Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле
A problem of magnetoelasticity of flexible conical shell in non-stationary magnetic field is considered. An analysis of the effect of conicity on the shell stress-strain state is carried out.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95462 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 57-64— Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95462 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954622016-02-27T03:02:18Z Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. A problem of magnetoelasticity of flexible conical shell in non-stationary magnetic field is considered. An analysis of the effect of conicity on the shell stress-strain state is carried out. Розглянуто задачу магнітопружності для гнучкої ортотропної конічної оболонки в нестаціонарному магнітному полі. Проведено аналіз впливу конусності на напружено-деформований стан оболонки. 2010 Article Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 57-64— Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95462 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A problem of magnetoelasticity of flexible conical shell in non-stationary
magnetic field is considered. An analysis of the effect of conicity on the shell stress-strain
state is carried out. |
| format |
Article |
| author |
Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. |
| spellingShingle |
Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле Прикладная механика |
| author_facet |
Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. |
| author_sort |
Мольченко, Л.В. |
| title |
Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле |
| title_short |
Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле |
| title_full |
Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле |
| title_fullStr |
Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле |
| title_full_unstemmed |
Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле |
| title_sort |
влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95462 |
| citation_txt |
Влияние конусности на напряженно-деформи-рованное состояние гибкой ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 57-64— Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT molʹčenkolv vliâniekonusnostinanaprâžennodeformirovannoesostoâniegibkojortotropnojkoničeskojoboločkivnestacionarnommagnitnompole AT loosii vliâniekonusnostinanaprâžennodeformirovannoesostoâniegibkojortotropnojkoničeskojoboločkivnestacionarnommagnitnompole |
| first_indexed |
2025-07-07T02:15:43Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:15:43Z |
| _version_ |
1836952631122067456 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 11
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 11 57
Л . В . Мо л ь ч е н к о 1 , И . И . Л о о с 2
ВЛИЯНИЕ КОНУСНОСТИ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЕ ГИБКОЙ ОРТОТРОПНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
В НЕСТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко,
пр. Глушкова, 2, 01601 МСП, Киев, Украина;
e-mail: 1 Mol_lv@univ.kiev.ua, 2 Loiri@univ.kiev.ua
Abstract. A problem of magnetoelasticity of flexible conical shell in non-stationary
magnetic field is considered. An analysis of the effect of conicity on the shell stress-strain
state is carried out.
Key words: shell, magnetic field, magnetoelasticity.
Введение.
В механике сопряженных полей важное место занимают вопросы изучения дви-
жения сплошной среды с учетом электромагнитных эффектов. Исследования по ме-
ханике связанных полей в деформируемых телах имеют как фундаментальный, так и
прикладной характер, что придает им особую актуальность. В современной технике
используются конструкционные материалы, которые в недеформированном состоя-
нии являются анизотропными, причем анизотропия свойств таких материалов возни-
кает в результате применения различных технологических процессов. В последнее
время созданы изотропные материалы с новыми электромагнитными свойствами. Эти
материалы могут быть эффективно использованы в различных областях современной
техники. Изучению подобных вопросов были посвящены работы [1, 2, 5, 11, 12, 14,
17,18 и др.].
В большинстве случаев взаимодействие электромагнитного поля с упругим телом
происходит при наличии стороннего электрического тока. При этом приходим к зада-
че электромагнитоупругости. Однако задачи, связанные с вопросами учета сторонних
токов, в основном, достаточно сложные, но существенно упрощаются в случае тонких
тел, подверженных малым изменениям формы при деформации. В данной статье рас-
смотрена деформация гибкого ортотропного конуса с ортотропной электропроводно-
стью при воздействии внешнего магнитного поля и стороннего электрического тока.
1. Постановка задачи. Основные уравнения магнитоупругости для ортотроп-
ного конуса (осесимметричная постановка).
Рассмотрим гибкие оболочки вращения переменной толщины, у которых коорди-
натная поверхность имеет форму, замкнутую в окружном направлении. Предполага-
ем, что оболочка находится под действием нестационарного механического и элек-
тромагнитного воздействий. Пренебрегая влиянием процессов поляризации и намаг-
ничивания, а также температурными напряжениями, примем, что к торцу оболочки
подводится переменный электрический ток от внешнего источника. Упругие свойства
58
материала оболочки являются ортотропными, главные направления упругости кото-
рого совпадают с направлениями соответствующих координатных линий, электро-
магнитные же свойства материала характеризуются тензорами электрической прово-
димости i jσ , магнитной проницаемости i jµ , диэлектрической проницаемости ijε
( ), 1, 2,3i j = .
Исходя из кристаллофизики [9] и следуя работам [3, 6, 19], для рассматриваемого
класса проводящих ортотропных сред с ромбической кристаллической структурой
принято, что тензоры i jσ , i jµ , i jε имеют диагональный вид.
Координатную поверхность в недеформированном состоянии отнесем к криволи-
нейной ортогональной системе координат s и θ , где s – длина дуги образующей
(меридиана), отсчитываемая от некоторой фиксированной точки; θ – центральный
угол в параллельном круге, отсчитываемый от выбранной плоскости. Координатные
линии consts = и constθ = являются линиями главных кривизн координатной по-
верхности. Выбирая координату γ по нормали к координатной поверхности враще-
ния, отнесем оболочку к координатной пространственной системе координат
, ,s θ γ . Толщина оболочки является функцией s , ( )h h s= . В декартовой системе
координат , ,x y z уравнение координатной поверхности имеет вид
( )cosx r s θ= ; ( )siny r s θ= ; ( )z z s= ( ); 0 2o Ns s s θ π≤ ≤ ≤ ≤ ,
где ( )r r s= – радиус параллельного круга; ( )z z s= – расстояние по оси вращения от
начальной плоскости oz z= . Ось OZ совпадает с осью вращения координатной по-
верхности, а уравнения ( )x r s= ; ( )z z s= являются параметрическими уравнениями
образующей в плоскости XOZ , которую в дальнейшем будем называть меридианом.
Параметры Ламе в данном случае принимают вид 1A = , B r= , а радиусы главных
кривизн sR и Rθ равны, соответственно, радиусам кривизн меридиана и длине отрез-
ка, параллельного нормали, заключенного между координатной поверхностью и осью
вращения. Если ϕ – угол между нормалью к координатной поверхности и осью вра-
щения, то имеем
1 sin
R rθ
ϕ
= ; sindz
ds
ϕ= .
Первое уравнение Кодацци – Гаусса с учетом [4] можно записать в следующем
виде: cosdr ds ϕ= .
Примем, что рассматриваемое ортотропное тело линейно относительно магнит-
ных и электрических свойств. С учетом диагонального вида тензоров i jσ , i jµ , i jε
и согласно результатам работ [3, 4, 7, 9, 13], система уравнений в криволинейной ор-
тогональной системе координат, позволяющая математически описать нелинейную
двумерную модель магнитоупругости ортотропных оболочек вращения, состоит из:
уравнений движения
( ) 1coss s
s s
S H rrN N Q
s R Rθϕ
θ θ
∂ ∂ ∂
− + + + +
∂ ∂ ∂
( )
2
0 0 2s s
ur p F r h
t
ρ ρ∧ ∂
+ =
∂
;
( ) ( )21 cossin sin
s
N r S H H Q
r s s R
θ
θ
ϕ
ϕ ϕ
θ
∂ ∂ ∂
+ + + + +
∂ ∂ ∂
59
+ ( )
2
0 0 2
vr p F r h
tθ θρ ρ∧ ∂
+ =
∂
;
( ) ( )
2
0 0 2sins s
s
Q r wrQ N N r p F r h
s R t
θ
θ γ γϕ ρ ρ
θ
∧∂ ∂ ∂
+ − − + + =
∂ ∂ ∂
; (1)
( ) coss s
H rM M rQ r
s θϕ
θ
∂ ∂
+ − − −
∂ ∂
sin 0s sN M rS
r θ θ
ϕ
ϑ ϑ − − =
;
( )21 1cos 0s s
s
Mr H rQ H r N M rS
r s R
θ
θ θ θϕ ϑ ϑ
θ
∂ ∂
+ − + − − − = ∂ ∂
;
1 sin ;s s s s s s
s
S N M N M H M M
R rθ θ θ θ θ θ
ϕ
= − = − = =
;
уравнений Максвелла
( )1 sB rE E
t r s
γ θ
θ
∂ ∂ ∂
− = − ∂ ∂ ∂
;
( )1 0,5s
v wE B B B
t tγ θ θσ + −∂ ∂ + − + ∂ ∂
( )1 r H HH
r h
θ θγ
θ
+ − −∂ = −
∂
; (2)
( )2 0,5 s s
u wE B B B
t tθ γσ + −∂ ∂ − + + ∂ ∂
( )s sH HH
s h
γ
+ −−∂
= − +
∂
;
геометрических соотношений для гибких оболочек
21
2s s
s
u w
s R
ε ϑ
∂
= + +
∂
; 21 cos sin 1
2
v u w
r r rθ θ
ϕ ϕ
ε ϑ
θ
∂
= + + +
∂
;
1
s s
u vr
r s rθ θε ϑ ϑ
θ
∂ ∂ = + + ∂ ∂
;
s
s s
ϑ
χ
∂
=
∂
; 1 cos
sr r
θ
θ
ϑ ϕ
χ ϑ
θ
∂
= +
∂
; (3)
1 cos 1 1 cos sins
s
s
u vv
s r r R r r r s
θ
θ θ
ϑ ϑ ϕ ϕ ϕ
χ ϑ
θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + ∂ ∂ ∂ ∂
;
s
s
w u
s R
ϑ
∂
= − +
∂
; 1 sinw v
r rθ
ϕ
ϑ
θ
∂
= − +
∂
; (4)
соотношений упругости
( ) ;
1
s
s s
s
e hN θ θ
θ
ε ν ε
ν ν
= +
−
( )
1 s s
s
e hN θ
θ θ
θ
ε ν ε
ν ν
= +
−
; s sS g hθ θε= ;
60
( )
3
12(1 )
s
s s
s
e hM θ θ
θ
χ ν χ
ν ν
= +
−
; ( )
3
12(1 ) s s
s
e hM θ
θ θ
θ
χ ν χ
ν ν
= +
−
;
3
2
12s s
hH g θ θχ= (5)
( ;s sθν ν= ;sθ θν ν= s se eθ θν ν= ).
Компоненты силы Лоренца имеют вид [9]
( )2
0 1 0,5s ст s s
u wF hJ B h E B B B B B
t tθ γ θ γ γ γρ σ∧ + −∂ ∂ = − + − + + + ∂ ∂
( )( ) ( )( ) ( )1
1 10,25 ;
12 12s s s s
vh B B B B B B B B B B B
t θ θ θ θ θ θ γσ + − + − + − + − + −∂ + + + + − − − + ∂
( )2
0 2
1
s ст
r B BB vF hJ B h B
r h t
θ θγ
θ γ γ
µ
ρ σ
σ θ
+ −
∧
−∂ ∂ = − × − − + ∂ ∂
( )0,5 w B B B
t θ θ γ
+ −∂ + + +
∂
( ) 2
2 2 20,5 w v vh B B B h B h
t t tθ θ γ γσ σ σ+ −∂ ∂ ∂
+ − − ×
∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )2 210,25 0,5
12 s sB B B B B B Bθ θ θ θ γ
+ − + − + − × + + − − +
;
( ) ( )0 0,5 s ст ст s sF h J B B J B Bγ θ θ θρ ∧ + − + − = − + + + + (6)
( ) ( ) ( )2
3
1
0,5 0,5
r B BB v wh B B B B B
r h t t
θ θγ
γ θ θ θ θ
µ
σ
σ θ
+ −
+ − + −
−∂ ∂ ∂ + − − + + + − ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )3 3 30,5 0,5 0,5s s s s
u vh E B B h B B B h B B B
t tθ γ θ θ γσ σ σ+ − + − + −∂ ∂
− + + + + + −
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3
1 10,25 0,25
12 12s s s s
wh B B B B B B B B
t θ θ θ θσ + − + − + − + −∂ − + + + + − + − ∂
.
Здесь s стJ , стJθ – составляющие плотности электрического тока от внешнего ис-
точника; iσ – электрическая проводимость; E – модуль Юнга; ν – коэффициент
Пуассона; ,sB Bθ
± ± – известные из решения задачи магнитостатики компоненты маг-
нитной индукции на внешней ( )+ и внутренней ( )− поверхностях оболочки. Осталь-
ные обозначения общепринятые в магнитоупругости [1, 9, 10].
Используя приведенные уравнения магнитоупругости (1) – (6), построим разре-
шающую систему дифференциальных уравнений ортотропной конической оболочки в
осесимметричной постановке. Учитывая осесимметричность, предполагаем, что все
компоненты, входящие в уравнения, не зависят от окружной координаты θ .
61
После соответствующих преобразований [4, 9, 15] получаем следующую связан-
ную систему нелинейных дифференциальных уравнений магнитоупругости для гиб-
кой ортотропной конической оболочки с учетом электромагнитной ортотропии.
Представим ее в форме Коши
21 cos sin 1
2
s
s s
s
u N u w
s e h r r
θ θ θν ν ν ϕ ν ϕ
ϑ
∂ −
= − − −
∂
; s
w
s
ϑ
∂
= −
∂
;
( )
3
12 1 cosss
s s
s
M
s re h
θ θν νϑ ν ϕ
ϑ
−∂
= −
∂
;
2
2 2
cos cos sincos 1s
s s s cm
s
N e e h e hN u w P hJ B
s r e r r
θ θ θ
θ γ
ϕ ϕ ϕϕ
ν
∂
= − + + − + − ∂
( )
2
2
1 20,5 s s
u w uh E B B B B B h
t t tθ γ γ γσ ρ+ −∂ ∂ ∂ − − + + + ∂ ∂ ∂
;
2
2 2
cos sin sin cos sins
s s s
s
Q e e hQ N u e h w
s r e r r r
θ θ
θ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ν
∂
= − + + + −
∂
0,5 ( )cm s sP hJ B Bγ θ
+ −− − + − ( ) ( )2
3 [ 0,5 0,25s s s s
wh E B B B B
tθσ + − + −∂
− + − + −
∂
( ) ( )
22
2
1 0,5 ]
12 s s s s
w u wB B B B B h
t t tγ ρ+ − + −∂ ∂ ∂
− − + + +
∂ ∂ ∂
;
3 2
2
cos cos1
12
s
s s s s s s
s
M e e hM Q N
s r e r
θ θϕ ϕ
ν ϑ ϑ
∂
= − + + + − ∂
(7)
3
2
2
sin sin cos
12s s s
s
e e hM
r e r
θ θϕ ϕ ϕ
ν ϑ− + ;
( )2 00,5 s s
s s
B w u B BE B B B
s t t h
γ
θ γσ µ
+ −
+ −∂ ∂ ∂ − = − + + − + ∂ ∂ ∂
;
cosBE E
s t r
γθ
θ
ϕ∂∂
= − −
∂ ∂
.
Полученная связанная разрешающая система нелинейных дифференциальных
уравнений восьмого порядка (7) описывает напряженно-деформированное состояние
гибких токонесущих ортотропных конических оболочек, обладающих ортотропной
электропроводностью. Составляющие силы Лоренца учитывают скорость деформи-
рования оболочки, внешнее магнитное поле, величину и напряженность тока прово-
димости относительно внешнего магнитного поля, механическую и электромагнит-
ную ортотропии материала. Добавив к полученной системе уравнений начальные и
граничные условия, имеем краевую задачу. Эта краевая задача решается численно в
соответствии с методикой, изложенной в работах [4, 9, 16, 17]. Предлагаемый подход
к численному решению краевой задачи магнитоупругости основывается на последо-
вательном применении схемы Ньюмарка, метода квазилинеаризации и метода дис-
кретной ортогонализации.
62
2. Числовой пример.
Рассмотрим усеченную ортотропную коническую оболочку из бороаллюминия,
находящуюся во внешнем магнитном поле, под воздействием нормальной состав-
ляющей механической силы 3 25 10 sin Н /мP tγ ω= ⋅ и внешнего электрического тока
5 25 10 sin /мс тJ tАθ ω= ⋅ .
Толщина оболочки постоянная. Напряженно-деформированное состояние обо-
лочки определяем в зависимости от угла ϕ ( 30; 15; 10; 6ϕ π π π π= ).
Параметры оболочки и материала выбираем следующие:
10 2 10 2
0 s0; 0,4м; e 22,9 10 Н /м ; e 10,7 10 Н /м ;Ns s θ= = = ⋅ = ⋅
( ) ( )1 18 8
1 2 30, 454 10 ом м ; 0, 2 10 ом мσ σ σ− −= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ;
6 1 30, 262; 0,32; 1,256 10 Гн / м; 314,16 с ; 2600 кг / м ;s θν ν µ ω ρ− −= = = ⋅ = =
4
0 5 10 мh −= ⋅ ; 0,1sB B Tθ
± ±= = .
Граничные условия выбираются следующими:
0; 0; 200Н / м; 0,3sins su M Q B tγ ω= = = − = при 0s = ,
0; 0; 0; 0su w Bγϑ= = = = при 0,4s = .
Решение задачи получено на временном интервале -21 10t с= ⋅ , шаг интегрирования
по времени принят равным: -31 10t с∆ = ⋅ при ста точках интегрирования по длине оболочки.
На рис. 1 показано изменение максимальных прогибов 0( ) /w w s h= для значений
угла 6; 10; 15; 30ϕ π π π π= (соответственно графики 1 – 4).
Точки 1 – 11 по оси s – это точки выдачи результатов, которые соответствуют
0;0,05;0,1;0,15;0,2;0,25;0,3;0,35;0,4;0,45;0,5.s = Максимальные значения прогибов
достигаются на пятой итерации по времени при -3t 5 10 с= ⋅ , что согласуется с видом
нагрузки. Видно, что с увеличением угла конусности прогиб увеличивается.
На рис. 2 – 4 показаны графики изменения ( ), ( ), ( )s T s E sθ θ θσ + + для рассмотрен-
ных выше значений угла ϕ при -35 10t с= ⋅ , что отвечает максимальным значениям
прогиба на рис. 1.
Рис. 2
Рис. 1
63
Исходя из приведенных данных, можно судить о влиянии изменения угла на на-
пряженно-деформированное состояние оболочки (номера кривых 1 – 4 соответствуют
принятым на рис. 1). Здесь ( ), ( )s T sθ θσ + + – механические и магнитные напряжения на
внешней поверхности конической оболочки.
На рис. 5 представлено изменение составляющей напряженности электрического
поля ( )E tθ на контуре при 0,04мs = при изменении угла ϕ . На графиках видно мо-
нотонное изменение ( )E tθ при изменении угла. Как и в предыдущих случаях, с уве-
личением угла конусности напряженность электрического поля увеличивается.
На рис. 6 показано распределение нормальной составляющей магнитной индук-
ции ( )B tγ при 0,04мs = для углов, указанных выше. Следует отметить, что при
6; 10; 15ϕ π π π= значения магнитной индукции уменьшаются с увеличением угла
и остаются монотонными. При 30ϕ π= значения ( )B tγ имеют немонотонный характер,
происходит чередование экстремальных значений ( )B tγ по абсолютной величине.
Выводы.
На основании полученных уравнений с использованием предложенной методики
имеем возможность учитывать как ортотропию материала, так и ортотропию элек-
тромагнитного поля конической оболочки, а также влияние деформаций на электро-
магнитные свойства тела.
Такие задачи электромагнитоупругости весьма актуальны с точки зрения прило-
жений. В случае тонких ортотропных или изотропных оболочек с ортотропной элек-
тропроводностью можно решать задачи магнитоупругости путем вариации всех фи-
зико-механических параметров оболочки. В данном случае изучено влияние углов
конусности на напряженно-деформированное состояние ортотропной оболочки.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 6
Рис. 5
64
Р Е З ЮМ Е . Розглянуто задачу магнітопружності для гнучкої ортотропної конічної оболонки в
нестаціонарному магнітному полі. Проведено аналіз впливу конусності на напружено-деформований
стан оболонки.
1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин.
– М.: Наука, 1977. – 272 с.
2. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В. Некоторые задачи электромагнитоупругости пластин. – Ереван:
Изд-во Ереван. ун-та, 1991. – 144 с.
3. Багдасарян Г.Е., Данонян З.Н. Уравнения движения в перемещениях идеально-проводящих упру-
гих анизотропных сред при наличии магнитного поля // Механика: Межвуз. сб. науч. тр. Меха-
ника деформируемого твердого тела. – 1984. – Вып. 3. – С. 32 – 42.
4. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основи теорії пластин та оболонок. – К.: Либідь, 1993. – 231 с.
5. Мольченко Л.В., Лоос І.І., Індіамінов Р.Ш. Магнітопружне деформування ортотропних оболонок
обертання з ортотропною електропровідністю // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. математика, механіка. –
2008. – Вип. 19 – 20. – С. 53 – 59.
6. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. – М.:
Мир, 1967. – 385 с.
7. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. – М.: Гостехиздат, 1948. – 212 с.
8. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. – М.: Наука, 1979. – 639 с.
9. Улитко А.Ф., Мольченко Л.В., Ковальчук В.Ф. Магнітопружність при динамічному навантаженні. –
К.: Либідь, 1994. – 155 с.
10. Green A.E., Naghdi P.M. On electromagnetic effects in the theory of shells and plates // Phil. Trans.
Royal. Soc. (London). – 1983. – A 309. – P. 559 – 610.
11. Grigorenko Ya. M., Rozhok L. S. Stress Analysis of Circumferentially Corrugated Hollow Orthotropic
Cylindrical Shells with Elliptic Cross Section // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 12. – P. 1389 – 1397.
12. Grigorenko Ya. M.,Yaremchenko S.N. Influence of Orthotropy on Displacements and Stresses in Nonthin
Cylindrical Shells with Elliptic Cross Section // Int. Appl. Mech. –2007. – 43, N 6. – P. 654 – 661.
13. Kaliski S. Wave equations of thermoelectromagnetoelasticity // Proc. Vibr. Probl. Pol. Acad. Sci. – 1965.
– 6, N 3. – P. 231 – 265.
14. Kaloerov S.A. Determining the Intensity Factors for Stresses Electric-Flux and Electric–Field Strength in
Multiply Connected Electroelastic Anisotropic Media // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 6. –
P. 631 – 637.
15. Molchenko L.V. A Method for Solving Two-Dimensional Nonlinear Boundary-Value Problems of Mag-
netoelasticity for Thin Shells // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 5. –P. 490 – 495.
16. Molchenko L.V., Dikii P.V. Two-Dimensional Magnetoelastic Solutions for a Circular Plate // Int. Appl.
Mech. – 2003. – 39, N 11. – P. 1328 – 1334.
17. Molchenko L.V., Loos I.I., Indiaminov R.Sh. Determining the Stress State of Flexible Orthotropic Shells
of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 8. – P. 882 – 891.
18. Molchenko L.V., Loos I.I., Indiaminov R.Sh. Stress-Strain State of Flexible Ring Plates of Variable Stiff-
ness in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 11. – P. 1236 – 1242.
19. Moon F.C. Magneto-Solid Mechanics. – New-York: Wiley, 1984. – 437 p.
Поступила 02.07.2009 Утверждена в печать 15.06.2010
|