О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки
By the multi-scale method, the equations for three nonlinear approximations of bending-gravitational oscillations of thin elastic plate are obtained. The plate is floating over the surface of homogeneous ideal non-compressive fluid of finite depth. The equations take into account the compression f...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95450 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки / А.Е. Букатов, А.А. Букатов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 62-70. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95450 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954502016-02-27T03:01:34Z О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки Букатов, А.Е. Букатов, А.А. By the multi-scale method, the equations for three nonlinear approximations of bending-gravitational oscillations of thin elastic plate are obtained. The plate is floating over the surface of homogeneous ideal non-compressive fluid of finite depth. The equations take into account the compression force and nonlinearity of acceleration of plate vertical shears, when the plate being bent. Basing on the equations, the asymptotic expansions are built up to the third degree of smallness for the plate bending and the potential of fluid motion, which are initiated by the running periodic wave of finite amplitude. A dependence of oscillation characteristics on the plate elastic modulus and thickness, shear force, the initial wave length and steepness is considered. Методом багатьох масштабів отримано рівняння для трьох нелінійних наближень вигинно-гравітаційних коливань тонкої пружної пластинки, що плаває на поверхні однорідної ідеальної нестисливої рідини скінченої глибини. Вони враховують поздовжнє зусилля стиску та нелінійність прискорення вертикальних зсувів пластинки при її вигині. На основі цих рівнянь побудовано асимптотичні розкладання до величини третього порядку малості для вигину пластинки й потенціалу швидкості руху рідини, які сформовані періодичною біжучою хвилею скінченної амплітуди. Розглянуто залежність характеристик коливань від модуля пружності й товщини пластинки, величини зусилля стиску, довжини й крутості хвилі початкової гармоніки. 2010 Article О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки / А.Е. Букатов, А.А. Букатов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 62-70. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95450 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
By the multi-scale method, the equations for three nonlinear approximations of bending-gravitational oscillations of thin elastic plate are obtained. The plate is floating over the surface of homogeneous ideal non-compressive fluid of finite depth. The equations take
into account the compression force and nonlinearity of acceleration of plate vertical shears, when the plate being bent. Basing on the equations, the asymptotic expansions are built up to the third degree of smallness for the plate bending and the potential of fluid motion, which are initiated by the running periodic wave of finite amplitude. A dependence of oscillation characteristics on the plate elastic modulus and thickness, shear force, the initial
wave length and steepness is considered. |
| format |
Article |
| author |
Букатов, А.Е. Букатов, А.А. |
| spellingShingle |
Букатов, А.Е. Букатов, А.А. О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки Прикладная механика |
| author_facet |
Букатов, А.Е. Букатов, А.А. |
| author_sort |
Букатов, А.Е. |
| title |
О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки |
| title_short |
О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки |
| title_full |
О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки |
| title_fullStr |
О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки |
| title_full_unstemmed |
О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки |
| title_sort |
о нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95450 |
| citation_txt |
О нелинейных колебаниях плавающей упругой пластинки / А.Е. Букатов, А.А. Букатов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 62-70. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT bukatovae onelinejnyhkolebaniâhplavaûŝejuprugojplastinki AT bukatovaa onelinejnyhkolebaniâhplavaûŝejuprugojplastinki |
| first_indexed |
2025-07-07T02:14:59Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:14:59Z |
| _version_ |
1836952584330412032 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 10
62 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 10
А . Е . Б у к а т о в , А . А .Б у к а т о в
О НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
ПЛАВАЮЩЕЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ
Морской гидрофизический институт НАН Украины,
ул. Капитанская 2, 99011, Севастополь, Украина; e-mail: newisland@list.ru
Abstract: By the multi-scale method, the equations for three nonlinear approximations
of bending-gravitational oscillations of thin elastic plate are obtained. The plate is floating
over the surface of homogeneous ideal non-compressive fluid of finite depth. The equations
take into account the compression force and nonlinearity of acceleration of plate vertical
shears, when the plate being bent. Basing on the equations, the asymptotic expansions are
built up to the third degree of smallness for the plate bending and the potential of fluid mo-
tion, which are initiated by the running periodic wave of finite amplitude. A dependence of
oscillation characteristics on the plate elastic modulus and thickness, shear force, the initial
wave length and steepness is considered.
Key words: thin elastic plate, fluid of finite depth, bending-gravitational oscillations,
initial wave length and steepness.
Введение.
В линейной постановке исследования колебаний упругой плавающей пластинки
проведено при отсутствии [2, 7, 8, 11, 14] и при включении [1, 6, 10, 12 – 14] сжи-
мающего усилия. Исследованию нелинейных колебаний абсолютно гибкой плаваю-
щей пластинки посвящена работа [9]. Колебания конечной амплитуды без учета не-
линейности ускорения вертикальных смещений плавающей упругой пластинки, обу-
словленных ее изгибом, рассмотрены в [3, 4].
В настоящей работе рассмотрены колебания продольно сжатой упругой пластин-
ки, плавающей на поверхности однородной идеальной несжимаемой жидкости посто-
янной глубины, формируемые бегущей периодической волной конечной амплитуды.
Исследование выполнено на основе метода многомасштабных асимптотических раз-
ложений [5] с учетом нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки.
§1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Пусть на поверхности однородной идеальной несжимаемой жидкости постоянной
глубины плавает тонкая упругая пластинка. В горизонтальных направлениях пла-
стинка и жидкость неограничены. Рассмотрим нелинейные колебания пластинки,
предполагая движение жидкости потенциальным. В безразмерных величинах 1,x kx=
1 1,z kz t kg t= = , ,kζ ζ
∗
= 2( )k kgϕ ϕ
∗
= , где k – волновое число, задача заключа-
ется в решении уравнения Лапласа
0 ( , )
xx zz
x H zϕ ϕ ζ+ = −∞ < < ∞ − ≤ ≤ (1.1)
для потенциала скорости ( , , )x z tϕ с граничными условиями:
на поверхности пластинка – жидкость ( )z ζ=
24 2
4 2
1 14 2
1
;
2
D k Q k k p
z x tx x
ζ ζ ϕ ϕ
κ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + − =
∂ ∂ ∂∂ ∂
(1.2)
63
2 2
1
;
2
p
t x z
ϕ ϕ ϕ
ζ
∂ ∂ ∂
= − − +
∂ ∂ ∂
на дне ( )z H= − бассейна –
0.
z
ϕ∂
=
∂
(1.3)
В начальный момент времени (t = 0) имеем условия
( ); 0.f x
t
ϕ
ζ
∂
= =
∂
(1.4)
В (1.2) – (1.4) приняты обозначения
3
1
1 12
; ; ; ;
12(1 )
D Eh Q
D D Q h
g g
ρ
κ
ρ ρ ρν
= = = =
−
Е, h, ρ1, ν – модуль нормальной упругости, толщина, плотность, коэффициент Пуассо-
на пластинки; Q – продольное сжимающее усилие, приходящееся на единицу ширины
пластинки; ( , )x tζ – прогиб пластинки или возвышение поверхности пластинка –
жидкость; ρ – плотность жидкости; g – ускорение силы тяжести. Потенциал скоро-
сти и прогиб пластинки связаны кинематическим условием
0.
t x x z
ζ ζ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂
− + =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.5)
В динамическом условии (1.2) выражение с множителем κ представляет собой инерцию
вертикальных смещений пластинки. Первое слагаемое в скобках этого выражения
характеризует нелинейность вертикального ускорения пластинки, не учтенную в [3, 4].
§2. Уравнения для нелинейных приближений.
Для решение задачи (1.1) – (1.5), представленной в безразмерных величинах, ис-
пользуем метод многих масштабов [5]. Введем две новые медленно меняющиеся по
сравнению с 0t Т= переменные 2
1 2,T t T tε ε= = , где ε малое, но конечное, и предпо-
ложим справедливость разложений
2 3
0 0 0 0 1 2 3; ; ; ( );f f Oζ εζ ϕ εϕ ε ζ ζ εζ ε ζ ε= = = = + + + (2.1)
2 3 2 3
0 1 2 3 0 1 2 3( ); ( ).O f f f f Oϕ ϕ εϕ ε ϕ ε ε ε ε= + + + = + + +
Подставив φ из (2.1) в (1.1) и (1.3), с точностью до величин третьего порядка малости
получим равенства
2 2
2 3 2 3 31 2
1 2 3 2 2
0; 0; .
z z z x z
ϕϕ ϕ
ε ϕ ε ϕ ε ϕ ε ε ε
∂∂ ∂ ∂ ∂
∆ + ∆ + ∆ = + + = ∆ = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Рассмотрим динамическое (1.2), кинематическое (1.5) и начальное (1.4) условия.
Представим потенциал скорости поверхности пластинка – жидкость 0z ε ζ= в виде
2 2
0 0 0
1
( , , ) ( , , 0) ( , , 0) ( , , 0) ... .
2
z zz
x t x t x t x tϕ ε ζ ϕ ε ζ ϕ ε ζ ϕ= + + + (2.2)
Подставим 0 0 0, , ( , , )f f x tζ ε ζ ε ϕ ε ζ= = и 0( , , )
z
x tϕ ε ζ в соответствующие условия
(1.2) и (1.5), принимая при этом, что по правилу дифференцирования сложной функ-
ции частная производная по времени определяется выражением
64
2
0 1 2
,
t T T T
ε ε
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
и учитывая зависимость 0ζ от х и t в (2.2). Тогда, собрав коэффициенты при одинако-
вых степенях ε и приравняв их нулю, получим уравнения
2 2
2 2
0 ( ; 0);n n
x H z
x z
ϕ ϕ∂ ∂
+ = −∞ < < ∞ − ≤ ≤
∂ ∂
(2.3)
4 2 2
4 2 *
1 14 2
0 0
( 0);n n n n
n n
D k Q k k F z
z T Tx x
ζ ζ ϕ ϕ
κ ζ
∂ ∂ ∂ ∂
+ − − + = =
∂ ∂ ∂∂ ∂
(2.4)
0
( 1, 2, 3);n n
n
L n
T z
ζ ϕ∂ ∂
+ = =
∂ ∂
(2.5)
0 ( );n
z H
z
ϕ∂
= = −
∂
(2.6)
0
( ); ; 0 ( 1, 2, 3)n
n n n
f x G t n
T
ζ
ζ
∂
= = = =
∂
(2.7)
для определения нелинейных приближений.
В равенствах (2.4) – (2.7) принято:
* 0 0
1 1 1 1; 0 ( 1, 2, 3);
n n n
F F F F F L G n= + = = = = =
2 22
1 1 1 1 1 1
2 1
0 1 0
1
;
2
F kN
T z T T z x z
ϕ ϕ ζ ϕ ϕ ϕ
ζ κ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 3 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 12 2 2
0 1 10
; ;N L
T T z x x Tz T z z
ζ ϕ ϕ ϕ ζ ϕ ϕ ζ
ζ ζ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
2
1 2 1 1 2 1 2
3 1 1 2 2 3
0 1 2
;F N N kN
T z T T x x z z
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ζ ζ κ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + − − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2 2 3
1 2 1 1 1 1 1 1
1 12 2
1 0 0 0
1
;
2
N
T z T z z x x T zz T z
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ζ ϕ ϕ
ζ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + − + − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
1 2 1 2 1 1 1
2
0 0 1
;N
T z z T T x x
ζ ϕ ϕ ζ ζ ζ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
4 3 2 2
2 1 1 1 2 1 1
3 1 4 1 2 53 2 2
0 1 20 0
1
;
2
N N N
T T z TT z T z z
ϕ ϕ ϕ ζ ζ ϕ
ζ ζ ζ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
3 3 3 2 2
2 1 1 1 1 2 2
4 52 3 2 2
0 0 10 1
; ;N N
T T z TT z z z T z
ϕ ζ ϕ ϕ ζ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + = +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
22
1 2 1 1 2 2 1 1 1
3 1 6 2 2
1 2
;L N
x x x x T T z xz
ϕ ζ ϕ ζ ϕ ζ ζ ϕ ζ
ζ ζ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + + − − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
65
2 2 3 2
01 1 2 1 1 1
6 1 22 3
1
; ;
2
N F k
x z x x z xz z
ζ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ζ κ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
2 2 2
0 1 2 1 1 1 2 1 1
3 1 7 2
;F k N
x z x x z x x z x z
ϕ ϕ ζ ϕ ϕ ϕ ζ ϕ
κ ζ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
2 3
1 1 1 1 1 2
7 2 32
1 2 1
; ; .N G G
x z x T T Tx z
ϕ ϕ ϕ ζ ζ ζ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = − = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
Отметим, что слагаемые 0 0
2 3, ,F F входящие в правые части динамических усло-
вий (2.4) для второго ( 2)n= и третьего ( 3)n= приближений, обусловлены учетом
нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки.
§3. Прогиб пластинки и потенциал скорости движения жидкости.
Уравнения (2.3) – (2.7) получены для общего случая неустановившихся колебаний
конечной амплитуды. Найдем решение этих уравнений в случае бегущих периодиче-
ских волн, задавая первое приближение ( 1 )n= прогиба пластинки (возвышения по-
верхности пластинка – жидкость) в форме волны
1 0 1 2cos ; ( , ),x T T Tζ θ θ τ β= = + + (3.1)
бегущей в отрицательном направлении оси х. Тогда из кинематического условия (2.5)
находим
1 sin ; 0.z
z
ϕ
τ θ
∂
= =
∂
(3.2)
Чтобы удовлетворить граничному условию (2.6) на дне бассейна, представим
1ϕ в виде
1 0ch( )sin .b z Hϕ θ= + (3.3)
После подстановки (3.3) в (3.2) получим 1
0 shb Hτ
−
= . Следовательно, имеют место
такие равенства:
1
1 1 1sin ; sh ch( ).b b H z Hϕ θ τ
−
= = + (3.4)
Из динамического условия (2.4) с учетом (3.1), (3.4) для колебаний в линейном при-
ближении найдем дисперсионное соотношение
( ) ( )
12 2 4
1 11 1 th th ,Q k D k k H Hτ κ
−
= − + + (3.5)
а выражение, определяющее 1 2( , )Т Тβ в (3.1), получим из последующих приближений.
Подставив 1ζ и 1ϕ в правые части уравнений (2.4), (2.5) для второго приближения
и решив задачу при 2,n = предполагая отсутствие основной гармоники, получаем
2 2 2 2cos 2 ; sin 2 ;a bζ θ ϕ θ= = (3.6)
2
2 2
2 2
2 2
3 ch2( )
; ;
4 th 4 ch2 th
z H
a b
H H H
τ η τν
µ µ
+
= = 2 (th cth 2 )th2 ;H H k Hη κ= − −
2 2 4
2 1 1(5th cth 2 ) 2(1 4 16 );H H k Q k D kν τ κ= − + − − +
2 4 2
2 1 1(1 4 16 )th2 2 (1 2 th ).Q k D k H k Hµ τ κ= − + − +
66
При этом оказывается, что функция θ не зависит от Т1, так как 2 2 ( )Тβ β= .
Полученные решения для первого (3.1), (3.4), (3.5) и второго (3.6) приближений
определяют правые части динамического (2.4) и кинематического (2.5) условий зада-
чи для третьего приближения ( 3).n = Исключив в них слагаемые, порождающие секу-
лярность, для 3ζ и 3ϕ имеем формулы
3 3 3 3cos3 ; sin 3 ;a bζ θ ϕ θ= =
2
3 3
3 3
3 3
ch3( )
; ,
3 ch3
z H
a b
H
τ η τν
µ µ
+
= =
в которых введены следующие обозначения:
2 2 4
3 1 2 2 3 1 2 1 1( 3 )th3 ; 3 (1 9 81 );l kl H l l l Q k D kη κ ν τ= − − = − − +
( )1 11 12 2 2
1 3 5
; 3cth 6cth2 cth cth2 ;
2 2 8
l k l l l a H H H Hκ= + = + − +
( )11 2
1 1 1
5cth2 cth cth 5cth2 cth ;
2 2 8
l a H H H H H
= − + − −
12 2
11 1 15
cth cth2 cth cth2 cth ;
2 2 8
l a H H H H H
= − + −
( ) ( )
2 4 2
3 1 11 9 81 th3 3 1 3 th3 ;Q k D k H k Hµ τ κ= − + − +
( )
1
0 2 0 3 4
1
; cth ;
2
T l l k Hβ τσ σ κ
− = = − +
3 2
1 1 3
(cth 2cth2 ) cth cth2 ;
2 2 8
l a H H H H= + − −
( )4 41 42 41 2
5 1 3
; cth2 cth cth cth2 cth ;
2 2 8
l k l l l a H H H H Hκ
= − = − + − −
42 2
1 1 5
cth cth2 cth cth2 cth
2 2 4
l a H H H H H
= + − −
.
В результате для определения прогиба пластинки ζ и потенциала скорости дви-
жения жидкости ϕ в безразмерных величинах до третьего порядка малости имеем
выражения
3
1
cos ;
n
n
n
a nζ ε θ
=
=∑
3
1
sin ;
n
n
n
b nϕ ε θ
=
=∑
2
0 1; (1 ); 1.x t aθ σ σ τ ε σ= + = + =
В размерных величинах ( / ,kζ ζ
∗
= 2/ ,kg kϕ ϕ
∗
= 1 ,x x k= 1 / ,z z k=
1 ,t t kg= ,akε = где а – амплитуда начальной гармоники) имеем формулы
2 3 2
2 3cos cos 2 cos3 ;a a ka a k aζ θ θ θ= + + (3.7)
2 3
1 2 3/ sin sin 2 sin 3 ;a g k b a kg b a k kg bϕ θ θ θ= + +
67
0 0 2 2
1 0 1(1 ) ; ;kx t a k kgθ σ σ σ σ σ τ= + + = =
(здесь и далее индекс 1 , ,у x z t и звездочка уς и ϕ опущены).
§4. Анализ результатов.
Полученное решение (3.7) справедливо вне малых окрестностей резонансных зна-
чений волнового числа k, являющихся положительными действительными корнями
1 k k= и 2 k k= уравнений 2 0µ = и 3 0,µ = соответственно. В приближении глубокой
воды ( 1 )kН >> эти уравнения принимают вид
4 2
1 12 (7 6 ) 2 3 1 0;D k k Q k kκ κ+ − − − =
4 2
1 13 (13 12 ) 3 4 1 0.D k k Q k kκ κ+ − − − =
Пренебрегая здесь слагаемыми, обусловленными инерцией пластинки ( 0),κ = прихо-
дим к равенствам
1 2 1 2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 2
1 1
14 3 9 156
; ,
14 78
Q Q D Q Q D
k k
D D
+ + + +
= =
а при отсутствии сжатия ( 0)Q = –
4 4
1 1 2 11 14 ; 1 39 .k D k D= =
В случае мелкой воды ( 1 )kH << резонансные значения 1k и 2k являются корнями
уравнений
4 2
1 1 14 5 0;HD k D k H Qκ κ+ − − = (3.8)
4 2
1 1 19 10 0,HD k D k H Qκ κ+ − − =
из решения которых получим
( ) ( )
1 2 1 2
1 1
1 2
1 1
16 95 5
1 1 ; 1 1 ,
8 25 9 25
H H Q H H Q
k k
H D H D
κ κ κ κ
κ κ
+ +
= + − = + −
а пренебрежение инерцией пластинки ( 0κ = в (3.8)) приводит к таким значениям:
1 1 1 2 1 1(5 ); (10 ).k Q D k Q D= =
В общем случае, результаты проведенных численных расчетов свидетельствуют о
том, что при фиксированной глубине жидкости значения 1k и 2k , являющиеся корнями
уравнений 1 0µ = и 2 0µ = , возрастают с уменьшением модуля упругости пластинки.
Увеличение сжимающего усилия приводит к их росту. Увеличение глубины жидкости
также обусловливает рост значений 1k и 2k . Однако, верхняя граница значений глу-
бины Н, где это влияние существенно, убывает с уменьшением модуля упругости, но
растет с уменьшением сжимающего усилия. При фиксированных Е и Q уменьшение
толщины пластинки сопровождается увеличением 1k и 2k .
Графики на рис. 1 иллюстрируют зависимость 1k (штриховые линии) и 2k (сплош-
ные линии) от толщины пластинки при 20 м.Н = Они получены при 1 / 0,87ρ ρ = ;
0,34,ν = соответствующих ледяной пластинке. Кривые 1 и 2 на рис. 1, а отвечают ве-
68
личинам модуля упругости 93·10 и 8 25·10 Н/м при 1 0,Q = а на рис. 1, б – величинам
1 0Q = и 1 1Q D= при 9 2 3·10 Н/м .Е = Изолинии значений 1k и 2k в плоскости 1,Н Q
при 0,5 мh = представлены, соответственно, на рис. 2, а и рис. 2, б, где 1 12Q D= =
2120м= .
Если пластинка абсолютно гибкая
( 0)Е = и 0,Q = то решение (3.7) для жид-
кости конечной глубины справедливо при
любых значениях волнового числа [9].
Численные расчеты распределений
высоты вертикального смещения поверх-
ности пластинка – жидкость (прогиба
пластинки) вдоль направления перемеще-
ния волны, выполненные по формулам
(3.7), показали, что структуру возмуще-
ний определяют не только цилиндриче-
ская жесткость пластинки и сжимающее
усилие, но и глубина жидкости, длина
( 2 / )kλ π= и крутизна ( )akε = волны
начальной основной гармоники. О влия-
нии этих параметров можно судить по
изменению вклада высших гармоник в
колебания, а следовательно, и вида про-
филя волны прогиба. Это иллюстрируют
графики на рис. 3, 4, построенные при
1 1 0 м; 70 c; 0,035 мН t k
−
= = = (рис. 3) и 1 20 м; 1 0 c; 0,133 мН t k
−
= = = (рис. 4) для тех
же ν и 1 / ,ρ ρ что и на рис. 1. Сплошные, штриховые и штрих-пунктирные линии
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
69
отвечают значениям Q1, равным 0, 1 1, 1,95D D при 9 2 3·10 Н/м , 0, 2 м; 1 м.Е h а= = =
Приведенные распределения ( )xζ свидетельствуют также о влиянии сжимающего
усилия на фазовую скорость волны изгиба пластинки. Для указанных параметров при
фиксированном модуле упругости Е она убывает с ростом сжимающего усилия Q
при любом 1 .k k≠ Отставание фазы (волна распространяется в отрицательном на-
правлении оси х ) обусловливается и увеличением модуля упругости при фиксиро-
ванном 1 1 0 и .Q k k≠ < Если 1 ,k k> то рост Е при заданном 1 0Q ≠ увеличивает фазо-
вую скорость. При отсутствии сжатия ( 0)Q = с ростом Е растет и величина фазовой
скорости волны изгиба при всех 1 .k k≠
Нелинейность ускорения вертикальных смещений пластинки обусловливает сдвиг
фазы колебаний в направлении движения волны изгиба и слабому увеличению их ам-
плитуды, если пластинка абсолютно гибкая ( 0).Е= В случае упругой пластинки
влияние нелинейности ускорения на фазу колебаний заметно проявляется при 1 .k k>
Оно выражается в отставании фазы как при отсутствии, так и при включении сжатия.
Причем это влияние убывает с увеличением длины волны изгиба начальной основной
гармоники.
Заключение.
Методом многих масштабов получены уравнения для трех нелинейных прибли-
жений решения задачи о колебании плавающей упругой пластинки, учитывающие
сжимающее усилие и нелинейность ускорения вертикальных смещений пластинки
при ее изгибе. В случае бегущей периодической волны конечной амплитуды построе-
ны асимптотические разложения, определяющие изгиб пластинки и потенциал скоро-
сти движения жидкости с точностью до величин третьего порядка малости. Эти раз-
ложения справедливы вне малых окрестностей двух резонансных значений волнового
числа. На примере ледяной пластинки выполнен количественный анализ зависимости
характеристик ее изгиба и резонансных значений волнового числа от толщины и мо-
дуля упругости пластинки, сжимающего усилия и глубины жидкости. Показано, что
изменение этих параметров влияет на фазовую скорость волны прогиба и величину
вклада высших гармоник в формирование колебаний, а следовательно, и на структуру
профиля волны прогиба.
Р Е З ЮМ Е . Методом багатьох масштабів отримано рівняння для трьох нелінійних наближень
вигинно-гравітаційних коливань тонкої пружної пластинки, що плаває на поверхні однорідної ідеа-
льної нестисливої рідини скінченої глибини. Вони враховують поздовжнє зусилля стиску та неліній-
ність прискорення вертикальних зсувів пластинки при її вигині. На основі цих рівнянь побудовано
асимптотичні розкладання до величини третього порядку малості для вигину пластинки й потенціалу
швидкості руху рідини, які сформовані періодичною біжучою хвилею скінченної амплітуди. Розгля-
нуто залежність характеристик коливань від модуля пружності й товщини пластинки, величини зу-
силля стиску, довжини й крутості хвилі початкової гармоніки.
1. Букатов А.Е. Влияние продольного сжатия на неустановившиеся колебания упругой пластинки,
плавающей на поверхности жидкости // Прикл. механика. – 1981. – 17, № 1. – С. 93 – 98.
2. Букатов А.Е., Черкесов Л.В. Неустановившиеся колебания упругой пластинки, плавающей на по-
верхности потока жидкости // Прикл. механика. – 1970. – 6, № 8. – С. 89 – 96.
3. Гладун О.М., Федосенко В.С. Нелинейные установившиеся колебания упругой пластины, плаваю-
щей на поверхности жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. –
1989. – № 3. – С. 146 – 154.
4. Гольдштейн Р.В., Марченко А.В. О длинных волнах в системе ледяной покров – жидкость при
наличии ледового сжатия // Электрофизические и физико-механические свойства льда: Сб. науч.
тр. / ГК СССР по гидрометеорологии. ААНИИ. – Л.: Гидрометеоиздат, 1989. – С. 188 – 205.
70
5. Найфе А.Х. Методы возмущений. – М.: Мир, 1976. – 455 с.
6. Пожуев В.И., Полякова Н.П. Нестационарная задача о воздействии подвижной нагрузки на ледя-
ной покров // Строит. механика и расчет сооружений. – 1990. – № 6. – С. 46 – 50.
7. Ткаченко В.А., Яковлев В.В. Неустановившиеся изгибно-гравитационные волны в системе жид-
кость – пластинка // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 3. – С. 70 – 75.
8. Хейсин Д.Е. Нестационарная задача о колебаниях бесконечной пластинки, плавающей на поверх-
ности идеальной жидкости // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. – 1962. – № 1. –
С. 163 – 167.
9. Bukatov A.E., Bukatov A.A. Propagation of surface wave of finite amplitude in a basin with floating bro-
ken ice // Int. J. Offshore and Polar Eng. – 1999. – 9, N 3. – P. 161 – 166.
10. Bukatov A.E., Zharkov V.V. Formation of the ice cover’s flexural oscillations by action of surface and
internal ship waves. – Part 1. Surface waves // Int. J. Offshore and Polar Eng. – 1997. – 7, N 1. –
P. 1 – 12.
11. Daffy D.G. The response of floating ice to a moving, vibrating load // Cold Regions Sci. and Techn. –
1991. – 20. – P. 51 – 64.
12. Kerr A.D. The critical velocities of a moving on a floating ice plate that is subjected to in – plane forces
// Cold Regions Sci. and Techn. – 1983. – 6. – P. 267 – 276.
13. Schulkes R.M.S.M., Hosking R.J., Sneyd A.D. Waves due to a steadily moving source on a floating ice
plate. – Part 2 // J. Fluid Mech. – 1987. – 180. – P. 297 – 318.
14. Squire V.A., Hosking R.J., Kerr A.D., Langhorne P.J. Moving loads on ice plates. – Dordrecht: Kluwer,
1996. – 250 p.
Поступила 15.06.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|