О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями
Методом возмущения формы границы (второй вариант) на основаниитрехмерных уравнений и соотношений теории упругости с учетом первых трех приближений получено аналитическое решение задачи об упругом равновесии неканонических оболочек, которые близки к цилиндрическими находятся под действиемпеременных о...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95585 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями / Д.И. Чернопиский // Проблемы прочности. — 2012. — № 1. — С. 58-74. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95585 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-955852016-03-01T03:02:05Z О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями Чернопиский, Д.И. Научно-технический раздел Методом возмущения формы границы (второй вариант) на основаниитрехмерных уравнений и соотношений теории упругости с учетом первых трех приближений получено аналитическое решение задачи об упругом равновесии неканонических оболочек, которые близки к цилиндрическими находятся под действиемпеременных осевых внешних усилий. Установлено влияние отдельных форм неканонических оболочек, амплитуды и параметра осцилляции граничных поверхностей в осевом или окружном направлениях на величину максимальных напряжений. Показана практически числовая сходимость на основе вклада по абсолютной величине каждого из приближений в общую сумму. Для оболочки в виде сильфона, находящейся под постоянным внешним давлением, приведено сравнение кольцевых напряжений, полученных методом возмущения формы границы, с данными, определенными конечно-разностным методом по уравнениям теории оболочек Векуа. Методом збурення форми границі (другий варіант) на основі тривимірних рівнянь і співвідношень теорії пружності з урахуванням перших трьох наближень отримано аналітичний розв’язок задачі щодо пружної рівноваги неканонічних оболонок, що близькі до циліндричних і знаходяться під дією змінних осьових зовнішніх зусиль. Установлено вплив окремих форм неканонічних оболонок, амплітуди і параметра осциляції граничних поверхонь в осьовому чи окружному напрямку на величину максимальних напружень. Показано практично числову збіжність на основі вкладу за абсолютною величиною кожного із наближень у загальну суму. Для оболонки у вигляді сильфона, що знаходиться під дією постійного зовнішнього тиску, приведено порівняння кільцевих напружень, отриманих методом збурення форми границі, з даними, отриманими скінченно-різницевим методом за рівняннями теорії оболонок Векуа. 2012 Article О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями / Д.И. Чернопиский // Проблемы прочности. — 2012. — № 1. — С. 58-74. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95585 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Чернопиский, Д.И. О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями Проблемы прочности |
| description |
Методом возмущения формы границы (второй вариант) на основаниитрехмерных уравнений и соотношений теории упругости с учетом первых трех приближений получено аналитическое решение задачи об упругом равновесии неканонических оболочек, которые близки к цилиндрическими находятся под действиемпеременных осевых внешних усилий. Установлено влияние отдельных форм неканонических оболочек, амплитуды и параметра осцилляции граничных поверхностей в осевом или окружном направлениях на величину максимальных напряжений. Показана практически числовая сходимость на основе вклада по абсолютной величине каждого из приближений в общую сумму. Для оболочки в виде сильфона, находящейся под постоянным внешним давлением, приведено сравнение кольцевых напряжений, полученных методом возмущения формы границы, с данными, определенными конечно-разностным методом по уравнениям теории оболочек Векуа. |
| format |
Article |
| author |
Чернопиский, Д.И. |
| author_facet |
Чернопиский, Д.И. |
| author_sort |
Чернопиский, Д.И. |
| title |
О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями |
| title_short |
О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями |
| title_full |
О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями |
| title_fullStr |
О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями |
| title_full_unstemmed |
О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями |
| title_sort |
о напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95585 |
| citation_txt |
О напряженно-деформированном состоянии толстостенных цилиндрических оболочек, ограниченных гофрированными поверхностями / Д.И. Чернопиский // Проблемы прочности. — 2012. — № 1. — С. 58-74. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT černopiskijdi onaprâžennodeformirovannomsostoâniitolstostennyhcilindričeskihoboločekograničennyhgofrirovannymipoverhnostâmi |
| first_indexed |
2025-07-07T02:27:22Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:27:22Z |
| _version_ |
1836953363588055040 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè òîëñòîñòåííûõ
öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê, îãðàíè÷åííûõ ãîôðèðîâàííûìè
ïîâåðõíîñòÿìè
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
Èâàíî-Ôðàíêîâñêèé íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò íåôòè è ãàçà, Èâàíî-
Ôðàíêîâñê, Óêðàèíà
Ìåòîäîì âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíèöû (âòîðîé âàðèàíò) íà îñíîâàíèè òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé
è ñîîòíîøåíèé òåîðèè óïðóãîñòè ñ ó÷åòîì ïåðâûõ òðåõ ïðèáëèæåíèé ïîëó÷åíî àíàëèòè-
÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è îá óïðóãîì ðàâíîâåñèè íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê, êîòîðûå áëèçêè ê
öèëèíäðè÷åñêèì è íàõîäÿòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïåðåìåííûõ îñåâûõ âíåøíèõ óñèëèé. Óñòàíîâëåíî
âëèÿíèå îòäåëüíûõ ôîðì íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê, àìïëèòóäû è ïàðàìåòðà îñöèëëÿöèè
ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé â îñåâîì èëè îêðóæíîì íàïðàâëåíèÿõ íà âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíûõ
íàïðÿæåíèé. Ïîêàçàíà ïðàêòè÷åñêè ÷èñëîâàÿ ñõîäèìîñòü íà îñíîâå âêëàäà ïî àáñîëþòíîé
âåëè÷èíå êàæäîãî èç ïðèáëèæåíèé â îáùóþ ñóììó. Äëÿ îáîëî÷êè â âèäå ñèëüôîíà, íàõîäÿ-
ùåéñÿ ïîä ïîñòîÿííûì âíåøíèì äàâëåíèåì, ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå êîëüöåâûõ íàïðÿæåíèé,
ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíèöû, ñ äàííûìè, îïðåäåëåííûìè êîíå÷íî-ðàçíîñò-
íûì ìåòîäîì ïî óðàâíåíèÿì òåîðèè îáîëî÷åê Âåêóà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âîëíîîáðàçíûå òîëñòîñòåííûå îáîëî÷êè, íåêàíîíè÷åñêèå
ïîâåðõíîñòè, ïåðåìåííîå îñåâîå äàâëåíèå, ìåòîä âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíè-
öû, ìàëûé ïàðàìåòð, íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå, ïðàêòè÷åñêàÿ
ñõîäèìîñòü ðåøåíèÿ, ïàðàìåòð îñöèëëÿöèè.
Ââåäåíèå. Ãîôðèðîâàííûå òîíêîñòåííûå è òîëñòîñòåííûå ïëàñòèíû è
îáîëî÷êè øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â âèäå ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé â ìàøèíî-
ñòðîåíèè (êîìïåíñàòîðû, ñèëüôîíû, øåñòåðíè). Îòìåòèì, ÷òî ïðè ñîåäèíå-
íèè âçðûâíîé ñâàðêîé ðàçíîðîäíûõ ìàòåðèàëîâ â ñîñòàâíûõ ýëåìåíòàõ êîíñò-
ðóêöèé ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà èìåþò âîëíîîáðàçíóþ ôîðìó [1].
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè (ÍÄÑ) è
óñòîé÷èâîñòè òîíêèõ ãîôðèðîâàííûõ îáîëî÷åê ïðåäëîæåíû ïðèáëèæåííûå
àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ìåòîäû [2–4]. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ
ïî îöåíêå óñòîé÷èâîñòè áëèçêèõ ê ñôåðè÷åñêèì îáîëî÷åê ñ ãîôðèðîâàííûìè
ïî àçèìóòó ïîâåðõíîñòÿìè èçëîæåíû â ðàáîòå [5]. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîòåðÿ
óñòîé÷èâîñòè òàêèõ îáîëî÷åê ïðîèñõîäèò ïðè êðèòè÷åñêîé íàãðóçêå (âíåøíåå
äàâëåíèå), êîòîðàÿ çíà÷èòåëüíî âûøå äëÿ ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êè.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè î ÍÄÑ òîëñòîñòåííûõ íåêðóãîâûõ
öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê íà îñíîâàíèè ÷èñëåííîãî ìåòîäà äèñêðåòíîé îðòî-
ãîíàëèçàöèè [6] ðàññìîòðåíû â [7]. Ïðè óïðóãîì äåôîðìèðîâàíèè òîíêî-
ñòåííûõ è òîëñòîñòåííûõ îáîëî÷åê ñ áûñòðîèçìåíÿþùåéñÿ ãåîìåòðèåé ãðà-
íè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé (ñìåíà ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû íà îòðèöàòåëüíóþ â
îòäåëüíûõ òî÷êàõ) âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü çíà÷èòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ êîëè-
÷åñòâà óçëîâ ïðè äèñêðåòèçàöèè çîí ïîâåðõíîñòåé ñ áîëüøèìè ãðàäèåíòàìè
èçìåíåíèÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé, ÷òî ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííûì âû÷èñ-
ëèòåëüíûì òðóäíîñòÿì ïðè ðàñ÷åòàõ ÍÄÑ. Äëÿ ðàñ÷åòà ÍÄÑ òîíêèõ ãîôðè-
© Ä. È. ×ÅÐÍÎÏÈÑÊÈÉ, 2012
58 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
ðîâàííûõ îáîëî÷åê ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ óòî÷íåííûìè òåîðèÿìè, îñíîâàí-
íûìè íà ãèïîòåçàõ î ðàñïðåäåëåíèè ïåðåìåùåíèé ïî òîëùèíå, ïðèìåíåíèå
êîòîðûõ äëÿ òîëñòîñòåííûõ îáîëî÷åê ïðèâîäèò ê ïîãðåøíîñòÿì.
 äàííîé ðàáîòå â ðàìêàõ òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé è ñîîòíîøåíèé òåîðèè
óïðóãîñòè ïðè ñòàòè÷åñêèõ íàãðóçêàõ (ïåðåìåííîå âíóòðåííåå èëè âíåøíåå
äàâëåíèå) ïðèâåäåíû ÷èñëîâûå ðåçóëüòàòû î ÍÄÑ òîëñòîñòåííûõ îáîëî÷åê ñ
íåêàíîíè÷åñêèìè íåîðòîãîíàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè, áëèçêèìè ê öèëèíäðè-
÷åñêèì, êîòîðûå ïîëó÷åíû èç ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è íà îñíîâà-
íèè âòîðîãî âàðèàíòà ìåòîäà âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíèöû (ÌÂÔÃ) [8, 9].
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëîæåíèÿ èñêîìûõ êîìïîíåíò ïåðåìåùåíèé è íàïðÿ-
æåíèé â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà, õàðàêòåðèçóþùåãî âåëè÷èíó àìïëè-
òóäû îòêëîíåíèÿ ôîðìû íåêàíîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè îò ñîîòâåòñò-
âóþùåé êðóãîâîé öèëèíäðè÷åñêîé, ðåøåíèå èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è î ÍÄÑ
ãîôðèðîâàííûõ òîëñòîñòåííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê â êàæäîì èç ïðè-
áëèæåíèé ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãðàíè÷íûõ çàäà÷ äëÿ
ïîëîãî öèëèíäðà. Ãðàôèêè è ÷èñëîâûå ðåçóëüòàòû î ÍÄÑ ïîëó÷åíû ñ ó÷åòîì
ïåðâûõ òðåõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé (íóëåâîå ïðèáëèæåíèå ñîîòâåòñò-
âóåò ðåøåíèþ ïîëîãî öèëèíäðà êàê òåëà êàíîíè÷åñêîé ôîðìû).
Îñåñèììåòðè÷íûå ãîôðèðîâàííûå òîëñòîñòåííûå îáîëî÷êè, áëèçêèå
ê öèëèíäðè÷åñêèì. Óïðóãóþ òîëñòîñòåííóþ íåêàíîíè÷åñêóþ îáîëî÷êó îòíå-
ñåì ê öèëèíäðè÷åñêîé áåçðàçìåðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ( , , )r z� ñ çàäàí-
íûìè âíóòðåííåé S 0 è âíåøíåé S 1 áîêîâûìè ïîâåðõíîñòÿìè:
r f z S� �1 0 0� ( ) ~ , r r f z S� �1 1 1� � ( ) ~ , (1)
ãäå r1 1� �const ; f z( ) – íåïðåðûâíàÿ è äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ; � –
âåëè÷èíà àìïëèòóäû îòêëîíåíèÿ ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè îò ñîîòâåòñòâóþùåé
êðóãîâîé öèëèíäðè÷åñêîé (0 1� ��� ; r r S� �0 01~ ; r r S� 1 1~ ); � i – ïàðà-
ìåòð, êîòîðûé ïîçâîëÿåò óïðàâëÿòü ôîðìîé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè âðàùåíèÿ,
� i � 1 (i�0 1, ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âíóòðåííåé S 0 è âíåøíåé S 1 áîêîâûõ ïîâåðõ-
íîñòÿõ â íàïðàâëåíèè îñè Oz çàäàíî èçìåíåíèå íàãðóçêè ñîãëàñíî âûðàæå-
íèÿì
�
�
F F F Q z er z n0 0 0 0( , ) ( ) ;�
�
�
�
F F F Q z er z n1 1 1 11( , ) ( ) ( ) ,�
� (2)
ãäå çíà÷åíèþ ��1 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåìåííîå âíóòðåííåå äàâëåíèå, ��0 –
âíåøíåå; Q z( ) – èíòåíñèâíîñòü èçìåíåíèÿ âíåøíåé íàãðóçêè;
� �
e en n0 1, –
íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòÿì S i ( )
� � � �
e n e n e n eni ri r i zi z� � �� � îòíîñèòåëüíî öè-
ëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (r z, ,� ). Ïðîåêöèè óñèëèé íà áîêîâûõ
ïîâåðõíîñòÿõ îïðåäåëèì èç ñîîòíîøåíèé
F z Q z ns s0 0( ) ( ) ;�
� F Q z ns s1 11�
( ) ( ) ,� s r z� , , (3)
ãäå n e esi ni s� �cos( )
� �
– íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû íîðìàëåé ê âíåøíåé è
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòÿì (1), îïðåäåëÿåìûå ñîãëàñíî [9]:
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 59
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
nr �
1
, n
r
zz �
1
�
�
, n� �0,
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
2 1 2
�
�
r
z
/
. (4)
Çíàê ó ðàäèêàëà (4) îïðåäåëÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè
ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ îñåé êîîðäèíàò r z, , .� Çàìåòèì, ÷òî â (4)
ñîñòàâëÿþùàÿ n� �0, ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé (1) îáîëî÷åê âðà-
ùåíèÿ íå çàâèñÿò îò óãëîâîé êîîðäèíàòû �.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà áîêîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷åê âèäà (1) ñ ó÷åòîì
(2)–(4) ïðåäñòàâèì â âèäå
( ) ( ).� �rs ri zs zi S isn n F z
i
� � (5)
Òàêèì îáðàçîì, ââèäó îñåâîé ñèììåòðèè ôîðìû ïîâåðõíîñòè (1) òîëñòî-
ñòåííîé îáîëî÷êè è âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (5) îòíîñèòåëüíî îñè Oz
èñõîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à îá îïðåäåëåíèè ÍÄÑ ÿâëÿåòñÿ îñåñèììåòðè÷íîé.
Äîïîëíèì (5) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà òîðöàõ z l�0, (l – äëèíà
îáîëî÷êè) âèäà
u z z l�
�
0
0
,
, � rz z l�
�
0
0
, (6)
èëè
ur z l�
�
0
0
,
, � zz z l�
�
0
0
,
. (7)
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ (6) ñîîòâåòñòâóþò òàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ îñåâûõ
íàïðÿæåíèé � zz , ïðè êîòîðûõ òîðöû îñòàþòñÿ ïëîñêèìè, â ñëó÷àå (7) –
òîðöû ñâîáîäíû îò íîðìàëüíîé íàãðóçêè è íå ñìåùàþòñÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè.
Ââèäó ñëîæíîñòè ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòåé (1) òîëñòîñòåííîé îáîëî÷êè
äëÿ îïðåäåëåíèÿ åå ÍÄÑ ïðè çàäàííûõ óñëîâèÿõ (2) íà áîêîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ
è ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ íà òîðöàõ (6) èëè (7) âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì âàðèàíòîì
ìåòîäà âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíèöû [8], ïðåäñòàâèâ èñêîìûå êîìïîíåíòû
ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðà-
ìåòðà �:
( , ) ( , ).( ) ( )
u uj ij
n
j
n
ij
n
n
� � ��
�
�
�
0
(8)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÍÄÑ â òî÷êàõ íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ (1) è â èõ
îêðåñòíîñòè r r� * ( )*1 1� �r r èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå êîìïîíåíò (8) â ðÿäû
Òåéëîðà:
( , )
( )
!
( ,
* ( )
( )
u
f
k r
uj ij r r f z
n
n
i
k k
k j
n k
i� �
� �
�
��� �
�
�
� �
0
j
n k
k
n
r r
( ) ) .
*
� �
�
�
�
�
�
��
0
(9)
Îòìåòèì, ÷òî ïåðåìåùåíèÿ è íàïðÿæåíèÿ íà ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå
ïîâåðõíîñòè (1) íàõîäèì èç ñîîòíîøåíèé, íàïðèìåð:
60 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
u u n u n
u u n u n u u
n S r r z z S
s S r z z r S S S
i i
i i i i
� �
�
� �
( ) ;
( ) ; ; �
� nn S rr r zz z rz r z S
ss S zz r rr
i i
i
n n n n
n n
� � �
� �
( ) ;
(
� � �
� � �
2 2
2
2
z rz r z S
ns S zz rr r z rz r z S
n n
n n n n
i
i
2
2 2
2
�
�
�
� � � �
) ;
[( ) ( )]
i
,
!
"
#
#
#
#
#
$
#
#
#
#
#
(10)
ãäå ul lm, � ( , , , )l m n s� – êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ
�
u è òåíçîðà
íàïðÿæåíèé
�
� â êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò n s, , , êîòîðûå â ïðî-
èçâîëüíîé òî÷êå Ì íà ïîâåðõíîñòè òîëñòîñòåííîé îáîëî÷êè îïðåäåëÿþòñÿ
âûðàæåíèÿìè (4), (9). Çäåñü îñü n ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì íîðìàëåé
�
en0 ,
�
en1 , îñè s è ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê íåêàíîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
ñîîòâåòñòâåííî â îñåâîì è îêðóæíîì íàïðàâëåíèÿõ. Çàìåòèì, ÷òî â ïðî-
èçâîëüíîé òî÷êå Ì ïîâåðõíîñòè S i ìåæäó îðòîì íîðìàëè è êîîðäèíàò-
íûìè îðòàìè óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè íå âûïîëíÿþòñÿ:
� �
e eni r� %0 1; ,
� �
e eni � %� 0 1; ,
� �
e eni z� %0 1; . (11)
Ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (11), îòíîñÿòñÿ ê êëàññó
íåîðòîãîíàëüíûõ [8].
Ñëåäîâàòåëüíî, ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé âòîðîãî âà-
ðèàíòà ÌÂÔÃ [8] äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé â âèäå ðÿäîâ (8),
(9) â ïåðâûõ òðåõ ïðèáëèæåíèÿõ, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (3), (5)–(7) ïðèìóò âèä
� rs r r rs
i
F( ) ( ) ;0 0
�
� � � �rs r r i rs i zs r r is
i
i
G G F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1
1
1 0
2
1 0 1
� ��
� �
r ri�
, s r z� , ;
� � � �rs r r i rs i zs i rs
i
G G G( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ([2
1
1 1
2
1 1
1
2 0
�
�
� � ) ( ) ( ) ( )]� �� �
G Fi zs r r is
r ri
i
2
2 0 2� (12)
(íà áîêîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ);
u z
k
z l
( )
,
;
�
�
0
0 � rz
k
z l
( )
,�
�
0
0 (çàäà÷à a) (13à)
èëè
ur
k
z l
( )
,
;
�
�
0
0 � zz
k
z l
( )
,�
�
0
0 (çàäà÷à á) (14á)
(íà òîðöàõ, k �0, 1, 2).
Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ Fis
k( ) ïðîåêöèé óñèëèé (3) îïðåäåëÿþòñÿ èç
âûðàæåíèé (4) ðÿäàìè ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà � [9] ñ òî÷íîñòüþ äî
âåëè÷èí Î( )�3 äëÿ íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ nsi íîðìàëåé
�
eni , íàïðèìåð:
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 61
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
n e e Or n r1 1 0 1 2
2 3� � � � �cos( , ) ( );
� �
& & � & � �
n e e Oz n z1 1 0 1 2
2 3� � � � �cos( , ) ( ),
� �
' ' � ' � �
(15)
ãäå
&0 1� ; &1 0� ; &
�
2
1
2
2
2
�
([ ( )] ;f z
'0 1� ; ' �1 1�
(f z( ); '2 0�
(16)
(øòðèõîì îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ ïî z).
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ âíåøíèõ óñèëèé ïî ñòå-
ïåíÿì ïàðàìåòðà � èìåþò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèÿ
F Q zr1
0 1( ) ( ) ( );�
� F r1
1 0( ) ;� F f z Q zr1
2
1
2 21
2
1( ) ( ) [ ( )] ( );�
(� �
F z1
0 0( ) ;� F f z Q zz1
1
11( ) ( ) ( ) ( );�
(� � F z1
2 0( ) .�
(17)
Âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ âíóòðåííèõ óñèëèé F s
k
0
( )
ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè÷íî (15)–(17), åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
n e e e er n r n r0 0 1� �
cos( , ) cos( , );
� � � �
n e e e ez n z n z0 0 0� �
cos( , ) cos( , ).
� � � �
(18)
 ýòîì ñëó÷àå, íàïðèìåð, äëÿ F r0
0( ) , F r0
2( ) ïîëó÷èì
F Q zr0
0( ) ( );�� F r0
1 0( ) ;� F f z Q zr0
2 0
2
( ) [ ( )] ( ).�
(
�
� (19)
Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû Gij
k( ) (i j, ,�1 2) â ïåðâûõ òðåõ ïðèáëèæå-
íèÿõ äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (12), íàïðèìåð, â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ âíåøíåé
ïîâåðõíîñòè S r r f z1 1 1~ ( )� �� � èìåþò âèä [8]
G11
0 1( ) ;� G21
0 0( ) ;� G f z
r11
1
1
( ) ( ) ;��
�
�
G f z21
1
1
( ) ( );�
(�
G f z
r
f z11
2 1
2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( ( )) ;�
(
�
�
�
�
�
�
� �
�
G f z f z
r21
2 1
2
2
( ) ( ) ( ) .� (
� �
�
(20)
 ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (12) íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè (i�0) S r0 ~ �
� �1 0�� f z( ) âûðàæåíèÿ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ G G10
1
20
2( ) ( ), ... ,
ïîëó÷èì èç (20) ñîãëàñíî óñëîâèþ
62 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
G G
k k
10 11
( ) ( ) ;�
G G
k k
20 21
( ) ( ) ,�
(21)
êîòîðîå ñëåäóåò èç îäíîãî è òîãî æå çàêîíà èçìåíåíèÿ óðàâíåíèé (1) íà
âíóòðåííåé è âíåøíåé ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷êè:
n e e e e ns n s n s s1 1 0 0� � � �
cos( , ) cos[( , ) ] ,
� � � �
) s r z� , . (22)
Çàìåòèì, êîìáèíàöèåé ïàðàìåòðîâ � i â óðàâíåíèÿõ (1) íà áîêîâûõ
ïîâåðõíîñòÿõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì â ïðåäåëàõ åäèíîãî àëãîðèòìà âû-
ïîëíèòü ðàñ÷åò ÍÄÑ âîñüìè ðàçëè÷íûõ ôîðì îáîëî÷åê âðàùåíèÿ, áëèçêèõ ê
öèëèíäðè÷åñêèì, ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè èì ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (12), êîòî-
ðûå â ïðàâîé ÷àñòè ñîäåðæàò ìíîæèòåëè � i ñîãëàñíî (17) è îòâå÷àþò
ôóíêöèè f z( ), âçÿòîé ñî çíàêîì “�” èëè “
”.
Èç âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (12) ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå êðàåâûõ çàäà÷ î
ÍÄÑ îáîëî÷åê âðàùåíèÿ íåêàíîíè÷åñêîé ôîðìû ïî âòîðîìó âàðèàíòó ÌÂÔÃ
ýôôåêòèâíî, åñëè â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè (öèëèíäðè÷åñêàÿ ôîðìà îáîëî÷êè)
çàäà÷à èìååò òî÷íîå çàìêíóòîå èëè ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.
Ôóíêöèþ Q z( ), îïðåäåëÿþùóþ èçìåíåíèå íàãðóçêè â (3), çàäàäèì â âèäå
Q z
q z
q z
n
n
( )
cos ~ ( )
sin ~ ( )
�
!
"
$
0
0
13
14
*
*
a
á
ïðè *
)
n
n
l
� (23)
(*n – ÷àñòîòà èçìåíåíèÿ íàãðóçêè, n�1 2 3, , , ...).
Óðàâíåíèå íåêàíîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè (1) îáîëî÷êè â îñåâîì Oz íà-
ïðàâëåíèè ïðèìåì â âèäå
f z zk( ) cos ,� * * )k k l� , k �1 2 3, , , ... , (24)
ãäå k – ïàðàìåòð îñöèëëÿöèè ïîâåðõíîñòè.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÍÄÑ îáîëî÷åê, îãðàíè÷åííûõ ïîâåðõíîñòÿìè (24) è
íàõîäÿùèõñÿ ïîä âíóòðåííèì èëè âíåøíèì äàâëåíèåì âèäà (23), âîñïîëü-
çóåìñÿ â êàæäîì èç ïðèáëèæåíèé ïðåäñòàâëåíèåì îáùåãî ðåøåíèÿ ïðîñòðàí-
ñòâåííîé çàäà÷è â ñëó÷àå èçîòðîïíîé ñðåäû [10] ÷åðåç ãàðìîíè÷åñêèå ôóíê-
öèè, ÷òî ïîçâîëÿåò óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (12)–(14á):
u
rr
j
j
( )
( )
;�
�
�
+
u
zz
j j� �
�
�
,( );( ) ( )+ 2
�
�
�
-
-
� ,
�
rr
j
j j
G
r z
( )
( ) ( )
;� �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
12
2
2
2
+
�
�
�
-
-
� ,
�
��
( )
( ) ( )
,j
j j
G
r r z
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
2
2
2
+
(25)
ãäå
+ ( ) ( )
( )
( )
;j j
j
z
z
�
,
-
�,
�1
2
4 1
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 63
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
, . .1 1 0 1 0
1
( )
,
( )
,
( )( , ) [ ( ) ( )] ( );j
n
j
n
j
n
r z A I B K Q z� �
�
�
�
, - . .2 2 0 2 04 1( )
,
( )
,
( )( , ) ( ) [ ( ) ( )] ( )j
n
j
n
j
n
r z A I B K Q z�
�
�1
�
� ; (26)
G – ìîäóëü ñäâèãà; - – êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà; , i
j( ) – ãàðìîíè÷åñêèå
ôóíêöèè; An i
j
,
( ) – íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå èç ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ñëåäóþò èç ãðà-
íè÷íûõ óñëîâèé (12)–(14á) ñîãëàñíî âûðàæåíèÿì (25), (26); I 0 ( ),. K 0 ( ). –
ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêöèè Áåññåëÿ ñ ïåðåìåííîé . , êîòîðàÿ â êàæäîì èç
òðåõ ïðèáëèæåíèé îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ
.
*
* *
* * *
�
�
�
�
!
"
#
$
#
n
k n
k n n
r j
r j
r r j
, ;
( ) , ;
( ) , , .
0
1
2 2
(27)
Çàìåòèì, âûðàæåíèÿ (1)–(27) ïîçâîëÿþò âûïîëíèòü ðàñ÷åò ÍÄÑ íåêàíîíè-
÷åñêèõ òîëñòîñòåííûõ îáîëî÷åê âðàùåíèÿ íà îñíîâàíèè òðåõìåðíûõ óðàâíå-
íèé è ñîîòíîøåíèé òåîðèè óïðóãîñòè.
Íåêðóãîâûå òîëñòîñòåííûå îáîëî÷êè, áëèçêèå ê öèëèíäðè÷åñêèì.
Ïî àíàëîãèè ñ (1) óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòåé íåêðóãîâûõ îáîëî÷åê çàäàäèì â
âèäå
S r f0 01~ ( );� �� � � S r r f1 1 1~ ( ).� �� � � (28)
Êàê è âûøå, èìååì � i � 1 (i�0 1, ); f ( )� – ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿþùàÿ
ôîðìó áîêîâûõ ïîâåðõíîñòåé; r z, ,� – áåçðàçìåðíûå öèëèíäðè÷åñêèå êîîð-
äèíàòû. Çàêîí èçìåíåíèÿ âíåøíèõ óñèëèé Q z( ) íà áîêîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ
(28) èìååò âèä (23), à èçìåíåíèå âíåøíèõ óñèëèé çàäàíî âûðàæåíèÿìè
�
�
F F F Q z er r0 0 0 0( , ) ( ) ;� ��
�
�
F F F Q z er n1 1 1 11( , ) ( ) ( ) .� ��
(29)
 ïðåäñòàâëåíèè (29) äëÿ íîðìàëåé
� � � �
e n e n e n eni ri r i zi z� � �� � ñîãëàñíî
(28) èìååì n zi �0.  ýòîì ñëó÷àå íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû nsi äëÿ íîðìàëåé
�
eni îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [9]:
n r r
dr
dri r ri
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2 1 2
�
/
; n r
dr
d
dr
di r ri� � �
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2 1 2/
. (30)
Íà áîêîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ (28) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñîãëàñíî (29), (30)
èìåþò âèä
( ) ( ),� � � �/rs r s S isn n F z
i i
� � s r z� , , .� (31)
64 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåíèå ÍÄÑ íåêðóãîâûõ âîëíîîáðàçíûõ îáîëî÷åê
ñîïðÿæåíî ñ ðåøåíèåì òðåõìåðíûõ íåîñåñèììåòðè÷íûõ çàäà÷ òåîðèè óïðó-
ãîñòè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (6), (7) íà òîðöàõ z l�0, .
Ïðåäñòàâèì èñêîìûå ïåðåìåùåíèÿ è íàïðÿæåíèÿ ðÿäîì (8), à íà ãðàíè÷-
íûõ ïîâåðõíîñòÿõ r r fi* * ( )� ��� � (1 1� �r r* ) – ðàçëîæåíèåì ïî àíàëîãèè
ñ (9) â ðÿä Òåéëîðà. Êîìïîíåíòû ïåðåìåùåíèé è òåíçîðà íàïðÿæåíèé íà
ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå áîêîâûõ ïîâåðõíîñòåé (28) îáîëî÷êè ïî àíàëîãèè ñ
(10) îïðåäåëèì, íàïðèìåð, èç ñîîòíîøåíèé:
u u n u n u u n u n u un S r r S s S r r S S z Si i i i i i
� � �
� �( ) ; ( ) ; ;� � � �
� nn S rr r r r
S
ss S r rr
i i
i
n n n n
n n
� � �
� �
( ) ;
(
� � �
� � �
�� � � �
��
2 2
2
2
� � �
�� � � �
�
� � � �
2
2 2
2
�
�
r r
S
ns S rr r r r S
n n
n n n n
i
i
) ;
[( ) ( )]
i
,
!
"
#
#
##
$
#
#
#
#
(32)
ãäå ul , � lm (l m n s, , ,� ) – êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèé è òåíçîðà
íàïðÿæåíèé â êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò n s, , , êîòîðûå âû÷èñëÿ-
þòñÿ ñîãëàñíî (9) äëÿ f f� ( ).� Íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû ns (s r z� , ,� ) â
(32) âû÷èñëÿþòñÿ èç (30). Êàê è âûøå, îñü n ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
íîðìàëåé
�
en0 ,
�
en1 , îñè s è ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê ïîâåðõíîñòÿì S i â
òî÷êå îñíîâàíèÿ íîðìàëåé.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î íåîñåñèììåòðè÷íîì ÍÄÑ íåêðóãîâûõ îáîëî÷åê ñ
áîêîâûìè ïîâåðõíîñòÿìè (28) ïîä äåéñòâèåì âíóòðåííåãî èëè âíåøíåãî
äàâëåíèÿ (29) îãðàíè÷èìñÿ, êàê è âûøå, ïåðâûìè òðåìÿ ïðèáëèæåíèÿìè èç
ðàçëîæåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ñìåùåíèé è òåíçîðà íàïðÿæåíèé â âèäå ðÿäîâ
(8), (9). Ïðè ýòîì â êàæäîì èç ïðèáëèæåíèé ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàïèøåì
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� rs r r rs
i
F( ) ( ) ;0 0
�
� � � � �rs r r i rs i s
r r
is
i i
D D F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1
1
1 0
2
1 0 1
� �
�
� �
r ri�
;
� � � ��rs r r i rs i s i rs
i
D D D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ([2
1
1 1
2
1 1
1
2 0
�
�
� � ) ( ) ( ) ( )] ,� �
� �
D Fi s
r r
is
r ri i
2
2 0 2� �
s r z� , ,�
(33)
(íà áîêîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ);
ur
k
z l
( )
,
;
�
�
0
0 u k
z l
�
( )
,
;
�
�
0
0 � zz
k
z l
( )
,�
�
0
0 (çàäà÷à a) (34a)
èëè
u z
k
z l
( )
,
;
�
�
0
0 � rz
k
z l
( )
,
;
�
�
0
0 � �z
k
z l
( )
,�
�
0
0 (çàäà÷à á) (34á)
(íà òîðöàõ, k 01).
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 65
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
Êîýôôèöèåíòû Fis
k( ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ðàçëîæåíèÿ ïðîåêöèé óñèëèé (29)
â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà �, èñõîäÿ èç âûðàæåíèé íàïðàâëÿþùèõ
êîñèíóñîâ äëÿ íîðìàëåé ê áîêîâûì ïîâåðõíîñòÿì, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìè
âèäà (28).
Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû D i
k
1
( ) , D i
k
2
( ) (k �0, 1, 2) â (33) îïðåäåëÿ-
þòñÿ äëÿ ïîâåðõíîñòè S r r f1 1~ ( )� �� � âûðàæåíèÿìè [8]
D11
0 1( ) ;� D21
0 0( ) ;� D f
r11
1
1
( ) ( ) ;�� �
�
�
D
r
f21
0 1
1
( ) ( );� (
�
�
D f
r r
f11
2 1
2
2
2
2
1
2
2
2
1( ) ( ) ( ( )) ;�
(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� D
r
f
r r21
2 1
2
1 1
1( ) ( ) .� (
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
(35)
Íà îñíîâàíèè ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ðÿäîâ
F F F F Ois is is is� � � �( ) ( ) ( ) ( ),0 1 2 2 3� � � i�0 1, , s r� , � (36)
èç âûðàæåíèé (28)–(30) ïîëó÷èì
F Q z nis s�
� ( ) ;0 F Q z nis s�
( ) ( ) .1 1� (37)
Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ óñèëèé ïðè ñòåïåíÿõ � íà âíåøíåé è âíóò-
ðåííåé áîêîâîé ïîâåðõíîñòÿõ ñîîòâåòñòâåííî èìåþò âèä
F Q zr1
0 1( ) ( ) ( ),�
� F r1
1 0( ) ,� F
r
f Q zr1
2
1
2
21( ) ( )[ ( )] ( ),�
(
�
1
� �2
1
F1
0 0�
( ) ,� F
r
f Q z1
1 1
1
1�
�
� �( ) ( ) ( ) ( ),�
(
F
r
f f Q z1
2 1
2
1
2 1�
�
� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( );�
(
F Q zr0
0( ) ( ),�� F r0
1 0( ) ,� F fr0
2 1
2
2
2
( ) [ ] ,�
(
�
� �
F0
0 0�
( ) ,� F f Q z0
1
1� �� �( ) ( ) ( ),�
( F f f Q z0
2
1
2
� �� � �( ) ( ) ( ) ( ),� (
(38)
ãäå ��0 – âíåøíåå äàâëåíèå; ��1 – âíóòðåííåå äàâëåíèå.
Âûðàæåíèÿ (38) ñëåäóåò èç (37), åñëè íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû íîðìàëåé
ê âíóòðåííåé è âíåøíåé ïîâåðõíîñòÿì ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäîâ [8], íàïðè-
ìåð, äëÿ ïîâåðõíîñòè S r r f1 1 1~ ( ):� ��� �
n Or1 0 1 2
2 3� � � �& & � & � �( ); n O� ' ' � ' � �1 0 1 2
2 3� � � � ( ), (39)
ãäå & i , ' i – êîýôôèöèåíòû,
66 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
&0 1� ; &1 0� ; &
�
�2
1
2
1
2
2
2
�
(
r
f[ ( )] ;
'0 0� ; '
�
�1
1
1
� (
r
f ( ); '
�
� �2
1
2
1
2� (
r
f f( ) ( )
(40)
(øòðèõîì îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ ïî �).
Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè (êðóãîâîé ïîëûé öè-
ëèíäð) ÿâëÿåòñÿ îáùèì êàê äëÿ íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê âðàùåíèÿ, îãðàíè-
÷åííûõ ïîâåðõíîñòÿìè âèäà (1), òàê è äëÿ íåêðóãîâûõ öèëèíäðè÷åñêèõ
îáîëî÷åê ñ ïîâåðõíîñòÿìè, çàäàííûìè óðàâíåíèÿìè (28). Ïðè ýòîì, êàê è
âûøå, ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ âòîðîãî âàðèàíòà ÌÂÔÃ äëÿ ðåøåíèÿ
òðåõìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ î ÍÄÑ íåêðóãîâûõ îáîëî÷åê, áëèçêèõ ê öèëèíä-
ðè÷åñêèì, çàâèñèò îò íàëè÷èÿ òî÷íîãî èëè ïðèáëèæåííîãî àíàëèòè÷åñêîãî
ðåøåíèÿ äëÿ êîíå÷íîãî êðóãîâîãî ïîëîãî öèëèíäðà (íóëåâîå ïðèáëèæåíèå).
Çàêîí èçìåíåíèÿ âíåøíåé íàãðóçêè Q z( ), êàê è â ñëó÷àå íåêàíîíè÷åñêèõ
îáîëî÷åê âðàùåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé âèäà (23), à ôîðìà áîêîâûõ
ïîâåðõíîñòåé íåêðóãîâûõ ãîôðèðîâàííûõ îáîëî÷åê, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìè
(28), – ôóíêöèåé
f k k( ) sin sin ,� � ' �� � 3 k �1, 2, 3. (41)
Èñõîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à î ÍÄÑ íåêðóãîâûõ îáîëî÷åê ñ ãðàíè÷íûìè óñëî-
âèÿìè (33)–(34á) ïðè çàäàííûõ çàêîíàõ èçìåíåíèÿ âíåøíåé íàãðóçêè (23) è
ôîðìîé áîêîâûõ ïîâåðõíîñòåé â âèäå (41) ñâîäèòñÿ â êàæäîì èç ïîñëåäî-
âàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ( j01) ê ðåøåíèþ òðåõìåðíûõ íåîñåñèììåòðè÷íûõ
çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ êîìïîíåíòû ïåðåìåùåíèÿ è òåíçîðà íàïðÿæåíèé â èçî-
òðîïíîé ñðåäå [10] îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç òðè ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè, íàïðè-
ìåð, â ñëó÷àå ur
j( ) , � ��
( )j :
u
r rr
j
j j
( )
( ) ( )
;� �
�
�
�,
��
+ 1 3
�
�
�
�
�
� ,
�
�
� ���
( )
( ) ( ) ( )
j
j j j
G
r z z r r
�
2
1
2
12
2
2
2
2
3
2
2+ +
�
�
��
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 3
r
j( ) ,
(42)
ãäå
+ ( ) ( )
( )
( , , ) ( , , )
( )
( , , )
;j j
j
r z r z
r r z
r
� , �
-
�, �
�
� �
1
2
4 1
, � . .1 1
0
1
( )
,
(
,
( )
sin( , , ) [ ( ) ( )] ( )j
mn
j
m mn
j
m mr z A I B K Q z� � �
�cos ;m
nm �
�
�
�
��
10
, � - . .2 2 24 1( )
,
( )
,
( )( , , ) ( ) [ ( ) ( )] (j
mn
j
m mn
j
mr z A I B K Q�
� z m
m
nm
) ;sin
cos
�
�
�
�
�
�
��
10
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 67
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
, � . .3 3 3
1
( , , ) [ ( ) ( )] ( ),
( )
,
( )
cor z A I B K Q zmn
j
m mn
j
n
m� �
�
�
� s
sin .m
m
m
�
�
�
�
�
0
(43)
Ñîãëàñíî âûðàæåíèÿì (42) äëÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé èç ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé (33), (34) äëÿ êàæäîãî ïðèáëèæåíèÿ íàõîäèì íåèçâåñòíûå ïîñòî-
ÿííûå Amn i
j
,
( ) (i�1, 2, 3) êàê ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì. Âåëè÷èíà ïîðÿä-
êà m â ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèÿõ Áåññåëÿ I Km m( ), ( ). . (. *� nr) çàâè-
ñèò îò çíà÷åíèÿ k – ïàðàìåòðà îñöèëëÿöèè íåêðóãîâîé ïîâåðõíîñòè (41) è
îïðåäåëÿåòñÿ â êàæäîì èç ïðèáëèæåíèé j òàê: j m� �0 0~ (êðóãîâîé ïîëûé
öèëèíäð); j m k k� �1 2~ , ; j k k k�2 3 4 6~ , , .
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà
çíà÷åíèé �0 è �1 â óðàâíåíèÿõ ïîâåðõíîñòåé (1), (28) ïî åäèíîìó àëãî-
ðèòìó âûïîëíèòü ðàñ÷åò ÍÄÑ íà ÝÂÌ äëÿ âîñüìè âàðèàíòîâ ôîðì íåêàíî-
íè÷åñêèõ îáîëî÷åê.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ÍÄÑ íåêàíîíè÷åñêèõ òîëñòîñòåííûõ îáîëî÷åê,
áëèçêèõ ê öèëèíäðè÷åñêèì. ×èñëîâûå ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â òàáë. 1, 2,
ïîëó÷åíû èç ðàñ÷åòîâ ÍÄÑ íåêàíîíè÷åñêèõ òîëñòîñòåííûõ îáîëî÷åê (ðèñ. 1,
2) â ñëó÷àå èõ íàãðóæåíèÿ äàâëåíèåì (âíóòðåííèì èëè âíåøíèì), êîòîðîå
èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó q q zzs n� 0 sin * ïðè n�1, z�3 äëÿ
ñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ è óïðóãèõ ïîñòîÿííûõ:
��0 1, ; r1 1 4� , ; l�6; -�0 3, .  ÷àñòíîñòè, ïðè âíåøíåì äàâëåíèè âèä íàãðó-
æåíèÿ îáîëî÷êè ïîêàçàí íà ðèñ. 1,à.
Ïðè '�0 èìååì íåêðóãîâóþ îáîëî÷êó (ðèñ. 2,à), ïðè '� 1 9 – îáîëî÷-
êè ñ çàîêðóãëåííûìè ãîôðàìè òðàïåöèåâèäíîé è òðåóãîëüíîé ôîðìû.
Îáùèì äëÿ âûïîëíåííûõ ðàñ÷åòîâ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû êîí-
öåíòðàöèè íàïðÿæåíèé äëÿ òî÷åê ïîâåðõíîñòè ñî çíà÷èòåëüíûì ãðàäèåíòîì
Ò à á ë è ö à 1
Âëèÿíèå íåêàíîíè÷åñêîé ôîðìû îáîëî÷êè âðàùåíèÿ íà âåëè÷èíó
è õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé íà âíóòðåííåé è âíåøíåé ïîâåðõíîñòè
Ôîðìà
îáîëî÷êè
íà ðèñ. 1
Ïîëûé öèëèíäð Íåêàíîíè÷åñêàÿ îáîëî÷êà âðàùåíèÿ
���
( ) *0
qzs
�345zz
zsq
* ���
( ) * *0
qzs
� zz
zsq
( ) * *0 ��� *
qzs
� zz
zsq
* ��� * *
qzs
� zz
zsq
* *
Âíóòðåííåå äàâëåíèå
à 3,018
0,200 2,131 0,171 2,878
0,352 1,885
0,254
á 3,018
0,200 2,131 0,171 3,098
0,020 2,303 0,502
Âíåøíåå äàâëåíèå
à
4,002 0,251
3,145
0,221
3,743 0,416
2,776 0,419
á
4,002 0,251
3,145
0,221
4,182 0,074
3,432
0,743
Ïðèìå÷àíèå. Îäíîé çâåçäî÷êîé îáîçíà÷åíû äàííûå äëÿ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè, äâóìÿ – äëÿ
âíåøíåé.
68 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé, êîòîðûé âûçâàí ìàêñèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòüþ íà-
ãðóæåíèÿ è ìèíèìàëüíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè íåêàíîíè÷åñêîé îáîëî÷êè.
 ýòèõ òî÷êàõ äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå êëàññà îáîëî÷åê íàïðàâëåíèÿ îðòîâ
êðèâîëèíåéíîé è îñíîâíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñîâïàäàþò, ÷òî
èñêëþ÷àåò íåîáõîäèìîñòü âû÷èñëåíèÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé ñîãëàñíî
ôîðìóëàì (10), (32).
×èñëîâûå ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ÍÄÑ íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê âðàùåíèÿ
(ðèñ. 1) ñâèäåòåëüñòâóþò î çíà÷èòåëüíîì âëèÿíèè ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû
ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé è âèäà íàãðóæåíèÿ íà õàðàêòåð èõ óïðóãîãî äåôîð-
ìèðîâàíèÿ (òàáë. 1).
Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûå â òàáë. 2 äàííûå î êîëüöåâûõ � �� q zs íàïðÿ-
æåíèÿõ â íåêðóãîâîé îáîëî÷êå äëÿ óêàçàííîãî âûøå âèäà íàãðóæåíèÿ è ãðà-
íè÷íûõ óñëîâèé íà åå òîðöàõ íà îäèí-äâà ïîðÿäêà áîëüøå çíà÷åíèé äðóãèõ
êîìïîíåíò íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Ñðàâíåíèå ïðåäñòàâëåííûõ â òàáë. 1, 2
Ò à á ë è ö à 2
Âëèÿíèå íåêàíîíè÷åñêîé íåêðóãîâîé ôîðìû îáîëî÷êè íà âåëè÷èíó
è õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé íà âíóòðåííåé (íàä ÷åðòîé)
è âíåøíåé (ïîä ÷åðòîé) ïîâåðõíîñòè
Ôîðìà îáîëî÷êè
íà ðèñ. 2
Ïîëûé öèëèíäð Íåêàíîíè÷åñêàÿ íåêðóãîâàÿ îáîëî÷êà
���
( )0 qzs
��� qzs
Âíóòðåííåå äàâëåíèå
à
(� )� 16)
3 018
2 131
,
,
11 672,
á
(� )� 3 16)
3 018
2 131
,
,
8 861
4 594
,
,
Âíåøíåå äàâëåíèå
á
(� )� 3 16)
4 002
3 145
,
,
9 657
5 709
,
,
à á
Ðèñ. 1. Ôîðìû íåêàíîíè÷åñêîé òîëñòîñòåííîé îáîëî÷êè âðàùåíèÿ ïðè k � 2 â çàâèñèìîñòè îò
çíà÷åíèé � �0 1 1� � (a) è � �0 1 1� �
(á).
Ðèñ. 2. Ôîðìû íåêàíîíè÷åñêîé òîëñòîñòåííîé íåêðóãîâîé îáîëî÷êè ïðè k � 8, ' � 0 â
çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé � �0 1 1� � (a) è �0 1� ; �1 1�
(á).
à á
Ðèñ. 1 Ðèñ. 2
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 69
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
äàííûõ ïðè îäíîì è òîì æå âèäå íàãðóæåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî èçìåíåíèå
ôîðìû ïîâåðõíîñòåé íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê ñîîòâåòñòâåííî â îñåâîì è
îêðóæíîì íàïðàâëåíèÿõ ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíûõ
íàïðÿæåíèé.
Äàííûå ðàñ÷åòà ÍÄÑ íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê âðàùåíèÿ ñîãëàñíî âòî-
ðîìó âàðèàíòó ÌÂÔà è ðåçóëüòàòû ïðàêòè÷åñêîé ñõîäèìîñòè îòíîñèòåëüíî
÷èñëîâûõ äàííûõ â êàæäîì èç ïðèáëèæåíèé è èõ ïðîöåíòíîìó îòêëîíåíèþ
îò çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé äëÿ ïîëîãî öèëèíäðà (íóëåâîå ïðèáëèæåíèå), ïðè-
íÿòûõ çà 100%, ïðèâåäåíû â òàáë. 3, ãäå íàä ÷åðòîé ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ
êîëüöåâûõ íàïðÿæåíèé � �� q zs, ïîä ÷åðòîé – îñåâûõ � zz zsq , êîòîðûå
ñîîòâåòñòâóþò îáîëî÷êå âðàùåíèÿ ñ âíóòðåííåé (�0 0� ) ãëàäêîé ïîâåðõ-
íîñòüþ S r0 1~ � è âíåøíåé (�1 1� ) ãîôðèðîâàííîé ïîâåðõíîñòüþ S r1 ~ �
� �1 4, cos .�
)k
l
z C ïîâûøåíèåì ïàðàìåòðà îñöèëëÿöèè k îòìå÷àåòñÿ çíà÷è-
òåëüíûé ðîñò óêàçàííûõ íàïðÿæåíèé íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè â çîíå ìèíè-
ìàëüíîé òîëùèíû îáîëî÷êè â ñå÷åíèè z�3 ïðè ìàêñèìàëüíîì âíóòðåííåì
äàâëåíèè.
 òàáë. 4 ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ êîëüöåâûõ íàïðÿæåíèé â çàâèñèìîñòè
îò èçìåíåíèÿ òîëùèíû íåêðóãîâîé íåêàíîíè÷åñêîé îáîëî÷êè ïîä äåéñòâèåì
âíóòðåííåãî äàâëåíèÿ (ðèñ. 2,à) è ïðîöåíòíûé âêëàä êàæäîãî èç ïðèáëè-
æåíèé â âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ � �� q zs íà ïîâåðõíîñòè
S 0 1 8~ sin� � â ñå÷åíèè (z�3, � )� 16). Ñ óâåëè÷åíèåì òîëùèíû íåêðóãî-
âîé îáîëî÷êè ñõîäèìîñòü ïî âòîðîìó âàðèàíòó ÌÂÔà çíà÷èòåëüíî óëó÷øà-
åòñÿ îòíîñèòåëüíî ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé.
Ò à á ë è ö à 3
Çíà÷åíèÿ êîëüöåâûõ è îñåâûõ íàïðÿæåíèé â çàâèñèìîñòè îò èçìåíåíèÿ
ïàðàìåòðà îñöèëëÿöèè íåêàíîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè âðàùåíèÿ
k �ii
zsq
( )0
i
( )0 , %
�
�ii
zsq
( )1
i
( )1 , %
�
�2
2
ii
zsq
( )
i
( )2 , % �ii
zsq
18 2 131
0 171
,
,
84 6
29 0
,
,
0 350
0 410
,
,
13 9
69 5
,
,
0 039
0 009
,
,
1 5
1 5
,
,
2 520
0 590
,
,
54 2 131
0 171
,
,
78 7
13 5
,
,
0 552
1 306
,
,
20 6
81 6
,
,
0 019
0 062
,
,
0 2
4 9
,
,
2 672
1145
,
,
Ò à á ë è ö à 4
Çíà÷åíèÿ êîëüöåâûõ íàïðÿæåíèé â çàâèñèìîñòè îò òîëùèíû íåêðóãîâîé
íåêàíîíè÷åñêîé îáîëî÷êè
r1 Ïðèáëèæåíèå
Íóëåâîå
�
( )0 , % Ïåðâîå
�
( )1 , % Âòîðîå
�
( )2 , % ���
qzs
1,4 3,018 25,8 7,256 62,2 1,398 12,0 11,672
1,7 1,976 30,0 4,408 66,9 0,201 3,1 6,385
70 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
Ðèñ. 3 èëëþñòðèðóåò âëèÿíèå ôîðìû ïîâåðõíîñòè ãîôðà (ïàðàìåòð ') â
õàðàêòåðíûõ òî÷êàõ ñå÷åíèé (��const) íà âåëè÷èíó è íåëèíåéíûé õàðàêòåð
èçìåíåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî òîëùèíå îáîëî÷êè.
Äîñòîâåðíîñòü ÷èñëîâûõ äàííûõ î ÍÄÑ íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê ãîôðè-
ðîâàííîé ôîðìû ïðè âûïîëíåíèè, â ÷àñòíîñòè, óñëîâèé ïëîñêîãî òîðöà ïîä-
òâåðæäàåòñÿ ïðè èõ ñðàâíåíèè ñ ðåçóëüòàòàìè î ÍÄÑ ñèëüôîíà, êîòîðûå ïîëó-
÷åíû êîíå÷íîðàçíîñòíûì ìåòîäîì íà îñíîâàíèè óðàâíåíèé òåîðèè îáîëî÷åê
Âåêóà [2]. Ïðè ðàñ÷åòàõ ïîëàãàëè, ÷òî îáîëî÷êà â âèäå ñèëüôîíà íàõîäèòñÿ
ïîä âíåøíèì äàâëåíèåì, êîòîðîå èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó q zn0 cos * ( )n�1 360
è ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿííîìó äàâëåíèþ. Ïîñêîëüêó ñèëüôîí ïðåäñòàâëÿåò
îáîëî÷êó ñ ïåðèîäè÷åñêîé ãîôðèðîâàííîé ïîâåðõíîñòüþ, ðàñ÷åò åãî ÍÄÑ
âûïîëíåí â ïðåäåëàõ îäíîãî ãîôðà. Ñîïîñòàâèâ áåçðàçìåðíûå öèëèíäðè-
÷åñêèå êîîðäèíàòû r z, ,� c ïðèíÿòîé ñèñòåìîé êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò
[2] x1 , x 2 , x 3 ( ~ ,x z1 x 2 ~ ,� x r3 ~ ), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ èçìåíåíèÿ
òîëùèíû ñèëüôîíà h âäîëü îáðàçóþùåé
h a
x
b
h� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
0cos
)
ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè
Ðèñ. 3. Âëèÿíèå ôîðìû ïîâåðõíîñòè ãîôðà íà ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé ïî òîëùèíå íåêðó-
ãîâîé òîëñòîñòåííîé îáîëî÷êè (ñïëîøíûå ëèíèè) è ãëàäêîãî êðóãîâîãî ïîëîãî öèëèíäðà
(øòðèõîâûå ëèíèè).
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 71
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
S r
ah
R h
x
b0
0
0
1
1~ cos ;�
�
�
�
�
�
�
�
�
)
S
R h
R h
ah
R h
x
b1
0
0
0
0
1
~ cos ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
)
ãäå à�const; R , 2 0h – ðàäèóñ ñðåäèííîé S ñð ïîâåðõíîñòè è òîëùèíà
ãëàäêîé îáîëî÷êè; 2b – ïåðèîä èçìåíåíèÿ ãîôðà â íàïðàâëåíèè îñè z. Òîãäà
ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì ïîâåðõíîñòåé S 0 è S 1 (1) ïîëó÷èì ��
àh R h0 0( ),
k l r h b�
( ) .0 Ïðèíÿòûì â [2] ãåîìåòðè÷åñêèì ðàçìåðàì ýëåìåíòà ãîôðà
R�2 0, ì; 2 0 020h � , ì; à�0 75, ; b�0 40, ì ñîîòâåòñòâóþò áåçðàçìåðíûå
âåëè÷èíû ��0 00375, ; r1 1 01� , ; k �50; l�10. Ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ, ïîëó-
÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì âòîðîãî âàðèàíòà ÌÂÔà è óðàâíåíèé òåîðèè
îáîëî÷åê Âåêóà [2], ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 5.
Íà îñíîâàíèè òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé òåîðèè óïðóãîñòè ÷èñëîâûå äàí-
íûå î ÍÄÑ îòäåëüíûõ ôîðì ãîôðèðîâàííûõ îáîëî÷åê, áëèçêèõ ê öèëèíäðè-
÷åñêèì, ïîëó÷åíû ïóòåì ïîñòðîåíèÿ â êàæäîì èç ïðèáëèæåíèé ðåøåíèé (26),
(43) â âèäå îòíîøåíèÿ ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé, îãðàíè÷åííûõ íà èíòåðâàëå (0,
1]. Ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè
îòíîøåíèé [11] è îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé â çàâèñè-
ìîñòè îò èçìåíåíèÿ èõ àðãóìåíòîâ è ïîðÿäêîâ, îïðåäåëÿåìûõ ãåîìåòðè-
÷åñêèìè ðàçìåðàìè îáîëî÷åê, ïàðàìåòðàìè âíåøíåé íàãðóçêè è ÷àñòîòîé
îñöèëëÿöèè ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé â ïîïåðå÷íîì (ðèñ. 1) èëè îêðóæíîì
(ðèñ. 2) íàïðàâëåíèÿõ. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò âûïîëíèòü ÷èñëîâûå ðàñ÷åòû
ÍÄÑ íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê â ïðîèçâîëüíîì äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ãåîìåò-
ðè÷åñêèõ ðàçìåðîâ, ïàðàìåòðîâ âíåøíåé íàãðóçêè è ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèé
ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé.
Ò à á ë è ö à 5
Çíà÷åíèÿ êîëüöåâûõ íàïðÿæåíèé â íåêàíîíè÷åñêîé îáîëî÷êå òèïà ñèëüôîíà,
ïîëó÷åííûå èç ðàñ÷åòà ÍÄÑ ñ èñïîëüçîâàíèåì âòîðîãî âàðèàíòà ÌÂÔà [10]
è óðàâíåíèé òåîðèè îáîëî÷åê Âåêóà [2]
Âòîðîé âàðèàíò ÌÂÔà Òåîðèÿ îáîëî÷åê Âåêóà
(êîíå÷íîðàçíîñòíûé ìåòîä)
z S1 ���
( )0 ��� x z1 ~ x r3 ~ ���
( )0 ���
5,226 S0
101,5
96,900 0
h
101,0
87,96
5,226 Scp
101,5
69,590 0 0
100,5
77,85
5,226 S1
100,5
72,430 0 h
100,5
67,75
5,326 S0
101,5
128,680 b
2
h
101,0
112,20
5,326 Scp
101,0
105,120 0
100,5
102,10
5,326 S1
100,5
81,710 h
100,0
91,90
5,426 S0
101,5
155,060 b
h
100,0
143,80
5,426 Scp
101,0
168,390 0
100,5
163,00
5,426 S1
100,5
210,105 h
100,0
182,10
72 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
Çàêëþ÷åíèå. Ìåòîäîì âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíèöû (âòîðîé âàðèàíò) íà
îñíîâàíèè òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé è ñîîòíîøåíèé òåîðèè óïðóãîñòè ñ ó÷åòîì
ïåðâûõ òðåõ ïðèáëèæåíèé ïðè ïåðåìåííîì îñåâîì óñèëèè ïîëó÷åíî àíàëèòè-
÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è î ÍÄÑ íåêàíîíè÷åñêèõ îáîëî÷åê, îãðàíè÷åííûõ íå-
îðòîãîíàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿì, áëèçêèìè ê öèëèíäðè÷åñêèì. Äëÿ îòäåëüíûõ
ôîðì îáîëî÷åê, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïåðåìåííîãî îñåâîãî âíóò-
ðåííåãî èëè âíåøíåãî äàâëåíèÿ, â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ âîëíîîáðàçî-
âàíèÿ ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè ïîêàçàíî, êàê äàâëåíèå âëèÿåò íà âåëè÷èíó
ìàêñèìàëüíûõ íàïðÿæåíèé ïðè îäíîì è òîì æå âèäå íàãðóæåíèÿ. Ïðèâåäåíî
ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ÌÂÔà âåëè÷èí êîëüöåâûõ íàïðÿæåíèé äëÿ îáîëî÷êè
â âèäå ñèëüôîíà, íàõîäÿùåéñÿ ïîä ïîñòîÿííûì âíåøíèì äàâëåíèåì, ñ ðåçóëü-
òàòàìè ÷èñëîâîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è êîíå÷íîðàçíîñòíûì ìåòîäîì íà îñíîâàíèè
ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà ñîãëàñíî
óðàâíåíèÿì òåîðèè îáîëî÷åê Âåêóà.
Ð å ç þ ì å
Ìåòîäîì çáóðåííÿ ôîðìè ãðàíèö³ (äðóãèé âàð³àíò) íà îñíîâ³ òðèâèì³ðíèõ
ð³âíÿíü ³ ñï³ââ³äíîøåíü òåî𳿠ïðóæíîñò³ ç óðàõóâàííÿì ïåðøèõ òðüîõ íàáëè-
æåíü îòðèìàíî àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ ùîäî ïðóæíî¿ ð³âíîâàãè íåêàíî-
í³÷íèõ îáîëîíîê, ùî áëèçüê³ äî öèë³íäðè÷íèõ ³ çíàõîäÿòüñÿ ï³ä 䳺þ çì³ííèõ
îñüîâèõ çîâí³øí³õ çóñèëü. Óñòàíîâëåíî âïëèâ îêðåìèõ ôîðì íåêàíîí³÷íèõ
îáîëîíîê, àìïë³òóäè ³ ïàðàìåòðà îñöèëÿö³¿ ãðàíè÷íèõ ïîâåðõîíü â îñüîâîìó
÷è îêðóæíîìó íàïðÿìêó íà âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíèõ íàïðóæåíü. Ïîêàçàíî
ïðàêòè÷íî ÷èñëîâó çá³æí³ñòü íà îñíîâ³ âêëàäó çà àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ
êîæíîãî ³ç íàáëèæåíü ó çàãàëüíó ñóìó. Äëÿ îáîëîíêè ó âèãëÿä³ ñèëüôîíà, ùî
çíàõîäèòüñÿ ï³ä 䳺þ ïîñò³éíîãî çîâí³øíüîãî òèñêó, ïðèâåäåíî ïîð³âíÿííÿ
ê³ëüöåâèõ íàïðóæåíü, îòðèìàíèõ ìåòîäîì çáóðåííÿ ôîðìè ãðàíèö³, ç äàíèìè,
îòðèìàíèìè ñê³í÷åííî-ð³çíèöåâèì ìåòîäîì çà ð³âíÿííÿìè òåî𳿠îáîëîíîê
Âåêóà.
1. Ïåòóøêîâ Â. Ã. Ïðèìåíåíèå âçðûâà â ñâàðî÷íîé òåõíèêå. – Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 2005. – 753 ñ.
2. Ãóëÿåâ Â. È., Áàæåíîâ Â. À., Ëèçóíîâ Ï. Ï. Íåêëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ
îáîëî÷åê è åå ïðèëîæåíèÿ ê ðåøåíèþ èíæåíåðíûõ çàäà÷. – Ëüâîâ: Âèùà
øê., 1978. – 190 ñ.
3. Ãðèãîðåíêî ß. Ì., Çàõàðèé÷åíêî Ë. È. Èññëåäîâàíèå âëèÿíèÿ èçìåíåíèÿ
÷àñòîòû è àìïëèòóäû ãîôðèðîâêè öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê íà èõ íà-
ïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå // Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 2003. – 39,
¹ 12. – Ñ. 78 – 85.
4. Ñåìåíþê Í. Ï., Íåñõîäîâñêàÿ Í. À. Ïðèìåíåíèå òåîðèè òèïà Òèìîøåíêî
ê èññëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè ãîôðèðîâàííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê
// Òàì æå. – 2002. – 38, ¹ 6. – Ñ. 99 – 107.
5. Áðàíêîâ Ã. È. Íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ïðè èññëåäîâàíèè âîëíîîáðàçíûõ
îáîëî÷åê // Ìåõàíèêà ñïëîøíîé ñðåäû è ðîäñòâåííûå ïðîáëåìû àíàëèçà.
– Ì.: Íàóêà, 1972. – Ñ. 79 – 88.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 73
Î íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ...
6. Ãðèãîðåíêî ß. Ì., Ïàíêðàòîâà Í. Ä. Îá÷èñëþâàëüí³ ìåòîäè â çàäà÷àõ
ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. – Êè¿â: Ëèá³äü, 1995. – 280 ñ.
7. Ãðèãîðåíêî ß. Ì., Ðîæîê Ë. Ñ. Îá îäíîì ïîäõîäå ê ðåøåíèþ çàäà÷ î
íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè íåêðóãîâûõ ïîëûõ öèëèíäðîâ // Ïðèêë. ìåõàíè-
êà. – 2002. – 38, ¹ 5. – Ñ. 61 – 71.
8. Ãóçü À. Í., Íåìèø Þ. Í. Ìåòîä âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíèöû â ìåõàíèêå
ñïëîøíûõ ñðåä. – Êèåâ: Âèùà øê., 1989. – 352 ñ.
9. Íåì³ø Þ. Ì. Ïðóæíà ð³âíîâàãà äåôîðì³âíèõ öèë³íäð³â çì³ííî¿ òîâùèíè
// ÄÀÍ ÓÐÑÐ. Ñåð. À. – 1973. – ¹ 2. – Ñ. 155 – 158.
10. Youngdohl C. K. On the completeness of a set of stress elasticity problems in
general cylindvical coordinates // Int. J. End. Sci. – 1969. – 7, No. 1. – P. 61 –
79.
11. ×åðíîïèñêèé Ä. È. Íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ðàñ÷åòà äåôîðìèðóåìûõ öè-
ëèíäðîâ â ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèÿõ Áåññåëÿ // Ïðèêë. ìåõàíèêà. –
1978. – 14, ¹ 6. – Ñ. 45 – 51.
Ïîñòóïèëà 07. 07. 2010
74 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1
Ä. È. ×åðíîïèñêèé
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|