Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении
A technique is proposed for analysis of stability and post-critical behaviour of the goffered arches. It is based on solving the nonlinear system of the first order ordinary differential equations with using the method of incremental loadings. The boundary problem in increments is solved by the m...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95501 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении / Н.П. Семенюк // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 90-99. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95501 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-955012016-02-28T03:02:11Z Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении Семенюк, Н.П. A technique is proposed for analysis of stability and post-critical behaviour of the goffered arches. It is based on solving the nonlinear system of the first order ordinary differential equations with using the method of incremental loadings. The boundary problem in increments is solved by the method of discrete orthogonalization. The solutions of particular problems of stability for the goffered arches showed that behaviour such structures differs essentially from behaviour of the circular arches. Запропоновано методику розрахунку стійкості та закритичної поведінки гофрованих арок, що будується на розв’язку нелінійної системи диференціальних рівнянь першого порядку з використанням методу послідовних навантажень. Крайову задачу у приростах розв’язано методом дискретної ортогоналізації. Розв’язок конкретних задач стійкості для гофрованих арок показав, що поведінка таких конструкцій при навантаженні суттєво відрізняється від поведінки кругових арок. 2013 Article Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении / Н.П. Семенюк // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 90-99. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95501 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A technique is proposed for analysis of stability and post-critical behaviour of
the goffered arches. It is based on solving the nonlinear system of the first order ordinary
differential equations with using the method of incremental loadings. The boundary problem in increments is solved by the method of discrete orthogonalization. The solutions of particular problems of stability for the goffered arches showed that behaviour such structures differs essentially from behaviour of the circular arches. |
| format |
Article |
| author |
Семенюк, Н.П. |
| spellingShingle |
Семенюк, Н.П. Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении Прикладная механика |
| author_facet |
Семенюк, Н.П. |
| author_sort |
Семенюк, Н.П. |
| title |
Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении |
| title_short |
Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении |
| title_full |
Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении |
| title_fullStr |
Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении |
| title_sort |
устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95501 |
| citation_txt |
Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении / Н.П. Семенюк // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 90-99. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT semenûknp ustojčivostʹgofrirovannyharokprivnešnemdavlenii |
| first_indexed |
2025-07-07T02:22:41Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:22:41Z |
| _version_ |
1836953068279693312 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 2
90 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 2
Н .П .С е м е н ю к
УСТОЙЧИВОСТЬ ГОФРИРОВАННЫХ АРОК
ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: compos@inmech.kiev.ua
Abstract. A technique is proposed for analysis of stability and post-critical behaviour of
the goffered arches. It is based on solving the nonlinear system of the first order ordinary
differential equations with using the method of incremental loadings. The boundary problem
in increments is solved by the method of discrete orthogonalization. The solutions of par-
ticular problems of stability for the goffered arches showed that behaviour such structures
differs essentially from behaviour of the circular arches.
Key words: goffered arch, stability, post-buckling behaviour, boundary-value problem,
method of incremental loadings, method of discrete orthogonalization, external pressure.
Введение.
Длинные цилиндрические оболочки, замкнутые и незамкнутые, широко исполь-
зуются при строительстве объектов различного назначения, применяются в конструк-
циях машин и приборов. Исследование устойчивости таких оболочек является одной
из важнейших задач механики тонкостенных конструкций. В первых работах по ус-
тойчивости труб при внешнем давлении и устойчивости круговых колец и арок [1, 8,
11 – 14] было отмечено, что как по постановке, так и по методам решения, эти задачи
весьма подобны между собой. Оказалось, что длинные панели ведут себя так же, как
арки единичной ширины. Это дает возможность использовать результаты по устойчи-
вости арок и длинных оболочек как дополняющие друг друга. В работах [6, 9] рас-
смотрена устойчивость при внешнем давлении цилиндрических оболочек, поперечное
сечение которых имеет волнообразный характер. В случае, когда профиль волн обра-
зован дугами окружностей, возможно повышение критического значения интенсивно-
сти внешнего давления по сравнению с круговыми оболочками. Этот факт был обна-
ружен при расчете коротких оболочек. Устойчивость длинных оболочек или гофриро-
ванных арок до настоящего времени не изучалась. В работе [17] рассмотрено дефор-
мирование арок, состоящих из сегментов прямых стержней. Данная работа посвящена
решению задачи устойчивости и закритического поведения волнообразных арок.
1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Пусть гофрированная арка, имеющая единичную ширину и толщину t , нагружена
равномерным внешним давлением интенсивностью q . Для исследования нелинейно-
го деформирования и устойчивости арки воспользуемся вариантом уравнений теории
оболочек, предложенном в работе [10]. Так как рассматривается плоская деформация
арки, то в [10] учитываются только перемещения v и w , деформации растяжения 22
и изменения кривизны 22 , усилия 22 23,T T и момент 22M . Деформации выражаются
через перемещения формулами
2
22 2 2 22
2
1 1
;
2 A
(1)
91
2 2 2
2 2 2 2
1 1
; ; .
v w w v
A R A R
Соотношения закона Гука имеют вид
* * *
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22; ,T C B M B D (2)
где для обобщенных жесткостей принятые в [10] обозначения имеют в данном вари-
анте теории оболочек такой смысл:
2
* *
22 22 22 22 22 22 22 222 2
22
1 1
; ; ; .
121
Et t
C C D B D C D C
RR
(3)
Соотношения (1), (2) можно записать также в виде
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
2 2 2
1 1 1
; .T C D M D
R R R
(4)
Для длинных цилиндрических оболочек запись приращения кривизны в виде суммы
22 22 2R имеет, как известно, большое значение. Поэтому уточненные выражения (1),
(2) могут применяться к оболочкам произвольной длины и, следовательно, к расчету арок.
Дифференциальные уравнения равновесия запишем в проекциях на направления
осей недеформированного криволинейного стержня
*
* 2322 22
23 22 23
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
0; 0; 0
dTdT dM
T T q T
A d R A d R A d
(5)
*
23 23 22 2( ).T T T
Для задания геометрических параметров арки воспользуемся полярной системой
координат ,R . Осевую линию арки представим в виде кривой
0 ( )R R (0 N ), (6)
где 0R – радиус исходной окружности, которой придается волнистость в виде, опи-
сываемом периодической функцией , заданной на всем интервале (0, N ) одним
выражением или только на интервале 1i i , повторяющемся N раз. При этом
периодичность можно обеспечить с помощью рядов Фурье, следуя работам [6, 9] или
же путем соответствующего алгоритма при численном решении задач [9].
Полагаем, что на отрезке 10, функция состоит из двух дуг 0 2r вы-
пуклой окружности, сопряженных дугой 1 0r вогнутой окружности (рис. 1). Сопря-
Рис. 1
92
жение выполняется так, что производная является непрерывной функцией.
Вследствие этого радиусы малых окружностей r и 1r в точке сопряжения лежат на
одной прямой.
На участке 00, 2 функция имеет вид
1 2cos E (7)
( 2 2 2
1 0 0 2 0cos ( 2) cos ( 2); sin ;p E p p r R ).
Уравнение вогнутой дуги при 0 0 02, 2 задаем в виде
2 1 2 1cos ,E (8)
где 2 0 0cos 2 cos 2;p 1 0 02 2; 1 1 0p r R .
На участке 0 0 0 02 , уравнение кривой совпадает с уравне-
нием (7), но вместо следует принять 2 0 0 . При заданных углах 0 0,
радиус окружности r вычисляем согласно формуле
0
0
0
sin 2
.
sin 2
r R
(9)
Аналогично, при известных 0 и 0 имеем
0
1 0
0
sin 2
sin 2
r R
. (10)
Между углами 0 0 0 0, , , существует зависимость (рис. 1)
0 0 0 0 . (11)
При задании угла 0 следует учитывать, что
0 0 0 . (12)
Параметр Ляме 2A и радиус кривизны 2R кривой (6) определим, воспользовав-
шись формулами
2 2 3 2
2 0 2 2
( )
2
R R
; 2 2 1 2
2 0 ( )A R (13)
или 2 0 2 2 0 2,R R A R a .
Для первого и третьего участков получим равенства 2 2 1 2; ( ) ( ) ,p a p E
а для второго участка имеем: 2 1 2 1 1 2; ( ) ( ).p a p E
Так как функции и непрерывны, то параметр 2A – также непрерывная
функция. Радиус кривизны в точках сопряжения меняет знак и величину, если 1r r .
Представленные зависимости позволяют получить разрешающую систему нели-
нейных уравнений в таком виде:
2
2 22 22
2 2 22 2 22
1 1 1 1 1
;
2
dv
w T M
A d R C R C
93
2 2
1
;
dw v
A d R
2
22 222
2 2 22 22 2
1 1 1
1 ;
12
td
T M
A d R C D R
*22
23
2 2
1 1
;
dT
T
A d R
*
23
22
2 2
1 1
;
dT
T q
A d R
22
23
2
1
.
dM
T
A d
(14)
К этим уравнениям следует присоединить граничные условия, которые формулиру-
ются относительно трех величин, принятых для одной из таких пар (при 0 и N ):
*
22 23 22( , ) , ( , ) , ( , ).v T w T M (15)
Решение системы уравнений (14) при соответствующих граничных условиях по-
зволяет исследовать докритическое состояние арки, определить критические точки и
дать приближенное представление о характере закритического поведения.
2. Методика решения задачи.
Приведем систему уравнений (14) к безразмерному виду, используя при этом та-
кие обозначения разрешающих функций:
2 * 2 2
22 0 23 0 22 0 0
1 2 3 4 5 62 2 3 2
22 22 22
; ; ; ; ; .
T R T R M R vR w R
y y y y y y
t tC t C t C t t
В результате получим систему
31 2
2 1 2 1 6
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
; ; ;q
dydy dy
y y m y y y
a d a d a d h
24
5 6 1
2 2 2
1 1 1
;
2
dy h
y y y y
a d h
5
4 6
2 2
1 1
;
dy
y y
a d
(16)
26
1 3
2 2
1 1
12
dy
y h y
a d
3 2
0 0 22, .qh t R m qR C t
Граничные условия также формулируем относительно функций iy . Их удобно за-
писать в матричном виде. При 0 и N , соответственно, имеем
1 0AY и 2 0A Y , (17)
где матрицы 1A и 2A имеют размеры 3 6 с компонентами ija , равными единице на
тех местах, которые умножаются на компоненты вектора 1 6, ...,Y y y jy или 3jy
последовательно 1, 2,3j при 1, 2, 3.i
Для решения задачи (16), (17) на всей траектории деформирования используем
метод непрерывного продолжения по параметру [3, 15]. Продифференцируем уравне-
ния (16) по параметру , который представляет собой длину дуги множества реше-
ний нелинейной системы. Так как в системе (16) четыре уравнения – линейны, то при
дифференцировании они сохраняют свой вид, но вместо функций iy следует подста-
вить производные ( ) ( ) , ( ) ( )i i q qy dy d m dm d . Два уравнения (третье и четвер-
тое) приобретут, соответственно, такой вид:
3
2 1 6 1 6
2
1 1
;
dy
y y y y y
a d h
94
4
5 6 6 1 3
2 2 2
1 1
.
dy h
y y y y y
a d h
(18)
Граничные условия (17) также запишем относительно производных
1 0AY ; 2 0A Y ( 0 и N ). (19)
Полученная система уравнений, кроме производных iy , содержит производную
от нагрузки qm , которая также подлежит определению. Дополнительное уравнение,
позволяющее решить задачу,
6 22
1
1i q
i
y m
(20)
обеспечивает движение по кривой равновесных состояний [3, 15]. Оно соответствует
требованию, чтобы полученное решение обладало единичной нормой.
Если получено решение задачи (18) – (20), то для определения функций iy и на-
грузки qm формулируем задачу Коши по параметру . Методика и алгоритм реше-
ния задачи в такой постановке изложены в [3].
Одним из методов решения задачи Коши является метод Эйлера. При использо-
вании этого метода несколько видоизменим алгоритм решения, перейдя непосредст-
венно к методу последовательных нагружений, модифицированному таким образом,
чтобы он был применим не только в регулярных, но и в особых точках траектории
нагружения [7, 16]. Домножим уравнения (18), (19) на d и заменим дифференциалы
функций конечными приращениями. Приращение нагрузки представим как
1 qm m . (21)
Уравнение (20) заменяем приближенным равенством
2
6 2
1
1.i
q
i
y
m
(22)
Разрешающая система уравнений в приращениях имеет вид
1 2
2
2
;
dz a
z
d
2 2
1 2 7
2
;
dz a
z a z
d
3 2
2 2 6 1 2 1 6 ;
dz a
z a y z a y z
d h
4 2 2
5 2 6 6 2 1 3
2 2
;
dz a a
z a y z a z h z
d h
(23)
5 2
4 2 6
2
;
dz a
h z a z
d
261 2
7 2 3
2
(12 ) ,
dz a
h z a h z
d
где 7, 1, ... , 6; .i i qz y i z m
Граничные условия представим в таком виде: 20; 0.i i iA z A z
Задавая приращения параметра , находим значения функций , 1, ... , 7iz i . При
начальном значении параметра решаем линейную систему (16), поэтому коэффи-
циенты 1 6,y y в системе (23) на следующем шаге нагружения известны.
Решение системы (23) находим методом дискретной ортогонализации Годунова
[2], успешно применяемым при решении задач теории оболочек [4]. Весь интервал
0 N делим на k участков. На j -ом участке полное решение записываем в виде
j j jz z C , (24)
95
где jz – матрица, состоящая из четырех векторов-решений этой системы. Решение
удовлетворяет граничным условиям при 0 независимо от значения констант jC .
Для определения этих констант используем граничные условия при N . Подста-
вив (24) в уравнения 2 0,iA z получим
2 0k kA z C . (25)
Эта система состоит из трех уравнений относительно четырех неизвестных. До-
полнительное уравнение получим из условия нормирования (22). В данной задаче
этому условию соответствует требование, чтобы вектор kC был единичным, т.е.
4
2
1
1i
i
C
. (26)
Так как система (25) имеет небольшой порядок, то ее решение при условии (26)
можно представить в явном виде
42 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( 1, 2, 3); ,k ki
iC i C
(27)
где – определитель матрицы коэффициентов при неизвестных
1 2 3, , ;k k kC C C i –
определители, которые образуются из основного определителя путем замены i -го
столбца столбцом коэффициентов при неизвестном
4
kC с обратным знаком. Если
ранг расширенной матрицы равен трем, то решение в виде (27) существует независимо
от того, равен определитель нулю или нет. При критической нагрузке 0 , по-
этому имеем
42 2 2
1 2 3
; 0.k ki
iC C
(28)
Является ли эта точка на траектории нагружения предельной или точкой бифуркации
можно судить по моде выпучивания. Если эта мода ортогональна к исходной форме
деформирования, то имеем точку бифуркации. При вырождении расширенной матрицы
системы (25) необходимо использовать другую процедуру продолжения решения [3].
Изложенная методика решения нелинейной краевой задачи использована при ис-
следовании нелинейного деформирования торосферических оболочек [16]. Получен-
ные при этом результаты совпадают с данными других авторов, полученными более
сложным путем [5].
3. Числовые результаты и их анализ.
Для проверки эффективности разработанной методики рассмотрим нелинейное
деформирование с прохождением особых точек круговых изотропных длинных ци-
линдрических панелей (арок) при внешнем давлении. Эта задача рассмотрена многи-
ми авторами [3, 15] (в настоящее время она может быть использована как тестовая).
При действии на арку внешнего давления интенсивностью q в работах [3, 18] по-
лучена формула для критического значения этой нагрузки
2 2
22
3 2
0
4
1 ,kp
N
D
q
R
(29)
где 22D – принятое выше обозначение окружной изгибной жесткости; N – цен-
тральный угол арки.
Безразмерное значение 3 2
, 0 22( ) ( )q kp kpm q R C t при подстановке значения (29) будет
2 2
22
, 2 2
22
4
1q kp
N
D
m
C t
. (30)
96
Формула (30) справедлива для шарнирно-опертых арок. В случае жесткого защемле-
ния арок в [8] получено приближенное решение, которое также можно использовать
для оценки достоверности результатов, получаемых с помощью предложенной мето-
дики. Так как для однослойной арки 2
22 22 12,D C t то
2
, 2
1 4
1 .
12q kp
N
m
(31)
Эта величина не зависит от механических и геометрических параметров арки, кроме
угла N . Однако на закритическое состояние арки влияет параметр 0/t R . Поэтому
ниже при получении числовых результатов в большинстве рассматриваемых приме-
ров принято отношение 0/ 0,01.t R
В таблице приведены числовые данные о критических нагрузках для арок с раз-
личными углами N при шарнирном (вариант I) и жестком (вариант II) закреплениях
концов арки, полученные как по представленной выше методике (M1), так и по фор-
мулам С.П.Тимошенко [8] (М2). Критические нагрузки в каждом случае отнесены к
kpq , определяемому по формуле (31) при N .
N
Вариант Методика
3 2 3 4 3 5 3 2
М2 [8] 11,67 2,67 1,00 0,42 0,15 0
I
М1 11,95 2,90 1,09 0,328 0,042 0
М2 [8] 24,44 6,04 2,67 1,53 1,09 1
II
М1 24,81 6,25 3,0 1,54 0,661 0,24
Сравнение показывает, что при 4 3N результаты расчета по обеим методи-
кам хорошо согласуются как при шарнирном, так и при жестком закреплениях. Если
же 2N , то расчет по [8] дает завышенное значение критической нагрузки при
жестком закреплении. Форма потери ус-
тойчивости, которая предполагается в
решении [8], весьма далека от той, что
дает решение по предлагаемой методике.
На рис. 2 показана диаграмма дефор-
мирования (а) и форма потери устойчиво-
сти (б) круговой арки при N с шар-
нирным опиранием концов. Такие же ар-
ки рассмотрены в [3]. Критические на-
грузки, полученные в [3] и по методике,
изложенной выше, совпадают. Формы
потери устойчивости при N также
совпадают, но различаются при / 4
и / 2 . Согласно [3] они не симмет-
ричны относительно середины дуги, а в
данной работе – симметричны. Диаграм-
мы деформирования, полученные автора-
ми [3] и по предлагаемой методике, хо-
рошо согласуются при N и не сов-
падают при / 2N и / 4N . Объ-
ясняется это тем, что в работе [3] для пе-
Рис. 2
97
рехода на закритическую траекторию было задано возмущение нагрузки, вид которого
предопределял направление этой траектории. В данном варианте расчета такая проце-
дура не используется. При этом перемещение точки 2N в окрестности критиче-
ской точки может изменять направление вследствие перестройки докритической фор-
мы деформирования в ортогональную ей закритическую.
На диаграммах деформирования по оси абсцисс отложены значения отношения
прогиба к толщине ( ' / )w w t , по оси ординат – ( ')q – отношение критического давле-
ния, определяемого в настоящей работе, к значению kpq , вычисленному по формуле (31).
Аналогичные оси использованы при построении диаграммы деформирования
гофрированных арок на рис. 3 – 6. Круговой арке с углом раствора N придана
волнистость описанного выше типа с количеством волн N по периметру, равным 2,
4, 8, 16. На рис. 3, а показаны диаграммы деформирования с двумя волнами по пери-
метру ( 2N ). Кривая 1 получена для арки с шарнирным опиранием концов, кривая 2
– с жестким при 60 . На этих кривых имеются предельные точки: (20; 0,78) на
кривой 1 и (25; 1,71) – на кривой 2. При прогибах, больших 20 толщин, равновесие
арки будет возможным при нагрузке, меньшей предельного значения. Как следует из
вида кривых 1 и 2 на рис. 3, б, где представлены формы деформирования арок в за-
критическом состоянии при тех же граничных условиях, определяющую роль в рас-
пределении прогибов имеет исходная геометрия арки. Если судить по значению пре-
дельных нагрузок и величин прогибов, арки, имеющие форму, показанную на рис. 3, б
жирной кривой, имеют существенно меньшую жесткость, чем круговые. Увеличение
количества волн по периметру исходной арки приводит к изменению ее жесткостных
параметров в целом и в пределах каждой волны. Результаты расчета деформирования
арок с N 4, 8, 16 представлены на рис. 4 – 6 (а), а соответствующие исходные арки
и их вид в закритическом состоянии – на рис. 4 – 6 (б). Нумерация кривых цифрами 1 и
2 имеет тот же смысл, что и на рис. 3. Нагрузки, после достижения которых начинает-
ся бурное развитие прогибов, равны 1,09 ( 4)N , 1,12 ( 8)N , 1,20 ( 16)N при шар-
нирном опирании концов и 2,65 ( 4)N , 2,81 ( 8)N , 3,17 ( 16)N – при жестком за-
Рис. 3
Рис. 4
98
щемлении. Как видно, при 4N критические нагрузки гофрированных арок близки к
тем значениям, которые имеют круговые арки. Формы потери устойчивости также не
симметричны относительно середины арки, но их вид существенно различается в за-
висимости от количества волн и граничных условий. Выпучивание сопровождается
локальным деформированием дуг малых окружностей. Шарнирно опертые арки
испытывают в закритическом состоянии значительно больший поворот относительно
центральной оси, чем жестко опертые.
Отметим, что для гофрированных арок в предложенной методике среди исходных
данных должны быть известны углы 0 0 0, , . В рассмотренных примерах принято:
0 0 0 0 02 ; 4.N N
Выводы.
1. Предложена методика расчета устойчивости и закритического поведения гоф-
рированных арок, основанная на решении нелинейной системы дифференциальных
уравнений первого порядка с использованием метода последовательных нагружений
при решении алгебраических уравнений. При этом обеспечивается прохождение осо-
бых точек на траектории деформирования. Краевая задача в приращениях решена ме-
тодом дискретной ортогонализации. Методики расчета обладают возможностями,
позволяющими проводить многочисленные исследования.
2. Решение конкретных задач по устойчивости гофрированных арок показало, что
формирование профиля арок с помощью выпуклых и вогнутых дуг окружностей по-
зволяет создавать конструкции, поведение которых при нагружении существенно от-
личается от поведения круговых арок. При этом критические нагрузки гофрирован-
ных арок могут быть как значительно меньшими, так и близкими к критическим на-
грузкам идеальных круговых арок.
3. Так как устойчивость арок единичной ширины определяется с помощью таких
же уравнений, что и длинных цилиндрических оболочек, то полученные в работе дан-
ные показывают, что, в отличие от коротких оболочек [6], длинные продольно гофри-
рованные оболочки не обладают большей жесткостью, чем круговые цилиндрические
оболочки.
Рис. 5
Рис. 6
99
Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано методику розрахунку стійкості та закритичної поведінки гофрова-
них арок, що будується на розв’язку нелінійної системи диференціальних рівнянь першого порядку з
використанням методу послідовних навантажень. Крайову задачу у приростах розв’язано методом
дискретної ортогоналізації. Розв’язок конкретних задач стійкості для гофрованих арок показав, що
поведінка таких конструкцій при навантаженні суттєво відрізняється від поведінки кругових арок.
1. Динник А.Н. Устойчивость арок. – М.; Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1946. – 128 с.
2. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений // Успехи матем. наук. – 1961. – 16, №. 3. – С. 171 – 174.
3. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения
решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела. – М.: Наука, 1988. – 232 с.
4. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жестко-
сти. – К.: Наук. думка, 1973. – 228 с.
5. Гуляев В.М., Баженов В.А., Гоцуляк Б.А. Устойчивость нелинейных механических систем. – Львов:
Вища шк., 1982. – 255 с.
6. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б., Остапчук В.В. Устойчивость волнообразных некруговых цилиндри-
ческих оболочек из композитов при внешнем давлении // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 12. –
С. 91 – 102.
7. Семенюк Н.П., Трач В.М., Жукова Н.Б. Об исследовании нелинейного поведения тонких оболочек
шаговым методом // Прикл. механика. – 2007. – 44, № 9. – С.85 –93.
8. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. – М.: Гостехиздат, 1955. – 567 с.
9. Babich I.Yu, Zhukova N.V., Semenyuk N.P., Тrach V.M. Stability of Circumferentially Corrugated Shells
under Hydrostatic Pressure // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 9. – Р. 1001 – 1009.
10. Boriseiko A.V., Semenyuk N.P., Trach V.M. Canonical Equations in the Geometrically Nonlinear Theory
of Thin Anisotropic Shells. // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 2. – Р. 165 – 174.
11. Bresse M. Cours de mechanique. P.1. – Paris, Mallet-Bashelier, Imprimeur-Libraire du Bureau des Lon-
gitudes, 1859. 150 p.
12. Bryan G.H. Application of the energy test to the collapse of a thin long pipe under external pressure //
Proc. Cambridge Philos. Soc. – 1888. – 6. – P. 287 – 292.
13. Hurlbrink E. Festigkeits-Berechnung von röhrenartigen Körpern, die unter äusserem Drucke stehen. –
Schiffbau, 1907/1908 – 9, N 14. – S. 517 – 523.
14. Levy M. Memoire sur un nouveau cas intégrable du probléme de l’élastique et l’une de ses aplications //
J. Math.pures et appliquées (Lionville Journal), Séries 3, Paris – 1884. – 10. – P. 5 – 42.
15. Riks E. An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems // Int. J. Solids and
Struct. – 1979. – 15, N 7. – P. 529 – 551.
16. Semenyuk N.P., Тrach V.M. Ostapchuk V.V. Nonlinear Axisymmetric Deformation of Anisotropic
Spherical Shells // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 10. – P. 1101 – 1111.
17. Wang C.J. Buckling and рostbuckling of segmented tubes under external pressure // Int. J. Non-Linear
Mech. – 2005. – N 3. – P. 551 – 556.
Поступила 18.11.2010 Утверждена в печать 26.06.2012
|