Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем
The integrating algorithms for data processing in identification of linear stationary systems by the results of observations of transient processes at discrete time are proposed. A problem of identification is considered in detail, when several phase coordinates of the system are recorded simultan...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95441 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95441 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954412016-03-03T23:55:29Z Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. The integrating algorithms for data processing in identification of linear stationary systems by the results of observations of transient processes at discrete time are proposed. A problem of identification is considered in detail, when several phase coordinates of the system are recorded simultaneously. The identification procedure is generalized on the case, when results of observations are absent for some instants. An efficiency of algorithms proposed is demonstrated on examples. Запропоновано алгоритми комплексирування результатів вимірювань при ідентифікації лінійних стаціонарних систем за результатами спостережень перехідних процесів в дискретні моменти часу. Детально розглянуто задачу ідентифікації при одночасній реєстрації декількох фазових координат системи. Процедуру ідентифікації узагальнено на випадок, коли відсутні результати вимірювань в деякі моменти часу. Ефективність запропонованих алгоритмів демонструється на числових прикладах. 2010 Article Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95441 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The integrating algorithms for data processing in identification of linear stationary systems by the results of observations of transient processes at discrete time are proposed. A problem of identification is considered in detail, when several phase coordinates of the
system are recorded simultaneously. The identification procedure is generalized on the case, when results of observations are absent for some instants. An efficiency of algorithms proposed is demonstrated on examples. |
| format |
Article |
| author |
Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. |
| spellingShingle |
Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем Прикладная механика |
| author_facet |
Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. |
| author_sort |
Апостолюк, А.С. |
| title |
Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем |
| title_short |
Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем |
| title_full |
Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем |
| title_fullStr |
Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем |
| title_full_unstemmed |
Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем |
| title_sort |
об обработке результатов измерений при идентификации механических систем |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95441 |
| citation_txt |
Об обработке результатов измерений при идентификации механических систем / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT apostolûkas obobrabotkerezulʹtatovizmerenijpriidentifikaciimehaničeskihsistem AT larinvb obobrabotkerezulʹtatovizmerenijpriidentifikaciimehaničeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-07T02:14:25Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:14:25Z |
| _version_ |
1836952548174462976 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 10
90 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 10
А .С .Ап о с т о л ю к 1
, В . Б .Л а р и н 2
ОБ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1
Национальный технический университет Украины
«Киевский политехнический институт»,
пр. Победы, 37,03056, Киев, Украина; e-mail: apos@i.ua;
2
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua
Abstract. The integrating algorithms for data processing in identification of linear sta-
tionary systems by the results of observations of transient processes at discrete time are pro-
posed. A problem of identification is considered in detail, when several phase coordinates of
the system are recorded simultaneously. The identification procedure is generalized on the
case, when results of observations are absent for some instants. An efficiency of algorithms
proposed is demonstrated on examples.
Key words: integration, LTI system, identification, irregular sampled data.
§1. Введение.
При решении различных задач управления [17, 29, 30] возникает задача иденти-
фикации объекта управления, т.е. выбора модели объекта управления и оценки ее па-
раметров [11, 24]. Аналогичные задачи возникают и в других прикладных проблемах
[35, 36 и др.]). Одной из простейших задач идентификации является определение па-
раметров стационарной линейной системы по результатам регистрации в равноот-
стоящие моменты времени (регулярных измерений) реакции системы на то или иное
воздействие. Во время переходного процесса, вызванного ненулевыми начальными
условиями, движение какой-либо точки объекта описывается следующим образом:
1
( )
n
t
j
j
j
y t d e
µ
=
=∑ , (1.1)
где ,
j j
dµ – подлежащие определению параметры.
В качестве исходной информации предполагается известной последовательность
регулярных измерений
( )E
( ) ( ) , 1 ( 1, , )
i i i i s
y t y t t i T iε= + = − = K l , (1.2)
где
i
ε – погрешности измерений;
s
T – период регистрации информации.
На практике возможна ситуация, когда в массиве данных (1.2) отсутствуют изме-
рения при некоторых значениях индекса i . Эту ситуацию можно интерпретировать
как случай одной нерегулярной последовательности измерений [18, 31]. Ее также
можно рассматривать и как случай, когда имеются несколько массивов измерений с
постоянным периодом (см. ниже пример 2). С другой стороны, и при периодических
измерениях возможна ситуация, когда доступны несколько каналов информации, на-
пример, когда одновременно регистрируется смещение точки и ее ускорение (два
массива данных, аналогичных (1.2) (см. ниже пример 1)). Тогда возникает задача ис-
пользования всех доступных массивов информации для получения наиболее точных
91
оценок параметров модели. По аналогии с [4] задачи идентификации в ситуациях та-
кого рода будем называть задачами комплексирования результатов измерений.
Как будет показано ниже, для решения задач комплексирования могут быть ис-
пользованы (при соответствующей модификации) некоторые алгоритмы, которые
ориентированы на случай регулярной последовательности измерений. В этой связи
приведем краткий обзор некоторых подходов, используемых при решении задач типа
(1.1), (1.2).
Обычно требуется определить количество экспонент в (1.1) (порядок модели) и
получить оценки параметров ,
j j
dµ . Отметим, что кроме механики (например, при
идентификации гибких конструкций [32]) такого рода задачи охватывают широкую
область применения, например, при описании процессов нефтегазодобычи [3], в хи-
мии полимеров [14], при определении параметров радиоактивного распада [6], оценке
параметров гармонического сигнала [5] и др.
Далее будет рассмотрена только вторая часть сформулированной проблемы, а
именно, внимание будет сосредоточено на получении оценок ,
j j
dµ , предполагая
известным порядок модели. Заметим, что определение порядка модели является само-
стоятельной задачей [1, 19] и для ее решения могут быть использованы различные
подходы (процедура упорядоченной минимизации среднего риска [3], информацион-
ные критерии [33] и др.). Относительно ко второй части упомянутой проблемы, то
следует отметить одно из первых ее решений, которое было предложено еще в
1795 году [25] (см. также [6]). Этот подход (метод Прони) основан на введении про-
межуточной конечно-разностной системы, после оценки параметров которой строи-
лись оценки
j
µ и далее находились оценки параметров
j
d . Сравнение метода Прони
с другими методами приведено в обзоре [5]. Здесь следует отметить трудности, свя-
занные с переходом от промежуточной конечно-разностной системы к исходной сис-
теме с непрерывным временем [12, 23, 34], что в свою очередь (для повышения точ-
ности результата) может потребовать использования тех или иных оптимизационных
процедур [1, 24].
Данная статья организована следующим образом. Описывается метод Прони, по-
зволяющий путем использования промежуточной конечно-разностной системы, про-
извести декомпозицию исходной задачи на задачу нахождения оценок
j
µ и задачу
определения оценок
j
d . Кратко изложены основные алгоритмы, позволяющие опти-
мизировать эту процедуру (тотальный метод наименьших квадратов [16, 21], метод
матричных пучков [26, 28] и др.). Далее излагается нелинейный аналог метода Прони
[2], который, с одной стороны, позволяет произвести декомпозицию исходной задачи,
а с другой, – не использует конечно-разностную систему. Этот алгоритм обобщается
на случай, когда часть параметров
j
µ в модели (1.1) задана. Тогда, если судить стро-
го, неприменим традиционный метод Прони. Существенно, что возможность деком-
позиции задачи (метод Прони) обычно базируется на предположении, что измерения
(1.2) производятся через равные промежутки времени. Однако, в настоящее время
внимание исследователей привлекают задачи, в которых измерения происходят нере-
гулярно [31 и др.]. Отметим, что используя сплайн-интерполяцию можно построить
регулярную последовательность по исходной нерегулярной. Далее можно применить
к полученной регулярной последовательности известные алгоритмы. Однако, как по-
казано в [18] (см. пример 4), такой подход может сопровождаться существенным
снижением точности результатов идентификации и поэтому он не рассматривается.
В этом случае, метод Прони обобщается на случай нерегулярных измерений [18].
Как уже отмечалось, указанные выше алгоритмы модифицируются именно таким об-
разом, что позволяет использовать их в задаче комплексирования измерений.
В заключение статьи рассмотрен пример идентификации системы виброзащиты,
когда доступны измерению как смещение некоторой точки, так и ее ускорение, и
пример (the fourth-order Rao-Garnier system [24]), в котором предполагается отсутст-
вие результатов измерений в ряде точек.
92
§2. Определение параметров модели.
Видно, что функция ( )y t , определяемая (1.1), удовлетворяет дифференциальному
уравнению
( ) ( )
1
0
n
n n j
j
j
y a y
−
=
+ =∑ (2.1)
с начальными условиями
( )
(0) (0), 1, ,
n j
n j
y x j n
−
−
= = K .
Очевидно, что коэффициенты
j
a однозначно связаны с параметрами
j
µ через
формулы Виета, а параметры
j
d определяются начальными условиями (0)
n j
x
−
и па-
раметрами
j
µ . Таким образом, необходимо найти оценки параметров
j
a и (0)
n j
x
−
по
наблюдаемым значениям (1.2). Для этого перепишем (2.1) в виде системы n диффе-
ренциальных уравнений первого порядка
x Ax=& , [ ]0 1 1
(0) (0) (0) (0)
T
n
x x x x
−
= K ;
y Cx= , [ ]1 0 0C = K ; (2.2)
1
0 1 0 0
0 0 0 1
n
A
a a
=
− −
K
M O O M
M O O M
K
K K K
.
Здесь и далее верхний индекс «T » означает транспонирование. Отметим, что соглас-
но (2.2) имеем
( ) (0)
At
i
i
y t Ce x= . (2.3)
Введем квадратичную целевую функцию
[ ]
2
E
1
( ) ( )
i i
i
J y t y t
=
= −∑
l
% , (2.4)
где ( )
i
y t% – некоторое приближение, определяемое выбором оценок величин
1
, ,
n
a aK
и вектора (0)x в соотношениях (2.2), (2.3).
Таким образом, задачу определения параметров (0)
n j
x
−
и ( 1, , )
j
a j n= K можно
сформулировать как задачу минимизации по этим параметрам целевой функции (2.4).
Отметим, что в случае действительных показателей
j
µ , фигурирующих в (1.1),
при одновременном определении параметров
j
µ и
j
d путем минимизации (2.4) могут
возникнуть трудности. Эти трудности обусловлены неортогональностью экспоненци-
альных функций и, как следствие, «…исключительной чувствительностью показа-
тельных функций и амплитуд к весьма малым изменениям данных» [6]. В частности,
при использовании стандартных вычислительных процедур отмеченная особенность
задачи может проявиться в изменении результатов решения при изменении начально-
го приближения [2].
Проиллюстрируем это на примере радиоактивного распада [6], в котором фигури-
рующие в (1.1) параметры имеют следующие значения:
1 2 3 1 2 3
1; 3; 5; 0, 0951; 0,8607; 1,557d d dµ µ µ= − = − = − = = = .
Для решения задачи идентификации доступны 24 измерения, которые выполнены
через равные промежутки времени, т.е. в (1.2) ( 1) 0, 05; 24
i
t i= − ⋅ =l . Погрешность
93
измерений ( )
i
ε моделируется следующим образом. Значения элементов последова-
тельности (2.3) округляются до ν цифр после запятой. Другими словами, если ( )
i
y t –
точное значение, то принимается, что { }( ) 10 10 ( )
i i
y t y t
ν ν−
= , где { }K – операция ок-
ругления до ближайшего целого числа (процедура round.m пакета MATLAB).
При этих исходных данных, приняв 3ν = , задача минимизации (2.4) решалась ме-
тодом Нелдера – Мида с использованием процедуры fminsearch.m пакета MATLAB.
Получено три решения задачи при различных значениях начального приближения. Во
всех экспериментах в качестве начального приближения для
j
µ выбирались заданные
выше точные значения, а в качестве начального приближения для (0)x принималось
точное значение [ ]
*
0
(0) 2, 5134 10, 4652 46, 7814
T
x = − и два других, не совпадаю-
щих с *
0
(0)x : [ ]
*
1
(0) 2 10 50
T
x = − , [ ]
*
2
(0) 2 10 40
T
x = − . В табл. 1 приведены зна-
чения
j
µ при различных начальных приближениях для (0)x , полученные при реше-
нии задачи минимизации (2.4) при указанном выборе начального приближения.
Таблица 1
(0)x
*
0
(0)x
*
1
(0)x
*
2
(0)x
1
µ -0,9554 -0,8820 -1,0935
2
µ -3,0525 -2,9750 -3,2300
3
µ -5,0715 -5,0420 -5,1485
Отметим, что полученное во всех этих трех экспериментах минимальное значение
J равнялось 0,0010. Подчеркнем, также что во всех численных экспериментах, в ка-
честве начального приближения принимались точные значения параметров
j
µ . По-
лученные результаты при одновременной минимизации целевой функции (2.4) по
переменным
j
µ и
j
d подтверждают вывод [6, стр. 284], что этот «… пример хорошо
иллюстрирует те поразительные каверзы, которые может сделать неортогональный
характер экспоненциальных функций». В этой связи целесообразно рассмотреть воз-
можность декомпозиции исходной задачи на задачу определения
j
µ и последующую
задачу нахождения
j
d .
§3. Декомпозиция задачи (метод Прони).
Рассмотрим случай, когда измерения производятся через равные интервалы вре-
мени
s
T . Пусть матрица A определяется (2.2), а характеристический полином матри-
цы s
AT
e имеет вид
1
1̂
ˆn n
n
a aλ λ
−
+ + +K . (3.1)
Приняв во внимание (2.3), рассмотрим сумму
1
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0).s s s
AT AT ATn n i
n i n i n i n
y t a y t a y t C e a e a I e x
−
+ + −
Σ = + + + = + + + K K (3.2)
В формуле (3.2) и далее I – единичная матрица соответствующего размера. Так как
матрица s
AT
e обращает в нуль свой характеристический полином, то можно утвер-
ждать, что 0Σ = . Отметим, что корни
j
ρ характеристического полинома (3.1) и кор-
ни
j
µ характеристического полинома матрицы A связаны соотношением
j s
T
j
e
µ
ρ = . (3.3)
94
Таким образом, в случае точных равноотстоящих измерений задача может быть
разбита на две: задачу нахождения ˆ
j
a – коэффициентов характеристического поли-
нома (3.1) из системы линейных уравнений, что позволит найти корни
j
ρ этого поли-
нома и, согласно (3.3), определить
j
µ , и вторую задачу (при известных
j
µ ), которая
сводится к нахождению (0)x или коэффициентов
j
d в (1.1) путем решения системы
линейных уравнений. Эта декомпозиция исходной задачи и составляет суть алгоритма
Прони [25].
Остановимся на первой задаче. Коэффициенты полинома (3.1), приняв во внима-
ние, что 0Σ = , можно определить из следующей системы линейных уравнений:
0
ˆZa Z= − ; (3.4)
1
1 2
1
n
n
n i i
y y
y y
Z
y y
+
+ −
=
K
K
M O M
K
;
1
0
n
n i
y
Z
y
+
+
=
M ,
1̂
ˆ
ˆ
n
a
a
a
=
M .
Здесь и далее используются обозначения ( )
i i
y y t= . Определив из (3.4) коэффициенты
ˆ
j
a полинома (3.1) и вычислив корни
j
ρ этого полинома, согласно (3.3) находим
j
µ .
Располагая значениями
j
µ , можно найти коэффициенты
j
d , фигурирующие в (1.1).
Отметим, что алгоритм Прони можно представить в более общем виде, производя
выборку через кратные периоду
s
T интервалы времени. Тогда, аналогично (3.1), можно
записать выражение для характеристического полинома матрицы s
AkT
e ( k – целое число)
1
1̂
ˆn k n k
n
a aλ λ
−
+ + +K . (3.5)
Заметим, что в (3.5) верхний индекс « k » не является показателем степени. В этом
случае аналогом (3.2) будет следующее соотношение:
1 ( 1)
ˆ ˆ 0
k k
nk i n k i n i
y a y a y
+ − +
+ + + =K . (3.6)
Соответственно, имеем аналог соотношения (3.3)
kT
k j
j
s
e
µ
ρ = , (3.7)
где
k
j
ρ – корень характеристического полинома (3.5).
§4. Передаточная функция.
В ряде задач идентификации могут определяться не параметры ,
j j
dµ в (1.1), а
параметры соответствующей передаточной функции идентифицируемой системы,
которая связывает изображения по Лапласу выходной (наблюдаемой) координаты
системы и управляющего воздействия u . В такого рода задачах предполагается, что
воздействие u задает начальные условия, т.е. принимается, что u есть δ -функция
Дирака, приложенная к системе в момент 0t
−
= [27]. В этой связи приведем некоторые
соотношения, которые позволяют переходить от описания системы в терминах переда-
точных функций к описанию в терминах пространства состояний и наоборот [20].
Итак, пусть задана дробно-рациональная передаточная функция ( )G s между вы-
ходной координатой y и управляющим воздействием u
( )y G s u= ;
( )
( )
( )
N s
G s
s
=
∆
; (4.1)
95
1
1
( ) n n
n
s s a s a
−
∆ = + + +K ; 1 2
1 2
( ) n n
n
N s b s b s b
− −
= + + +K .
Необходимо описать систему (2.2) в терминах пространства состояний, а именно,
представить ее в виде
w Aw Bu= +& ; T
y C w= , [ ]1
, ,
T
n
w w w= K , (4.2)
где A – матрица размера n n× ; ,B C – векторы размера 1n× . Таким образом, ( )G s
можно представить в виде
( )
1
( ) T
G s C Is A B
−
= − . (4.3)
Выберем в качестве вектора w следующий вектор: [ ]1 2 1
, , , ,
T
n
w x x x x
−
= K , где
( )
( )
i
i i
d x
x
dt
= ; 1, , 1i n= −K .
В этом случае согласно [20] имеем
1 1
0
n n
I
A
a a a
−
=
− − −
M
L L L L L
M M
;
1
1
1
1 1
1 0
1
n n
b
a
B
a a b
−
−
=
O M
M O O M
K
;
1
0
0
C
=
M
. (4.4)
Отметим, что если в (4.2) u есть δ -функция Дирака, то, согласно (4.3), имеем
( ) i
At
i
y t Ce B= . (4.5)
Отметим, что и при таком представлении системы возможна описанная выше проце-
дура декомпозиции задачи. Первый этап решения задачи состоит в получении оценок
коэффициентов знаменателя передаточной функции (4.1) (коэффициентов характери-
стического полинома матрицы A ). Эти коэффициенты могут быть получены тем или
иным способом (например, методом Прони). Далее, располагая результатами наблю-
дений ( )
i
y t , можно определить параметры вектора B , рассматривая (4.5) как систему
линейных уравнений относительно элементов вектора B . После этого, согласно (4.4),
искомый вектор коэффициентов числителя ( )G s определяется следующим соотно-
шением:
1
1
1 1
1 0
1
n n
b
a
B
b a a
−
=
M O
M M O O
K
. (4.6)
§5. Оптимизация метода Прони.
При изложении сути метода Прони предполагалось, что погрешности
i
ε в (1.2)
отсутствуют. Однако, по причине присутствия в (1.2) этих погрешностей, соотноше-
ния (3.4) следует переписать следующим образом:
0 0
( ) ( )Z Z a Z Zε ε+ = − + , (5.1)
где матрица Zε и вектор
0
Zε обусловлены погрешностями
i
ε в измерениях (1.2),
вектор a является искомой оценкой вектора параметров â , т.е. наличие погрешно-
стей в (1.2) приводит к появлению возмущений как в матрице Z , так и в правой части
системы линейных уравнений, которая определяет вектор искомых параметров. По-
этому, естественно, что присутствие погрешностей измерений ставит задачу выбора
96
алгоритма для получения наиболее точной оценки вектора параметров â . Здесь, кро-
ме метода наименьших квадратов, можно отметить тотальный метод наименьших
квадратов [16, 21], метод оценивания линейных систем с неопределенностью интер-
вального типа [13], метод матричных пучков [26] и др.
Опишем метод наименьших квадратов и тотальный метод наименьших квадратов
[16, 21] применительно к решению системы линейных уравнений
Ax b= . (5.2)
Метод наименьших квадратов для решения системы (5.2) состоит в следующем.
Необходимо определить x из условия
min
x
Ax b− , (5.3)
где ⋅ означает евклидову норму. Формулировка (5.3) эквивалентна следующей [16, 21]:
,
min
x b
b
∆
∆ при условии Ax b b= + ∆ . (5.4)
При такой постановке искомое решение имеет вид
†
x A b= , (5.5)
где верхний символ «†» означает операцию псевдообращения. В случае переопреде-
ленной системы (5.2), когда матрица A имеет полный ранг, решение (5.5) можно
записать в виде T 1 T( )x A A A b
−
= .
Тотальный метод наименьших квадратов используется, когда в (5.2) возмущен-
ными являются как матрица A , так и вектор b , т.е. ( )A A x b b+ ∆ = + ∆ . По аналогии с
(5.4) в этом случае решение (5.2) интерпретируется как результат минимизации
A b∆ ∆ при условии ( )A A x b b+ ∆ = + ∆ . Решение этой задачи имеет вид [16]
T 2 1 T( )x A A I A bσ
−
= − , (5.6)
где σ – минимальное сингулярное число матрицы [ ]A b . Другие выражения для ре-
шений (5.5), (5.6) приведены, например, в [16, 21].
Кроме этих методов следует отметить еще метод матричных пучков [26], который
позволяет сразу находить оценки величин
j
ρ . Суть его состоит в следующем. Из эле-
ментов последовательности (2) формируются векторы
[ ]
T
E E 1 E 1N L
x y y y
κ κ κ κ+ − + −
= K ,
где L – так называемый параметр пучка, а 1N = +l .
Из этих векторов формируются две матрицы размера ( )N L L− × :
[ ]0 1 2 0L L
X x x x
− −
= K ; [ ]1 1 1L L
X x x x
−
= K .
Собственные значения матричного пучка
1 0
X Xλ− принимаются в качестве оценок
собственных значений полинома (3.1), т.е. величин
j
ρ .
Использование описанных выше алгоритмов в такого рода задачах направлено на
повышение точности определения
j
ρ . Так, согласно первым двум алгоритмам, внача-
ле находится оценка a вектора коэффициентов â и далее находятся оценки
j
ρ . Ме-
тод матричных пучков позволяет сразу находить оценки
j
ρ . Однако, малость по-
грешности определения
j
ρ , в общем случае, не гарантирует малости погрешности
оценки
j
µ . В связи с тем, что интерес представляет получение наиболее точной оцен-
ки величины
j
µ , необходимо проанализировать связь погрешностей оценок
j
ρ и
j
µ .
97
§6. Переход от дискретной системы к непрерывной.
Отметим, что согласно (3.5) – (3.7) в методе Прони можно использовать различ-
ные значения
s
kT («интервала дискретизации»). Таким образом, при использовании
метода Прони возникает проблема выбора величины k . Отметим, что обычно метод
Прони излагается без какого-либо указания на возможность оптимального выбора k ,
т.е. в предположении 1k = . Здесь можно упомянуть рекомендацию [6, с. 281] по вы-
бору шага
s
h kT
∆
=
: «…на практике не следует брать … ординаты близкоотстоящих
точек, следует сделать h как можно большим, чтобы уменьшить влияние ошибок
наблюдения». Однако, как показано в [1], такое правило выбора величины k не явля-
ется оптимальным. Проиллюстрируем это на простейшем примере. Рассмотрим связь
погрешностей
j
µ∆ и
k
j
ρ∆ определения
j
µ и
k
j
ρ , предполагая эти погрешности ма-
лыми. Итак, согласно (3.7) имеем
( )
1
ln
k k
j j j j
s
kT
µ µ ρ ρ+ ∆ = + ∆ .
В первом приближении получим такое выражение:
s
kT
j
k
j j
s
e
kT
µ
µ ρ
−
∆ = ∆ . (6.1)
Отсюда следует, что, в общем случае, выбор максимальной величины
s
kT не яв-
ляется оптимальным. С другой стороны, при фиксированной величине погрешности
k
j
ρ∆ в (6.1), погрешность
j
µ∆ зависит от выбора величины k , т.е. в методе Прони
при выборе промежуточной дискретной модели возникает проблема выбора величины
k . Другими словами, для получения наиболее точной оценки корня
j
µ должен быть
выбран соответствующий оптимальный интервал дискретизации, т. е. величина k .
Некоторые алгоритмы нахождения оптимального значения k приведены в [1, 22],
однако они довольно громоздки. Отметим, что в [28] рассмотрены вопросы выбора k
применительно к методу матричных пучков. Представляется, что кардинальное реше-
ние вопроса выбора величины k может быть получено, если вообще исключить из
алгоритма промежуточную дискретную модель. В этой связи рассмотрим алгоритм,
который, как и метод Прони, позволяет произвести декомпозицию исходной задачи,
но исключает промежуточную дискретную модель, т.е. снимает проблему выбора оп-
тимального значения k .
§7. Нелинейный аналог метода Прони.
Суть подхода [2] состоит в формулировке задачи, исключающей промежуточную
дискретную систему. А именно, оценки коэффициентов
j
a в (2.1) получаем в резуль-
тате минимизации некоторой целевой функции. В этом алгоритме, как и в методе
Прони, исходная задача разбивается на две подзадачи: определения параметров
j
a и
последующего нахождения множителей
j
d при экспонентах в (1.1).
Итак, пусть имеются некоторые приближенные значения коэффициентов
j
a , фи-
гурирующих в (2.1), (2.2). Для этих значений
j
a и принятого значения k вычисляют-
ся коэффициенты ˆ k
j
a характеристического полинома матрицы s
AkT
e , т.е. полинома
(3.5). Далее, подставив в (3.6) экспериментальные значения (1.2), получим величины
ki
S невязок, соответствующих индексам , k i (количество этих невязок, естественно,
определяется числом экспериментальных данных в (1.2)):
E 1 E( 1 ) E
ˆ ˆk k
ki kn i n n i k n i
S y a y a y
+ − − +
= + + +K . (7.1)
98
Пусть в соответствии с количеством наблюдений (1.2), выбранному значению k со-
ответствует
k
q значений
ki
S . Целевую функцию J определим следующим образом:
21
ki
k ik
J S
q
=
∑ ∑ . (7.2)
Как следует из (7.1), функция J зависит от значений
j
a и наблюдаемых величин
Ei
y .
Введение этой функции позволяет формулировать алгоритм решения первой подзада-
чи (нахождение оценок
j
a ) как процедуру минимизации (7.2) выбором значений
j
a .
Описанный алгоритм может быть обобщен следующим образом. Пусть в (1.1) из-
вестны m показателей
j
µ , т.е. характеристический полином уравнения (2.1) может
быть представлен в виде
1 1 1
1 1 1
( )( )n n n m n m m m
n n m m
a aλ λ λ α λ α λ γ λ γ
− − − − −
−
+ + + = + + + + + +K K K , (7.3)
где m коэффициентов
i
γ определяются известными значениями
j
µ , а n m− коэффи-
циентов
i
α подлежат определению. Для нахождения коэффициентов
i
α можно ис-
пользовать алгоритм, описанный выше, который должен быть только дополнен про-
цедурой вычисления, согласно (7.3), коэффициентов
j
a как функций
i
α .
§8. Комплексирование измерений.
Вопрос комплексирования возникает в задаче идентификации, когда имеется не-
сколько массивов измерений (1.2), соответствующих «моделям» (1.1), которые имеют
одинаковые показатели
j
µ , но различные «амплитуды»
j
d . Простейший такого рода
случай имеет место в примере 1, когда во время переходного процесса одновременно
регистрируются два массива (1.2), соответствующие смещению и ускорению некото-
рой точки системы виброзащиты. В таких задачах идентификации обычно можно ог-
раничиться определением показателей
j
µ в (1.1) или коэффициентов полинома ( )s∆ ,
стоящего в знаменателе передаточной функции системы (4.1). Отметим, что исполь-
зование в подобных задачах метода матричных пучков представляется проблематич-
ным, но не исключает возможности его использования как отдельной процедуры. Так,
применив этот метод к какому-либо из упомянутых массивов (1.2), можно получить
оценки искомых параметров, которые могут быть использованы как начальное при-
ближение в нелинейном аналоге метода Прони.
Метод Прони (§3) и нелинейный аналог метода Прони (§7) легко могут быть
адаптированы к аналогичным задачам.
Действительно, для каждого из упомянутых массивов (1.2) можно составить сис-
тему линейных уравнений типа (3.4) относительно компонент вектора â . Далее, объ-
единив эти системы, можно получить одну систему, определяющую искомые коэф-
фициенты ˆ
j
a полинома (3.1). Для решения полученной таким образом системы мож-
но использовать описанный в §5 метод наименьших квадратов или тотальный метод
наименьших квадратов.
В случае нелинейного аналога метода Прони необходимо для каждого из масси-
вов строить функции невязки типа (7.2) и далее минимизировать суммарную (с теми
или иными весовыми множителями) функцию невязки.
Таким образом, в случае задачи комплексирования, когда есть несколько масси-
вов типа (1.2), можно использовать описанные выше процедуры метода Прони при
соответствующей их модификации.
Рассмотрим другую задачу комплексирования. Предположим, что в массиве (1.2)
отсутствуют результаты измерений в некоторых точках. В этом случае массив (1.2)
можно представить в виде совокупности массивов, в каждом из которых измерения
производятся через равные промежутки времени. Далее, к полученной таким образом
99
совокупности массивов результатов измерений можно применить алгоритмы метода
Прони, аналогично тому, как было описано выше. Однако, в этом случае задачи ком-
плексирования более эффективным может оказаться алгоритм [18] решения задачи
идентификации при нерегулярной последовательности результатов измерений.
Отметим, что, как будет ясно из §9, алгоритм [18] достаточно трудоемок. В этой
связи его использование целесообразно лишь при наличии достаточно хорошего на-
чального приближения. Поэтому общая схема решения задачи комплексирования в
случае отсутствия некоторых измерений может включать в себя этап грубой оценки
коэффициентов полинома ( )s∆ в (4.1) с помощью метода Прони, уточнение этой
оценки с помощью нелинейного метода Прони и дальнейшее уточнение полученных
оценок коэффициентов ( )s∆ с помощью алгоритма [18]. Значение коэффициентов
( )N s – числителя передаточной функции (4.1) можно найти, используя соотношения
(4.5), (4.6).
§9. Нерегулярная последовательность моментов измерений.
Снимем предположение, что измерения производятся через равные промежутки
времени, только предположим, что в (1.2)
1 2
0 t t t≤ < < <
l
K . В этом случае, задавшись
какой либо регулярной последовательностью моментов времени
1 2
τ τ τ< < <
l
K , мож-
но путем той или иной процедуры интерполяции результатов измерений
E
( )
i
y t полу-
чить оценки величин
E
( )
i
y τ . Далее, применительно к этой регулярной последова-
тельности можно использовать описанные выше алгоритмы оценки параметров моде-
ли. Однако, приняв во внимание отмеченную выше высокую чувствительность оце-
нок параметров модели к точности исходной информации, такой подход, как отмече-
но в [18], позволяет получить только довольно грубые оценки параметров модели. В
этой связи рассмотрим обобщение нелинейного аналога метода Прони на случай не-
регулярной последовательности моментов измерений. Заметим, что в случае регуляр-
ной последовательности моментов измерений суть метода Прони (обращение в нуль
выражения (3.2)) базируется на теореме Гамильтона – Кэли, а именно, на том факте,
что матрица s
AT
e удовлетворяет своему характеристическому полиному. В данном
случае эту теорему удобно интерпретировать как факт, что существует обращающая-
ся в нуль линейная комбинация ϑ матриц s
A T
e
ϑ
( )0, , nϑ = K . Существенно, что, в
общем случае, такую комбинацию матриц можно построить в случае нерегулярной
последовательности измерений, когда ( )1
i s
t i T≠ − . Действительно, пусть из последо-
вательности (1.2) выбран 1n + элемент
1 2 1n
t t t
+
< < <K . (9.1)
Движение модели описывается уравнением (2.2). Сопоставим последовательности
(9.1) последовательность матриц
r
At
r
D e= , 1, , 1r n= +K . (9.2)
В этом случае аналогом (3.2) будет следующее соотношение:
[ ]1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ (0)
n n n n n n
y a y a y C D a D a D x
+ +
+ + + = + + +K K . (9.3)
Пусть матрица Λ приводит матрицы
r
D к диагональной форме
{ }
1
1 2
diag , , ,
r r r nr
D λ λ λ
−
Λ Λ = K , (9.4)
где
jr
λ – j -е собственное значение матрицы
r
D .
Рассмотрим линейную комбинацию матриц (9.2)
1 1 1
ˆ ˆ
d n n n
D a D a D
+
Σ = + + +K . (9.5)
100
Приняв во внимание (9.4), найдем, что для выполнения условия 0
d
Σ = необхо-
димо выполнение следующих n соотношений:
1( 1) 1 1 11
2( 1) 1 2 21
( 1) 1 1
ˆ ˆ 0,
ˆ ˆ 0,
ˆ ˆ 0.
n n n
n n n
n n nn n n
a a
a a
a a
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
+
+
+
+ + + =
+ + + =
+ + + =
K
K
M M M M
K
(9.6)
Соотношения (9.6) можно рассматривать как систему линейных уравнений отно-
сительно коэффициентов ˆ
j
a . Если существует решение этой системы, то можно ут-
верждать, что 0
d
Σ = , и согласно (9.3) имеем
1 1 1
ˆ ˆ 0
n n n
y a y a y
+
+ + + =K . (9.7)
Таким образом, каждому набору моментов измерений (9.1) можно сопоставить,
после определения коэффициентов ˆ
j
a из (9.6), соотношение, аналогичное (9.7). Есте-
ственно, что для нахождения коэффициентов ˆ
j
a не обязательно использовать систему
(9.6). Приняв во внимание (9.4), эти коэффициенты можно находить из соотношения
(9.5), положив 0
d
Σ = .
Существенно, что в отличие от случая регулярной последовательности моментов
измерений, оценки коэффициентов ˆ
j
a невозможно получить из соотношений, анало-
гичных (5.1). Это связано с тем, что, как уже отмечалось, каждому набору (9.1) соот-
ветствуют свои значения ˆ
j
a . Поэтому в рассматриваемом случае для получения оце-
нок параметров модели необходимо использовать (при соответствующем обобщении)
рассмотренный в §7 нелинейный аналог метода Прони.
В этой связи необходимо построить целевую функцию, аналогичную (7.2). Итак,
пусть выбраны элементы
j
a в матрице A , фигурирующей в (2.2). Детализируем про-
цедуру формирования последовательностей (9.1).
По аналогии с рассмотренным выше случаем регулярных измерений, обращая
внимание лишь на моменты времени измерений, можно образовать следующие s по-
следовательностей, сформированных из элементов последовательности (1.2) и со-
стоящих из 1n + члена каждая:
{ } { } { }1 1 1 2 2 2 ( 1), , , , , , , , , , , ,
k nk k nk nk n k
t t t t t t t t t
+ + + + − − −l l l
K K K K ,
где
1
1, 2, , intk
n
−
=
l
K – целое. Общее число указанных последовательностей
составляет ( )
1
int 1
2
s
q n
n
−
= − +
l
l .
После формирования совокупности таких последовательностей можно, используя
(9.5) ( 0
d
Σ = ), для каждой s -той последовательности определить вектор коэффици-
ентов ˆ s
j
a по принятым значениям
j
a и величину невязки (аналог (7.2))
E 1 1 E E 1
ˆ ˆs s
s sn sn n s
S y a y a y
+
= + + +K . (9.8)
Тогда в соответствии с количеством наблюдений (1.2) имеем
s
q значений
s
S . Как
и в §7, определим целевую функцию следующим образом:
21
s
ss
J S
q
= ∑ . (9.9)
101
Согласно (9.8) функция (9.9) зависит от выбранных значений
j
a и наблюдаемых
величин
Ei
y . Таким образом, как и в §7, для нахождения оценок коэффициентов
j
a
по результатам наблюдений (1.2) можно использовать ту или иную процедуру мини-
мизации целевой функции (9.9).
§10. Примеры.
Проиллюстрируем описанные выше алгоритмы на следующих примерах.
Пример 1. Рассмотрим процедуру комплексирования применительно к задаче
идентификации параметров системы виброзащиты [7 – 10], изображенной на рис. 1.
Система состоит из двух масс
1 2
, m m , которые с помощью пружин
1 2
, c c и демпфе-
ров
1 2
, β β соединены между собой и с неподвижным основанием. Координаты масс
обозначим
1 2
, x x . До момента времени 0t = система находилась в равновесии и к
массе
2
m была приложена постоянная сила F
r
. В момент 0t = сила F
r
снимается и
на интервале времени 0,
f
t T ∈ регистрируется переходной процесс с периодом
регистрации / 2
q
s f
T T= . Предполагается, что регистрируются смещение массы
2
m
(координата
2
x ) и её ускорение
2
2
2 2
d x
w
dt
=
. Таким образом, получаются два масси-
ва, аналогичных (1.2), т.е.
{ }2
( )
x i xi
x t ε= +A ; { }2
( )
w i wi
w t ε= +A ; ( 1)
i s
t i T= − . (10.1)
Погрешности регистрации ,
xi wi
ε ε , как и в [6], мо-
делируются путем сохранения только фиксированного
числа ν значащих цифр после запятой. Отметим, что
процессы
2
( )x t и
2
( )w t будут иметь структуру, ана-
логичную (1.1). Они будут отличаться только пара-
метрами
j
d . Задача состоит в получении оценок па-
раметров
j
µ модели на основании измерений, содер-
жащихся в массивах (10.1). Отметим, что кроме четы-
рех параметров
i
µ в (1.1), которые определяются па-
раметрами системы, изображенной на рис. 1, в масси-
ве
x
A будет присутствовать постоянная составляю-
щая. Поэтому необходимо принимать во внимание
соотношение (7.3), так как характеристическое урав-
нение имеет нулевой корень.
Итак, принимаются следующие па-
раметры модели, изображенной на рис.1:
1 2 1 2
10, 1, 50, 10,m m c c= = = =
1
0,β =
2
5, 1Fβ = = (размерности в рамках дан-
ной задачи несущественны). Предполага-
ется также, что массивы (10.1) получены
при следующих параметрах регистрации:
10, 7, 2
f
T q ν= = = .
Результаты регистрации переходно-
го процесса в системе (массивы
x
A ,
w
A )
приведены на рис. 2 (сплошная линия
соответствует
2
w ).
Рис. 1
Рис. 2
102
Процесс идентификации (определение параметров
j
µ ) включал в себя следую-
щие этапы. Используя только массив
x
A , с помощью метода матричного пучка были
получены оценки параметров
j
µ . Эти оценки принимались в качестве начального
приближения при решении задачи комплексирования на базе нелинейного аналога
метода Прони, используя оба массива
x
A и
w
A . Результаты моделирования приведе-
ны в табл. 2, где дано сравнение оценок корней
j
µ .
Таблица 2
j
µ I II III
1µ -2,3301+7,5623i -0,1609+8,0374i -2,3986+7,6130i
2µ -2,3301-7,5623i -0,1609-8,0374i -2,3986-7,6130i
3µ -0,1699+0,8773i -0,1725+0,8609i -0,2035+0,9103i
4µ -0,1699-0,8773i -0,1725-0,8609i -0,2035-0,9103i
В столбце I приведены точные значения
j
µ ; в столбце II – оценки
j
µ , полученные с
помощью метода матричного пучка; в столбце III – оценки
j
µ , полученные с помо-
щью нелинейного аналога метода Прони при использовании массивов
x
A и
w
A .
Сравнивая столбцы табл. 2, можно констатировать, что процедура идентификации
системы путем совместной обработки массивов результатов измерений смещения и
ускорения (комплексирование результатов измерений) позволила существенно повы-
сить точность оценок параметров
1
µ ,
2
µ , которые определяют «быстрые» движения в
переходном процессе.
Пример 2. В этом примере есть один массив результатов измерений (1.2), но в нем
отсутствуют некоторые точки. Как и в [24], передаточная функция (4.1) идентифици-
руемой системы имеет вид
4 3 2
6400 1600
( )
5 408 416 1600
s
G s
s s s s
− +
=
+ + + +
.
В обозначениях (4.1) имеем:
1
5a = ,
2
408a = ,
3
416a = ,
4
1600a = ,
1 2
0b b= = ,
3
6400b = − ,
4
1600b = . Ре-
акция этой системы на единичный ска-
чок приведена на рис. 3 [24,
Fig. 4.3].
Параметры регистрации выхода
( )
i
y t системы приняты такими же, как
и в примере 1, а именно: 10
f
T = ,
7q = , 2ν = . Предполагается, что в
массиве { }( )
y i
y t=A отсутствуют точ-
ки, соответствующие индексам
8, 9, 10, 11, 22, 23, 32, 33i = , и все
точки с индексом 44i > . По причине отсутствия упомянутых точек исходный массив
распадается на 4 массива результатов регулярных измерений. Эти массивы схематически
изображены на рис. 4 (представлен исходный массив при отсутствии отдельных изме-
рений).
Рис. 3
103
Задача идентификации состоит в
нахождении оценок параметров
1 2 3
, , ,a a a
4 3 4
, , a b b по результатам
этих измерений.
Обозначим векторы точных значе-
ний и получаемых оценок коэффици-
ентов знаменателя и числителя
00
a ,
00
b
и
0
a ,
0
b , соответственно. Тогда имеем
[ ]00
5 408 416 1600a = ;
[ ]00
6400 1600b = − . (10.2)
Качество аппроксимации вектора
00
a оценкой
0
a будем характеризовать следующим образом:
0 00
0
00
a a
N
a
−
= . (10.3)
Аналогично для полного вектора искомых параметров принимаем
0 00
00
N
θ
θ θ
θ
−
= ; [ ]00 00 00
b aθ = ; [ ]0 0 0
b aθ = . (10.4)
В (10.3), (10.4) символ ⋅ означает спектральную норму, векторы
00
a ,
00
b опре-
деляются (10.2). Введем также характеристику точности [24], а именно,
2
6
00 0
0
1 00
( ) ( )
( )
( )i
i i
NEE
i
θ θ
θ
θ
=
−
=
∑ .
Как отмечено в §8, на первом этапе решения этой задачи идентификации нахо-
дится оценка
0
a . В данном примере, используя метод Прони и тотальный метод наи-
меньших квадратов, получено:
[ ]0
5, 5 404, 5 529, 3 1585, 4a = . (10.5)
Этой оценке соответствует
0
0, 0671N = . Далее оценка (10.5) уточнялась путем ис-
пользования процедуры нелинейного аналога метода Прони. Получена следующая
оценка
0
θ :
[ ]0
6714,9 1647, 0 5,1 403, 4 441,1 1642, 2θ = − , (10.6)
которой соответствуют
0
0, 0289N = ; 0, 0473N
θ
= ;
0
( ) 0, 0914NEE θ = .
Уточнение оценки (10.6) производилось с использованием алгоритма, описанного
в §9. При этом получены следующие результаты:
[ ]0
6376, 4 1594, 2 5,1 406,8 414, 6 1595, 3θ = − ;
0
0, 0029N = , 0, 0036N
θ
= ,
0
( ) 0, 0245NEE θ = .
Таким образом, как видно из приведенных результатов, описанные в §9 процеду-
ры идентификации при отсутствии отдельных измерений оказались достаточно эф-
фективными.
Рис. 4
104
§11. Заключение.
В данной статье предложены алгоритмы комплексирования результатов измере-
ний при идентификации линейных стационарных систем по результатам наблюдений
переходных процессов в дискретные моменты времени. Подробно рассмотрена задача
идентификации при одновременной регистрации нескольких фазовых координат
(смещения и ускорения некоторой точки) системы. Процедура идентификации обоб-
щена на случай, когда отсутствуют результаты измерений в некоторые моменты вре-
мени. Эффективность предлагаемых алгоритмов демонстрируется на примерах.
Р Е З ЮМ Е . Запропоновано алгоритми комплексирування результатів вимірювань при іден-
тифікації лінійних стаціонарних систем за результатами спостережень перехідних процесів в дискре-
тні моменти часу. Детально розглянуто задачу ідентифікації при одночасній реєстрації декількох
фазових координат системи. Процедуру ідентифікації узагальнено на випадок, коли відсутні резуль-
тати вимірювань в деякі моменти часу. Ефективність запропонованих алгоритмів демонструється на
числових прикладах.
1 . Апостолюк А.С., Бобров Б.Ф., Бордюг Б.А. и др. Оптимизация метода Прони при идентифика-
ции линейных динамических систем. – К., 1987. – 64 с. – (Препр. АН УССР. Ин-т математики;
№ 87 – 66).
2. Апостолюк А.С., Ларин В.Б. Об идентификации линейных стационарных систем // Проблемы
управления и информатики. – 2008. – № 4. – С. 38 – 47.
3. Бахтизин Р.Н., Латыпов А.Р. Оценка порядка линейных объектов по экспериментальной инфор-
мации // Автоматика и телемеханика. – 1992. – № 3. – С. 108 – 112.
4. Иванов Ю.П., Синяков А.Н., Филатов И.В. Комплексирование информационно-измерительных
устройств летательных аппаратов / Под ред. В.А. Боднера. – Л.: Машиностроение, 1984. – 297 с.
5. Кей С.М., Марпл С.Л. Современные методы спектрального анализа: обзор // Тр. ин-та ин-
женеров электро- и радиотехники. – 1981. – 69, № 11. – С. 5 – 51.
6. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа: Справ. руководство. – М.: Физматгиз,
1961. – 524 с.
7. Ларин В.Б. Выбор параметров системы виброизоляции приборов // Прикл. механика. – 1966. – 11,
№ 6. – С. 99 – 104.
8. Ларин В.Б. Некоторые вопросы конструирования систем виброизоляции приборов // Инж. журнал.
Механика твердого тела. – 1966. – 6.– С. 20 – 26.
9. Ларин В.Б. Статистические задачи виброзащиты. – К.: Наук. думка, 1974. – 127 с.
10. Ларин В.Б. Некоторые задачи оптимизации систем виброзащиты // Прикл. механика. – 2001. – 37,
№ 4. – С. 39 – 67.
11. Льюнг Л. О точности модели в идентификации систем // Изв. АН. Техн. кибернетика. – 1992. –
№ 6. – С. 55 – 64.
12. Немура А.А. Оптимизация шага дискретности времени при идентификации непрерывных дина-
мических систем и процессов // Тез. докл. VII Всесоюз. совещ. по проблемам управления,
Минск, 21 – 25 нояб. 1977г. – М.: Минск: Ин-т проблем управления, Ин-т технической киберне-
тики, 1977. – Кн. 1. – С. 221 – 225.
13. Поляк Б.Т., Назин С.А. Оценивание параметров в линейных многомерных системах с интерваль-
ной неопределенностью // Проблемы управления и информатики. – 2006. – № 1 – 2. – С. 103 – 115.
14. Тобольский А.В. Свойства и структура полимеров. – М.: Химия, 1964. – 324 c.
15. Хемминг Р.В. Численные методы. Для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1972. –
400 с.
16. Abatzoglou T.J., Mendel J.M., Harada G.A. The Constrained Total Least Squares Technique and its
Applications to Harmonic Superresolution // IEEE Trans. on Signal Processing. – 1991. – 39, N 5. –
P. 1070 – 1086.
17. Aliev F.A., Larin V.B. Parametrization of Set of Regulators which are Stabilizing Mechanical Systems //
Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 6. – P. 599 – 618.
18. Apostolyuk A.S., Larin V.B. On linear stationary system identification at regular and irregular measure-
ments // Appl. and Comp. Math. – 2009. – 8, N 1. – P. 42 – 53.
19. Bellman R. On the separation of exponentials // Boll. Unione Matem. Ital. – 1960. – III, 15, N 1. –
P.38 – 39.
105
20. Bryson, JR. A.E. Some Connections Between Modern and Classical Control Concepts // Trans. ASME. J.
Dynamic Systems, Measurement and Control. –1979. – 101, June. – P. 91 – 98.
21. DeGroat R.D., Dowling E.M. The Data Least Squares Problem and Channel Equalization // IEEE Trans.
on Signal Processing. – 1993. – 41, N 1. – P. 407 – 411.
22. Deychenkova L.V., Larin V.B. The Method of Least Squares Used in the Identification of Vibromeasur-
ing Systems // Soviet Autom. Contr. – 1977. – N 3. – P. 11 – 17.
23. Fassions S.D., Eman K.F., Wu S.M. Sensitivity analysis of the discrete-to-continuous dynamic
system transformation // Trans. ASME. J.Dynamic Systems, Measurement and Control. – 1990. –
112. –P. 1 – 9.
24. Garnier H., Wang L. (Eds.). Identification of Continuous-time Models from Sampled Data. – London:
Springer-Verlag, 2008. – 281 p.
25. Hildebrand F.B. Introduction to Numerical Analysis. – New York: McGraw-Hill, 1956. – 341 p.
26. Ниа Y., Sarkar Т.К. Matrix Pencil Method for Estimating Parameters of Exponentially Damped /
Undamped Sinusoids in Noise // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc. – 1990. – 38,
N 5. – P. 814 – 824.
27. Kailath T. Linear systems. – N.J.: Prentice-Hall, Englewoood Cliffs, 1980. – 682 p.
28. Larin V.B. The Use of Matrix Pencils in an Identification Problem // J. of Automat. and Inform. Sci. –
1996. – 28(3&4). – P. 53 – 62.
29. Larin V.B. About Stabilization of Systems with Delay // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 10. – P. 1148 –
1160.
30. Larin V.B. About Control of the Composite Wheeled Vehicle with Two Steering Wheels // Int. Appl.
Mech. – 2008. – 44, N 12. – P. 1413 – 1420.
31. Larsson E.K., Mossberg M., Sonderstrom T. Identification of continuous-time ARX model from irregu-
larly sampled date // IEEE Trans. Automat. Control. – 2007. – 52, N 3. – P. 417 – 427.
32. Moustafa K.A.F. Time-domain structural identification using free response measurements // Int. J.
Control. – 1992. – 56, N 1. – P.51 – 65.
33. Reddy V.U., Biradar L.S. SVD-Based Information Theoretic Criteria for Detection of the Number of
Damped / Undamped Sinusoids and Their Performance Analysis // IEEE Trans. on Signal Processing. –
1993. – 41, N 9. – P. 2872 – 2881.
34. Smith F. W. System Laplace-Transform Estimation from Sampled Data // IEEE Trans. Automat. Contr. –
1968. – 13, N 1. – P. 37 – 45.
35. Yanyutin E.G., Povalyaev S.I. Identification of Nonstationary Axisymmetric Load Distributed Along a
Cylindrical Shell // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 7. – P. 794 – 801.
36. Yasinskii A.V. Identification of the Thermal and Thermostressed States of a Two-Layer Cylinder from
Surface Displacement // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 1. – P. 34 – 40.
Поступила 26.06.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|