FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi
Обгрунтовується новий алгоритм FD-методу для задачi на власнi значення для суми лiнiйних самоспряжених операторiв A + B з дискретним спектром, що дiють у деякому гiльбертовому просторi. Алгоритм полягає в апроксимацiї оператора B таким оператором ¯B, що задача на власнi значення для A + ¯B є прост...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96616 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi / В.Л. Макаров, Н.М. Романюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 26-34. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-96616 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-966162016-03-19T03:02:38Z FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. Математика Обгрунтовується новий алгоритм FD-методу для задачi на власнi значення для суми лiнiйних самоспряжених операторiв A + B з дискретним спектром, що дiють у деякому гiльбертовому просторi. Алгоритм полягає в апроксимацiї оператора B таким оператором ¯B, що задача на власнi значення для A + ¯B є простiшою, нiж для A + B. Розглядається випадок, коли оператор A + ¯B має власнi значення довiльної скiнченної кратностi. Запропонований пiдхiд базується на iдеї гомотопiї та має суперекспоненцiальну швидкiсть збiжностi, тобто збiгається швидше, нiж геометрична прогресiя, знаменник якої обернено пропорцiйний порядковому номеру вiдповiдного власного значення. Власнi пари можуть бути обчисленi паралельно для всiх заданих iндексiв. Чисельний приклад пiдтверджує теорiю. Обосновывается новый алгоритм FD-метода для задачи на собственные значения для суммы линейных самосопряженных операторов A + B с дискретным спектром, действующих в некотором гильбертовом пространстве. Алгоритм заключается в аппроксимации оператора B таким оператором ¯B, что задача на собственные значения для A + ¯B является проще, чем для A+ B. Рассматривается случай, когда оператор A+ ¯B имеет собственные значения произвольной конечной кратности. Предложенный подход основывается на идее гомотопии и имеет суперэкспоненциальную скорость сходимости, т. е. сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия, знаменатель которой обратно пропорционален индексу соответствующего собственного значения. Собственные пары могут быть вычислены параллельно для всех заданных индексов. Численный пример подтверждает теорию. A new algorithm for the eigenvalue problems for linear self-adjont operators in the form of sum A + B with a discrete spectrum in a Hilbert space is proposed and justified. The algorithm is based on the approximation of B by an operator ¯B such that the eigenvalue problem for A + ¯B is computationally simpler than that for A + B. The operator A + ¯B is allowed to have multiple eigenvalues. The algorithm for this eigenvalue problem is based on the homotopy idea. It provides the super-exponential convergence rate, i. e. the rate faster than the convergence rate of a geometrical progression with the ratio, which is inversely proportional to the index of the eigenvalue under consideration. The eigenpairs can be computed in parallel for all prescribed indices. We supply a numerical example which supports the developed theory. 2015 Article FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi / В.Л. Макаров, Н.М. Романюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 26-34. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96616 519.6/517.984.46 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi Доповіді НАН України |
| description |
Обгрунтовується новий алгоритм FD-методу для задачi на власнi значення для суми
лiнiйних самоспряжених операторiв A + B з дискретним спектром, що дiють у деякому гiльбертовому просторi. Алгоритм полягає в апроксимацiї оператора B таким
оператором ¯B, що задача на власнi значення для A + ¯B є простiшою, нiж для A + B.
Розглядається випадок, коли оператор A + ¯B має власнi значення довiльної скiнченної
кратностi. Запропонований пiдхiд базується на iдеї гомотопiї та має суперекспоненцiальну швидкiсть збiжностi, тобто збiгається швидше, нiж геометрична прогресiя, знаменник якої обернено пропорцiйний порядковому номеру вiдповiдного власного значення. Власнi пари можуть бути обчисленi паралельно для всiх заданих iндексiв. Чисельний приклад пiдтверджує теорiю. |
| format |
Article |
| author |
Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. |
| author_facet |
Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. |
| author_sort |
Макаров, В.Л. |
| title |
FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi |
| title_short |
FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi |
| title_full |
FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi |
| title_fullStr |
FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi |
| title_full_unstemmed |
FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi |
| title_sort |
fd-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96616 |
| citation_txt |
FD-метод для задачi на власнi значення в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi з власними значеннями довiльної кратностi / В.Л. Макаров, Н.М. Романюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 5. — С. 26-34. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl fdmetoddlâzadačinavlasniznačennâvgilʹbertovomuprostoriuvipadkubazovoízadačizvlasnimiznačennâmidovilʹnoíkratnosti AT romanûknm fdmetoddlâzadačinavlasniznačennâvgilʹbertovomuprostoriuvipadkubazovoízadačizvlasnimiznačennâmidovilʹnoíkratnosti |
| first_indexed |
2025-07-07T03:52:16Z |
| last_indexed |
2025-07-07T03:52:16Z |
| _version_ |
1836958704799318016 |
| fulltext |
УДК 519.6/517.984.46
Академiк НАН України В.Л. Макаров, Н. М. Романюк
FD-метод для задачi на власнi значення
в гiльбертовому просторi у випадку базової задачi
з власними значеннями довiльної кратностi
Обгрунтовується новий алгоритм FD-методу для задачi на власнi значення для суми
лiнiйних самоспряжених операторiв A + B з дискретним спектром, що дiють у де-
якому гiльбертовому просторi. Алгоритм полягає в апроксимацiї оператора B таким
оператором B, що задача на власнi значення для A + B є простiшою, нiж для A + B.
Розглядається випадок, коли оператор A + B має власнi значення довiльної скiнченної
кратностi. Запропонований пiдхiд базується на iдеї гомотопiї та має суперекспонен-
цiальну швидкiсть збiжностi, тобто збiгається швидше, нiж геометрична прогресiя,
знаменник якої обернено пропорцiйний порядковому номеру вiдповiдного власного значен-
ня. Власнi пари можуть бути обчисленi паралельно для всiх заданих iндексiв. Чисель-
ний приклад пiдтверджує теорiю.
Ключовi слова: задача на власнi значення, гiльбертiв простiр, кратнi власнi значення,
функцiонально-дискретний метод, суперекспоненцiально збiжний алгоритм.
1. Про постановку задачi. Задачi на власнi значення, тобто задачi знаходження власних
пар — власних значень (частот) i власних функцiй (форм вiбрацiй) — вiдiграють важливу
роль у рiзних застосуваннях, пов’язаних з вiбрацiєю i хвильовими процесами [1, 2]. Такi по-
пулярнi методи, як метод скiнченних рiзниць (FDM), метод скiнченних елементiв (FEM) або
варiацiйнi методи, дають можливiсть обчислювати ефективно тiльки деякi власнi значення
з найменшими iндексами (власнi значення при цьому впорядкованi в неспадному порядку:
λ1 6 λ2 6 · · · 6 λn 6 · · · ). Водночас iснують прикладнi задачi, якi вимагають обчислення
великої кiлькостi (сотень тисяч) власних значень i власних функцiй (наприклад, див. [2,
с. 273] та вступ до роздiлу 4 цiєї роботи). Для того щоб знайти чисельно власнi значення
з вищими номерами, ми пропонуємо описати iнший пiдхiд, який базується на iдеях збурення
(див. [3–5]) i гомотопiї (див. [6, 7] та посилання в них), названий функцiонально-дискретним
методом (FD-методом) у вiдповiдностi з [8], де вiн був вперше запропонований.
Коротко пояснимо iдеї FD-методу для розглядуваної задачi на власнi значення для суми
самоспряжених операторiв A i B (A = A∗, B = B∗) з областями визначення D(A) i D(B)
вiдповiдно та дискретним спектром у гiльбертовому просторi H iз скалярним добутком (·, ·)
(A+B)u− λu = θ, (1)
де θ — нульовий елемент. При цьому D(A) = H, D(A) ⊂ D(B) i оператор B пiдпорядкований
оператору A, тобто для деякої сталої c > 0 i ∀ v ∈ D(A): ‖Bv‖ 6 c‖Av‖. Нехай B = B∗,
D(B) = D(B) i апроксимуємо оператор B оператором B так, щоб базова задача
(A+B)u(0) − λ(0)u(0) = θ (2)
© В. Л. Макаров, Н.М. Романюк, 2015
26 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
була “простiшою”, нiж задача (1), а власнi значення (2) впорядкованi таким чином: 0 6
6 λ
(0)
1 6 · · · 6 λ(0)n 6 · · · та кожне власне значення повторюється стiльки разiв, яка його
кратнiсть. Вiдповiднi власнi вектори утворюють повну ортонормальну систему {ui}i=1,∞.
Згiдно з iдеєю FD-методу, “занурюємо” (1), (2) в сiмейство параметричних задач
(A+W (t))un(t)− λn(t)un(t)= θ, t ∈ [0, 1], W (t)= B+ tϕ(B), ϕ(B)= B−B. (3)
Очевидно, що un(0) = u(0)n , un(1) = un. Розв’язок (3) будемо шукати у формi
λn(t) =
∞∑
j=0
λ(j)n tj , un(t) =
∞∑
j=0
u(j)n tj, (4)
де формально λ(j)n =
1
j!
djλn(t)
dtj
∣∣∣∣
t=0
, u(j)n =
1
j!
djun(t)
dtj
∣∣∣∣
t=0
. При t = 1 отримуємо λn =
∞∑
j=0
λ
(j)
n ,
un =
∞∑
j=0
u
(j)
n за умови, що ряди λn(t), un(t) збiгаються для всiх t ∈ [0, 1].
Наближеннями рангу N до власних значень i власних векторiв задачi (1) є зрiзанi ряди:
N
λn =
N∑
j=0
λ
(j)
n ,
N
un =
N∑
j=0
u
(j)
n . Пiдставивши (4) в (3) та прирiвнявши коефiцiєнти при однакових
степенях t, отримаємо рекурентнi рiвняння для визначення λ(j+1)
n , u(j+1)
n :
(A+B)u(j+1)
n − λ(0)n u(j+1)
n =
j∑
p=0
λ(j+1−p)
n u(p)n − ϕ(B)u(j)n ≡ F (j+1)
n , j = 0, 1, . . . , (5)
де початковими даними λ(0)n , u(0)n є розв’язок базової задачi (2).
Однiєю з особливостей, якi викликають труднощi при розв’язаннi задач на власнi зна-
чення, є наявнiсть кратних власних значень. Так, при застосуваннi FD-методу до розв’я-
зання деяких задач вже на етапi базової задачi (2), з якої починається чисельний процес,
виникають кратнi власнi значення. Наведемо короткий огляд робiт по FD-методу, в яких
вдалося подолати данi труднощi.
У роботi [9] кожне власне значення базової задачi є двократним, крiм λ
(0)
0 = 0, яке
є простим, для скалярної задачi Штурма–Лiувiлля з потенцiалом q(x) = q(1 − x), x ∈
∈ [0, 1], як для випадку перiодичних, так i для випадку антиперiодичних крайових умов.
В п. 2 з [10] розглянута одна iз самоспряжених крайових задач на власнi значення для
звичайного диференцiального рiвняння 4-го порядку, в якiй всi власнi значення базової
задачi є простими, крiм λ
(0)
0 = 0, яке є двократним. У роботi [11] при застосуваннi FD-методу
до матричної задачi Штурма–Лiувiлля з крайовими умовами Дiрiхле всi власнi значення
базової задачi є двократними.
Дана робота є узагальненням роботи [12], в якiй обгрунтовано FD-метод та здiйснено
його алгоритмiчну реалiзацiю для абстрактної постановки задачi на власнi значення (1),
коли базова задача (2) може мати двократнi власнi значення. Узагальнення полягає в тому,
що базова задача може мiстити власнi значення довiльної скiнченної кратностi.
Нехай λ(0)n є k-кратним власним значенням, k > 2 i йому вiдповiдає ортонормальна
система власних векторiв en,p, p = 1, k, тобто (en,p, en,s) = δp,s, p, s = 1, k, де δp,s — символ
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 27
Кронекера. Загальний розв’язок задачi (2) має вигляд u(0) =
k∑
p=1
C
(0)
p ep (тут i далi iндекс n
опускатимемо, якщо це не буде призводити до непорозумiнь).
При виконаннi умов розв’язностi
(F (j+1), em) = 0, m = 1, k, (6)
розв’язок рiвняння (5) можна записати у виглядi
u(j+1) =
k∑
p=1
C(j+1)
p ep + û(j+1), û(j+1) = Γ+
(
j∑
s=1
λ(j+1−s)u(s) − ϕ(B)u(j)
)
, (7)
де Γ+ — псевдообернений оператор Мура–Пенроуза до оператора A + B + λ(0)E, причому
пiдсумовування за s у (7) здiйснюється вiд 1, а не вiд 0, внаслiдок такої властивостi Γ+:
Лема 1. Мають мiсце рiвностi Γ+ep = 0, p = 1, k.
Доведення леми 1 базується на такому представленнi: Γ+v = −
∞∑
p=1
p6=n
(v, u
(0)
p )
λ
(0)
n − λ
(0)
p
u(0)p , ∀ v ∈
∈ L(e1, e2, . . . , ek), де L(e1, e2, . . . , ek) — лiнiйна оболонка елементiв e1, e2, . . . , ek.
З вимоги ортогональностi
(u(j+1), u(0)) = 0, j = 0, 1, . . . , (8)
випливає умова ( ~C(j+1), ~C(0))R = 0, яка накладається на вектори ~C(j+1) = |[C(j+1)
p ]|p=1,k.
Тут (·, ·)R — скалярний добуток в Rk, ~C(0) = |[C(0)
p ]|p=1,k. Помноживши систему (6) на C(0)
m
i пiдсумувавши рiвняння за m вiд 1 до k, одержимо
λ(j+1) = (ϕ(B)u(j), u(0)) = (ϕ(B)û(j), u(0)) = (û(j), ϕ(B)u(0)). (9)
2. Алгоритм FD-методу. Припустимо, що якщо оператор Π−(B) є добутком самоспря-
жених операторiв ϕ(B) i Γ+ з непарною кiлькiстю операторiв ϕ(B), то для ∀ p, m = 1, k,
s = 0, 1, . . . будуть справедливими спiввiдношення
(Π−(B)ep, em) = 0, (10)
((ϕ(B)Γ+)2sϕ(B)ep, em) = 0, ((ϕ(B)Γ+)2sΓ+ϕ(B)ep, em) = 0. (11)
Теорема 1. Нехай виконується умова (10), тодi вiрними є спiввiдношення
~C(2j−1) = ~0, λ(2j−1) = 0,
(Π+û(2j−1), em) = 0 ∀Π+ ∈ Ω+, (Π−û(2j), em) = 0, ∀Π− ∈ Ω−,
m = 1, k, j = 1, 2, . . . ,
де Ω+, Ω− — множини добуткiв операторiв ϕ(B) i Γ+ з парним i непарним входженням
ϕ(B) вiдповiдно.
28 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
Доведення (проведемо методом повної математичної iндукцiї). З (5) при j = 0 маємо
û(1) = −
k∑
p=1
C
(0)
p Γ+ϕ(B)ep, λ
(1) = 0. Умова розв’язностi (6) рiвняння (5) при j = 1:
λ(2)C(0)
m − (ϕ(B)û(1), em) = λ(2)C(0)
m +
k∑
p=1
C(0)
p (ϕ(B)Γ+ϕ(B)ep, em) = 0, m = 1, k. (12)
Нехай λ(2)ν , ν = 1, r, є µν-кратним власним значенням матрицi D(2) = |[d(2)p,m]|p,m=1,k, d
(2)
p,m =
= −(ϕ(B)Γ+ϕ(B)ep, em), причому
r∑
ν=1
µν = k, λ(2)1 < · · · < λ(2)ν < · · · < λ(2)r , i розв’язками
системи (12) при λ(2) = λ(2)ν , ν = 1, r, нехай буде ортонормальна система векторiв ~C
(0)
ν,i =
= |[C(0)
ν,i,m]|m=1,k, i = 1, µν , тобто ( ~C
(0)
ν,i ,
~C(0)
ν,s )R = δi,s, ‖~C(0)
ν,i ‖R = 1, i, s = 1, µν , де ‖~a‖R =
= (~a,~a)R.
Враховуючи (11) та (7), запишемо умову розв’язностi (6) рiвняння (5) при j = 2:
λ
(3)
ν,iC
(0)
ν,i,m + λ(2)ν C
(1)
ν,i,m +
k∑
p=1
C
(1)
ν,i,p(ϕ(B)Γ+ϕ(B)ep, em) = 0, наслiдком якої згiдно з (12) i (8)
є λ(3)ν,i = 0, (λ(2)ν E +D(2)) ~C
(1)
ν,i = ~0, тодi ~C(1)
ν,i = ~0. Тут i далi m = 1, k, i = 1, µν .
З (6) при j = 3, враховуючи (11), маємо λ(4)ν,iC
(0)
ν,i,m+λ(2)ν C
(2)
ν,i,m−(ϕ(B)û
(3)
ν,i , em) = 0, звiдки
внаслiдок (11) та умови (8) одержуємо λ(4)ν,i = (ϕ(B)û
(3)
ν,i , u
(0)
ν,i ) i рiвняння
λ(2)ν C
(2)
ν,i,m +
k∑
p=1
C
(2)
ν,i,pd
(2)
p,m = −λ(4)ν,iC
(0)
ν,i,m + λ(2)ν (ϕ(B)Γ+û
(1)
ν,i , em)− (ϕ(B)Γ+ϕ(B)û
(2)
ν,i , em),
розв’язок якого ~C
(2)
ν,i = |[C(2)
ν,i,m]|m=1,k, що визначається неоднозначно, вiзьмемо саме у такiй
векторно-матричнiй формi, яка забезпечує виконання умови (8), тобто
~C
(2)
ν,i = (D[2,ν])+[−λ(4)ν,i
~C
(0)
ν,i + λ(2)ν 〈ϕ(B)Γ+û
(1)
ν,i , ~e〉 − 〈ϕ(B)Γ+ϕ(B)û
(2)
ν,i , ~e〉],
де (D[2,ν])+ — псевдообернена матриця Мура–Пенроуза до матрицi D[2,ν] = λ(2)ν E + D(2),
~e = [e1, e2, . . . , ek]
T , 〈v,~e〉 = [(v, e1), (v, e2), . . . , (v, ek)]
T . Надалi для спрощення викладок
опустимо iндекси ν, i при записi векторiв ~C
(j)
ν,i = |[C(j)
ν,i,m]|m=1,k i власних пар λ(j+1)
ν,i , u(j+1)
ν,i .
Припустимо, що для деякого фiксованого j при m = 1, k, s = 1, j доведено, що
λ(2s−1) = 0, ~C(2s−1) = ~0,
(Π+û(2s−1), em) = 0, (Π−û(2s), em) = 0, ∀Π+ ∈ Ω+, ∀Π− ∈ Ω−.
(13)
Покажемо, що (13) справедливi i при s = j + 1. З (13) i властивостей оператора Γ+ маємо
u(2j+1) =
k∑
p=1
C(2j+1)
p ep + Γ+
(
j∑
s=1
λ(2j−2s+2)û(2s−1) − ϕ(B)u(2j)
)
,
λ(2j+1)C(0)
m − (ϕ(B)û(2j), em) = 0,
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 29
звiдки з другого рiвняння з використанням припущення (13) та леми 1 отримаємо
λ(2j+1)C(0)
m −
(
ϕ(B)Γ+
(j−1∑
s=1
λ(2j−2s)û(2s) − ϕ(B)û(2j−1)
)
, em
)
= 0, тобто λ(2j+1) = 0. Для
∀Π+ ∈ Ω+ з (13) маємо (Π+û(2j+1), em) =
(
Π+Γ+
( j∑
s=1
λ(2j−2s+2)û(2s−1) − ϕ(B)û(2j)
)
, em
)
=
= 0, бо в оператора Π+Γ+ парнiсть кiлькостi входжень ϕ(B) не змiнюється, а в оператора
Π+Γ+ϕ(B) кiлькiсть входжень ϕ(B) стає непарною. Запишемо (6) при замiнi j на 2j + 2
λ(2j+3)C(0)
m +
j∑
s=1
λ(2j−2s+4)(û(2s−1), em) + C(2j+1)
m λ(2) − (ϕ(B)û(2j+2), em) = 0. (14)
Для ∀Π− ∈ Ω− маємо (Π−û(2j+2), em) = −
k∑
p=1
C
(2j+1)
p (Π−Γ+ϕ(B)ep, em), i переписавши (14):
λ(2j+3)C(0)
m + λ(2)C(2j+1)
m +
k∑
p=1
d
(2)
p,mC
(2j+1)
p = 0, одержимо λ(2j+3) = 0, C(2j+1)
m = 0. Звiдси
випливають рiвностi (Π−û(2j+2), em) = 0. Зауважимо, що вибiр вектора ~C(0) як розв’язок
системи (λ(2)E +D(2)) ~C(2j+1) = ~0 обумовлений тим, що в подальшому не виникає неодно-
рiдних умов на цей вектор. Теорема доведена.
З умови розв’язностi (6) при замiнi j на 2j+1, теореми 1 та формул (7) i (9) одержуємо
основнi формули алгоритму FD-методу для задачi (1) (при j = 1, 2, . . .):
û(2j−1) = Γ+
(
j−1∑
s=1
λ(2j−2s)û(2s−1) − ϕ(B)u(2j−2)
)
,
û(2j) = Γ+
(
j−1∑
s=1
λ(2j−2s)û(2s) − ϕ(B)û(2j−1)
)
,
~C(2j) = (D[2,ν])+
(
j−1∑
s=1
λ(2j+2−2s)[〈ϕ(B)Γ+û(2s−1), ~e− u(0) ~C(0)〉 − ~C(2s)] +
+ λ(2)〈ϕ(B)Γ+û(2j−1),−u(0) ~C(0) + ~e〉+ 〈ϕ(B)Γ+ϕ(B)û(2j), u(0) ~C(0) − ~e〉
)
,
λ(2j) = (ϕ(B)û(2j−1), u(0)), λ(2j+2) = λ
(2j+2)
n,ν,i , û(j) = û
(j)
n,ν,i,
~C(2j−2) = ~C
(2j−2)
n,ν,i ,
λ(2) = λ(2)n,ν, û(0) = 0, u(0) = u
(0)
n,ν,i, ‖u(0)n,ν,i‖ = 1, ‖~C(0)
n,ν,i‖R = 1,
i = 1, µν , ν = 1, r,
r∑
ν=1
µν = k.
(15)
3. Збiжнiсть FD-методу. З формул (15), використовуючи спiввiдношення
k∑
p=1
C(2j)
p
k∑
t=1
C
(0)
t d
(2)
p,t = 0, |〈~e− u(0) ~C(0)〉|2= k− 1, |〈ϕ(B)(~e− u(0) ~C(0))〉| 6 2|〈ϕ(B)~e〉|
30 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
iз введеним позначенням |〈~b〉| =
{ k∑
p=1
‖bp‖2
}1/2
, отримуємо такi оцiнки (при j = 1, 2, . . .):
‖û(2j−1)‖ 6Mn
(
j−1∑
s=1
‖û(2j−2s−1)‖‖û(2s−1)‖+ ‖û(2j−2)‖+ ‖~C(2j−2)‖R
)
,
‖û(2j)‖ 6Mn
(
j−1∑
s=1
‖û(2j−2s−1)‖‖û(2s)‖+ ‖û(2j−1)‖
)
,
|λ(2j)| 6 ‖ϕ(B)u(0)‖‖û(2j−1)‖,
‖~C(2j)‖ 6 β
{
Mn
j∑
s=1
‖û(2j+1−2s)‖‖û(2s−1)‖+Mn‖û(2j)‖+
j−1∑
s=1
‖û(2j+1−2s)‖‖~C(2s)‖
}
,
(16)
де Mn = Mn,ν,i = max{‖Γ+
n ‖‖ϕ(B)u
(0)
n,ν,i‖, ‖Γ+
nϕ(B)‖}, β = ‖(D[2,ν])+‖|〈ϕ(B)~e〉| ×
× max(
√
k − 1, 2).
Перейшовши вiд оцiнок (16) до мажоруючої їх рекурентної системи рiвнянь, яку розв’я-
зуємо методом твiрних функцiй (детальнiше див., наприклад, [9]), знаходимо радiус збiжно-
стi zmax мажорантних для (4) рядiв: f(z) =
∞∑
j=0
zju2j+1, g(z) =
∞∑
j=0
zju2j+2, w(z) =
∞∑
j=0
zjc2j ,
де c2j = (Mn)
−2j−1‖~C(2j)‖R 6 c2j , uj = (Mn)
−j‖û(j)‖ 6 uj , j = 1, 2, . . ., c0 = c0 = 1,
u0 = u0 = 0. Тодi iснують такi сталi Li > 0, εi > 0, i = 1, 2, 3, що (zmax)
ju2j−1 6 L1/j
1+ε1 ,
(zmax)
ju2j 6 L2/j
1+ε2 , (zmax)
jc2j 6 L3/j
1+ε3 , j = 1, 2, . . .. Звiдси, iз (7) та (9) випливає
Теорема 2. Нехай (ϕ(B)en,p, en,m) = 0, ∀ p,m = 1, k, qn,ν,i = Mn,ν,i/zmax < 1, тодi
FD-метод для задачi (1) є суперекспоненцiально збiжним i справедливими є оцiнки його
точностi:
‖un,ν,i−
m
un,ν,i‖6
2L
(m+ 1)1+ε
qm+1
n,ν,i
1− qn,ν,i
, ‖λn,ν,i−
m
λn,ν,i‖6
L‖ϕ(B)u
(0)
n,ν,i‖
(m+ 1)1+ε
qmn,ν,i
1− qn,ν,i
. (17)
Якщо qn = 1, то замiсть оцiнок (17) будуть такi:
‖un,ν,i −
m
un,ν,i‖ 6 2L
∞∑
j=m+1
1
j1+ε
6
2L
εmε
,
‖λn,ν,i −
m
λn,ν,i‖ 6 L‖ϕ(B)u
(0)
n,ν,i‖
∞∑
j=m+1
1
j1+ε
6
L‖ϕ(B)u
(0)
n,ν,i‖
εmε
.
Тут L = max(L1, L2, L3), ε = min(ε1, ε2, ε3), i = 1, µν , ν = 1, r,
r∑
ν=1
µν = k.
Приклад. Розглянемо векторно-матричну задачу Штурма–Лiувiлля з крайовими умо-
вами Дiрiхле, тобто задачу (1), в якiй оператори A, B визначенi таким чином:
D(A) = {v ∈W 2
2 (0, 1): v(0) = v(1) = 0}, Av =
d2v(x)
dx2
, ∀ v ∈ D(A),
D(B) = L2(0, 1), Bv = Q(x)v(x),
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 31
Таблиця 1. Величини, отриманi FD-методом рангу N = 0, 2, 4, 6 для власних значень λn з n = 2, 4, 8
n j
k = 1 k = 2 k = 3
|λ
(2j)
n,1 | ∆n,1(2j) |λ
(2j)
n,2 | ∆n,2(2j) |λ
(2j)
n,3 | ∆n,3(2j)
2 0 39,48 3, 4·10−4 39,48 1, 9·10−3 39,48 5, 7·10−5
1 3, 415·10−4 1, 7·10−8 1, 881·10−3 7, 6·10−7 5, 745·10−5 6, 8·10−10
2 1, 778·10−8 8, 0·10−13 7, 567·10−7 2, 3·10−10 6, 796·10−10 2, 2·10−14
3 8, 050·10−13 4, 5·10−17 2, 329·10−10 4, 4·10−14 2, 125·10−14 1, 2·10−15
4 0 157,9 9, 4·10−5 157,9 7, 3·10−4 157,9 1, 5·10−5
1 9, 431·10−5 2, 4·10−11 7, 288·10−4 1, 6·10−9 1, 542·10−5 3, 3·10−12
2 2, 438·10−11 1, 4·10−16 1, 604·10−9 1, 6·10−13 3, 334·10−12 5, 9·10−17
3 1, 408·10−16 1, 2·10−19 1, 635·10−13 5, 9·10−17 6, 218·10−17 2, 8·10−18
8 0 631,8 2, 4·10−5 631,8 2, 0·10−4 631,8 3, 9·10−6
1 2, 389·10−5 6, 3·10−13 1, 991·10−4 4, 4·10−11 3, 895·10−6 2, 4·10−13
2 6, 257·10−13 2, 8·10−20 4, 364·10−11 2, 1·10−17 2, 373·10−13 8, 5·10−19
3 3, 603·10−20 7, 7·10−21 2, 111·10−17 1, 2·10−19 8, 430·10−19 1, 1·10−20
Таблиця 2. Трiйки власних значень λex
n,l, l = 1, 3, отриманi методом стрiльби з n = 2, 4, 8
n λex
n,1 λex
n,2 λex
n,3
2 39,47875905307639709887213 39,48029773815411128857833 39,47847505309593329887386
4 157,9137647274037242550664 157,9143992106911288540809 157,9136858376700168133047
8 631,6547055560593258633251 631,6548807432349298044469 631,6546855642199543269033
Q(x) =
(
1
2
− x
)
1 1
(
1
2
− x
)2
1 1 1(
1
2
− x
)2
1 1
.
Очевидно, що (Q(x)en,p(x), en,m(x)) = 0, p,m = 1, 3, де en,m(x) =
√
2 sin(nπx)|[δm,i]|i=1,3. За-
стосуємо найпростiший варiант FD-методу, коли B ≡ 0. Кожне власне значення λ(0)n = (nπ)2
базової задачi має кратнiсть 3 i йому вiдповiдають власнi вектори u(0)n,p(x) =
3∑
m=1
C
(0)
n,p,men,m(x),
p = 1, 3, де ~C(0)
n,p = |[C(0)
n,p,m]|m=1,3, p = 1, 3, — ортонормальна система векторiв, що є розв’яз-
ком вiдповiдної системи (12). Тут Γ+v = (gn(x, ·), vn(·)) =
1∫
0
gn(x, ξ)vn(ξ) dξ, де gn(x, ξ) =
=
cos(nπ(x+ ξ))− cos(nπ(x− ξ))
4π2n2
− sin(nπ(x+ ξ))(1 − x− ξ)− sin(nπ|x− ξ|)(1 − |x− ξ|)
2πn
—
узагальнена функцiя Грiна. Обчислення та аналiтичнi перетворення здiйснювалися за до-
помогою системи Maple 17 (з Digits = 128).
У цьому випадку FD-метод є таким, що точно реалiзується (див. [13]). Наближення
λ
(2j)
n,l , u(2j)n,l (x), l = 1, 3, j = 0, 3, знайденi в аналiтичнiй формi в залежностi вiд номера n
трiйки власних значень. Теорема 1 виконується, зокрема, λ(2j−1)
n,l = 0, l = 1, 3, j = 1, 2, . . ..
Асимптотична поведiнка поправок до власних значень вiдносно n є такою: λ(2j)n,1 = O(n4j−2),
λ
(2j)
n,l = O(n−2j), l = 2, 3, j = 1, 2, 3. Чисельнi розрахунки для n = 2, 4, 8 наведенi в табл. 1,
зокрема, абсолютнi похибки наближень FD-методу ∆n,l(N) = |λexn,l−
N
λn,l| рангу N = 0, 2, 4, 6
32 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
до власних значень λexn,l, l = 1, 3, отриманих методом стрiльби (табл. 2) з використанням
методу Гiра для iнтегрування вiдповiдних задач Кошi. Як видно з табл. 1, чисельнi розра-
хунки пiдтверджують теорему 2 про суперекспоненцiальну швидкiсть збiжностi алгоритму.
Цитована лiтература
1. Akulenko L.D., Nesterov S. V. High-precision methods in eigenvalue problems and their applications. –
Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2005. – P. 264.
2. Pryce J. Numerical solution of Sturm–Liouville problems. – Oxford: Oxford University Press, 1993. – P. 323.
3. Rellich F. Störungstheorie der spektralzerlegung // Math. Ann. – 1937. – 113, Mitt. I – P. 600–619.
4. Rellich F. Störungstheorie der spektralzerlegung // Math. Ann. – 1937. – 113, Mitt. II – P. 677–685.
5. Rellich F. Störungstheorie der spektralzerlegung // Math. Ann. – 1939. – 116, Mitt. III – P. 555–570.
6. Armstrong M. Basic topology. – New York; Berlin; Heidelberg: Springer, 1983. – P. 260.
7. Allgower E. L., Georg K. Introduction to numerical continuation methods. – Colorado: Colorado State
University, 1990. – P. 397.
8. Макаров В.Л. О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи
Штурма–Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Докл. АН СССР. – 1991. – 320, № 1. –
С. 34–39.
9. Бандирський Б.И., Макаров В.Л., Уханьов О.Л. FD-метод для задач Штурма–Лiувiлля. Експонен-
цiйна швидкiсть збiжностi // Журн. обчисл. прикл. математики. – 2000. – 85, № 1. – С. 1–60.
10. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Popov A.M. Super-exponentially convergent parallel algorithm for eigen-
value problems for the fourth order ODE’s // J. Numer. Appl. Math. – 2010. – 100, No 1. – P. 60–81.
11. Bandyrskii B. I., Gavrilyuk I. P., Lazurchak I. I., Makarov V.L. Functional-discrete method (FD-method)
for matrix Sturm–Liouville problems // Comput. Methods Appl. Math. – 2005. – 4, No 5. – P. 362–386.
12. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Super-exponentially convergent parallel algorithm for eigenvalue problems
in Hilbert spaces // Proc. of the intern. conf. “Differential equations and their applications (DETA 2009)”,
September 10–12, 2009, Panevezys, Lithuania/ Ed. by V. Kleiza, S. Rutkauskas, A. Stikonas. – Kaunas:
Technologija, 2009. – P. 86–92.
13. Makarov V. L., Vinokur V.V. The FD-method for first-order linear hyperbolic differential equations with
piecewise smooth coefficients // J. Math. Sci. – 1995. – 77, No 5. – P. 3399–3405.
References
1. Akulenko L.D., Nesterov S. V. High-precision methods in eigenvalue problems and their applications, Boca
Raton: Chapman&Hall/CRC, 2005.
2. Pryce J. Numerical solution of Sturm–Liouville problems, Oxford: Oxford Univ. Press, 1993.
3. Rellich F. Math. Ann., 1937, 113, Mitt. I: 600–619 (in German).
4. Rellich F. Math. Ann., 1937, 113, Mitt. II: 677–685 (in German).
5. Rellich F. Math. Ann., 1939, 116, Mitt. III: 555–570 (in German).
6. Armstrong M.A. Basic topology, Berlin: Springer, 1983.
7. Allgower E., Georg K. Introduction to numerical continuation methods, Colorado: Colorado State Uni-
versity, 1990.
8. Makarov V.L. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 1991, 320, No. 1: 34–39 (in Russian).
9. Bandyrskii B. I., Makarov V.L., Ukhanev O. L. J. Comp. Appl. Math., 2000, 85, No 1: 1–60 (in Ukrainian).
10. Gavrilyuk I. P., Makarov V.L., Popov A.M. J. Numer. Appl. Math., 2010, 100, No 1: 60–81.
11. Bandyrskii B. I., Gavrilyuk I. P., Lazurchak I. I., Makarov V. L. Comput. Methods Appl. Math., 2005, 5,
No 4: 362–386.
12. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Super-exponentially convergent parallel algorithm for eigenvalue problems
in Hilbert spaces: Proc. of the Intern. Conf. “DETA 2009”, Kaunas: Technologija, 2009: 86–92.
13. Makarov V.L., Vinokur V.V. J. Math. Sci., 1995, 77, No 5: 3399–3405.
Надiйшло до редакцiї 02.12.2014Iнститут математики НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2015, №5 33
Академик НАН Украины В.Л. Макаров, Н.Н. Романюк
FD-метод для задачи на собственные значения в гильбертовом
пространстве в случае базовой задачи с собственными значениями
произвольной кратности
Институт математики НАН Украины, Киев
Обосновывается новый алгоритм FD-метода для задачи на собственные значения для сум-
мы линейных самосопряженных операторов A + B с дискретным спектром, действующих
в некотором гильбертовом пространстве. Алгоритм заключается в аппроксимации опера-
тора B таким оператором B, что задача на собственные значения для A + B̄ является
проще, чем для A+B. Рассматривается случай, когда оператор A+ B̄ имеет собственные
значения произвольной конечной кратности. Предложенный подход основывается на идее
гомотопии и имеет суперэкспоненциальную скорость сходимости, т. е. сходится быстрее,
чем геометрическая прогрессия, знаменатель которой обратно пропорционален индексу со-
ответствующего собственного значения. Собственные пары могут быть вычислены парал-
лельно для всех заданных индексов. Численный пример подтверждает теорию.
Ключевые слова: задача на собственные значения, гильбертово пространство, кратные соб-
ственные значения, функционально-дискретный метод, суперэкспоненциально сходящийся
алгоритм.
Academician of the NAS of Ukraine V.L. Makarov, N. M. Romaniuk
The FD-method for an eigenvalue problem in a case where the base
problem has eigenvalues of arbitrary multiplicities in a Hilbert space
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
A new algorithm for the eigenvalue problems for linear self-adjont operators in the form of sum
A + B with a discrete spectrum in a Hilbert space is proposed and justified. The algorithm is
based on the approximation of B by an operator B such that the eigenvalue problem for A + B
is computationally simpler than that for A + B. The operator A + B is allowed to have multiple
eigenvalues. The algorithm for this eigenvalue problem is based on the homotopy idea. It provides the
super-exponential convergence rate, i. e. the rate faster than the convergence rate of a geometrical
progression with the ratio, which is inversely proportional to the index of the eigenvalue under
consideration. The eigenpairs can be computed in parallel for all prescribed indices. We supply a
numerical example which supports the developed theory.
Keywords: eigenvalue problem, Hilbert space, multiple eigenvalues, functional-discrete method,
super-exponentially convergent algorithm.
34 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №5
|