Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць

Виконано числовий розрахунок частот власних коливань балок лінійно-змінного за висотою перерізу при різних умовах закріплення їх кінців. Отримано диференціальне рівняння, яке реалізоване методом скінченних різниць. Визначено власні значення рівняння і частотні параметри. Результати отримано за кіль...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Піскунов, В.Г., Гриневицький, Р.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2012
Schriftenreihe:	Проблемы прочности
Schlagworte:	Научно-технический раздел
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95586
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць / В.Г. Піскунов, Р.В. Гриневицький // Проблемы прочности. — 2012. — № 1. — С. 75-81. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-95586
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-955862016-03-01T03:02:07Z Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць Піскунов, В.Г. Гриневицький, Р.В. Научно-технический раздел Виконано числовий розрахунок частот власних коливань балок лінійно-змінного за висотою перерізу при різних умовах закріплення їх кінців. Отримано диференціальне рівняння, яке реалізоване методом скінченних різниць. Визначено власні значення рівняння і частотні параметри. Результати отримано за кількох варіантів кроку вузлів апроксимації. Проведено їх уточнення екстраполяційним методом. Точність результатів підтверджується порівнянням з аналітичним розв’язком для випадку балки постійного перерізу. Выполнено численное решение частот собственных колебаний балок линейно-переменного по высоте сечения при разных условиях закрепления их концов. Получено дифференциальное уравнение, которое реализовано методом конечных разностей. Определены собственные значения уравнения и частотные параметры. Результаты получены при нескольких вариантах шага узлов аппроксимации. Проведено их уточнение экстраполяционным методом. Точность результатов подтверждается сравнением с аналитическим решением для случая балки постоянного сечения. 2012 Article Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць / В.Г. Піскунов, Р.В. Гриневицький // Проблемы прочности. — 2012. — № 1. — С. 75-81. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95586 539.3 uk Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Піскунов, В.Г. Гриневицький, Р.В. Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць Проблемы прочности
description	Виконано числовий розрахунок частот власних коливань балок лінійно-змінного за висотою перерізу при різних умовах закріплення їх кінців. Отримано диференціальне рівняння, яке реалізоване методом скінченних різниць. Визначено власні значення рівняння і частотні параметри. Результати отримано за кількох варіантів кроку вузлів апроксимації. Проведено їх уточнення екстраполяційним методом. Точність результатів підтверджується порівнянням з аналітичним розв’язком для випадку балки постійного перерізу.
format	Article
author	Піскунов, В.Г. Гриневицький, Р.В.
author_facet	Піскунов, В.Г. Гриневицький, Р.В.
author_sort	Піскунов, В.Г.
title	Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць
title_short	Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць
title_full	Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць
title_fullStr	Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць
title_full_unstemmed	Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць
title_sort	розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95586
citation_txt	Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць / В.Г. Піскунов, Р.В. Гриневицький // Проблемы прочности. — 2012. — № 1. — С. 75-81. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT pískunovvg rozvâzannâzadačíkolivanʹbalokzmínnogopererízumetodomskínčennihríznicʹ AT grinevicʹkijrv rozvâzannâzadačíkolivanʹbalokzmínnogopererízumetodomskínčennihríznicʹ
first_indexed	2025-07-07T02:27:25Z
last_indexed	2025-07-07T02:27:25Z
_version_	1836953367064084480
fulltext	ÓÄÊ 539.3 Ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ êîëèâàíü áàëîê çì³ííîãî ïåðåð³çó ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ ð³çíèöü Â. Ã. Ï³ñêóíîâ, Ð. Â. Ãðèíåâèöüêèé 1 Íàö³îíàëüíèé òðàíñïîðòíèé óí³âåðñèòåò, Êè¿â, Óêðà¿íà 1 roma_it@ukr.net Âèêîíàíî ÷èñëîâèé ðîçðàõóíîê ÷àñòîò âëàñíèõ êîëèâàíü áàëîê ë³í³éíî-çì³ííîãî çà âèñîòîþ ïåðåð³çó ïðè ð³çíèõ óìîâàõ çàêð³ïëåííÿ ¿õ ê³íö³â. Îòðèìàíî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ, ÿêå ðåàë³çîâàíå ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ ð³çíèöü. Âèçíà÷åíî âëàñí³ çíà÷åííÿ ð³âíÿííÿ ³ ÷àñòîòí³ ïàðàìåòðè. Ðåçóëüòàòè îòðèìàíî çà ê³ëüêîõ âàð³àíò³â êðîêó âóçë³â àïðîêñèìàö³¿. Ïðîâåäåíî ¿õ óòî÷íåííÿ åêñòðàïîëÿö³éíèì ìåòîäîì. Òî÷í³ñòü ðåçóëüòàò³â ï³äòâåðäæóºòüñÿ ïîð³âíÿí- íÿì ç àíàë³òè÷íèì ðîçâ’ÿçêîì äëÿ âèïàäêó áàëêè ïîñò³éíîãî ïåðåð³çó. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ÷èñëîâèé ðîçðàõóíîê ÷àñòîò, äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ, ÷àñ- òîòí³ ïàðàìåòðè. Âñòóï. Äîñë³äæåííÿ êîëèâàíü áàëîê ÿê êîíñòðóêòèâíèõ åëåìåíò³â ð³çíî- ìàí³òíèõ ìàøèí ³ ñïîðóä âèñâ³òëåíî â áàãàòüîõ ë³òåðàòóðíèõ äæåðåëàõ [1–8]. Çîêðåìà, â äåÿêèõ ðîçãëÿäàºòüñÿ ïèòàííÿ äåìïô³ðóâàííÿ êîëèâàíü. ßê òåõí³÷- íèé çàñ³á ðîçâ’ÿçêó öüîãî ïèòàííÿ ìîæëèâî çàñòîñóâàòè çì³íó ïåðåð³çó áàëîê òà óìîâ ¿õ çàêð³ïëåííÿ. Ó äàí³é ðîáîò³ ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó êîëèâàíü áàëîê ë³í³éíî-çì³ííîãî çà âèñîòîþ ïåðåð³çó çà ð³çíèõ óìîâ çàêð³ïëåííÿ ¿õ ê³íö³â. Âèêîðèñòàíî ÷èñëî- âèé ìåòîä ðîçâ’ÿçêó – ìåòîä ñê³í÷åííèõ ð³çíèöü ç åêñòðàïîëÿö³ºþ äëÿ óòî÷- íåííÿ ðåçóëüòàò³â. Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ âëàñíèõ êîëèâàíü áàëêè çì³ííîãî ïåðå- ð³çó. Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ìàº íàñòóïíèé âèãëÿä: d dx EJ d z dx m zx x 2 2 2 2 2 0 � � � � � � � �� , (1) äå ÅJ x – çì³ííà æîðñòê³ñòü ïåðåð³çó; – ÷àñòîòà êîëèâàíü; mx – çì³ííà ìàñà. Ï³ñëÿ äèôåðåíö³þâàííÿ îòðèìàºìî d EJ dx d z dx dEJ dx d z dx EJ d z dx m z x x x x 2 2 2 2 3 3 4 4 22 0� � � . (2) Ðîçãëÿíåìî áàëêó, âèñîòà ÿêî¿ çì³íþºòüñÿ çà ë³í³éíèì çàêîíîì (ðèñ. 1). Ìîìåíò ³íåðö³¿ áàëêè ìîæíà çàïèñàòè íàñòóïíèì ÷èíîì: J bh x x 3 12 ; J b h kx bh kx h J kx hx � � � � �� ( )0 3 0 3 0 3 0 012 12 1 1 � �� 3 . (3) © Â. Ã. Ï²ÑÊÓÍÎÂ, Ð. Â. ÃÐÈÍÅÂÈÖÜÊÈÉ, 2012 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 75 Ïîõ³äí³ â³ä ìîìåíòó ³íåðö³¿ áóäóòü ìàòè òàêèé âèãëÿä: � � � � � �� J J k h kx hx 0 0 0 2 3 1 ; �� J J k h kx hx 0 2 0 2 0 6 1 . (4) Çì³ííà ìàñà íà îäèíèöþ äîâæèíè áóäå: m b g h kxx � ( ),0 (5) äå – ïèòîìà âàãà; g – ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ; b – øèðèíà ïåðåð³çó. Ï³äñòàâèìî â ð³âíÿííÿ (2) âèðàçè (3)–(5) ³ îòðèìàºìî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ âëàñíèõ êîëèâàíü áàëêè: EJ kx h d z dx EJ k h kx h d z 0 0 3 4 4 0 0 0 2 3 1 6 1� � � �� dx 3 � � � � � �� EJ k h kx k d z dx b EJ g h kx z0 2 0 2 0 2 2 2 0 0 6 1 0 ( ) . (6) Â îêðåìîìó âèïàäêó (h h0 1 , k 0) îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ âëàñíèõ êîëè- âàíü áàëêè ïîñò³éíîãî ïåðåð³çó ç ìîäóëåì ïðóæíîñò³ Å òà ìîìåíòîì ³íåðö³¿ J 0 : d Z dx EJ mz 4 4 0 2 0� . (7) Ð³âíÿííÿ ó ñê³í÷åííèõ ð³çíèöÿõ. Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ (6) ó ñê³í÷åííèõ ð³çíèöÿõ, ïîä³ëèâøè áàëêó íà ð³âí³ ³íòåðâàëè �, çà äîïîìîãîþ ñõåìè, ïîêà- çàíî¿ íà ðèñ. 2. Â. Ã. Ï³ñêóíîâ, Ð. Â. Ãðèíåâèöüêèé 76 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 Ðèñ. 1. Ñõåìà áàëêè çì³ííîãî ïåðåð³çó h h kxx �0 , k h h l �( ) .0 1 Ââåäåìî íàñòóïí³ ïîçíà÷åííÿ: x n h h kx r h h k rh h l h l r h n r i i i i � � � � � � ; ; ; ( ) ( 0 0 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 ); ( ) ( ) ( ) ; ( kx h n r n h r n n h r kx h h i i i � � � � � � r rh r r t kx h t A i i i i i i � � � � � �� 1 1 1 1 1 1 0 ) ; ( ) ; � � � � � � � � � � � � � � �� n n t r r B t n i ; ; . 1 3 (8) Ç óðàõóâàííÿì ïîçíà÷åíü (8) ð³âíÿííÿ (6) â ñê³í÷åííèõ ð³çíèöÿõ (ðèñ. 2) íàáóâàº íàñòóïíîãî âèãëÿäó: ( ) ( ) ( )6 4 4 2 2 4 2 22 2 2 2 2 2A B Z A BA B Z A BA B Zi i i k i i l� � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ,A BA Z A BA Z Zi i m i i n i 2 2 0� (9) äå � � � � 2 4 2 4 4 l n . Çâ³äêè îòðèìóºìî ÷àñòîòíèé ïàðàìåòð l n2 2� � , (10) Ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ êîëèâàíü áàëîê çì³ííîãî ïåðåð³çó ... ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 77 Ðèñ. 2. Àïðîêñèìàö³ÿ áàëêè ó ñê³í÷åííèõ ð³çíèöÿõ. ïðè öüîìó �2 – âëàñíå çíà÷åííÿ äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (6), ïîâ’ÿçàíå ç êâàäðàòîì ÷àñòîòè � 2 2 0 0 2 0 0 b h EJ g m EJ . (11) Íà îñíîâ³ (11) âèçíà÷àºìî êîëîâó ÷àñòîòó âëàñíèõ êîëèâàíü áàëêè: � EJ g b h 0 0 . (12) ²ç ôîðìóëè (9) ìîæíà îòðèìàòè ñê³í÷åííî-ð³çíèöåâå ð³âíÿííÿ äëÿ áàëêè ïîñò³éíîãî ïåðåð³çó: r 1; k 0; t 0; Ai 1; B 0; 6 4 4 0Z Z Z Z Z Zi k l m n i� � � � � � . (13) Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ ð³çíèöü ó êîæíîìó ç âóçë³â (ðèñ. 2) çàïèøåìî ð³âíÿííÿ (9) àáî (13) òà îòðèìàºìî ñèñòåìó àëãåáðà¿÷íèõ ë³í³éíèõ ð³âíÿíü ùîäî ïðîãèí³â ó öèõ âóçëàõ. Äëÿ âèêëþ÷åííÿ ïðîãèí³â ó òî÷êàõ (âóçëàõ), ùî âèõîäÿòü çà ìåæ³ îïîð áàëêè, âèêîðèñòîâóºìî óìîâè çàêð³ïëåííÿ ¿¿ ê³íö³â (òàáë. 1). Ïðèêëàä ðîçâ’ÿçêó. Çàïèøåìî ÿê ïðèêëàä ñèñòåìó ð³âíÿíü äëÿ áàëêè ïîñò³éíîãî ïåðåð³çó, ùî çàùåìëåíà ç äâîõ ê³íö³â, ïðè n 3 (ðèñ. 3). Çã³äíî ç (13) îòðèìàºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü: ( ) ; ( ) . 7 4 0 4 7 0 1 2 1 2 � � � � � � � � � � Z Z Z Z 78 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 Ò à á ë è ö ÿ 1 Óìîâè çàêð³ïëåííÿ ê³íö³â áàëêè Ñõåìà çàêð³ïëåííÿ Ãðàíè÷í³ óìîâè Âèðàç ó ñê³í÷åííèõ ð³çíèöÿõ Îáïèðàííÿ Z 0, � � 2 2 0 Z x Z Zk l � Çàùåìëåííÿ Z 0, � � Z x 0 Z Zk l Â³ëüíèé ê³íåöü Mi 0, Qi 0 Z Z B A Z B A Zn m i l i k � � � � �� 2 2 2 2 � 4 B A Z i i; Z Z Zl i k �2 Â. Ã. Ï³ñêóíîâ, Ð. Â. Ãðèíåâèöüêèé Àáè öÿ ñèñòåìà ìàëà ðîçâ’ÿçîê, ÿêèé íå äîð³âíþº òîòîæíî íóëþ, íåîá- õ³äíî, ùîá ¿¿ âèçíà÷íèê äîð³âíþâàâ íóëþ: ( ) ( ) ( ) ( ) , 7 4 4 7 0 � � � � � � çâ³äêè îòðèìàºìî êâàäðàòíå ð³âíÿííÿ: x x2 14 33 0� � , êîðåí³ ÿêîãî áóäóòü x1 3 , x 2 11 . Âèçíà÷åííÿ öèõ âåëè÷èí äîçâîëÿº çíàéòè çà ôîðìóëîþ (10) ÷àñòîòí³ ïàðàìåòðè ³ çà ôîðìóëîþ (12) – ÷àñòîòè âëàñíèõ êîëèâàíü. Îòðèìàí³ çíà÷åííÿ ÷àñòîòíèõ ïàðàìåòð³â ìàþòü âåëèê³ ïîõèáêè. Òàê, â íàâåäåíîìó âèùå ïðèêëàä³ ïåðøèé ïàðàìåòð l 2 15 588� , , ïðè òî÷íîìó çíà- ÷åíí³ l 2 22 373� , ïîõèáêà ñêëàäàº 29%. Äëÿ óòî÷íåííÿ ðåçóëüòàò³â ìîæåìî çàñòîñóâàòè åêñòðàïîëÿö³éíèé ïðè- éîì, ÿêèé äîçâîëÿº îòðèìóâàòè óòî÷íåí³ âëàñí³ çíà÷åííÿ �2 ³ â³äïîâ³äí³ ÷àñòîòí³ ïàðàìåòðè l 2 � çà ðîçâ’ÿçêàìè ïðè äâîõ ³ òðüîõ ð³çíèõ êðîêàõ àïðîêñèìàö³¿ [4]: ßêùî â³äîì³ âëàñí³ çíà÷åííÿ, ùî çíàéäåí³ ïðè äâîõ êðîêàõ, ¿õ óòî÷íþ- þòü çà ôîðìóëîþ � � � � �j i j j i j j j j j j j n n n n b b/ .2 2 2 2 2 2 2 2 2 � � � (14) Ïðè òðüîõ ð³çíèõ êðîêàõ ôîðìóëà (14) ó ñêîðî÷åíîìó âèãëÿä³ áóäå íàñòóïíà: � � � �k j i k k j j i ib b b/ / ,2 2 2 2 � � (15) äå bk , b j , bi – ÷èñëîâ³ êîåô³ö³ºíòè (òàáë. 2). Ðåçóëüòàòè ðîçâ’ÿçêó çàäà÷ êîëèâàíü. Çàïðîïîíîâàíà ìåòîäèêà äîçâî- ëÿº ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷³ ïðî âëàñí³ êîëèâàííÿ áàëîê ë³í³éíî-çì³ííîãî çà âèñî- òîþ ïåðåð³çó çà ð³çíèõ óìîâ çàêð³ïëåííÿ ê³íö³â. Ó òàáë. 3 íàâåäåíî çíà÷åííÿ ÷àñòîòíèõ ïàðàìåòð³â îñíîâíîãî òîíó äëÿ áàëîê ³ç â³äíîøåííÿì âèñîòè r h h 0 1 1 5, ³ äëÿ áàëîê, ùî ìàþòü ïîñò³éíó âèñîòó ( ).r 1 Ïîð³âíÿííÿ îòðèìàíèõ äàíèõ ³ç ðåçóëüòàòàìè â³äîìèõ àíàë³òè÷- ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 79 Ðèñ. 3. Ñõåìà áàëêè çà ð³çíèõ óìîâ çàêð³ïëåííÿ ê³íö³â. Ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ êîëèâàíü áàëîê çì³ííîãî ïåðåð³çó ... íèõ ðîçâ’ÿçê³â [8], âèêîíàíèõ äëÿ áàëîê ïîñò³éíîãî ïåðåð³çó h1 1 , ïîêà- çóþòü, ùî óòî÷íåí³ åêñòðàïîëÿö³ºþ çíà÷åííÿ ìàþòü äîñòàòíþ äëÿ ïðàêòè÷íèõ ðîçðàõóíê³â òî÷í³ñòü. Ìîæíà ââàæàòè, ùî äëÿ áàëîê ç³ çì³ííîþ âèñîòîþ òî÷í³ñòü îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â òàêîæ áóäå ö³ëêîì ïðèéíÿòíîþ. Ñë³ä â³äì³òèòè, ùî äëÿ âñ³õ ðîçãëÿíóòèõ óìîâ çàêð³ïëåííÿ ÷àñòîòí³ ïàðàìåòðè áàëîê çì³ííîãî çà âèñîòîþ ïåðåð³çó ìåíø³, í³æ ïàðàìåòðè áàëîê ïîñò³éíîãî ïåðåð³çó. Îòæå, äîñÿãàºòüñÿ åôåêò ïîãàøåííÿ ÷àñòîò êîëèâàíü – ñâîºð³äíîãî äåìïô³ðóâàííÿ. Çìåíøåííÿ “æîðñòêîñò³” óìîâ çàêð³ïëåííÿ ïðè- çâîäèòü äî â³äïîâ³äíîãî çìåíøåííÿ ÷àñòîòè – “ïîì’ÿêøåííÿ” êîíñòðóêö³¿, ùî òàêîæ ìîæíà ââàæàòè òåõí³÷íèì çàñîáîì äåìïô³ðóâàííÿ. Òàêîæ çàóâàæèìî, ùî âåëè÷èíà ÷àñòîòè ðåàëüíîãî áàëî÷íîãî åëåìåíòà ìîæå ðîçãëÿäàòèñÿ ÿê ä³àãíîñòè÷íà õàðàêòåðèñòèêà éîãî ñòàíó. 80 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 Ò à á ë è ö ÿ 2 Òàáëèöÿ ÷èñëîâèõ êîåô³ö³ºíò³â åêñòðàïîëÿö³éíèõ ôîðìóë n nj i , n n nk j i bk bj bi 2/1, 4/2 – 1,333 0,333 4/3 – 2,286 1,286 4/3/2 3,048 2,314 0,267 Ò à á ë è ö ÿ 3 ×àñòîòí³ ïàðàìåòðè l2 � áàëîê Ñõåìà áàëêè r h h 0 1 Êðîêè âóçë³â, n Ñõåìè óòî÷íåííÿ Àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê [8]2 3 4 4/3 4/3/2 1,0 8,000 9,000 9,371 9,888 (0,3%) 9,860 (0%) 9,860 1,5 5,333 6,104 6,720 7,438 7,678 – 1,0 9,996 12,300 13,510 14,900 (3,3%) 15,170 (1,7%) 15,420 1,5 8,000 10,210 11,500 12,970 13,410 – 1,0 11,320 15,590 17,820 20,35 (9,0%) 20,980 (6,2%) 22,370 1,5 8,537 11,970 13,990 16,280 16,940 – 1 2 3 3/2 3/2/1 – 1,0 2,000 2,928 3,221 3,458 (2,2%) 3,469 (1,3%) 3,5160 1,5 1,333 2,593 3,180 3,581 3,659 – Â. Ã. Ï³ñêóíîâ, Ð. Â. Ãðèíåâèöüêèé Ð å ç þ ì å Âûïîëíåíî ÷èñëåííîå ðåøåíèå ÷àñòîò ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé áàëîê ëèíåé- íî-ïåðåìåííîãî ïî âûñîòå ñå÷åíèÿ ïðè ðàçíûõ óñëîâèÿõ çàêðåïëåíèÿ èõ êîíöîâ. Ïîëó÷åíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ðåàëèçîâàíî ìåòî- äîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé. Îïðåäåëåíû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óðàâíåíèÿ è ÷àñòîòíûå ïàðàìåòðû. Ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû ïðè íåñêîëüêèõ âàðèàíòàõ øàãà óçëîâ àïïðîêñèìàöèè. Ïðîâåäåíî èõ óòî÷íåíèå ýêñòðàïîëÿöèîííûì ìåòî- äîì. Òî÷íîñòü ðåçóëüòàòîâ ïîäòâåðæäàåòñÿ ñðàâíåíèåì ñ àíàëèòè÷åñêèì ðå- øåíèåì äëÿ ñëó÷àÿ áàëêè ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ. 1. Ïèñàðåíêî Ã. Ñ., ßêîâëåâ À. Ï., Ìàòâååâ Â. Â. Âèáðîïîãëîùàþùèå ñâîéñòâà êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ. Ñïðàâî÷íèê. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1971. – 375 ñ. 2. Ìàòâååâ Â. Â. Äåìïôèðîâàíèå êîëåáàíèé äåôîðìèðóåìûõ òåë. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1985. – 263 ñ. 3. Ãîðèê Î. Â., Ï³ñêóíîâ Â. Ã., ×åðåäí³êîâ Â. Ì. Ìåõàí³êà äåôîðìóâàííÿ êîìïîçèòíèõ áðóñ³â. – Êè¿â; Ïîëòàâà: ÍÒÓ; Ïîëòàâñüêà äåðæàâíà àãðàð- íà àêàäåì³ÿ, 2008. – 404 ñ. 4. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ èíæåíåðîâ-ñòðîèòåëåé. – Êèåâ: Áóä³âåëüíèê, 1971. – 420 ñ. 5. Ïèñêóíîâ Â. Ã., Âåðèæåíêî Â. Å. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå çàäà÷è ðàñ÷åòà ñëîèñòûõ êîíñòðóêöèé. – Êèåâ: Áóä³âåëüíèê, 1986. – 176 ñ. 6. Ðàññêàçîâ À. Î., Ñîêîëîâñêàÿ È. È., Øóëüãà Í. À. Òåîðèÿ è ðàñ÷åò ñëîèñòûõ îðòîòðîïíûõ ïëàñòèí è îáîëî÷åê. – Êèåâ: Âèùà øê., 1986. – 191 ñ. 7. Ñàâ÷åíêî Å. Â. Ïàññèâíîå äåìïôèðîâàíèå êîëåáàíèé êîìïîçèòíèõ êîí- ñòðóêöèé. – Íåæèí: Àñïåêò-Ïîë³ãðàô, 2006. – 232 ñ. 8. Karnovsky I. A. and Lebed O. I. Formulas for Structural Dunamics: Tables, Graphs and Solutions. – New York; Toronto; St. Louis: McGraw-Hill, 2000. – 535 p. Ïîñòóïèëà 17. 11. 2010 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 1 81 Ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ êîëèâàíü áàëîê çì³ííîãî ïåðåð³çó ... << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /FRA <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> /ITA <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> /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /NoConversion /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /NA /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Розв’язання задачі коливань балок змінного перерізу методом скінченних різниць

Institution

Ähnliche Einträge