Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью
A technique for analysis of non-stationary vibrations of cylindrical shells, which interact with flowing liquid, under action of external periodical pressure with slowly changing frequency is proposed. A numerical study is carried out for dynamical processes of the direct and reverse transition o...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95447 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, Н.П. Подчасов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 36-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95447 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954472016-03-03T23:53:01Z Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, Н.П. A technique for analysis of non-stationary vibrations of cylindrical shells, which interact with flowing liquid, under action of external periodical pressure with slowly changing frequency is proposed. A numerical study is carried out for dynamical processes of the direct and reverse transition of the system shell-liquid through the resonance area. Запропоновано методику розрахунку нестаціонарних коливань циліндричних оболонок, що взаємодіють з протікаючою рідиною, при дії зовнішнього періодичного тиску з повільно змінною частотою. З використанням методики проведено числове дослідження динамічних процесів прямого та зворотного проходження системи оболонка – рідина через резонансну область. 2010 Article Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, Н.П. Подчасов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 36-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95447 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A technique for analysis of non-stationary vibrations of cylindrical shells,
which interact with flowing liquid, under action of external periodical pressure with slowly
changing frequency is proposed. A numerical study is carried out for dynamical processes of
the direct and reverse transition of the system shell-liquid through the resonance area. |
| format |
Article |
| author |
Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, Н.П. |
| spellingShingle |
Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, Н.П. Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью Прикладная механика |
| author_facet |
Кубенко, В.Д. Ковальчук, П.С. Подчасов, Н.П. |
| author_sort |
Кубенко, В.Д. |
| title |
Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью |
| title_short |
Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью |
| title_full |
Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью |
| title_fullStr |
Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью |
| title_full_unstemmed |
Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью |
| title_sort |
анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии с протекающей жидкостью |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95447 |
| citation_txt |
Анализ нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при взаимодействии
с протекающей жидкостью / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, Н.П. Подчасов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 36-52. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT kubenkovd analiznestacionarnyhprocessovvcilindričeskihoboločkahprivzaimodejstviisprotekaûŝejžidkostʹû AT kovalʹčukps analiznestacionarnyhprocessovvcilindričeskihoboločkahprivzaimodejstviisprotekaûŝejžidkostʹû AT podčasovnp analiznestacionarnyhprocessovvcilindričeskihoboločkahprivzaimodejstviisprotekaûŝejžidkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-07T02:14:48Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:14:48Z |
| _version_ |
1836952572526592000 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 10
36 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, №10
В . Д .К у б е н к о , П .С .К о в а л ь ч у к , Н .П .П о д ч а с о в
АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧКАХ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: volna@inmech. кiev. ua
Abstract. A technique for analysis of non-stationary vibrations of cylindrical shells,
which interact with flowing liquid, under action of external periodical pressure with slowly
changing frequency is proposed. A numerical study is carried out for dynamical processes of
the direct and reverse transition of the system shell-liquid through the resonance area.
Key words: cylindrical shell, ideal incompressible liquid, critical velocity, static and
dynamic instability, non-stationary process, resonance.
Введение.
Решение проблемы прочности и эксплуатационной надежности разнообразных
трубопроводных систем приводит к необходимости рассмотрения некоторых новых,
на современном этапе, нелинейных задач, связанных с исследованием динамического
взаимодействия упругих цилиндрических оболочек с протекающей внутри их жидко-
стью. Актуальными и мало изученными среди них являются, в частности, задачи об
особенностях нестационарного деформирования таких оболочек, обусловленного
действием на них внешних либо внутренних квазипериодических (характеризуемых
медленно изменяющимися во времени параметрами) нагрузок. Динамические нагруз-
ки такого рода могут быть инициированы работой различных, предназначенных для
транспортировки перекачиваемого продукта, нагнетательных устройств – поршневых
компрессоров, насосов и т.д. в режимах ”разгона” или ”торможения” [3 – 5, 11]. По
отношению к несущей оболочке эти нагрузки являются в большинстве случаев попе-
речными (радиальными), причем они могут быть как сосредоточенными, так и нерав-
номерно распределенными по части или по всей боковой поверхности. Второй вари-
ант формирования указанных нагрузок может быть связан непосредственно с влияни-
ем пульсаций давления в транспортируемой жидкости. Силовое воздействие на обо-
лочку носит, в данном случае, ”параметрический” характер, обусловливая появление
в ее динамических уравнениях членов с переменными во времени коэффициентами
[4, 7, 8, 12].
В настоящей работе изложена методика расчета нестационарных колебаний обо-
лочек цилиндрической формы, взаимодействующих с протекающей жидкостью. Не-
стационарность процессов обусловливается действием на оболочки внешних квазипе-
риодических сил, характеризуемых медленно изменяющимися во времени частотами.
С использованием данной методики проведено численное исследование особенностей
прямого и обратного перехода системы оболочка – жидкость через резонансные об-
ласти при варьировании скоростей этого прохождения. Предварительно рассмотрены
вспомогательные вопросы, связанные с определением критических скоростей движе-
37
ния жидкости, при которых реализуется потеря устойчивости несущих оболочек, а
также форм нестационарного деформирования оболочек в процессе потери
устойчивости.
§ 1. Исходные динамические уравнения оболочки, несущей жидкость, выбе-
рем в смешанной форме [1 – 3]
2 2 2 2 2 2 2 2
4
02 2 2 2 2 2
1
2 ;гD w w w w w q P
w
h x y x y R t h hx y y x x t
ρ ε ρ
∂ ∂ Φ ∂ ∂ Φ ∂ ∂ Φ ∂ Φ ∂ ∂
∇ = + − + − − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
2 2 2 2
4
2 2 2
1 1
.
w w w w
E x y Rx y x
∂ ∂ ∂ ∂
∇ Φ = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(1.1)
Здесь использованы традиционные в классической теории оболочек обозначения [2];
кроме того, обозначено: q – поперечная, неравномерно распределенная по боковой
поверхности оболочки квазипериодическая нагрузка вида
0 1( , , ) ( , )cos ( )q q x y t q x y tθ= = , (1.2)
где 0( , )q x y − некоторая функция пространственных координат x,y; 0ε – коэффициент
демпфирования; Pг – гидродинамическая нагрузка на оболочку со стороны жид-
костного потока, определяемая из известного соотношения [1, 3, 10]
Pг = 0 ,
r R
U
t x
ϕ ϕ
ρ
=
∂ ∂
− +
∂ ∂
(1.3)
в котором ( , , , )x r tϕ ϕ= Θ − потенциал возмущенных скоростей жидкости ( , ,x r Θ −
цилиндрические координаты); 0ρ − плотность этой жидкости; U – скорость ее дви-
жения в оболочке. Жидкость предполагается идеальной и несжимаемой, ее движение
– потенциальное. Функцию 1θ в соотношении (1.2) предполагаем медленно изме-
няющейся функцией времени [9], такой, что 1
1( ),
d
dt
θ
ν τ= где τ − ”медленное” время
( ,tτ ε ε= − малый положительный параметр); 1ν – ”мгновенная” частота внешнего
радиального возбуждения.
Пусть на торцах оболочки (при 0, ;x x l l= = − длина оболочки) реализуются
условия ”классического” свободного опирания [3] (условия Навье). Удовлетворяю-
щий этим условиям динамический прогиб w представим в виде
1 1 2 2cos sin cos sinw f sy x f sy xλ λ= + +
4 4
3 1 4 2sin sinf x f xλ λ+ , (1.4)
т.е. в отличие от [10, 11, 13, 16 и др.] не будем учитывать сопряженные формы.
Здесь ( ) ( 1,...,4)
k k
f f t k= = − подлежащие определению функции времени;
1 / ;lλ π= 2 2 / ; /l s n Rλ π= = − параметры волнообразования (n – количество полных
окружных волн). Последние два члена в (1.4) являются ”корректирующими” и харак-
теризуют особенности деформирования оболочки при больших прогибах – отражают
известный из экспериментов по динамике и устойчивости замкнутых оболочек эф-
фект ”преимущественного выпучивания вовнутрь” [2, 6].
Для определения гидродинамического давления на оболочку гP находим предва-
рительно с учетом (1.4) потенциал ϕ , решая краевую задачу [3, 10, 11]
2 2 2
2 2 2 2
1 1
0
r rx r r
ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂∂ ∂ ∂Θ
( 0 ; 0r R≤ ≤ ≤ ; 0 2 );x l π≤ ≤ Θ ≤ (1.5)
38
w w
U
r t x
ϕ∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂ ∂
при r R= ;
r
ϕ∂
∂
p ∞ при 0r = . (1.6)
В результате получим следующее выражение для функции :ϕ
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
sin sin
( ) ( )
n n
n n
I r I r
f x f x
I R I R
λ λ
ϕ λ λ
λ λ λ λ
= − +
′ ′
& & cos sy –
0 1 0 2 0 1
3 1 4 2 3 1
1 0 1 2 0 2 1 0 1
(2 ) (2 ) (4 )
cos2 cos2 cos4
4 (2 ) 4 (2 ) 32 (4 )
I r I r I r
f x f x f x
I R I R I R
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
− − + +
′ ′ ′
& & &
2 20 2
4 2 3 4
2 0 2
(4 ) 3
cos4 (2 )( )
32 (4 ) 16
I r
f x x r f f
I R R
λ
λ
λ λ
+ − − + +
′
& & &
1 2 0 1
1 1 2 2 3 1
1 2 0 1
( ) ( ) (2 )
cos cos cos sin2
( ) ( ) 2 (2 )
n n
n n
I r I r I r
f x f x U sy f x
I R I R I R
U
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
+ + + +
′ ′ ′
0 2 0 1 0 2
4 2 3 1 4 2
0 2 0 1 0 2
(2 ) (4 ) (4 )
sin2 sin 4 sin4 .
2 (2 ) 8 (4 ) 8 (4 )
I r I r I r
U f x f x f x
I R I r I R
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
+ − −
′ ′ ′
(1.7)
Здесь ( 0, )
k
I k n= −модифицированные функции Бесселя к-го порядка.
Подставляя аппроксимацию (1.4) во второе уравнение (1.1), находим функцию
напряжений Φ в срединной поверхности, представляя ее в виде
0чΦ = Φ + Φ , (1.8)
где чΦ – частное решение рассматриваемого уравнения, причем
1 1 2 2 3 1 4 2 5cos sin cos sin cos2 cos2 cos2ч sy x sy x x x syλ λ λ λΦ = Φ + Φ + Φ + Φ + Φ +
6 1 7 2 8 1 2 9 1 2cos sin3 cos sin3 cos( ) cos( )sy x sy x x xλ λ λ λ λ λ+Φ + Φ + Φ + + Φ − +
10 1 2 11 1 2 12 1cos2 cos( ) cos2 cos( ) cos sin5sy x sy x sy xλ λ λ λ λ+Φ + + Φ − + Φ +
13 2 14 1 15 2 16 2 1cos sin5 cos4 cos4 cos sin(2 )sy x x x sy xλ λ λ λ λ+Φ + Φ + Φ + Φ + +
17 2 1 18 1 2 19 1 2cos sin(2 ) cos sin(2 ) cos sin(2 )sy x sy x sy xλ λ λ λ λ λ+Φ − + Φ + + Φ − +
20 1 2 21 2 1 22 1 2cos sin(4 ) cos sin(4 ) cos sin(4 )sy x sy x sy xλ λ λ λ λ λ+Φ + + Φ + + Φ − +
23 2 1cos sin(4 ) ;sy xλ λ+Φ − (1.9)
функция 0Φ представляет решение однородного уравнения, отвечающее напря-
жениям, соответствующим безмоментной теории [2, 3, 15]
2
0Ф / 2.Kx= − (1.10)
Здесь K – неизвестная функция, для определения которой используем известное усло-
вие ”периодичности” окружного перемещения v [2]
39
22 2 2 2
2 2
0 0
1 1
0
2
R R
v w w
dy dy
y E y Rx y
π π
µ
∂ ∂ Φ ∂ Φ ∂
= − − + =
∂ ∂∂ ∂
∫ ∫ . (1.11)
В результате получим такое соотношение:
2
2 2 3 4
1 2 2
3( )
( ) .
8
Es f f
K f f
Rs
+
= − + −
(1.12)
Функции
k
Φ (к = 1,…,23) в (1.9) выражаются определенным образом через пере-
мещения оболочки 1 4,...,f f , а также параметры волнообразования, физические и гео-
метрические параметры оболочки, например, [15]
2 2
2 21 1 2 2
1 3 2 4
1 2
1 1
;
( , ) ( , )
E f E f
s f s f
s R s R
λ λ
λ λ
Φ = − Φ = −
∆ ∆
и т.д. (1.13)
Здесь и в последующем через ∆ обозначен оператор вида 2 2 2( , ) ( ) .A B A B∆ = +
Используя метод Бубнова – Галеркина в применении к первому уравнению (1.1)
(с учетом (1.3), (1.4), (1.8) – (1.10)) выводим следующую систему дифференциальных
уравнений для определения неизвестных функций :
k
f
2 2
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( );f U f f Uf F q tω α ε β ε+ − + − = ⋅ ⋅ ⋅ +
&& & &
2 2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2( ) ( ) ( );f U f f Uf F q tω α ε β ε+ − + + = ⋅ ⋅ ⋅ +
& &
2 2
3 3 3 3 3 3 3 4 5 3 4 6 4 3 3( ) ( ) ( ) ( );f U f f f U f f f F q tω α ε β β β ε+ − + + + + + = ⋅ ⋅ ⋅ +
&& & & & &&
2 2
4 4 4 4 4 4 4 3 7 3 4 8 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ).f U f f f U f f f F q tω α ε β β β ε+ − + + + + + = ⋅ ⋅ ⋅ +
&& & & & && (1.14)
Здесь ω1, ω2 – собственные частоты заполненной жидкостью оболочки, отвечающие
доминантным формам cos sy sin λ1x и cos sy sin λ2x, соответственно, при этом
4
2
2
0
1
( , )
( , )
i
i i
i i
D E
s
m h R s
λ
ω λ
ρ λ
= ∆ +
∆
( i = 1, 2), (1.15)
где m0i – параметры присоединенных масс жидкости
0
0
1 ( )
1 ;
( )
n i
i
i n i
I R
m
h I R
ρ λ
ρ λ λ
= +
′
(1.16)
α1, α2, β1, β2 – постоянные коэффициенты гидродинамических сил, имеющие вид
0 0
0 0
( )( ) 16 1
; ( , 1,2 ; )
( ) 3 ( )
n ji n i
i i
i n i j i n j
I RI R
i j i j
hm I R lhm I R
λρ λ λ ρ
α β
ρ λ ρ λ λ
= = = ≠
′ ′
; (1.17)
k
ε – параметры демпфирования,
k
ε = 0ε /m0k ( k = 1,...,4); (
k
Fε ...) – пропорциональные
малому параметру ε нелинейные функции, характеризующие геометрическую нели-
нейность оболочки [11], т.е.
3 2 2 2
1 1 1 3 2 1 3 1 2 4 1 3 5 1 4 6 1 4;F k f f k f k f f k f f k f f k f fε = + + + + +
40
3 2 2 2
2 1 2 4 2 2 3 2 1 4 2 4 5 2 3 6 2 3;F c f f c f c f f c f f c f f c f fε = + + + + +
2 2 2 2 2 2
3 1 1 2 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 6 2 4;F d f d f d f f d f f d f f d f fε = + + + + +
2 2 2 2 2 2
4 1 1 2 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 6 2 4.F e f e f e f f e f f e f f e f fε = + + + + + (1.18)
Здесь , , ,
j j j j
k c d e – постоянные коэффициенты, выражающиеся через геометрические
и физические параметры оболочки и параметры волнообразования
2 4 2 4
1 2
1 1
01 1 02 2
5 2 5 2
;
8 ( , ) 8 ( , )
Es Es
k c
Rm s Rm s
λ λ
ρ λ ρ λ
= + = +
∆ ∆
;
01 02
1 1 1 1
03 04
16 16
;
35 35
m m
d k e c
m m
= = и т.д. (1.19)
Значения других постоянных параметров в уравнениях (1.14) приведены в [11].
Функции времени ( )
k
q t в правой части этих уравнений выражаются так:
1cos ( )
k k
q Q tε θ= , (1.20)
где обозначено
2
0 1
0 0
( , ) ( , ) cos ( );
l R
k k k
Q q x y X x y dxdy t
π
ε δ θ
=
∫ ∫
01 03
1 2 1 3 4 3
01 02 03 04
2 64
; ; ; ;
35
m m
Rl hm m Rl hm m
δ δ δ δ δ δ
π ρ π ρ
= = = =
4 4
1 1 2 2 3 1 4 2cos sin ; cos sin ; sin ; sin .X sy x X sy x X x X xλ λ λ λ= = = = (1.21)
Отметим, что пропорциональность малому параметру ε амплитуд внешнего воз-
действия на оболочку
k
Q принята здесь, исходя из физических соображений – в даль-
нейшем предполагается исследовать особенности нестационарных колебаний систе-
мы (1.14) в резонансной области [9].
§ 2. Не ограничивая общности исследования, по аналогии с [11 – 13, 15, 16] упро-
стим систему (1.14). Учитывая то, что ”вклад” корректирующих слагаемых
4
3 1sin ,f xλ
4
4 2sinf xλ в общий прогиб w (1.4) незначителен в сравнении с
”вкладом” первых двух слагаемых [2, 6], определим в дальнейшем функции f3 и f4 из
”квазистатического” варианта задачи, полагая в двух последних уравнениях (1.14)
3 4 3 40 ; 0 ; 0 ; 0.f f f f= = = =
&& && & & С точностью до членов, пропорциональных пара-
метру ε в первой степени, получим следующие приближенные соотношения:
2 2 2 2
3 11 1 12 2 4 21 1 22 2; ,f k f k f f k f k f= + = + (2.1)
где постоянные коэффициенты
pq
k имеют вид
1 44 3 1 2 44 3 2
11 12
0 0
; ;
d e d e
k k
d d
ω β ω β− −
= =
1 33 4 1 2 33 4 2
21 22
0 0
; .
e d e d
k k
d d
ω β ω β− −
= = (2.2)
41
Здесь
2 2 2 2 4
33 3 3 44 4 4 0 33 44 3 4; ; 0.U U d Uω ω α ω ω α ω ω β β= − = − = − ≠
Подставляя (2.1) в первые два уравнения (1.14) и удерживая нелинейные члены до
третьей степени включительно, получаем такую итоговую систему:
2 2
1 1 1 1 1 1 1 2 11( ) ( );f U f f Uf Fω α ε β ε+ − + − = ⋅ ⋅ ⋅
&& & &
2 2
2 2 2 2 2 2 2 1 22( ) ( ).f U f f Uf Fω α ε β ε+ − + + = ⋅ ⋅ ⋅
&& & & (2.3)
Здесь введены обозначения
3 2
11 1 1 2 1 2 1 1cos ( );F f f f Q tε γ γ ε θ= + +
3 2
22 3 2 4 2 1 2 1cos ( );F f f f Q tε γ γ ε θ= + + (2.4)
коэффициенты
i
γ ( 1,...,4)i = определяются из соотношений
1 2 1 11 6 21 2 3 1 12 6 22; ;k k k k k k k k k kγ γ= + + = + +
3 2 1 22 6 12 4 3 1 21 6 11; .c c k c k c c k c kγ γ= + + = + + (2.5)
Система (2.3) является исходной для расчета нелинейных нестационарных про-
цессов в рассматриваемой оболочечно-жидкостной системе, включая процессы пере-
хода ее через области динамической неустойчивости, резонансные области и т.п. Для
исследования таких процессов необходимо предварительно располагать информацией
о значениях критичеких скоростей движения жидкости, при которых может наступить
неустойчивость несущей оболочки того или иного рода: квазистатическая – типа ”ди-
вергенция” или динамическая – типа ”флаттер” [1, 3]. Кроме того, следует знать вели-
чину частоты изгибных колебаний оболочки, возникающих в момент динамической
потери устойчивости. Перечисленные выше параметры – критические скорости и час-
тоты самовозбуждаемых колебаний можно определить, исходя из соответствующего
анализа линейных уравнений (2.3) при 1 2 0Q Q= = [11, 13]. В частности, критические
скорости дивергенции 1 2,U U устанавливаются из приведенных в [11] соотношений
(2.6), т.е.
k
k
k
U
ω
α
= (к = 1,2). (2.6)
При этом, критические скорости флаттера (в дальнейшем обозначим их через
3U ) соответствуют при относительно малом параметре демпфирования 0ε мини-
мальным положительным корням биквадратного уравнения
4 2
1 2 3 0p U p U p+ + = , (2.7)
где
2 2 2 2
1 0 1 2 2 0 1 2 2 14 ; 2 4( );p pδ α α δ η ω α ω α= − = − + +
2 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 24 ; ; .p η ω ω η ω ω ε ε δ α α β β= − = + + = + − (2.8)
В качестве варьируемого параметра при определении величин 1 2 3, , ,U U U со-
ответствующих наиболее ранней потере устойчивости (обозначим их, соответственно,
42
через 1 2 0, , ),U U U
∗ ∗ ∗ надлежит выбрать волновой параметр n [1, 2]. Частоту само-
возбуждаемых колебаний оболочки находим из характеристического уравнения [13]
4 3
0 1 0cλ λ+ +
2
2 0 3 0 4 0.c c cλ λ+ + = (2.9)
Здесь 0λ – характеристический показатель; 1 4,...,c c – постоянные коэффициенты,
имеющие вид
2
1 1 2 2 11 22 1 2 1 2 3 22 1 11 2( ) ; ( ); ( ) ;c i c U c iε ε ω ω ε ε β β ω ε ω ε= − + = − + + + = +
2 2 2 2
4 11 22 11 1 1 22 2 2; ; ,c U Uω ω ω ω α ω ω α= = − = − (2.10)
в которых следует принять 0 .U U
∗
=
Числовой пример. Пусть несущая оболочка характеризуется параметрами:
Е = 0,67 ⋅ 10
11
Па; ρ = 2,7 ⋅ 10
3
кг/м
3
; R = 0,16 м ; µ = 0,32;
l/R = 5; h = 6,4·10
-4
м; 0 0,1ε = 1/с, (2.11)
а движущаяся в ней жидкость имеет плотность ρ 0 = 10
3
кг/м
3
. Рис. 1, 2 иллюстрируют
результаты вичислений критических скоростей движения жидкости, при которых
происходит потеря устойчивости оболочки того или иного рода, а также частот изги-
бных колебаний, характеризующих динамическую потерю устойчивости. В частно-
сти, на рис. 1, a показаны графики зависимостей 2( ),uλ построенные на основании
уравнения (2.9) при варьировании пара-
метра n (указан на рисунке). Увеличен-
ный фрагмент этого рисунка в области
перехода величины 0λ
2
в зону отрица-
тельных значений показан на рис. 1, б.
При построении использованы безраз-
Рис. 1
Рис. 2
43
мерные параметры: 0 0/ ;l kλ λ= u = 0/ ,U k где 2 1/ 2
0 ( / )[ /( )] .k l D hπ ρ=
Рис. 2, a иллюстрирует область дивергентной формы потери устойчивости (за-
штрихованная), находящуюся между кривыми 1 и 2. Кривая 1 соответствует здесь
найденным из формулы (2.6) скоростям 1U , кривая 2 – скоростям 2U . На рис. 2, б
приведены значения вычисленных на основании уравнения (2.7) скорости 3U , при
которых возможна флаттерная форма потери устойчивости оболочки.
Таким образом, как следует из результатов, представленных на рис. 1, б и 2, a ,
потеря устойчивости рассматриваемой оболочки по типу дивергенция ранее всего
наступит при u = 1u
∗ , что соответствует скорости движения жидкости *
1U U= =
= 63,15 м/с. В момент потери устойчивости в оболочке возбудится окружная изгибная
форма с числом волн 4n = . Колебательная форма потери устойчивости ранее всего
наступит при 3u = 0u
∗ (рис. 2, б). Скорость движения жидкости при этом будет равна:
*
0U U= = 76,02 м/с, а окружной параметр волнообразования 5n = . Отметим, что в
случае 5n = наблюдается наименьшая ширина дивергентной области, равная:
00 2 1U U∆ = − = 0,88м/с. При увеличении параметра n (начиная с n = 5) область дивер-
гентной неустойчивости оболочки, соответственно, будет расширяться.
Рис. 3
Рис. 3 иллюстрирует характер нестационарного выпучивания оболочки во времени в
областях дивергертной (рис. 3, a ) и флаттерной (рис. 3, б) форм потери устойчивос-
ти. Представленные здесь безразмерные прогибы оболочки /w w h= получены в ре-
зультате численного интегрирования линейных уравнений (2.3) при начальных усло-
виях (0) 0,34 ; (0) 0w h w= =& (предполагалось / 4, 0x l y= = ).
Кривые 1 – 5 на рис. 3, a построены, соответственно, при *
1U U= =63,14;
63,36;U = 63,58;U =
*
263,80; 64,02U U U= = = м/с, n = 4, а кривые 1 – 3 на
рис. 3, б – соответственно, при U = 75; 0 76,02U U
∗
= = ; 76,22U = м/с, n = 5.
44
Как видно, деформирование оболочки в каждой из перечисленных выше областей
неустойчивости происходит по качественно различным сценариям. В первом случае
(рис. 3, a ) возрастание во времени прогиба w происходит относительно медленно и
монотонно, причем его максимальный рост реализуется при скоростях движения
жидкости 1 2( ) / 2.U U U
∗ ∗
≈ +
Во втором случае, при 0U U
∗
≥ (рис. 3, б), имеет место ”колебательная” форма
возрастания прогиба w . При этом, чем больше величина ”расстройки” скоростей
1 0U U
∗
∆ = − , тем существеннее будет рост амплитуд прогрессирующих колебаний
оболочки.
Рис. 4
На рис. 4 показаны нестационарные процессы изменения во времени безразмер-
ного прогиба w рассматриваемой оболочки при медленном прохождении скоростью
движения жидкости U критических значений. В первом случае (рис. 4, a ) предпола-
галось, что скорость движения жидкости изменялась в соответствии с законом
U = 01 1( ) ,U t U tµ= + где 01U = 60,64м/с, во втором (рис. 4, б) – U = 03 1( ) ,U t U tµ= −
где 03 76,17U = м/с. Параметр 1µ , определяющий ”темп” прохождения оболочки через
соответствующие зоны неустойчивости, был принят равным: 1 2,5µ = м/с
2
. Начальные
условия задавались такими же, как и при построении рис. 3. Точки 0,A 1,A 2A на обо-
их рисунках соответствуют найденным ранее критическим скоростям флаттера и ди-
вергенции 0U
∗ , 1 2, .U U
∗ ∗ Из данных рис. 4, a видно, что с увеличением скорости U ,
начиная с малых значений ( 1U U
∗
p ), прохождение дивергентной зоны (область А1А2)
при выбранном параметре ускорения 1µ происходит без развития больших амплитуд
прогиба w. С уменьшением 1µ величина прогиба в этой зоне будет, соответственно,
45
увеличиваться, и наоборот. В области устойчивости А2А0 частоты колебаний также
постепенно увеличиваются. При приближении к критической скорости флаттера
0U
∗ амплитуды колебаний оболочки резко возрастают, достигая при 0U U
∗
f за ко-
роткий промежуток времени достаточно больших значений.
Рис. 4, б иллюстрирует нестационарный процесс обратного прохождения оболоч-
ки через области неустойчивости. Как видно, этот процесс качественно отличается от
изображенного на рис. 4, a . В области, расположенной между флаттерной и дивер-
гентной зонами (А0 А2), колебания оболочки являются нерегулярными и лишь при
1U U
∗
p (скорости 1U
∗отвечает точка 1A ) они преобразуются в близкие к гармониче-
ским колебаниям.
Отметим, что учет нелинейных членов в (2.3) обусловит ограничение роста во
времени прогиба несущей оболочки в областях дивергентной (рис. 3, a ) и флаттерной
(рис. 3, б, 4, a ) форм потери устойчивости.
§3. Используя изложенные выше результаты, выполним расчет на базе общих
уравнений (2.3) нелинейных динамических процессов в оболочечно-жидкостной сис-
теме, соответствующих нестационарному переходу ее через резонансные области.
Обнаруживаемые в первом приближении резонансные режимы колебаний обо-
лочки возможны в данном случае при выполнении следующего условия:
0 1( )λ ν τ
∗
≈ , (3.1)
где 0λ
∗ – частота изгибных колебаний оболочки, возникающих при скорости движе-
ния жидкости 0U U
∗
= . Для построения как резонансного, так и околорезонансного
решений системы (2.3) с учетом (2.4) используем одночастотный асимптотический
метод [9]. Отметим, что данная система удовлетворяет всем требованиям для приме-
нения указанного метода [7, 9]. Предварительно представим эту систему в виде
2 2
1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 11 1 1 1 2 1 0( ) (2 ) ;f U f f U f F f f Uω α ε β ε α β
∗ ∗ ∗ + − + − = + + ∆
&& & & &
2 2
2 2 2 0 2 2 2 2 0 1 22 2 2 2 1 1 0( ) (2 ) ,f U f f U f F f f Uω α ε β ε α β
∗ ∗ ∗ + − + + = + − ∆
&& & & & (3.2)
выделив в ней малые (пропорциональные параметру ε ) члены (здесь 1 0 ).U Uε
∗
∆ = −
Ограничиваясь первым приближением, решение уравнений (3.2) будем искать в
форме [9]
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 1 1( ); ( ); ,
i i i i
f a e e f a e e
φ φ φ φ
ϕ ϕ ϕ ϕ φ θ φ
− −
= + = + = + (3.3)
где 1 2,ϕ ϕ – нетривиальные решения системы однородных алгебраических
уравнений
( )
2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 2 0;U i U iω λ α ε λ ϕ β λ ϕ
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
− − + − =
( )
2 2 2
2 0 2 0 2 0 2 2 0 0 1 0;U i U iω λ α ε λ ϕ β λ ϕ
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
− − + + = (3.4)
1 2,ϕ ϕ – комплексно сопряженные величины; ,a φ – неизвестные функции времени,
определяемые из уравнений
1( , , );
da
A a
dt
ε τ φ= 0 1 1( ) ( , , ).
d
B a
dt
φ
λ ν τ ε τ φ
∗
= − + (3.5)
46
Неизвестные величины 1A и 1B находим по изложенной в [9, 5, 7] методике.
С этой целью определим производные ,
k k
f f
& && :
1 1 1 1
1 0 1( ) ( )( );
i i i i
k k k k k
f A e e ai B e e
φ φ φ φ
ε ϕ ϕ λ ε ϕ ϕ
− −∗
= + + + −
&
1 1 1 11 1
0 1 0 1( )( ) 2 ( )
i i i i
k k k k k
A B
f ai e e i A e e
φ φ φ φ
ε λ ν ϕ ϕ λ ϕ ϕ
φ φ
− −∗ ∗
∂ ∂
= + − + + − −
∂ ∂
&&
1 1 1 12
0 1 02 ( )] ( )
i i i i
k k k k
a B e e a e e
φ φ φ φ
λ ϕ ϕ λ ϕ ϕ
− −∗ ∗
− − − + ( k = 1, 2). (3.6)
Нелинейные функции 11 22,F F в правых частях уравнений (3.2) запишем в виде
разложений по гармоникам ± 1kiφ ( k = 1,3)
1 1 1 1 13 3 3 1
11 1 1 1 1( ) [(cos sin )
2
i i i i iQ
F M e M e N e N e a i e
φ φ φ φ φε
ε ε φ φ
− −
= + + + + − +
1(cos sin ) ];
i
i e
φ
φ φ
−
+ +
1 1 1 1 13 3 3 2
22 2 2 2 2( ) [(cos sin )
2
i i i i iQ
F M e M e N e N e a i e
φ φ φ φ φε
ε ε φ φ
− −
= + + + + − +
1(cos sin ) ],
i
i e
φ
φ φ
−
+ + (3.7)
где приняты обозначения:
2 3 2
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 23 (2 ) ; ;M Nε γ ϕ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ε γ ϕ γ ϕ ϕ= + + = +
2 3 2
2 3 2 2 4 2 1 2 1 2 2 3 2 4 2 13 (2 ) ; ;M Nε γ ϕ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ε γ ϕ γ ϕ ϕ= + + = + (3.8)
,
j j
M N (j =1,2) – комплексно сопряженные величины.
Подставляя (3.3), (3.6) с учетом (3.7), (3.8) в уравнения (2.3) и группируя члены
при i
e
φ , получаем систему уравнений
2 2
2
2 2
0 0 0 0 0
1
( ) ( 1,2).
k k k k jk j k
j
U i a aiU G kω λ α λ ε ϕ λ β ϕ ε
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
=
− − + + = =∑ (3.9)
Здесь введены следующие обозначения :
12 1 21 2 11 22; ; 0;β β β β β β= − = = =
3 1 1
0 1 1 0( , , ) ( ( )) (2
k k k k k k
A B
G G a M a ia a Uτ φ λ ν τ ϕ α ϕ
φ φ
∗ ∗
∂ ∂
= = − + − + ∆ −
∂ ∂
2 2
0 0 0 1 1
1 1
) ( 2 )( ) (cos sin ).
2
k
jk j k jk j k
j j
Q
i i U A iaB iλ β ϕ ε λ β ϕ ϕ φ φ
∗ ∗ ∗
= =
− − + + + + −∑ ∑ (3.10)
Аналогичную систему можно получить, приравнивая члены при i
e
φ− [7].
Для существования периодических по угловой переменной 1φ решений 1 2,f f и
однозначного определения функций 1 1,A B необходимо и достаточно выполнения
условия ”ортогональности” [9, 5]
47
2
1
0,
k k
k
G χ
=
=∑ (3.11)
где
k
χ – нетривиальные, отвечающие характеристическому показателю 0 0s iλ
∗
= + ,
решения сопряженной по отношению к (3.4) системы уравнений, т.е.
( )
2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 2 0 0 2 0;U i U iω λ α ε λ χ β λ χ
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
− − − − =
( )
2 2 2
2 0 2 0 2 0 2 1 0 0 1 0.U i U iω λ α ε λ χ β λ χ
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
− − − + = (3.12)
После введения обозначений
2
1 2
1
;
k k
k
M g igχ
=
= +∑
2 2
0 0 3 4
1 1
[(2 ) ] ;
k k jk j k
k j
i U g igλ ε ϕ β ϕ χ
∗ ∗
= =
+ + = +∑ ∑
2 2
0 0 5 6
1 1
(2 ) ;
k k jk j k
k j
U i g igα ϕ λ β ϕ χ
∗ ∗
= =
− = +∑ ∑
2 2
7 8 11 22
1 1
; ,
2
k
k k k
k k
Q
g ig Q iQϕ χ χ
= =
= + = +∑ ∑ (3.13)
где
m
g ( 1 8m = − ), 11 22,Q Q – действительные параметры, на основании соотношений
(3.12) получим следующую систему дифференциальных уравнений для определения
неизвестных функций 1 1,A B :
31 1
7 8 0 3 1 4 1 1 1 5 11 22cos sin ;
A B
g g a g A g aB g a g a Q Qφ φ
φ φ
∂ ∂
− ∆ + − = + ∆ + +
∂ ∂
31 1
8 7 0 4 1 3 1 2 1 6 11 22sin cos .
A B
g g a g A g aB g a g a Q Qφ φ
φ φ
∂ ∂
+ ∆ + + = + ∆ − +
∂ ∂
(3.14)
После ее интегрирования будем иметь формулы
3
1 11 1 12 1 1cos sin ;A a a R Sβ β φ φ= ∆ + + +
2
1 21 1 22 1 1
1
( cos sin ) ,B a S R
a
β β φ φ= ∆ + + − (3.15)
в которых приняты обозначения:
3 5 4 6 1 3 2 4
11 122 2
0 0
; ;
g g g g g g g g
g g
β β
+ +
= =
3 6 4 5 2 3 1 4
21 222 2
0 0
; ;
g g g g g g g g
g g
β β
− −
= =
48
11 3 0 1 8 22 4 0 1 7
1
00
[ ( ) ] [ ( ) ]
;
Q g g Q g g
R
λ ν λ ν
∗ ∗
+ − + − −
=
∆
22 3 0 1 8 11 4 0 1 7
1
00
[ ( ) ] [ ( ) ]
;
Q g g Q g g
S
λ ν λ ν
∗ ∗
+ − − − −
=
∆
2 2 2 2 2
0 3 4 00 3 0 1 8 4 0 1 7; [ ( ) ] [ ( ) ] .g g g g g g gλ ν λ ν
∗ ∗
= + ∆ = + − + − − (3.16)
Таким образом, в системе (3.5) полностью определены их правые части, что
позволяет найти конкретные значения амплитудного ( a ) и фазового ( φ ) параметров
деформирования несущей оболочки при медленном изменении ”мгновенной” частоты
1ν внешнего квазипериодического воздействия на нее в зоне рассматриваемого
резонанса.
Если частота 1ν является постоянной, т. е. 1 constν = Ω ≡ , то используя ура-
внения (3.5) с учетом (3.15), (3.16), нетрудно построить амплитудно-частотную харак-
теристику (АЧХ) для установившегося режима вынужденных колебаний несущей
оболочки в резонансной области 0λ
∗
≈ Ω . Амплитудно-частотное уравнение в данном
случае имеет вид [11]
2
2 2 2
0 21 1 22 11 1 122
( )
Q
a a
a
β β β β∆ = − ∆ − ± − ∆ + , (3.17)
где 2 2 2 2 2
1 1 11 22 00( ) /Q R S Q Q= + = + ∆ ; при этом было учтено условие 0 0λ ε
∗
− Ω = ∆ .
Решения этого уравнения 0( )a a= ∆ будут устойчивы, если удовлетворяют одно-
временно таким двум критериям [7]:
2 2
0 / 2 ;a af 2 2 2 2
11 1 12 11 1 12 22( 3 )( ) ( ) 2 ( ) 0.a a H a H a aβ β β β β∆ + ∆ + + + f (3.18)
В (3.18) обозначено: 2 2
0 21 1 22 0 11 1 12( ) ; /H a a aβ β β β= ∆ + ∆ + = − ∆ ; 0a – амплитуда
установившихся автоколебаний несущей оболочки, возникающих в ней при скорости
движения жидкости 0 .U U
∗
≥
Числовой пример. Пусть оболочка характеризуется параметрами (2.11). Примем
также, что внешнее давление на оболочку q ”распределено” лишь по одной из ее из-
гибных форм, например,
0 1 0cos sin ; const.q Q sy x Qλ= = (3.19)
В этом случае в уравнениях (2.3) следует принять 1 0 01 2/( ); 0.Q Q hm Qρ= =
Параметры 1 2,ϕ ϕ и 1 2,χ χ в соотношениях (3.4) и (3.12) примем равными, соот-
ветственно:
1 2 11 12 1 2 21 221/ 2, , 1/ 2,d id d idϕ ϕ χ χ= = + = = + , (3.20)
где обозначено
2 2 2
1 0 1 1 0
11 12
1 0 1 0 0
; ;
2 2
U
d d
U U
ε λ ω α
β β λ
∗ ∗
∗ ∗ ∗
− +
= =
2 2 2
1 0 1 1 0
21 22
2 0 2 0 0
; .
2 2
U
d d
U U
ε λ ω α
β β λ
∗ ∗
∗ ∗ ∗
− +
= − = (3.21)
49
Рассмотрим предварительно АЧХ исследуемой оболочки (3.17), соответствую-
щую периодическому возбуждению с постоянной частотой Ω . Результаты численно-
го анализа показывают, что при выбранных параметрах оболочки на границе динами-
ческой неустойчивости и вблизи ее (при 0U U
∗
≈ ) всегда выполняется условие
22 0β p , т.е. геометрическая нелинейность в данном случае принадлежит к ”мягкому”
типу [6, 9] – с увеличением амплитуд колебаний a частоты этих колебаний, соответ-
ственно, уменьшаются. Одновременно выполняются условия 11 120, 0.β βf p Общий
вид АЧХ существенно зависит от значения ”расстройки” 1ε∆ = 0U U
∗
− , а также ам-
плитудного параметра Q внешнего давления. В частности, если 0U U
∗
f , то при отно-
сительно малых величинах Q уравнению (3.17) отвечают две ”изолированные” одна
от другой частотные характеристики 0( )a a= ∆ (кривые 1 на рис. 5). Это обусловли-
вается тем, что уравнение
2
2 2
1 11 1 122
( , ) ( ) 0
Q
T a a
a
β β∆ = − ∆ + = при малых Q и 1 0∆ f
имеет три различных действительных корня ,a расположенных на скелетной кривой
ОО1 (точка О отвечает частотной ”расстройке” 01 21 1).β∆ = − ∆ Такая ситуация будет
наблюдаться, пока прQ Qp , где прQ = 2,60486·10
9 3
1
−
∆ . При прQ Q= уравнение
1( , ) 0T a ∆ = также будет иметь три корня, два из которых совпадают. АЧХ в этом
случае геометрически соответствуют кривым 2 на рис. 5. При дальнейшем увеличе-
нии параметра Q уравнение (3.17) представляет традиционную для нелинейных сис-
тем с одной степенью свободы АЧХ (кривая 3 на рис. 5). Однако установившиеся од-
ночастотные колебания оболочки, амплитуды которых 0 / 2,a ap будут здесь неус-
тойчивы во всей резонансной зоне. Это следует непосредственно из первого критерия
(3.18). В свою очередь, нарушение второго критерия (3.18) произойдет в тех точках
АЧХ 0( )a a= ∆ , в которых касательные к ним становятся вертикальными. Действи-
тельно, используя уравнение (3.17), можно показать, что на границах потери устойчи-
вости выполняется условие 0
2
0
d
da
∆
= . Отметим, что все устойчивые участки АЧХ на
рис. 5 обозначены сплошными линиями, неустойчивые – штриховыми.
Если 0U U
∗
p , т.е. оболочка находится в зоне динамической устойчивости, то с
учетом (2.11) АЧХ будут иметь вид, показанный на рис. 6. Частотные кривые 1 по-
строены при 0 63,5Q = Па, кривые 2 – при 0 190,5Q = Па. При построении исполь-
Рис. 5
Рис. 6
50
зованы безразмерные переменные 0/ ;a a h= ∆ =
0
0
λ
λ
∗
∗
− Ω
; 21 1
01
0
β
λ
∗
∆
∆ = − . Устойчи-
вость стационарных решений 0( )a a= ∆ регламентируется в этом случае вторым кри-
терием (3.18) (первый критерий здесь теряет смысл из-за 11 1 12/ 0)β β∆ f .
На рис. 7 приведены результаты исследования нестационарных процессов прохо-
ждения рассматриваемой оболочки через резонанс при различных режимах изменения
скорости. Эти результаты получены путем численного интегрирования представлен-
ных выше уравнений (3.5) с учетом (3.15) – (3.16) при 0Q = 63,5 Па. Предполагалось,
что частота внешнего квазипериодического возбуждения 1ν является линейной функ-
цией времени, т.е.
1 0 0tν µ= Ω + ( 0 0, constµΩ = ). (3.22)
Графики зависимостей 0( )a a= ∆ на рис. 7, a построены при U = 72 м/с; на рис.
7, б – при U = 80 м/с. Кривые 1, 2 на обоих рисунках соответствуют прямому прохож-
дению резонансной зоны (параметр 0µ здесь был принят равным, соответственно,
0µ = 4,5 и 0µ = 6 1/с
2
); кривые 1′ , 2′ – обратному прохождению этой зоны ( 0µ = – 4,5
и 0µ = – 6 1/с
2
). Начальные условия (0)a соответствовали стационарным значениям
амплитуд, вычисленным на основании формулы (3.17), которая справедлива в случае
0µ = 0. Соответствующие этому случаю частотные кривые обозначены на рисунке
жирными линиями (кривые 3).
Рис. 7
Как следует из результатов рис. 7, a ,б, кривые прохождения через резонанс в
докритической ( *
0U Up ) и закритической ( *
0U Uf ) зонах различаются между собой.
Это естественно, поскольку в первом случае система (2.3) (на ее основании получены
уравнения (3.5)) не является при 1 20, 0Q Q= = самовозбуждающейся, во втором – в
ней на границе потери устойчивости возникнут автоколебания. При увеличении ско-
рости изменения частоты внешней силы максимумы амплитуд нестационарных про-
цессов, соответственно, уменьшаются. Отметим также, что эти максимумы при
1 0∆ p и 1 0∆ f реализуются при различных значениях расстройки 0.∆ В частности,
при 1 0∆ p максимальные амплитуды колебаний оболочки при переходе через резо-
нанс достигаются в более поздние моменты времени по сравнению со случаем
1 0∆ f .Это обусловлено тем, что при переходе от отрицательных значений величины
1∆ к положительным происходит некоторое смещение стационарной АЧХ 0( )a a= ∆
в сторону больших значений частоты внешнего возбуждения Ω и наоборот. Еще одна
характерная особенность исследуемых нестационарных процессов состоит в том, что
51
максимальные амплитуды колебаний оболочки при 1 0∆ p всегда превышают ампли-
туды, вычисленные при 1 0∆ f . По-видимому, здесь проявляется известный из теории
нелинейных систем с самовозбуждением эффект ”захватывания” колебаний, обуслов-
ленный специфическим взаимодействием чисто вынужденных колебаний и автоколе-
баний.
Другие, описываемые системой (3.5) особенности прохождения несущей оболоч-
ки через резонанс, в качественном отношении такие же, как и обнаруженные ранее
при анализе нелинейных систем с одной степенью свободы [ 9 ]. В частности, после
достижения первого максимума наблюдаются биения амплитуд колебаний оболочки
как в до, так и в закритической зонах, причем, со временем размахи этих биений и их
периоды постепенно уменьшаются. Амплитудные кривые при прямом прохождении
резонанса существенно отличаются от кривых, полученных при обратном прохожде-
нии этого резонанса. Различие кривых в большей степени проявляется в случае мед-
ленного прохождения резонансной области. Отметим также, что резкие изменения во
времени амплитуд колебаний оболочки реализуются в той частотной области, в кото-
рой наблюдаются срывы стационарных амплитуд на АЧХ (3.17).
Аналогичным образом можно исследовать нестационарные процессы прохожде-
ния рассматриваемой оболочки через резонанс при использовании волновых аппрок-
симаций динамического прогиба w [2, 6, 10, 14 и др.]. В этом случае в разложении
(1.4) необходимо дополнительно учесть соответствующие сопряженные формы
[6, 11].
Заключение.
Таким образом, в данной статье изложена основанная на идеях одночастотного
асимптотического метода Крылова – Боголюбова методика расчета нестационарных
колебаний упругих цилиндрических оболочек при взаимодействии их с внутренним
потоком жидкости. Нестационарные процессы изучаются при действии на оболочку
поперечных квазипериодических (с медленно изменяющимися во времени частотами)
сил, неравномерно распределенных по боковой поверхности. На конкретном примере
исследованы характерные особенности динамического деформирования оболочки при
прямом и обратном прохождении резонансной зоны. Скорость движения жидкости
при этом предполагается близкой к критической скорости флаттера. Проведено срав-
нение полученных результатов со случаем, когда частота внешнего воздействия на
оболочку является постоянной.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Гранта совместных
исследований НАН Украины и Российского фонда фундаментальных исследова-
ний 2010 г. (рег. № 08 − 01 −10).
Р Е З ЮМ Е . Запропоновано методику розрахунку нестаціонарних коливань циліндричних обо-
лонок, що взаємодіють з протікаючою рідиною, при дії зовнішнього періодичного тиску з повільно
змінною частотою. З використанням методики проведено числове дослідження динамічних процесів
прямого та зворотного проходження системи оболонка – рідина через резонансну область.
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Физматгиз, 1961. –
340 с.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с.
3. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. – М.: Наука, 1979. –
416 с.
4. Гладких П.А., Хачатурян С.А. Вибрации трубопроводов и методы их устранения. – М.: Машгиз,
1964. – 216 с.
5. Ковальчук П.С. О расчете одночастотных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек при
взаимодействии с протекающей жидкостью // Прикл. механика. – 2005. – 41, № 4. – С. 75 – 84.
52
6. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных
колебаний цилиндрических оболочек. – К.: Наук. думка, 1984. – 220 с.
7. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Крук Л.А. Применение асимптотических методов для исследования
одночастотных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек при взаимодействии их с про-
текающей жидкостью // Укр. мат. журнал. – 2007. – № 3. – С. 75 – 80.
8. Механика систем оболочка – жидкость – нагретый газ / Под ред. Н.А.Кильчевского. – К.: Наук.
думка, 1970. – 328 с.
9. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. – М.: Наука,
1964. – 431с.
10. Amabili M., Pellicano F., Paїdoussis M.P. Nonlinear dynamics and stability of circular cylindrical shell
containing flowing fluid. Part 1: Stability // J. Sound and Vibr. – 1999. – 225, N 4. – P. 655 – 699.
11. Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Forced Nonlinear Oscillations of Cylindrical Shells Interacting with Fluid
Flow // Int. Appl. Mech.– 2006. – 42, N 4. – P. 447– 454.
12. Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Nonlinear Parametrical Oscillations of Orthotropic Cylindrical Shells Inter-
acting with the Pulsating Fluid Flow // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 9. – P.1007 – 1015.
13. Kovalchuk P.S., Podchasov N.P. On Stability of the Elastic Cylindrical Shells Interacting Flowing Fluid
// Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 1. – P. 58 – 66.
14. Komissarova G.L. Features of Love Surface Waves Form in a Cylinder Made of a Hard Material and
Filled with a Fluid // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 9. – P. 988 – 999.
15. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Non-linear Interaction of Bending Deformation of Free Oscil-
lating Cylindrical Shells // J. Sound and Vibr. – 2003. – N 265. – P. 245 – 268.
16. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S., Kruk L.A. Nonlinear Vibrations of Fluid Filled Cylindrical Shells under
Combined Longitudinal-Transverse Periodic Excitation // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 2. –
P. 173 – 181.
Поступила 10.03. 2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|