Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями
В рамках лiнеаризованої теорiї пружностi наведено осесиметричну задачу про тиск двох спiввiсних цилiндричних штампiв з початковими напруженнями, що тиснуть на шар з початковими напруженнями. Дослiдження подано у загальному виглядi для теорiї великих початкових деформацiй та двох варiантiв теорiї м...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96223 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями / Д.М. Максимчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 49-55. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-96223 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-962232017-11-06T20:05:50Z Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями Максимчук, Д.М. Механіка В рамках лiнеаризованої теорiї пружностi наведено осесиметричну задачу про тиск двох спiввiсних цилiндричних штампiв з початковими напруженнями, що тиснуть на шар з початковими напруженнями. Дослiдження подано у загальному виглядi для теорiї великих початкових деформацiй та двох варiантiв теорiї малих початкових деформацiй при довiльнiй структурi пружного потенцiалу. В рамках линеаризованной теории упругости приводится осесиметрическая задача о давлении двух соосных цилиндрических штампов с начальными напряжениями, которые давят на слой с начальными напряжениями. Исследования представлены в общем виде для теории больших начальных деформаций и двух вариантов теории малых начальных деформаций при произвольной структуре упругого потенциала. The article deals with the coaxial type problem of pressure of two cylindrical coaxial punches with residual stresses upon a layer with residual stresses within the framework of a linearized theory of elasticity. The research is carried out for the theory of finite deformations and two variants of the theory of small initial deformations with the elastic potential having arbitrary form. 2015 Article Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями / Д.М. Максимчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 49-55. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96223 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Максимчук, Д.М. Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями Доповіді НАН України |
| description |
В рамках лiнеаризованої теорiї пружностi наведено осесиметричну задачу про тиск
двох спiввiсних цилiндричних штампiв з початковими напруженнями, що тиснуть на
шар з початковими напруженнями. Дослiдження подано у загальному виглядi для теорiї великих початкових деформацiй та двох варiантiв теорiї малих початкових деформацiй при довiльнiй структурi пружного потенцiалу. |
| format |
Article |
| author |
Максимчук, Д.М. |
| author_facet |
Максимчук, Д.М. |
| author_sort |
Максимчук, Д.М. |
| title |
Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями |
| title_short |
Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями |
| title_full |
Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями |
| title_fullStr |
Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями |
| title_full_unstemmed |
Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями |
| title_sort |
розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96223 |
| citation_txt |
Розв’язання контактної задачi для попередньо напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв з початковими (залишковими) напруженнями / Д.М. Максимчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 49-55. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT maksimčukdm rozvâzannâkontaktnoízadačidlâpoperednʹonapruženogošarutadvohspivvisnihpružnihštampivzpočatkovimizališkoviminapružennâmi |
| first_indexed |
2025-07-07T03:25:42Z |
| last_indexed |
2025-07-07T03:25:42Z |
| _version_ |
1836957033410068480 |
| fulltext |
УДК 539.3
Д.М. Максимчук
Розв’язання контактної задачi для попередньо
напруженого шару та двох спiввiсних пружних штампiв
з початковими (залишковими) напруженнями
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
В рамках лiнеаризованої теорiї пружностi наведено осесиметричну задачу про тиск
двох спiввiсних цилiндричних штампiв з початковими напруженнями, що тиснуть на
шар з початковими напруженнями. Дослiдження подано у загальному виглядi для тео-
рiї великих початкових деформацiй та двох варiантiв теорiї малих початкових дефор-
мацiй при довiльнiй структурi пружного потенцiалу.
Контактну задачу про тиск двох цилiндрiв на шар з початковими (залишковими) напру-
женнями дослiджено в роботах [1, 2], детальний огляд яких подано в [3–5]. Вплив початко-
вих напружень у пружному шарi при його контактнiй взаємодiї з пружними спiввiсними
штампами розглянуто у [6, 7], а дослiдження контактної взаємодiї попередньо напруженого
скiнченного штампа на шар з початковими напруженнями наведено у роботах [8, 9].
У данiй роботi в рамках лiнеаризованої теорiї пружностi [1, 6, 7] розв’язується осеси-
метрична статична задача про тиск двох скiнченних спiввiсних цилiндричних штампiв з по-
чатковими напруженнями на пружний шар з початковими напруженнями. Дослiдження
виконано в загальному виглядi для стисливих i нестисливих тiл у випадку теорiї великих
(кiнцевих) початкових деформацiй i двох варiантiв теорiї малих початкових деформацiй
при довiльнiй структурi пружного потенцiалу [6, 7, 10–12].
Поряд з лагранжевими координатами (x1, x2, x3), якi у природному станi збiгаються
з декартовими, введемо декартовi координати (y1, y2, y3) початкового стану. Зв’язок мiж
декартовими та лагранжевими координатами запишемо у виглядi Ei = Ciλ
−1
V (V = 1, 2, 3),
де λV — коефiцiєнти видовження, якi визначають перемiщення початкового напружено-де-
формовного стану.
Розглянемо початковий напружено-деформовний стан для iзотропного тiла при S11
0 =
= S22
0 6= S33
0 , λ1 = λ2 6= λ3. Крiм того, у випадку осесиметричної задачi будуть використанi
цилiндричнi координати (r, θ, yi) або (r, θ, zi), де zi = y3n
−0,5
i (i = 1, 2).
Постановка задачi та граничнi умови. Розглянемо пружний шар товщиною 2h1
(h1 = λ1h2), де h2 — товщина шару до виникнення там початкових напружень. Припусти-
мо, що зовнiшнi сили прикладенi до вiльних торцiв пружних штампiв так, що їхнi точки
змiщуються в напрямку осi Oy3 на величину ε вiдносно площини y3 = 0, а мiж штампами
i шаром тертя вiдсутнє. Приймемо, що пружнi потенцiали — двiчi неперервно-деформовнi
функцiї алгебраїчних iнварiантiв тензора деформацiї Грiна [10], початковi напружено-де-
формовнi стани яких iдентичнi. Всi дослiдження будемо проводити в координатах початко-
вого стану (y1, y2, y3). Компоненти вектора перемiщення та тензора деформацiй, якi вiднося-
ться до круглих цилiндрiв з початковими напруженнями, позначатимемо, як у роботах [6, 7],
для верхнього та нижнього цилiндра вiдповiдно iндексами (1) i (2), а для пружного шару
iндекси будуть вiдсутнi.
© Д.М. Максимчук, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 49
Рис. 1
Нехай пружний необмежений шар з початковими напруженнями деформується пiд дiєю
тиску двох спiввiсних попередньо напружених цилiндричних штампiв (рис. 1) однакової ви-
соти i радiусiв. Зовнiшнє навантаження P викликає перемiщення вiльних торцiв у напрямку
осi симетрiї. Боковi поверхнi штампiв, а також поверхнi шару за межею контакту вiльнi вiд
зовнiшнiх зусиль. В областi контакту тiл дотичними зусиллями нехтуємо.
Вважаючи, що пружнi штампи виготовленi iз рiзних iзотропних, трансверсально-iзо-
тропних матерiалiв, а перемiщення торцiв штампiв задано величинами ε+ i ε− — для визна-
чення складових вектора перемiщення i тензора напруження у пружних штампах i шарi,
маємо такi граничнi умови:
на торцях пружних штампiв з початковими напруженнями
u(1)z = −ε+; τ (1)rz = 0; ∀ (r) ∈ [0, R1], y3 = h+H1, (1)
u(2)z = −ε−; τ (2)rz = 0; ∀ (r) ∈ [0, R2], y3 = −h−H2, (2)
на боковiй поверхнi пружних штампiв
σ(1)z = 0; τ (1)rz = 0; ∀ (y3) ∈ [0,H1], r = R1, (3)
σ(2)z = 0; τ (2)rz = 0; ∀ (y3) ∈ [0,H2], r = R2, (4)
на межi пружного шару в областi контакту
u3 = u(1)z ; Q̃33 = σ(1)z ; Q̃3r = t(1)rz = 0, ∀ (r) ∈ [0, R1], y3 = −h1, (5)
u3 = u(2)z ; Q̃33 = σ(2)z ; Q̃3r = t(2)rz = 0, ∀ (r) ∈ [0, R2], y3 = −h2, (6)
на межi пружного шару поза областю контакту
Q̃33 = Q̃3r = 0, ∀ (r) ∈ [r,+∞], y3 = ±h. (7)
Умови рiвноваги приводять до рiвностi
R1∫
0
ρQ33(0, ρ)|y3=h1
dρ =
R2∫
0
ρQ33(0, ρ)|y3=h2
dρ.
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Рiвнодiюча зовнiшнiх сил визначається рiвнiстю
P = −2π
R1∫
0
ρQ33(0, ρ)|y3=h1
dρ = −2π
R2∫
0
ρQ33(0, ρ)|y3=h2
dρ.
Загальний розв’язок χ̃ = χ̃1 + χ̃2 для випадку нерiвних коренiв n1 6= n2 будемо шукати
у виглядi
χ̃ = r2(2A0 + 3C0(z1 + z2))− 2A0(z
2
1 + z22)− 2C0(z
3
1 + z32) +
+
∞∑
k=1
{[AkI0(γkv1r)S1(γkz1v1) +BkI0(γkv2r)S1(γkz2v2)] + J0(αkr)[S2(αkz1) +
+ S3(αkz2)]},
де I0(x), J0(x) — функцiї Бесселя; S1 = Ck sin(γkv1z1) +Dk cos(γkv1z1), S2 = Eksh(αkz1) +
+ Fkch(αkz1), S3 = Nksh(αkz1) +Mkch(αkz1), Ck, Ak, Bk, Dk, Ek, Fk, Nk, Mk — невiдомi
коефiцiєнти.
Згiдно з [10], знайдемо φt, i = 1, 2. Тодi обчислимо φ1=−∂χ̃1/(v1∂z1), φ2=−∂χ̃2/(v2∂z2):
φ̃1 = −4A0z1v
−1
1 + 3C0v
−1
1 (2z21 − r2)−
−
∞∑
k=1
[AkγkI0(γkv1r)S6(γkz1v1) + αkv
−1
1 J0(αkr)S4(αkz1)],
φ̃2 = −4A0z2v
−1
2 + 3C0v
−1
2 (2z22 − r2)−
−
∞∑
k=1
[BkγkI0(γkv2r)S6(γkz2v2) + αkv
−1
2 J0(αkr)S5(αkz2)],
де S4 = Ekch(αkz1) + Fkch(αkz1), S5 = Nkch(αkz1) + Mksh(αkz1), S6 = Ck cos(γkv1z1) +
+Dk sin(γkv1z1), та, спираючись на [10], компоненти напружено-деформовного стану:
u(i)r = −6C0rθ+ −
∞∑
k=1
{γ2k [Akv1I1(v1γkr)S6(γkz1v1) +Bkv2I1(v2γkr)S6(γkz2v2)]−
− α2
kJ1(αkr)(S4(αkz1)v
−1
1 + S5(αkz2)v
−1
2 )},
u
(i)
3 = 12C0[m1z1n
−1
1 +m2z2n
−1
2 ]− 4A0θ8 +
∞∑
k=1
{γ2k [Akm1I0(γkv1r)S1(γkz1v1) +
+Bkm2I0(γkv2r)S1(γkz2v2)]− α2
kJ0(αkr)(m1S2(αkz1)n
−1
1 +m2S3(αkz2)n
−1
2 )},
σ(i)z = C44(1 +m1)l1
〈
12C0[v
−1
1 + sv−1
2 ] +
∞∑
k=1
{γ3k [Akn1I0(γkv1r)S6(γkz1v1) +
+ sn2BkI0(γkv2r)S6(γkz2v2)]− α3
kJ0(αkr)(S4(αkz1)v
−1
1 + sS5(αkz2)v
−1
2 )}
〉
,
(8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 51
τ
(i)
3r = C44(1 +m1)
∞∑
k=1
{γ3k [Akv1I1(γkv1r)S1(γkz1v1) + s0Bkv2I1(γkv2r)S1(γkz2v2)] +
+ α3
kJ1(αkr)[n
−1
1 S2(αkz1) + s0n
−1
2 S3(αkz2)]},
де θ+ = v−1
1 + v−1
2 , θ8 = m1n
−1
1 + m2n
−1
2 .
Напружено-деформовний стан у пружному шарi з початковими (залишковими) напру-
женнями для нерiвних коренiв n1 6= n2 визначимо через гармонiйнi функцiї у виглядi iнте-
гралiв Ханкеля. Задовольнивши граничнi умови (1)–(7), усi невiдомi коефiцiєнти, як i в [7],
виразимо через один, наприклад B2, та введемо позначення G(η) = η3B2R
−3(1 − q(η))−1,
де q(η) визначається граничними умовами (1)–(7)
u3 = θ1
( ∞∫
0
G(η)
η
J0(ηρ)dη −
∞∫
0
G(η)
η
q(ηh)J0(ηρ) dη
)
,
Q33 = θ2
∞∫
0
G(η)J0(ηρ)dη, Q3r = 0.
(9)
Тут h = hi/R, φi = 2ηhv−1
i , θ1 = m1(s1 − s0)v
−1
1 , θ2 = C44l1(1 +m1)κ.
Формули (8), (9) одержанi в загальнiй формi для стисливих i нестисливих тiл, а значення
коефiцiєнтiв n1, n2, m1, m2, C44, l1, l2, s1, s0 для стисливих i нестисливих тiл наведенi
у [7, 10].
Метод розв’язання. Використовуючи розв’язки для цилiндра з (8) i задовольняючи
граничнi умови (1)–(7), знаходимо власнi значення задачi:
γk = π(2k + 1)H−1J1(αkR) = 0, αk = µkR
−1.
Не зупиняючись на викладках, скажемо, що невiдома функцiя G(η), що входить у вирази
вектора перемiщень i тензора напружень для попередньо напруженого шару, визначається
в результатi зведення задачi до системи парних iнтегральних рiвнянь, з яких одержимо
систему двох iнтегральних рiвнянь типу Фредгольма другого роду, для розв’язання якої
застосовуємо метод послiдовних наближень [7, 10]. Цей метод є збiжним, враховуючи до-
слiдження, проведенi у [7]. Тому розв’язок подано у виглядi рядiв через нескiнченну систе-
му констант, якi визначаються з нескiнченної регулярної системи [7] лiнiйних алгебраїчних
рiвнянь вигляду
l
(i)
k χ(i)
n +
∞∑
k=1
l
(i)
knχ
(i)
n = d
(i)
k . (10)
Коефiцiєнти системи (10) наведенi для стисливих i нестисливих тiл у випадку нерiвних
коренiв у виглядi
l
(i)
0 = d0 =
2
π
[
1 +
2
π
∞∑
j=1
∞∫
0
sinu
u
q(hu)ψj−1(u, 0) du
]
,
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
l
(i)
0n =
2
π
[
−θ4ψ0(0, µn) +
2
π
∞∑
j=1
∞∫
0
sinu
u
q(hu)ψj−1(u, µn) du
]
,
l
(i)
k0 =
2
π
[
−θ4ψ0(0, µk) +
2
π
∞∑
j=1
∞∫
0
(ψj−1(u, µk)q(hu)ψ0(u, 0) du)
]
; l
(i)
00 =
θ5θ1RE
κl
,
dk =
2
π
[
ψ0(0, µk) +
2
π
∞∑
j=1
∞∫
0
ψj−1(u, µk)q(hu)ψ0(u, 0) du
]
,
lk =
θ1µkJ
2
0 (µk)
2κRv1
[
l2v2
l1v1
cth
(
µkl
v2
)
− cth
(
µkl
v1
)]
,
l
(i)
kn =
2
π
[
−θ4ψ0(µk, µn)−
2θ1s0v1Rπ
κl
∞∑
m=1
τmnιkm +
+
2
π
∞∑
j=1
∞∫
0
(ψ0(u, µn)q(hu)ψj−1(u, µk) du)
]
,
де
τmn =
J0(µn)
[
c̃1 − c̃0
µ2n + (γmv1R)2
− v2
v1s0
c̃2 − c̃0
µ2n + (γmv2R)2
]
γ3mI1(γkv2R)[v2Wm(2)− v1s0Wm(1)]
,
ιkn = I1(γkv2R)γ
4
kJ0(µn)
[
l2v2
l1(µ2n + γ2kv
2
2R
2)
− v1
µ2n + γ2kv
2
1R
2
]
.
Визначивши невiдомi константи χi (i = 0, 1, 2, . . .) з (10), можна обчислити силу P ,
перемiщення i напруження у пружних штампах та шарi з початковими напруженнями за
формулами (8), (9).
Чисельний розв’язок. Коефiцiєнти системи (10), що залежать вiд структури пружно-
го потенцiалу, при зростаннi k спадають за абсолютною величиною порiвняно з елементами
головної дiагоналi, що задовольняє умову квазiрегулярностi. Тому система (10) була розв’я-
зана методом редукцiї при таких значеннях параметрiв: k = 16, E(i) = 3,92, v = 0,5, l = 10,
h = 4, λ1 = 0,7–1,2 у випадку потенцiалу Трелоара.
Графiки на рис. 1, 2 побудованi за формулами (8), (9) i вiдповiдають нерiвним кореням.
Штрихова лiнiя — випадок без початкових напружень (λ1 = 1). На рис. 1 наведено контактнi
напруження, якi виникають у зонi контакту цилiндрiв та шару, а на рис. 2 — контактнi
перемiщення.
Отже, на основi пiдрахункiв можна зробити такi висновки: початковi напруження в ша-
рi i цилiндрах приводять до зменшення контактних напружень у випадку стиску, у випадку
розтягу — до їх зростання. Для перемiщень при iдентичних початкових i залишкових на-
пруженнях вiдмiчається ефект “резонансного характеру” не тiльки в шарi, але i в пружних
штампах з початковими (залишковими) напруженнями.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 53
Рис. 2
1. Григоренко П.П. Рудницький В.Б. Слой с начальными напряжениями под действием двух жестких
штампов // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1990. – № 9. – С. 35–38.
2. Рудницький В.Б. Контактна взаємодiя попередньо напруженого шару з двома пружними штампа-
ми // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1987. – № 2. – С. 56–60.
3. Babich S.Yu., Guz A.N., Rudsnitsky V. B. Contact problems for elastic bodies with initial stresses: Focus
on Ukrainian research // Appl. Mech. Rev. – 1998. – 51, No 5. – P. 343–371.
4. Babich S. Yu., Guz A.N., Rudnitsky V. B. Contact problems for prestressed elastic bodies and rigid and
elastic punches // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 7. – P. 744–765.
5. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницкий В.Б. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными
(остаточными) напряжениями // Развитие идей Л.А. Галина в механике. – Москва; Ижевск: Изд-во
Ин-та компьютерных исследований, 2013. – 480 с.
6. Гузь А.Н., Рудницкий В.Б. Контактные задачи для упругих тел с начальными (остаточными) на-
пряжениями. – Хмельницкий: Изд-во “ПП Мельник”, 2004. – 682 с.
7. Гузь А.Н., Рудницкий В.Б. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными
(остаточными) напряжениями. – Хмельницкий: Изд-во “ПП Мельник”, 2006. – 710 с.
8. Ярецька Н.О. Вплив початкових (залишкових) напружень на контактну взаємодiю пружного цилiнд-
ричного штампу та пружного шару // Доп. НАН України. – 2014. – № 1. – С. 57–62.
9. Yaretskaya N.A. Three-dimensional contact problem for an elastic layer and a cylindrical punch with
prestresses // Intern. Appl. Mech. – 2014. – 50, Iss. 4. – P. 378–388.
10. Неклассические проблемы механики разрушения. В 4 т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. – Киев: Наук.
думка, 1991. – Т. 2. – 288 с.
11. Рудницкий В.Б. Влияние начальных напряжений в слое на контактное давление при взаимодействии
с цилиндрическим штампом // Прикл. мех. – 1987. – 23, № 8. – С. 11–19.
12. Кизыма Я.М. Давление упругого цилиндра на упругий слой конечной толщины // Изв. АН СССР.
Механика тв. тела. – 1972. – № 3. – С. 68–72.
Надiйшло до редакцiї 21.10.2014Хмельницький нацiональний унiверситет
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4
Д.Н. Максимчук
Решение контактной задачи для предварительно напряженного слоя
и двух соосных упругих штампов с начальными (остаточными)
напряжениями
В рамках линеаризованной теории упругости приводится осесиметрическая задача о давле-
нии двух соосных цилиндрических штампов с начальными напряжениями, которые давят
на слой с начальными напряжениями. Исследования представлены в общем виде для теории
больших начальных деформаций и двух вариантов теории малых начальных деформаций при
произвольной структуре упругого потенциала.
D.N. Maksymchuk
Solution of a contact problem for the prestressed layer and two coaxial
elastic punches with initial (residual) stresses
The article deals with the coaxial type problem of pressure of two cylindrical coaxial punches with
residual stresses upon a layer with residual stresses within the framework of a linearized theory of
elasticity. The research is carried out for the theory of finite deformations and two variants of the
theory of small initial deformations with the elastic potential having arbitrary form.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 55
|