Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами
The coupled problem is solved on forced axisymmetric vibrations and dissipative heating of electrothermoviscoelastic cylindrical shells with piezoceramic actuators under monoharmonic electromechanical loading. The temperature dependence of complex characteristics of passive and piezoactive materi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95448 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами / И.Ф. Киричок, Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 53-61. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95448 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954482016-02-27T03:01:32Z Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами Киричок, И.Ф. Карнаухова, Т.В. The coupled problem is solved on forced axisymmetric vibrations and dissipative heating of electrothermoviscoelastic cylindrical shells with piezoceramic actuators under monoharmonic electromechanical loading. The temperature dependence of complex characteristics of passive and piezoactive materials is taken into account. A coupled problem of electrothermomechanics is solved by the step-by-step in time integration with use on each iteration of the method of discrete orthogonalization for integration of equations of mechanics and the explicit scheme of the finite difference method for solving the heat conductivity equations. An effect of conditions of mechanical fastening the shell faces, geometrical sizes of piezoactuator and dissipative heating temperature on active damping of forced vibrations of cylindrical shell and actuator indication is studied for the case of uniform transverse monoharmonic pressure. Розглянуто зв'язану задачу про вимушені осесиметричні коливання та дисипативний розігрів в'язкопружних циліндричних оболонок з п'єзокерамічними актуаторами при моногармонічному електромеханічному навантаженні. Враховано температурну залежність комплексних характеристик пасивного і п'єзоактивного матеріалів. Зв'зана нелінійна задача електротермомеханіки розв'язується методом крокового за часом інтегрування з використанням на кожній ітерації методу дискретної ортогоналізації для інтегрування рівнянь механіки і явної схеми методу скінченних різниць при розв'язанні рівняння теплопровідності. Досліджено вплив умов механічного закріплення торців оболонки, геометричних розмірів п'єзоактуатора та температури дисипативного розігріву на активне демпфірування вимушених коливань циліндричної оболонки і показник актуатора при дії рівномірного поперечного моногармонічного тиску. 2010 Article Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами / И.Ф. Киричок, Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 53-61. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95448 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The coupled problem is solved on forced axisymmetric vibrations and dissipative
heating of electrothermoviscoelastic cylindrical shells with piezoceramic actuators
under monoharmonic electromechanical loading. The temperature dependence of complex
characteristics of passive and piezoactive materials is taken into account. A coupled problem of electrothermomechanics is solved by the step-by-step in time integration with use on each iteration of the method of discrete orthogonalization for integration of equations of mechanics and the explicit scheme of the finite difference method for solving the heat conductivity equations. An effect of conditions of mechanical fastening the shell faces, geometrical sizes of piezoactuator and dissipative heating temperature on active damping of forced vibrations of cylindrical shell and actuator indication is studied for the case of uniform transverse monoharmonic pressure. |
| format |
Article |
| author |
Киричок, И.Ф. Карнаухова, Т.В. |
| spellingShingle |
Киричок, И.Ф. Карнаухова, Т.В. Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами Прикладная механика |
| author_facet |
Киричок, И.Ф. Карнаухова, Т.В. |
| author_sort |
Киричок, И.Ф. |
| title |
Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами |
| title_short |
Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами |
| title_full |
Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами |
| title_fullStr |
Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами |
| title_full_unstemmed |
Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами |
| title_sort |
вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95448 |
| citation_txt |
Вынужденные осесимметричные колебания и разогрев термовязкоупругих цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами / И.Ф. Киричок, Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 53-61. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT kiričokif vynuždennyeosesimmetričnyekolebaniâirazogrevtermovâzkouprugihcilindričeskihoboločekspʹezoaktuatorami AT karnauhovatv vynuždennyeosesimmetričnyekolebaniâirazogrevtermovâzkouprugihcilindričeskihoboločekspʹezoaktuatorami |
| first_indexed |
2025-07-07T02:14:52Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:14:52Z |
| _version_ |
1836952577008205824 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 10
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 10 53
И .Ф .К и р и ч о к 1
, Т .В .К а р н а у х о в а 2
ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И РАЗОГРЕВ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК С ПЬЕЗОАКТУАТОРАМИ
1 Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mai:ТЕРМ @ inmech.kiev.ua
2 Национальный технический университет «КПИ»,
пр. Победы, 37, 03056, Киев, Украина; e-mail: karn@inmech.kiev.ua.
Abstract: The coupled problem is solved on forced axisymmetric vibrations and dissi-
pative heating of electrothermoviscoelastic cylindrical shells with piezoceramic actuators
under monoharmonic electromechanical loading. The temperature dependence of complex
characteristics of passive and piezoactive materials is taken into account. A coupled problem
of electrothermomechanics is solved by the step-by-step in time integration with use on each
iteration of the method of discrete orthogonalization for integration of equations of mechan-
ics and the explicit scheme of the finite difference method for solving the heat conductivity
equations. An effect of conditions of mechanical fastening the shell faces, geometrical sizes
of piezoactuator and dissipative heating temperature on active damping of forced vibrations
of cylindrical shell and actuator indication is studied for the case of uniform transverse
monoharmonic pressure.
Key words: forced vibrations, piezoactuator, dissipative heating, temperature, active
damping, cylindrical shell.
Введение.
Цилиндрические оболочки являются одним из наиболее распространенных конст-
руктивных элементов современной техники. В процессе эксплуатации они часто под-
вергаются воздействию гармонически изменяющихся во времени нагрузок и сопро-
вождаются разогревом из-за гистерезисных потерь в материале. При этом особенно
опасными являются нагрузки с частотой колебаний, совпадающей с собственной час-
тотой оболочки. В связи с этим возникает задача демпфирования стационарных коле-
баний таких объектов. Для демпфирования вынужденных колебаний весьма эффек-
тивными являются активные методы, когда в структуру пассивного (без пьезоэффек-
та) элемента вводятся включения (актуаторы) из пьезоэлектрических материалов, к
которым подводится разность электрических потенциалов определенной амплитуды и
фазы для нейтрализации воздействия механического возмущения [10]. Эффектив-
ность активного демпфирования зависит от типа механических граничных условий,
геометрических параметров оболочки, размеров и расположения актуаторов, элек-
тромеханических свойств пассивного и пьезоактивного материалов, уровня диссипа-
тивного разогрева. Достижения в области активного демпфирования вынужденных
колебаний тонкостенных элементов конструкций в изотермической постановке зада-
чи отображены в ряде монографий [10, 19, 20 и др.] Исследование влияния темпера-
туры диссипативного разогрева на эффективность работы актуаторов и сенсоров при
контроле колебаний тонкостенных пластинок содержатся в статьях [5, 11 – 16 и др.]
Более подробный обзор работ этого направления дан в статье [4]. В статьях [6, 7] на
основании полученных методом Бубнова – Галеркина аналитических решений иссле-
54
довано влияние температуры виброразогрева на активное демпфирование вынужден-
ных осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с помощью пьезоактуа-
торов. При этом толщина актуаторов в жесткостных характеристиках, вязкоупругие
свойства пьезоматериала и продольные силы инерции не учитывались.
В данной статье связанная задача о резонансных осесимметричных колебаниях и
диссипативном разогреве цилиндрических оболочек с пьезоактуаторами решается
численным методом. Здесь учитываются вязкоупругие свойства пьезоактивного и
пассивного материалов и их зависимость от температуры, толщина пьезослоев в же-
сткостных модулях и продольные силы инерции.
1. Постановка задачи.
Рассмотрим цилиндрическую оболочку, состоящую из пассивного вязкоупругого
изотропного слоя толщины 0h и жестко скрепленных с его внутренней и внешней
поверхностями пьезоэлектрических слоев одинаковой толщины 1h . Оболочка длины
L отнесена к цилиндрической системе координат , , zα θ с началом толщинной коор-
динаты 0z = на срединной поверхности радиуса R . Пьезослои (актуаторы) изготов-
лены из противоположно поляризованной по толщине вязкоупругой пьезокерамики с
одинаковыми свойствами, за исключением пьезоконстант, которые имеют противопо-
ложные знаки. Для конкретности принимается, что внутренний пьезослой характери-
зуется пьезомодулем 31d+ , а внешний 31d− .
Рассмотрим два типа конструкции актуаторов. Первый, когда актуаторы выпол-
нены в виде кольцевых электродированных накладок с координатами 1 2,α α , которые
частично покрывают цилиндрические поверхности пассивного слоя оболочки
1 2(0 )Lα α α≤ ≤ ≤ ≤ . При этом оболочка вдоль образующей будет конструктивно
неоднородной. В другом типе пьезоактуаторов пьезослои полностью покрывают ци-
линдрические поверхности пассивного слоя. На поверхности пьезослоев нанесены
сплошные электроды, которые бесконечно тонкими разрезами с координатами 1 2,α α
разделены на электродированные участки. Электроды, контактирующие с поверхно-
стями пассивного слоя, поддерживаются при нулевом потенциале.
Оболочка нагружена поверхностным давлением ˆ ( )cos
z z
q q tα ω= , гармонически
изменяющемся во времени t с круговой частотой ω , близкой к резонансной. Для
компенсации этой нагрузки к внешним электродам актуатора с той же частотой в про-
тивоположной фазе подводится разность электрических потенциалов 0 1( / 2 )h hϕ + −
0 1( / 2 ) Re(2 )i t
A
h h V e
ω
ϕ− − − = с амплитудой
A
V , которую необходимо определить. Для
моделирования вязкоупругого поведения пассивного и пьезоактивного материалов
используется концепция комплексных характеристик, составляющие которых зависят
от температуры диссипативного разогрева [3].
Для вышерассмотренной трехслойной оболочки принимается, что для механиче-
ских переменных справедливы по всему пакету слоев гипотезы Кирхгофа – Лява. Для
электрических полевых величин принято, что в пьезоактивных слоях составляющими
векторов индукции ,D D
α θ
и напряженности ,E E
α θ
электрического поля можно пре-
небречь. Тогда из уравнений электростатики вытекает, что нормальные составляющие
векторов индукции не зависят от толщинной координаты ( const)
z
D = . В виду малой
относительной толщины пьезонакладок и большой теплопроводности их материала по
сравнению с материалом пассивного слоя температура диссипативного разогрева при-
нимается постоянной по толщине пакета.
На основании принятых предположений относительно электротермомеханичес-
ких величин задача об электромеханических гармонических колебаниях рассматри-
ваемой оболочки относительно комплексных амплитудных величин сводится к реше-
нию: уравнений движения (множитель i t
e
ω опускается) [3]:
55
2 21 1 2
1
ˆ ˆ0; 0; 0;
dT dM dQ T
u Q w q
d d d R
ρω ρω
α α α
+ = − = − + + = (1)
определяющих соотношений между усилиями, моментами и параметрами дефор-
маций
1 11 12 2 12 11
1 11 2 12
; ;
; ;
E E
T C C T C C
M D M M D M
α θ α θ
α α
ε ε ε ε
κ κ
= + = +
= + = +
(2)
выражений параметров деформаций через амплитуды перемещений
1
1; ; ; .
ddu w dw
d R d d
α θ α
ϑ
ε ε κ ϑ
α α α
= = = = − (3)
В уравнениях (1) – (3) введены следующие обозначения:
3
3 2 30
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 33 1( 2 ); [ 2 (4 6 3 ) 2 ];
12
E E
k k k k k k
h
C h c c D c cδ δ δ δ γ δ= + = + + + +
12
11 12 12 11 122 2
11 11
2 2
2 231 31 31
31 33 33 33
3311 11 33
1
; ; ; ; ;
(1 ) 1
2
; ; (1 ); ;
(1 ) (1 )
E
E E E
E EE E
E
T
p pE E T
E E
s E
c c c c c E
s s
d d b
b k b k
bs s
ν ν ν
ν ν
ε γ
ν ε ν
= = − = = =
− −
= = = − =
− −
(4)
0 1 31 1 1 0 1 0
ˆ(1 ) ; / ; 2 ;
E A
M h b V h h h hδ δ ρ ρ ρ
∗
= − + = = +
1 1 1 31 31 31 33 33 33(1 ), (1 ), (1 )E s d T
k k k l
s s i d d i i
ε
δ δ ε ε δ′ ′ ′= − = − = − – соответственно, зависящие от
температуры комплексные податливости, пьезомодуль и диэлектрическая проницае-
мость в пьезоэлектрикe (k = 1, 2); E E iE′ ′′= + – зависящий от температуры коэффи-
циент вязкоупругости и constν = коэффициент Пуассона пассивного материала;
,w w iw u u iu′ ′′ ′ ′′= + = + – комплексные амплитуды прогиба и осевого перемещения,
соответственно; ,ρ ρ
∗
– удельные плотности пассивного и пьезоактивного материа-
лов. Здесь и далее применяются стандартные обозначения комплексных величин:
2 2 1/2, | | ( ) , 1.a a ia a a a i′ ′′ ′ ′′= + = + = −
Для решения краевой задачи к уравнениям (1) – (3) необходимо присоединить ме-
ханические граничные условия. Ниже рассмотрим случай свободного смещения обо-
лочки в продольном направлении при жестком и жестко – шарнирном закреплении ее
торцов в поперечном направлении. Соответственно, граничные условия имеют сле-
дующий вид:
1 10; 0; 0T w ϑ= = = при 0, Lα α= = ; (5)
1 10; 0; 0T w ϑ= = = при 0α = ; 1 10; 0; 0T w M= = = при Lα = . (6)
При учете гистерезисных потерь в пассивном и пьезоактивном материалах урав-
нения гармонических колебаний оболочки (1) – (6) необходимо дополнить уравнени-
ем энергии для расчета температуры диссипативного разогрева. Для рассматриваемой
оболочки усредненное по толщине пакета и за период колебаний нестационарное
уравнение энергии имеет вид
2
2
21 1
( ) ,n
s
T T
T T W
a t h h
α
λ λα
∂ ∂
= − − +
∂ ∂
(7)
56
где 1 02 ;
n
h h h α= + − коэффициент теплообмена на внешних поверхностях z =
0 1( / 2 )h h= ± + ; λ − усредненный коэффициент теплопроводности; a − коэффициент
температуропроводности;
s
T − температура внешней среды.
Диссипативная функция для составной вязкоупругой оболочки с пьезоэлектричес-
ким актуатором определяется по формуле [3]
2 2 2 2 2 2
11 12 11
1 2 2
31 0 1 33 1
[ ( ) 2 ( ) ( )
2
2 ( )( ) 2 ( ) / )],
A A A A
W C e e e e C e e e e D
b h h V V b V V h
α α θ θ α θ α θ α α
α α
ω
κ κ
κ κ
′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′= + + + + + + + −
′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′− + + + +
(8)
где 11 12 11 31 33, , , ,C C D b b′′ ′′ ′′ ′′ ′′ – мнимые составляющие жесткостных модулей (4).
Граничные условия на контурах 0, Lα α= = и начальное условие для уравнения
теплопроводности (7), (8) таковы:
0,
0( ) ( 0, ); ( 0),
L
s
T
T T L T T t
α
α
α λ
∂
= ± − = = =
∂
(9)
где 0 ,
L
α α – коэффициенты теплообмена на торцевых поверхностях оболочки.
2. Построение решения задачи.
Для численного решения поставленной задачи уравнения гармонических колеба-
ний (1) – (3) после некоторых преобразований представим в форме обыкновенных
дифференциальных уравнений нормального вида относительно комплексных иско-
мых величин 1 1 1 1, , , , ,T Q M u w ϑ в таком виде:
2
2 21 1
1 112
1
1 1
1
1 1
1
ˆ ˆ; ;
; ;
; ,
c c
z
c
c
D D E
dT dQ
u T C w q
d d R R
dM du
Q J T w
d d R
ddw
J M J M
d d
ν ν
ρω ρω
α α
ν
α α
ϑ
ϑ
α α
−
= − = + − −
= = −
= − = −
(10)
где 11 11 12 111/ ; 1/ ; / .
c D c
J C J D C Cν= = =
При учете температурной зависимости свойств материалов данной оболочки
уравнения электромеханики (10) с граничными условиями (5), (6) и уравнение тепло-
проводности (7) – (9) являются взаимосвязанными и нелинейными. Для их решения
используется метод пошагового интегрирования во времени [3]. При этом на каждом
временном шаге t∆ комплекснозначная система уравнений электромеханики (10)
при граничных условиях (5), (6) интегрируется численным методом дискретной орто-
гонализации [2] с использованием типовой программы для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений [9]. На первом шаге решается задача при изотермиче-
ских электромеханических характеристиках материалов. После вычисления диссипа-
тивной функции (8) задача теплопроводности (7) – (9) решается методом конечных
разностей с использованием явной схемы. Затем, в зависимости от распределения
температуры, вычисляются жесткостные характеристики (4) и процесс повторяется на
следующем временном интервале. При численной реализации данного подхода ис-
пользованы безразмерные параметры пространственной /x Lα= и временной
2/at Lτ = координат, а также параметры теплообмена ,0, ,0, / .
n L n L
Lγ α λ=
Рассмотрены три способа возбуждения вынужденных колебаний оболочки. Со-
гласно первому оболочка нагружена равномерным поверхностным давлением 0.z
q q=
57
При втором способе к электродам актуатора подводится разность электрических по-
тенциалов с амплитудой .
A
V± При третьем комбинированном способе нагружения
оболочка находится под воздействием гармонического давления 0q и с целью его
компенсации с той же частотой в противофазе к внешним электродам актуатора под-
водится разность потенциалов 2 .
A
V
С целью определения значения
A
V для компенсации механической нагрузки 0q
зависимость между ними выбирается в виде линейного закона
0( )
A A
V k q= ∆ , (11)
в котором
A
k – коэффициент управления; 2 1( ) / Lα α∆ = − – безразмерная ширина
актуатора.
Коэффициент
A
k , по аналогии с работами [5, 17], определяется как отношение
рассчитанных на частоте линейного резонанса максимальной амплитуды прогиба
1
maxp
w при единичной механической нагрузке 0( 1Па, 0)
A
q V= = к максимальному
прогибу
1
maxE
w при подводе к актуатору единичного электрического потенциала
0( 1 , 0, 0)
A A
V B V q′ ′′= = = , так что
1 1
max max/
A p E
k w w= . (12)
Таким образом, коэффициент
A
k характеризует величину электрического потен-
циала, которую необходимо подвести к электродам актуатора для компенсации еди-
ничной механической нагрузки. Наиболее эффективным (оптимальным) будет актуа-
тор таких размеров ∆ , при которых электрическое нагружение приводит к реализа-
ции максимальной амплитуды прогибов. Такой актуатор позволяет компенсировать
механическую нагрузку наименьшим значением амплитуды потенциала, подведенным
к внешним электродам актуатора. При этом коэффициент
A
k будет минимальным.
3. Числовые результаты и их анализ.
Результаты расчетов представим для оболочки с пьезоактуаторами – накладками
и пьезоактуаторами с разрезными электродами срединно-кольцевой конфигурации
ширины ∆ . Пассивный слой оболочки выполнен из полимера [8], а пьезоактивные
слои – из пьезокерамики ЦТСтБС – 2 [1]. Температурные аппроксимации электроме-
ханических модулей, удельные плотности и тепловые коэффициенты указанных ма-
териалов приведены в работах [5, 17]. Рассмотрена оболочка радиуса 0,1мR = , дли-
ны 0,2мL = и толщины 0 0,04мh = , на граничных поверхностях которой заданы ус-
ловия конвективного теплообмена с коэффициентами 0 0,851.
n L
γ γ γ= = = Поскольку
для рассматриваемой оболочки реализуются преимущественно изгибные колебания,
расчеты проводились для наиболее энергоемкой первой моды.
На рис. 1, a, б для оболочки с жестко закрепленными торцами (5) в зависимости
от параметра ширины актуатора ∆ показаны кривые 1 – 4 изменения первой резо-
нансной частоты изгибных колебаний пластинки 5 110 cω ω
− −
= ⋅% (штрих-пунктирные
линии) и рассчитанных на этих частотах максимальных амплитуд прогибов
1 6
(0,5) 10
E E
w w м= ⋅% при подводе к электродам актуатора электрического потенциала
01 ; 0; 0
A A
V B V q′ ′′= = = (сплошные линии) и
1 8
(0,5) 10 м
p p
w w= ⋅% при механическом
нагружении с амплитудой 0 1Па; 0
A A
q V V′ ′′= = = (штриховые линии) для параметров
относительной толщины актуатора 3 2 1
1 0; 0,25 10 ; 0,25 10 ; 0,25 10δ
− − −
= ⋅ ⋅ ⋅ , соответственно.
При этом результаты, представленные на рис. 1, а, получены для случая актуаторов –
58
пьезонакладок, а на рис. 1, б – для
актуаторов с разрезными электрода-
ми. Электроды такого актуатора
вне области ∆ приложения потен-
циала – закорочены ( 0)
A
V = . Зави-
симости коэффициента управления
210 , В/Па
a a
k k= ⋅
% (12) при выше-
указанных параметрах толщины 1δ
показаны кривыми 1 – 4 на рис. 1, в, г
для актуаторов – пьезонакладок и
актуаторов с разрезными электро-
дами, соответственно. Для актуа-
торов с разрезными электродами
кривые 1 – 4 зависимостей ( )
a
k ∆
%
совпадают между собой.
Отметим, что кривые 1, 2, рас-
считанные для параметров 1 0δ = и
3
1 0,25 10δ
−
= ⋅ , совпадают между
собой и с результатами расчетов,
полученными на основе аналити-
ческого решения задачи [6]. Кроме
того, при указанных условиях за-
крепления торцов оболочки в сред-
ней точке ее длины ( 0,5)x = про-
гибы являются максимальными и
ширина актуатора выбирается так,
чтобы его центр совпадал с этой
точкой.
Из рис. 1, а видно, что рост от-
носительной толщины 1δ пьезоак-
туатора – накладки количественно
и качественно влияет на зависимо-
сти собственной частоты ω , мак-
симальных прогибов
E
w и коэф-
фициента управления
a
k от пара-
метра ∆ ширины актуатора, сме-
щая максимумы
E
w% и минимумы
a
k
% в сторону увеличения значений
∆ . Согласно проведенным числен-
ным расчетам и на основании ана-
литического решения [7] для опти-
мального актуатора параметр ши-
рины 0,577.∆ =
В случае жестко-шарнирного закрепления торцов (6) рассматриваемой оболочки
аналогичные результаты представлены на рис. 2. При этом ширина кольцевого актуа-
тора ∆ выбиралась так, чтобы ее средина совпадала с точкой 0,58x = (сплошные
кривые), поскольку прогибы первой моды изгибных колебаний оболочки достигают
максимальных значений в этой точке. Результаты, когда средина ширины актуатора
совпадает со срединой длины оболочки ( 0,5)x = , представлены пунктирными кри-
Рис. 1
Рис. 2
59
выми 1 – 4. Сравнение между собой результатов, представленных сплошными и пунк-
тирными кривыми, подтверждает, что оптимальным будет актуатор, центр ширины
которого совпадает с точкой продольной координаты, в которой достигаются макси-
мальные прогибы ( 0,58x = ). Параметр ширины оптимального актуатора 0,7∆ ≅
(сплошные кривые; рис. 2, г).
Числовые результаты, полученные для актуаторов–пьезонакладок (рис. 1, а, рис. 2, а)
и актуаторов с разрезными электродами (рис. 1, б, рис. 2, б) указывают на предпочти-
тельность актуаторов второго типа. При таком типе актуаторов собственная частота
не зависит от его ширины (штрих-пунктирные кривые), а толщина пьезоактивных
элементов практически не влияет на величину коэффициента управления
a
k и не из-
меняет характер его зависимости от параметра ∆ (кривые 1 – 4 на рис. 1, г и рис. 2, г).
Анализ результатов, представленных на рис. 1, 2, показывает, что при активном
демпфировании рассматриваемых оболочек механические условия закрепления их
торцов заметно влияет на показатели электрического потенциала, компенсирующего
механическую нагрузку, оптимальные геометрические размеры и место расположения
актуаторов на поверхностях оболочки.
Для принятых размеров оболочки с жестко защемленными торцами (5) и актуато-
ром ширины 0,5∆ = с разрезными электродами, нагруженной поверхностным давле-
нием амплитуды 4
0 10 Паq = , амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) прогибов
и температурно-частотные характеристики (ТЧХ) диссипативного разогрева в сред-
ней точке 0,5x = показаны кривыми 1 – 4 на рис. 3, 4, соответственно. Кривые
1 – 4 отвечают вышерассмотренным значениям параметра 1δ , соответственно. При
этом штриховые кривые рассчитаны при изотермических характеристиках 0( )T T=
пассивного и пьезоактивного материалов, а сплошные – с учетом их зависимости от
температуры диссипативного разогрева. Штрих-пунктирные кривые 1 – 4 рассчитаны
при противофазном нагружении оболочки гармоническими давлением 4
0 10 Паq = и
подводе к внешним электродам пьезоактуатора соответствующего значения потен-
циала
A
V . Значения
A
V вычислялись по формуле (11), в которой для рассматривае-
мых параметров толщины 1δ рассчитанные по формуле (12) коэффициенты управле-
ния 210 0,4221; 0, 4238; 0, 4225; 0, 4139.
a
k ⋅ = С этими значениями электрических по-
тенциалов
A
V на электродах актуатора проведены расчеты АЧХ и ТЧХ при отсутст-
вии механического нагружения 0( 0)q = . В этом случае кривые АЧХ и ТЧХ в масшта-
бе графиков совпали с кривыми 1 – 4 на рис. 3, 4 как при изотермических модулях,
так и с учетом их температурной зависимости.
Анализ кривых на рис. 3, 4 показывает, что увеличение толщины пьезоактуатора
сопровождается ростом собственных частот, снижением максимума амплитуд проги-
бов и увеличением температуры саморазогрева при вынужденных колебаниях рас-
Рис. 4
Рис. 3
60
сматриваемой оболочки. Учет температурной зависимости свойств материалов
(сплошные кривые) характеризуется известным эффектом [3] смещения резонансных
частот в сторону уменьшения и превращением АЧХ и ТЧХ в характеристики мягкого
типа. Активное демпфирование вынужденных колебаний в области резонансных час-
тот оболочки путем подвода к электродам актуатора соответствующего электрическо-
го потенциала в противофазе к механической нагрузке приводит к снижению проги-
бов на два – три порядка (штрих-пунктирные линии) и снижению температуры до
уровня начальной. Расчеты показали, что при учете температурной зависимостей мо-
дулей пьезоматериала температурные эффекты слабо влияют на показатель пьезоак-
туатора
A
V , который может быть рассчитан на основании изотермического подхода
по формулам (11), (12). Однако расчет температурного поля необходим, поскольку в
зависимости от уровня нагружения и условий теплообмена температура саморазогре-
ва может достигнуть температуры точки Кюри, при которой актуатор теряет функ-
циональное предназначение из-за деполяризации пьезоматериала.
Заключение.
Исследовано влияние условий механического закрепления торцов оболочки, гео-
метрических размеров пьезоактуатора и температуры диссипативного разогрева на
активное демпфирование вынужденных колебаний цилиндрической оболочки и пока-
затель актуатора при действии равномерного поперечного моногармонического дав-
ления. Показано, что температурные эффекты слабо влияют на показатель актуатора.
Р Е З ЮМ Е . Розглянуто зв'язану задачу про вимушені осесиметричні коливання та дисипати-
вний розігрів в'язкопружних циліндричних оболонок з п'єзокерамічними актуаторами при моногар-
монічному електромеханічному навантаженні. Враховано температурну залежність комплексних
характеристик пасивного і п'єзоактивного матеріалів. Зв'зана нелінійна задача електротермомеханіки
розв'язується методом крокового за часом інтегрування з використанням на кожній ітерації методу
дискретної ортогоналізації для інтегрування рівнянь механіки і явної схеми методу скінченних різ-
ниць при розв'язанні рівняння теплопровідності. Досліджено вплив умов механічного закріплення
торців оболонки, геометричних розмірів п'єзоактуатора та температури дисипативного розігріву на
активне демпфірування вимушених коливань циліндричної оболонки і показник актуатора при дії
рівномірного поперечного моногармонічного тиску.
1. Болкисев А.М., Карлаш В.Л., Шульга Н.А. О зависимости свойств пьезокерамических материалов
от температуры // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 7. – С. 70 – 74.
2. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, вып. 3. – С. 171 – 174.
3. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5-ти т.; Т. 4.
Электротермовязкоупругость. – К.: Наук. думка, 1988. – 320 с.
4. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Козлов В.И. Влияние температуры диссипативного разогрева на
активное демпфирование вынужденных колебаний неупругих тонких пластин при помощи пье-
зоэлектрических сенсоров и актуаторов // Актуальні аспекти фізико-механічних досліджень.
Акустика і хвилі. – К.: Наук. думка, 2007. – С. 127 – 152.
5. Киричок І.Ф., П'ятецька О.В., Карнаухов М.В. Згинні коливання та дисипативний розігрів кільце-
вої в'язкопружної пластинки з п'єзоелектричними актуаторами при електромеханічному моно-
гармонічному навантаженні // Вісн. Київ. ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – Вип. 2. –
С. 84 – 92.
6. Козлов В.І., Карнаухова Т.В., ПересунькоМ.В. Демпфірування вимушених осесиметричних коли-
вань шарнірно опертої в'язкопружної циліндричної оболонки за допомогою п’єзоелктричних ак-
туаторів // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки. – 2007. – № 4. – С. 84 – 87.
7. Козлов В.І., Карнаухова Т.В., Пересуньмо М.В. Демпфірування вимушених осесиметричних коли-
вань жорстко закріпленої в'язкопружної циліндричної оболонки за допомогою п'єзоелктричних
актуаторів // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки. – 2008. – № 1. – С. 142 – 145.
61
8. Нестеренко Н.П., Червинко О.П., Сенченков И.К. Моделирование ультразвукового разогрева стру-
ктурных элементов полимерных волокнистых композитов при нормальном нагружении // Вест.
Нац. техн. ун-та «ХПИ». – 2002. – № 9. – С. 3 – 8.
9. Шинкарь А.И., Китайгородский А.Б., Борщевская С.К. Решение линейных краевых задач для сис-
тем обыкновенных дифференциальных уравнений // Алгоритмы и программы решения задач
механики твердого деформируемого тела. – К.: Наук. думка. – 1976. – C. 157 – 170.
11. Gabbert U., Tzou H.S. Smart structures and structronic systems. – Docdrect: Kluwer Academic Publish-
ers, 2001. – 384 p.
12. Karnaukhov V.G., Kirichok I.F., Karnaukhov M.B. The Influence of dissipative heating on active vibra-
tion damping of viscoelastic plates // J. Eng. Math. – 2008. – 61, N 2 – 4. – P. 399 – 411.
13. Karnaukhova T.V., Piatetskaya E.V. Basic Equations for Termoviscoelastic Plates with Distributed
Actuators under Monoharmonic Loading // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 200 – 214.
14. Karnaukhova T.V., Piatetskaya E.V. Damping the Resonant Flexural Vibration of a Hinget Plate with
Actuators // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 4. – P. 448 –456.
15. Karnaukhova T.V., Piatetskaya E.V. Resonant Vibrations of a Hinged Viscoelastic Rectangular Plate
// Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 7. – P. 762 – 771.
16. Kirichok I.F. Flexural Vibrations Heating of a Ring Plate with Thin Piezoceramic Pads under Single -
Freguency Electromechanical Loading // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, № 2. – P. 200 – 207.
17. Kirichok I.F. Resonant Vibration and Heating of Ring Plates with Piezoactuators under Electromechani-
cal Loading and Shear Deformation // Int. Apll. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 215 – 222.
18. Kirichok I.F., Karnaukhov M.V. Single – Frequency Vibrations and Vibrational Heating of a Piezoelec-
tric Circular Sandwich Plate under Monoharmonic Electromechanical Loading // Int. Apll. Mech. –
2008. – 44, N 1. – P. 65 – 72.
19. Kirichok I.F., Karnaukhov M.V. Monoharmonic Vibrations and Vibrational Heating of a Electrome-
chanically Loaded Circular Plate with Piezoelectric Actuators to Shear Strain // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 9. – P. 1041 – 1049.
20. Tzou H.S., Anderson G.L.(Eds.) Intelligent structural Systems. – Dordrecht: Kluwer Academic Publisher,
1992. – 453 p.
21. Tzou H.S. Piezoelectric Shells (Distributed Sensing and Control of Continua). – Dordrecht: Kluwer Aca-
demic Publisher, 1993. – 400 p.
Поступила 02.12.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|