О динамике упругого усеченного конуса
The problem of determination of non-stationary wave field of an elastic truncated cone is formulated in terms of wave functions with allowance for the cone weight. By application of integral Laplace transform in time and transformation by the polar angle, the problem is reduced to solving the one...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95453 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О динамике упругого усеченного конуса / Б. Кебли, Г.Я. Попов, Н.Д. Вайсфельд // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 84-92. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95453 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954532016-02-27T03:02:07Z О динамике упругого усеченного конуса Кебли, Б. Попов, Г.Я. Вайсфельд, Н.Д. The problem of determination of non-stationary wave field of an elastic truncated cone is formulated in terms of wave functions with allowance for the cone weight. By application of integral Laplace transform in time and transformation by the polar angle, the problem is reduced to solving the one-dimensional vector problem in the transform space. The transforms of wave functions are expanded into series of inverse degrees of Laplace transform parameter, what enables to study the wave process at the initial moments of interaction. The way is proposed to solve the problem in hand for the case of twice truncated over the spherical surfaces elastic cone. Задачу визначення нестаціонарного хвильового поля пружного зрізаного конуса з урахуванням його власної ваги зформульовано в термінах хвильових функцій. Застосуванням інтегральних перетворень Лапласа за часом і перетворення по полярному куту цю задачу зведено до розв’язання одновимірної векторної задачі у просторі трансформант. Трансформанти хвильових функцій розвинено у ряд по обернених ступенях параметра перетворення Лапласа, що дає можливість досліджувати хвильовий процес у початкові моменти взаємодії. Запропоновано спосіб розв’язання поставленої задачі для випадку двічі зрізаного по сферичних поверхнях пружного конуса. 2010 Article О динамике упругого усеченного конуса / Б. Кебли, Г.Я. Попов, Н.Д. Вайсфельд // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 84-92. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95453 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The problem of determination of non-stationary wave field of an elastic truncated
cone is formulated in terms of wave functions with allowance for the cone weight. By
application of integral Laplace transform in time and transformation by the polar angle, the
problem is reduced to solving the one-dimensional vector problem in the transform space.
The transforms of wave functions are expanded into series of inverse degrees of Laplace
transform parameter, what enables to study the wave process at the initial moments of interaction.
The way is proposed to solve the problem in hand for the case of twice truncated
over the spherical surfaces elastic cone. |
| format |
Article |
| author |
Кебли, Б. Попов, Г.Я. Вайсфельд, Н.Д. |
| spellingShingle |
Кебли, Б. Попов, Г.Я. Вайсфельд, Н.Д. О динамике упругого усеченного конуса Прикладная механика |
| author_facet |
Кебли, Б. Попов, Г.Я. Вайсфельд, Н.Д. |
| author_sort |
Кебли, Б. |
| title |
О динамике упругого усеченного конуса |
| title_short |
О динамике упругого усеченного конуса |
| title_full |
О динамике упругого усеченного конуса |
| title_fullStr |
О динамике упругого усеченного конуса |
| title_full_unstemmed |
О динамике упругого усеченного конуса |
| title_sort |
о динамике упругого усеченного конуса |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95453 |
| citation_txt |
О динамике упругого усеченного конуса / Б. Кебли, Г.Я. Попов, Н.Д. Вайсфельд // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 84-92. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT keblib odinamikeuprugogousečennogokonusa AT popovgâ odinamikeuprugogousečennogokonusa AT vajsfelʹdnd odinamikeuprugogousečennogokonusa |
| first_indexed |
2025-07-07T02:15:11Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:15:11Z |
| _version_ |
1836952596888158208 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 11
84 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 11
Б .К е б л и 1 , Г .Я .П о п о в 2 , Н . Д . В а й с ф е л ь д 3
О ДИНАМИКЕ УПРУГОГО УСЕЧЕННОГО КОНУСА
1Алжирский политехнический институт,
ул. Хасен Бади, 10, Эль-Харрах, Алжир; е-mail: keblib@yahoo.fr
2, 3Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова,
ул. Дворянская, 2, 65082, Одесса, Украина;
е-mail: 2 popov@onu.edu.ua, 3 vaysfeld@onu.edu.ua
Abstract. The problem of determination of non-stationary wave field of an elastic trun-
cated cone is formulated in terms of wave functions with allowance for the cone weight. By
application of integral Laplace transform in time and transformation by the polar angle, the
problem is reduced to solving the one-dimensional vector problem in the transform space.
The transforms of wave functions are expanded into series of inverse degrees of Laplace
transform parameter, what enables to study the wave process at the initial moments of inter-
action. The way is proposed to solve the problem in hand for the case of twice truncated
over the spherical surfaces elastic cone.
Key words: elastic truncated cone; non-stationary wave field; integral Laplace trans-
form in time; transformation by the polar angle; twice truncated over the spherical surfaces
elastic cone; initial moments of interaction
Введение.
Исследованию напряженного состояния конических тел под действием статических
нагрузок посвящено достаточно много работ. Так, в [10] впервые рассмотрены осе-
симметричные задачи о равновесии кругового конуса; в [14] решена задача о равнове-
сии конуса, нагруженного у острия сосредоточенной силой; в [11] получено решение
задачи о равновесии конуса, нагруженного изгибающим моментом в вершине; в [13]
решена смешанная задача для бесконечного конуса; в [15] исследовано напряженное
состояние усеченного полубесконечного конуса; в [6] впервые получено точное ре-
шение осесимметричной задачи для конуса, загруженного центром вращения у острия;
в [7] получено точное решение осесимметричной задачи для кругового полого конуса.
Значительно меньшее количество работ посвящено динамическим задачам упру-
гости для конических тел. В [12] приведены результаты экспериментального исследо-
вания распространения упругих волн в усеченном упругом конусе; в [9] выведено
аналитическое решение осесимметричной задачи динамики полусферического купола,
представляющего собой частный случай дважды усеченного по сферическим поверх-
ностям упругого конуса; в [2] получено решение динамической задачи для упругого
конуса при воздействии на него динамической нагрузки без учета собственного веса.
§1. Постановка задачи.
В момент времени 0t = к сферической поверхности r a= покоящегося упругого
усеченного конуса, положение которого в сферической системе координат определя-
ется соотношениями 0 , 0 ,r a θ ω π ϕ π< < < < − ≤ ≤ (рис. 1, сечение zox), приложена
нестационарная осесимметричная нагрузка ( )0,f t
mailto:keblib@yahoo.fr
mailto:popov@onu.edu.ua
mailto:vaysfeld@onu.edu.ua
85
( ) ( ), , , ;r a t f tσ θ θ= − ( ), , 0 (0 )r a tθτ θ θ ω= < < . (1.1)
Коническая поверхность конуса θ ω= находится в условиях скользящего закреп-
ления
( ) ( ), , 0; , , 0 (0 ).ru r t r t r aθ θω τ ω= = < <
(1.2)
Уравнения движения решаем на осно-
ве определения волновых потенциалов,
удовлетворяющих волновым уравнениям с
учетом объемных сил, роль которых игра-
ют силы веса,
2
2 2
1
cos ;r
c t
γ θ
∂ Φ
∆Φ − =
∂
2
2 2
2
0;
c t
∂ Ψ
∆Ψ − =
∂
(1.3)
∆ – оператор Лапласа в сферической
системе координат; γ – удельный вес
материала конуса; 1 2,c c – скорости про-
дольных и поперечных волн.
Необходимо определить волновое по-
ле внутри конуса при нулевых начальных
условиях.
§2. Сведение проблемы к одномерной векторной задаче.
К волновым уравнениям (1.3) последовательно применяются преобразование Ла-
пласа по времени и интегральное преобразование по переменной θ [5]:
( ) ( )
0
, , , pt
pf r f r t e dtθ θ
∞
−= ∫ ;
( ) ( ) ( )1
0
, cos sin ( 1, 2, ...)
kpk p vf r f r P d k
ω
θ θ θ θ= =∫ ; (2.1)
kν – корни трансцендентного уравнения ( )1 cos 0, 0, 1, 2, ...
kvP kω = = .
В пространстве трансформант этих преобразований система уравнений (1.3) запи-
сывается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго по-
рядка
( )( ) ( ) ( )2 ' 2 2
1'pk k pk pk k
rr r N r r s r q
p
γΦ − Φ − Φ = ;
( )( ) ( ) ( )2 ' 2 2
2' 0pk k pk pkr r N r r s rΨ − Ψ − Ψ = , (2.2)
где приняты обозначения:
2
2
2 , 1, 2i
i
ps i
c
= = , ( )1
0
1 sin 2 cos
2 kk vq P d
ω
θ θ θ= ∫ ;
( )
2
21 1 11
2 4 4k k k kN v v v τ = + = + − = −
1
2kτ ν = +
.
При получении этой системы выполнены равенства
( ),
0p r
θ ω
θ
θ
=
∂Φ
=
∂
и
( ),
0p r
θ ω
θ
θ
=
∂Ψ
=
∂
, (2.3)
Рис. 1
86
что приводит к автоматическому выполнению краевого условия (1.2). Для того, чтобы
убедиться в этом, учтем соотношения, связывающие смещения и напряжения с вол-
новыми потенциалами [4],
( )
( ) ( ), ,1 1, p pp r r
u r r
r r rθ
θ θ
θ
θ θ
∂Φ ∂Ψ ∂
= + ∂ ∂ ∂
; (2.4)
( ) ( ) ( )
2
2
22 2
2 1 1 1 1, , ,
2r
p
p pr r s r
r r r r rr rθ
µ
τ θ θ θ
θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − Φ + + − − Ψ ∂ ∂ ∂ ∂∂
.
Как видно, из удовлетворения требований (1.2) на конической поверхности сле-
дуют соотношения (2.3). Переформулируем в терминах волновых функций краевые
условия (1.1) и применим к ним интегральные преобразования (2.1)
( ) ( ) ( ) ( )0 1, 0
r r
pk pk
pkr a r a r a r a
r A r f r A r
θ
σ τ
= = = =
= = − = = , (2.5)
где
( ) ( )( ) ( ) ( )2 ' "
0
1 '
2 pk k pk k pk
rA r r r N r q r
p
γ
µ
= Φ − Φ + + Φ −
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 ' 2 '' ' 'pk k pk pk k pkr r N r r r r N r− Ψ − Ψ − Ψ − Ψ + ( ) ( )" "'3 pk pkr r rΨ + Ψ ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' " '
1 2
1 1 1 pk
pk pk pk pkA r r r r r
r r r r
Ψ = Φ − Φ + Ψ + Ψ − −
( )( ) ( )( )2 '1 '
2 pk k pkr r N r − Φ − Ψ
;
( ) ( )1
0 0
cos sin ,
k
pt
pk vf P e f t d dt
ω
θ θ θ θ
∞
= ∫ ∫ .
Решение полученной краевой задачи (2.2), (2.5) построим, используя метод, изло-
женный в [8] и примененный в [2]. Для этого введем в рассмотрение вектор
( ) ( ) ( )( ),
T
pk pkr r r= Φ Ψy и дифференциальный оператор второго порядка 2L
( ) ( )2 2 2
2
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
L r r r r r r rτ′′= + − −y I y Iy Iy Py ;
I – единичная матрица порядка
2
1
2
2
0
2 2;
0
s
s
× =
P . Задача сводится к неоднород-
ному векторному уравнению векторной задачи
( )( ) ( )2L r r=y F ; ( ) ,0
T
r
rr q
p
γ
=
F (2.6)
с последующим удовлетворением краевым условиям
( ) ( ) ( ) ( )0 1, 0
r
pkpk
r pkr a r a r a r a
r A r f r A r
θ
σ τ
= = = =
= = − = = . (2.7)
87
§3. Решение векторной задачи.
Для решения неоднородного матричного уравнения (2.6) найдем фундаменталь-
ную матрицу [8]. Для этого применим к уравнению матричное интегральное преобра-
зование
( ) ( )
0
r r drτ τ
∞
= ∫y y Κ , (3.1)
где ( )
( )
( )
( )
1
2
0
;
0
i
i
i
rs
r z
rs
r
τ
τ
τ
τ
Κ
= Κ
Κ
Κ – модифицированная функция Бесселя
второго рода мнимого порядка. Применение интегрального преобразования приводит
к векторному уравнению
τ τ τ=y Μ F ; ( ) ( )
0
r r drτ τ
∞
=
∫F F Κ , (3.2)
откуда трансформанта неизвестного вектора выразится следующим образом:
( ) ( )1 1
0
dτ τ τ τ τξ ξ ξ
∞
− −= = ∫y Μ F Μ F Κ ; (3.3)
1
τ
−Μ – матрица, обратная для матрицы Μ , т.е.
2
1
2
1 0
1
12 0
τ
τ
τ
−
= −
Μ .
К соотношению (3.3) применим обратное матричное интегральное преобразование
( ) ( )2
0
2r sh r dτ ττ πτ τ
π
∞
= ∫y R y ; (3.4)
( )
( )
( )
1
2
0
0
i
i
K rs
rr
K rs
r
τ
τ
τ
=
R – матрица обратного матричного интегрального пре-
образования.
Подставив равенство (3.3) в правую часть выражения (3.4), имеем
( ) ( ) ( ) ( )1
2
0 0
2r sh r d dτ τ ττ πτ ξ ξ ξ τ
π
∞ ∞
−= ∫ ∫y R Μ F Κ .
Изменив в данном соотношении порядок интегрирования, получим решение век-
торного уравнения (2.6)
( ) ( ) ( )
0
,r r dξ ξ ξ
∞
= ∫y Λ F , (3.5)
88
где ( ) ( ) ( )1
2
0
2,r sh r dτ τ τξ τ πτ ξ τ
π
∞
−= ∫Λ R Μ Κ – фундаментальная матрица уравнения
(2.6).
Интегралы, входящие в элементы матрицы ( ),r ξΛ , вычисляются с помощью [3,
ф-ла 6.794 (10)]; в результате запишем окончательный вид фундаментальной матри-
цы:
( ) ( )
( )
1
2
, 0
,
0 ,
r
r
r
ω ξ
ξ
ω ξ
=
Λ ; ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
, ;
, ( 1, 2)
,
i i
i
i i
I s rs r
r i
I rs s r
ξ ξ
ω ξ
ξ ξ
Κ <= = Κ <
.
Матричная фундаментальная система решений матричного однородного уравне-
ния ( )2 0L Y r = состоит из матриц
( )
( )
1
2
1
0
1 2
2
0
( )
0
k
kv
I s r
rr
I s r
r
ν
+
+
=
Y и
( )
( )
( )
1
2
1
2
1
1
2
0
0
k
k
v
v
s r
rr
s r
r
+
+
Κ
=
Κ
Y ; ( ) , ( )I z K zν ν – модифицированные функции Бес-
селя первого и третьего рода мнимого порядка. Общее решение однородного вектор-
ного уравнения (2.6) имеет вид
( ) ( ) ( )0 0 1 1r r r= +y B Y B Y ; (3.6)
0 1,B B – векторы неизвестных постоянных. Учитывая требование регулярности реше-
ния в нуле, общее решение неоднородного уравнения (2.6) представим в виде
( ) ( ) ( ) ( )0 0
0
,r r r dξ ξ ξ
∞
= + ∫y B Y Λ F . (3.7)
Выписав покомпонентно элементы вектора решений, определим тем самым
трансформанты волновых функций
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1
2 2 20
, 0
0 0 , 0
pk k
pk
r b J r o r q p d
b J r rr
ω ξ ξγ
ξ
ω ξ
∞ −Φ
= + Ψ
∫ ; (3.8)
1 2,b b – неизвестные постоянные; ( )
( )
1
2 , 1, 2
kv i
i
I rs
J r i
r
+
= = .
С целью определения неизвестных 1b и 2b удовлетворим краевым условиям зада-
чи (2.7), предварительно подсчитав интегралы, входящие в формулы (3.8),
( ) ( )1 1 1( ),pk r b J r prαΦ = + ( ) ( ) ( )2 2 2 ;pk r b J r prαΨ = +
( ) ( ) ( )1 1
0
, , , ( 1, 2)
a
i k i k ip r q p r d q p r d i
ρ
ρ
α γ ω ξ ξ ξ γ ω ξ ξ ξ− −= + =∫ ∫ . (3.9)
89
Решив систему алгебраических уравнений, полученных после подстановки соот-
ношений (3.9) в краевые условия задачи (2.7), запишем вид коэффициентов 1b и 2b :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2
1 1
8, , , , ;
2 8 ''
pk
k
f ab q L s s a C B s s a
p p J r J r
γ µ
µ µ
= − − − −
+
(3.10)
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2 1
2 1 1 1 1 1 2 1 1
2 2
1 2 1 1 1 2 1 1
, , 8 8 , ,
, , 8 " 8 , ,
ka D s s a J a J s a d p L s s a J a a J a
b
s s a a J s a J s a B s s a J a a J a
µ µ
µ µ
−′′ ′− + + + −
=
′Κ + − −
,
где
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 2
1 2 2 2 2, 1 2 vs s a J a a J a a a J a N a− − −′′ ′Κ = − + − − + ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
1 2 2 2 2 2, , 2 4IV III IIB s s a a J a J a a a J s a= − + − + +
( ) ( ) ( )2 1 1
2 24 4 4a a J a J a− −′+ − + ;
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2
1 2 2 2 1, , " 1 " 3 5 " 1
2
aL s s a F s a a a F s a a F s a
µ
= − + − + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11
2 1 2 1' 4 ' 2
2
k
v v v
aq
F s a a N F s a a F s a N F s a N
p
γ
µ µ
µ
−−+ − + − − + ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2
1 2 2 2 1 2 1, , " 1 ' ' 2
2 v
aD s s a F s a F s a a F s a a F s a N F s a a− −
= − − + − −
( )
1
2
( 1,2)
kv
i
i
pI a
c
J a i
a
+
= = ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0
0
a
i i i pk i i pkF s a as I s f d I as s f d
ρ
ρ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ= Κ + Κ∫ ∫ .
Подставив найденные коэффициенты 1b и 2b в формулы (3.8), получим оконча-
тельное решение векторной краевой задачи. Для того, чтобы получить решение ис-
ходной задачи в оригиналах, следует применить к полученным трансформантам по-
следовательно обратное преобразование по переменной θ [5] и по времени
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
211
cos, , 1
, , 2cos
k
k
i
pkv pt
k pkiv
rPr t
e dp
r t i rP
γ
γ
θθ
θ πθ
+ ∞∞
= − ∞
Φ Φ
= Ψ Ψ
∑ ∫ . (3.11)
Волновое поле упругого конуса будет тем самым полностью определено. Однако
провести точное обращение преобразования Лапласа в формулах (3.11), и получить
оригиналы волновых функций не удалось. Для определения волнового поля предлага-
ется применить подход, основанный на разложении трансформант Лапласа потенциа-
лов по обратным степеням параметра преобразования p . Полученное решение позво-
90
лит исследовать волновой процесс для малых моментов времени взаимодействия.
Чтобы разложить трансформанты волновых функций ( )pk rΦ и ( )pk rΨ , определяе-
мые формулами (3.8), (3.10) по обратным степеням параметра преобразования Лапла-
са p , следует использовать формулы асимптотического поведения модифицирован-
ных функций Бесселя для больших значений аргумента [1]. В результате, к получен-
ным разложениям потенциалов в ряд по обратным степеням параметра p применяется
обратное преобразование Лапласа с известной формулой обращения 1 1 m mL p τ− = .
Произведя необходимые выкладки, запишем асимптотические выражения волновых
потенциалов ( ), ,r tθΦ и ( ), ,r tθΨ , описывающие волновое поле упругого конуса при
малых моментах времени взаимодействия,
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1
2 21 11 1
cos cos
, , , ; , , ,
cos cos
k k
k k
v v
k k
k kv v
P P
r t r t r t r t
P P
θ θ
θ θ
θ θ
∞ ∞
= =
Φ = Φ Ψ = Ψ∑ ∑ ;
( ) ( ) ( )
1 1
0 0 0 0
( ) 1,
2 2
t
m mm mmk
k mk m
m m
Ca dr t r t r t d
r r
ρ ξ ξ
α τ τ
π ξ ξ
Μ− Μ−
= =
Φ = + − +
∑ ∑ ∫ ∫%
( )
1
0
( ) 1
2
a tm
mmk
m
С r
t d d
rρ
ξ
τ τ ξ
ξ ξ
+ −
∫ ∫ ;
( )
( )
1( )1
2
3 320
1
( )
2
c a
m m
mk
m
k k
e
a c v v
ξβ β
α ξ
π
− −Μ−
=
−
=
+
∑% ; ( )
( )
1( )
2
5 220
1
( )
2
c a
m m
mk
m
k k
eC
a c v v
ξα α
ξ
π
− −∞
=
−
=
+
∑
% %
;
( )
( )
2 ( )
1 2
7 230
2
( ) c a
m m
mk
m
k k
eC
a c v v
ξγ γ
ξ
π
− −∞
=
−
=
+
∑ ;
, ,m m mα β γ – коэффициенты, определяемые согласно [1, ф-ла (7.13.1(5))].
Зная выражения для волновых потенциалов, по формулам (2.4) определим смеще-
ния и напряжения в начальные моменты взаимодействия.
§4. Анализ численных результатов.
Наибольший интерес с точки зрения механики взаимодействия представляют на-
пряжения ( ),rθσ θ на конической поверхности конуса. В связи с тем, что задача ре-
шалась в предположении, что смещения ( ), ,u r tθ θ равны нулю на конической по-
верхности, то тем самым предполагалось, что поверхность конуса сцеплена со средой
только относительно нормальных смещений. Но такое сцепление вместе с требовани-
ем отсутствия касательных напряжений реально трудно осуществить. Анализ во вре-
мени нормальных напряжений может выявить на некоторых участках возникновение
положительных (растягивающих) напряжений ( ),rθσ θ . На этих участках, если не
будет реализовано условие сцепления по нормальным смещениям, возникнут участки
отслоения. В этом случае проблема становится нелинейной и на этих участках поста-
новка задачи должна быть откорректирована, поэтому полезно установить границы
применимости предложенной модели.
91
Исследованы изменения величины ( ) 1, , ( , )r t f tθσ θ θ−Ω = во времени *
1 /t c t a=
в точках наблюдения ( )9 /10, / 3a π , ( )/ 2, / 3a π , ( )/ 3, / 3a π (соответственно, кривые
1, 2, 3 на рис. 2). Численный анализ показал, что на участках поверхности конуса
10 3a r a< < с течением времени возникают растягивающие напряжения, а при зна-
чениях 10r a< – предложенная модель не применима.
Интерес представляет случай 2ω π= , который приводит к исследованию волно-
вого поля полушара при учете его собственного веса под воздействием нестационар-
ной нагрузки на поверхность. На рис. 3 кривые 1 – 3 соответствуют точкам наблюде-
ния ( )9 /10, / 2a π , ( )/ 2, / 2a π , ( )/ 3, / 2a π . Как видно, в этом случае растягивающие
напряжения на поверхности отсутствуют, и поэтому в данном случае предложенная
постановка полностью оправдана. Численный расчет показал, что границы примени-
мости модели существенно расширяются и участки отслоения появляются лишь при
24r a< .
Заметим, что поставленную задачу можно решить для упругого конуса, дважды
усеченного по сферическим поверхностям 0 1, 0 ,a r a θ ω< < < < π ϕ π− ≤ ≤ , прини-
мая, что на сферической поверхности 0r a= напряжения ( ),r rσ θ и ( ),r rτ θ отсутст-
вуют. В этом случае сохраняется подход, основанный на использовании волновых
функций и сведении исходной задачи к векторной краевой задаче в пространстве
трансформант интегральных преобразований Лапласа и преобразования по угловой
координате.
Для построения решения такой задачи используется представление (3.6), но в
этом случае требуется определить уже четыре неизвестных постоянных из системы
линейных алгебраических уравнений. Дальнейшее разложение трансформант в ряд по
обратным степеням параметра позволит получить картину волновых полей для на-
чальных моментов времени.
Р Е З ЮМ Е . Задачу визначення нестаціонарного хвильового поля пружного зрізаного конуса з
урахуванням його власної ваги зформульовано в термінах хвильових функцій. Застосуванням інтег-
ральних перетворень Лапласа за часом і перетворення по полярному куту цю задачу зведено до
розв’язання одновимірної векторної задачі у просторі трансформант. Трансформанти хвильових фун-
кцій розвинено у ряд по обернених ступенях параметра перетворення Лапласа, що дає можливість
досліджувати хвильовий процес у початкові моменти взаємодії. Запропоновано спосіб розв’язання
поставленої задачі для випадку двічі зрізаного по сферичних поверхнях пружного конуса.
Рис. 2
Рис. 3
92
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1966. – 295 с.
2. Вайсфельд Н.Д. Задача про напружений стан суцільного зрізаного конуса при впливі на нього
ударного навантаження // Вісн. Київ. ун-ту. Сер.: Фіз.- матем. науки. – 2003. – № 5. – С. 28 – 36.
3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматгиз,
1963. – 1100 с.
4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко В.А. Дифракция упругих волн. – К.: Наук. думка, 1978. – 307 с.
5. Попов Г.Я. О новых преобразованиях разрешающих уравнений теории упругости и новых инте-
гральных преобразованиях и об их применении к краевым задачам механики // Прикл. механика.
– 2003. – 39, № 12. – С. 12 – 46.
6. Попов Г.Я. Задача о напряженном состоянии упругого конуса, ослабленного терщинами // Прикл.
математика и механика. – 2000. – 64, вып. 2. – С. 337 – 348.
7. Попов Г.Я. Осесимметричная смешанная задача теории упругости для усеченного кругового поло-
го конуса // Прикл. математика и механика. – 2000. – 64, вып. 3. – С. 431 – 433.
8. Попов Г.Я., Абдыманапов С.А., Ефимов В.В. Функции и матрицы Грина одномерных краевых за-
дач. – Алматы: Изд-во Рауан, 1999. – 113 с.
9. Сабодаш П.Ф., Булычев Г.Г. Аналитическое решение осесимметричной задачи динамики полусфе-
рического купола // Докл. РАН. – 2004. – 395, № 4. – С. 474 – 478.
10. Стеклов В.А. О равновесии упругих тел вращения. – Сообщ. Харьков. матем. общ-ва. – 2-я сер. –
1892. – 3, № 4 – 5. – С. 173 – 251.
11. Улитко А.Ф. Векторные разложения в пространственной теории упругости. – К.: Академперио-
дика, 2002. – 341 с.
12. Kenner V., Goldsmith W. Elastic waves in truncated cone. – Experimental Mechanics. – 1967. – B,
N 10. – P. 442 – 449.
13. Low R., Arbor A., Weiss H. On a Mixed Boundary Value Problem for an Infinite Elastic Cone.
// Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). – 1961. – 13, N3. – P. 232 – 242.
14. Michell J. Some elementary distributions in three dimensions // Proc. London Math. Soc. – 1900. – 32. –
P. 23 – 61.
15. Thompson T., Little R. End effects in a truncated semi-infinite cone // The Quarterly J. of Mech. and
Appl. Math. – 1970. – 23(2). – P. 185 – 196.
Поступила 06.07.2009 Утверждена в печать 21.10.2010
|