Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо

Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо

Для моделей типу Фітцх’ю—Нагумо, які застосовують для опису сейсмічної активізації, наведено приклади квазіперіодичної динаміки та існування гомоклінічних траєкторій, що відповідають біжучим імпульсам. Для двомодової бездифузійної моделі отримано динамічну систему рівнянь, що пов’язує амплітуди перш...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
1. Verfasser: Спиртус, В.Б.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2011
Schriftenreihe:Геофизический журнал
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96857
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо / В.Б. Спиртус // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 2. — С. 57-63. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-96857
record_format dspace
spelling irk-123456789-968572016-03-22T03:02:18Z Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо Спиртус, В.Б. Для моделей типу Фітцх’ю—Нагумо, які застосовують для опису сейсмічної активізації, наведено приклади квазіперіодичної динаміки та існування гомоклінічних траєкторій, що відповідають біжучим імпульсам. Для двомодової бездифузійної моделі отримано динамічну систему рівнянь, що пов’язує амплітуди першої і третьої мод. Як фізичне пояснення явища сейсмічного затихання запропоновано конкуренцію мод. This paper considers the models of the Fitzhugh—Nagumo type, used to description of seismic activation. The examples of quasi-periodic dynamics and existence of homoclinic trajectories proper to the travelling impulses are resulted. For a twomode nondiffusion model the dynamic system of equations, linking amplitudes of the first and third fashions, is got. As physical explanation of the phenomenon of seismic quiescence competition of fashions is offered. В статье для моделей типа Фитцхью-Нагумо, применяющихся к описанию сейсмической активизации, приведены примеры квазипериодической динамики и существования гомоклинических траекторий, соответствующих бегущим импульсам. Для двухмодовой бездиффузионной модели получена динамическая система уравнений, связывающая амплитуды первой и третьей мод. В качестве физического объяснения явления сейсмического затишья предложена конкуренция мод. 2011 Article Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо / В.Б. Спиртус // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 2. — С. 57-63. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0203-3100 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96857 550.48 ru Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Для моделей типу Фітцх’ю—Нагумо, які застосовують для опису сейсмічної активізації, наведено приклади квазіперіодичної динаміки та існування гомоклінічних траєкторій, що відповідають біжучим імпульсам. Для двомодової бездифузійної моделі отримано динамічну систему рівнянь, що пов’язує амплітуди першої і третьої мод. Як фізичне пояснення явища сейсмічного затихання запропоновано конкуренцію мод.
format Article
author Спиртус, В.Б.
spellingShingle Спиртус, В.Б.
Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо
Геофизический журнал
author_facet Спиртус, В.Б.
author_sort Спиртус, В.Б.
title Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо
title_short Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо
title_full Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо
title_fullStr Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо
title_full_unstemmed Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо
title_sort особенности динамики сейсмической активности в моделях типа фитцхью—нагумо
publisher Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96857
citation_txt Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо / В.Б. Спиртус // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 2. — С. 57-63. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series Геофизический журнал
work_keys_str_mv AT spirtusvb osobennostidinamikisejsmičeskojaktivnostivmodelâhtipafitchʹûnagumo
first_indexed 2025-07-07T04:10:22Z
last_indexed 2025-07-07T04:10:22Z
_version_ 1836959843488890880
fulltext ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ В МОДЕЛЯХ... Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 57 УДК 550.48 Особенности динамики сейсмической активности в моделях типа Фитцхью—Нагумо © В. Б. Спиртус, 2011 Институт геофизики НАН Украины, Киев, Украина Поступила 6 февраля 2010 г. Представлено членом редколлегии Б. Г. Пустовитенко Для моделей типу Фітцх’ю—Нагумо, які застосовують для опису сейсмічної активізації, наведено приклади квазіперіодичної динаміки та існування гомоклінічних траєкторій, що відповідають біжучим імпульсам. Для двомодової бездифузійної моделі отримано динамічну систему рівнянь, що пов’язує амплітуди першої і третьої мод. Як фізичне пояснення явища сейсмічного затихання запропоновано конкуренцію мод. This paper considers the models of the Fitzhugh—Nagumo type, used to description of seismic activation. The examples of quasi-periodic dynamics and existence of homoclinic trajectories proper to the travelling impulses are resulted. For a twomode nondiffusion model the dynamic system of equations, linking amplitudes of the first and third fashions, is got. As physical explanation of the phenomenon of seismic quiescence competition of fashions is offered. Введение. Теоретические модели сейсмиче- ской активности (СА) должны заключать в себе потенциальные возможности описания надежно установленных в сейсмологии явлений: циклов повторения сейсмических событий определен- ного ранга [Смирнов, 2003], существования периодов затишья перед многими крупными землетрясениями [Wyss et al., 2004; Соболев, 2008], распространения деформационных волн сейсмогеодинамической активизации — «гео- нов» [Уломов, 1993]. В развиваемой нами концепции предпола- гается, что сейсмогенная среда является воз- будимой, а уединенные волны миграции СА представляют собой автосолитоны [Спиртус, Пустовитенко, 2005; Спиртус, 2005; 2008]. Пространственно-временное развитие сейсмо- геодинамических процессов неразрывно связано с изменением напряженно-деформированного состояния среды и энергетического потенциала ее структурных элементов. В базовой модели активной среды с восстановлением в качестве «ингибитора» предлагается использовать сте- пень энергетической открытости среды. Ранее было показано, что в пренебрежении диффузи- ей (точечная модель) можно выделить четыре «такта» сейсмического цикла, один из которых соответствует сейсмическому затишью [Спир- тус, 2005]. В работах [Спиртус, Пустовитенко, 2005; Спиртус, 2008] продемонстрировано, что модели типа Фитцхью—Нагумо (ФХН) для одно- мерного случая способны объяснить наблюдав- шееся расщепление потока сейсмичности на две ветви после последнего крупного Крымского землетрясения 1927 г. (M=6,8) [Пустовитенко, Пустовитенко, 2002]. Как известно, математическими образами бегущих волн в фазовом представлении явля- ются предельные циклы для волновых трей- нов и гомоклинические траектории для волн- импульсов [Холодниок и др., 1991; Березовская, Карев, 1999]. Уединенные волны и волновые цуги (спиральные волны в двумерном случае) — типичная картина для экспериментальных и теоретических исследований возбудимой среды [Tyson, Keener,1988; Cross, Honenberg, 1993]. В экологии трейны и импульсы имеют особое значение, так как соответствующие им режимы интерпретируются как пятна высокой популяционной плотности — «динамические паттерны» [Березовская, Карев, 1999]. Этот наблюдаемый для многих экосистем феномен имеет аналог в сейсмологии: волны сейсмогео- динамической активизации [Уломов и др., 2006]. Заметим, что в последней работе разнонаправ- ленные тренды на некоторых профилях (осо- бенно Кипр — Кавказ) создают квазипериоди- ческие осцилляции сейсмической активизации внутри пространственно-временных каналов. В данной работе применительно к конкрет- ным моделям типа ФХН показаны примеры квазипериодической динамики и существо- В. Б. СПИРТУС 58 Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 вания гомоклинических траекторий. Также применительно к этим моделям возбудимой среды исследуются физические предпосыл- ки возникновения эффекта сейсмического затишья. Примеры волновых трейнов и уединенных волн в моделях типа ФХН. Уравнения модели реакция—диффузия имеют вид 2 tu f u v u( , ) , tv g u v= ( , ) . (1) Здесь предполагается, что диффузией второй переменной можно пренебречь. В приложении к описанию сейсмической активности u — параметр, отражающий сейс- мическую «температуру» на определенном масштабном (энергетическом) уровне, v ха- рактеризует степень энергетической открыто- сти или неконсолидированности характерного блока среды [Спиртус, 2008]. Будем рассматривать две модели типа ФХН: ( ) 3 3f u v au u v, , ( ) ( )g u v u v, , (1а) ( ) ( )( )1f u v u u u v p, , ( ) ( )g u v u v, . (1б) Исследуем сначала возможность периоди- ческих колебаний СА в модели ФХН (1), (1а). Параметр , определяющий соотношение вре- менных масштабов полей u, v, выберем как управляющий, остальные считаются фикси- рованными, без ущерба для общности поло- жим a=1. Нетрудно видеть, что число особых точек определяется вещественными корнями кубического полинома. Ограничимся случаем единственной особой точки (u0, v0). Например, если =0,5, координаты особой точки будут ( ) ( ) 2 3 2 0 1 3 2 1 9 3 1 1 9 3 u = / / , 0 0 u v = . Покажем с помощью численных расчетов су- ществование предельных циклов в окрестности состояния равновесия, возникающих в результате субкритической бифуркации Хопфа. Используя анзац =x ct, можно для движу- щейся со скоростью системы отсчета получить обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) третьего порядка: 21 0uu Au u F u c( ) ( ) , (2) где A c c , ( )3( ) 1 3 F u u u . Стандартным способом уравнение (2) можно представить в виде системы трех ОДУ перво- го порядка: 1u z= , 1 2z z= , ( )21 2 2 1z u F uz Az c ( ) . (3) Система (3) имеет стационарные решения вида (u0, 0,0), где u0 — корень уравнения F(u)=0. Нетрудно видеть, что при = 0,5 и < 0 корень u0 > 0 уравнения u3/6 + u /2 + = 0 будет един- ственным. Рассмотрим линеаризацию системы (3) вбли- зи этого стационарного состояния. Обозначая 0u u u , получаем ( )2 0 26 2F u u u u u q( ) , 2 3 1 1 2z q u q z Az= + + + ... , где многоточие соответствует нелинейным членам, 2 0 1 1 u q = , 2 2 0 0 2q u u / , 2 3 q q c = . Матрица линеаризации G преобразованной системы уравнений в окрестности соответству- ющей особой точки имеет вид 3 1 0 1 0 0 0 1G q q A = . Известно, что качественное поведение фазо- вых траекторий системы ОДУ зависит от ин- вариантов, выражающихся через собственные значения матрицы G. Последние находятся из ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ В МОДЕЛЯХ... Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 59 характеристического уравнения ( ) 3 2 1 3 0G E A q qDet . (4) Бифуркации Хопфа соответствует случай, когда пара комплексно-сопряженных собствен- ных значений становятся чисто мнимыми, при этом 1 = A, 2,3 = ± Ki. Отсюда 3 1 1 q q = , (5) 2 1q K . (6) Из условия (5) можно получить квадратное уравнение для нахождения параметра H : ( )2 22 02 2 0 4 172 0 3 c ucu . Численные расчеты показывают, что для этих значений H даже при невыполнении условия (6), но малых q1 > 0 в некоторой окрестности точки u0 происходят квазипериодические колебания u (рис. 1, 2). В проекции на фазовую плоскость u, u проявляется жесткая потеря устойчиво- сти, связанная с субкритической бифуркаци- ей Хопфа. Траектории вблизи особой точки плотные, близкие к замкнутым. Вычисленные для расчетных фазовых кривых односторонние спектры Фурье (рис. 1, б, 2, б) соответствуют квазигармоническим сигналам. С ростом скоро- сти c растет амплитуда колебаний u, максимумы спектров смещаются в область низких частот. Будем считать c скоростью распространения геона [Уломов, 1993], с прохождением которого в определенном регионе связаны вариации СА. Тогда приведенные выше расчеты допуска- ют следующую физическую интерпретацию. Наиболее быстро раскачивается сейсмическая «температура» при имеющемся значительном начальном отклонении от стационарного со- стояния. Большие колебания u отвечают бо- лее высокоскоростным возмущениям и за- хватывают более крупные масштабы среды. На качественном уровне — это достаточно правдоподобные и осмысленные результаты. Разумеется, в рамках грубого приближения однородной среды трудно рассчитывать вы- светить какие-либо особо тонкие детали, они могут проявиться только при учете адекватных реальности начально-краевых условий. Существование бегущих импульсов в систе- мах реакция—диффузия известно достаточно давно [Tyson, Keener,1988; Cross, Honenberg, 1993]. Для моделей ФХН типа (1), (1б) можно привести некоторые результаты из статьи [Champneys et al., 2007]. В этой работе приня- ты такие значения параметров: 5,0 ; 0,1 ; 1,0 ; 0,01 , (7) при вариации скорости волны s (отличается знаком от c) и параметра p. Последний имеет регулятивную функцию. Для мембран в био- физике — это величина приложенного стиму- лирующего тока. В приложении к сейсмологии, вероятно, можно ассоциировать параметр p со средней скоростью деформации в регионе, определяющей уровень СА. Проведенное исследование показало, что Рис. 1. Квазипериодические колебания u (а), односторонние спектры Фурье (б), фазовый портрет в плоскости u, (в) для системы (3) в окрестности особой точки вблизи бифуркации Хопфа. Значения параметров: =0,5; = 0,4; =0,05; c=3. В. Б. СПИРТУС 60 Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 уединенные импульсы лежат в параметриче- ской плоскости на C-образной кривой слева от U-образной кривой бифуркаций Хопфа (рис. 3, а) [Champneys et al., 2007]. При этом из двух различных скоростей волн только им- пульсы на верхней, быстрой ветви C-кривой являются устойчивыми. Простейшая гомокли- ническая орбита вблизи нижнего конца «ба- нана» (рис. 3, б) может трансформироваться в более сложные формы. Таким образом, для моделей ФХН типа (1), (1б) существуют (при малых значениях параметра p) устойчивые бегущие импульсы, причем скорость их s = sHom(p) растет с ростом p до определенного предела. Возникновение сейсмического затишья в двухмодовой модели типа ФХН. Сейсмиче- ское затишье — это аномальное снижение СА в некоторой пространственно-временной области в период, предшествующий сильному землетрясению. Из многочисленных исследо- ваний, посвященных этой тематике, приведем две иллюстрации. В работе [Wyss et al., 2004] показана реаль- ность эффекта аномального затишья перед двумя крупными землетрясениями на острове Сахалин. Достоверность выводов не вызывает сомнений, поскольку она подтверждена неза- висимыми методами: RTL и Z-картированием. Затишье наблюдалось в обоих случаях около 2,5 лет в областях порядка сотни километров. На рис. 4 отчетливо видно снижение сейсмич- ности перед Нефтегорским землетрясением 27 мая 1995 г. с Mw = 7,6. Перед землетрясением с Mw = 6,4 8 июня 2008 г. в западной Греции, если брать период в пять месяцев по сравнению с предшествую- щим десятилетием в масштабе всей Греции, наблюдалась резкая активизация СА в диапа- зоне магнитуд M = 2,8÷4,0 (рис. 5, а). Однако при рассмотрении сравнительно малого под- Рис. 2. То же, что и на рис. 1. Значения параметров, =0,2, c=10. Рис. 3. Бифуркационные кривые для бегущих волн системы уравнений (1), (1б) с параметрами (7) (а) и гомоклиническая орбита для p 0,06, s=0,894386, соответствующая одиночному импульсу (б) [Champneys et al., 2007]. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ В МОДЕЛЯХ... Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 61 региона, содержащего очаг землетрясения, в этой же окрестности магнитуд уже налицо спад (рис. 5, б), т. е. проявляется эффект сейсмиче- ского затишья [Chouliaras, 2009]. Данный при- мер показывает важность локализации области исследуемого феномена. Среди возможных причин сейсмического затишья фигурируют повышение прочности среды, изменение напряженного состояния в очаге вследствие развития неустойчивой де- формации, изменение тензора тектонических напряжений из-за крипа на разломе, переход окружающей очаг среды в квазипластическое состояние [Соболев, 2008]. По замечанию Г. А. Соболева «к настоящему времени физи- ческие причины, обуславливающие явления сейсмического затишья … обсуждаются только на уровне гипотез» [Wyss et al., 2004]. Модель возбудимой среды, предлагая неко- торое «сокращенное описание» напряженно- деформированного состояния сейсмогенной среды, должна на своем языке выражать сущ- ность физических процессов, ведущих к эф- фекту возникновения сейсмического затишья. Приступая к реализации этого плана, запишем модель ФХН (1), (1а) без диффузии (точечная кинетика) в виде квазилинейной системы ОДУ второго порядка: ( )2 0 1 u u F u u+ = , , (8) где F — нелинейная функция, 0 — собственная частота нелинейного осциллятора. Здесь ( )2 0 1 a , ( ) 2 3 1 2 3 0F u u k u k uu k u, , (9) ( ) 2 1 0k a , 2 2 0k , ( )k a 1 3 1 3 , ( ) 10 1 a . В одномерном случае рассматривается крае- вая задача на отрезке [0, L] с условиями Ди- рихле на его концах, так что решение можно представить в виде ряда Фурье по косинусам с волновыми числами, кратными k = L. Известно, что в системах, содержащих куби- ческую нелинейность, наиболее эффективны- ми являются взаимодействия между волнами с соотношением периодов 1:3 [Васильев и др., 1987]. Такого же порядка отношение размеров смежных по крупности блоков в иерархически упорядоченной блоковой среде [Садовский, Писаренко, 1991]. Поэтому для двухмодовой модели типа ФХН можно строить динамическую систему уравнений, связывающую амплитуды первой (A1) и третьей (A3) мод. На этом пути ищем решение в виде ( )cos cos cosu A A kr A kr1 3 3 , (10) где фаза t0 . Для получения укорочен- ных уравнений используется метод Ван дер Поля [Рабинович, Трубецков, 2000]. Подставив выражение (10) в уравнение (8), для левой части его получим 1 2 00 21 AA u u kr sin cos Рис. 4. Число землетрясений в точке (142,9 E, 52,85 N) — середине афтершоковой области Нефтегорского глав- ного толчка 04.1995. Все события расположены в круге с центром в этой точке и удовлетворяют следующим усло- виям: Kmin 8,0, H 80 км, эпицентральное расстояние ri Rmax = 2r0 = 400 км, t ti Tmax = 2t0=2 года [Wyss et al., 2004]. Рис. 5. Графики годового хода сейсмичности (некумулятив- ные) как функции магнитуды для двух периодов времени: а — для всей Греции (34 —42 N, 19 —29 E), б — подрегиона (37 —39 N, 20 —23,5 E); 1 — период с 1998 по 2008 гг., 2 — за пять месяцев 2008 г. [Chouliaras, 2009]. В. Б. СПИРТУС 62 Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 ( )23 0 2 3 AA kr O sin cos , (11) где ( )F u u A max , . Для расчета правой части уравнения (8) применяются следующие тождества: ( )2 2 1 3 1 1 23 2 krA kr A kr A + + = + coscos cos ( ) 2 1 3 3 1 62 4 2 krA A kr kr A + + + + coscos cos , ( )3 3 1 3 1 3 33 4 kr krA kr A kr A + + = + cos coscos cos 2 1 3 2 3 53 4 kr kr krA A + + + + cos cos cos 2 1 3 2 5 73 4 kr kr krA A + + + + cos cos cos 3 3 3 3 9 4 kr krA + + cos cos . Вычисляя выражение 2uu в функции F, получаем ( )(2 1 3 0 23 2uu D kr D kr B B kr= + + +cos cos cos )4 64 6B kr B kr+ +cos cos . Здесь ( )1 1 0 1D A A Acos sin , ( )3 3 0 3D A A Acos sin , 2 2 2 2 1 3 0 2 A A B A + cos , 2 1 2 1 32 A B A A= + , 4 1 3B A A= , 2 3 6 2 A B = . Отсюда, пренебрегая гармониками кроме первой и третьей, можно найти, что 2 1 3 3uu G kr G kr= +cos cos , ( ) cosF k D k G k B kr1 1 2 1 3 1 ( )1 3 2 3 3 3 03k D k G k B krcos , где ( ) ( )1 1 0 2 3 2 42 2G D B B D B B= + + + , ( ) ( )3 3 0 6 1 2 42 2G D B B D B B= + + + , ( )3 2 2 1 1 1 3 1 3 3 2 4 B A A A A A= + + , ( )3 2 3 3 1 1 3 3 1 6 3 4 B A A A A= + + . Таким образом, результат подстановки вы- ражения (10) в уравнение (11) можно записать в виде 1 1 1 2 1 3 1 0 2AA k D k G k B kr sin cos (12) 3 1 3 2 3 3 3 0 0 2 3 AA k D k G k B kr sin cos . Умножим далее обе части уравнения (12) на sin и усредним по времени. Тогда нетруд- но получить искомую систему амплитудных уравнений: ( )2 2 1 1 1 1 3 3 1 3 4 2 8 aA A A A A A , ( )3 2 3 3 3 1 1 3 3 1 4 2 8 aA A A A A A . (13) Легко убедиться, что при q = a > 0 система имеет четыре состояния равновесия, которые являются устойчивыми узлами, причем три из них расположены в нефизической области (рис. 6). Два устойчивых узла расположены на оси A3. Эллипс 2 2 1 1 3 33 4 4A A A A q+ + = вместе с этой осью представляют две ветви изоклины перво- го уравнения (13). На пересечении эллипса с изоклиной второго уравнения (кривая третьего порядка) находятся два других устойчивых узла. Как видно из рис. 6, часть фазовых траекторий из физической области A1 > 0, A3 > 0 заканчи- Рис. 6. Фазовый портрет системы амплитудных уравнений (12): 1 — две изоклины первого уравнения, 2 — изоклина второго уравнения, 3 — расчетные фазовые траектории. Звездочками отмечены устойчивые узлы. Поле направлений получено с помощью программы PPLANE6. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ В МОДЕЛЯХ... Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 63 вается в устойчивом узле на оси A3, другая же часть уходит в нефизическую область, пере- секая ось A3 = 0. Таким образом, двухчастотный режим для данного нелинейного осциллятора не устанав- ливается, а имеет место конкуренция мод, т. е. одна из мод подавляет другую. «Выживание» той или иной моды определяется начальными значениями. Подобный эффект известен как в теоретической экологии, так и в радиоэлектро- нике: двухконтурный автогенератор способен в зависимости от параметров работать в ре- жиме генерации одной или двух мод [Раби- нович, Трубецков, 2000]. Представляется, что конкуренцию мод можно считать физическим объяснением возникновения сейсмического затишья в рассматриваемой модели возбуди- мой среды. Березовская Ф. С., Кареев Г. П. Бифуркации бегу- щих волн в популяционных моделях с таксисом // Успехи физ. наук. — 1999. — 169. — № 9. — С. 1011—1024. Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автовол- новые процессы. — Москва: Наука, 1987. — 240 с. Пустовитенко Б. Г., Пустовитенко А. А. Миграция очагов землетрясений Черноморского региона // Материалы 5 Севастопольского Междунар. семи- нара «Фундаментальные и прикладные проблемы мониторинга и прогноза природных, техноген- ных и социальных катастроф». — Севастополь, 2002. — С. 69—70. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — Москва: Наука, 2000. — 560 с. Садовский М. А., Писаренко В. Ф. Сейсмический процесс в блоковой среде. — Москва: Наука, 1991. — 96 с. Смирнов В. Б. Оценка длительности цикла разру- шения литосферы Земли по данным каталогов землетрясений // Физика Земли. — 2003. — № 10. — С. 13—32. Соболев Г. А. Сейсмологические особенности под- готовки двух сильных землетрясений // Физика Земли. — 2008. — № 11. — С. 20—30. Спиртус В. Б. Исследование геосолитонов в Крымско- Черноморском регионе в моделях типа Фитц- хью—Нагумо // Геофиз. журн. — 2008. — 30, № 5. — С. 91—100. Спиртус В. Б. Связь эволюции сейсмической актив- ности с кинетикой энергонасыщенности сейсмо- активной среды // Геофиз. журн. — 2005. — 27, № 3. — С. 512—519. Список литературы Спиртус В. Б., Пустовитенко Б. Г. Описание явления миграции сейсмической активности в рамках моделей возбудимых сред // Докл. НАН Украины. —2005. — № 3. — С. 120—124. Уломов В. И. Волны сейсмогеодинамической активи- зации и долгосрочный прогноз землетрясений // Физика Земли. — 1993. — № 4. — С. 43—53. Уломов В. И., Данилова Т. И., Медведева Н. С., По- лякова Т. П. О сейсмогеодинамике линеамент- ных структур горного обрамления Скифско- Туранской плиты // Физика Земли. — 2006. — № 7. — С. 17—33. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — Москва: Мир, 1991. — 368 с. Champneys A. R., Kirk V., Knobloch E., Oldeman B. E., Sneyd J. When Shil’nikov meets Hopf in excitable systems // Siam J. on Appl. Dynamical Systems. — 2007. — 6. —P. 663—693. Chouliaras G. Seismicity anomalies prior to 8 June 2008, Mw=6,4 earthquake in Western Greece // Natural Hazards and Earth System Sciences. — 2009. — 9. — Р. 327—335. Cross M. C., Honenberg P. C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. — 1993. — 65. — P. 851—1112. Tyson J. J., Keener J. P. Singular perturbation theory of traveling waves in excitable media (a review) // Physica D. — 1988. — 32. — P. 327—361. Wyss M., Sobolev G., Clippard D. Seismic quiescence precursors to two M7 earthquakes on Sakhalin Island, measured by two methods // Earth Planets Space. — 2004. — 56. — P. 725—740.

Ähnliche Einträge