Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами
A nonlinear mathematical model of translational vibrations of a system of n rigid bodies is constructed for the case of inertial loading. The system contains the supportball mechanism of seismic isolation and the electromagnetic dampers, controlled by means of the inertial feed-back channel. Wh...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95413 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами / Н.П. Плахтиенко, А.Т. Забуга // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 111-122. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95413 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954132016-02-26T03:02:44Z Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами Плахтиенко, Н.П. Забуга, А.Т. A nonlinear mathematical model of translational vibrations of a system of n rigid bodies is constructed for the case of inertial loading. The system contains the supportball mechanism of seismic isolation and the electromagnetic dampers, controlled by means of the inertial feed-back channel. When the accelerative damping being presented in the system, the system of differential equations of dynamics is obtained in the normal form. The frequencies of small non-attenuated vibrations are evaluated. A technique of studying the dynamical coefficients by use of acceleration of rigid bodies is proposed for the case of accelerative damping. For the two-mass system, the phenomenon of double phase-frequency resonance is studied. Побудовано нелінійну математичну модель n твердих тіл при інерційному навантаженні. Система містить опорно-кульовий механізм сейсмоізоляції і електромагнітні демпфери, керовані за допомогою каналу інерційного зворотного зв'язку. При наявності акселеративного демпфування отримано систему диференціальних рівнянь динаміки в нормальній формі. Обчислено частоти малих незатухаючих коливань. Досліджено залежність власних частот від ряду безрозмірних параметрів. Побудовано методику дослідження динамічних коефіцієнтів по прискоренню твердих тіл при акселеративному демпфуванні. Для двомасової системи досліджено явище подвійного фазочастотного резонансу. 2010 Article Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами / Н.П. Плахтиенко, А.Т. Забуга // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 111-122. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95413 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A nonlinear mathematical model of translational vibrations of a system of n
rigid bodies is constructed for the case of inertial loading. The system contains the supportball
mechanism of seismic isolation and the electromagnetic dampers, controlled by means of the inertial
feed-back channel. When the accelerative damping being presented in the system, the system of
differential equations of dynamics is obtained in the normal form. The frequencies of small
non-attenuated vibrations are evaluated. A technique of studying the dynamical coefficients by use
of acceleration of rigid bodies is proposed for the case of accelerative damping. For the
two-mass system, the phenomenon of double phase-frequency
resonance is studied. |
| format |
Article |
| author |
Плахтиенко, Н.П. Забуга, А.Т. |
| spellingShingle |
Плахтиенко, Н.П. Забуга, А.Т. Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами Прикладная механика |
| author_facet |
Плахтиенко, Н.П. Забуга, А.Т. |
| author_sort |
Плахтиенко, Н.П. |
| title |
Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами |
| title_short |
Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами |
| title_full |
Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами |
| title_fullStr |
Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами |
| title_full_unstemmed |
Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами |
| title_sort |
нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95413 |
| citation_txt |
Нелинейная динамика системы твердых тел с управляемыми электромагнитными демпферами / Н.П. Плахтиенко, А.Т. Забуга // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 9. — С. 111-122. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT plahtienkonp nelinejnaâdinamikasistemytverdyhtelsupravlâemymiélektromagnitnymidempferami AT zabugaat nelinejnaâdinamikasistemytverdyhtelsupravlâemymiélektromagnitnymidempferami |
| first_indexed |
2025-07-07T02:12:59Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:12:59Z |
| _version_ |
1836952458995171328 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 9
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 9 111
Н .П . Пл а х т и е н к о , А . Т . З а б у г а
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
С УПРАВЛЯЕМЫМИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ДЕМПФЕРАМИ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестeрова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua
Abstract. A nonlinear mathematical model of translational vibrations of a system of n
rigid bodies is constructed for the case of inertial loading. The system contains the support-
ball mechanism of seismic isolation and the electromagnetic dampers, controlled by means
of the inertial feed-back channel. When the accelerative damping being presented in the
system, the system of differential equations of dynamics is obtained in the normal form. The
frequencies of small non-attenuated vibrations are evaluated. A technique of studying the
dynamical coefficients by use of acceleration of rigid bodies is proposed for the case of ac-
celerative damping. For the two-mass system, the phenomenon of double phase-frequency
resonance is studied.
Key words: mathematical model, system of rigid bodies, electromagnetic damper,
mechanism of seismic isolation, feed-back, translational acceleration, double phase-
frequency resonance.
Введение.
Механизмы сейсмоизоляции (МС) сооружений со второй половины прошлого
столетия разрабатываются и применяются как средство смягчения негативных по-
следствий сильных землетрясений [3 – 7, 16, 17, 21 – 24]. Назначение этих механиз-
мов состоит в уменьшении жесткости связи сооружения с частью фундамента, за-
глубленной в грунт, а также в увеличении диссипации энергии сейсмических возму-
щений. В настоящее время предложены модели и проводятся исследования по разра-
ботке конструктивных решений для управляемых демпфирующих устройств, содер-
жащих жидкие электро- и магнитореологические материалы в виде суспензий для
использования их в МС [13 – 17]. Один из возможных путей улучшения диссипатив-
ных свойств сейсмозащитных устройств может быть основан на использовании фрик-
ционных электромагнитных демпферов, не содержащих магнитореологических сус-
пензий. Такая схема демпфирования одномассовой системы описана в работах [8, 11].
В настоящей работе при определенных ограничивающих предположениях строит-
ся математическая модель многомассовой системы тел, снабженной подобным элек-
тромагнитным демпфером в механизме сейсмоизоляции. Построена математическая
модель системы твердых тел с опорно-шаровым МС и встроенными электромагнит-
ными фрикционными элементами. Последние производят силу сопротивления движе-
нию несущей платформы МС, зависящую от тока в обмотке электромагнитов. Вели-
чина тока в обмотке демпферов управляется сигналом, доставляемым контуром об-
ратной связи с датчиков поступательного ускорения отдельных тел системы. Измере-
ние ускорения весьма выгодно технически (не требует неподвижного основания).
Последовательно интегрируя сигнал из акселерометра, можно организовать управле-
ние демпфирующими устройствами по скорости или перемещению.
Управление движением механических систем с использованием контура управле-
ния является эффективным приемом улучшения их динамических свойств [18, 19].
112
§1. Расчетная схема цепной системы твердых тел с шаровым механизмом
сейсмоизоляции и управляемыми электромагнитными демпферами.
На рис. 1 показана геометрическая схема n твердых тел, обустроенных МС. Этот
механизм состоит из нижнего массивного тела массы 0m , которое имеет твердую
плоскую ферромагнитную поверхность, по которой могут перекатываться шаровые
опорные элементы
s
K , 1,2,...,s = радиуса r в количестве не меньше трех, которые
не лежат на одной линии. CA – система измерения, интегрирования и усиления про-
цессов, доставляемых акселерометрами, установленными на несомых твердых телах.
Рис. 1
Верхняя часть механизма включает тело 1m , обустроенное системой сферических
выемок радиуса R r>> . Шаровые опоры контактируют с верхней плитой 1m МС, при
этом в положении равновесия точки контакта находятся в вершинах выемок шаровых
опор. Верхняя плита МС обустроена системой электромагнитных демпферов (ЭМД)
( 1, 2, , )
i
D i k= K . Эти демпферы являют собой катушки соленоидов с ферромагнит-
ным сердечником. Знакопостоянный ток I в катушках электромагнитов может быть
управляемым по отклонению, относительной или абсолютной скорости или ускоре-
нию любого из тел цепной системы. Электромагнитные демпферы могут беспрепят-
ственно двигаться в вертикальных направляющих верхней плиты МС. При наличии
тока в катушках в зоне контакта башмаков с ферромагнитной поверхностью нижней
плиты МС возникает сила прижима N электромагнитов к поверхности скольжения.
Сила прижима предопределяет появление силы трения, направленной в сторону, про-
тивоположную вектору скорости скольжения башмаков электромагнитов относитель-
но поверхности скольжения. Предполагаем ее неотрицательной функцией ампервит-
ков W qi= , где q – количество витков катушки ЭМД является постоянным конст-
руктивным параметром; i – величина тока в амперах, которая зависит от движения
тела; далее примем ее функцией ( )N i , которую можно изобразить некоторым поли-
номом по степеням величины тока i , т.е.
2
0 1 2( ) k
k
N N i n n i n i n i= = + + + +K , (1.1)
где
j
n ( 1, )j k= – конструктивные параметры электромагнита, при этом величина
j
n
имеет размерность н/а
j
. Величина параметра 0n зависит от силы веса якоря электро-
магнита и его остаточной намагниченности, связанной, например, с применением
якорей из магнитожестких материалов. Такие материалы характеризуются достаточно
широкой петлей магнитного гистерезиса со значительной коэрцитивной силой. Для
магнитомягких якорей сила их прижима к ферромагнитной поверхности имеет при-
ближенную квадратичную зависимость от тока i [5].
113
Теоретический расчет коэффициентов
k
n ( 1, 2, )k = K возможен на основе тео-
рии электромагнетизма [1], он является достаточно сложной задачей. Более эффек-
тивным может оказаться теоретико-экспериментальный метод, который опирается на
измерение силы отрыва якоря от ферромагнитной поверхности в зависимости от тока
в его обмотке [5].
Величины оценок конструктивных параметров
j
n ( 1, )j k= получают с примене-
нием метода наименьших квадратов обработкой множества измерений
T
F при
p k>> значениях тока const( 1, 2, , , )
p
i p k= = K K .
Сила трения скольжения якоря электромагнита по ферромагнитной поверхности c
о скоростью v определяется простой формулой
( ) ( )signv
T
F i N iµ= − . (1.2)
Тело массы 0m может выполнять заданное движение и является моделью фунда-
мента, жестко совмещенного с тектонической плитой (почвой), колебательное движе-
ние которой вызывает инерционную силовую нагрузку сейсмической природы, т.е.
землетрясение. В дальнейшем предположим, что тело 0m выполняет поступательное
колебательное движение. К телу массы 1m присоединена цепная система твердых тел
с помощью k гибких упругих стержневых связей длиной l . Деформацией растяже-
ния связей будем пренебрегать. Следовательно, стержневые связи обеспечивают воз-
можность плоскопараллельного сдвигового перемещения несомых тел друг относи-
тельно друга при постоянном расстоянии в вертикальном направлении.
Дальше систему твердых тел 0 1,m m с шаровыми опорами между ними и электро-
магнитными демпферами будем называть механизмом сейсмоизоляции цепной сис-
темы твердых тел.
Целью данного исследования является составление математической модели ма-
лых поступательных колебаний обозначенной системы твердых тел с механизмом
сейсмоизоляции, который содержит управляемый электромагнитный фрикционный
демпфер, а также исследованию влияния управления по ускорению на резонансные
характеристики рассматриваемой системы при частных значениях ее параметров.
В общем случае движение рассматриваемой системы тел будет связано по всем
координатам, при этом вращательно-поступательное движение обязательно порожда-
ет пространственный характер движения тела 1m , которое опирается на шаровые
опоры. При его малом поступательно-вращательном движении возникает отклонение
от вертикальной оси, которое является сугубо кинематическим по природе и имеет
второй порядок малости сравнительно с углом вращения вокруг оси Oz [9]. В случае,
когда малое поступательное и вращательное движения не связаны [2], их можно от-
дельно исследовать как не порождающие наклона вертикально ориентированной цеп-
ной системы твердых тел. Согласно результатам работы [9] малое поступательное и
вращательное движения исследуемой системы твердых тел будут не связаны, если
выполняются такие условия:
1) опорные элементы расположены на периферии одного круга;
2) центры масс цепной системы твердых тел в положении равновесия лежат на
вертикальной оси, которая проходит через центр круга расположения опорных эле-
ментов;
3) центры жесткости связей всех тел лежат на оси, которая проходит через центр
круга опорных элементов;
4) главные оси инерции всех тел коллинеарны.
При перечисленных условиях, отсутствии внешних вращательных моментов, а
также нулевых начальных значениях, движение системы тел будет поступательным.
114
Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описы-
вают малые поступательные колебания совокупности твердых тел возле положения
равновесия. При поступательном движении всех элементов цепной системы твердых
тел перемещение всех шаровых опор относительно опорной и несущей плит МС
предполагается идентичным.
Воспользуемся методом уравнений Лагранжа ІІ рода. Вычислим кинетическую и
потенциальную энергии системы, показанной на рис. 1. С этой целью введем инерци-
альную декартову систему координат
i
O ξς и неинерциальную Oxz с началом на
плоскости подвижного тела 0m . Ось Oz направлена вертикально вверх, Ox – вправо
(рис. 2). Начало O совпадает с проекцией вершины выемки на поверхность нижнего
тела МС в положении равновесия, то есть при отсутствии перемещения верхнего тела
1m . Ось Ox параллельна оси
i
O ξ . Для проекций абсолютной скорости системы тел
имеем v ( )
xi i
x tξ= +
&& , v ( )
izi
z tς= + && . Согласно предположению о нерастяжимости
стержневых связей – 1 ( 2,3, , )
i
z z i n= = K .
Кинематические параметры, характеризующие пространственное положение не-
сущей плиты, определим как и в работе [23] углом поворота шара, отсчитываемого от
его невозмущенного состояния.
Рис. 2
Вертикальная и горизонтальная составляющие относительной скорости массы 1m
не являются независимыми, поскольку верхняя плита перекатывается по шару и про-
екции скоростей 1( )x t& и 1( )z t& связаны интегрируемой (при поступательном движе-
нии) кинематической связью
2 2 2
1 1 1vx z+ =& & , (1.3)
где согласно работе [22] 1 ( )v αρ α= & ; α – угол между вертикалью и радиусом r , про-
веденным из центра шара в точку B , которая в положении равновесия системы тел
совпадает с точкой A вершины выемки; ( )ρ α – мгновенный радиус вращения, кото-
рый соединяет точки C и D шара (рис. 2)
( ) 2(1 cos )rρ α χα= +
r
R r
χ
=
−
. (1.4)
При этом χα β= – угол между вертикалью и радиусом выемки, проведенным в
точку D текущего контакта шара с поверхностью выемки (рис. 2)
1 ( )(1 cos ) 2z R r rχα= − − + . (1.5)
Отсюда имеем равенство 1 ( ) sinz R rα χ χα= −&& . Подставляя его в формулу (1.3),
находим
1 (1 cos )x r χα α= + && . (1.6)
115
Проинтегрируем последнее равенство и в результате получим координату 1x так
же, как функцию угла α
1
0 0
sin 1
(1 cos ) 1 sinx r d r r
α
α
σ χσ
χσ σ χα
χ χ
+
= + = = +
∫ . (1.7)
Следовательно, для функции Лагранжа L имеем такое выражение: L T= − Π , где
с учетом 1 ( 2, )
i
z z i n= =& & имеем
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
1
22 2
1 1
2
1
2
1 1 1
( (1 cos ) ) ;
2 2 2
n
i i
i
n
i i
i
T m x z
M z m r m x
ξ ς
ς χα α ξ ξ
=
=
= + + + =
= + + + + + +
∑
∑
& && &
& && & &&
(1.8)
2
1 1, 1
1 2
1
( ) const
2
n n
i i i i i
i i
gz m k x x
− −
= =
Π = + − + =∑ ∑ ( )(1 cos )g R r Mχα− − +
2
2
12 2 1, 1
3
1 1 1
sin ( ) const
2 2
n
i i i i
i
k x r k x xα χα
χ
− −
=
+ − + + − +
∑ , (1.9)
где , 1 3
1
12
;
n
i i i
i
EJ
M m k p
+
=
= =∑
l
изгибная жесткость из p одинаковых параллельно
вставленных и жестко зажатых между двух подвижных масс 1( , )
i i
m m
+
стержней
длиной l и изгибной жесткостью EJ . Первое слагаемое в выражении (1.9) является
гравитационным потенциалом, а второе и третье слагаемое отражают потенциал сил
деформации гибких стержневых связей. Следовательно, уравнение поступательного
движения цепной системы твердых тел имеет вид
d L L
Q
dt
α
α α
∂ ∂
− =
∂ ∂&
;
xi
i i
d L L
Q
dt x x
∂ ∂
− =
∂ ∂&
( 2,3, , )i n= K . (1.10)
Здесь Q
α
,
xi
Q – обобщенные силы непотенциального характера, в число которых
будем включать только силы трения от управляемых демпферов, действующих на
тело 1m . Согласно известным правилам, Q
α
определяется как коэффициент при δα
элементарной работы Aδ , силы трения на виртуальном перемещении 1xδ
1( ) ( ) (1 cos ) sign A N i x N i rδ µ δ µ χα α δα= − = − + & ,
откуда имеем
( ) (1 cos ) sign Q N i r
α
µ χα α= − + & . (1.11)
Обобщенные силы
xi
Q примем нулевыми: 0 ( 2, )
xi
Q i N= = .
Для построения уравнений малых колебаний системы возле положения равнове-
сия выражение кинетической и потенциальной энергий представим в виде
2 1T T T= + , 2Π = Π , (1.12)
где ( 1,2)
k
T k = – функции первой и второй степени относительно переменных ,
i
xα& & ,
2Π – функция второй степени относительно переменных α ,
i
x ( 2, )i N= . Для вычис-
лений
i
T ( 1,2)i = и 2Π имеем формулы:
116
2
1 1
2
2
n
i i
i
r
T M m r m x
R r
αας αξ ξ
=
= + +
−
∑& && & & & ;
2 2 2
2 1
2
1
2
2
n
i i
i
T m r m xα
=
= + ∑& & ;
2 2
2 2
2 12 2 1, 1
3
1 1
( ) ( 2 ) ( )
2 2 2
n
i i i i
i
Mg R r k x r k x x
χ α
α
− −
=
Π = − + − + −∑ . (1.13)
Для вычисления операторов Эйлера с учетом (1.11) приходим к таким уравнениям
малых поступательных колебаний цепной системы твердых тел возле положения рав-
новесия:
1 12 2 12 ( )sign ( ) ( 2 )
2( )
r
m r N i M g k x r m
R r
α µ α ς α α ξ+ + + − − = −
−
&&&& & && ;
2 2 12 2 23 3 2 2( 2 ) ( )m x k x r k x x mα ξ+ − − − = −
&&&& ; (1.14)
1, 1 , 1 1( ) ( )
j j j j j j j j j j j
m x k x x k x x m ξ
− − + +
+ − − − = −
&&&& ( 3,4, , )j n= K .
В первое уравнение (1.14) необходимо подставить выбранный закон ( )N i управления
током в катушках ЭМД.
Практический интерес представляет использование акселерометров, установлен-
ных только на несомых телах, которые доставляют их абсолютное горизонтальное
ускорение: ( ) ( )x t tξ+
&&&& . Последовательным интегрированием этих процессов можно
получить с некоторой погрешностью абсолютные скорости ( ) ( )x t tξ+
&& и перемещения
( ) ( )x t tξ+ .
Учитывая инерционность контура обратной связи в форме апериодического звена
первого порядка, имеем один из трех законов управления током в катушке электро-
магнитного демпфера
( ) ;
( ) ;
( ) ,
dj j
j vj j
aj j
K x t
di
T i K x t
dt
K x t
ξ
ξ
ξ
+
+ = +
+
&&
&&&&
(1.15)
(1.16)
(1.17)
где , , , ( 1, )
j dj vj aj
T K K K j n= – постоянная времени и коэффициенты усиления
контуров управления, которые содержат измерители абсолютных значений переме-
щения, скорости или ускорения j -й массы системы твердых тел.
Численное интегрирование системы уравнений (1.14), (1.15) или (1.14), (1.16) с
учетом (1.1) может быть выполнено при малых значениях ( 0, )
i
n i k= как системы
квазилинейных дифференциальных уравнений в форме Коши. В случае уравнений
(1.14), (1.17) задача аналитически осложняется необходимостью исключения пере-
менной
j
x&& из уравнения (1.17).
Согласно уравнениям (1.14) при ξ
&&=0 имеем для ( 2, )j n= равенство
1, 1 , 1 1
1
( ) ( )
j j j j j j j j j
j
x k x x k x x
m
ξ
− − + +
= − − − − −
&&&& ; 1 2x rα= . (1.18)
Для 1j = согласно первому уравнению (1.14) получаем
117
1
1 1 12 2 1
1
1
( )sign ( )
4
M x
x N i x k x x g
R r m
ξ
= − − − − +
−
&&&& & . (1.19)
В случае, когда постоянные времени ( 1, )
j
T j n= значительно меньше низшего
из собственных периодов ( 1, )
k
T k n= рассматриваемой системы при
( ) ( ) 0, ( ) 0t t N iξ ζ= ≡ =
&& && , тогда величины
j
T пропорциональны малому параметру;
в этом случае получаем сингулярно возмущенную систему дифференциальных урав-
нений с малым параметром при производных [12]. При численном интегрировании
таких систем необходимо выбирать шаг интегрирования с учетом наличия в системе
быстрых переменных. В работе [8] с использованием численного интегрирования ис-
следовано влияние инерционности контура управления на резонансные характеристи-
ки одномассовой системы при управлении током электромагнита по скорости и уско-
рению. В предельном случае, когда параметр
j
T существенно мал, можно положить
0
j
T = . В этой ситуации величина тока определяется из конечных соотношений. Ог-
раничиваясь далее двучленным представлением соотношения (1.2) при ( 2, )
i
n i k= и
наличием обратной связи только от тела малой массы 1m , находим такие силы трения
скольжения для соответствующих законов управления током:
( )
( )
( )
0 1 1
0 1 1
0 1 1
( ) ;
( ) ( ) ;
( ) ,
d
v
a
n h x t
N i n h x t
n h x t
µ ξ
µ µ ξ
µ ξ
+ +
= + +
+ +
&&
&&&&
(1.20)
где 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,
d d v v a a
h n K h n K h n K= = = .
Введенные параметры имеют такие размерности: [ ]1d
h н/м,= [ ]1v
h =
нс/м,= [ ]1a
h кг= .
Законы управления (1.15), (1.17) делают уравнения малых колебаний цепной сис-
темы нелинейными. Управление по перемещению обусловливает гистерезисное, а по
ускорению – акселеративное демпфирование совокупности твердых тел.
Оценим собственные частоты и формы малых колебаний исследуемой системы
при отсутствии тока в электромагнитных демпферах при 0 0n ≡ и ( ) ( ) 0t tξ ς= ≡
&& && . Обо-
значим матрицы инерции и жесткости системы через M и C . Здесь M – диагональ-
ная n -матрица с элементами ( 1, )
i
m i n= на главной диагонали. Матрица C являет-
ся симметрической и трехдиагональной, на главной и верхней диагонали имеем, соот-
ветственно, такие элементы:
11 12
4( )
Mg
c k
R r
= +
−
; 1, , 1 , 1( 2, , 0
ii i i i i n n
c k k i n k
− + +
= + = = );
, 1 1, , 1 ( 1, )
i i i i i i
c c k i n
+ + +
= = − = .
Матрицы ,M C положительно определены, следовательно, частотное уравнение
2det 0M Cω− + = (1.21)
имеет действительные положительные корни 2 2 ( 1, )
i
i nω ω= = .
118
Предполагаем, что среди этих корней нет кратных; тогда решение соответствую-
щей автономной консервативной системы имеет вид
1
cos( ) ( const)
n
k ki i i i
i
x X tω ϕ ϕ
=
= + =∑ ,
где
ki
X – координаты вектора 1 2( , , , )T
i i i ni
X X X X= K являются нетривиальным ре-
шением однородного линейного алгебраического уравнения
2( ) 0
i i
M C Xω− + = ( 1, )i n= ,
которое определяется с точностью до произвольного множителя. Векторы
, ( )
i j
X X i j≠ являются ортогональными в том понимании, что
T
i j
X MX 0,=
0
T
i j
X CX = ; здесь T – символ транспонирования.
Запишем явный вид корней уравнения (1.21) для 2n = . Введем такие обозначения
положительных величин:
1 2M m m= + ; ; 9,8D R r g= − = ; 2
0 (4 )g Dω = ; 2 12
2
1 2 0
;
m k
Q
m m
σ
ω
= = .
Здесь величины , Qσ являются безразмерными.
Тогда, составляя и решая квадратные уравнения (1.21) при 2n = относительно
2 2
1 2,ω ω , находим
2 2 2
1,2 1,2 0 0 1,2( , , ) ( , )Q Qω ω ω σ ω σ= = Φ ;
2 2
1,2
1 1
( , ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
2 4
Q Q Q Qσ σ σ σΦ = + + + + − +m .
Здесь знак «–» перед радикалом отвечает меньшей, а «+» – большей частотам.
На рис. 3, а, б показаны поверхности, которые отображают влияние двухмассово-
сти на частоты системы с двумя степенями свободы,
( , ) ( 1,2); [0,1; 1]; [1, 10]
i i
u Q i Qσ σ= Φ = ∈ ∈ .
Рис. 3
119
На рис. 4 показана поверхность, ко-
торая характеризует относительную
длину диапазона расположения собст-
венных частот двухмассовой системы,
отнесенную к гравитационной частоте
одномассовой системы
( , )Qδ δ σ= =
1 0 2 0
0
( , , ) ( , , )Q Qω ω σ ω ω σ
ω
−
= =
1 2( , ) ( , )Q Qσ σ= Φ − Φ .
Как видно из рис. 4, увеличение же-
сткости 12k межмассовой упругой связи приближает низшую частоту 1ω к чисто ма-
ятниковой частоте 0ω .
Приведем расчетную модель динамики поступательных колебаний системы твер-
дых тел при безынерционной обратной связи 0 ( 1, )
j
T j n= = и управлению током
электромагнитов по абсолютному ускорению несущей платформы
1 1 1 1( ) sign( )
a a
i K x K x xξ ξ ξ= + = + +
&& && &&&& && && .
Тогда первое уравнение системы (1.14) запишем в форме
1 1 1 1 2 1( )(1 sign( ( ))) ( , , , )
a
x x x F x x xξ λ ξ ς+ + + = −
&& && &&&& & && & ,
где
1,2 0
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1
( )
( , , , ) ( )
4( )
kM g n
F x x x x x x sign x
m R r m m
ς µ
ς
+
= − − +
−
&&
&&& & , 1 1 1/
a a
K n mλ µ= .
Размерность величины
a
λ является нулевой, поскольку [ ]1a
K
2
ac /м,=
[ ]1 н/a,n = [ ]1 кгm = .
Отсюда при 1
a
λ < имеем 1 1 2 1( ) ( , , , )sign x signF x x xξ ς+ = −
&& &&&& & .
Следовательно, первое уравнение системы (1.14) может быть решено относитель-
но второй производной и она примет вид нелинейных дифференциальных уравнений,
которые сводятся к форме Коши
1 2 1
1
1 1 2 1
( , , , )
1 sign( ( , , , ))
a
F x x x
x
x F x x x
ς
ξ
λ ς
= − −
−
&&&
&&&&
&&& &
;
1, 1,
1 1( ) ( )
j j j j
j j j j j
j j
k k
x x x x x
m m
ξ
− −
− +
= − − − + −
&&&& ; (1.22)
( , 1(2, ), 0
n n
j n k
+
= = ).
Эти уравнения удобны для численного интегрирования. Таким образом, в предпо-
ложении безынерционности контура управления током система уравнений (1.22)
представляет математическую модель динамики поступательных колебаний цепной
системы твердых тел с управляемыми по абсолютному ускорению фрикционными
электромагнитными сейсмодемпферами с учетом инерционной нагрузки.
Рис. 4
120
§2. Исследование явления двойного фазочастотного (ДФЧ) резонанса.
Для получения результатов анализа ДФЧ-резонанса рассмотрим случай 2n = .
Пусть 1 2( )ω ω является нижней (высшей) из собственных частот, которые определя-
ются уравнением типа (1.21). Пусть 0( , , ), 1,2
i i
Q iω ω ω σ= = , – две собственные час-
тоты системы (1.22) при 2n = , 1 2,ν ν – две близкие частоты внешнего затухающего
возмущения вида
2
1
( ) exp( )cos( )
i i i i
i
t a t tξ λ ν α
=
= +∑&& . (2.1)
В системе (1.22) при 2n = может иметь место явление ДФЧ-резонанса, если при
изменении параметров 0, ,Qω σ любая из частот 1 2,ω ω попадет в интервал [ 1 2,ν ν ] с
начальными фазами ( 1,2)
i
iα = , которые отличаются на полупериод, и имеет гармо-
ники с близкими амплитудами 1 2,a a [6, 7, 24]. Исследуем резонансно-частотные
свойства рассматриваемой двухмассовой системы, содержащей только две несомые
массы, возмущаемые горизонтальным переносным ускорением. С этой целью запи-
шем уравнения движения (1.22) при 2, ( ) 0n tζ= =
&& с использованием параметров
0, ,Qω σ . В результате имеем
( )
2
1 2 1 0 1 2 0 1( , , ,0) (1 / ) / / signF x x x Q x Q x n m xω σ σ σ µ= + + − +& & ;
1 1 2 1 1 2 11
( , , , 0) (1 sign( ( , , , 0)))
a
x F x x x x F x x xξ λ= − − −
&&&& & & & ; (2.2)
2
2 0 2 1( )x Q x xξ ω= − − −
&&&& .
Примем R r D− = переменным параметром и
[ ]0 01 02const; const; var ,Q Qσ σ ω ω ω= = = = − ∈ .
Вычислим значение низшей частоты
Hi
ω ( 1,2)i = при 1D и 2D
01 0 1 1 02 0 2 2( ) /(4 ); ( ) /(4 )D g D D g Dω ω ω ω= = = = ;
1 01 1( , )
H
Qω ω σ= Φ ; 2 0 2 1( , )
H
Qω ω σ= Φ .
При изменении параметра D в диапазоне [ ]1 2,D D низшая собственная частота
будет изменяться в диапазоне [ ]1 2,
H H
ω ω . Выберем теперь частоты внешнего воз-
мущения в окрестности частоты 1ω
)
1,2 1 (1 ), 1ν ω ε ε= ± <<
)
; 1 01 02
1
( )
2
ω ω ω= +
)
и построим графики зависимостей 1 0 2 0( ), ( )µ ω µ ω
1
1 0
max ( ) ( )
( ( ))
max ( )
t
t
x t t
t
ξ
µ ω σ
ξ
+
=
&&&&
&&
;
2
2 0
max ( ) ( )
( ( ))
max ( )
t
t
x t t
t
ξ
µ ω σ
ξ
+
=
&&&&
&&
; 0 01 02[ , ]ω ω ω∈ . (2.3)
Эти зависимости являются коэффициентами динамичности рассматриваемой системы
по ускорению. Максимумы графиков 1 0 2 0( ), ( )µ ω µ ω отображают явление резонан-
са. Аналогичные вычисления коэффициентов 1 0 2 0( ), ( )µ ω µ ω за счет выбора пара-
метра D можно выполнить в окрестности высшей собственной частоты двухмассо-
вой системы.
121
На рис. 5 представлены графики кривых 1 0 2 0( ), ( )µ ω µ ω , полученные путем чис-
ленного интегрирования уравнений, (2.2) с начальными условиями: 1 2(0) (0)x x= =
1 2(0) (0)x x= =& & и внешнем возмущении (2.1.), при таких значениях входных величин:
29,8 м/с ; 5; 1; 0,2
a
g Q σ λ= = = = ; 0 0n = ; 0,2DZ = ;
1 20,02м; 0,2м;D D= = 0,05ε = ;
01 2/(4 ) 3,5018g Dω = = ; 02 1/(4 ) 11,0736g Dω = = ;
01 02
1
( ) 7,2877
2
H
ω ω ω= + =
)
; 1,2 (1 ) [7,6521; 6,9233]
H
ν ω ε= ± =
)
;
1,2 1,2 1,21; 2 [0,2436; 0,2204]a T π ν= = = ;
1,2 1,2/ [0,2436; 0,2204]DZ Tλ = = ; 1,2 [0, 0]α = (рис. 5, а);
1,2 [0, ]α π= (рис. 5, б).
Рис. 5
Как видим, явление аномально высокого значения величин 1,2 0( ( ))Dµ ω действи-
тельно имеет место, когда начальные фазы отличаются на полупериод.
Р Е З ЮМ Е . Побудовано нелінійну математичну модель поступальних коливань системи n
твердих тіл при інерційному навантаженні. Система містить опорно-кульовий механізм сейсмоізоля-
ції і електромагнітні демпфери, керовані за допомогою каналу інерційного зворотного зв'язку. При
наявності акселеративного демпфування отримано систему диференціальних рівнянь динаміки в
нормальній формі. Обчислено частоти малих незатухаючих коливань. Досліджено залежність влас-
них частот від ряду безрозмірних параметрів. Побудовано методику дослідження динамічних коефі-
цієнтів по прискоренню твердих тіл при акселеративному демпфуванні. Для двомасової системи
досліджено явище подвійного фазочастотного резонансу.
122
1. Вонсовский С.В. Магнетизм. – М.: Наука, 1971. – 1033 с.
2. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. – М.: Наука, 1976. – 431 с.
3. Козина Г.А., Килимник Л.Ш. Современные методы сейсмозащиты зданий и сооружений. – М.:
ВНИИИС, 1987. – 66 с.
4. Назин В.В. Новые сейсмостойкие конструкции и железобетонные механизмы сейсмоизоляции
зданий и сооружений. – М.: Стройиздат, 1993. – 133 с.
5. Назин В.В. Экспериментальные здания в Севастополе на гравитационных системах сейсмоизоля-
ции с включающимся сухим трением. – Ташкент: НТО Стройиндустрия, 1974. – 37.
6. Нейман Л.Р., Калантаров П.Л. Теоретические основы электротехники. Ч. 1. – М. – Л.: Госэнерго-
издат, 1959. – 296 с.
7. Плахтиенко Н.П. Переходный резонанс упругих систем при двухчастотном инерционном возбуж-
дении // Сейсмостойкое строительство и безопасность сооружений. – 2000. – № 6. – С. 27 – 30.
8. Плахтиенко Н.П., Михайлова М.И., Забуга А.Т. К расчету колебаний твердого тела с управляемым
фрикционным электромагнитным сейсмодемпфером // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 1. –
С. 114 – 124.
9. Плахтієнко М.П. Математична модель малих нелінійних просторових коливань масивного твердо-
го тіла з опорно-котковим сейсмоамортизатором // Конструкции гражданских зданий: Сборник
научных трудов Киевзнииэп. – К., 2003. – С. 96 – 102.
10. Плахтієнко М.П. Про розрахункове визначення коефіцієнтів допустимих пошкоджень та віпові-
дальності споруд // Конструкции гражданских зданий: Сборник научных трудов КиевЗНИИЭП.
– К., 2003. – С. 103 – 113.
11. Плахтієнко М.П., Забуга А.Т. Оптимізація параметрів контура управління струмом електромагні-
тного фрикційного сейсмодемпфера при розривному сейсмічному прискоренні // Промислове
будівництво та інженерні споруди. – 2009. – Вип. 1. – С. 10 – 15.
12. Понтрягин Л.С., Родыгин Л.В. Приближенное решение одной системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений с малым параметром при производных // ДАН СССР. – 1960. – 131, № 2. –
С. 255 – 258.
13. Aldemir U., Gavin H.P. Optimal Semiactive Control of Structures with Isolated Base // Int. Appl. Mech.
– 2006. – 42, N 2. – P. 235 – 240.
14. Carlson J.D., Spencer B.F. Magnetorheological fluid dampers for semiactive seismic control // Proc. 3
rd
,
Int. Conf. on Motion and Vibration Control, III. – P. 35 – 40. (1996).
15. Gavin H.P., Hanson R.D., Filisko F.E. Electrorheological Dampers, part I: Analysis and Design; Part II:
Testing and Modeling // Trans. ASME, J. Appl. Mech. – 1996. – 63. – P. 669 – 682.
16. Karnopp D. Active and semi-active vibration isolation // Trans. ASME, Special 50-th Anniversary De-
sign Issue. – 1995. – 117. – P. 177 – 185.
17. Kelly J.M. The role of damping in seismic isolation // Earthquake Energ. and Struct. Dyn. – 1999. – 25. –
P. 3 – 20.
18. Larin V.B. Сontrol Problems for Wheeled Robotic Vehicles // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 4. –
P. 363 – 389.
19. Larin V.B., Tunik A.A. Dynamic Output Feedback Compensation of External Disturbances // Int. Appl.
Mech. – 2006. – 42, N 5. – P. 606 – 616.
20. Legeza V.P. Quickest-Descent Curve in the Problem of Rolling of a Homogeneous Cylinder // Int. Appl.
Mech. – 2008. – 44, N 12. – P. 1430 – 1437.
21. Moon B.Y., Kang G.J., Kang B.S., Kim G.S. and Kelly J.M. Mechanical properties of seismic isolation
system with fiber-reinforced bearing of strip type // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, N 10. –
P. 1231 – 1239.
22. Plakhtienko N.P. Double Transient Phase-Friquency Resonance in Vibratory Systems // Int. Appl. Mech.
– 2002. – 38, N 1. – P. 113 – 120.
23. Plakhtienko N.P. Dynamics of a Chain System of Rigid Bodies with Gravity-Friction Seismic Dampers:
Fixed Supports // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 7. – P. 786 – 796.
24. Yao, J.T.P. Concept of Structural Control // J. of Structural Division. – 1972. – 98. – P. 1567 – 1574.
Поступила 25.09.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|