Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов
A statement is done and a solution is given for the problem on bifurcation stability of rectangular plates made of layered composite materials with allowance for the long-term damage of carrying layers.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95464 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов / Л.П. Хорошун, Д.В. Бабич // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 67-75. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95464 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954642016-02-27T03:01:41Z Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. A statement is done and a solution is given for the problem on bifurcation stability of rectangular plates made of layered composite materials with allowance for the long-term damage of carrying layers. Дано постановку і викладено методику розв’язання задачі про біфуркаційну стійкість прямокутних пластин із шаруватих композитних матеріалів з урахуванням довготривалої пошкоджуваності несучих шарів. Наведено числові результати. 2010 Article Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов / Л.П. Хорошун, Д.В. Бабич // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 67-75. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95464 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A statement is done and a solution is given for the problem on bifurcation
stability of rectangular plates made of layered composite materials with allowance for the
long-term damage of carrying layers. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. |
| spellingShingle |
Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов Прикладная механика |
| author_facet |
Хорошун, Л.П. Бабич, Д.В. |
| author_sort |
Хорошун, Л.П. |
| title |
Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов |
| title_short |
Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов |
| title_full |
Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов |
| title_fullStr |
Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов |
| title_sort |
устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95464 |
| citation_txt |
Устойчивость прямоугольных пластин из слоистого композитного материала при длительной повреждаемости компонентов / Л.П. Хорошун, Д.В. Бабич // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 67-75. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT horošunlp ustojčivostʹprâmougolʹnyhplastinizsloistogokompozitnogomaterialapridlitelʹnojpovreždaemostikomponentov AT babičdv ustojčivostʹprâmougolʹnyhplastinizsloistogokompozitnogomaterialapridlitelʹnojpovreždaemostikomponentov |
| first_indexed |
2025-07-07T02:15:50Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:15:50Z |
| _version_ |
1836952637474340864 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 12
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 12 67
Л .П .Х о р ош у н , Д . В .Б а б и ч
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ИЗ СЛОИСТОГО
КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ДЛИТЕЛЬНОЙ
ПОВРЕЖДАЕМОСТИ КОМПОНЕНТОВ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057. Киев, Украина; e-mail: stochac@inmech.kiev.ua
Abstract. A statement is done and a solution is given for the problem on bifurcation
stability of rectangular plates made of layered composite materials with allowance for the
long-term damage of carrying layers.
Key words: layered composite; long-term damage of carrying layers; bifurcation stabil-
ity; critical time; plate.
Введение.
Инженерная практика свидетельствует, что повреждаемость материалов может
быть как кратковременной (мгновенной), соответствующей уровню напряжений в
момент их задания, так и длительной, проявляющейся в росте концентрации повреж-
дений во времени после приложения нагрузки. Основы структурной теории длитель-
ной повреждаемости макрооднородных и композитных материалов изложены в рабо-
тах [11, 13].
Процесс повреждаемости компонентов композитных материалов моделируется
разрушением рассеянных микрообъемов компонентов материала и образованием на
их месте расположенных микропор. Критерий разрушения единичного микрообъема
характеризуется его длительной прочностью, описываемой дробно-степенной либо
экспоненциально-степенной функциями долговечности, определяемых зависимостью
времени хрупкого разрушения от степени близости эквивалентного напряжения к его
предельному значению, характеризующему кратковременную прочность по критерию
Губера – Мизеса. Задачи устойчивости для тонкостенных конструкций с учетом крат-
ковременной повреждаемости материалов рассмотрены в [7 – 10, 12]. В настоящей
работе осуществлена постановка и получено решение задачи о бифуркационной устой-
чивости прямоугольных пластин из слоистого композитного материала с учетом дли-
тельного микроразрушения отдельных слоев. Особенностью деформирования мате-
риалов при длительной повреждаемости является рост во времени макродеформаций
при заданных постоянных значениях макронапряжений и снижение макронапряжений
при заданных деформациях. Эти явления связаны с изменением во времени эффек-
тивных упругих характеристик повреждающегося материала. Аналогичные явления
наблюдаются в случае ползучести материалов, описываемой теорией старения [1].
В силу формального сходства в описании процессов деформирования материалов
при ползучести (вариант теории старения) и длительной повреждаемости в постанов-
ке и решении задач устойчивости тел во втором случае целесообразно использовать
подходы и понятия, применяемые при исследовании устойчивости тонкостенных кон-
струкций при ползучести [1, 2, 4, 5].
При ползучести материала понятие «критическое значение нагрузки (напряже-
ния)» теряет определенность, поскольку практически при любом значении нагрузки
68
по истечении определенного времени («критического времени») возможна смена ос-
новной формы равновесия тонкостенной конструкции в силу самопроизвольного рос-
та деформаций при постоянном значении нагрузки. Исследование устойчивости тон-
костенных конструкций при ползучести, сводящееся к определению критического
времени потери устойчивости, проводится с использованием различных вариантов
критерия выпучивания [1, 2, 4, 5]. Наиболее предпочтительный из них связан с при-
менением для определения критического времени формул критических напряжений,
получаемых путем решения соответствующих задач устойчивости в нелинейно-
упругой области с использованием касательно-модульной модели (концепция про-
должающегося нагружения) [12]. Указанный критерий является разновидностью ста-
тического критерия устойчивости Эйлера, поскольку для определения критического
времени используются выражения критических напряжений, получаемых с использо-
ванием бифуркационного подхода. Ниже показана процедура применения указанного
статического критерия для определения критического времени выпучивания пластин
из длительно повреждающихся слоистых композитных материалов.
Исследование устойчивости слоистых пластин с учетом длительной повреждае-
мости материалов проводится в два этапа. На первом этапе с использованием каса-
тельно-модульной модели определяются формулы для критических напряжений пла-
стин с учетом мгновенной повреждаемости материала [7]. Затем для заданных напря-
жений, которые отождествляются с критическими напряжениями пластин при дли-
тельно повреждающемся материале, находятся соответствующие значения критиче-
ского времени с использованием выражений баланса пористости для длительно по-
вреждающегося слоистого композитного материала. Основанием для такого подхода
служит то, что cвязь между макронапряжениями и макродеформациями в возмущен-
ном состоянии конструкций для материалов при кратковременной и длительной по-
вреждаемостях по виду совпадает [7]. Отличие состоит в форме записи уравнений
баланса пористости, в которых отражается особенность накопления поврежденности в
слоях композитного материала с течением времени нагружения.
Построение уравнений устойчивости для пластин из изотропных повреждающих-
ся материалов проведено [12] по аналогии со случаем упруго-пластических материа-
лов [1] на основе идеи Эйлера о ветвлении решений с использованием обобщенного
уравнения состояния, сформулированного в виде связи через модуль сдвига интен-
сивностей напряжений и деформаций. В случае анизотропных материалов в зависи-
мость между интенсивностями напряжений и деформаций входит несколько характе-
ристик упругости, вследствие чего не представляется возможным воспользоваться
указанным подходом для нахождения приращений напряжений в возмущенном со-
стоянии при выводе уравнений устойчивости пластин из длительно повреждающихся
анизотропных композитных материала.
Ниже для достижения указанной цели используется прямое варьирование уравне-
ний состояния, представляющих нелинейные зависимости между макронапряжения-
ми и макродеформациями слоистого композита. Предлагаемый подход применим
также и при выводе уравнений устойчивости тонкостенных конструкций из изотроп-
ных повреждающихся материалов.
В [12] показано, что подход к исследованию устойчивости тонкостенных конст-
рукций из повреждающихся материалов на основе концепции продолжающегося на-
гружения является более предпочтительным по сравнению с концепцией приведенно-
модульной нагрузки как с точки зрения точности результатов, так и с точки зрения
упрощения решения задач, поскольку в этом случае отпадает необходимость в опре-
делении зон разгрузки и догрузки. В связи с этим ниже рассматриваем устойчивость
слоистых пластин на основе концепции продолжающегося нагружения.
§1. Уравнения состояния для слоистого материала c повреждающимися изо-
тропными компонентами.
Рассмотрим слоистый материал, изотропные слои которого расположены в плос-
кости 1 2x x . Уравнения состояния для слоистого N -компонентного материала с уче-
том накопления микроразрушений в слоях получены в работе [13]. Рассеянные мик-
роповреждения в i -ом компоненте композитного материала моделируются системой
69
стохастически расположенных квазисферических микропор с объемным содержанием
ip , которое изменяется с течением времени при постоянной нагрузке. Обозначим
модули объемного сжатия и сдвига неразрушенной части i -го компонента ,i iK µ , а
объемные содержания пористого i -го компонента – .ic Если заданы макродеформации
композита ,ijε то макронапряжения ijσ c ними будут связаны соотношениями
* * *
11 11 11 12 22 13 33;σ λ ε λ ε λ ε= + + * * *
22 12 11 11 22 13 33;σ λ ε λ ε λ ε= + + *
12 66 122 ;σ λ ε=
* * *
33 13 11 13 22 33 33;σ λ ε λ ε λ ε= + + *
13 44 132 ;σ λ ε= *
23 44 232 .σ λ ε= (1.1)
Эффективные упругие постоянные *
mnλ в ( 1. 1 ) определяются формулами
( )21 * * **
*
11 * * * * * *
1
4 ;
2 2 2
µ λ µλ
λ
λ µ λ µ λ µ
− +
= +
+ + +
21
* * *
*
12 * * * * * *
1
2 ;
2 2 2
λ λ µ
λ
λ µ λ µ λ µ
−
= +
+ + +
( )* * *
66 11 12 / 2;λ λ λ= −
1
*
*
13 * * * *
1
;
2 2
λ
λ
λ µ λ µ
−
=
+ +
1
*
33 * *
1
;
2
λ
λ µ
−
=
+
1
*
44 *
1
,λ
µ
−
= (1.2)
где
* * * * *
1 1
2
; ; 1;
3
N N
i i i i i i
i i
K f c f cλ µ
= =
= − = =∑ ∑
( )
( )
2
*
4 1
;
3 4 1
i i i
i
i i i i
p K
K
p K p
µ
µ
−
=
+ −
( ) ( )
( ) ( )
2
*
1 9 8
.
3 3 4 2
i i i i
i
i i i i
p K
p K p
µ µ
µ
µ
− +
=
− + +
(1.3)
В дальнейшем для вывода уравнений устойчивости пластин потребуются уравне-
ния состояния при плоском напряженном состоянии. Если отнести пластину к систе-
ме координат 1 2 30x x x , в которой оси 10x и 20x расположены в срединной плоскости
пластины, а ось 30x направлена по нормали к ней, то плоское напряженное состояние
будет реализоваться при 33 13 23 0.σ σ σ= = = В этом случае связь между макронапря-
жениями и макродеформациями слоистого композита на основании (1.1) имеет вид
11 11 11 12 22 ;a aσ ε ε= + 22 12 11 11 22 ;a aσ ε ε= + 12 66 122 aσ ε= (1.4)
или в другой форме
11 11 12 22 11 22 12 11
11 222 2 2 2
11 12 11 12
; ;
a a a a
a a a a
σ σ σ σ
ε ε
− −
= =
− −
12
12
66
.
2a
σ
ε = (1.5)
Постоянные ija через параметры (1.2) определяются формулами
* 2
* 13
11 11 *
33
a
λ
λ
λ
= − ;
* 2
* 13
12 12 *
33
;a
λ
λ
λ
= − *
66 66a λ= . (1.6)
Необходимо отметить, что для постоянных ija являются нелинейные выражения
относительно компонент тензора средних деформаций в слоистом композите ijε в
силу зависимости параметров *
mnλ от текущей пористости материала слоев ip , кото-
рая зависит от продолжительности и уровня нагружения тела.
70
Процесс совместного деформирования и длительного объемного микроразруше-
ния слоистого композита описывается согласно работе [13]. Объемное содержание
микроповреждений в i -ом слое, характеризуемое пористостью ip , находится из урав-
нения баланса пористости, которое при длительной повреждаемости для заданных
макронапряжений ijσ представляется в виде
0 0(1 ) ( ) ,
i
i i i i i ip p p F I tσψ = + − (1.7)
где функция микродолговечности определяется соотношением
1
1
1
1
`
1
( ) .
1
i
i
n
i
i i n
i i
t
t
t
ψ
γ
+
=
+
(1.8)
В ( 1.7 ), ( 1.8 ) обозначено: 0ip – начальная пористость в i -ом компоненте слоистого
композита; (1 )i i
iI I pσ σ ′= − – второй инвариант девиатора тензора средних напряже-
ний ijσ по неповрежденной части i -го слоя композита; iIσ ′ – второй инвариант тен-
зора средних напряжений ijσ ′ в i -ом пористом слое; 0 0/ ,i i it t τ τ= – соответственно,
безразмерное и некоторое характерное время; показатель 1in и коэффициент iγ опре-
деляются из экспериментальных кривых долговечности материалов слоев композита.
Функции ( )i iF k предельного значения ik ( ( )i
i i ik I tσψ= ) для повреждающегося
компонента можно аппроксиммировать степенным законом на некотором отрезке
0
0
0 1
1 0
1
0, ;
( ) , ;
1,
i
i i
i i
i i i i i
i i
i i
k k
k k
F k k k k
k k
k k
α
<
−
= ≤ ≤
−
>
(1.9)
или распределением Вейбулла
0
0 0
0, ;
( )
1 exp ( ) , .i
i i
i i
i i i i i
k k
F k
m k k k k
α
<
=
− − − ≥
(1.10)
Здесь 0ik – минимальная величина предельного значения ik , с которого начинается
разрушение в некоторых объемах i -ого слоя; 1 , ,i i ik m α – постоянные, выбираемые из
условия аппроксимации разброса прочности в i -ом компоненте композита.
Cредние по пористому i -му слою напряжения с соответствующими деформация-
ми связаны формулой [3]
* *2 .i i i
mn i mn mn i mnσ λ ε δ µ ε′ ′ ′= + (1.11)
Для определения концентрации повреждаемости материала в i − ом слое ip необ-
ходимо выразить напряжения в скелете слоя i
mnσ через макронапряжения пластины.
Для этой цели понадобятся полученные в [3] выражения, связывающие средние дефор-
мации в пористом i -ом слое i
mnε ′ с макродеформациями слоистого композита mnε , т.е.
1
3 3*
1 1
; ( , 1, 2);
i i
mn mn m m
i
m nε ε ε ε
µµ
−
′ ′= = = (1.12)
71
1
*
33 33* *
1 1 1
.
2 2 22
i
i rr
i i
λ
ε λ ε ε
λ µ λ µ λ µλ µ
−
′ = − + + + ++
С учетом соотношений (1.10) – (1.6), (1.11), (1.12) средние микронапряжения в
пористом i -ом слое через макронапряжения слоистого композита при плоском на-
пряженном состоянии определяются формулами
( ) ( )* * * * * *
11 12 12 11
11 11 222 2 2 2
11 12 11 12
1 2 (1 ) 1 2 (1 )
;
i i i i i ii
a a a a
a a a a
λ λ µ λ λ λ λ µ λ λ
σ σ σ
+ + − + − + + + + ′ = +
− −
( ) ( )* * * * *
11 12 12 11
22 22 112 2 2 2
11 12 11 12
1 2 (1 ) 1 2 (1 )
;
i i i i i ii
a a a a
a a a a
λ λ µ λ λ λ λ µ λ λ
σ σ σ
+ + − + − + + + + ′ = +
− −
( )
* *
33 11 22
11 12
(1 ) 2
;
i ii
a a
λ λ λµ
σ σ σ
+ + ′ = +
+
*
12 12
66
.
i i
a
µ
σ σ′ = (1.13)
В (1.13) обозначено: * * *( 2 ).i i iλ λ λ µ= − +
Микронапряжения в неразрушенной части i -го слоя определяются формулой
.
1
i
i mn
mn
ip
σ
σ
′
=
−
(1.14)
§2. Уравнения бифуркационной устойчивости для пластин из повреждающе-
гося слоистого композита.
Рассмотрим пластину толщиной h из слоистого N -компонентного материала,
набранного из слоев с толщинами, существенно меньшими толщины пластины. Пред-
полагается, что с течением времени нагружения слои материала повреждаются путем
образования стохастически распределенных по их объему квазисферических пустых
пор с плотностью ip .
Смена основной формы равновесия пластины по истечении некоторого времени
возможна при значениях задаваемых макронапряжений 0
ijσ , меньших критического
значения для пластины из сплошного (неповрежденного) слоистого композита. По-
этому в качестве характеристики, определяющей смену основной формы равновесия
пластины, по аналогии с теорией устойчивости при ползучести, вводится понятие
критического времени, измеряемого промежутком времени от момента начала нагру-
жения до момента смены основной формы равновесия пластины. Уравнение ней-
трального равновесия для пластины при длительной повреждаемости слоистого ком-
позитного материала при заданных напряжениях по виду совпадает с таковым для
пластины при кратковременной повреждаемости материала. Различие состоит лишь в
том, что при исследовании устойчивости пластины при длительной повреждаемости
материала параметры основного напряженного состояния задаются, а при кратковре-
менной повреждаемости – определяются. В случае длительной повреждаемости мате-
риала определению подлежит критическое время. Совпадение вида уравнений устой-
чивости пластин при кратковременной и длительной повреждаемостях является след-
ствием аналогии нелинейных уравнений состояния для рассматриваемых материалов
в возмущенном состоянии (1.1).
C учетом вышеизложенного для исследовании бифуркационной устойчивости од-
нородного основного безмоментного напряженного состояния пластины при длитель-
ной повреждаемости слоистого композитного материала можно воспользоваться
уравнением вида [7]
72
[ ] 0 0 0
1 1 1111 2 1122 3 2222 4 1112 5 1222 11 11 22 22 12 12, , , 2 , 2 , , , 2 , 0,D a w a w a w a w a w T w T w T w+ + + + + + + = (2.1)
где введены обозначения:
1 11 2 12 21 33 3 22 4 13 31 5 23 32; 2 ; ; ; ;a a a a aα α α α α α α α α= = + + = = + = +
0 011 12
11 11 11 22
11 11
;
a a
a e eα
ε ε
∂ ∂
= + +
∂ ∂
0 011 12
12 12 11 22
22 22
;
a a
a e eα
ε ε
∂ ∂
= + +
∂ ∂
0 011 12
13 11 22
12 12
;
a a
e eα
ε ε
∂ ∂
= +
∂ ∂
0 011 12
21 12 22 11
11 11
;
a a
a e eα
ε ε
∂ ∂
= + +
∂ ∂
(2.2)
0 011 12
22 11 22 11
22 22
;
a a
a e eα
ε ε
∂ ∂
= + +
∂ ∂
0 011 12
23 22 11
12 12
;
a a
e eα
ε ε
∂ ∂
= +
∂ ∂
0 066 66
31 12 32 12
11 22
2 ; 2 ;
a a
e a eα
ε ε
∂ ∂
= =
∂ ∂
066
33 66 12
12
2 .
a
a eα
ε
∂
= +
∂
В (2.1), (2.2) принято: 1/ ;ij ij Eα α= 3
1 1 1/12;D E h E= − модуль упругости неповреж-
денного слоистого материала; 0 0
ij ijT hσ= − погонные тангенциальные усилия в докри-
тическом напряженном состоянии пластины; 0
ijσ − мембранные напряжения в основ-
ном напряженном состоянии; 0
3 ( , 1, 2)ij ij ije x i jε χ= + = − полные деформации в возму-
щенном состоянии пластины; 11 11 12 12 22 22, ; , ; ,w w wχ χ χ= − = − = − − выражения для
кривизн и кручения срединной поверхности пластины; 0 0 0
11 1 22 2 12, ; , ;e u e v e= = =
2 10,5( , , )u v= + − деформации пластины в основном мембранном деформированном
состоянии; w – прогиб пластины.
К уравнению (2.1) необходимо присоединить краевые условия, отвечающие ха-
рактеру закрепления торцов пластины.
Поскольку коэффициенты ija зависят от пористости слоев ip , которая определя-
ется макродеформациями в композите, производные в (2.2) можно представить в виде
1
.
N
ij ij i
ij i iji
a a p
pε ε
=
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂∑ (2.3)
§3. Устойчивость слоистой пластины при одноосном сжатии.
В качестве примера рассмотрим задачу потери устойчивости при заданных на-
пряжениях длинной пластины из двухкомпонентного слоистого материала. Предпола-
гаем, что в процессе нагружения длительно повреждается материал несущих слоев
( 1)i = . Пластина подвергается одноосному сжатию вдоль короткой стороны в на-
правлении оси 10x ( 11 0T ≠ ). Уравнение ( 2. 1 ) в этом случае принимает вид
0
1 1 1111 11 11, , 0.D a w T w+ = (3.1)
При шарнирном опирании длинных сторон пластины шириной a решение урав-
нения (3.1) имеет вид
1sin ,
n x
w A
a
π
= (3.2)
где n – количество полуволн формы потери устойчивости пластины в направлении
сжатия. Критические напряжения, согласно (3.1), (3.2), определяются соотношением
73
2 2
0 1 1
11 2
12
h a E
a
π
σ = 0 011 11 1 12 1
1 11 11 11 22
1 1 11 1 11
; .
a p a p
a a e e
E p p
α
α
ε ε
∂ ∂ ∂ ∂
= = + +
∂ ∂ ∂ ∂
(3.3)
При заданном напряжении 0
11σ , отождествляемом с критическим напряжением
потери устойчивости пластины в момент времени 1t (критическое время), значение
последнего определяется формулой (3.3). Cоотношение (3.3) является нелинейным
выражением относительно критического времени 1t в связи с зависимостью 1a от 1p ,
определяемой формулами (1.7), (1.8).
Bыражение (3.3) требует расшифровки с учетом соотношений, приведенных вы-
ше. Выражения ija определяются с использованием формул (1.2) – (1.6). При 10 0p =
на основании (1.7) имеем ( )( )1 1 1p F I tσψ= . Второй инвариант тензора напряжений в
скелете несущих слоев через средние напряжения в пористом компоненте с учетом
(1.14) определяется выражением
(1 1 1 2 1 1 2 1 1 2
11 22 22 33 33 11
1
1 1
( ) ( ) )
1 6
I
p
σ σ σ σ σ σ σ′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − + −
−
. (3.4)
Для решения нелинейного уравнения (3.3) второй инвариант тензора напряжений
в скелете несущих слоев в рассматриваемом случае необходимо выразить через мак-
ронапряжение 0
11σ . Для этого необходимо воспользоваться формулами (1.13) при
0 0
11 11 22; 0σ σ σ= = .
В пренебрежении нормальной к срединной поверхности пластины деформацией
( 0
33 0ε = ) соотношение (3.4) принимает вид
( )0
1 11 1 11
1 11 12
2 1
.
13
t
I D
p a a
σ
µ σ ψ∗
=
− +
(3.5)
Уравнение баланса пористости с учетом (1.9) при 1 1α = и (3.5) определяется
соотношением
( )
( )
( )
0
1 11 1 1
1 1
1 11 11 22
2 1
1
13
t
p p D
p k a a
µ σ ψ∗
− =
− +
( ) ( )
2 2
11 11 12 12 1
2 2
11 12 1
.
1
a a a a
D
a a
ν
ν
∗
∗
+ + = +
− −
(3.6)
Для определения производной 1 11/p ε∂ ∂ , входящей в соотношение (3.3), использу-
ем уравнение (3.6). Тогда имеем
( )
( )
11
1 1 1
1 11
0
11 11 1 1 1 1
1 2 2
11 1 11 12
2
,
3 2 3
1 2
23
a
t A
p k
t B C
p A B
k p a a
µ ψ
ε σ ψ µ µ
∗
∗ ∗
∂
=
∂ ∂
− − − +
∂ −
(3.7)
где
( )
*
12 11 1
11 12 3
11 12 1 1 11 12
; ; .
a aD
A B a a C
a a p p a a D
µ∂ ∂
= = − =
+ ∂ ∂ −
Мембранные макродеформации в основном напряженном состоянии пластины
определяются формулами
74
0 0
0 011 11 12 11
11 222 2 2 2
11 12 11 12
; .
a a
e e
a a a a
σ σ
= = −
− −
(3.8)
Выражения (3.3) – (3.8) зависят от компонент основного напряженно-деформиро-
ванного состояния пластины в силу исчезающе малых, как это следует из постановки
задачи о бифуркационной устойчивости, возмущений докритического напряженного
состояния при переходе в бесконечно близкое равновесное состояние.
С учетом приведенных соотношений при заданных механических характеристиках
компонентов длительно повреждающегося cлоистого композита и геометрических харак-
теристиках пластины критическое время потери устойчивости пластины при заданном
напряжении 0
11σ определяем в результате решения нелинейного уравнения (3.3) мето-
дом последовательных приближений либо посредством применения обратного метода.
§4. Числовой пример.
Процедура применения обратного способа решения уравнения (3.3) иллюстриру-
ется на примере определения критического времени для пластины из двухкомпонент-
ного слоистого композитного материала при длительной повреждаемости несущих
слоев. Относительная толщина пластины /h R предполагается заданной. Зависимость
значений критического времени от величины критических напряжений определяется
с использованием соотношения (3.3), а также уравнения баланса пористости для не-
сущих слоев композита (3.6) и функции долговечности (1.8).
Необходимо отметить, что потеря устойчивости пластины из длительно повреж-
дающегося материала возможна не при всех значениях напряжений, меньших по ве-
личине верхнего критического значения для пластины из неповрежденного материа-
ла, определяемого формулой (3.3) при 1 0.p = Способ определения границ диапазона
изменения значений нагрузки в указанном смысле указан ниже.
Значения постоянных упругости неповрежденных компонентов слоистого компо-
зита принимаем равными: 10 10
1 1 2 27 10 Па; 0, 2; 0,3 10 Па; 0,35.E Eν ν= ⋅ = = ⋅ =
Для описания распределения микропрочности в несущих слоях композита ис-
пользуем степенной закон (1.9) с параметрами 10
11 01 10,87682 10 Па; 0; 1.k k α= ⋅ = =
Долговечность определяется с применением функции 1 1( )tψ в виде (1.8) с пара-
метрами 11 11, 0,01.n γ= =
Зависимость критического времени от величины задаваемых напряжений опреде-
ляется следующим способом. Задаем последовательность значений пористости несу-
щих слоев 1 ( 1, 2, 3, ...)ip i = . Затем на основании уравнения (3.3) после исключения из
него с учетом (3.6) функции 1 1( )tψ определяем последовательность значений напряжения
0
11( )iσ , отождествляемых с критическими напряжениями пластины в некоторые момен-
ты критического времени 1it , соответствующими последовательности 1 ( 1, 2, 3, ...)ip i = .
Далее с учетом уравнения (3.6) вычисляем последовательность значений функции
( )1 1i itψ , которыми согласно (1.8) определяются соответствующие значения критиче-
ского времени 1it .
Для рассматриваемой задачи диапазон возможных значений задаваемого напря-
жения 0
11σ определяется следующим образом. Верхнее значение напряжения 0
11σ свя-
зано с мгновенным микроразрушением ( 1 0t = ; ( )1 1tψ =1). Уравнения для вычисления
пористости 1p и соответствующего значения 0
11σ в этом случае вытекают из совокуп-
ности соотношений (3.3) и (3.6) при 1 1( ) 1tψ = . Аналогично вычисляется нижнее зна-
чение задаваемых напряжений при условии ( )
1
1 1 1lim 1/ .
t
tψ γ
→∞
=
75
По указанной схеме вычислены значе-
ния критического времени для пластин с
относительными толщинами / 0,0628;h a =
0,0515 при различных допускаемых значе-
ниях задаваемых напряжений. Результаты вы-
числения зависимостей безразмерного пара-
метра критического времени ( 1t ) от безраз-
мерного параметра задаваемых напряжений
( 0
11 11/ kσ ) для пластин из слоистого материала с объемным содержанием несущих слоев
1 0,5c = представлены на рисунке.
Значения безразмерных параметров критических напряжений для указанных плас-
тин без учета повреждаемости, соответственно, составляли: 0 2
11 11/ 0,1329 10 ;kσ −= ⋅
20,1158 10 .−⋅
Заключение.
В данной работе предложена методика определения критического времени потери
устойчивости для прямоугольных пластин из длительно повреждающихся слоистых
композитных материалов. Решена задача о бифуркационной устойчивости для одно-
осно сжатой пластины из длительно повреждающегося слоистого двухкомпонентного
композитного материала.
Р Е З ЮМ Е . Дано постановку і викладено методику розв’язання задачі про біфуркаційну стій-
кість прямокутних пластин із шаруватих композитних матеріалів з урахуванням довготривалої по-
шкоджуваності несучих шарів. Наведено числові результати.
1. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. – М.: Физматгиз,1963. – 879 c.
2. Джерард Дж. Гильберт А. Метод критической деформации для выпучивания пластин и оболочек
при ползучести // Механика: Сб. переводов и обзоров иностр. период. лит. – 1959. – № 2. –
C. 113 – 125.
3. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т.; Т.1. Механика материалов
/ А.Н. Гузь, Л.П. Хорошун, Г.А. Ванин и др. – К.: Наук. думка, 1982. – 367 с.
4. Хофф Н. Обзор теорий выпучивания при полэучести // Механика: Сб. переводов и обзоров иностр.
период. лит. – 1960. – № 1. – C. 63 – 96.
5. Хофф Н. Продольный изгиб при ползучести // Механика: Сб. переводов и обзоров иностр. период.
лит. – 1956. – № 6. – C. 118 – 134.
6. Khoroshun L.P., Babich Д.V. Stability of Plates Made of Fibrous Composite with Damageable Compo-
nents // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 5. – P. 532 – 537.
7. Khoroshun L.P., Babich D.V. Stability of Rectangular Plates Made of a Laminate Material with Damage-
able Components // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 5. – P. 548 – 554.
8. Khoroshun L.P., Babich D.V. Stability of Cylindrical Shells Made of a Laminate Material with Damage-
able Components // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 6. – P. 677 – 683.
9. Khoroshun L.P., Babich D.V. Stability of Laminated Convex Shells of Revolution with Microdamages in
Laminate Components // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 7. – P. 810 – 817.
10. Khoroshun L.P., Babich Д.V. Stability of Plates and Shells Made of Homogeneous and Composite Mate-
rials Subject to Short-Term Microdamage // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 3. – P. 239 – 267.
11. Khoroshun L.P., Babich Д.V. Stability of Rectangular Plates Subject to Long-Term Damage // Int. Appl.
Mech. – 2009. – 45, N 7. – P. 754 – 761.
12. Khoroshun L.P., Babich D.V. Problems of Plate Stability in Short – Term Damaging of a Material // Int.
Appl. Mech. – 2001. – 37, N 2. – P. 231 – 240.
13. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Сoupled Deformation and Long – Term Damage of Layered Materials
with Stress-Rupture Microstrength Described by a Fractional – Power Function // Int. Appl. Mech. –
2009. – 45, N 9. – P. 991 – 999.
Поступила 29.04.2009 Утверждена 21.10.2010
|