Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах
The natural damped vibrations of a wheel crew with independent suspension are considered with allowance for nonlinear characteristics of the suspension springs and shock absorbers. The vibrations of a wheel crew with the suspension smooth nonlinear characteristics are studied for the model with se...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95456 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах / Ю.В. Михлин, С.Г. Митрохин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 115-123. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95456 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954562016-02-27T03:01:59Z Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах Михлин, Ю.В. Митрохин, С.Г. The natural damped vibrations of a wheel crew with independent suspension are considered with allowance for nonlinear characteristics of the suspension springs and shock absorbers. The vibrations of a wheel crew with the suspension smooth nonlinear characteristics are studied for the model with seven degrees of freedoms. The corresponding skeleton curves and nonlinear normal modes of vibrations are obtained. For the model with two degrees of freedoms (quarter of the wheel crew), which corresponds to axisymmetric vibrations, the nonlinear normal modes are found for the case of non-smooth nonlinear characteristic of shock absorber. Розглянуто вільні затухаючі коливання колісного екіпажу з незалежною підвіскою з урахуванням нелінійних характеристик пружин та амортизаторів підвіски. Досліджено коливання колісного екіпажу з гладкими нелінійними характеристиками підвіски для моделі з 7 степенями свободи. Отримано відповідні скелетні криві і нелінійні нормальні форми коливання. Для моделі з двома степенями свободи (чверть колісного екіпажу), що відповідає симетричним коливанням, знайдено нелінійні нормальні форми у випадку негладкої нелінійної характеристики амортизатора. 2010 Article Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах / Ю.В. Михлин, С.Г. Митрохин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 115-123. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95456 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The natural damped vibrations of a wheel crew with independent suspension
are considered with allowance for nonlinear characteristics of the suspension springs and
shock absorbers. The vibrations of a wheel crew with the suspension smooth nonlinear characteristics are studied for the model with seven degrees of freedoms. The corresponding skeleton curves and nonlinear normal modes of vibrations are obtained. For the model with two degrees of freedoms (quarter of the wheel crew), which corresponds to axisymmetric vibrations, the nonlinear normal modes are found for the case of non-smooth nonlinear characteristic of shock absorber. |
| format |
Article |
| author |
Михлин, Ю.В. Митрохин, С.Г. |
| spellingShingle |
Михлин, Ю.В. Митрохин, С.Г. Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах Прикладная механика |
| author_facet |
Михлин, Ю.В. Митрохин, С.Г. |
| author_sort |
Михлин, Ю.В. |
| title |
Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах |
| title_short |
Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах |
| title_full |
Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах |
| title_fullStr |
Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах |
| title_full_unstemmed |
Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах |
| title_sort |
нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95456 |
| citation_txt |
Нелинейные колебательные процессы в колесных экипажах / Ю.В. Михлин, С.Г. Митрохин // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 115-123. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT mihlinûv nelinejnyekolebatelʹnyeprocessyvkolesnyhékipažah AT mitrohinsg nelinejnyekolebatelʹnyeprocessyvkolesnyhékipažah |
| first_indexed |
2025-07-07T02:15:22Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:15:22Z |
| _version_ |
1836952608258916352 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 11
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 11 115
Ю . В .Ми х л и н , С . Г .Ми т р о х и н
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В КОЛЕСНЫХ ЭКИПАЖАХ
Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт»,
ул. Фрунзе 21, 61002, Харьков, Украина; e-mail: muv@kpi.kharkov.ua
Abstract. The natural damped vibrations of a wheel crew with independent suspension
are considered with allowance for nonlinear characteristics of the suspension springs and
shock absorbers. The vibrations of a wheel crew with the suspension smooth nonlinear char-
acteristics are studied for the model with seven degrees of freedoms. The corresponding
skeleton curves and nonlinear normal modes of vibrations are obtained. For the model with
two degrees of freedoms (quarter of the wheel crew), which corresponds to axisymmetric
vibrations, the nonlinear normal modes are found for the case of non-smooth nonlinear
characteristic of shock absorber.
Key words: natural damped vibrations of wheel crew, nonlinear characteristics of sus-
pension, nonlinear normal modes.
Введение.
Основными устройствами, защищающими колесные экипажи от динамических
воздействий со стороны дороги и сводящими колебания и вибрации к приемлемому
уровню, являются подвеска и шины. В большинстве случаев в работах, посвященных
исследованию динамики колесного экипажа, исследуются модели с линейными ха-
рактеристиками. Такие модели позволяют решить многие задачи исследования дина-
мики колесных экипажей. Однако в реальных экипажах используются подвески, уп-
ругие характеристики которых в силу конструктивных особенностей и использован-
ного материала, как правило, являются существенно нелинейными.
Соответствующий анализ нелинейных систем представляет достаточно сложную
проблему. Поэтому, чаще всего, рассматриваются упрощенные модели колесного
экипажа, в частности, четверть экипажа («quarter-car») для исследования вертикаль-
ных колебаний [5, 11, 16], или половина экипажа (четыре степени свободы, «half-car»)
для исследования только лишь вертикальных движений и наклона кузова в попереч-
ной плоскости (качения) [6, 9]. Достаточно подробное описание различных моделей
динамики нелинейных колесных экипажей представлено в книге [4]. Движению ко-
лесных транспортных систем посвящены также работы [2, 3].
В представленной работе рассмотрена модель динамики колесного экипажа с 7
степенями свободы (полная модель экипажа) с независимой передней и задней под-
весками. Модель учитывает вертикальные колебания четырех колес, а также переме-
щение и повороты кузова относительно центра тяжести. Использование такой модели
позволяет исследовать основные виды колебаний колесного экипажа, а именно, вер-
тикальные перемещения центра тяжести кузова, угол поворота кузова в продольной
вертикальной плоскости и угол поворота кузова в поперечной вертикальной плоскости
относительно центра тяжести [8, 10, 17]. Учитываются нелинейные упругие характе-
ристики передних и задних пружин подвески. В работе исследованы также колебания
четверти колесного экипажа для случая разрывных нелинейных демпфирующих ха-
рактеристик амортизаторов. Для колебаний с разрывными характеристиками рас-
смотрена вначале модель с кусочно-линейной функцией демпфирования, а затем –
модель с более реальной кубической разрывной характеристикой амортизатора.
Для исследования динамики колесного экипажа с нелинейными характеристика-
ми подвески (как гладкими, так и разрывными) использована концепция нелинейных
116
нормальных форм колебаний, которая ранее в задачах динамики колесного экипажа
не использовалась. Можно полагать, что во многих случаях, например, после удара
такие режимы являются наиболее важными при описании динамики транспортного
средства. Это связано с тем, что вследствие сильной диссипации переходные процес-
сы здесь являются очень непродолжительными. Концепция нелинейных нормальных
форм колебаний, как будет показано далее, может быть успешно использована как в
случае гладких, так и в случае разрывных характеристик подвески.
1. Математическая модель колесного экипажа с 7 степенями свободы.
На рис. 1 показана модель колесного экипажа с независимой подвеской, которая
рассматривалась в работах [8, 10, 17]. В отмеченных работах обсуждается также сте-
пень адекватности рассматриваемой модели.
Кузов экипажа (масса М) пред-
ставляет собой жесткое тело, кото-
рое может совершать вертикальные
колебания и поворачиваться отно-
сительно центра тяжести. Здесь z –
вертикальное перемещение центра
тяжести кузова; α – угол поворота
кузова в продольной вертикальной
плоскости относительно центра
тяжести; β – угол поворота кузова
в поперечной вертикальной плос-
кости. Колебания подвески харак-
теризуются вертикальными пере-
мещениями ( 1 ... 4)ix i = масс пе-
редней 1m и задней 2m подвесок.
Размеры 1d , 2d характеризуют
половину колеи передней и задней
частей колесного экипажа, соот-
ветственно, и 1l , 2l – расстояния от
центра тяжести до передней и зад-
ней осей, соответственно. Шины
представлены в виде жесткостных
элементов с линейными характери-
стиками. Подвеска характеризуется
демпфирующими элементами и
нелинейными характеристиками передних и задних пружин (рис. 2). Силы, возни-
кающие в передней и задней подвесках при растяжении-сжатии пружин, достаточно
точно описываются полиномами седьмой степени – 1( )f x и 2 ( ).f x Эти характеристи-
ки являются типичными, получаемыми в результате экспериментов. Некоторые дан-
ные по характеристикам пружин приведены в работе [18].
Перемещение центра тяжести кузова характеризуется вектором обобщенных ко-
ординат { }Tq z α β= , а вертикальные перемещения масс подвески описываются
вектором 1 2 3 4{ }Tx x x x x= . Матрицы масс кузова СМ и элементов подвески ,SМ
матрица жесткости шин С и матрица демпфирования К являются диагональными.
Перемещения углов кузова связаны с его перемещением при помощи следующей
матрицы преобразования:
1 1
1 1
2 2
2 2
1
1
.
1
1
l d
l d
H
l d
l d
−
− − =
−
(1)
Рис. 1
Рис. 2
117
Разность перемещений между угловыми точками ку-
зова и элементами подвески описывается вектором
U Hq x= − , а разность скоростей – вектором V Hq x= −& & .
Вектор нелинейных характеристик пружин подвески
может быть записан в виде
1 1 1 2 2 3 2 4{ ( ) ( ) ( ) ( )} .T
NLC f U f U f U f U= (2)
Таким образом, уравнения нелинейных свободных
колебаний колесного экипажа в матричном виде записы-
ваются следующим образом:
0;
0.
T T
C NL
S NL
M q H C H KV
M x C Cx KV
+ + =
− + − =
&&
&&
(3)
Значения параметров экипажа, для которого прово-
дились численные расчеты, представлены в табл. 1.
2. Нормальные формы и переходные процессы для полной модели колесного
экипажа.
При рассмотрении колебаний вблизи положения равновесия нелинейные функции
жесткости можно заменить линейными. Расчеты показывают, что, как и следовало
ожидать, низшие частоты колебаний отвечают двум формам колебаний, где преоблада-
ют, соответственно, углы поворота кузова в поперечной вертикальной плоскости β , и
вертикальные движения, которые определяются переменной z . Примерно в 9 – 10 раз
выше частоты, отвечающие четырем формам колебаний – синфазные и антифазные
движения двух пар переменных – 1 2,x x и 3 4,x x , причем частоты синфазных и анти-
фазных движений близки. Промежуточное положение занимает еще одна форма ко-
лебаний, где преобладают углы поворота кузова в продольной вертикальной плоско-
сти относительно центра тяжести α . Однако, как показывают расчеты, даже при не
слишком больших начальных отклонениях в вертикальных перемещениях или в углах
поворота модели нелинейность вносит заметный вклад в формы и частоты колебаний.
Для анализа нелинейного поведения рассматриваемых систем используется кон-
цепция нелинейных нормальных форм колебаний. Нелинейные нормальные формы
колебаний – это обобщение нормальных форм колебаний линейных систем. В режиме
нормальных колебаний система конечной размерности ведет себя как система с одной
степенью свободы, при этом все позиционные переменные однозначно выражаются
через одну из этих переменных [10, 12, 15]. В общем случае траектории нелинейных
нормальных колебаний в конфигурационном пространстве являются криволинейными,
в отличии от прямолинейных траекторий в линейных системах. Приложениям теории
нормальных форм колебаний в динамике нелинейных упругих систем посвящена рабо-
та [1]. В работах [13, 14] С. Шоу и К. Пьер переформулировали концепцию нелиней-
ных нормальных форм для общего класса нелинейных дискретных систем. Этот под-
ход с успехом был использован для решения некоторых нелинейных задач динамики.
Для использования указанного метода исходная система уравнений (3) должна
быть представлена в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка
; ( , ),
dx dy
y f x y
dt dt
= = (4)
где 1{ }T
Nx x x= K – вектор обобщенных координат; 1{ }T
Ny y y= K – вектор обоб-
щенных скоростей. Затем выбирается пара независимых координат ( , ),u v где u –
некоторая выбранная обобщенная координата, а v – соответствующая обобщенная
Таблица 1
Параметр Значение
M 2369 кг
xI 4108 кг 2м
yI 938 кг 2м
1m 77 кг
2m 108,5 кг
1k 700 кг/с
2k 900 кг/с
tc 258000 Н/м
1l 1,459 м
2l 1,486 м
1d 0,868 м
2d 0,837 м
118
скорость. В соответствие с концепцией Шоу – Пьера нелинейная нормальная форма
колебаний определяется следующим образом: нелинейная нормальная форма – это
такой режим колебаний, когда все обобщенные координаты и скорости однозначно
определяются выбранной парой независимых координат. Заметим, что нормальные
формы Шоу – Пьера являются важным частным случаем так называемых инвариант-
ных многообразий динамических систем.
Например, выбор в качестве независимых координат пары с индексом 1 позволяет
записать нормальную форму колебаний в следующем виде:
1
1
2 2
2 2
( , )
( , ) .
( , )
( , )
N N
N N
x u
y v
x X u v
y Y u v
x X u v
y X u v
=
M M
(5)
Вычисляя производные по времени для всех переменных в системе (5), учитывая,
что ( )u u t= и v=v(t), и подставляя полученные выражения для производных в систему
(4), получаем следующую систему дифференциальных уравнений в частных произ-
водных:
1 1( , ) ( , ); ( , ) ( , ) ( 1 ... ).i i i i
i i
X X Y Y
v f x y Y u v v f x y f x y i N
u v u v
∂ ∂ ∂ ∂
+ = + = =
∂ ∂ ∂ ∂
(6)
Решение системы уравнений в частных производных (6) определяется в виде сте-
пенных рядов (в рассматриваемой задаче сохраняются члены до седьмой степени
включительно по переменным u и v)
2 2
1 2 3 4 5
2 2
1 2 3 4 5
( , ) ;
( , ) .
i i i i i i i
i i i i i i i
x X u v a u a v a u a uv a v
y Y u v b u b v b u b uv b v
= = + + + + +
= = + + + + +
K
K
(7)
Ряды (7) подставляются в (6),
после чего коэффициенты при
одинаковых степенях приравнива-
ются, образуя рекуррентные систе-
мы алгебраических уравнений. Ре-
шая полученные системы, находим
коэффициенты разложений (7), и,
таким образом, определяем форму
колебаний. Подобным образом оп-
ределяются все семь нелинейных
форм колебаний системы. Величи-
ны коэффициентов разложений (7)
здесь не приведены. На рис. 3 по-
казаны поверхности (интегральные
многообразия), характеризующих первую форму колебаний, и соответствующие траекто-
рии движения конкретных позиционных переменных на каждой из этих поверхностей.
Для построения скелетных кривых для нормальных форм колебаний используется
метод гармонической линеаризации совместно с методом продолжения по параметру.
Полученные скелетные кривые показаны на рис. 4, где показаны изменения угла по-
Рис. 3
119
ворота ( )aα и перемещения 1( )x б , а также скорости переменных ( )вα и 1( )x г в за-
висимости от ,u v (первая форма колебаний нелинейной системы; независимая пара
координат z и ;z& начальные условия: 0,075z = и 0).z =&
Рис. 4
Числовые расчеты показывают, что высокочастотные колебания частей подвески
затухают достаточно быстро и в результате колебания выходят на низкочастотный
режим, соответствующий колебаниям кузова.
3. Нелинейные нормальные формы колебаний и переходные процессы для
негладких характеристик виброударного гасителя колебаний.
3.1. Модель четверти колесного экипажа («quarter-car»). Уравнения движе-
ния. Ниже рассмотрена динамика подвески колесного экипажа для случая негладких
характеристик виброударного гасителя колебаний. Используется модель четверти
колесного экипажа, представленная на рис. 5, где показаны скелетные кривые нели-
нейной системы (полная модель автомобиля: а – для координат кузова; б – для коор-
динат частей подвески).
Рис. 5
Уравнения движения имеют следующий вид:
120
1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0;
( ) ( ) 0.t
Mx f x x d x x
mx f x x d x x c x
+ − + − =
+ − + − + =
&& & &
&& & &
(8)
где ( )f x – функция, характеризующая жесткость нелинейной пружины; ( )d x& – не-
линейная функция, характеризующая диссипацию в подвеске, а именно,
1 1 2
2 1 2
( ) , 0;
( )
( ) , 0.
d x x x
d x
d x x x
− <
=
− ≥
& & &
&
& & &
(9)
3.2. Кусочно-линейная характеристика гасителя. Кусочно-линейная характе-
ристика виброударного гасителя (рис. 6) является приближением более точной харак-
теристики, рассмотренной ниже. Упругие характеристики пружин в подвеске принима-
ются линейными. Изменения угла поворота ( )tα (начальное условие (0) 100 ммz = (а),
перемещения 1( )x t ( (0) 100 мм)z = (б), а также перемещения 1( )x t при (0) 6β = ° (в))
показаны для случая линейной (кривая 1) и нелинейной (кривая 2) моделей.
Для определения нормальных форм колебаний здесь также используется концеп-
ция Шоу – Пьера, т.е. все обобщенные координаты и скорости однозначно определя-
ются выбранной парой независимых координат. Первая нелинейная нормальная фор-
ма колебаний, определенная этим методом, для модели четверти автомобиля показана
на рис. 7. Значения параметров модели четверти колесного экипажа, для которого
проводился численный расчет, представлены в табл. 2.
Каждому линейному участку характеристики соответствует своя форма колебаний.
На рисунках можно наблюдать как движения на плоскостях, соответствующих фор-
мам колебаний, так и переходные процессы из одной формы колебаний в другую. Эти
переходные процессы возникают при переходе через точку излома кусочно-линейной
характеристики демпфирования. Сравнительно быстрый выход в режим нормальной
формы колебаний связан с существенным демпфированием в рассматриваемой системе.
Рис. 7
Рис. 6
Таблица 2
Параметр Значение
M 592,25 кг.
M 108,5 кг.
tc 258000 Н/м
( )f x ( )f x = 55000 x
121
3.3. Негладкие кубические характе-
ристики подвески. Более реальной явля-
ется нелинейная характеристика демпфи-
рования в подвеске, а именно, кусочно-
линейная характеристика ударного демп-
фирования ( )d x& представлена на рис. 8.
При этом в нелинейной упругой характери-
стике жесткости подвески сохранялись ли-
нейные и кубические слагаемые.
Параметры колесного экипажа соот-
ветствуют значениям из табл. 2. Одна из
нормальных форм колебаний, полученная
в этом случае, и переходные процессы из одной формы колебаний в другую, возни-
кающие при переходе через точку излома характеристики, изображены на рис. 9, где
показаны нормальные формы колебаний для кусочно-линейной характеристики
демпфирования. Первая нормальная форма представлена на рис. 9, а, где в качестве
независимых переменных выбраны переменная 1x и соответствующая скорость и по-
казано изменение перемещения 2x (слева) и изменение его скорости (справа) в зави-
симости от u и v . Вторая нормальная форма колебаний дана на рис. 9, б (независи-
мые переменные 2x и соответствующая скорость; изменение перемещения 1x (слева),
а изменение его скорости (справа)).
Движение по формам колебаний во времени и переходной процесс для линейно-
кусочной характеристики демпфирования для первой (а) и второй (б) нормальных
форм колебаний показаны на рис. 10, где даны изменения перемещения 2x (слева) и
его скорости (справа) во времени (а), а также изменение перемещения 1x (слева) и
перемещения 2x (справа).
Рис. 9
Рис. 8
122
Рис. 10
Заключение.
В данной работе рассмотрена нелинейная динамика колесного экипажа, который
представлен моделью с 7 степенями свободы. При этом учитываются нелинейные
характеристики подвески. При проведении исследований использована концепция
нелинейных нормальных форм колебаний. Эти формы колебаний получены как для
случая, когда учитывается нелинейная жесткость в подвеске, так и для случая, когда
учитывается нелинейная разрывная характеристика ударного демпфера. В последнем
случае применяется упрощенная модель колесного экипажа. Численные методы по-
зволяют графически представить нормальные формы колебаний, а также переходные
процессы, которые в случае разрывной характеристики возникают при переходе через
точку разрыва и приводят к переходу от одной формы колебаний к другой. Переход-
ные процессы являются непродолжительными, что связано с существенным демпфи-
рованием в рассматриваемой системе. Во многих случаях нормальные формы колеба-
ний являются основными режимами колебаний в подвеске колесного экипажа.
Р Е З ЮМ Е . Розглянуто вільні затухаючі коливання колісного екіпажу з незалежною підвіс-
кою з урахуванням нелінійних характеристик пружин та амортизаторів підвіски. Досліджено коли-
вання колісного екіпажу з гладкими нелінійними характеристиками підвіски для моделі з 7 степеня-
ми свободи. Отримано відповідні скелетні криві і нелінійні нормальні форми коливання. Для моделі з
двома степенями свободи (чверть колісного екіпажу), що відповідає симетричним коливанням, знай-
дено нелінійні нормальні форми у випадку негладкої нелінійної характеристики амортизатора.
1. Курилов Е.А., Михлин Ю.В. О нелинейных колебаниях цилиндрических оболочек в сверхзвуковом
потоке с учетом начальных неправильностей // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 9. – С. 63 – 73.
2. Ларин В.Б. О стабилизации движения колесного транспортного робота // Прикл. механика. – 2007.
– 43, № 7. – С. 114 – 124.
3. Ларин В.Б. О задаче управления составным колесным экипажем // Прикл. механика. – 2007. – 43,
№ 11. – С. 105 – 112.
4. Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля. Изд. 3-е. – М.: Машиностроение, 1972.
5. Haroon M., Adams D.E., WahLuk Y., Ferri A.A. A time and frequency domain approach for identifying
nonlinear mechanical system models in the absence of an input measurement // J. of Sound and Vibra-
tion. – 2005. – 283. – Р. 1137 – 1155.
6. Hrovat D. Optimal suspension performance for 2-D vehicle models // J. of Sound and Vibration. – 1991. –
146. – Р. 93 – 110.
7. Hyo-Jun Kim , Hyun Seok Yang, Young-Pil Park Improving the vehicle performance with active suspen-
sion using road-sensing algorithm // Computers and Structures. – 2002. – 80. – Р. 1569 – 1577.
123
8. Marzbanrad J., Ahmadi G., Zohoor H., Hojjat Y. Stochastic optimal preview control of a vehicle suspen-
sion // J. of Sound and Vibration. – 2004. – 275. – P. 973 – 990.
9. Mikhlin Yu. Normal vibrations of a general class of conservative oscillators // Nonlinear Dynamics. –
1996. – 11. – Р. 1 – 16.
10. Pilipchuk V., Moshchuk N., Shih-Ken Chen Vehicle state estimation using dynamic 7 degree-of-freedom
observer // Proc. of IMECE2006, Chicago, USA, 2006. – Р. 1 – 8.
11. Robson J.D. Road surface description and vehicle response // Int. J. of Vehicle Design. – 1979. – 9. –
Р. 25 – 35.
12. Rosenberg R. Nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom // Advances of Applied
Mechanics. – New York: Academic Press, 1966. – 9. – Р. 156 – 243.
13. Shaw S., Pierre C. Nonlinear normal modes and invariant manifolds // J. of Sound and Vibration. –
1991. – 150. – Р. 170 – 173.
14. Shaw S., Pierre C. Normal modes for nonlinear vibratory systems // J. of Sound and Vibration. – 1993. –
164. – Р. 85 – 124.
15. Vakakis A., Manevitch L., Mikhlin Y., Pilipchuk V., Zevin A. Normal modes and localization in nonlinear
systems. – New York: Wiley, New-York, 1996.
16. Williams R.A. Automotive active suspensions, Part 1: Basic principles // Proc. of the Institute
of Mechanical Engineers, Journal of Automobile Engineering, Proc. Part D. – 1997. – 211. –
Р. 415 – 426.
17. Wong J.Y. The theory of ground vehicles. 2nd ed. – New York: John Wiley, 1993.
18. Zhu Q., Ishitobi M. Chaos and bifurcations in a nonlinear vehicle model // J. of Sound and Vibration. –
2004. – 275. – Р. 1136 – 1146.
Поступила 21.04.2009 Утверждена в печать 21.10.2010
|