Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев
The stability of equilibrium state of layered bodies is studied for biaxial loading. It is assumed that deformation is absent in the layer plane. The three-dimensional linearized theory of stability jointly with the model of piece-wise bodies are used. Two models of layered bodies are considered....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95468 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев / Чехов В.Н. // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 17-30— Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95468 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954682016-02-27T03:02:19Z Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев Чехов, В.Н. The stability of equilibrium state of layered bodies is studied for biaxial loading. It is assumed that deformation is absent in the layer plane. The three-dimensional linearized theory of stability jointly with the model of piece-wise bodies are used. Two models of layered bodies are considered. A solution of concrete problems for layered bodies of different structure is obtained. The critical values of waveformation parameters and loads corresponding the loss stability of layered bodies are found. Досліджено стійкість стану рівноваги шаруватих тіл при двовісному навантаженні. Прийнято гіпотезу про відсутність деформацій в площині шарів. Використано тривимірну лінеарізовану теорію стійкості у поєднанні із моделлю кусково-однорідних тіл. Розглянуто дві моделі шаруватих тіл. Отримано розв’язок конкретних задач для шаруватих тіл різної структури. Визначено критичні значення параметрів навантаження та хвилеутворення, які обумовлюють явище втрати стійкості шаруватих тіл. 2010 Article Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев / Чехов В.Н. // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 17-30— Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95468 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The stability of equilibrium state of layered bodies is studied for biaxial loading.
It is assumed that deformation is absent in the layer plane. The three-dimensional linearized
theory of stability jointly with the model of piece-wise bodies are used. Two models
of layered bodies are considered. A solution of concrete problems for layered bodies of different
structure is obtained. The critical values of waveformation parameters and loads corresponding
the loss stability of layered bodies are found. |
| format |
Article |
| author |
Чехов, В.Н. |
| spellingShingle |
Чехов, В.Н. Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев Прикладная механика |
| author_facet |
Чехов, В.Н. |
| author_sort |
Чехов, В.Н. |
| title |
Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев |
| title_short |
Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев |
| title_full |
Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев |
| title_fullStr |
Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев |
| title_sort |
устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95468 |
| citation_txt |
Устойчивость слоистых материалов при отсутствии деформаций в плоскости слоев / Чехов В.Н. // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 12. — С. 17-30— Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT čehovvn ustojčivostʹsloistyhmaterialovpriotsutstviideformacijvploskostisloev |
| first_indexed |
2025-07-07T02:16:05Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:16:05Z |
| _version_ |
1836952653617168384 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 12
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 12 17
В . Н . Ч е х о в
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ
ДЕФОРМАЦИЙ В ПЛОСКОСТИ СЛОЕВ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова,3, 03057, Киев, Украина;
e - mail: vchekhov@i.com.ua
Abstract. The stability of equilibrium state of layered bodies is studied for biaxial load-
ing. It is assumed that deformation is absent in the layer plane. The three-dimensional lin-
earized theory of stability jointly with the model of piece-wise bodies are used. Two models
of layered bodies are considered. A solution of concrete problems for layered bodies of dif-
ferent structure is obtained. The critical values of waveformation parameters and loads cor-
responding the loss stability of layered bodies are found.
Key words: three-dimensional linearized theory of stability; stability; deformation;
load; coating; layered bodies; waveformation parameter.
Введение.
Проблема устойчивости состояния равновесия слоистых материалов при действии
сжимающих нагрузок является актуальной в горной механике, механике конструкци-
онных материалов, материаловедении и различных отраслях современной техники [1,
6 – 11, 13, 14]. В частности, в горной механике согласно гипотезе Динника предпола-
гается отсутствие деформаций в направлении простирания слоев в слоистом горном
массиве. Поэтому при действии веса вышележащих горных пород на слоистую ее
часть возникает реакция отпора боковых пород и, как следствие, рассматриваемый
слоистый массив находится в условиях двухосного нагружения сжимающими распре-
деленными поверхностными нагрузками «мертвого» или следящего характера. В ме-
таллургическом производстве и машиностроении аналогичная проблема возникает
при прокатке и штамповке многослойных материалов и изделий из них, когда слои-
стый материал расположен между неподвижными боковыми преградами (стенками) и
т.д. Поэтому представляет практический интерес задача определения параметров
внешнего нагружения и физико-механических свойств слоев, при которых возможна
потеря устойчивости таких тел под действием поверхностных нагрузок обжатия и
реакции отпора боковой неподвижной преграды. Подобные задачи для структурно-
однородных тел рассмотрены в работах [2, 6], а для неоднородных тел – в [3, 4, 11].
В настоящей работе указанная проблема рассмотрена для слоистых тел различно-
го вида, объединенных сформулированным выше условием отсутствия тангенциаль-
ных деформаций. Для этого используется трехмерная линеаризированная теория ус-
тойчивости деформируемых тел при малых и конечных докритических деформациях.
18
В качестве объекта исследования выбраны единичный слой и многослойный пакет,
сопряженный с однородным полупространством. При малых деформациях свойства
слоев описываются в рамках модели сжимаемого линейно-упругого изотропного и
ортотропного тел; при конечных деформациях для несжимаемых тел – c помощью
упругого потенциала Трелоара. Для конкретных примеров определены критические
значения параметров нагружения и волнообразования, при которых реализуется явле-
ние потери устойчивости рассматриваемых тел.
§1.Постановка задачи и основные соотношения.
Постановку задач рассмотрим в рамках плоской деформации на основе трехмер-
ной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел. Для этого каждый
элемент слоистой среды отнесем к лагранжевым координатам ( )k
ix , до деформирова-
ния совпадающим с декартовой системой координат
( ) ( )
1 3
k k
x Ox . Представим основные
соотношения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых
тел (ТЛТУДТ) [3]. В рамках первого варианта ТЛТУДТ (конечные докритические
деформации) уравнения равновесия имеют вид
0 0
, ,
,
( ) 0in jn j n in j n j
i
S u S u Xδ + + + = . (1.1)
Линеаризированные граничные условия на части поверхности 1F запишем в виде
0 0( ) ,
, ,
1
N S u S u P
i in jn j n in j n j
F
δ + + =
(1.2)
где inS – компоненты возмущений симметричного тензора обобщенных напряжений,
отнесенных к элементарной площадке в недеформированном состоянии; индексом
«0» отмечены компоненты основного (докритического) состояния. Аналогично на
части поверхности 2F [3] в возмущениях перемещений имеем условие
2
0.m F
u = (1.3)
Линеаризированное выражение для тензора деформаций Грина имеет следующий
вид:
0 0
, , , ,( ) ( )ij ni n i n j nj n j n ju u u uε δ δ= + + + . (1.4)
Связь возмущений компонент несимметричного тензора Кирхгофа t и обобщен-
ных напряжений S принимает вид
0 0
, ,( )ij in jn j n in j nt S u S uδ= + + . (1.5)
Для условий несжимаемости имеем следующие равенства:
0 0
, ,( ) 0ij nj n j n jG u uδ + = , (1.6)
где величина
0
ijG определяется по формуле
0 0
0
det 2
( 2 )
ij rs rs
ij ij
G δ ε
δ ε
∂
= +
∂ +
. (1.7)
При «мертвой» поверхностной нагрузке имеем 0jP = , а при следящей –
0 1 1 2 0 0 0* 0* 0* 0*
* , ,( ) [( )( )(j k jn j n m m kn m nm kP pN g g u u g g g gα α β βδ δ−= + + − −�
19
0* 0* 0* 0*
,) ]n m k jg g g g uβ α β α α β− + . (1.8)
Здесь модуль вектора нагрузки р� не изменяется в процессе ее приложения. Приведем
выражения для связи компонент возмущений тензоров S и ε , соответственно, для
сжимаемых и несжимаемых тел
,
cж
ij ijS uαβ α βλ= ;
0*нсж сж
ij ij inS S g p= + ; ,ij ijt uαβ α βω= . (1.9)
Значения компонент тензоров четвертого ранга ,ij ijαβ αβω λ здесь не приводятся
ввиду громоздкости их записи. В случае третьего варианта ТЛТУДТ (малые докрити-
ческие деформации) имеем следующие зависимости:
0
, ,( ) 0ij in j n iuσ σ+ = ; (1.10)
1
0
,( )i in in j n F jN u Pσ σ+ = ;
2
0m Fu = ; 2 , ,ij n j n ju uε = + ;
0
,ij in in j nt uσ σ= + ; 0, =nnu ; , ,( )j j jP p N u N uα α α β α βδ= −� . (1.11)
Ниже будут рассмотрены задачи при однородном докритического состоянии. Пе-
ремещения при конечных деформациях определяются выражением [3]
0 0( 1)m m mu xλ= − ; 0 const; 1,3m mλ = = , (1.12)
где 0
mλ – коэффициент удлинения вдоль координатной оси mx . Докритические де-
формации в этом случае имеют вид
20 0
2 ( 1)ij ij iε δ λ= − . (1.13)
При этом многие соотношения ТЛТУДТ существенно упрощаются.
Линеаризированные условия несжимаемости (1.6) принимают вид [3]
10
, 0j j juλ
−
= . (1.14)
Формула для компонент «следящей» нагрузки записывается в виде
1 1
3
0 0 0 0 0
1 2 3 , ,
1
( )j j i j i i i i j
i
P p N u N uλ λ λ λ λ
− −
=
= −∑� . (1.15)
Уравнение устойчивости для всех вариантов ТЛТУДТ можно записать так :
0 0
,( ), 0j ij in j n iS S uλ + = . (1.16)
В работах [3, 4] операторным методом при малых и конечных докритических де-
формациях построены общие решения этих уравнений, которые будут приведены при
рассмотрении конкретных задач. Для определения компонент докритического состоя-
ния в случае конечных деформаций используются соотношения (1.12), (1.13). Докри-
тическое состояние при малых деформациях определяется в рамках линейной теории
упругости. Уравнения равновесия и граничные условия принимают вид
1 2, 0; ; .ij i i ij F j j F jN P u fσ σ= = = (1.17)
Согласно определению в плоскости простирания слоев докритические деформа-
ции должны быть равны нулю, т.е.
0( )
11 0
kε = . (1.18)
20
Для построения замкнутой системы уравнений устойчивости ТЛТУДТ в случае
гиперупругих тел необходимо в явном виде записать выражения для упругого потен-
циала, с помощью которого описываются физико-механические свойства рассматри-
ваемых материалов. При конечних деформациях используем потенциал Трелоара,
описывающий свойства несжимаемых материалов,
10 1( 3)Ф С I= − , (1.19)
где 1I – первый алгебраический инвариант. При малых деформациях материал слоев
принимаем сжимаемым изотропным и линейно-упругим. Тогда можно представить
потенциал в виде
2
1 2
1
2
Ф А Аλ µ= + , (1.20)
где 1 2,A A – алгебраические инварианты; ,λ µ – параметры Ламе, которые связаны с
техническими постоянными ,E ν зависимостями
(1 )(1 2 )
Еν
λ
ν ν
=
+ −
,
2(1 )
Е
µ
ν
=
+
. (1.21)
Исследования выполнены в статической постановке в соответствии с принятыми
критериями устойчивости [2 – 4]. Указанный подход приемлем для консервативных
поверхностных нагрузок, к которым относятся «мертвые» нагрузки. Следящие на-
грузки, в общем случае, такими не являются. Поэтому здесь воспользуемся достаточ-
ными условиями применимости метода Эйлера, полученными в [2, 3]. В общем виде
для многослойных сред их можно записать так :
0
1
2
(
T
K
K
j
S S
u
=
+
∫
∪
1
jP –
1
ju
2
( )) 0.j KP dS = (1.22)
Здесь индексы 1 и 2 обозначают первое и второе возможное состояние деформируе-
мой среды. Если «следящие» нагрузки приложены только к поверхности S0, ограни-
ченной кривой L, то из (1.22) следуют условия
3 0Lu = или 0.n Lu = (1.23)
Здесь 3u – составляющая вектора u
�
, направленная по нормали к S0, а nu – по норма-
ли к L на поверхности S0.
Задача определения критических значений параметров нагружения, которые обу-
словливают реализацию явления потери устойчивости в рассматриваемых слоистых
телах, сводится к исследованию системы (1.1) – (1.5) в статической постановке на
собственные значения относительно параметров нагружения. Эти параметры неявным
образом входят в уравнения устойчивости через компоненты тензоров ω или κ . Для
перехода в (1.1) – (1.5) к конкретным системам координат необходимо задавать соот-
ветствующие значения компонентов метрического тензора g и g* [3]. Постановка за-
дачи в виде (1.1) – (1.5) справедлива при любых значениях докритических деформа-
ций. Для перехода к малым деформациям следует выполнить замены
0 0 0 0
0 0 0 0,, ,
nm nm
nm nmg g g g g g Sββ ββσ∗
∗ ∗= = = = , (1.24)
где 0 0,Sββ ββσ – компоненты симметричных тензоров обобщенных и истинных докри-
тических напряжений. В этом случае изменения элементарных объемов и поверхно-
стей в процессе нагружения не учитываются, т.е.
21
1; 1n
n
dS dV
dS dV
∗ ∗
= = . (1.25)
При геометрически линейном основном состоянии дополнительно к (1.24) следу-
ет учесть равенства [3]
1 2 1,n nnλ ε= + = 0
jj j
m m mg u g+ ∇ = , (1.26)
где nnε – компоненты тензора деформаций в докритическом состоянии.
Таким образом, приходим к следующему заключению. Исходную задачу можно
свести к исследованию системы (1.1) – (1.5) в статической постановке на собственные
значения относительно параметров нагружения pii, которые входят в выражения для
компонент тензоров ω и κ и соответствующих значениях их физико-механических
характеристик с учетом выполнения условий (1.18), (1.23).
§2. Устойчивость единичного слоя.
Рассмотрим задачу об устойчивости единичного слоя толщиной 2h, к лицевым
поверхностям которого приложены распределенные «мертвые» нагрузки интенсивно-
сти 33р . Примем, что в плоскости простирания слоя тангенциальные деформации 0
11ε
отсутствуют. Для этого предполагаем, что в этой плоскости он сжимается распреде-
ленной нагрузкой 11p . Слой отнесем к лагранжевым координатам ix (і=1,2,3), до де-
формирования совпадающим с декартовыми. Ось 3оx направлена по нормали к лице-
вым поверхностям слоя. Физико-механические свойства слоя описываются моделью
сжимаемого ортотропного или трансверсально-изотропного линейно-упругого тела.
Исследования проведены в рамках теории, построенной при малых докритических
деформациях, когда основное состояние определяется по геометрически линейной
теории (1.17), (1.18). Уравнения устойчивости в этом случае можно представить в
виде
2 2 2
0 0 0
11 11 12 22 13 33 12 2 2
1 2 3
22
0 0 32
12 12 13 13
1 2 1 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0 (1,2,3, ).
a G G u
x x x
uu
a G a G Curl
x x x x
σ σ σ
∂ ∂ ∂
+ + + + + +
∂ ∂ ∂
∂∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
(2.1)
Линеаризированные соотношения между возмущениями напряжений и переме-
щений имеют вид
(1 )
jk i
ij ij ik ik ij
k j i
uu u
a G
x x x
σ δ δ
∂∂ ∂
= + − + ∂ ∂ ∂
, (2.2)
где через ijδ обозначено символ Кронеккера.; ,ij ija G – упругие постоянные. Гранич-
ные условия при 3x h= ± принимают вид
0 0 03 2 1
33 33 3 32 33 2 31 33 1
3 3 3
; ;
u u u
P P P
x x x
σ σ σ σ σ σ
∂ ∂ ∂
+ = + = + =
∂ ∂ ∂
. (2.3)
Для «мертвых» значений нагрузки 33р правые части в (2.3) равны нулю.
Для случая плоской деформации в координатах 1 3,x x имеют место [3] следующие
решения:
2
1 13 13
1 3
( ) ;u a G
x x
χ
∂
= − +
∂ ∂
2 2
0 0
3 11 11 13 332 2
1 3
( ) ( )u a G
x x
σ σ χ
∂ ∂
= + + +
∂ ∂
, (2.4)
где функция χ определяется из решения уравнения
22
0 02 2 2 2
2 2 2 2 11 11 13 11
1 3 1,22 2 2 2 0 0
3 1 3 1 33 33 13 33
( )( )
0;
( )( )
a G
c c
x x x x a G
σ σ
η η χ η
σ σ
+ +∂ ∂ ∂ ∂
+ + = = ± − ∂ ∂ ∂ ∂ + +
;
0 0 0 0
33 33 13 33 11 11 33 332 ( )( ) ( )( )c a G a aσ σ σ σ+ + = + + + (2.5)
0 0 2
13 33 13 11 13 13( )( ) ( ) .G G a Gσ σ+ + + − +
Для осесимметричной формы неустойчивости в цилиндрических координатах
1 2 3 3, ,r xθ θ ϑ θ= = = аналогично с (2.4) имеем
χ
σ
σσ
χ
∂
∂
+
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
=
∂∂
∂
−=
2
3
2
0
1111
3313
2
2
1313
0
1111
3
3
2
1
;
xa
G
rrraG
a
u
xr
ur
. (2.6)
Функция χ определяется из решения следующего уравнения:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 32 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
0;
x x x x x x
ξ ξ χ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
0 0
2 2 33 33 13 33
2,3 0 0
11 11 13 11
( )( )
;
( )( )
a G
D D
a G
σ σ
ξ
σ σ
+ +
= ± −
+ +
(2.7)
0 0 0 0 0 0 2
11 33 13 33 11 11 33 33 13 11 13 33 13 132 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )D a G a a G G a Gσ σ σ σ σ σ+ + = + + + + + − + .
В пространственной постановке в координатах ix имеем
.
;;
2
1
2
0
1111
0
3313
2
2
2
2
1
2
1313
0
3311
3
32
2
1
2
31
2
2
1
χ
σ
σσ
χχ
∂
∂
+
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
=
∂∂
∂
−Ψ
∂
∂
−=
∂∂
∂
−Ψ
∂
∂
=
xa
G
xxaG
a
u
xxx
u
xxx
u (2.8)
Функция χ удовлетворяет уравнению (2.7), а для функции Ψ имеем уравнение
)(
)(
;0
0
1113
0
33132
12
3
2
2
12
2
2
2
1
2
σ
σ
ξξ
+
+
==Ψ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
G
G
xxx
. (2.9)
Таким образом, для всех трех форм потери устойчивости получаем разрешающие
системы уравнений и общие представления для их решения. Подставляя решение по-
лученных уравнений в граничные условия (2.3), после ряда преобразований в едином
виде для всех трех форм потери устойчивости получаем разрешающее трансцендент-
ное характеристическое уравнение в виде
2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1( )( )sh ch ( )( )sh chс с с сη η η αη αη η η η αη αη− + = − + ; (2.10)
0 0 0 0
1 33 33 13 33 11 11 33 33 13 13 13( )( ) ( )( ) ( );с a G a a a a Gσ σ σ σ+ + = + + − +
0 0
2 13 13 33 13 11 11( ) ( ).c a G G aσ σ+ = +
Здесь параметр волнообразования α для рассматриваемых видов деформирования
определяется выражениями
23
2 2
; ;n
h h h h
l R a b
α π α κ α π= = = + , (2.11)
где обозначено: , , ,l R a b – размеры полуволны формы потери устойчивости, соответ-
ственно, для разных форм потери устойчивости. Из решения уравнения (2.10) опреде-
ляются критические значения параметров нагружения и соответствующих им пара-
метров волнообразования, которые обусловливают реализацию исследуемого явле-
ния. Для решения уравнения (2.10) в [6] использованы аналитические и численные
методы. Аналитическое решение получено методом малого параметра при условии
α <<1 и
1 1
13 31 1 13(1 ) E Gα ν ν − −− <<1. Окончательно в случае плоской деформации для
ортотропного слоя решение имеет вид [6]:
1(1 )t y −= + ×
2 2 22
11 33 13 13 13 11 33 13 13 33
2
13 33 13 33 1333
6( ) 2 1 5 2
1 1 1 ;
3(1 ) 5 5(1 ) 5
a a a a G a a a a ay
y
y G a y G a aa
α − − −+ −
× − + + + − + +
2 2
11 Эл 33 11 Эл 11 33 13 33/ ; cons ; ( ) / 3 ,t p P y p p t P a a a aα= = = = − (2.12)
где через ЭлP обозначена критическая нагрузка для тонкой пластины при сжатии ее
усилиями, равномерно распределенными по торцам. Для линейно-упругого изотроп-
ного слоя решение уравнения (2.10) получено численно на ПЭВМ для широкого диа-
пазона изменения параметров , , yα ν (ν – коэффициент Пуассона для слоя). Сравне-
ние численного решения и решения, полученного по формуле (2.12), приведено в таб-
лице, где в числителе расположено значение параметра . элPpt 11= ., подсчитанного
по формуле (2.12), а в знаменателе – из уравнения (2.10).
0, 2ν = 0,3ν =
y
α =0,1 α =0,2 α =0,1 α =0,2
0
0,9870
---------
0,9871
0,9048
----------
0,9510
0,9860
----------
0,9860
0,9432
---------
0,9467
0,9
0,5234
---------
0,5234
0,5147
-----------
0,5149
0,5231
---------
0,5231
0,5136
---------
0,5139
4,0
0,1995
---------
0,1995
0,1980
---------
0,1984
0,1991
------------
0,1994
0,1985
----------
0,1981
24
В докритическом состоянии, для описания которого привлекается линейная тео-
рия упругости, в случае плоской деформации имеем соотношения [2]
33
0
3331
0
11
0
3313
0
3311
0
11
0
11 , aaaa εεσεεσ +=+= . (2.13)
В случае однородного нагружения распределенной поверхностной нагрузкой
имеем 0 0
11 11 33 33, .p pσ σ= − = − Из соотношений (2.13) при 0
11 0ε = находим для орто-
тропного слоя зависимость 13
11 33
33
a
p p
a
= , а для изотропного – 11 33
1
p p
ν
ν
=
−
. В по-
следнем случае имеем зависимость 33
11
1p
y
p
ν
ν
−
= = >1. Отсюда следует, что при
«мертвых» значениях нагрузки 33p в линейно-упругом изотропном слое возможна
потеря устойчивости состояния равновесия при выполнении условия 0
11 0ε = . Заме-
тим, что при следящей поверхностной нагрузке [2] указанный эффект отсутствует.
§3. Устойчивость многослойной среды.
В рамках плоской деформации рассмотрим задачу о поверхностной потере устой-
чивости в структуре слоистого тела, состоящего из слоистого пакета, жестко сопря-
женного со структурно-однородным полупространством. К лицевой поверхности
верхнего слоя приложена сжимающая распределенная нагрузка интенсивности 33p .
Боковые грани слоистой среды без трения защемлены между двумя абсолютно жест-
кими неподвижными стенками. Таким образом, вследствие неизменности расстояния
между стенками под действием поверхностной нагрузки 33p в плоскости слоев появ-
ляется сжимающая нагрузка интенсивности 11p . Предполагаем, что поверхностная
нагрузка 33p имеет «мертвый» или следящий характер.
Для исследования данной задачи привлекаем линеаризированную теорию, по-
строенную при конечных докритических деформациях. Между нагрузками 33p и 11p ,
обусловливающими двухосное напряженное состояние слоистой среды, существует
взаимосвязь, основанная на отсутствии деформаций в плоскости каждого к-го элемен-
та слоистой среды. Для несжимаемых тел при однородном докритическом состоянии
и указанном выше виде нагружения имеем случай всестороннего равномерного сжа-
тия. Исследование проведено в рамках плоской деформации в лагранжевых коорди-
натах iх для тел, свойства которых описываются с помощью потенциала Трелоара [4].
Постановку задачи представим в общем виде для несжимаемых тел
,( ),ij ij iu q pαβ α βκ + = 0;
, 0ij j iq u = ,
0 0
,( )ij in jn j mq G uδ= + ( i kx V∈ ); (3.1)
);((,
;0)()([
)1,()2,(
)()1(
)(,ij
)1(
)1(,ij
)2(
ki
k
i
k
i
j
k
j
k
kijikiji
SxNNuu
pquNpquN
∈−==
=+++
−
− βααββααβ κκ
(3.2)
0
ij , (1)[ ( )]i ij jN u q p Pαβ α βκ + = ( 3 0x S∈ ); (3.3)
0)1( →+
j
T
u 3, 1( )Tx + → −∞ , (3.4)
где обозначено: kV – объем, занимаемый к -ым элементом среды ( 1, 1)k T= + ,
25
Т – количество слоев, kS – поверхность сопряжения к -го и (к – 1)-го элементов слои-
стой среды; 0S – граничная поверхность слоистого полуограниченного тела; ( )k
iN –
составляющие орта нормали к поверхности к-го элемента слоистой среды в недефор-
мированном состоянии. Для верхней лицевой поверхности слоя ( ) ( ,1)k k
i iN N= , а для
нижней – ( ) ( ,2)k k
i iN N= . Формула для компонент «следящей» нагрузки принимает вид
(1.15) где p� – интенсивность внешней нагрузки, измеряемой на единицу площади в
невозмущенном начальном состоянии. Величины ijαβκ – компоненты тензора четвер-
того ранга [3].
Напряженно-деформированное докритическое состояние слоистой среды при
принятом нагружении является однородным. В этом случае имеем
)1(2;)1(
2
)()(0)()()(0 −=−= k
iij
k
ij
k
i
k
i
k
i xu λδελ
).1,1;3,1,( +== Tkji (3.5)
В силу постановки задачи имеем
0( )
11 0
kε = и, следовательно,
( )
1
kλ =1. Тогда из условия
несжимаемости для докритического состояния находим
( )
3
kλ =1. Таким образом, име-
ем всестороннее равномерное сжатие в пределах к-го элемента слоистой среды. Со-
гласно [2] в докритическом состоянии имеют место равенства
0( )
13
k
S = 0( )
31
k
S 0;=
0( )
11
k
S
0( )
33
k
S= 0( )k
S= .
Для определения величины )(ko
S в работе [2] получена зависимость
0( )
0( )
( )0( )
0 0( )
1 0
const.
k
n
k
kk
k
A
S p
A
=
∂Φ
= + =
∂
(3.6)
В силу постановки задачи следует 0)(0
33
)(0
11 SSS
kk == . Докритическое состояние среды
соответствует состоянию тела при равномерном всестороннем сжатии нагрузкой
0 33S p p= = − � , которая измеряется на единицу площади в естественном состоянии.
При однородном докритическом состоянии решение линеаризированных уравне-
ний устойчивости представим [4] в виде
2 2
1 1 3 3 1 32
1 3 1
2 2
2
1 3 1 3 32 2
3 1
; ; ;
; 0; 0.i i
u u
x x x
L L L L L
x x
χ χ
λ λ χ χ χ
η χ χ χ
∂ ∂
= = − = +
∂ ∂ ∂
∂ ∂
= + = = =
∂ ∂
(3.7)
Коэффициенты в уравнениях для определения функций iχ имеют вид
2 2 2 2 1 1 2
1,3 1 3 1331 3113( )c c q qη κ κ− −= ± − ; (3.8)
2 2 2
3 3113 3 1111 1 3333 1 3 1133 3131 3311 13132 ( )cq q q q qκ κ κ κ κ κ κ= + − + + + ;
0
ij [ (1 )( ) ]j ij i ij i j i j ij i jA Sαβ α αβ β α β β α β α ββκ λ λ δ δ δ δ δ δ δ µ δ δ= + − + + ;
1 1
1 1 3 3; ( , , , 1,3)q q i jλ λ α β− −= = = .
26
Величины ,ij iA βµ определяются в зависимости от выбранного потенциала по
формулам, приведенным в работе [3]. В работе [8] получено матричное представление
для записи компонент возмущений вектора перемещений и тензора напряжений, ко-
торые имеют вид
1 ;R L Z Z C= = Ψ
� � � �
; 1 3 31 33 11R u u S S S
′
=
�
; ,31
′
ΨΨ=Ψ
�
(3.9)
где Ψ
��
,R – вектор-столбцы;
1,5
1 , 1,4 1,2
;
j
ij iji j i
L l C c
=
= =
= = – матрицы, имеющие раз-
личный вид в зависимости от модели исследуемой среды и применяемого варианта
теории устойчивости. Для элементов ijl диагональной матрицы 1L и потенциалов
1,3Ψ имеем представления
2
11 22 33 2
3 1 1
; ; ;l l l
x x x
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
2
44 55 3
1
l l
x x
∂
= =
∂ ∂
; 1
1
i
i
x
χ
λ
∂
Ψ =
∂
. (3.10)
Элементы
ij
c матрицы C для несжимаемых материалов при конечных докрити-
ческих деформациях определяются по формулам
1 2 2
1 2i 3 1 3i 13 3 2 1 1 4 13 1 1 33 3 2 31; c ; c ( ); ;i i i j i i i i ic c c c a c a c сλ λ µ λ λ η λ λ λ λ− −= = − = − = + −
1 0 2 2 2 0 2
5 11 1 1 13 3 2 1 11 1 11 3 13 13 33 1 13; ( ) ( ),i i i i i jc a c a c c c S a a Sλ λ λ λ λ µ η λ µ−= + − = + − + − +
где при 1 имеем 1; при 2 3 i j i j= = = − = .
Функции iΨ можно представить в таком виде :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3 1 3 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 1
[ exp( ) exp( )]sin ;
[ exp( ) exp( )]sin ,
k k k k k k
k k k k k k k
a mx b mx mx
x ma mx mb mx mx
Ψ = + −
Ψ = + −
(3.11)
где
)(
3,1
)(
3,1 ,
kk
ba – произвольные постоянные интегрирования. Разрешающее характери-
стическое уравнение, минимальные корни которого определяют решение поставлен-
ной задачи, находим из условия равенства нулю определителя однородной алгебраи-
ческой системы уравнений, полученной в матричном виде из условий сопряжения
смежных слоев, граничных условий на поверхности слоистой среды и на «бесконеч-
ности»,
1,4;1 1
1 1,2;
1
0; ( ( )
T j
T k k k ij i
k
QA Q D S F F q
=− −
+ =
=
= = = ∏
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3 3
T T T T
TA a b a b
′
= (3.12)
Здесь TA – вектор-столбец произвольных постоянных интегрирования.
В соотношениях (3.12) введены матрицы kF и kS . Для их определения имеем сле-
дующие выражения:
( ) ( ) ( ) ( )
1 111 11 12 12
( ) ( ) ( ) ( )
1 121 21 22 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 031 11 31 11 321 322
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 041 21 31 11 421 422
, , (1 ), (1 )
,
, , ,
, , ,
k k k k
k k k k
k k k k k k k
k k k k k k
b b b b
b b b b
F
b S b b S b b b
b S b b S b b b
ω ω
ω ω
− + −
− − − −
=
− + − +
+ − −
� �
� �
; (3.13)
27
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 1321 12 321 322 12 322(2 ) ; ( 2) ;
k k k k k k
b S b b b S b bω ω= + − = − −� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 3421 22 421 422 22 422(1 ) ; (1 ) ;
k k k k k k
b S b b b S b bω ω= + + = + +� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1321 13 22 12 13 322 13 22 12 13(2 ); ( 2);
k k k k k k k k k k
b b b b b bµ ω µ ω µ ω µ ω= − + = − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 0 1421 13 33 11 13(1 )( ) ( )(3 );
k k k k k
b A A S Sω µ µ ω= + − − − + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 0 0 3422 13 33 11 13(1 )( ) ( )(3 );
k k k k k
b A A S Sω µ µ ω= + − − − + + +
.;
)(
33
)(
31 lxlx
kk πωπω −== (3.14)
Диагональная матрица kS имеет следующее представление
1
3
1
3
exp( ) 0 0 0
0 exp( ) 0 0
0 0 exp( ) 0
0 0 0 exp( )
kS
ω
ω
ω
ω
= . (3.15)
При «мертвой» поверхностной нагрузке 0S матрица D из (3.12) определяется
формулой
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
0 041 21 41 21 421 422
(1) (1) (1) (1) (1) (1)
0 031 11 31 11 321 322
, , ,
, , ,
b S b b S b b b
D
b S b b S b b b
− + − −
=
− + − −
� �
� �
, (3.16)
где элементы матрицы формируются из формул (3.14) при фиксированных значениях
величины 1k = . При следящих значениях нагрузки 0S матрица D принимает вид
(1) (1)
11 0 12 0 13 1421 21
(1) (1)
21 0 22 0 23 2421 21
, , ,
, , ,
d S b d S b d d
D
d S b d S b d d
− +
=
− −
� �
� �
. (3.17)
Здесь ijd – элементы матрицы D , определяемой по формуле (3.16). Элементы ijq
матрицы Q (3.12) в явном виде здесь не выписаны, поскольку она формируется в
процессе решения задачи. Из условия существования нетривиальных решений систе-
мы (3.12) получаем определяющее характеристическое уравнение
11 13 22 24 21 23 12 14( )( ) ( )( ) 0q q q q q q q q+ + − + + = , (3.18)
Минимальные корни уравнения (3.18) определяют критические значения параметров
нагружения и волнообразования при заданном уровне нагружения, которые обуслов-
ливают явление поверхностной неустойчивости в слоистой среде. Для решения харак-
теристического уравнения (3.18) составлен пакет прикладных программ на алгорит-
мическом языке Фортран. При фиксированных значениях геометрических параметров
и механических характеристик элементов слоистой среды это уравнение зависит от
параметра нагружения t и параметра волнообразования /h lω π= . Здесь определя-
лась графическая зависимость ( )t t ω= . При решении задач исследуются интервалы
изменения тех или иных характеристик элементов среды, в которых реализуется яв-
ление поверхностной структурной неустойчивости. Решение проведено по типовым
программам, имеющим модульную структуру, на ПЭВМ. Для оценки состояния ус-
тойчивости слоистой среды варьировались значения различных параметров, характе-
28
ризующего физико-механического свойства отдельных элементов среды, при фикси-
рованных значениях остальных характеристик. Характеристический определитель
решался методом бисекций, а точность решения определялась величинами шагов из-
менения параметров нагружения и волнообразования. В качестве параметров задачи,
обусловливающих потерю устойчивости в структуре рассматриваемого слоистого
тела, выбираются решения, удовлетворяющие условиям
min ( ); 0kpt t ω ω= ≠ ∧ ∞ . (3.19)
Значение крω , соответствующее величине kpt , определяет критические значения раз-
меров формы потери устойчивости.
Числовой пример. Рассмотрим материал, состоящий из двухслойного пакета (Т=2),
жестко сопряженного с однородным полупространством. Свойства слоев и полупро-
странства определяются в рамках модели несжимаемого упругого тела с потенциалом
Трелоара
.12);(23);3(
2)()(0)(0
11
)(0
11
)(
1
)(
1
)(
10
)( −=++=−=Φ k
i
k
ii
kkkkkk
IIC λεεε (3.20)
Напряженное докритическое состояние слоистой среды определяется выражениями
2 20( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( )0( ) 0( )
11 10 1 33 10 32 ; 2
k k k k k kk kS C p S C pλ λ
− −
= + = + . (3.21)
Из условия равновесия рассматриваемого слоистого тела в докритическом со-
стоянии определяем зависимость
0(3)
1 1111S pλ = − . (3.22)
Из (3.21) и (3.22) окончательно получаем формулу
(3) 2
1 110
11 2
1
2 ( )
(1 )
C
p
y
λ λ
λ
−
−
−
= −
−
. (3.23)
С учетом соотношений (3.20) – (3.23) определяем значения остальных величин,
необходимых для исследования задачи:
4 4( ) ( ) ( )0( ) 0( ) 0( )
11 1 33 1 132 ; 2 ; ;
k k kk k kA p A p pλ λ µ−= − = − = −
( ) ( ) ( ) 2
113 1 30; 1; .
k k k
A η η λ−= = = (3.24)
Результаты решения данной задачи приведены на рис. 1 – 4. На рис. 1 дано срав-
нение решений двух задач: задачи рассмотренной выше (кривая 3) и аналогичной за-
дачи, исследованной в работе [5] (кривые 1, 2), в которой внешняя нагрузка 11p отли-
чается от нагрузки 33p и отсутствует условие 0
11 0ε = . Кривые 1, 2 построены для
Рис. 2
Рис. 1
29
случая «мертвых» нагрузок 33p . При этом в качестве параметра нагружения здесь
задана величина
(3)
11 10t p C= . Для задачи, рассмотренной в данной работе, в качестве
параметра нагружения принята величина
(3)
10t q C= .
На рис. 2 – 4 приведены решения задачи для различных фиксированных значений
основных параметров при «мертвых» значениях нагрузки 33p . В частности, на рис. 2
приведены кривые зависимости параметра нагружения
(3)
10t q C= от параметра
волнообразования H lω π= для случая 1 24; 0,01n n= = (цифры возле кривых
обозначают значение величины kρ , соответствующей каждой из них). Здесь приняты
обозначения: HhCCnhH kk
Tk
T
k
kk === +
=
∑ ρ;;
)1(
10
)(
10
1
.
На рис. 3 показано изменение критических значений параметра нагружения
t∗ =
(3)
10kp kpt q C= в зависимости от параметра 1nω = при 1 0,1ρ = . Величина парамет-
ра 2n указана цифрой возле каждой кривой. На рис. 4 показаны те же зависимости,
что и на рис. 2, однако здесь фиксировались параметры 1 0,4ρ = и 2 0,01n = , а цифры
возле кривых указывают значение величины 1n .
Анализ результатов, приведенных на рис. 1 – 4 показывает, что явление поверх-
ностной неустойчивости под действием поверхностной нагрузки 33p q= и отсутствии
деформаций в плоскости слоев ( 0
11 0ε = ) может реализоваться при «мертвых» значе-
ния 33p и отсутствует при «следящих» нагрузках 33p .
Этот вывод согласуется с результатами, полученными здесь для единичного слоя
и данными работы [2]. Увеличение параметра 1ρ при фиксированных значениях ве-
личин 1 2,n n приводит к увеличению критических значений параметров нагрузки kpt
и уменьшению параметра волнообразования ω . Аналогичный вывод имеет место и
при увеличении параметра 1n при фиксированных значениях 1ρ и 2n . С увеличением
параметра 2n при фиксированных значениях 1ρ , 1n критическое значение параметра
нагрузки kpt увеличивается.
Заключение. Таким образом, в работе в рамках модели кусочно-однородных сред
рассмотрена проблема потери устойчивости слоистых материалов, под действием
сжимающих поверхностных нагрузок в условиях отсутствия деформаций в плоскости
простирания слоев. На примере двух слоистых тел показано возможность реализации
такого явления, как при малых, так и при конечных докритических деформациях, ко-
Рис. 3
Рис. 4
30
гда поверхностная нагрузка является «мертвой». В результате решения конкретных
задач изучено влияние основных характеристик материала на критические значения
параметров нагружения и волнообразования, обусловливающих реализацию иссле-
дуемого явления.
РЕЗЮМЕ . Досліджено стійкість стану рівноваги шаруватих тіл при двовісному навантаженні.
Прийнято гіпотезу про відсутність деформацій в площині шарів. Використано тривимірну лінеарізо-
вану теорію стійкості у поєднанні із моделлю кусково-однорідних тіл. Розглянуто дві моделі шарува-
тих тіл. Отримано розв’язок конкретних задач для шаруватих тіл різної структури. Визначено крити-
чні значення параметрів навантаження та хвилеутворення, які обумовлюють явище втрати стійкості
шаруватих тіл.
1. Гузь А.Н. О задачах устойчивости в механике горных пород // Проблемные вопросы механики
горных пород. – Алма-Ата: Наука, 1972. – C. 35 – 43.
2. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. – К.: Наук. думка, 1979. – 144 с.
3. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. – К.: Вища школа, 1986. –
511 с.
4. Гузь А.Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. – К: Наук. думка, 1990. –
630 с.
5. Гузь А.Н., Корж В.П., В.Н.Чехов. Устойчивость слоистой полуплоскости под действием поверхно-
стных распределенных нагрузок // Докл. АН СССР. – 1990. – 313, № 6. – С. 560 – 566.
6. Гузь А.Н., Чехов В.Н. Линеаризированная теория складкообразования в толще земной коры //
Прикл. механика. – 1975. – 11, № 1. – С. 3 – 17.
7. Гузь А.Н., Чехов В.Н. О выборе нагрузок на крепь в подземных горных выработках // Прикл. меха-
ника. – 2005. – 41, № 11. – С. 38 – 46.
8. Чехов В.Н. Исследование складкообразования горных пород периодической структуры // Прикл.
механика. – 1984. – 20, № 3. – С. 17 – 24.
9. Чехов В.Н. Поверхностная неустойчивость слоистой среды, сопряженной с однородным полупро-
странством // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 11. – С. 35 – 42.
10. Чехов В.Н. Влияние поверхностной нагрузки на устойчивость слоистых сред // Прикл. механика.
– 1988. – 24, № 9. – С. 37 – 45.
11.Чехов В.Н. Об условиях образования линейных складок в слоистых массивах горных пород регу-
лярной структуры при двухосном нагружении // Прикл. механика. –2005. – 41, № 12. –
С. 26 – 34.
12. Guz A.N. On Study of Nonоclassical Problems of Fracture and Failure Mechanics and Related Mecha-
nisms // Int. Appl. Mech. – 2009.–45, N 1. – P. 1 – 32.
13. Guz A.N. Setting up a Theory of Stability of Fibrous and Laminated Composites // Int. Appl. Mech. –
2009. – 45, N 6. – P. 587 – 613.
14. Tkachenko E.A., Chekhov V.N. Stability of Layеred Coatings under Biaxial Thermomechanical Loading
// Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 12. – P. 1349 – 1357.
Поступила 11.01.2010 Утверждена в печать 21.10.2010
|