О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам
Изучается граничное поведение так называемых регулярных отображений, которые являются естественным обобщением квазиконформных отображений. Найден ряд эффективных условий на коэффициент дилатации Kf для гомеоморфного продолжения указанных отображений по простым концам в ограниченных конечносвязных об...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96786 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам / И.В. Петков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 19-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-96786 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-967862016-03-21T03:02:13Z О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам Петков, И.В. Математика Изучается граничное поведение так называемых регулярных отображений, которые являются естественным обобщением квазиконформных отображений. Найден ряд эффективных условий на коэффициент дилатации Kf для гомеоморфного продолжения указанных отображений по простым концам в ограниченных конечносвязных областях. Дослiджується гранична поведiнка так званих регулярних вiдображень, якi є iстотним узагальненням квазiконформних вiдображень. Знайдено низку ефективних умов на коефiцiєнт дилатацiї Kf для гомеоморфного продовження вказаних вiдображень по простих кiнцях в обмежених скiнченнозв’язних областях. The boundary behavior of the so-called regular mappings that are a natural generalization of quasiconformal mappings is studied. A number of effective conditions on the dilatation coefficient Kf for a homeomorphic extension of these mappings by prime ends in finitely connected bounded domains are found. 2015 Article О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам / И.В. Петков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 19-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96786 517.5 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Петков, И.В. О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам Доповіді НАН України |
| description |
Изучается граничное поведение так называемых регулярных отображений, которые являются естественным обобщением квазиконформных отображений. Найден ряд эффективных условий на коэффициент дилатации Kf для гомеоморфного продолжения указанных отображений по простым концам в ограниченных конечносвязных областях. |
| format |
Article |
| author |
Петков, И.В. |
| author_facet |
Петков, И.В. |
| author_sort |
Петков, И.В. |
| title |
О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам |
| title_short |
О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам |
| title_full |
О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам |
| title_fullStr |
О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам |
| title_full_unstemmed |
О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам |
| title_sort |
о граничном поведении гомеоморфизмов класса w¹’¹loc на плоскости по простым концам |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96786 |
| citation_txt |
О граничном поведении гомеоморфизмов класса W¹’¹loc на плоскости по простым концам / И.В. Петков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 6. — С. 19-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT petkoviv ograničnompovedeniigomeomorfizmovklassaw11locnaploskostipoprostymkoncam |
| first_indexed |
2025-07-07T04:02:24Z |
| last_indexed |
2025-07-07T04:02:24Z |
| _version_ |
1836959342463549440 |
| fulltext |
УДК 517.5
И.В. Петков
О граничном поведении гомеоморфизмов класса W
1,1
loc
на плоскости по простым концам
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Изучается граничное поведение так называемых регулярных отображений, которые яв-
ляются естественным обобщением квазиконформных отображений. Найден ряд эффек-
тивных условий на коэффициент дилатации Kf для гомеоморфного продолжения ука-
занных отображений по простым концам в ограниченных конечносвязных областях.
Ключевые слова: простые концы, граничное поведение, конечносвязные области, регу-
лярные отображения.
Проблема граничного поведения является одной из центральных тем теории квазиконформ-
ных отображений и их обобщений. В последние годы интенсивно изучаются различные клас-
сы отображений с конечным искажением, естественным образом обобщающие конформные,
квазиконформные и квазирегулярные отображения. При этом, как и ранее, основным гео-
метрическим методом в теории отображений остается метод модулей (см., например, [1, 2]).
Все необходимые нам определения из теории простых концов можно найти в [3, 4].
В статье [4] также доказана следующая, полезная в дальнейшем, лемма.
Лемма 1. Любой простой конец P ограниченной конечносвязной области D в C со-
держит цепь разрезов σm, лежащих на окружностях Sm с центром в некоторой точке
x0 ∈ ∂D и радиусами rm → 0 при m → ∞.
Замечание 1. Заметим, что на плоскости любая конечносвязная область отображает-
ся конформно на некоторую область, ограниченную конечным числом попарно непересе-
кающихся окружностей (так называемую круговую область) (см., например, теорему V.6.2
в [5]).
Как это следует из теоремы 4.1 в [6], при конформном отображении g круговой облас-
ти D0 на область D в C имеет место взаимно однозначное соответствие между точками
границы D0 и простыми концами области D и при этом предельные множества C(g, b),
b ∈ ∂D0, совпадают с телом I(P ) соответствующего простого конца P в D.
Если DP — пополнение ограниченной конечносвязной области D ее простыми концами
и g — конформное отображение области D на некоторую круговую область D0, то естест-
венно в DP определить метрику ρg(p1, p2) = |g̃(p1) − g̃(p2)|, где g̃ — описанное выше про-
должение g на DP . Если h — конформное отображение области D на некоторую другую
круговую область D∗, то соответствующая метрика ρh(p1, p2) = |h̃(p1) − h̃(p2)| порождает
ту же самую сходимость и, следовательно, ту же самую топологию в DP , что и метрика ρg,
поскольку g ◦ h−1 является конформным отображением между областями D∗ и D0, кото-
рое по теореме 4.1 в [6] продолжается до гомеоморфизма между D∗ и D0. В дальнейшем
указанную топологию в пространстве DP будем называть топологией простых концов.
1. О продолжении прямых отображений. Все необходимые для этого и следующего
пунктов определения можно найти в статье [7].
© И.В. Петков, 2015
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 19
Гомеоморфизм f : D → D′ класса Соболева W 1,1
loc с якобианом Jf (z) = |fz|
2 − |fz|
2 > 0
п. в. в D будем называть регулярным отображением. Для такого отображения определим
его дилатацию
Kf =
|fz|+ |fz|
|fz| − |fz|
,
если fz 6= 0, и Kf = 1 в остальных точках.
Лемма 2. Пусть D и D′ — ограниченные конечносвязные области в C и f : D → D′ —
регулярное отображение. Если
δ(x0)∫
0
dr
‖Kf‖1(x0, r)
= ∞ ∀x0 ∈ ∂D (1)
при некотором δ(x0) < d(x0) = sup
x∈D
|x − x0|, где
‖Kf‖1(x0, r) =
∫
D∩S(x0,r)
Kf |dz|,
то f продолжается до непрерывного отображения DP на D′
P .
Действительно, ввиду замечания 1, без ограничения общности можно считать, что D′
является круговой областью. Также по замечанию 1, ввиду метризуемости пространств
DP и D′
P , достаточно доказать, что для любого простого конца P области D предельное
множество
L = C(P, f) : = {y ∈ C : y = lim
k→∞
f(xk), xk → P, xk ∈ D}
состоит из единственной точки y0 ∈ ∂D′.
Заметим, что L 6= ∅ в силу компактности множества D′ и является подмножеством ∂D′
(см., например, предложение 2.5 в [8] или предложение 13.5 в [2]). Допустим, что имеется
две точки y0 и z0 ∈ L, и пусть U = B(y0, r0), где 0 < r0 < |y0 − z0|.
Пусть x0 ∈ I(P ) ⊆ ∂D и σk, k = 1, 2, . . ., — цепь разрезов, лежащих на окружностях
Sk = S(x0, rk) из леммы 1 с ассоциированными областями dk. Тогда в областях d′k = f(dk)
найдутся точки yk и zk с |y0 − yk| < r0 и |y0 − zk| > r0, yk → y0 и zk → z0 при k → ∞.
Пусть Ck — непрерывные кривые, соединяющие yk и zk в d′k. Заметим, что по построению
∂U
⋂
Ck 6= ∅.
По условию сильной достижимости точки y0, найдется континуум E ⊂ D′ и число δ > 0,
для которых
M(∆(E,Ck;D
′)) > δ
при больших k. Без ограничения общности можно считать, что последнее условие выпол-
нено для всех k = 1, 2, . . . . Заметим, что C = f−1(E) является компактом в D, и потому
ε0 = dist(x0, C) > 0. Опять же, без ограничения общности можно считать, что rk < ε0 для
всех k = 1, 2, . . ..
20 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
Пусть Γm — семейство всех непрерывных путей в D \ dm, соединяющих окружность
S0 = S(x0, ε0) и σm, m = 1, 2, . . .. Заметим, что по построению Ck ⊂ d′k ⊂ d′m для любых
m 6 k и, таким образом, по принципу минорирования M(f(Γm)) > δ при всех m = 1, 2, . . ..
С другой стороны, величина M(f(Γm)) равна емкости конденсатора в D′ с обкладками
d′m и f(D \B0), где B0 = B(x0, ε0) (см., например, A.4 в [2]). Таким образом, по принципу
минорирования и теореме A.28 в [2]
M(f(Γm)) 6
1
M(f(Σm))
,
где Σm — семейство пересечений с областью D всех окружностей S(x0, ρ), ρ ∈ (rm, ε0), пос-
кольку f(Σm) ⊂ Σ(f(Sm), f(S0)), где Σ(f(Sm), f(S0)) состоит из всех замкнутых множеств
в D′, отделяющих f(Sm) и f(S0). Наконец, по условию (1) получаем, что M(f(Γm)) → 0 при
m→ ∞. Полученное противоречие опровергает предположение, что предельное множество
C(P, f) состоит более чем из одной точки.
2. О продолжении обратных отображений.
Лемма 3. Пусть D и D′ — ограниченные конечносвязные области в C, P1 и P2 — раз-
личные простые концы области D, f — регулярное отображение области D на область
D′ и пусть σm, m = 1, 2, . . ., — цепь разрезов простого конца P1 из леммы 1, лежащих на
окружностях S(z1, rm), z1 ∈ I(P1) ⊆ ∂D, с ассоциированными областями dm. Предполо-
жим, что функция Q интегрируема на штриховых линиях
D(r) = {x ∈ D : |x− z1| = r} = D
⋂
S(z1, r) (2)
для некоторого множества E чисел r ∈ (0, r0) положительной линейной меры, где r0 =
= rm0 , m0 — минимальный номер, для которого область dm0 не содержит последователь-
ностей, сходящихся к P2. Если ∂D′ — слабо плоская, то
C(P1, f)
⋂
C(P2, f) = ∅.
В силу метризуемости расширения DP области D по простым концам (см. замечание 1)
и единственности предела по любой метрике, число m0 в лемме 3 всегда существует.
Теперь выберем ε ∈ (0, r0) такое, что E0 := {r ∈ E : r ∈ (ε, r0)} имеет положительную
линейную меру. Такой выбор возможен в силу счетной полуаддитивности линейной меры
и исчерпания E =
⋃
Em, где Em = {r ∈ E : r ∈ (1/m, r0)}, m = 1, 2, . . .. Ввиду критерия
нижнего Q-гомеоморфизма (см. теорему 2.1 в [9] или теорему 9.2 в [2])
M(f(Σε)) > 0, (3)
где Σε — семейство всех штриховых линий D(r), r ∈ (ε, r0), из (2).
Предположим, что C1
⋂
C2 6= ∅, где Ci = C(Pi, f), i = 1, 2. По построению найдется
такое m1 > m0, что σm1 лежит на окружности S(z1, rm1) c rm1 < ε. Пусть d0 = dm1 и d∗ ⊆
⊆ D \ dm0 — некоторая область, определяемая цепью разрезов простого конца P2. Пусть
y0 ∈ C1
⋂
C2. Тогда найдется ρ0 > 0 такое, что S(y0, ρ0)
⋂
f(d0) 6= ∅ и S(y0, ρ0)
⋂
f(d∗) 6= ∅.
Положим Γ = ∆(d0, d∗;D). Согласно (3), по принципу минорирования и теореме A.28
в [2],
M(f(Γ)) 6
1
M(f(Σε))
<∞.
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 21
Пусть M0 > M(f(Γ)) — некоторое конечное число. По условию ∂D′ — слабо плоская и по-
тому найдется ρ∗ ∈ (0, ρ0) такое, что
M(∆(E,F ;D′)) >M0
для всех континуумов E и F в D′, пересекающих окружности S(y0, ρ0) и S(y0, ρ∗). Однако
эти окружности можно соединить кривыми c1 и c2 в областях f(d0) и f(d∗) соответственно,
и, в частности, для этих кривых
M0 6M(∆(c1, c2;D
′)) 6M(f(Γ)).
Полученное противоречие опровергает предположение, что C1
⋂
C2 6= ∅.
Заключение следующей теоремы получается из леммы 3 рассуждением от противного
из теоремы Фубини (см., например, теорему III (8.1) в [10]) и метризуемости пространств
D′
P и DP в соответствии с замечанием 1.
Теорема 1. Пусть D и D′ — ограниченные конечносвязные области в C. Если f —
регулярное отображение D на D′ с Kf ∈ L1(D), то f−1 имеет продолжение по простым
концам до непрерывного отображения D′
P на DP .
Аналогично, комбинируя лемму 3 с леммой 9.2 в [9] или леммой 9.6 в [2], немедленно
получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть D и D′ — ограниченные конечносвязные области в C. Если f : D →
→ D′ — регулярное отображение с условием (1), то f−1 может быть продолжено по
простым концам до непрерывного отображения D′
P на DP .
Наконец, комбинируя лемму 2 с теоремой 2, получаем следующий результат о гомео-
морфном продолжении на границу по простым концам.
Теорема 3. Пусть D и D′ — ограниченные конечносвязные области в C и пусть
f : D → D′ — регулярное отображение с условием (1). Тогда f имеет продолжение по
простым концам до гомеоморфизма DP на D′
P .
Отметим, что множество теорем о существовании регулярных решений уравнений Бель-
трами на плоскости можно найти в монографии [1].
Цитированная литература
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach. – New
York: Springer, 2012. – 314 p.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
3. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. – Москва: Мир, 1971. – 312 с.
4. Kovtonyuk D.A., Ryazanov V. I. On boundary elements of space domains // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2010. – 7, № 2. – С. 99–103.
5. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
630 с.
6. Näkki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 13–40.
7. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. О граничном поведении решений уравнений Бельтра-
ми // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 8. – С. 1078–1091.
8. Рязанов В.И., Салимов Р. Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр.
мат. вестн. – 2007. – 4, № 2. – С. 199–234.
9. Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И. К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр. мат. вестн. – 2008. – 5,
№ 2. – С. 159–184.
10. Сакс С. Теория интеграла. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1949. – 496 с.
22 ISSN 1025-6415 Dopov. NAN Ukraine, 2015, №6
References
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach, New
York: Springer, 2012.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory, New York: Springer,
2009.
3. Collingwood E. F., Lohwator A. J. The theory of cluster sets, Cambridge Tracts in Math. and Math. Physics,
Vol. 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1966.
4. Kovtonyuk D.A., Ryazanov V. I. Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2010, 7, No 2: 99–103.
5. Goluzin G.M. Geometric theory of functions of a complex variable, Transl. of Math. Monographs, Vol. 26,
Providence: AMS, 1969.
6. Näkki R. J. Anal. Math., 1979, 35: 13–40.
7. Kovtonyuk D., Petkov I., Ryazanov V. Ukr. Mat. J., 2011, 63, No 8: 1078–1091 (in Russian).
8. Ryazanov V. I., Salimov R.R. Ukr. Mat. Visn., 2007, 4, No 2: 199–234 (in Russian).
9. Kovtonyuk D.A., Ryazanov V. I. Ukr. Mat. Visn., 2008, 5, No 2: 159–184 (in Russian).
10. Saks S. Theory of the integral, New York: Dover Publications Inc., 1964.
Поступило в редакцию 26.01.2015Институт прикладной математики и механики
НАН Украины, Киев
I. В. Пєтков
Гранична поведiнка гомеоморфiзмiв класу W
1,1
loc
на площинi
по простих кiнцях
Iнститут прикладної математики i механiки НАН України, Київ
Дослiджується гранична поведiнка так званих регулярних вiдображень, якi є iстотним
узагальненням квазiконформних вiдображень. Знайдено низку ефективних умов на коефi-
цiєнт дилатацiї Kf для гомеоморфного продовження вказаних вiдображень по простих кiн-
цях в обмежених скiнченнозв’язних областях.
Ключовi слова: простi кiнцi, гранична поведiнка, скiнченнозв’язнi областi, регулярнi
вiдображення.
I. V. Petkov
The boundary behavior of homeomorphisms of the class W
1,1
loc
on
a plane by prime ends
Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
The boundary behavior of the so-called regular mappings that are a natural generalization of quasi-
conformal mappings is studied. A number of effective conditions on the dilatation coefficient Kf for
a homeomorphic extension of these mappings by prime ends in finitely connected bounded domains
are found.
Keywords: prime ends, boundary behavior, finitely connected domains, regular mappings.
ISSN 1025-6415 Допов. НАН України, 2015, №6 23
|