Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях
An equation of the finite element method, which describes the large strains in the tensor-matrix form, is proposed. The equation is simplified and then modified with aim to describe the deformation of bodies from incompressible materials. The results of test analysis are given.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95451 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях / В.В. Чехов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 71-77. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95451 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954512016-02-27T03:01:58Z Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях Чехов, В.В. An equation of the finite element method, which describes the large strains in the tensor-matrix form, is proposed. The equation is simplified and then modified with aim to describe the deformation of bodies from incompressible materials. The results of test analysis are given. Дано розвиток рівняння методу скінченних елементів, яке описує великі деформації нестисливого матеріалу у тензорно-матричній формі. Це рівняння спрощується, а також модифікується з метою опису деформування тіл з нестисливих матеріалів. Наведено два приклади тестових розрахунків. 2010 Article Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях / В.В. Чехов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 71-77. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95451 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
An equation of the finite element method, which describes the large strains in
the tensor-matrix form, is proposed. The equation is simplified and then modified with aim to
describe the deformation of bodies from incompressible materials. The results of test
analysis are given. |
| format |
Article |
| author |
Чехов, В.В. |
| spellingShingle |
Чехов, В.В. Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях Прикладная механика |
| author_facet |
Чехов, В.В. |
| author_sort |
Чехов, В.В. |
| title |
Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях |
| title_short |
Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях |
| title_full |
Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях |
| title_fullStr |
Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях |
| title_full_unstemmed |
Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях |
| title_sort |
матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95451 |
| citation_txt |
Матричное уравнение метода конечных элементов для несжимаемого материала при больших деформациях / В.В. Чехов // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 10. — С. 71-77. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT čehovvv matričnoeuravneniemetodakonečnyhélementovdlânesžimaemogomaterialapribolʹšihdeformaciâh |
| first_indexed |
2025-07-07T02:15:03Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:15:03Z |
| _version_ |
1836952588162957312 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 10
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 10 71
В . В . Ч е х о в
МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ
НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Таврический национальный университет,
пр. Вернадского, 4, 95007, Симферополь, Украина; e-mail: v_chekhov@ukr.net
Abstract. An equation of the finite element method, which describes the large strains in
the tensor-matrix form, is proposed. The equation is simplified and then modified with aim
to describe the deformation of bodies from incompressible materials. The results of test
analysis are given.
Key words: equation of the finite element method, tensor based matrix, large strain,
Finger strain measure, incompressible material.
Введение.
Реализация существующих методов расчёта тел с учётом больших деформаций,
используя метод конечных элементов (МКЭ), представляет собой достаточно слож-
ную задачу. МКЭ является матричным методом, однако наиболее естественной для
соотношений нелинейной механики является тензорная форма. Она достаточно ши-
роко используется для вывода соотношений МКЭ [1, 2, 6, 8,17 и др.]. Для программ-
ной реализации полученные тензорные уравнения МКЭ чаще всего преобразуются к
матричному виду. В работах [10, 13,15] использованы формы уравнений МКЭ, кото-
рые могут быть непосредственно, без дополнительных преобразований, использованы
при практической реализации. В частности, в работе [10] на основании более общего
понятия матриц (у которых в качестве элементов могут выступать не только числа, но
и тензоры произвольных рангов) получено уравнение МКЭ, описывающее состояние
тела из изотропных материалов, находящегося под действием «мёртвых» внешних
нагрузок при больших деформациях. В отличие от линеаризованного инкременталь-
ного подхода, ныне повсеместно используемого, например, в упомянутых выше рабо-
тах, уравнение описывает конечное состояние процесса деформирования и не требует
последовательных нагружений (такой подход был одним из распространённых в гео-
метрически нелинейном МКЭ (1960 – 1970 гг. [5]). Процесс практической реализации
полученного уравнения приводит к некоторым упрощениям и преобразованиям, кото-
рые описываются в данной работе.
§1. Постановка задачи.
Ниже тензоры 1-го ранга обозначаются сверху стрелкой, 2-го ранга — полужир-
ным шрифтом. Чтобы различать тензорные и матричные индексы, последние (т.е. но-
мера узлов и элементов) будем помещать в квадратные скобки. Индексы, не являю-
щиеся тензорными либо матричными, будем ставить слева от индексируемой величи-
ны. Величины, относящиеся к исходной (недеформированной) конфигурации, будем
обозначать нуликом сверху. Тензоры 2-го ранга, разные индексы которых относятся к
разным конфигурациям (так называемые «двойные» тензоры), будем обозначать
сверху парами из нуля и t , обозначающими, к какой конфигурации относится соот-
ветствующий индекс (нуль – к исходной, t – к деформированной). Величины, отно-
сящиеся к локальной системе координат конечного элемента (КЭ), обозначим сверху
буквой α (обозначающей номер данного КЭ).
72
При формулировке матричного уравнения используем следующие исходные по-
ложения и уравнения механики деформируемых твердых тел, тензорные величины и
соотношения:
вариационный принцип стационарности потенциальной энергии для деформиро-
ванного упругого тела, находящегося в равновесии под действием «мёртвых» внеш-
них нагрузок [4] (выбрана формулировка с интегрированием по начальной конфигу-
рации)
0 0 0
0 0 0 0
0,
f
v v
dv k r dv f r d
γ
δ ρ δ δ γΠ − ⋅ − ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
r rr r
(1.1)
где k
r
и
0
f
r
– векторы, соответственно, внешних массовых сил и «мёртвых» внешних
поверхностных сил, заданных на части внешней поверхности тела, обозначенной
0
f
γ ;
в качестве неизвестной функции рассматривается радиус-вектор произвольной точки
тела в деформированном состоянии r
r
;
одна из сопряжённых по Хиллу «энергетических» пар тензоров, образующих эле-
ментарную работу [7]
00t
( )T
rδ δΠ = ⋅⋅ ∇P
r r
,
состоящая из градиента места
0
r∇
r r
[4] (или из градиента деформации
0
( )T
r∇
r r
[7]) и
тензора напряжений Пиола [4] (в [7] он назван номинальным тензором напряжений)
00
1( ) ,
t
T
J r
−
= ∇ ⋅P T
r r
где
0
J dv d v= – кубический инвариант градиента места; T – тензор истинных напря-
жений Коши;
мера деформации Фингера [4] (Коши – Эйлера [7])
0 0
( )T
r r= ∇ ⋅∇b
r rr r
;
уравнение состояния изотропного упругого тела в форме Фингера [4]
( )
1 2
0 1 22 ,J
−
= Ψ + Ψ + ΨT 1 b b (1.2)
где 0Ψ, 1Ψ и 2Ψ – заданные функции от инвариантов тензора b, определяемые исполь-
зуемой моделью материала; 1 – единичный (метрический) тензор;
аппроксимация МКЭ неизвестного радиус-вектора деформированной конфигура-
ции
0 0
[ ] [ ]( ) ( )
i i
i
r r r R
α
α
= ⋅∑∑V
rr r r
,
где V[αi] – базисная функция («функция формы»), относящаяся к α -му КЭ и i-му узлу
сетки (полагаемая тождественно равной нулю, если i-ый узел не принадлежит α -му КЭ),
[ ]iR
r
– радиус-вектор i-го узла в деформированном состоянии; внешнее суммирование
производится по всем узловым точкам конструкции, внутреннее – по всем КЭ.
На основании данных соотношений обычным способом строится уравнение МКЭ
[10], описывающее равновесное состояние системы, нагруженной заданными внешними
нагрузками, без ограничения на уровни деформации; это уравнение имеет такой вид:
0
[ ]
1
0 0
0 [ ] [ ] 1 [ ] [ ]2
T
m m j j
m j
v
R R
α
α α
α
−
Ψ ∇ ⋅ + Ψ ∇ ⋅ +
∑ ∑ ∑∫∫∫ V V
r r r r
73
0 0 0 0 0
2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ,
T T
l l k k j j i i
l k j
R R R dv f
α α α α
+ Ψ ∇ ⋅ ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ⋅∇ =
∑∑∑ V V V V
rr r r r r r r
(1.3)
где [ ]if
r
– вектор внешней нагрузки в i-ом узле. Для интегрирования в локальных ко-
ординатах конечных элементов градиент преобразуется как
0 0 0
1( )r r
α α αα
−
∇ = ∇ ⋅∇ = ∇ ⋅∇
r r r r rr r
.
§2. Упрощение уравнения.
Исходя из аналогии с матричной формой МКЭ, функция формы может быть более
детально определена как шаровой тензор следующего вида:
0
[ ] [ ]V ( ) ( ) ,j
i i
r N q
α
α α
= 1
r
где N[αi] – скалярная функция формы, зависящая от локальных координат конечного
элемента j
q
α
.
Учитывая вышеизложенное, а также используя очевидные тензорные тождества
( ) ; ( ) ; ,T T T T T
ab ba a a= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅A B B A A A
r rr r r r
уравнение (1.3) можно привести к виду
( )
0
[ ]
1
0 0 0 0
0 [ ] [ ] [ ] 1 [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 0
2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2
.
m m i j i j
m j
v
l k j i k j l i
l k j
N R N N N R
N N N N R R R dv f
α
α α α α
α
α α α α
−
Ψ ∇ ⋅∇ + Ψ ∇ ⋅∇ +
+ Ψ ∇ ⋅∇ ∇ ⋅∇ ⋅ =
∑ ∑ ∑∫∫∫
∑∑∑
r r r r r r
rr r r r r r r
(2.1)
В данном уравнении скалярные произведения, представленных в круглых скоб-
ках, являются скалярами (в исходном варианте стоят тензоры 2-го ранга) – такое по-
нижение ранга тензоров позволит заметно сэкономить память и количество арифме-
тических операций при программной реализации.
§3. Учёт несжимаемости материала.При использовании уравнения (2.1) для соз-
дания симуляционной программы, моделирующей работу резиновых уплотнителей,
оно потребовало модификации, так как резина принимается несжимаемым материа-
лом. Для несжимаемых материалов уравнение состояния вместо (1.2) принимает вид
[4]
2
1 22 2p= − + Ψ + ΨΤ 1 b b ,
где p – неизвестное гидростатическое давление, учёт которого необходим для обеспе-
чения постоянства объёма материальных частиц.
С учётом этого уравнение (2.1) преобразуется к виду
( )
0
[ ]
1
0 0 0 0
[ ] [ ] [ ] 1 [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 0
2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2
2 .
m m i i j j
m j
v
i j k l j k l i
l k j
p N R N N N R
N N N N R R R dv f
α
α α α α
α
α α α α
−
− ∇ ⋅∇ + Ψ ∇ ⋅∇ +
+ Ψ ∇ ⋅∇ ∇ ⋅∇ ⋅ =
∑ ∑ ∑∫∫∫
∑∑∑
r r r r r r
rr r r r r r r
Чтобы дискретизировать континуальное неизвестное p, которое не даёт системе быть
алгебраической и поскольку реальное распределение p по КЭ не представляет интере-
са для практических задач, введём в систему вместо p его «взвешенно усреднённое»
по КЭ значение [ ].p
α
Тогда имеем
74
0 0
[ ] [ ]
1 1
0 0 0 00 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] .
m m i m m i
m m
v v
p N R N dv p N R N dv
α α
α α α α α
− −
∇ ⋅∇ = ∇ ⋅∇
∑ ∑∫∫∫ ∫∫∫
r r r r r r
Кроме дискретизации p, в систему также следует добавить и уравнения, представ-
ляющие собой осреднённое по каждому КЭ условие несжимаемости материала [5]
0
[ ]
0 0
[ ] [ ] ( 1) 0
v
v v III dv
α
α α
− = − =∫∫∫ ,
где III – кубический инвариант тензора меры деформации (в качестве его в данном
случае можно выбрать градиент места либо тензор деформации Фингера).
Окончательно, в матричной форме система уравнений принимает следующий вид:
( ) ( )
[4]
{ { },{ } } 2 [ ] ( [ ]{ }) { } { } { } {0};
{ ({ })} {0}.
K R p L M R R R f
CV R
+ + ⋅ − =
=
r rr r r r r
r (3.1)
Здесь операция скалярного произведения относится к компонентам матриц и векто-
ров, а матрицы подчиняются обычному матричному умножению. Неизвестными яв-
ляются векторы-столбцы { }R
r
(с компонентами – узловыми радиус-векторами дефор-
мированной конфигурации, тензорами 1-го ранга) и {p} (компоненты – вышеуказан-
ные усреднённые элементные давления). Величины { }K
r
, [L] и
[4]
[M], размерность
пространства которых равна общему количеству узлов, являются результатом ассамб-
лирования соответствующих величин элементов (т.е. [ ]{ } { }K K
α
α
=∑
r r
, [ ][ ] [ ]L L
α
α
=∑ ,
[4] [4]
[ ][ ] [ ]M M
α
α
=∑ ), имеющих следующие компоненты:
0
[ ]
1
0 0 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;
i m m i
m
v
K p N R N dv
α
α α α α
−
= − ∇ ⋅∇
∑∫∫∫
r r r r
0
[ ]
0 0 0
[ ] 1 [ ] [ ] ;
ij i j
v
L N N dv
α
α α α
= Ψ ∇ ⋅∇∫∫∫
r r
0
[ ]
0 0 0 0 0
[ ] 2 [ ] [ ] [ ] [ ]ijkl i j k l
v
M N N N N dv
α
α α α α α
= Ψ ∇ ⋅∇ ∇ ⋅∇
∫∫∫
r r r r
.
Матрица [L] симметрична, так как скалярное произведение тензоров 1-го ранга ком-
мутативно. Четырёхмерная матрица (массив)
[4]
[M] симметрична по первой и послед-
ней парам индексов, а также по перестановке этих пар. При всех последовательных
умножениях данной матрицы на векторы полагается, что в матричном умножении
участвует её последний индекс (аналогично скалярному произведению у тензоров).
Вектор {CV} с размерностью, равной общему количеству КЭ, имеет следующие
компоненты:
0
[ ]
0 0
[ ] ( ) 1
v
CV III r dv
α
α
= ∇ −
∫∫∫
r r
.
Заметим, что кроме вектора-столбца { }K
r
, который явно зависит от вектора неиз-
вестных { }R
r
, от { }R
r
зависят также и матрицы [L] и
[4]
[M] (так как они содержат
функции 1Ψ и 2Ψ, зависящие, в общем случае, от текущего уровня деформации, а значит
и от вектора неизвестных). Этот факт препятствует разделению процесса решения зада-
чи на стадию сборки матриц и стадию решения системы алгебраических уравнений, т. е.
все матрицы требуют пересчёта в процессе итерационного решения системы. Хотя
75
здесь возможно использование итерационных схем, позволяющих пересчитывать
матрицы не на всех шагах (однако, применение в таких схемах вектора { }K
r
пробле-
матично – для этого требуется (хотя бы приближённо) вынести столбец узловых не-
известных текущего КЭ за пределы обратного тензора).
§4. Тестовые примеры.
В настоящее время исследование геометрически нелинейных задач продолжает
оставаться актуальным [14, 18, 19 и др.]. Полученное уравнение (3.1) представляет
интерес с точки зрения численного решения существенно нелинейных задач – таких,
которые проблематично решать широко распространёнными на данный момент ин-
крементальными методами (например, у последних до сих пор имеют место пробле-
мы при определении точек бифуркации [11]).
Ниже рассмотрены два тестовых примера решения нелинейных задач. В качестве
модели материала использован двухконстантный материал Муни – Ривлина [3, 4]
( 1 1 2(b)C I CΨ = + , 2 2CΨ = − ). Система уравнений реализована в виде приложения,
позволяющего исследовать задачи плоской деформации, моделируемые прямоуголь-
ными КЭ. Для решения использован метод Ньютона (на базе библиотеки подпро-
грамм gsl [12]). Поскольку у нелинейных задач возможно существование многих ре-
шений, использовано предположение о том, что для получения искомого решения
следует как можно ближе к нему указать начальное приближение. Результаты тестовых
расчётов показали, что при наличии сходимости это предположение подтверждается
(процесс сходился за 4 – 8 итераций). Сходимость достигается не во всех случаях, на
неё может повлиять, кроме начального приближения, например, выбор свойств ис-
пользуемых материалов.
В первом тестовом примере рассмотрена
ферма с прощёлкиванием («ферма Мизеса»
[16]); ввиду симметрии задачи рассмотрена
половина конструкции – один стержень (дли-
на 8 см), смоделированный восьмью прямо-
угольными КЭ. Константы материала равны:
1C = 2C = 10
-2
МПа. При нулевой внешней на-
грузке получены все три решения: исходное
состояние, состояние после прощёлкивания и
промежуточное неустойчивое. Они отражены
на рис. 1. Наибольший интерес представляет
промежуточное состояние. Пунктиром обо-
значено начальное приближение, использо-
ванное для поиска этого состояния. Видим,
что характер решения правильно отражает
фактически имеющуюся в стержне (вследст-
вие упрощённости модели) начальную кри-
визну упругой линии. При увеличении значе-
ний констант материала наблюдалась расхо-
димость итерационного процесса при поиске
промежуточного решения.
Во втором тестовом примере рассмотрен цилиндр бесконечной длины, также
при отсутствии внешней нагрузки. Ввиду симметрии задачи расчётная модель пред-
ставлена половиной цилиндра. Использованы константы реального материала (нена-
полненная резина на основе каучука СКИ-3, содержащая метиловые эфиры ЖКТМ)
1C = 0,15 МПа; 2C = 0,094 МПа. У этой задачи имеется два очевидных решения: ис-
ходное состояние (недеформированное) и состояние, «вывернутое» наизнанку. Полу-
ченные решения показаны на рис. 2. Пунктиром показано начальное приближение,
использованное для поиска «вывернутого состояния». Для этого состояния отображе-
но также распределение компонент тензора напряжений Коши (в МПа) вдоль радиуса
Рис. 1
76
цилиндра, находящегося в «вывернутом состоянии»: кольцевая
θ
σ и касательная τ
компоненты, радиальная
R
σ и осевая
z
σ . Здесь следует учитывать, что у МКЭ-прило-
жений, базирующихся на вариационном принципе (1.1), напряжения вычисляются
более грубо, чем перемещения, и могут иметь разрывы на границах КЭ. Полученное
решение качественно соответствует физическому смыслу: в нём сохраняются началь-
ные площади элементов (в соответствии с условием несжимаемости), а угловая и по-
перечная компоненты напряжения соответствуют сжатию на внутреннем и растяже-
нию на наружном радиусах деформированного состояния, радиальная компонента –
сжатию, исчезающему на граничных радиусах цилиндра (на одной из границ точность
расчёта оказалась невелика); сдвиговые напряжения отсутствуют. Это решение можно
сопоставить с имеющимися теоретическими результатами [4, 7]. В [4] преобразование
между радиусами исходной и деформированной конфигураций даётся соотношением
0 0
2 2 2
. .( ) .внут внутr r r rβ= − +
Здесь rвнут. — внутренний радиус цилиндра. Значение угловой компоненты напряже-
ния на граничных радиусах имеет вид
( )
0
2 2
2
1 20 2
2
2
.
r r
C C
r
r
θ
β
σ β
β
β
= − +
Для вычисления значений граничных радиусов деформированной конфигурации
и коэффициента β следует решить систему трёх нелинейных алгебраических уравне-
ний [4] (два из них получены с использованием модели материала Муни – Ривлина,
ещё одно – более простой неогуковской). Результаты расчёта характеристик рассмат-
риваемой задачи по методике [4] и их сопоставление с результатами МКЭ-расчёта,
приведено в таблице. Видно, что при расчёте деформированного состояния различие в
результатах возрастает при приближении к внутренней границе исходного состояния,
а для напряжённого состояния – к внешней, хотя в целом различие невелико.
Радиус деформированной конфигурации r Напряжение σθ
Результат
0
3r =
0
6r =
0
9r =
0
12r =
0
3r =
0
12r =
Теория 11,63 10,65 8,78 5,10 8,80 –2,02
Расчёт 12,87 11,78 9,65 5,55 8,99 –1,36
Рис. 2
77
Приведённые тестовые примеры иллюстрируют адекватность полученной систе-
мы уравнений (3.1). Важной особенностью системы является её тензорно-матричная
форма, позволяющая без излишних преобразований переходить от теоретических по-
строений к программной реализации. Качество сходимости процесса решения системы
можно повысить путём применения решателей, использующих коррекцию сходимости
метода Ньютона или базирующихся на более совершенных методах (например, [9]).
Заключение.
В данной статье получена система уравнений МКЭ, описывающая деформиро-
ванное состояние тела из несжимаемых материалов при произвольно больших уров-
нях деформаций, приведены тестовые расчеты.
Р Е З ЮМ Е . Дано розвиток рівняння методу скінченних елементів, яке описує великі деформа-
ції нестисливого матеріалу у тензорно-матричній формі. Це рівняння спрощується, а також модифі-
кується з метою опису деформування тіл з нестисливих матеріалів. Наведено два приклади тестових
розрахунків.
1. Бухарев Ю.Н., Чурилов Ю.А. Исследование закритического поведения оболочечных конструкций //
Вест. ННГУ. Сер. Механика. – 2000. – Вып. 2. – С. 161 – 165.
2. Голованов А.И., Султанов Л.У. Численное исследование больших упругопластических деформа-
ций трехмерных тел // Прикл. механика. – 2005. – 41, № 6. – С. 36 – 43.
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – К.: «А.С.К.», 2004.
– 672 с.
4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.
5. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – М.: Мир, 1976. – 466 с.
6. Семёнов А.С. PANTOCRATOR – конечно-элементный программный комплекс, ориентированный
на решение нелинейных задач механики // Тр. Международ. конф. «Научно-технические про-
блемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения». –
(С.-Петербург. 14 – 17 октября 2003). – СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. – С. 466 – 480.
7. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. –
256 с.
8. Arciniega R.A., Reddy J.N. Tensor-based finite element formulation for geometrically nonlinear analysis
of shell structures // Comp. Meth. Appl. Mech. and Eng. – 2007. – 196. – P. 1048 – 1073.
9. Bouaricha A., Schnabel R.B. Tensor methods for large sparse systems of nonlinear equations // Math.
Program. – 1998. – 82, N 3. – P. 377 – 400.
10. Chekhov V.V. Tensor-based matrices in geometrically non-linear FEM // Int. J. Numer. Meth. Eng. –
2005. – 63, N 15. – P. 2086 – 2101.
11. Felippa C.A Nonlinear Finite Element Methods (ASEN 5107) Course Material. – Department of
Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at Boulder, 2007. – Ch. 1. Overview.
http://www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/NFEM.d/NFEM.Ch01.d/NFEM.Ch01.pdf
12. GNU scientific library. http://www.gnu.org/software/gsl/
13. Jeremic B., Sture S. Tensor Objects in Finite Element Programming // Int. J. Numer. Meth. Eng. – 1998.
– 41. – P. 113 – 126.
14. Maksimyuk V.A., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S. Using Mesh-Based Methods to Solve Nonlinear
Problems of Statics for thin Shells // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 32 – 56.
15. Miller G.R., Arduino P., Jang J., Choi C. Localized tensor-based solvers for interactive finite element
applications using C++ and Java // Comp. and Struct. – 2003. – 81. – P. 423 – 437.
16. Mises R. Uber die Stabilitatsprobleme der Elastizitastheorie // ZAMM. – 1923. – 3, N 6. – P. 406 – 462.
17. Rojc T., Stok B. About finite element sensitivity analysis of elastoplastic systems at large strains // Comp.
and Struct. – 2003. – 81. – P. 1795 – 1809.
18. Semenyuk N.P., Trach V. M., Ostapchuk V.V. Nonlinear Axisymmetric Deformation of Anisotropic
Spherical Shells // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 10. – P. 1101 – 1111.
19. Shimanovskii A.V., Shalinskii V.V. Physically and Geometrically Nonlinear Deformation of Bars: Nu-
merical -Analytic Problem Solving // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 5. – P. 572 – 577.
Поступила 15.10.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|