Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища

З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх і квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при взаємодії неплоскої нестаціонарної хвилі з вільною параболічною поверхнею пружного трансверсально-ізотропного середовища....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2003
1. Verfasser:	Іванченко, Г.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2003
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/968
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища / Г.М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-968
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-9682008-10-15T18:47:26Z Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища Іванченко, Г.М. З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх і квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при взаємодії неплоскої нестаціонарної хвилі з вільною параболічною поверхнею пружного трансверсально-ізотропного середовища. Для рішення нелінійних рівнянь Снелліуса застосовувався синтез методу продовження рішення по параметру й алгоритму Ньютона. Проаналізовані ефекти розсіювання і фокусування нестаціонарних хвиль як окремі випадки біфуркації фронтів і утворення каустик. С использованием нулевого приближения лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных и квазипоперечных волн сильного разрыва, формирующихся при взаимодействии неплоской нестационарной волны со свободной параболической поверхностью упругой трансверсально-изотропной среды. Для решения нелинейных уравнений Снеллиуса применялся синтез метода продолжения решения по параметру и алгоритма Ньютона. Проанализированы эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн как частные случаи бифуркации фронтов и образования каустик. The problem of reorganization of fronts of quasi-primary and quasi-secondary waves of strong discontinuity formed by interaction of a non-planar non-stationary wave with a free parabolic surface of elastic transversally isotropic medium is solved with the use of zero approximation of the ray method. For solution of the nonlinear Snell's equations a synthesis of the method of continuation of solution on the parameter and the Newton's algorithm was used. The effects of scattering and focussing of non-stationary waves as special cases of the front bifurcation and formation of caustics are analyzed. 2003 Article Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища / Г.М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/968 539.3:532.593 uk Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	З використанням нульового наближення променевого методу розв'язана задача про перебудову фронтів квазіпоздовжніх і квазіпоперечних хвиль сильного розриву, які формуються при взаємодії неплоскої нестаціонарної хвилі з вільною параболічною поверхнею пружного трансверсально-ізотропного середовища. Для рішення нелінійних рівнянь Снелліуса застосовувався синтез методу продовження рішення по параметру й алгоритму Ньютона. Проаналізовані ефекти розсіювання і фокусування нестаціонарних хвиль як окремі випадки біфуркації фронтів і утворення каустик.
format	Article
author	Іванченко, Г.М.
spellingShingle	Іванченко, Г.М. Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
author_facet	Іванченко, Г.М.
author_sort	Іванченко, Г.М.
title	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_short	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_full	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_fullStr	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_full_unstemmed	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
title_sort	фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2003
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/968
citation_txt	Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища / Г.М. Іванченко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT ívančenkogm fokusuvannâpromenívneploskoírozrivnoíhvilívílʹnoûpoverhneûpružnogoanízotropnogoseredoviŝa
first_indexed	2025-07-02T05:12:28Z
last_indexed	2025-07-02T05:12:28Z
_version_	1836510765749633024
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 УДК 539.3:532.593 ФОКУСУВАННЯ ПРОМЕНIВ НЕПЛОСКОЇ РОЗРИВНОЇ ХВИЛI ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ ПРУЖНОГО АНIЗОТРОПНОГО СЕРЕДОВИЩА Г. М. IВ АН Ч Е Н К О Київський нацiональний унiверситет будiвництва i архiтектури Одержано 27.03.2003 З використанням нульового наближення променевого методу розв’язана задача про перебудову фронтiв квазiпо- здовжнiх i квазiпоперечних хвиль сильного розриву, якi формуються при взаємодiї неплоскої нестацiонарної хвилi з вiльною параболiчною поверхнею пружного трансверсально-iзотропного середовища. Для рiшення нелiнiйних рiв- нянь Снеллiуса застосовувався синтез методу продовження рiшення по параметру й алгоритму Ньютона. Проаналi- зованi ефекти розсiювання i фокусування нестацiонарних хвиль як окремi випадки бiфуркацiї фронтiв i утворення каустик. С использованием нулевого приближения лучевого метода решена задача о перестройке фронтов квазипродольных и квазипоперечных волн сильного разрыва, формирующихся при взаимодействии неплоской нестационарной волны со свободной параболической поверхностью упругой трансверсально-изотропной среды. Для решения нелинейных уравнений Снеллиуса применялся синтез метода продолжения решения по параметру и алгоритма Ньютона. Проана- лизированы эффекты рассеяния и фокусирования нестационарных волн как частные случаи бифуркации фронтов и образования каустик. The problem of reorganization of fronts of quasi-primary and quasi-secondary waves of strong discontinuity formed by interaction of a non-planar non-stationary wave with a free parabolic surface of elastic transversally isotropic medium is solved with the use of zero approximation of the ray method. For solution of the nonlinear Snell’s equations a synthesis of the method of continuation of solution on the parameter and the Newton’s algorithm was used. The effects of scattering and focussing of non-stationary waves as special cases of the front bifurcation and formation of caustics are analyzed. ВСТУП Питання математичного моделювання явищ фо- кусування i розсiювання нестацiонарних розрив- них хвиль поверхнями та межами роздiлу середо- вищ з рiзними механiчними властивостями вини- кають у сейсмологiї та сейсморозвiдцi. Вони осо- бливо актуальнi у тих випадках, коли необхiдно аналiзувати напружено-деформований стан зем- них порiд поблизу вiльних поверхонь. У гiрничiй справi такi ситуацiї виникають при дослiдженнi мi- цностi та стiйкостi гiрських виробок, у будiвниц- твi – при визначеннi динамiки поведiнки наземних i пiдземних споруд пiд впливом сейсмiчних i вибу- хових хвиль. Характерна особливiсть згаданих явищ полягає у тому, що вони можуть супроводжуватися кон- центрацiєю механiчної енергiї (кiнетичної й потен- цiйної) у зонах фокусування фронтiв розривних хвиль на криволiнiйних дiлянках вiльних повер- хонь гiрських порiд та на межах порiд з рiзни- ми механiчними властивостями. Це призводить до посилення дiї таких хвиль. В оптичних системах концентрацiя свiтлової енергiї вiдбувається у фо- кусних точках дзеркальних вiдбивачiв i лiнз. У те- орiї нестацiонарних хвиль у пружних середовищах явища концентрацiї енергiї є значно складнiшими, тому що тут польовi функцiї є векторними, а при вiдбиттi й заломленнi променiв формуються новi фронти хвиль, якi вiдрiзняються за своєю поляри- зацiєю й фазами. Зазначимо, що оскiльки практично неможли- во прогнозувати час i мiсце настання землетрусу (тим бiльше, запобiгти йому), то надзвичайно ва- жливо визначити для обраних регiонiв найбiльш небезпечнi зони, у яких сейсмiчна (розривна) хви- ля може фокусуватися, а її енергiя – концентрува- тися. Нестацiонарнi розривнi хвилi можуть пород- жуватися короткочасним високоiнтенсивним по- лем тиску, зосередженим у малiй областi – джерелi хвилi. Якщо в iзотропних середовищах фронти та- ких хвиль по вiддаленнi вiд джерела стають сфе- ричними, то фронти нестацiонарних хвиль в анi- зотропних середовищах можуть мати досить скла- дну конфiгурацiю. Окрiм того, в анiзотропних се- редовищах iнтенсивнiсть iмпульсу, який переноси- ться розривною хвилею, на її фронтах розподiля- ється нерiвномiрно. Оскiльки межа видiленої для розрахунку областi середовища еволюцiонує з роз- повсюдженням хвильового фронту, то для аналiзу таких швидкоплинних процесiв виявляються ма- лоефективними традицiйнi аналiтичнi й чисель- нi методи (зокрема, метод скiнченних елементiв). Для розв’язання таких задач рацiонально засто- c© Г. М. Iванченко, 2003 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 совувати променевi методи [1 – 9], якi дозволяють, використовуючи променевий ряд, одержувати до- сить точний розв’язок у прифронтових зонах хви- лi. У цьому разi рiвняння ейконалу описує еволю- цiю поверхнi фронту хвилi, нульовий член ряду визначає величину розриву польової функцiї на поверхнi фронту, а iншi члени описують змiну по- ля за фронтом. Якщо для нестацiонарної розрив- ної хвилi обмежитись урахуванням лише нульово- го члена, то можна визначати iмпульс, отриманий хвилею. Тодi можливо спростити задачу i застосу- вати прийоми стереомеханiчної теорiї удару [10], якi базуються на загальних теоремах механiки. Та- ку методику можна використовувати для дослiд- ження взаємодiї розривних хвиль з неоднорiдни- ми включеннями в грунтах i гiрських породах, а також для дослiдження перебудов фронтiв неста- цiонарних розривних хвиль на вiльних поверхнях анiзотропних середовищ. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Нехай вiсь пружної симетрiї нескiнченно висо- кого порядку трансверсально-iзотропного середо- вища спiвпадає з вiссю Ox2 правої декартової си- стеми координат Ox1x2x3. З огляду на властивос- тi симетрiї, компоненти тензора пружних постiй- них середовища cik,pq можна подати у формi ква- дратної матрицi (Cα,β), встановивши вiдповiднiсть мiж компонентами тензора й матрицi за схемою [5] (11) ↔ 1, (22) ↔ 2, (33) ↔ 3, (23) = (32) ↔ 4, (31) = (13) ↔ 5, (12) = (21) ↔ 6. (1) Виходячи з того, що пружнi властивостi трансверсально-iзотропного середовища характе- ризуються п’ятьма параметрами, матрицю Cα,β у вибранiй системi координат запишемо у виглядi [5] (Cα,β) =        λ+2µ λ λ−l 0 0 0 λ λ+2µ−p λ−l 0 0 0 λ−l λ−l λ+2µ 0 0 0 0 0 0 µ−m 0 0 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 µ−m        , (2) де λ i µ – параметри Ламе; l, m, p – пружнi пара- метри анiзотропiї. Нехай у деякiй точцi пружного середовища, яка належить осi симетрiї, породжена нестацiонарна хвиля сильного розриву. Розглянемо дифракцiю фронту такої хвилi при його взаємодiї з вiльною криволiнiйною осесиметричною поверхнею G, вiсь симетрiї якої також спiвпадає з вiссю Ox2. Рух частинок пружного середовища визнача- ється диференцiальними рiвняннями 3 ∑ k,p,q=1 λik,pq ∂2uq ∂xk∂xp − ∂2ui ∂t2 = 0, i = 1, 2, 3, (3) де λik,pq =cik,pq/ρ – зведенi параметри пружностi; ρ=const – щiльнiсть середовища; u1, u2, u3 – ком- поненти вектора пружних змiщень; t – час. Розв’я- зок системи (3) у формi сильного розриву [5], для якого на фронтi хвилi мають розриви першi похiд- нi функцiй u1, u2, u3, будуватимемо з використан- ням променевого методу [5]. В анiзотропних середовищах променi, уздовж яких поширюється хвильова енергiя, в загально- му випадку не ортогональнi до поверхонь хви- льових фронтiв. Тому розрiзнятимемо вектори фазової v й променевої ξ швидкостей, вважаю- чи, що фронтом хвилi є поверхня постiйної фази n·r−vt=const, елементарна площинка якої в око- лi деякої точки M з радiус-вектором r рухається уздовж мiсцевої одиничної нормалi n зi швидкiстю v. Для довiльно вибраного напрямку n iснує три величини фазових швидкостей v(r)(n) (r=1, 2, 3), квадрати яких є власними числами матрицi ко- ефiцiєнтiв однорiдної системи алгебраїчних рiв- нянь [5, 11] 3 ∑ k,p,q=1 λik,pqnknpAq − v2Ai = 0, i = 1, 2, 3. (4) Власнi вектори A (r) цiєї матрицi визначають по- ляризацiю кожної з трьох хвиль. Впорядкованi за величинами фазовi швидкостi будуть визначати рух квазiпоздовжньої (r=1) i двох квазiпопере- чних (r=2, 3) хвиль: v(1)(n) > v(2)(n) ≥ v(3)(n) > 0. Фронт кожної нестацiонарної розривної хвилi – поверхня постiйної фази – задовольняє спiввiдно- шення τ (x1, x2, x3) − t = 0, (5) де функцiя τ є розв’язком диференцiального рiв- няння [5] 3 ∑ i,k,p,q=1 λik,pqpkppA (r) q A (r) i = 1, (6) в якому через pk ≡ ∂τ ∂xk = nk v(r)(n) , k = 1, 2, 3 44 Г. М. Iванченко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 позначено компоненти вектора рефракцiї. Для побудови хвильового фронту (5) розривної хвилi в однорiдному анiзотропному середовищi не- обхiдно знайти розв’язок рiвнянь (6), якi за допо- могою методу характеристик зводяться до системи звичайних диференцiальних рiвнянь dxk/dτ = ξk = 3 ∑ i,p,q=1 λik,pqppA (r) q A (r) i , dpk/dτ = 0, k = 1, 2, 3. (7) Першi три рiвняння з формули (7) визначають закон розповсюдження фронту розривної хвилi уздовж променя зi швидкiстю ξ=ξ(r)(n, xk), а дру- га трiйка пiдтверджує прямолiнiйнiсть променiв в однорiдних (ρ=const) середовищах. Побудована за допомогою останньої системи сi- тка променiв i фронтiв дозволяє визначити змiну iнтенсивностi хвилi при переходi через фронт за допомогою ряду [5] uq = ∞ ∑ m=0 u(m) q (x1, x2, x3)× ×fm[t − τ (x1, x2, x3)], q = 1, 2, 3. (8) Поведiнку розривної хвилi в малому околi фрон- ту можна дослiджувати, утримуючи в розкладi (8) лише один член m=0. Вектор iнтенсивностi хви- льового поля u(0) в цьому випадку обчислюється з однорiдної системи рiвнянь 3 ∑ k,p,q=1 λik,pqpkppu (0) q − u (0) i = 0, i = 1, 2, 3, (9) розв’язок якої в променевiй системi координат τ , α, β має вигляд [5] u(0) q = c0(α, β)A (r) q (τ, α, β) √ J(τ, α, β) × ×f0[t − τ (x1, x2, x3)], q = 1, 2, 3, (10) де J =∂(x1, x2, x3)/∂(τ, α, β) – функцiональний ви- значник перетворення променевих координат у де- картовi. За допомогою спiввiдношень (7), (10) будується сiмейство прямолiнiйних променiв i послiдовностi фронту нестацiонарної розривної хвилi в однорiд- ному анiзотропному середовищi, а також обчислю- ються значення розриву польових функцiй на по- верхнi фронту, яка еволюцiонує. Рис. 1. Орiєнтацiя векторiв фазових швидкостей падаючої та вiдбитих хвиль 2. КIНЕМАТИЧНI Й ДИНАМIЧНI УМОВИ ВЗАЄМОДIЇ ХВИЛI З ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХ- НЕЮ Розв’язуючи поставлену осесиметричну задачу, досить обмежитись вивченням перебудови слiдiв фронтiв розривних хвиль на однiй з площин, якiй належить вiсь симетрiї (наприклад, x3 =0). Приймемо “локально-плоске наближення” [5], вiд- повiдно до якого у мiсцi падiння променя на еле- ментарну площинку вiльної поверхнi G у площи- нi падiння x3 =0 променi усiх породжених хвиль також будуть належати цiй площинi, тобто тре- тi компоненти векторiв поляризацiї усiх хвиль до- рiвнюють нулю. Кути Θν , (ν =1, 2), з якими вiд- битi квазiпоздовжня i квазiпоперечна хвилi вiд- ходять вiд вiльної поверхнi G, пiдпорядковуються узагальненому закону Снеллiуса. Останнiй визна- чається рiвностями [5, 11] sin(Θ− + γ) v−(Θ−) = sin(Θν − γ) vν(Θν ) , ν = 1, 2, (11) де γ – кут мiж напрямком осi Ox2 та нормаллю до поверхнi G у точцi падiння променя; Θ−, Θν , (ν =1, 2) – кути мiж напрямками хвильових нор- малей падаючої та вiдбитих у середовище хвиль i вiссю симетрiї – Ox2 (рис. 1). Значення iндекса ν =1 вiдповiдає квазiпоздовжнiй qP -хвилi, а ν =2 – квазiпоперечнiй qS-хвилi. У нижньому iндексi зна- ками “−” i “+” позначатимемо параметри хвиль до перебудови на поверхнi G i пiсля неї. Вiдмiннiсть спiввiдношень (11) вiд звичайного закону Снеллiуса полягає в залежностi знамен- никiв v−(Θ−) i vν(Θν) вiд вiдповiдних кутiв Θ−, Θν , та (неявно) вiд кута γ. Величини кутiв вiд- Г. М. Iванченко 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 Рис. 2. Орiєнтацiя векторiв променевих швидкостей та швидкостей змiщень частинок середовища биття променiв Θν (ν =1, 2) у кожнiй точцi вiль- ної поверхнi G визначаються розв’язком нелiнiй- ної системи рiвнянь (11). Для одержання конкре- тних числових результатiв використовувались ме- тоди Ньютона i продовження розв’язку по пара- метру [3]. За параметр, якому надається приро- щення, зручно вибрати величину кута γ. Так, для деякого вiдомого стану γ=γi, (Θν)i малому при- росту ведучого параметра ∆γi будуть вiдповiда- ти змiни направляючих кутiв фазових швидкостей вiдбитих хвиль: ∆Θi ν = f1∆Θi − − f2∆γ f3 + R, (12) де f1 = sin(Θi ν − γ)[∂vi − (Θi − )/∂Θ−] − cos(Θi − + γ)vi ν ; f2 = cos(Θi ν − γ)vi − (Θi − ) + cos(Θi − + γ)vi ν ; f3 = sin(Θi − + γ)[∂vi ν (Θi ν)/∂Θν ] − cos(Θi ν − γ)v−. Тут через R = sin(Θi ν − γ)v−(Θi − ) − sin(Θi − + γ)vi ν(Θi ν) позначено нев’язку на i-му кроцi побудови розв’яз- ку. Продовження розв’язку по параметру розпо- чинається зi стартового стану Θ=0, γ=0, в якому система (11) має тривiальний розв’язок. Рiвнiсть нулю знаменника у спiввiдношеннi (12) свiдчить про неоднозначнiсть розв’язку систе- ми (11) i вiдповiдає ефекту сходження (доторка- ння) й перетину вiдбитих променiв пiсля взаємодiї падаючих променiв з поверхнею G [12]. Нескiнчен- на кiлькiсть таких критичних ситуацiй обумовлює утворення огинаючої сiмейства променiв – каусти- ки. У випадках анiзотропних середовищ каусти- ки можуть призводити до формування геометрич- них особливостей на поверхнях вiдбитих хвильо- вих фронтiв, навiть при взаємодiї регулярного па- даючого хвильового фронту з плоскою вiльною по- верхнею G [13,14]. Особливостi хвильового фронту проявляються на каустиках, де вiдбувається його фокусування, яке супроводжується значним зро- станням iнтенсивностi хвильового поля в мiсцях геометричних особливостей. Динамiка взаємодiї нестацiонарної хвилi з вiль- ною поверхнею анiзотропного пружного середови- ща вивчається з використанням природної крайо- вої умови: рiвностi нулю вектора напружень на цiй поверхнi. Оскiльки дослiдження проводиться в рамках нульового наближення променевого ме- тоду, розв’язок задачi зручнiше сформулювати в термiнах розривiв швидкостей елементiв пружно- го середовища, а при формуваннi умов взаємодiї хвилi з вiльною поверхнею – скористатись iнте- гральним пiдходом до опису динамiчних проце- сiв на фронтах взаємодiючих хвиль i застосову- вати методи теорiї стереомеханiчного удару [10]. Крiм того, при розглядi взаємодiї хвиль, якi мають криволiнiйнi фронти, з криволiнiйною поверхнею G будемо використовувати концепцiю локально- плоскої постановки. Нехай промiнь квазiпоздовжньої нестацiонарної qP−-хвилi поширюється в пружному середовищi з фазовою швидкiстю v−, вектор якої утворює кут Θ− з вiссю симетрiї. У площинi x3 =0, перпенди- кулярнiй до площини фронту й поверхнi G, за до- помогою двох променiв l1 i l2 видiлимо в середо- вищi за фронтом хвилi елемент з товщиною v−∆t, де ∆t – малий вiдрiзок часу, який дозволяє нехту- вати змiною розривних компонентiв функцiй по- ля за фронтом i вважати їх сталими (рис. 2). Це припущення не суперечить нульовому наближен- ню променевого метода. Променi l1 i l2 падають на поверхню G пiд кутом Ψ− i спираються на нiй на кiнцi вiдрiзка одиничної довжини. Вiдстань мiж променями становить cosΨ−. Падiння розривної хвилi на вiльну поверхню G породжує в середовищi вiдбитi хвилi qP+ i qS+, якi також поляризованi в площинi падiння. Видi- леному за допомогою двох променiв елементу за фронтом падаючої хвилi будуть вiдповiдати еле- менти мiж вiдповiдними променями за фронтами утворених хвиль (див. рис. 2). Виходячи з iнте- грального пiдходу в теорiї розривних хвиль, який розглядає умови кiнематичної сумiсностi й дина- мiчного збереження на фронтi хвилi [5], формулю- вання динамiчної взаємодiї всiх згаданих хвиль з вiльною поверхнею G будемо проводити на базi за- кону збереження кiлькостi руху вiдносно елемен- 46 Г. М. Iванченко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 тiв середовища, залучених до руху. При визначеннi вектора кiлькостi руху ∆Q − ви- дiленого в падаючiй хвилi елемента прийнято, що розмiр усiх елементiв уздовж координати x3 дорiв- нює одиницi, а маса одного елемента середовища становить ρξ−∆t cosΨ−. Тому вектор кiлькостi ру- ху буде ∆Q − = ρξ−∆t cosΨ−u̇−. Пiсля взаємодiї падаючої хвилi з малою площин- кою на поверхнi G утворюються двi локально- плоскi вiдбитi хвилi. При цьому в шарах з товщи- нами vi∆t (i=1, 2) за фронтами компоненти фун- кцiй поля, якi набули розриву (для похiдних вiд u по нормалi i t, а також для напружень), залиша- ються сталими. В елементах цих шарiв, утворених взаємодiєю з видiленим елементом падаючої хви- лi (див. рис. 2), невiдомi значення швидкостей ча- стинок середовища мають позначення u̇ (1) + , u̇ (2) + (у вiдбитих qP+ i qS+ хвилях), а їхнi вектори кiлько- стi руху становлять ∆Q (r) + = ρ cos Ψ (r) + ξ (r) + ∆tu̇ (r) + , r = 1, 2. (13) Вектор змiщення частинок середовища за фронтом хвилi можна подати у виглядi [5] u(r) =u(r)A (r). З урахуванням цiєї рiвностi i спiв- вiдношень виду (13) одержимо ∆Q − = ρ cos Ψ−ξ−∆tu̇−(A1−i1 + A2−i2), (14) ∆Q (r) + = ρ cos Ψ (r) + ξ (r) + ∆tu̇+(A (r) 1+i1 + A (r) 2+i2). (15) Тут A (r) 1+, A (r) 2+ – проекцiї вектора поляризацiї вiд- битої хвилi типу (r) вiдповiдно на осi Ox1 i Ox2. Оскiльки кiлькiсть руху елементiв середовища, залучених до руху при взаємодiї падаючої хви- лi з вiльною поверхнею G, не змiнюється в ре- зультатi цiєї взаємодiї, умову динамiчної сумiсно- стi розв’язку на площинi G запишемо у виглядi ∆Q − = ∆Q (1) + + ∆Q (2) + . (16) Вважаючи значення u̇− для падаючої хвилi вiдо- мим, пiсля проектування векторного рiвняння (16) на осi Ox1, Ox2 одержимо два скалярнi рiвняння для визначення невiдомих швидкостей змiщення частинок середовища на фронтах хвиль обох по- ляризацiй u̇ (1) + , u̇ (2) + поблизу вiльної поверхнi пiсля взаємодiї з нею. Цi рiвняння можна записати у ма- тричнiй формi: ( ρ cos Ψ (1) + ξ (1) + A1 1+ ρ cos Ψ (2) + ξ (2) + A2 1+ ρ cos Ψ (1) + ξ (1) + A1 2+ ρ cos Ψ (2) + ξ (2) + A2 2+ ) × × ( u̇ (1) + u̇ (2) + ) = ( ρ cos Ψ−ξ−A1− ρ cos Ψ−ξ−A2− ) u̇−. (17) Рис. 3. Фокусування променiв вiдбитих квазiпоздовжньої (2) i квазiпоперечної (3) хвиль при падiннi неплоскої квазiпоздовжньої хвилi (1) на вiльну поверхню G При обчисленнi елементiв матрицi i коефiцiєнтiв лiвої частини (17) враховується такий взаємозв’я- зок мiж компонентами векторiв поляризацiї пада- ючої i вiдбитих хвиль: A (1) 1+ =A (1) 1−, A (2) 1+ =A (2) 1−. Визначенi з системи (17) величини швидкостей частинок середовища надалi вiдiграють роль по- чаткових умов u̇ (0) q (α, β, 0) i використовуються у формулах (10) для обчислення значень розривiв швидкостей на фронтах еволюцiонуючих вiдбитих у пружне середовище хвиль. 3. ЧИСЕЛЬНА РЕАЛIЗАЦIЯ ТА АНАЛIЗ РЕ- ЗУЛЬТАТIВ За допомогою розробленого алгоритму розв’яза- но задачу про дифракцiю на вiльнiй параболiчнiй поверхнi G трансверсально-iзотропного пружно- го середовища фронту квазiпоздовжньої нестацiо- нарної хвилi, яка поширюється вiд точкового дже- рела, розмiщеного на осi симетрiї поверхнi G, що спiвпадає з вiссю симетрiї пружних властивостей середовища. Розглядались середовища, пружнi власти- востi яких визначаються механiчними кон- стантами λ=3.409·109 Па, µ=1.364·1010 Па, ρ=2.760·103 кг/м 3 . Значення параметрiв анiзо- тропiї були вибранi такими: l=0.1λ, m=0.2µ, p=0.1(λ+2µ). Лiнiї перетину вiльної поверхнi Г. М. Iванченко 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 Рис. 4. Розсiювання променiв вiдбитих квазiпоздовжньої (2) й квазiпоперечної (3) хвиль при падiннi неплоскої квазiпоздовжньої хвилi (1) на вiльну поверхню G Рис. 5. Епюри полiв швидкостей змiщення на фронтах падаючої поздовжньої (1) й вiдбитих квазiпоздовжньої (2) та квазiпоперечної (3) хвиль з площиною x3 =0 вважались параболiчними: x2 =±0.055x2 1+4. Джерело розривної хвилi в усiх випадках розмiщувалось на початку координат. При взаємодiї розривної хвилi з опуклою вiль- ною поверхнею G (рис. 3) розглянутого середови- ща падаюча квазiпоздовжня хвиля (1) породжує вiдбитi квазiпоздовжню (2) i квазiпоперечну (3) хвилi. При цьому променi квазiпоздовжньої хви- лi фокусуються, а квазiпоперечної – утворюють каустики i формують зону фокусування поза по- лем рисунка. При певних геометричних i механiч- них умовах квазiпоперечна хвиля може розсiюва- тись такою поверхнею. Змiна параметрiв анiзотро- пiї призводить до перебудови геометрiї променiв – фокусування може проявлятись не так чiтко. На- явнiсть зон фокусування вiдбитих променiв i вели- чина фокусної вiдстанi залежать не лише вiд па- раметрiв пружностi середовища, а й вiд геометрiї поверхнi G. Зазначимо, що термiн “фокусна вiд- стань” тут можна використовувати лише умовно, оскiльки точного фокусування променiв у загаль- ному випадку немає. Увiгнута вiльна поверхня (рис. 4) трансверсально-iзотропного середовища з ти- ми ж механiчними характеристиками у випадку падiння квазiпоздовжньої хвилi (1) не фокусує променi вiдбитої квазiпоздовжньої хвилi (2), а розсiює їх. Однак квазiпоперечна хвиля (3) i в цьому випадку має особливiсть, яка проявляється на променях поблизу осi симетрiї. Iнтенсивнiсть розривних хвиль у пружному середовищi характеризується миттєвою змiною швидкостi змiщення частинок середовища при пе- реходi через поверхню фронту. На рис. 5 вона по- казана у виглядi побудованих в одному масшта- бi епюр на фронтах вiдбитих квазiпоздовжньої (2) i квазiпоперечної (3) хвиль, зафiксованих в один момент часу. Для порiвняння, iнтенсивнiсть па- даючої квазiпоздовжньої хвилi стиску (1) пока- зана для фронту, який досяг би вершини умов- ної поверхнi G у безмежному середовищi. Вiдбита квазiпоперечна хвиля (2) змiнює свою фазу на про- тилежну i при наближеннi до зони фокусування набуває такої швидкостi змiщення частинок сере- довища, модуль якої значно перевищує величину iнтенсивностi падаючої хвилi. У той же час, ква- зiпоперечна хвиля (3) виявляється кососиметри- чною, причому її iнтенсивнiсть зростає з вiддале- нням вiд осi симетрiї. В мiсцях фокусування про- менiв чи утворення каустик iнтенсивнiсть розрив- них хвиль (у межах прийнятої iдеалiзацiї) повинна стрiмко зростати. ВИСНОВКИ Фронти нестацiонарних розривних хвиль, по- роджених точковим джерелом у трансверсально- iзотропних середовищах, мають складну конфi- гурацiю. Iнтенсивнiсть iмпульсу, який переноси- ться ними, розподiляється по фронту нерiвномiр- но. Взаємодiя розривної хвилi з вiльною поверх- нею середовища спричиняє виникнення вiдбитих квазiпоздовжньої та квазiпоперечної хвиль. Опу- кла вiльна поверхня середовища фокусує або роз- сiює вiдбитi квазiпоздовжнi хвилi. При цьому роз- ташування й величина зони фокусування зале- жать вiд механiчних параметрiв середовища, гео- метрiї вiльної поверхнi й розмiщення джерела хви- лi. Квазiпоперечна хвиля на опуклiй поверхнi має особливостi i також може розсiюватись. Увiгнута поверхня трансверсально-iзотропного середовища 48 Г. М. Iванченко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 43 – 49 завжди розсiює як квазiпоздовжнi, так i квазiпо- перечнi хвилi. В мiсцях фокусування променiв та на каустиках iнтенсивнiсть iмпульсу хвилi значно зростає за рахунок її концентрацiї. 1. Гуляев В. И., Иванченко Г. М. Фокусировка и рассеивание плоских ударных волн на поверхно- сти границы раздела упругих сред // Прикл. мех. техн. физ.– 2000.– 41, N 1.– С. 21–27. 2. Гуляев В. И., Иванченко Г. М., Яковенко Е. В. Динамическое взаимодействие плоской ударной волны с плоскостью раздела трансверсально- изотропных упругих сред // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 2.– С. 29–37. 3. Гуляев В. И., Луговой П. З., Иванченко Г. М., Яко- венко Е. В. Дифракция ударной волны на кри- волинейной поверхности раздела трансверсально- изотропных упругих сред // Прикл. мат. мех.– 2000.– 64, N 3.– С. 394–402. 4. Иванченко Г. М. Излучение нестационарных волн от эллиптической полости в трансверсально- изотропной упругой среде // Прикл. мех.– 2002.– 38, N 4.– С. 30–36. 5. Петрашень Г. И. Распространение волн в анизо- тропных упругих средах.– Л.: Наука, 1980.– 280 с. 6. Подильчук Ю. Н., Рубцов Ю. К. Лучевые методы в теории распространения и рассеяния волн.– К.: Наукова думка, 1988.– 220 с. 7. Gulyayev V. I., Ivanchenko G. M. Discontinuous wave interaction with interfaces between anisotropic elastic media // Int. J. Solids Struct.– 2003.– 40, N 4.– P. 237–247. 8. Hanyda A., Seredynska M. Asymptotic ray theory in poro- and viscoelastic media // Wave Motion.– 1999.– 30.– P. 175–195. 9. Shuvalov A. L., Gorkunova A. S. Cutting-of at reflection-transmission of acoustic waves in ani- sotropic media with sliding-contact interface // Wave Motion.– 1999.– 30.– P. 345–365. 10. Гольдсмит В. Удар. Теория и механические свойства.– М.: Наука, 1965.– 456 с. 11. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах.– М.: Наука, 1965.– 386 с. 12. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвле- ния решений нелинейных уравнений.– М.: Наука, 1969.– 527 с. 13. Арнольд В. И. Критические точки функций и классификация каустик // Успехи мат. наук.– 1974.– 29,3.– С. 243–244. 14. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред.– М.: Наука, 1980.– 304 с. Г. М. Iванченко 49

Фокусування променів неплоскої розривної хвилі вільною поверхнею пружного анізотропного середовища

Institution

Ähnliche Einträge