Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія
Розроблено загальну теорію генерації звуку обмеженою областю збуреної течії в нескінченному прямому жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу і встановлено кількісний зв'язок між характеристиками згенерованого звукового поля та параметрами каналу й потоку. В ній область збуреної теч...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/958 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 3-9. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-958 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9582008-10-15T18:49:12Z Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія Борисюк, А.О. Розроблено загальну теорію генерації звуку обмеженою областю збуреної течії в нескінченному прямому жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу і встановлено кількісний зв'язок між характеристиками згенерованого звукового поля та параметрами каналу й потоку. В ній область збуреної течії моделювалась розподіленими квадрупольними й дипольними джерелами, характеристики яких вважалися відомими. Розглянуті випадки рівномірного та нерівномірного розподілу джерел. Показано, що згенерована звукова енергія не спадає зі збільшенням відстані від джерел і дорівнює сумі енергій акустичних мод каналу. При цьому енергія окремої моди складається з трьох доданків. Перший з них являє собою енергію, згенеровану об'ємними квадруполями, другий - енергію, випромінену поверхневими диполями, а третій зумовлений взаємодією квадруполів і диполів. Для різних значень числа Маха течії проведено аналіз порядку цих доданків і отримано відповідні спрощені вирази для звукової енергії. Разработана общая теория генерации звука ограниченной областью возмущенного течения в бесконечном прямом жесткостенном канале кругового поперечного сечения и установлена количественная связь между характеристиками генерируемого звукового поля и параметрами канала и течения. В ней область возмущенного течения моделировалась распределенными квадрупольными и дипольными источниками, характеристики которых считались известными. Рассмотрены случаи равномерного и неравномерного распределения источников. Установлено, что генерируемая звуковая энергия не убывает с возрастанием расстояния от источников и равна сумме энергий акустических мод канала. При этом энергия отдельной моды состоит из трех слагаемых. Первое из них представляет собой энергию, генерируемую объемными квадруполями, второе - энергию, излучаемую поверхностными диполями, а третье обусловлено взаимодействием квадруполей и диполей. Для разных значений числа Маха течения проведен анализ порядка этих слагаемых и получены соответствующие упрощенные выражения для звуковой энергии. A general theory of noise generation by a limited region of a disturbed flow in an infinite straight rigid channel with circular cross-section is developed, and quantitative relationships between the characteristics of generated noise field and the parameters of the channel and the flow are found. A disturbed flow is modeled by the distributed quadruple and dipole sources, the characteristics of which are assumed to be known. The cases of uniform and non-uniform distribution of the sources are considered. It is shown that the noise energy does not decrease as the distance from the sources increases, and is equal to a sum of energies of acoustic modes of the channel. As to the energy of the acoustic mode, it consists of three parts. The first part is the energy generated by the volume quadruples, the second one results from the surface dipoles, and the third is conditioned by interaction of the quadruples and the dipoles. The analysis of orders of magnitudes of these parts is carried out for different values of the flow Mach number, and corresponding simplified expressions for the acoustic power are obtained. 2003 Article Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 3-9. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/958 534.3+611.539 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розроблено загальну теорію генерації звуку обмеженою областю збуреної течії в нескінченному прямому жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу і встановлено кількісний зв'язок між характеристиками згенерованого звукового поля та параметрами каналу й потоку. В ній область збуреної течії моделювалась розподіленими квадрупольними й дипольними джерелами, характеристики яких вважалися відомими. Розглянуті випадки рівномірного та нерівномірного розподілу джерел. Показано, що згенерована звукова енергія не спадає зі збільшенням відстані від джерел і дорівнює сумі енергій акустичних мод каналу. При цьому енергія окремої моди складається з трьох доданків. Перший з них являє собою енергію, згенеровану об'ємними квадруполями, другий - енергію, випромінену поверхневими диполями, а третій зумовлений взаємодією квадруполів і диполів. Для різних значень числа Маха течії проведено аналіз порядку цих доданків і отримано відповідні спрощені вирази для звукової енергії. |
| format |
Article |
| author |
Борисюк, А.О. |
| spellingShingle |
Борисюк, А.О. Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія |
| author_facet |
Борисюк, А.О. |
| author_sort |
Борисюк, А.О. |
| title |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія |
| title_short |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія |
| title_full |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія |
| title_fullStr |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія |
| title_full_unstemmed |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія |
| title_sort |
генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. частина 1. загальна теорія |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/958 |
| citation_txt |
Генерація звуку обмеженою областю збуреної течії в жорсткостінному каналі кругового поперечного перерізу. Частина 1. Загальна теорія / А. О. Борисюк // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 3-9. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT borisûkao generacíâzvukuobmeženoûoblastûzburenoítečíívžorstkostínnomukanalíkrugovogopoperečnogopererízučastina1zagalʹnateoríâ |
| first_indexed |
2025-07-02T05:12:08Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:12:08Z |
| _version_ |
1836510744838930432 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 3 – 9
УДК 534.3+611.539
ГЕНЕРАЦIЯ ЗВУКУ ОБМЕЖЕНОЮ ОБЛАСТЮ
ЗБУРЕНОЇ ТЕЧIЇ В ЖОРСТКОСТIННОМУ КАНАЛI
КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕРIЗУ.
ЧАСТИНА 1. ЗАГАЛЬНА ТЕОРIЯ
А. О. Б ОР ИСЮК
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 11.09.2003
Розроблено загальну теорiю генерацiї звуку обмеженою областю збуреної течiї в нескiнченному прямому жорстко-
стiнному каналi кругового поперечного перерiзу i встановлено кiлькiсний зв’язок мiж характеристиками згенеро-
ваного звукового поля та параметрами каналу й потоку. В нiй область збуреної течiї моделювалась розподiленими
квадрупольними й дипольними джерелами, характеристики яких вважалися вiдомими. Розглянутi випадки рiвно-
мiрного та нерiвномiрного розподiлу джерел. Показано, що згенерована звукова енергiя не спадає зi збiльшенням
вiдстанi вiд джерел i дорiвнює сумi енергiй акустичних мод каналу. При цьому енергiя окремої моди складається з
трьох доданкiв. Перший з них являє собою енергiю, згенеровану об’ємними квадруполями, другий – енергiю, випро-
мiнену поверхневими диполями, а третiй зумовлений взаємодiєю квадруполiв i диполiв. Для рiзних значень числа
Маха течiї проведено аналiз порядку цих доданкiв i отримано вiдповiднi спрощенi вирази для звукової енергiї.
Разработана общая теория генерации звука ограниченной областью возмущенного течения в бесконечном прямом
жесткостенном канале кругового поперечного сечения и установлена количественная связь между характеристи-
ками генерируемого звукового поля и параметрами канала и течения. В ней область возмущенного течения мо-
делировалась распределенными квадрупольными и дипольными источниками, характеристики которых считались
известными. Рассмотрены случаи равномерного и неравномерного распределения источников. Установлено, что ге-
нерируемая звуковая энергия не убывает с возрастанием расстояния от источников и равна сумме энергий аку-
стических мод канала. При этом энергия отдельной моды состоит из трех слагаемых. Первое из них представляет
собой энергию, генерируемую объемными квадруполями, второе – энергию, излучаемую поверхностными диполями,
а третье обусловлено взаимодействием квадруполей и диполей. Для разных значений числа Маха течения проведен
анализ порядка этих слагаемых и получены соответствующие упрощенные выражения для звуковой энергии.
A general theory of noise generation by a limited region of a disturbed flow in an infinite straight rigid channel with
circular cross-section is developed, and quantitative relationships between the characteristics of generated noise field and
the parameters of the channel and the flow are found. A disturbed flow is modeled by the distributed quadruple and dipole
sources, the characteristics of which are assumed to be known. The cases of uniform and non-uniform distribution of the
sources are considered. It is shown that the noise energy does not decrease as the distance from the sources increases, and
is equal to a sum of energies of acoustic modes of the channel. As to the energy of the acoustic mode, it consists of three
parts. The first part is the energy generated by the volume quadruples, the second one results from the surface dipoles,
and the third is conditioned by interaction of the quadruples and the dipoles. The analysis of orders of magnitudes of
these parts is carried out for different values of the flow Mach number, and corresponding simplified expressions for the
acoustic power are obtained.
ВСТУП
Дослiдження течiй в каналах рiзних геометрiй
i розмiрiв є актуальною задачею в автомобiле- та
лiтакобудуваннi, нафтогазовiй промисловостi, ар-
хiтектурi, медицинi тощо. При цьому значний iн-
терес становлять збурення течiй i випромiнюван-
ня звуку в мiсцях локальних неоднорiдностей ка-
налiв (налипання на стiнках, зварювальних швiв,
стенозiв та iн.). Це зумовлено тим, що у згаданих
випадках акустичне поле мiстить данi про параме-
три конструкцiї та середовища в зонi виникнення
шумiв, а отже iснує можливiсть розроблення неiн-
вазивних методiв знаходження таких мiсць за ана-
лiзом зареєстрованого звукового сигналу [1 –6].
Зазначенi методи можуть бути розробленi ли-
ше за наявностi теорiй, якi, адекватно описуючи
реологiю, гiдродинамiку i акустику течiй в око-
лi неоднорiдностi каналу, встановлювали б кiль-
кiсний зв’язок мiж характеристиками потоку й
згенерованого звукового поля. Однак, як показує
аналiз наукової лiтератури, досконалих теорiй та-
кого роду поки що немає. Iснують лише робо-
ти, в яких вивчаються поля гiдродинамiчних па-
раметрiв течiй за локальними звуженнями труб
(див. [2 –4,7 –10] i вiдповiднi посилання в них), або
ж згенерованi наперед заданими джерелами аку-
стичнi поля в жорсткостiнних каналах (див., на-
приклад, [11 –13]). Тут при вивченнi акустичних
полiв джерела моделюються лише об’ємними ква-
друполями. Водночас, вплив стiнки каналу, яка
спричиняє появу поверхневих диполiв [11, 14], не
враховується.
Дана робота присвячена розробленню загальної
теорiї генерацiї звуку обмеженою областю збуре-
ної течiї в нескiнченному прямому жорсткостiнно-
c© А. О. Борисюк, 2003 3
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 3 – 9
му каналi кругового поперечного перерiзу i вста-
новленню кiлькiсного зв’язку мiж характеристи-
ками згенерованого звукового поля та параметра-
ми каналу й течiї в ньому. При цьому область
збуреної течiї моделюється розподiленими квадру-
польними i дипольними гiдродинамiчними джере-
лами, характеристики яких вважаються вiдомими.
Розглядаються випадки як рiвномiрного, так i не-
рiвномiрного їхнього розподiлу.
Стаття складається зi вступу, двох роздiлiв, ви-
сновкiв, списку лiтератури i додатку. В першому
роздiлi сформульовано задачу i записано вiдповiд-
нi рiвняння та граничнi умови. В другому роз-
дiлi дано розв’язок задачi i проведено його ана-
лiз. Далi сформульованi висновки проведеного до-
слiдження, наведенi списки цитованої лiтератури
i прийнятих позначень.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглядається нескiнченний прямий жорстко-
стiнний канал кругового поперечного перерiзу ра-
дiуса a (див. рисунок), в якому тече рiдина гу-
стини ρ i в’язкостi ν. Вважається, що осереднена
осьова швидкiсть дорiвнює U , а течiя характери-
зується малим числом Маха M (M =U/c0�1, де
c0 – швидкiсть звуку в незбуренiй рiдинi). В скiн-
ченному об’ємi V0 течiя збурена i створює в каналi
акустичне поле. Необхiдно знайти це поле i вста-
новити кiлькiсний зв’язок мiж його характеристи-
ками та параметрами каналу й потоку.
Згiдно з класичною теорiєю Лайтхiла [11] можна
без втрати загальностi вважати, що в’язкiсть рiди-
ни вiдiграє суттєву роль лише в областi збуреної
течiї, а згенерований звук поширюється в iдеаль-
ному стисливому середовищi. За цих умов шука-
не акустичне поле описується рiвнянням Лайтхi-
ла [11], в якому права частина мiстить як об’ємнi
квадрупольнi джерела ∂2Tij/∂yi∂yj , так i зумовле-
нi наявнiстю стiнки поверхневi дипольнi джерела
∂Fi/∂yi:
∂2ρa
∂t2
− c2
0∇
2ρa =
∂2Tij
∂yi∂yj
+
∂Fi
∂yi
,
0 < r < a, 0 < φ < 2π, |z| < ∞.
(1)
Граничними умовами вважаємо вiдсутнiсть радi-
альної швидкостi на стiнцi каналу
∂pa
∂r
∣
∣
∣
∣
r=a
= 0 (2)
i умову випромiнювання в нескiнченнiсть.
У спiввiдношеннях (1) i (2) введенi такi позначе-
ння: ρa i pa – вiдповiдно акустичнi флуктуацiї гу-
стини i тиску, якi зв’язанi спiввiдношенням [12,13]
pa = c2
0ρa; (3)
Tij ≈ρuiuj i Fi =nj(τij +pδij) – напруження Лайт-
хiла та i-та компонента прикладених до стiнки
каналу сил на одиницю площi (Tij та Fi зника-
ють вiдповiдно за межами об’єму V0 i поверхнi S0,
яка його оточує); τij =(2/3)µεkkδij−2µεij – доти-
чнi напруження; εij =(∂ui/∂yj +∂uj/∂yi)/2 – тен-
зор швидкостей деформацiї; nj – j-та компонента
зовнiшньої нормалi до стiнки каналу; ui – i-та ком-
понента швидкостi рiдини; µ=ρν – її динамiчна
в’язкiсть; p – тиск; δij – символ Кронекера. Крiм
цього, тут i далi передбачається пiдсумовування
по iндексах, що повторюються.
У цилiндричнiй системi координат (r, φ, z), яка
вводиться для розв’язування задачi, оператор Ла-
пласа i права частина рiвняння (1) мають такий
вигляд [15,16]:
∇2 =
1
r
∂
∂r
(
r
∂
∂r
)
+
1
r2
∂2
∂φ2
+
∂2
∂z2
,
∂2Tij
∂yi∂yj
=
∂2ρu2
r
∂r2
0
+
∂2ρu2
z
∂z2
0
+
(
1
r2
0
∂2
∂φ2
0
+
+
1
r0
∂
∂r0
)
ρu2
φ +
(
∂
∂r0
(
1
r0
∂
∂φ0
)
+
+
2
r0
∂
∂φ0
(
∂
∂r0
)
−
1
r2
0
∂
∂φ0
)
ρuruφ+
+2
∂2ρuruz
∂r0∂z0
+
(
1
r0
∂2
∂φ0∂z0
+
+
∂
∂z0
(
1
r0
∂
∂φ0
))
ρuφuz,
∂Fi
∂yi
=
1
r0
∂r0Fr
∂r0
+
1
r0
∂Fφ
∂φ0
+
∂Fz
∂z0
,
(4)
де (r0, φ0, z0) – координати джерела.
2. АКУСТИЧНЕ ПОЛЕ
2.1. Акустичнi густина i тиск
Розв’язування граничної задачi (1), (2) почи-
нається з того, що права частина рiвняння (1)
формально переписується у виглядi суми об’ємних
4 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 3 – 9
(r, ,z)
(r0, 0,z0)
V0
S0
S0
z
r
0
2a
U
Рисунок. Геометрiя задачi
джерел:
∂2Tij(~r0, t0)
∂yi∂yj
+
∂Fi(~r0a, t0)
∂yi
=
=
∂2Tij(~r0, t0)
∂yi∂yj
+
∂Fi(~r0, t0)
∂yi
δ(r0 − a),
(5)
де ~r0=(r0, φ0, z0)∈V0; ~r0a =~r0|r0=a =(a, φ0, z0)∈S0
(див. рисунок); t0 – пов’язаний з джерелом час;
δ(·) – дельта-функцiя Дiрака. Тодi, згiдно з теоре-
мою Грiна [14,15], акустичнi флуктуацiї густини ρa
в каналi визначаються сумою внескiв джерел (5) в
об’ємi V0 i флуктуацiй густини ρa на поверхнi S0,
яка цей об’єм оточує:
ρa(~r, t) =
∞
∫
−∞
dt0
∫∫∫
V0
(
∂2Tij(~r0, t0)
∂yi∂yj
+
+
∂Fi(~r0, t0)
∂yi
δ(r0 − a)
)
G(~r, t;~r0, t0)dV0(~r0)+
+c2
0
∞
∫
−∞
dt0
∫∫
S0
(
G(~r, t;~r0a, t0)
∂ρa(~r0a, t0)
∂r0
−
−ρa(~r0a, t0)
∂G(~r, t;~r0a, t0)
∂r0
)
dS0(~r0a),
dV0(~r0) = r0dr0dφ0dz0,
dS0(~r0a) = adφ0dz0.
(6)
Функцiя ж Грiна G(~r, t;~r0, t0) має задовольняти
неоднорiдне хвильове рiвняння
∂2G
∂t2
− c2
0∇
2G = −
1
r
δ(r − r0)×
×δ(φ − φ0)δ(z − z0)δ(t − t0),
(7)
граничну умову
∂G
∂r
∣
∣
∣
∣
r=a
= 0 (8)
i умову випромiнювання в нескiнченнiсть.
Внаслiдок рiвностi нулевi нормальних похiдних
густини ρa i функцiї Грiна G на стiнцi каналу (див.
формули (2), (3) i (8)) поверхневий iнтеграл у спiв-
вiдношеннi (6) зникає, i воно набуває вигляду
ρa(~r, t) =
∞
∫
−∞
dt0
∫∫∫
V0
(
∂2Tij(~r0, t0)
∂yi∂yj
+
+
∂Fi(~r0, t0)
∂yi
δ(r0 − a)
)
G(~r, t;~r0, t0)dV0(~r0).
Переходячи в другому доданку, який визначає
внесок поверхневих диполiв, вiд об’ємного iнтегра-
лу до поверхневого, отримуємо загальний вираз
для акустичних флуктуацiй густини в каналi:
ρa(~r, t) =
∞
∫
−∞
dt0
∫∫∫
V0
∂2Tij(~r0, t0)
∂yi∂yj
×
×G(~r, t;~r0, t0)dV0(~r0)+
+
∞
∫
−∞
dt0
∫∫
S0
∂Fi(~r0a, t0)
∂yi
×
×G(~r, t;~r0a, t0)dS0(~r0a).
(9)
Тодi згенерований акустичний тиск pa знаходиться
за формулою (3).
Спiввiдношення (3) i (9) встановлюють кiль-
кiсний зв’язок мiж об’ємними квадруполями
∂2Tij/∂yi∂yj i поверхневими диполями ∂Fi/∂yi та
параметрами згенерованого ними акустичного по-
ля в каналi. Крiм цього, формули (3) i (9) мiстять
iнформацiю про геометрiю каналу й областей роз-
подiлу гiдродинамiчних джерел ∂2Tij/∂yi∂yj та
∂Fi/∂yi. На цьому етапi єдиним невiдомим членом
у цих спiввiдношеннях залишається функцiя Грi-
на G. Її побудовi присвячено наступний пiдроздiл.
А. О. Борисюк 5
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 3 – 9
2.2. Функцiя Грiна
Функцiю Грiна G будуємо, застосовуючи до си-
стеми рiвнянь (7), (8) часове перетворення Фур’є:
G̃(~r, ~r0, ω) =
1
2π
∞
∫
∞
G(~r, t;~r0, t0)e
iω(t−t0)d(t − t0),
G(~r, t;~r0, t0) =
∞
∫
∞
G̃(~r, ~r0, ω)e−iω(t−t0)dω
i розкладаючи функцiю G̃ в ряд по акустичних
модах каналу Ψnm(r, φ)=Jn(αnmr) cos(nφ):
G̃ =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
G̃nmΨnm(r, φ) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
G̃nmJn(αnmr) cos(nφ).
(10)
Тут Jn – цилiндричнi функцiї Беселя першого
роду порядку n; αnm =ζnm/a – радiальнi хви-
льовi числа; ζnm – коренi рiвняння J ′
n(ζnm)=0,
m=1, 2, . . .
Пiдставивши ряд (10) в образи Фур’є рiвнян-
ня (7):
∇2G̃ + k2
0G̃ =
1
2πc2
0r
δ(r − r0)δ(φ − φ0)δ(z − z0),
(k0=ω/c0) i граничної умови (8): ∂G̃/∂r
∣
∣
r=a
=0,
а також врахувавши ортогональнiсть акустичних
мод каналу Ψnm(r, φ)
a
∫
0
2π
∫
0
Ψnm(r, φ)Ψsq(r, φ)rdrdφ =
=
‖Ψnm‖2, (n, m) = (s, q),
0, (n, m) 6= (s, q)
i виконавши умову випромiнювання в нескiнчен-
нiсть, знаходимо невiдомi коефiцiєнти G̃nm. Пiсля
цього спiввiдношення (10) набуває вигляду
G̃(~r, ~r0, ω) = −
i
4πc2
0
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Ψnm(r0, φ0)
‖Ψnm‖2
×
×Ψnm(r, φ)
eiknm|z−z0|
knm
,
(11)
в якому knm =
√
k2
0−α2
nm – осьовi хвильовi числа.
Квадрат норми моди ‖Ψnm‖2 дається таким вира-
зом:
‖Ψnm‖2 =
a
∫
0
2π
∫
0
Ψ2
nm(r, φ)rdrdφ =
=
πa2J2
0 (α0ma), n = 0,
(πa2/2)J2
n(αnma)[1 − (n2/α2
nma2)], n ≥ 1.
Формула (11) є функцiєю Грiна рiвняння Гельм-
гольца для нескiнченного прямого жорсткостiнно-
го каналу кругового поперечного перерiзу. Засто-
сування оберненого перетворення Фур’є до неї дає
шукану функцiю Грiна хвильового рiвняння:
G(~r, t;~r0, t0) =
= −
i
4πc2
0
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Ψnm(r0, φ0)
‖Ψnm‖2
Ψnm(r, φ)×
×
∞
∫
−∞
eiknm|z−z0|
knm
e−iω(t−t0)dω,
(12)
яка використовується у виразах (3) i (9) для аку-
стичних флуктуацiй тиску i густини.
У спiввiдношеннях (11) i (12) модуль рiзницi
осьових координат |z−z0| визначає випадки гене-
рацiї звуку вниз i вгору за течiєю вiд джерела, роз-
ташованого у поперечному перерiзi каналу z=z0.
Положення ж частоти ω вiдносно критичних ча-
стот каналу
ωnm = c0αnm
визначає (через хвильовi числа knm в експонентi
exp(iknm|z−z0|)) випадки однорiдних
ω ≥ ωnm, eiknm |z−z0| = ei|knm‖z−z0|
i неоднорiдних
0 < ω < ωnm, eiknm |z−z0| = e−|knm||z−z0|
хвиль, а вiдтак межi iнтегрування по частотi у
формулах (3), (9) i (12).
Аналiз спiввiдношень (11) i (12) показує, що
функцiї Грiна G̃ i G є симетричними вiдносно пло-
щини розташування джерела z=z0. Ця симетрiя
є наслiдком дещо iдеалiзованої постановки зада-
чi, в якiй iдеться про iснування обмеженої обла-
стi збуреної течiї, але нiчого не сказано про при-
чини її виникнення. В реальних ситуацiях така
область може виникнути в разi наявностi локаль-
ного звуження каналу (зварювального шва, сте-
нозу тощо). Врахування такої неоднорiдностi при
6 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 3 – 9
постановцi вiдповiдної початково-граничної зада-
чi (через урахування вiдбиття звуку вiд неоднорi-
дностi та його проходження крiзь неоднорiднiсть
в обидвi сторони) має спричинити значне ускла-
днення її розв’язку i виразiв для вiдповiдних фун-
кцiй Грiна. При цьому симетрiю вiдносно z=z0 бу-
де втрачено. Слiд, однак, зазначити, що побудо-
ва точних виразiв функцiй Грiна для задач такого
роду – дуже складна проблема. Бiльш логiчним i
реалiстичним видається шлях прийняття фiзично-
допустимих спрощувальних припущень, якi б до-
зволили й надалi застосовувати вирази (11) та (12)
для знаходження акустичного поля в окремих ре-
гiонах каналу (наприклад, далеко вниз або вгору
за течiєю вiд локального звуження).
2.3. Акустична енергiя
Акустична енергiя, яка проходить крiзь попере-
чний перерiз каналу z=const на частотi ω, визна-
чається зi спiввiдношення [5,11]
P (ω)δ(ω − ω′) =
=
a
∫
0
2π
∫
0
〈p̃∗a(r, φ, z, ω)ṽaz(r, φ, z, ω′)〉rdrdφ,
(13)
в якому дужки 〈 · 〉 означають операцiю осеред-
нення по множинi реалiзацiй; символ ∗ вказує на
комплексне спряження; p̃a i ṽaz – образи Фур’є
акустичного тиску (3) i осьової компоненти аку-
стичної швидкостi вiдповiдно:
p̃a(~r, ω) = −
i
2
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Ψnm(r, φ)
‖Ψnm‖2
1
knm
×
×
[
∫∫∫
V0
∂2T̃ij(~r0, ω)
∂yi∂yj
Ψnm(r0, φ0)×
×eiknm |z−z0|dV0(~r0) +
∫∫
S0
∂F̃i(~r0a, ω)
∂yi
×
×Ψnm(a, φ0)e
iknm|z−z0|dS0(~r0a)
]
;
ṽaz =
1
iρ0ω
∂p̃a
∂z
;
(14)
ρ0 – густина незбуреної рiдини; ∂2T̃ij/∂yi∂yj i
∂F̃i/∂yi – образи Фур’є квадрупольних i диполь-
них джерел вiдповiдно.
Пiдстановка спiввiдношень (14) у формулу (13)
дає загальний вираз для акустичної енергiї P (ω),
згенерованої обмеженою областю збуреної течiї
для випадку нерiвномiрного розподiлу гiдродина-
мiчних джерел в об’ємi V0 i на поверхнi S0, що його
оточує:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Pnm(ω) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
×
×
[
∫∫∫
V0
dV0(~r0)
∫∫∫
V0
∂4ST
ijkl(~r0, ~r
′
0, ω)
∂yi∂yj∂y′k∂y′l
×
×Ψnm(r0, φ0)Ψnm(r′0, φ
′
0)×
×e−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dV0(~r
′
0)+
+
∫∫
S0
dS0(~r0a)
∫∫
S0
∂2SF
ik(~r0a, ~r′0a, ω)
∂yi∂y′k
×
×Ψnm(a, φ0)Ψnm(a, φ′
0)×
×e−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dS0(~r
′
0a)+
+2Re
(
∫∫∫
V0
dV0(~r0)
∫∫
S0
∂3STF
ijk (~r0, ~r
′
0a, ω)
∂yi∂yj∂y′k
×
×Ψnm(r0, φ0)Ψnm(a, φ′
0)×
×e−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dS0(~r
′
0a)
)]
.
(15)
Тут функцiя знаку sign (z−z0) приймає позитивнi
значення, якщо оцiнки енергiї проводяться вниз
за течiєю вiд розташованих у поперечному перерi-
зi каналу z=z0 джерел, i негативнi, якщо вгору за
течiєю вiд них. Крiм цього, у формулi (15) через
ST
ijkl i SF
ik позначенi взаємнi спектри образiв Фур’є
напружень Лайтхiла Tij i компонент прикладених
до стiнки каналу сил на одиницю площi Fk вiдпо-
вiдно:
ST
ijkl(~r0, ~r
′
0, ω)δ(ω − ω′) = 〈T̃ ∗
ij(~r0, ω)T̃kl(~r
′
0, ω
′)〉,
SF
ik(~r0a, ~r
′
0a, ω)δ(ω − ω′) = 〈F̃ ∗
i (~r0a, ω)F̃k(~r′0a, ω′)〉;
STF
ijk – взаємний спектр образiв Фур’є напружень
Лайтхiла Tij i сил Fk:
STF
ijk (~r0, ~r
′
0a, ω)δ(ω − ω′) = 〈T̃ ∗
ij(~r0, ω)F̃k(~r′0a, ω′)〉;
Re ( · ) означає дiйсну частину вказаної в дужках
комплексної величини.
Якщо гiдродинамiчнi джерела звуку розподiленi
рiвномiрно у вiдповiдних областях, формула (15)
спрощується за рахунок спрощення виразiв для
А. О. Борисюк 7
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 3 – 9
спектрiв ST
ijkl, SF
ik i STF
ijk , якi стають функцiями
лише вiдстанi мiж джерелами i частоти [11]:
ST
ijkl(~r0, ~r
′
0, ω) = ST
ijkl(
~ξ, ω),
SF
ik(~r0a, ~r
′
0a, ω) = SF
ik(~ξaa, ω),
STF
ijk (~r0, ~r
′
0a, ω) = STF
ijk (~ξa, ω).
Тут ~ξ =~r′0 − ~r0; ~ξaa =~r′0a − ~r0a; ~ξa =~r′0a − ~r0.
Аналiз спiввiдношення (15) показує, що акусти-
чна енергiя P не залежить вiд осьової координати
z, а отже, не спадає зi збiльшенням вiдстанi вiд
джерел. Це природно для жорсткостiнного кана-
лу, де немає втрат енергiї. Окрiм того, P дорiв-
нює сумi енергiй Pnm акустичних мод каналу Ψnm.
При цьому енергiя окремої моди Pnm складається
з трьох доданкiв:
1) звукової енергiї, згенерованої об’ємними ква-
друполями ∂2Tij/∂yi∂yj ;
2) енергiї, випромiнененої поверхневими диполя-
ми ∂Fi/∂yi;
3) енергiї, зумовленої взаємним внеском в аку-
стичне поле квадруполiв i диполiв (тобто
їхньою взаємодiєю).
Подальший аналiз формули (15) показує, що
для рiзних дiапазонiв числа Маха M доля цих до-
данкiв у загальнiй енергiї акустичного поля є рi-
зною. Справдi, iнтенсивнiсть акустичного випро-
мiнювання квадруполiв пропорцiйна п’ятому сте-
пеневi числа Маха (∼ M 5U3), а диполiв – його ку-
бу (∼ M 3U3) [6, 11]. Тому енергiя окремої моди
каналу Pnm пiдпорядковується закономiрностi
Pnm ∼ M5U3 + M3U3 + M4U3.
Якщо число Маха попадає в дiапазон, де домiну-
ють поверхневi диполi (M 3�M4�M5), то поря-
док величини Pnm визначається як
Pnm ∼ M3U3
i вираз (15) значно спрощується:
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Pnm(ω) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
∫∫
S0
dS0(~r0a)×
×
∫∫
S0
∂2SF
ik(~r0a, ~r
′
0a, ω)
∂yi∂y′k
Ψnm(a, φ0)×
×Ψnm(a, φ′
0)e
−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dS0(~r
′
0a).
(16)
Коли число Маха таке, що у повному зву-
ковому полi домiнують об’ємнi квадруполi
(M5�M4�M3), енергiю окремої акустичної
моди каналу Pnm можна представити як
Pnm ∼ M5U3.
У цьому випадку замiсть спiввiдношення (16) ма-
ємо
P (ω) =
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Pnm(ω) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
1
4‖Ψnm‖2knmρ0ω
∫∫∫
V0
dV0(~r0)×
×
∫∫∫
V0
∂4ST
ijkl(~r0, ~r
′
0, ω)
∂yi∂yj∂y′k∂y′l
Ψnm(r0, φ0)×
×Ψnm(r′0, φ
′
0)e
−sign(z−z0)iknm(z′
0
−z0)dV0(~r
′
0).
(17)
Якщо ж внески диполiв i квадруполiв мають один
порядок, згенерована ними акустична енергiя на
частотi ω визначається формулою (15).
ВИСНОВКИ
Розроблено загальну теорiю генерацiї звуку
обмеженою областю збуреної течiї в нескiнченно-
му прямому жорсткостiнному каналi кругового по-
перечного перерiзу. В нiй збурена течiя моделює-
ться розподiленими квадрупольними й дипольни-
ми гiдродинамiчними джерелами, характеристики
яких вважаються вiдомими. Аналiз отриманих ре-
зультатiв дозволяє зробити такi висновки.
1. Для розглянутого каналу методом нормаль-
них мод побудовано функцiї Грiна рiвняння
Гельмгольца (формула (11)) i хвильового рiв-
няння (формула (12)).
2. За допомогою метода функцiй Грiна отрима-
но загальний розв’язок задачi (формули (3),
(9) i (15)), який встановлює кiлькiсний зв’язок
мiж характеристиками звукового поля (аку-
стичними тиском, густиною i енергiєю) та па-
раметрами каналу i джерел звуку при їхньому
рiвномiрному або нерiвномiрному розподiлi.
3. Встановлено, що енергiя згенерованого аку-
стичного поля не спадає зi збiльшенням вiд-
станi вiд джерел.
4. Показано, що звукова енергiя дорiвнює су-
мi енергiй акустичних мод каналу (форму-
ла (15)). При цьому енергiя окремої моди
8 А. О. Борисюк
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 3 – 9
складається з трьох доданкiв. Перший з них
являє собою енергiю, згенеровану об’ємними
квадруполями, другий – енергiю, випромiнену
поверхневими диполями, а третiй зумовлений
взаємодiєю квадруполiв i диполiв.
5. Для рiзних значень числа Маха проведено
аналiз порядку згаданих доданкiв i отрима-
но вiдповiднi спрощенi вирази для акустичної
енергiї (формули (16) i (17)).
1. Lees R. S., Dewey C. F., Jr. Phonoangiography: a new
noninvasive diagnostic method for studying arterial
disease // Proc. Nat. Acad. Sci.– 1970.– 67.– P. 935–
942.
2. Young D. F. Fluid mechanics of arterial stenosis //
J. Biomech. Engng.– 1979.– 101.– P. 157–175.
3. Миролюбов С. Г. Гидродинамика стеноза // Сов-
ремен. пробл. биомех.– 1983.– 1.– С. 73–136.
4. Berger S. A., Jou L-D. Flows in stenotic vessels //
Ann. Rev. Fluid Mech.– 2000.– 32.– P. 347–382.
5. Borisyuk A. O. Noise field in the human chest due
to turbulent flow in a larger blood vessel // Flow,
Turbul. & Combust.– 1999.– 61.– P. 269–284.
6. Borisyuk A. O. Experimental study of noise produced
by steady flow through a simulated vascular
stenosis // J. Sound Vib.– 2002.– 256.– P. 475–498.
7. Clark C. The fluid mechanics of aortic stenosis.
1. Theory and steady flow experiments //
J. Biomech.– 1976.– 9.– P. 521–528.
8. Abdallah S. A., Hwang N. H. C. Arterial stenosis
murmurs: an analysis of flow and pressure fields //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1988.– 83, N 1.– P. 318–334.
9. Борисюк А. О. Експериментальне дослiдження
пристiнного тиску в трубi за стенозом // Акуст.
вiсн.– 2002.– 5, N 1.– С. 13–20.
10. Борисюк А. О. Експериментальне дослiдження
пристiнного тиску в трубi за стенозом iз ексцен-
триситетом // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, N 2.– С. 3–12.
11. Blake W. K. (ed.) Mechanics of flow-induced sound
and vibration (in 2 vols).– New York: Academic
Press, 1986.– 974 p.
12. Davies H. G., Ffowcs Williams J. E. Aerodynamic
sound generation in a pipe // J. Fluid Mech.– 1968.–
32.– P. 765–778.
13. Hardin J. C., Pope D. S. Sound generation by a
stenosis in a pipe // AIAA Journal.– 1992.– 30.–
P. 312–317.
14. Голдстейн М. Е. Аэроакустика.– М.: Машиностро-
ение, 1981.– 294 с.
15. Morse P. M., Feshbach H. Methods of theoretical
physics: vol. 1.– New York: McGraw-Hill, 1953.–
997 p.
16. Ffowcs Williams J. E., Hall L. H. Aerodynamic sound
generation by turbulent flow in the vicinity of a
scattering half plane // J. Fluid Mech.– 1970.– 40.–
P. 657–670.
ДОДАТОК. УМОВНI ПОЗНАЧЕННЯ
a – радiус поперечного перерiзу каналу;
U – осереднена осьова швидкiсть течiї в каналi;
c0 – швидкiсть звуку в незбуренiй рiдинi;
M – число Маха;
ρ – густина рiдини;
ν – кiнематична в’язкiсть рiдини;
µ – динамiчна в’язкiсть рiдини;
p – тиск у рiдинi;
Tij – напруження Лайтхiла;
Fi – i-та компонента прикладених до стiнки ка-
налу сил на одиницю площi;
τij – дотичнi напруження;
εij – тензор швидкостей деформацiї;
nj – j-та компонента зовнiшньої нормалi до стiн-
ки каналу;
ui – i-та компонента швидкостi рiдини;
δij – символ Кронекера;
∂2Tij/∂yi∂yj – об’ємнi квадруполi;
∂Fi/∂yi – поверхневi диполi;
V0 – об’єм збуреної течiї;
S0 – поверхня, що його оточує;
(~r, t)=(r, φ, z, t) – просторово-часова точка поля;
(~r0, t0)=(r0, φ0, z0, t0) – просторово-часова точка
джерела;
δ(·) – дельта-функцiя Дiрака;
ρa – акустичнi флуктуацiї густини;
pa – акустичнi флуктуацiї тиску;
vaz – осьова компонента акустичної швидкостi;
P (ω) – акустична енергiя;
ω – кругова частота;
G – функцiя Грiна;
Ψnm – акустичнi моди каналу;
αnm – радiальнi хвильовi числа;
knm – осьовi хвильовi числа;
k0 – акустичне хвильове число;
ωnm – критичнi частоти каналу;
ST
ijkl – взаємнi спектри образiв Фур’є напружень
Лайтхiла;
SF
ik – взаємнi спектри образiв Фур’є сил Fk;
STF
ijk – взаємний спектр образiв Фур’є напружень
Лайтхiла Tij i сил Fk.
А. О. Борисюк 9
|