Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко
The describing a process of collision of a ball and a beam S.P.Timoshenko integral equation is changed by the system of nonlinear differential equations, which are reduced to the dimensionless form. An effect of parameters of the system "ball – beam" on the number of collisions and ma...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95411 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко / С.Д. Гарцман, А.А. Жуков, И.И. Карпухин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 97-102. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95411 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954112016-02-26T03:02:39Z Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко Гарцман, С.Д. Жуков, А.А. Карпухин, И.И. The describing a process of collision of a ball and a beam S.P.Timoshenko integral equation is changed by the system of nonlinear differential equations, which are reduced to the dimensionless form. An effect of parameters of the system "ball – beam" on the number of collisions and maximal dimensionless values of the impact force, beam deflection and time of collision process is revealed. Інтегральне рівняння С.П. Тимошенко, що описує процес зіткнення балки і кулі, замінено системою нелінійних диференціальних рівнянь, приведених до безрозмірного вигляду. Виявлено вплив параметрів системи «куля – балка» на число зіткнень і максимальні значення безрозмірних сили удару, прогину балки і часу процесу зіткнення. 2010 Article Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко / С.Д. Гарцман, А.А. Жуков, И.И. Карпухин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 97-102. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95411 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The describing a process of collision of a ball and a beam S.P.Timoshenko
integral equation is changed by the system of nonlinear differential equations, which are reduced
to the dimensionless form. An effect of parameters of the system "ball – beam" on the number of
collisions and maximal dimensionless values of the impact force, beam deflection and time of collision process is revealed. |
| format |
Article |
| author |
Гарцман, С.Д. Жуков, А.А. Карпухин, И.И. |
| spellingShingle |
Гарцман, С.Д. Жуков, А.А. Карпухин, И.И. Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко Прикладная механика |
| author_facet |
Гарцман, С.Д. Жуков, А.А. Карпухин, И.И. |
| author_sort |
Гарцман, С.Д. |
| title |
Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко |
| title_short |
Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко |
| title_full |
Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко |
| title_fullStr |
Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко |
| title_full_unstemmed |
Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко |
| title_sort |
определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче с.п. тимошенко |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95411 |
| citation_txt |
Определение параметров процесса поперечного удара шара по упругой балке в задаче С.П. Тимошенко / С.Д. Гарцман, А.А. Жуков, И.И. Карпухин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 97-102. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT garcmansd opredelenieparametrovprocessapoperečnogoudarašarapouprugojbalkevzadačesptimošenko AT žukovaa opredelenieparametrovprocessapoperečnogoudarašarapouprugojbalkevzadačesptimošenko AT karpuhinii opredelenieparametrovprocessapoperečnogoudarašarapouprugojbalkevzadačesptimošenko |
| first_indexed |
2025-07-07T02:12:52Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:12:52Z |
| _version_ |
1836952451179085824 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 9
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 9 97
С . Д . Г а р ц м а н , А .А .Жу к о в , И .И .К а р п у х и н
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ПОПЕРЕЧНОГО УДАРА ШАРА
ПО УПРУГОЙ БАЛКЕ В ЗАДАЧЕ С.П. ТИМОШЕНКО
ЗАО "Прочность", Рязанский проспект, 8а, 109428, Москва, Российская Федерация,
e-mail: zao_prochnost@mtu-net.ru
Abstract. The describing a process of collision of a ball and a beam S.P.Timoshenko
integral equation is changed by the system of nonlinear differential equations, which are
reduced to the dimensionless form. An effect of parameters of the system "ball – beam" on
the number of collisions and maximal dimensionless values of the impact force, beam de-
flection and time of collision process is revealed.
Key words: elastic beam, ball, collision, system of nonlinear differential equations, im-
pact force, beam deflection, time of collision, number of collisions.
Введение.
Соударение груза с упругой системой издавна привлекало внимание ученых.
Впервые решение задачи о поперечном ударе груза по упругой балке было предложе-
но Сен-Венаном. Предполагалось, что удар производится сосредоточенным грузом,
который не отрывается от балки в промежутке времени, когда прогиб балки достигает
максимума. При этом местные деформации, возникающие в зоне контакта груза и
балки, не учитывались. В дальнейшем было установлено, что решение Сен-Венана не
позволяет вычислить динамические напряжения в сечениях балки, поскольку ряды
для определения поперечных сил расходятся. Существенные коррективы внес пред-
ложенный С.П.Тимошенко подход, при котором были учтены как общие, так и мест-
ные деформации. При этом связь между силой удара и прогибом середины балки бы-
ла получена путем разложения решения по собственным формам колебаний балки.
Кроме того, была показана возможность не учитывать при изучении процесса соуда-
рения влияние сдвиговых деформаций и инерции поворотов элементов балки. Учет
этих факторов привел бы к неоправданному усложнению решения задачи.
Несмотря на некоторые вычислительные сложности, к задаче С.П.Тимошенко и в
дальнейшем возвращались многие исследователи. Были проведены теоретические и
экспериментальные работы, подтвердившие ряд результатов, полученных С.П. Ти-
мошенко. В частности, была подтверждена возможность возникновения многократ-
ных соударений балки и груза. В связи с этим возникла потребность определить ос-
новные факторы, влияющие на число соударений. При этом не вызывала сомнения
целесообразность развития метода С.П.Тимошенко и перехода от отдельных приме-
ров к обобщениям полученных результатов.
В данной статье сделана попытка такого обобщения. При этом для анализа законо-
мерностей процесса соударения представляется удобным перейти от интегрального
уравнения С.П.Тимошенко к системе нелинейных дифференциальных уравнений в без-
размерном виде, что позволит использовать стандартные вычислительные алгоритмы.
98
§1. Постановка задачи.
Решение задачи о поперечном ударе шара по упругой балке, предложенное
С.П. Тимошенко [5], явилось крупным вкладом в теорию механического удара. Для
определения закона изменения во времени t силы P , возникающей при ударе в гори-
зонтальном направлении шара, имеющего массу M , посередине двухопорной шар-
нирной балки, С.П. Тимошенко предложено следующее интегральное уравнение [4,
5]:
( )
1
2 / 3
0 1 1
1,3,5...0 0 0
1/ / 2 / 1/ sin ( )
tt t
i i
i
V t M dt Pdt P K m k P k t t dt
∞
=
− = + −∑∫ ∫ ∫ , (1.1)
где 0V – поступательная скорость шара в момент начала контакта с балкой; K – ко-
эффициент, характеризующий зависимость местных деформаций в зоне контакта бал-
ки и шара от силы взаимодействия; m – масса балки;
i
k – i -я собственная частота
изгибных колебаний; i =1, 3, 5… – номер гармоники; 1t – время приложения единич-
ного импульса.
Коэффициент K зависит от коэффициентов Пуассона ,
w u
µ µ , от модулей упруго-
сти ,
w u
E E материалов балки и шара, а также от радиусов кривизны ,
w u
R R контакти-
рующих поверхностей, соответственно, балки и шара.
При
w u
µ µ µ= = ,
w u
E E E= = ,
w
R = ∞ и
u
R R= коэффициент K можно опре-
делить по формуле
2 1 0,52
(1 )
3
K E Rµ
−
= − .
Выражение для определения частоты
i
k имеет следующий вид: 2 0,5(2 / )
i
k i c m= ,
где 4 3/(2 )c EJ Lπ= – изгибная жесткость балки; J – момент инерции ее поперечного
сечения; L – длина балки.
Уравнение (1.1) описывает процесс удара при условии, что P ≥ 0 и 0 t T≤ ≤ , где
T – время действия первого ударного импульса. Начиная с момента времени t T=
следует принять, что P = 0, и рассматривать раздельное движение балки и шара.
В дальнейшем при t T> возможно формирование новых ударных импульсов. Для
описания процесса повторных соударений необходима корректировка уравнения
(1.1). Кроме того, как следует из уравнения (1.1), даже при одинаковых характеристи-
ках материалов балки и шара и
w
R = ∞ процесс соударения определяется, по мень-
шей мере, восемью параметрами: 0, , , , , ,V M m E J Lµ и
u
R . Это значительно затрудняет
анализ процесса соударения.
Ставится задача преобразовать уравнение (1.1), приведя его к виду, удобному для
анализа как первого, так и последующих соударений балки и шара. На основе преоб-
разования уравнения (1.1) исследовать влияние параметров системы «шар – балка» на
число соударений и определить максимальные значения силы удара, прогиба балки и
времени процесса соударения.
§2. Преобразование уравнения удара С.П. Тимошенко.
С учетом [1] заменим интегральное уравнение (1.1) тождественной ему системой
нелинейных дифференциальных уравнений
1,5( )P K U W= − при U W− ≥ 0; P = 0 при U W− < 0;
/U P M= −
&& ;
1,3,5...
i
i
W W
∞
=
= ∑ ;
1,3,5...
i
i
W W
∞
=
= ∑& & ; (2.1)
99
22 /
i i i
W P m k W= −
&& ,
где U – перемещение шара; W – прогиб балки;
i
W – составляющая прогиба балки
W по i -й форме колебаний.
Начальными условиями для системы уравнений (2.1) при 0t = являются
0(0)U V=& ; (0) 0U = ; (0) 0
i
W =& , (0) 0
i
W = , i =1, 3, 5... .
В отличие от уравнения (1.1) система уравнений (2.1) описывает процесс удара
как при t T≤ , так и при t T> .
Для удобства последующего анализа систему уравнений (2.1) и начальные условия
для нее представим в безразмерной форме, введя следующие безразмерные параметры:
безразмерное перемещение u шара; безразмерный прогиб w балки и его составляю-
щие
i
w ; безразмерную скорость u& шара; безразмерную скорость w& изменения про-
гиба балки и ее составляющие
i
w& ; безразмерное усилие p ; безразмерное время τ .
Безразмерные параметры связаны с размерными параметрами зависимостями
/
n
w W W= ; /
i i n
w W W= ; /
n
u U U= ; /
n
w W W= & %& ; /
i i n
w W W= & %& ;
/
n
u U U= & %& ; /
n
p P P= ; /
n
t Tτ = ,
где ,
n n
W U – нормирующие перемещения; ,
n n
W U% % – нормирующие скорости, соответ-
ственно, балки и шара;
n
P – нормирующая сила;
n
T – нормирующее время.
С учетом [2, с.203] и [3, с.498] примем, что
0 1/
n n
W U V k= = ; 0n n
W U V= =% % ; 0 1/
n
P MV k= ; 11/
n
T k= .
Подставив принятые безразмерные параметры в систему уравнений (2.1), полу-
чим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений:
1,5( )
kr
p V u w= − при u w− ≥ 0; p = 0 при u w− < 0;
u p= −&& ;
1,3,5...
i
i
w w
∞
=
= ∑ ;
1,3,5...
i
i
w w
∞
=
= ∑& & ; (2.2)
( 42
i kr i
w M p i w= −&& ; 0,5 2,5 1
0 1kr
V V k M K
− −
= ; /
kr
M M m= )
Начальные условия при 0τ = для решения системы уравнений (2.2) имеют вид
(0) 1u =& ; (0) 0u = ; (0) (0) 0
i i
w w= =& , i =1, 3, 5... . (2.3)
Таким образом, в задаче Тимошенко процесс соударения шара с упругой балкой
определяется двумя безразмерными параметрами:
kr
M и
kr
V .
Параметр
kr
V можно также представить следующим образом:
kr
V 1,25= ×
2,5
0( / )услV V× , где max /усл n
V tα= – условная средняя скорость перемещения массы M
на расстояние maxα за время
n
t ; 0,4 0,8 0,4 0,4
max 01,25 V M Kα
−
= – наибольшее перемеще-
ние массы M при соударении с неподвижной преградой [4].
Представляет интерес сравнение полученных результатов с результатами, приве-
денными в работах [4, 5] и [2, с. 200 – 204]. Основным отличием рассмотренного вы-
ше подхода от известных является переход от интегрального уравнения (1.1) (или
(6.5) в работе [2]) к записанной в безразмерном виде системе нелинейных дифферен-
циальных уравнений (2.2) с начальными условиями (2.3). Это позволяет для решения
задачи использовать стандартные алгоритмы, например, метод Рунге – Кутта [3].
В отличие от уравнения (1.1) решение системы уравнений (2.2) позволяет опреде-
лить параметры процесса соударения как при ( )u w− ≥ 0, так и при ( )u w− < 0. Следо-
100
вательно, может быть рассмотрен процесс повторных соударений и исследовано
влияние величин
kr
M и
kr
V на максимальные значения maxp , maxτ и maxw , соответ-
ственно, безразмерных силы удара, времени процесса соударения и прогиба балки.
§3. Числовые примеры.
Разработанная в ЗАО «Прочность» (ОАО АХК ВНИИМЕТМАШ) математическая
модель процесса соударения балки и шара, описываемая системой уравнений (2.2) с
начальными условиями (2.3), реализована в виде программы для ЭВМ. Удовлетвори-
тельная точность была достигнута при удержании шести гармоник ( i = 1, 3, 5,…, 11).
Первоначально провели сравнение результатов расчета с двумя примерами С.П. Ти-
мошенко, приведенными в [5, с. 400] для балки прямоугольного сечения с высотой h
и шириной b .
Для первого примера при L =15,35 см, b =1 см, h =1 см,
u
R =1 см, 0V =1 см/с,
u w
E E= =2,2·10
11
Н/м
2
,
u w
µ µ= =0,3 получили, что K =1,53·10
10
Н/м
1,5
,
n
T =1,59·10
-4
с,
n
P =2,10Н,
kr
V =15,08,
kr
M = 0,273.
На рис. 1 приведен график ( )p τ , из которого следует, что значение безразмерного
времени maxτ процесса удара составляет 0,98, а максимальное значение безразмерной
силы удара maxp = 2,37.
Значения размерных параметров: maxt = 0,98·1,59·10
-4
= 1,56·10
-4
с; maxP = 2,37·2,10=
=4,98 Н.
Для второго примера при L =30,7 см, b =1 см, h =1 см,
u
R =2 см, 0V =1см/с,
u w
E E= =2,2·10
11
Н/м
2
,
u w
µ µ= =0,3, K =2,24·10
10
Н/м
1,5
величины нормирующих ко-
эффициентов, а также
kr
V и
kr
M , составили:
n
T =6,35·10
-4
с,
n
P =4,20 Н,
kr
V =85,28,
kr
M =1,09.
График ( )p τ приведен на рис. 2. Из анализа полученных результатов следует, что
в рассматриваемом примере реализуются три соударения. При этом maxτ = 5,07, а
maxp = 2,46. Отсюда maxt = 5,07·6,35·10
-4
= 3,22·10
-3
с; maxP = 2,46·4,20= 10,3 Н. Следует
отметить, что максимального значения сила удара достигает при формировании вто-
рого импульса.
§4. Определение и анализ параметров процесса удара.
Приведенные выше методы расчета позволяют выявить связь между параметрами
kr
M ,
kr
V и числом соударений балки и шара, а также значениями максимальной без-
размерной силы удара maxp , максимального безразмерного времени удара maxτ и
максимального безразмерного прогиба балки maxw . Для этого варьировали парамет-
рами
kr
M и
kr
V в областях 0,1
kr
M≤ ≤ 10 и 1
kr
V≤ ≤ 1000, что существенно перекры-
вает диапазон изменения этих величин в примерах С.П. Тимошенко.
Рис. 2
Рис. 1
101
В табл. 1 приведено число соударений балки и шара в функции от
kr
M и
kr
V . По
результатам расчетов видно, что повторные соударения появляются при
kr
M > 0,1 и
kr
V > 300. По мере увеличения
kr
M и
kr
V увеличивается число соударений. При этом
во многих случаях максимум силы удара возникает не при первом, а при одном из
последующих соударений, аналогично примеру, приведенному на рис. 2.
Таблица 1
kr
V
kr
M
1 3 5 20 100 300 500 1000
0,1 1 1 1 1 1 1 1 1
0,2 1 1 1 1 1 1 1 1
0,3 1 2 2 2 2 2 2 3
0,4 1 2 2 2 2 2 3 4
0,5 1 2 2 2 2 3 4 6
0,6 1 2 2 2 2 4 4 6
0,7 1 2 2 2 2 4 4 4
Таблица 2
kr
V
kr
M
1 3 5 20 100 300 500 1000
0,1 1,03 1,59 1,94 3,24 5,87 8,72 10,46 13,35
0,2 0,94 1,45 1,75 2,84 4,97 7,19 8,52 10,68
0,5 0,76 1,15 1,37 2,18 4,67 6,77 5,61 8,99
1,0 0,80 1,23 1,49 2,46 2,68 5,10 5,14 8,51
3,0 0,62 0,84 0,84 1,24 1,78 3,32 4,23 5,24
5,0 0,54 0,68 0,77 1,17 2,20 2,67 2,95 3,79
10,0 0,40 0,49 0,56 0,97 1,31 1,79 2,52 2,66
Таблица 3
kr
V
kr
M
1 3 5 20 100 300 500 1000
0,1 3,21 1,99 1,61 0,94 0,49 0,31 0,26 0,19
0,2 3,00 1,92 1,54 0,91 0,48 0,30 ,25 0,18
0,5 5,91 4,88 4,55 3,90 2,84 2,63 4,66 3,42
1,0 5,45 4,26 3,90 3,24 2,81 3,02 3,00 2,87
3,0 8,96 7,40 7,02 7,63 8,11 8,60 7,51 8,69
5,0 9,97 10,41 9,78 10,64 9,28 9,48 10,47 9,42
10,0 13,65 15,63 14,32 14,45 13,40 14,82 14,34 13,49
Таблица 4
kr
V
kr
M
1 3 5 20 100 300 500 1000
0,1 0,29 0,32 0,32 0,34 0,33 0,32 0,33 0,31
0,2 0,52 0,55 0,56 0,57 0,54 0,51 0,49 0,47
0,5 0,99 1,00 1,00 1,00 0,85 0,83 0,89 0,93
1,0 1,38 1,34 1,35 1,31 1,27 1,28 1,28 1,24
3,0 2,45 2,43 2,41 2,33 2,36 2,33 2,27 2,28
5,0 3,14 3,17 3,17 3,10 3,08 2,97 3,00 3,03
10,0 4,46 4,43 4,42 4,44 4,35 4,42 4,42 4,40
102
В табл. 2 приведены значения абсолютного максимума maxp в функции от
kr
M и
kr
V . Как следует из табл. 2 увеличение
kr
M приводит к уменьшению maxp , а увели-
чение
kr
V – к росту maxp .
Аналогично построены табл. 3 для значений безразмерного времени maxτ и табл.
4 – для максимальных значений безразмерного прогиба балки maxw .
Из табл. 3 следует, что увеличение
kr
M приводит к росту maxτ , а увеличение
kr
V
при
kr
M ≤ 1 – к снижению maxτ . При
kr
M >1 значение maxτ несущественно зависят от
величины
kr
V .
Данные в табл. 4 показывают, что значение maxw , в основном, определяется вели-
чиной
kr
M и несущественно зависит от величины
kr
V .
Аналогичный анализ может быть проведен для любого сочетания параметров
kr
M и
kr
V . В частности, установлено, что при 0,02
kr
M≤ ≤ 1 и
kr
V <1 выявленные за-
кономерности влияния
kr
M и
kr
V на значения maxp , maxτ и maxw сохраняются.
Заключение.
Преобразовано уравнение С.П.Тимошенко, описывающее процесс соударения
шара и двухопорной шарнирно закрепленной балки. Исследовано влияние параметров
системы "шар – балка" на число соударений и максимальные значения силы удара,
прогиба балки и времени процесса соударения. Для этого предложенное
С.П.Тимошенко интегральное уравнение заменено системой нелинейных дифферен-
циальных уравнений. Такое преобразование позволило для определения параметров
процесса использовать стандартные алгоритмы, в частности, метод Рунге – Кутта.
Показано, что в задаче С.П.Тимошенко процесс соударения шара с балкой полно-
стью характеризуется двумя безразмерными параметрами
kr
M и
kr
V . Установлено,
что повторные соударения реализуются при
kr
M > 0,1 и
kr
V >300 (табл.1). Также про-
веден анализ влияния указанных безразмерных параметров на величины максималь-
ной безразмерной силы удара (табл.2), максимального безразмерного времени про-
цесса соударения (табл. 3) и максимального прогиба балки (табл.4). Выполненные
расчеты показали, что величина максимального безразмерного прогиба балки в ос-
новном определяется величиной Mkr.
Предложенный в статье подход, предусматривающий использование системы
обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений вместо интегрального
уравнения позволяет преодолеть вычислительные сложности и в дальнейшем перейти
к усложнению решаемых задач, в частности, скорректировать зависимость местных
деформаций от силы удара. В результате появляется возможность расширить круг
рассматриваемых задач соударения твердого тела и упругой системы.
Р Е З Ю М Е . Інтегральне рівняння С.П. Тимошенко, що описує процес зіткнення балки і кулі,
замінено системою нелінійних диференціальних рівнянь, приведених до безрозмірного вигляду. Ви-
явлено вплив параметрів системи «куля – балка» на число зіткнень і максимальні значення без-
розмірних сили удару, прогину балки і часу процесу зіткнення.
1. Гарцман С.Д., Шулемович А.М. Повторные соударения в теории удара С.П. Тимошенко // Пробле-
мы машиностроения и надежности машин. – 2001. – № 5. – C. 31 – 34.
2. Зегжда С.А. Соударение упругих тел. – Санкт-Петербург: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1997. – 316 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука,
1970. – 720 с.
4. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. – М.: Наука, 1977. – 224 с.
5. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Наука, 1967. – 444 с.
Поступила 04.12.2008 Утверждена в печать 15.06.2010
|