y
u
ϕϕ α α ϕ
ϕ ϕ ϕ α
= = = −
−
&&
& &
. (13)
Графики 9,1u и 13,1u представлены на рис. 4, а, б.
Рис. 4
Передаточная функция , 1
1
x
u x
ϕ
ϕ= && определяется на основании (7), (11), (12).
Принимая во внимание небольшие текущие значения углов наклона осей шатунов 7,
8, … к осям соответствующих цилиндров, момент сил, действующий на вал 1, напри-
мер, со стороны поршня 1, может быть принят в виде
1 1 1sin cos cos
4
M P R
π
α α ϕ
≈ +
. (14)
Зависимость (14) справедлива для четырехцилиндрового двигателя.
Кинетическая энергия звеньев 9, а также 10, совершающих пространственное
движение, может быть вычислена согласно выражению [4]
2
9 0,5T I
ω
ω= , (15)
где ω – мгновенная угловая скорость звена; I
ω
– момент инерции звена 9 относи-
тельно мгновенной оси вращения. Вследствие симметрии звена 9 относительно осей
1 1 1, ,x y z центробежные моменты инерции , ,
xy xz yz
I I I можно принять равными нулю,
т.е. эллипсоид инерции звена 9 относительно его центра масс O будет иметь вид
2 2 2 2
1 1 1xx yy zz
I x I y I z K+ + = . (16)
В (16) , ,
xx yy zz
I I I – центральные осевые моменты инерции, 2 2
k I R=
l l
, I
l
– момент
инерции звена 9 относительно оси l , проходящей через центр O ; R
l
– расстояние от
центра O до точки пересечения оси l с эллипсоидом инерции. Мгновенная ось вра-
щения звена 9 лежит в плоскости этого звена и определяется [4] направляющими ко-
синусами , ,α β γ , т.е.
2 2 2
xx yy zz
I I I Iα β γ= + +
l
. (17)
90
§3. Динамика.
Динамические процессы в машинах описываются посредством дифференциаль-
ных уравнений, отражающих учитываемые при исследовании наиболее существенные
свойства механической системы [21, 22]. Работа тяжелых быстроходных машин
обычно сопровождается существенной деформацией некоторых упругих звеньев, на-
пример валов, подшипников качения и т.д., что повышает количество степеней свобо-
ды и порядок системы дифференциальных уравнений математической модели [3, 8].
Впоследствии, по возможности, производится упрощение динамической системы.
Если жесткость звеньев механической системы достаточно велика и собственные
частоты парциальных подсистем существенно выше частот внешних возбуждений, то
деформативность упругих элементов обычно не учитывают и в соответствии c рас-
сматриваемым числом степеней свободы движение системы описывают таким же ко-
личеством дифференциальных уравнений второго порядка. Более точные методы ре-
дукции упруго-диссипативных систем даны, например, в [24, 25].
В нелинейном случае для составления уравнений движения обычно пользуются
уравнениями Лагранжа второго рода, если все связи идеальные и голономные. Итого-
вое уравнение для двигателя (по рис. 1) с недеформируемыми звеньями и одной сте-
пенью свободы будет иметь вид [1]
2
1
1
12
dI
I M
d
ϕ
ϕ
ϕ
Π
Π Π
+ ⋅ =
&
&& . (18)
Здесь I
Π
и M
Π
– приведенные к звену 1 момент инерции и момент сил (движущих и
сопротивления) – для механизма с одной степенью свободы
2 2
1 1
1 1
n
i i j j
i j
I m u I u
Π
= =
= +∑ ∑
l
; 1 1
1 1
r s
k k q q
k q
M M u P u
Π
= =
= +∑ ∑ . (19)
В (19) 1iu , а также 1 1,
j k
u u – кинематические передаточные функции между звень-
ями i , а также ,j k и выходным звеном 1, равные отношению скоростей (угловых или
линейных) перечисленных звеньев к скорости выходного звена 1 (ввиду голономно-
сти системы
vw
u являются функциями обобщенной координаты, в данной системе –
1ϕ ). В рассматриваемом случае
1 1i i
u x ϕ= && , 1 1j j
u ϕ ϕ= & & , 1 1q q
u x ϕ= && , (20)
где
i
m – массы поступательно или плоскопараллельно движущихся звеньев;
i
I – мо-
менты инерции звеньев, участвующих во вращательном движении;
k
M – моменты
движущих сил и сил сопротивления;
k
P – внешние усилия, действующие на поступа-
тельно движущиеся звенья.
Входящий в (18) сомножитель определяется равенством
1 1 1 1
1 11
2 2
n
i i i j j j
i j
dI
m u u I u u
dϕ
Π
= =
′ ′= +∑ ∑
l
, (21)
где
1 1
1
i i
d
u u
dϕ
′ = ; 1 1
1
j j
d
u u
dϕ
′ = .
Если передаточные функции
vw
u постоянны, то их производные по координате
1ϕ равны нулю ( 0
vw
u′ = ) и соответствующие члены в (21) не учитываются.
91
Вследствие нелинейностей 1iu и 1iu′ , связанных с наличием косой шайбы (и ана-
логов шарниров Гука), единственно приемлемым для решения дифференциального
уравнения (18) является численный метод с использованием современных ЭВМ. Не-
достатком уравнения (18) является то, что оно распространяется только на системы с
идеальными связями и непосредственно не включает реакции связей, знание которых
необходимо для расчета надежности и долговечности двигателя, а также механиче-
ского КПД. Поэтому для отмеченных целей целесообразно использование уравнений
Лагранжа первого рода. Применительно к рассматриваемому двигателю как системе
последовательно соединенных недеформируемых звеньев полученное таким образом
уравнение с неидеальной связью в кинематической паре, образованной звеньями a и
b [19], имеет вид
( ) ( )
2
,a a ba a a ba ba b ba ba a
I M I u u
θ
λ η ϕ λ η ϕ
∗ ∗
′+ = + −&& & . (22)
В уравнении (22)
a
ϕ – угол поворота звена a ;
a
I и
b
I – приведенные к звеньям
a и b моменты инерции подсистемы звеньев 1, ,aK и , ,b kK , где 1 и k – начальное
и конечное звено полной системы машины;
a
M и
b
M – приведенные к звеньям a и
b моменты внешних сил, действующих на подсистему 1, ,aK и , ,b kK , соответст-
венно;
ba
u – кинематическая передаточная функция ( )ba b a
u ϕ ϕ= & & ; инерционный
параметр 2
, b /
a ba a
I u I
θ
λ = ; силовой параметр ba bab a
M u Mλ = ; baη
∗ – коэффициент
полезного действия в неидеальной кинематической паре ,a b с трением [19] в тяговом
режиме (определяется на основании отношения виртуальных мощностей N обоб-
щенных реакций в неидеальной кинематической паре при произвольно заданной
внешней нагрузке)
ab
ba
ba
N
N
η
∗
= − . (23)
Мощности
ab
N и
ba
N обобщенных реакций в условно расчлененной кинемати-
ческой паре при ведущем a и ведомом b звеньях, определяются согласно зависимо-
стей
ab ab b
N R q= & ;
ba ba a
N R q= & , (24)
где
ij
R – обобщенная реакция, действующая со стороны звена i на j ; ,
a b
q q& & – обоб-
щенные скорости звеньев a и b . В неидеальных кинематических парах всегда
ab ba
R R≠ и
ab ba
N N≠ .
В зависимости от знака произведения
a a
M ϕ& , указывающего на то, какое из звень-
ев ( a или b ) является ведущим, имеем
; 0;
1
; 0.
ba a a
ba
a a
ab
M
M
η ϕ
η
ϕ
η
∗
≥
=
<
&
&
(25)
В (25)
ba
η и
ab
η – коэффициенты полезного действия, соответственно, при ведущих
a и b звеньях; как правило, они отличаются по величине.
Обобщенные реакции в кинематической паре ,a b определяются из зависимостей
[19]
( )
( )
,
,
a a ba ba
ab
ba ba a
M
M
u
θ
θ
λ λ η
η λ
∗
∗
−
=
+
, ab ba
ba
ba
M u
M
η
∗
= − . (26)
92
Если необходимо рассматривать две неидеальные кинематические пары в систе-
ме, например, ,a b и ,c d , то угловые скорость и координата звена a вынужденных
колебаний могут быть решением [20] следующего дифференциального уравнения:
2
aпр a прI A Mϕ ϕ= − +&& & , (27)
где приведенный к звену a момент инерции прI всей динамической системы, а также
приведенный момент внешних сил прM и коэффициент A имеют вид
( )
2
2 2ba d
пр a b c dc ba
ba ba dc
u I
I I I I u u
η η η
∗ ∗ ∗
= + + + ;
( )b c d
a
M M M
M
ba ba dc
пр
ba ba dc
u u u
M
η η η
∗ ∗ ∗
+
= + + ; (28)
2 2
ba ba dc dc ba dc ba ba
ba ba dc
u u u u u u u u
A
η η η
∗ ∗ ∗
′ ′ ′+
= + .
В (28) принято:
i
I – приведенные к i -му звену, (т.е. к ,a b , ,c d ), образующему со-
вместно со звеном 1i + неидеальную кинематическую пару, моменты инерции свя-
занных с i -ми звеньями кинематических цепей с идеальными связями;
i
M – дейст-
вующие на i -е звенья приведенные моменты внешних сил; ,
ba dc
u u – кинематические
передаточные функции между звеньями b и a , d и c , соответственно, равные от-
ношению угловых скоростей
b
ω к
a
ω и
d
ω к
c
ω ;
ba
u′ и
dc
u′ – частные производные
по координате
a
ϕ ;
ba
η и
dc
η – коэффициенты полезного действия в неидеальных
кинематических парах, соответственно, при ведущих a и c звеньях.
Для определения реакции в неидеальных кинематических парах имеем формулы
( )
2a
ba a пр a
пр
I
M A M M
I
ϕ= + −& ; ba ba
ab
ba
M
M
u
η
∗
= − ;
{ }
2
( )d
cd a bc dc пр ba dc ba bc bc dc пр d
пр
I
M Au u I u u u u u u M M
I
ϕ ′ ′ = − + + + − & ;
cd dc
dc
dc
M u
M
η
∗
= − . (29)
Как следует из (22) и (28), в системе с трением в кинематических парах в рабочем
режиме приведенный момент инерции прI формально выше, чем при отсутствии тре-
ния, что отмечено в [2, 8]. При торможении этот момент инерции оказывается фор-
мально меньше, чем в системе без трения.
Следует отметить, что при существенном значении приведенного коэффициента
трения скольжения в кинематической паре a , b вместо одного из двух тяговых ре-
жимов движения (с
ba
η или 1
ba
η ) может возникнуть режим оттормаживания [11, 14,
17, 20], при котором отношение (23) приведенных мощностей и реакций abQ и baQ в
неидеальной кинематической паре равно некоторому положительному коэффициенту
оттормаживания baξ ; ab ba ba ba/Q u Q ξ= .
93
Для определения в первом приближении механического коэффициента полезного
действия дизеля необходимо использовать уравнения (22) или (27) с трением на эле-
ментах кинематических пар.
Описание более сложных, последовательно соединенных кинематических цепей с
одной степенью свободы и несколькими неидеальными кинематическими парами мо-
жет быть сведено к уравнению (27) после того, как общую цепь расчленить по неиде-
альным парам с приложением реакций вида (26), затем выразить координаты звеньев
по проведенным сечениям через принятую обобщенную координату и из полученной
системы уравнений определить реакции и ускорение системы в функции приложен-
ных внешних нагрузок, а также скорости и параметров системы. Этот же подход при-
меним для определения реакций в идеальных связях (т.е. без трения) при этом произ-
водится расчленение цепи по кинематической паре, а коэффициенты полезного дей-
ствия принимаются равными единице.
В результате решения уравнения движения при установившемся режиме возмож-
но определить усредненный механический коэффициент полезного действия cp
двη дви-
гателя в пределах полного оборота выходного вала
2
1
1 1
2 1
1
( )
i i
T
cp
дв
T
i
M dt
T T P v
ϕ
η
Π Π
≈
−
∫ ∑
&
. (30)
Здесь 2 1T T− – интервал времени, соответствующий повороту вала 1 на угол, кратный
2π ;
i
P
Π
и
i
v
Π
– текущие усилия, действующие на поршни, и линейные скорости их
движения.
§4. Модельный пример.
В качестве примера возможности использования разработанной модели для ана-
лиза динамических процессов примем систему по рис. 1 со следующими параметра-
ми: 1 1I = кгм2
, 5 6m = кг, 7 1m = кг, 9 0,3I = кгм2
, 13 0,3I = кгм2
, 21,4α = º, 0,136R = м,
* 0,001ψ = .
Принято последовательно работающих 4 поршня ( 4)i = , усилия
i
P давления га-
зов, действующие на каждый из них, сформированы в форме смещенных на угол
2 / iπ трапеций;
1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
0; 1 2 2 ;
2 2
1 1 1 *2 ; 2 2 ;
2 2 2
1 1* * *
; 2 2 ;
2 2
1 1 *2 ; 2
2 2
i
i i
n n
i i i
k n n n
P
i i
k n n
i i
k n n
π ϕ π
ϕ π π ϕ π ϕ
ϕ ϕ π ϕ π ϕ
ϕ π ϕ π ϕ ϕ π
− −
− + + ≤ < +
− − −
− + + ≤ < + +
=
− +
+ + ≤ < + −
+ +
− + − + − ≤ <
1
2
2
i
n
+
+
( 1, 2, 3, 4i = ; 0, 1, 2, 3, ,
k
n n= K ),
где n – номер цикла движения i -го поршня, кратный углу поворота вала 1 на угол
1 2ϕ π= от начала первого импульса движения; 1
*
ϕ – константа.
94
Рис. 5
95
Входящий в
i
P коэффициент k задан зависимостью 0 / *
k
k b P ψ= , где 0P – при-
веденное усилие с учетом регулятора скорости, принятое в виде
( )
( )
0 1
0 1 1 1
1 1
; 0 ;
; ;
0; ;
p p a a
i p p a c
c
P a b
P P a b
ω ϕ ω
ϕ ω ϕ ω
ω ϕ
− ≤ <
= − ≤ <
≤
&
&
&
параметры
a
ω и 1c
ω – постоянные значения скоростей: на изломе характеристики
i
P
и максимальное ее значение 1( )
a c
ω ω< . Коэффициенты
p
a и
p
b : 0 1
1
c
p
c a
P
a
ω
ω ω
=
−
,
0
1
p
c a
P
b
ω ω
=
−
,
1,
0
sin cos
kp
M
P
r α α
= , 1,kp
M – ориентировочное статическое значение
момента сил сопротивления на валу 1. Этот момент в рассматриваемом примере при-
нят в виде 2
1, 1 1sign
kp M
M K ϕ ϕ= − & & , где
M
K – постоянная величина.
Влияние термодинамических процессов и расширения газов в камерах сгорания
не учитывались. Начальные условия: 1
1 1(0) 0, (0) 10 cϕ ϕ
−
= =& . Результаты численно-
го исследования на ЭВМ при разгоне данной системы, проведенного с использовани-
ем прикладного программного пакета MATLAB, представлены графически: на рис. 5,
а – г – для двигателя с одной ( 1)i = и 5, д, е, ж, з – с четырьмя ( 4)i = цилиндро-
поршневыми группами. Как и ожидалось, существенно более плавный характер про-
текания динамических процессов имеет место при 4i = , особенно для скорости 1( )ϕ& ,
углового ускорения 1( )ϕ&& и усилия ( )
i
P в цилиндро-поршневой группе двигателя.
Заключение.
В данной статье предложена математическая модель и представлены результаты
исследования структуры, кинематики и динамики дизельного двигателя с косыми
шайбами. Разработана структурная схема кинематической цепи статически определи-
мой силовой системы двигателя. Получены кинематические соотношения с учетом
наличия шарниров Гука и косых шайб. Составлена математическая модель динамиче-
ской системы двигателя. Приведен пример численных исследований кинематики и
динамических процессов двигателя.
Р Е З ЮМ Е . Запропоновано математичну модель і наведено результати дослідження структу-
ри, кінематики та динаміки дизельного двигуна з косими шайбами. Розроблено структурну схему
кінематичної ланки статично визначеної силової системи двигуна. Одержано кінематичні співвідно-
шення з урахуванням наявності шарнірів Гука і косих шайб. Описано математичну модель динаміч-
ної системи двигуна. Розглянуто числовий приклад та досліджено кінематику та динамічні процеси
двигуна.
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М.: Наука, 1988. – 640 с.
2. Баранов Г.Г. К вопросу о приведении масс и сил с учетом потерь на трение // Тр. Ин-та машинове-
дения. – 1952. – 12, вып. 47. – С. 46 – 51.
3. Баранов Г.Г. Крутильные колебания // Вестн. металлопромышленности. – 1931. – № 10. – С. 60 –
76; № 11. – С. 2 – 15.
4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. – М.: Наука, 1969. – 468 с.
5. Джодж А. Быстроходные дизели. – М.: ОНТИ, 1938. – 308 с.
6. Добровольский В.В. Теория сферических механизмов.– М.: Гос. научн.-техн. изд-во машинострои-
тельной лит-ры, 1947. – 232 с.
7. Дяченко В.Г. Двигуни внутрішнього згоряння.– Харків: НТУ «ХПУ», 2008. – 488 с.
96
8. Кожевников С.Н. Динамика нестационарных процессов в машинах. – К.: Наук. думка, 1986. –
288 с.
9. Кожевников С.Н., Есипенко Я.И., Раскин Я.М. Механизмы. – М.: Машиностроение. – 1976. – 784 с.
10. Кожевников С.Н. Основания структурного синтеза механизмов. – К.: Наук. думка, 1979. – 232 с.
11. Колчин Н.И. К вопросу динамики самотормозящихся систем // Тр. Ленингр. политехн. ин-та. –
1965. – № 254. – С. 5 – 13.
12. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
13. Машиностроение. Энциклопедический справочник / Под ред. Е.А. Чудакова. Раздел 4. Конструи-
рование машин. Т. 10. – М.: Гос. научн.-техн. изд-во машиностр. лит., 1948. – 403 с.
14. Нелинейные задачи динамики и прочности машин / Под ред. В.Л. Вейца. – Л.: Из-во Ленингр. ун-
та, 1963. – 336 с.
15. Патент Российской Федерации на изобретение № 2125162, 20 января 1999 г. Поршневой двига-
тель Сахарнова. (Сахарнов В.А., Шведов Л.Ф., Галян Б.А., Гольдман А.Б., Яковец С.А.,
Коваль Н.И.).
16. Патент України на винахід № 22541А, 17.03.98. Аксіально-поршневий двигун Сахарнова.
(Сахарнов В.О., Шведов Л.Ф., Галян Б.О, Гольдман О.Б., Яковец С.О., Коваль М.Й.).
17. Пэнлеве П. Лекции о трении. – М.: ГИТТЛ, 1954. – 316 с.
18. Решетов Л.Н. Самоустанавливающиеся механизмы. – М.: Машиностроение, 1979. – 334 с.
19. Antonyuk E.Ya. On Models of Dynamic Systems with Dry Friction // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 5.
– P. 554 – 559.
20. Avramov K.V. Using Nonlinear Normal Modes to Analyze Forced Vibrations // Int. Appl. Mech. – 2008.
– 44, N 12. – P. 1405 – 1412.
21. Larin V.B. On stabilization of System with Delay // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 10. –
P. 1148 – 1160.
22. Larin V.B. Control of a Compound Wheeled Vehicle with Two Steering Wheels // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 12. – P. 1413 – 1420.
23. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On Chaotic Motions System with Dry Friction // Int. Appl. Mech. – 2008.
– 44, N 9. – P. 1056 – 1064.
24. Moore B.C. Principal component analysis in linear systems: controllability and model reduction // IEEE
Trans. Automat. Control. – 1981. – AC-26, N 1. – P. 17 – 32.
25. Nimityongskul S., Kammer D.S. Frequency domain model reduction based on principal component
analysis // Mech. Systems and Signal Processing. – 2010. – 24. – P. 41 – 51.
Поступила 23.12.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|