Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння

Ошибка трансформаций модуля градиента силы тяжести как гармонических функций обусловливается кривизной эквипотенциальных поверхностей поля амплитуды аномалий, меры области трансформации и достигает, в зависимости от вида трансформации, недопустимых величин. Интерпретация гравианомалий как гармоничес...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Дубовенко, Ю.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2011
Schriftenreihe:	Геофизический журнал
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96864
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 2. — С. 135-143. — Бібліогр.: 28 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-96864
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-968642016-03-22T03:02:14Z Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння Дубовенко, Ю.І. Ошибка трансформаций модуля градиента силы тяжести как гармонических функций обусловливается кривизной эквипотенциальных поверхностей поля амплитуды аномалий, меры области трансформации и достигает, в зависимости от вида трансформации, недопустимых величин. Интерпретация гравианомалий как гармонических функций неэффективна для региональных структур. The transformation error of anomalies of the MGGP as a harmonic functions depends on the field’s equipotential surface curvature, anomaly amplitude and the measure of transformation area, reaching according to the kind of transformation unreasonable values. Gravity anomalies treatment as a harmonic functions has poor effectiveness for the deep regional structures. 2011 Article Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 2. — С. 135-143. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. 0203-3100 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96864 550.831+838 uk Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Ошибка трансформаций модуля градиента силы тяжести как гармонических функций обусловливается кривизной эквипотенциальных поверхностей поля амплитуды аномалий, меры области трансформации и достигает, в зависимости от вида трансформации, недопустимых величин. Интерпретация гравианомалий как гармонических функций неэффективна для региональных структур.
format	Article
author	Дубовенко, Ю.І.
spellingShingle	Дубовенко, Ю.І. Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння Геофизический журнал
author_facet	Дубовенко, Ю.І.
author_sort	Дубовенко, Ю.І.
title	Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння
title_short	Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння
title_full	Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння
title_fullStr	Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння
title_full_unstemmed	Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння
title_sort	про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96864
citation_txt	Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння / Ю.І. Дубовенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 2. — С. 135-143. — Бібліогр.: 28 назв. — укр.
series	Геофизический журнал
work_keys_str_mv	AT dubovenkoûí prorozdílʹnuzdatnístʹredukcíjanomalíjsilitâžínnâ
first_indexed	2025-07-07T04:10:57Z
last_indexed	2025-07-07T04:10:57Z
_version_	1836959879652179968
fulltext	ПРО РОЗДІЛЬНУ ЗДАТНІСТЬ РЕДУКЦІЙ АНОМАЛІЙ СИЛИ ТЯЖІННЯ Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 135 Гравіметрія, як й інші науки про Землю, до- сягла у своєму розвитку етапу, на якому отри- мання нових узагальнених знань про глибинну будову земної кори і мантії неможливе, як від- значають автори [Страхов и др., 2001; Черный, 1992; Интерпретация ..., 1992], без постановки глобальних експериментів, що вимагає обґрун- тування застосовності наявних методів інтер- претації потенціальних полів до глобальних масштабів. Формалізація моделей середовища та апріорної інформації відбувається на осно- ві апроксимаційного підходу [Страхов и др., 2001]. Особливої значущості набувають про- блеми повного видобутку корисної інформації через редукції, трансформації та комплексуван- ня методів [Гравиразведка ..., 1990] і побудову адекватної глобальної нормальної моделі Землі, щодо якої ці трансформації здійснюють. Постає питання роздільної здатності методу. Актуальність повного видобутку корисної інформації з даних гравіметрії засвідчує чимало публікацій [Оганесян, 2004; Балк, 1989; Страхов, 1990; Старостенко 1978; Дубовенко, 2009а], як і наведена в них бібліографія. У руслі розв’язання цієї проблеми формується нове відгалуження в теорії інтерпретації даних гравіметрії — теорія відновлення модуля градієнта потенціалу сили тяжіння (МГПСТ) [Черный, 1992]; в її межах до- сліджена нова некласична задача відновлення МГПСТ [Дубовенко, 2009а, б; 2010]. 1. Актуальність проблеми. В процесі інтер- претації гравіметричних спостережень чільне місце займає редукція сили тяжіння за допомо- УДК 550.831+838 Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння © Ю. І. Дубовенко, 2011 Інститут геофізики НАН України, Київ, Україна Надійшла 16 серпня 2009 р. Представлено членом редколегії В. І. Старостенком Ошибка трансформаций модуля градиента силы тяжести как гармонических функций обусловливается кривизной эквипотенциальных поверхностей поля амплитуды аномалий, меры области трансформации и достигает, в зависимости от вида трансформации, недопустимых величин. Интерпретация гравианомалий как гармонических функций неэффективна для региональных структур. The transformation error of anomalies of the MGGP as a harmonic functions depends on the field’s equipotential surface curvature, anomaly amplitude and the measure of transformation area, reaching according to the kind of transformation unreasonable values. Gravity anomalies treatment as a harmonic functions has poor effectiveness for the deep regional structures. гою методів аналітичного продовження, серед яких особливо відзначимо задачу відновлення потенціалу в заданій області. Темі редукції сили тяжіння присвячена численна бібліографія [Гра- виразведка..., 1990; Старостенко, 1978; Дубо- венко, 2009а б; 2010; Черный, 1969; Алексидзе, 1965; Черный, Якимчик, 1999; Страхов, 1964], але досі наближено через неточність постановки класичних задач теорії потенціалу. Дійсно, за розв’язання зовнішньої задачі Не- ймана для рівняння Лапласа, як і редукції за методом Стокса—Молоденського, маємо точ- ний диференціальний оператор для потенціалу сили тяжіння, але наближені граничні умови: земна поверхня не є еквіпотенціальною, а сила тяжіння не є лінійною комбінацією гармонічної функції та її нормальної похідної. В редукції за допомогою розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа, навпаки, маємо наближене диференціальне рівняння, оскільки величина g(x) негармонічна [Алексидзе, 1965], зате точ- ні граничні умови. Першому методу надають перевагу в геодезії, а другий є традиційним для гравіметрії. Така підміна виявляє недоліки класичної редукції, якими можна нехтувати в малих масштабах, але які стають відчутними уже в регіональних побудовах. Нагадаємо основні вади редукцій: розрахунок нормального поля Землі і по- правок за висоту точки спостереження прово- дять з різних моделей нормальної Землі; слабко враховано розподіл густини в поправ- ці за проміжний шар і топопоправці (за рельєф); Ю. І. ДУБОВЕНКО 136 Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 аналітичне продовження аномалій сили тя- жіння як гармонічних функцій дійсне лише для областей малої міри [Черный, Якимчик, 1999]; неврахування різної напрямленості векто- рів нормальної γ(x) і реальної g(x) сили тяжіння провокує, як показано нижче, похибку майже в 200 мГал за максимального розходження векто- рів до 40 , а всередині такої похибки може схо- ватись реальна аномалія від глибинних джерел. Ці чинники обмежують сферу застосування наближених суто класичних методів редукції об- ластями малої міри. Іншими словами, традиційні методи гравіметрії, основані на моделях плоскої Землі і гармонічних аномалій сили тяжіння, заданих на необмежених множинах, не мають належної роздільної здатності для інтерпретації гравіаномалій від глибинних аномалієтвірних джерел, незважаючи на їхнє поширення в гео- фізичній практиці. Мода на подібні глибинні гус- тинні побудови, як зазначено у статті [Черный, Якимчик, 1999], веде до неоправданої дискре- дитації методів аналітичного продовження че- рез їх застосування у неналежних геологічних ситуаціях (зачаровані магією сучасної наукової графіки, інтерпретатори інколи забувають, що в основу тлумачення закладені прості моделі середовища з усіма властивими їм припущен- нями й обмеженнями). Внаслідок значущості похибок перерахунку аномалій класичними методами для вивчення глибин Землі, очевид- но, необхідно задіяти повнішу інформацію про поведінку аномалій сили тяжіння. Вихід з цього тупика неможливий через про- сте вдосконалення алгоритмів продовження, а пролягає через указання меж застосовності стандартних методів [Серкеров, 1990], чисель- ну оцінку похибок. Це дасть змогу розділити «сфери впливу» класичної теорії потенціалу і «глобальних» методів. 2. Витоки проблеми. Класичну методику від- новлення потенціалу заклав К. Юнг [Юнг, 1936], запропонувавши вважати прирости МГПСТ в локальній області вертикальною складовою сили тяжіння1. Для наближеного аналітичного продовження сили тяжіння в малій області він 1 Частинні похідні потенціалу за будь-яким напрямом збігаються з проекціями аномалій за цим напрямом, тобто W gz z , де z спрямоване по нормалі до рівневої поверхні еліпсоїда — генератора аномального поля γ. На площах діаметром в кількадесят кілометрів зміною напряму можна знехтувати, і тоді аномалія δgz буде наближено гармонічною функцією, оскільки через неперервність других похідних потенціалу W маємо 0 W g Wz z z , що дає змогу відновлювати потен- ціал, як гармонічну функцію. переформулював задачу з правою частиною у вигляді наближених значень сили тяжіння в задачу Неймана для рівняння Лапласа, що дало змогу задіяти для аналітичного продовження апа- рат теорії гармонічних функцій. З кінця 1950- х років за допомогою аналітичного продовження досі розв’язують задачі локалізації аномальних джерел далеко не завжди в локальних областях, про пагубність чого вже згадувалось. Перелом настав з виходом праці [Алекси- дзе, 1965], в якій вперше відзначено, що ано- малії сили тяжіння загалом не є гармонічними функціями, якими їх у першому наближенні вважав К. Юнг, але праця пройшла повз увагу геофізиків. Основні труднощі редукування по- лягають в тому, що для повного опису значень поля сили тяжіння неможливо отримати лінійне диференціальне рівняння, якщо невідомі форма й густина збурювальних тіл, тому доводиться від- шукувати деякі наближення збурень гравіполя. Редукцію саме в такій постановці досліджував М. А. Алексідзе, відшукуючи гармонічне набли- ження реального розподілу сили тяжіння в дея- кій обмеженій замкнутій області, розміри якої узгоджені з точністю вхідних даних. У побудові цієї локальної області використано властивість гармонічності похибки апроксимування значень сили тяжіння. Звісно, точність апроксимації обернено пропорційна розмірам області, в якій апроксимується сила тяжіння. Детальний опис гравіаномалій в глобальній області наведено у статті [Черный, 1982]. З огляду на викладене доцільно переглянути методику відновлення потенціалу в глобальній області за його слідами (чи його похідних) на межі області (задачі Діріхле, Неймана чи Коші [Левенков, 1987]). Дійсно, гармонічний потен- ціал однозначно відновлюється у глобальній області за точних граничних умов, як розв’язок відповідної межової задачі для рівняння Лапласа [Сретенский, 1946], але саме точні умови не- доступні через методичні чи економічні мірку- вання2. Лишається лазівка у вигляді розв’язання задачі Пуанкаре (про косу похідну), але для її розв’язання не вистачає граничних даних сто- совно орієнтації вектора сили тяжіння щодо земної поверхні. 3. Розбіжність векторів. Напруженість поля сили тяжіння має вигляд ( ) ( )g x W x 2 Задіяти виміряні значення сили тяжіння як точні граничні умови неможливо через їх негармонічність, негладкість та обтяження різноманітними похибками. ПРО РОЗДІЛЬНУ ЗДАТНІСТЬ РЕДУКЦІЙ АНОМАЛІЙ СИЛИ ТЯЖІННЯ Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 137 ( ) ( )( ) 3 1 ( )( ) ,i ii x xW x g x n x x n , (1) де ( )( ) cos ,i i x x n x n , 1 3,i — напрямні косину- си одиничного вектора ( )n x внутрішньої норма- лі до еквіпотенціальної поверхні dW(x W(y)=Cx у точці x. Очевидна ортогональність напруже- ності поля до поверхні W(z), тобто вимірюється насправді приріст градієнта потенціалу, а не один з його складників, як це зазвичай уявля- ють [Веселов, Сагитов, 1968]. Пояснімо це твердження детальніше. Під час вимірювань гравіметр установлюють у кож- ній точці xi профілю ∂y за рівнем на еквіпотен- ціальній поверхні W(z)=Cxi, яка перетинає ∂y у цій точці (рис. 1). Просторову орієнтацію гра- віметра під час вимірювання не фіксують, тому нахили приладу зі зміщенням по профілю ∂y лишаються невідомими. Різниця цих нахилів зумовлена різною кривизною кожної з непа- ралельних одна одній еквіпотенціальних повер- хонь W(z)=Cxi, Cxi≠Cxi+1 і описується приростом кута між нормалями xi) і n(xi) до поверхні Землі ∂y і еліпсоїда W(z), що перетинаються в точках xi і xi+1, або, по суті, значеннями напрямних коси- нусів cos(n, xi). Величини напрямних косинусів у точках рельєфу за профілем не визначають через надмірну складність таких вимірювань, тому гравіметричні виміри є лише приростами абсолютних значень сили тяжіння (аналітичною апроксимацією яких є значення МГПСТ) між поверхнями W(z)=Cxi. Відтак, під словами «зна- чення сили тяжіння» слід розуміти «значення МГПСТ». Для тлумачення цих значень виконують редукцію сили тяжіння, виміряної на різних рівневих поверхнях, до єдиного рівня, зазвичай, рівня геоїда (принагідно зазначимо, що уточ- нення локального геоїда в межах України, що є окремою проблемою, теж приведе до уточнення виконуваних редукцій). Під редукцією значень МГПСТ розумітимемо таку задачу: визначити за заданими на поверхні ∂y значеннями g(x), x₂∂y її значення g(ξ) у деякій точці ξ поза по- верхнею ∂y. Зауваження 1. Якщо функція g(x) задана лише на частині поверхні ∂y (звична справа в геофізичній практиці), незалежно від того, в яку область вона продовжується, задача реду- кування g(x) є некоректною [Черный, 1992]. Якщо для аналізу графіка за графічним зо- браженням не вистачає роздільної здатності, застосовують його диференціальні властивості. За аналогією, для наближеного опису значень g(x) в глобальній області на додаток до їхнього «графіка» у вигляді ізоповерхонь рівня задіємо диференціальні властивості цих поверхонь, що характеризуються відношенням (1). Для від- новлення з гарантованою точністю поля сили тяжіння за його гармонічним наближенням g(x) слід розв’язувати відповідну межову задачу в області малої міри. За допомогою сучасних ме- тодів [Интерпретация ..., 1992; Гравиразведка ..., 1990; Балк, 1989; Старостенко, 1978; Булах и др., 1976] подібні задачі розв’язують із точніс- тю до деякої сталої інтегрування, що залежить від форми і розмірів області розв’язку. У разі відновлень значень сили тяжіння в глобальній області за її значеннями в локальних підоблас- тях отримані розв’язки неможливо «зшити», як ковдру з клаптів, через відсутність прийнятних критеріїв склеювання локальних гармонічних наближень3. У праці [Алексидзе, 1985] її зведено до розв’язання внутрішньої задачі Діріхле для рів- няння Лапласа в локальній області; в роботі [Черный, 1992] доведено коректність її поста- новки на множинах витокоподібно зображених 3 Точність продовжених як гармонічні функції значень сили тяжіння істотно залежить від розмірів області, в якій поставлена межова задача, тому для отриман- ня результату з заданою точністю нерідко доводиться відповідно зменшувати розміри області. При редукції в глобальну область її розбивають на локальні підоб- ласті, розв’язуючи відповідну задачу для кожної з них, за місцевим «нульовим рівнем» продовження і місцевої точності розв’язку. Ця точність залежить ще й від точ- ності граничних даних, розмірів і форми локальної під- області, а різниця рівнів, від яких обчислюють аномалії, може сягати кількасот мілігалів залежно від величини ундуляцій рельєфу і напруженості поля сили тяжіння. Отже, продовження в глобальну область не дає змоги обчислити в ній аномалії від єдиного рівня. Рис. 1. Приріст кутів між еквіпотенціальними поверхнями та фізичною поверхнею Землі в різних точках профілю. Ю. І. ДУБОВЕНКО 138 Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 функцій у вигляді потенціалів простого шару, поширених на опуклій поверхні Ляпунова, і, в данину заслугам попередника у дослідженні теми, названо задачу його іменем. Задача Алексідзе у постановці Чорного [Ду- бовенко, 2009а] означає: знайти функцію W(x), x₂∂y, яка задовольняє в необмеженій замкнутій області y y y+ + рівняння Лапласа ΔW(x)=0, x₂y+, якщо в будь-якій точці межі ∂y області і на нескінченно віддаленій точці вона задовольняє умови: 23 2 1 ( ) ( ) kk W x g x x , x₂∂y, W(x при x , де g(x) — задана неперервна функція; y– — обмежена область мас Землі; y+ — її необ- межене доповнення без мас; ∂y — ляпуновська межа y– і y+, така, що 3( ) \y R y , y y y (фізична поверхня Землі). Вважаємо, що густина σ(ξ) є інтегровною функцією [Картвелишвили, 1983], хоча вона може бути практично більш гладкою. Питання розв’язності і властивостей задачі висвітлені в роботах [Дубовенко, 2009а, б; 2010]. Визначимо кількісний вимір поняття «область малої міри», в якій справедлива властивість гармонічності функції g(x). 4. Оцінка міри області. Детальна оцінка міри області означає вияснення зв’язку геометрії об- ласті не лише з точністю вимірів і величиною аномалій, а й з геометрією еквіпотенціальних поверхонь і точністю гармонічної апроксимації аномалій. Спробуємо дати її простіше, ніж у статті [Черный, Якимчик, 1999]. Щоб оцінити по черзі вклад кожної з цих величин, згадаймо опис значень сили тяжіння в глобальній області [Черный, 1982]. Класичну аномалію загалом ви- значають як різницю значень спостереженого і нормального полів [Веселов, Сагитов, 1968]: ( ) ( ) ( )g x g x x 2 ( )2 ( ) sin 2 T xg x , (3) в якій γ(x) — напруженість нормального поля сили тяжіння, що визначається виразом 3 1 grad( )( ) ( ) cosi ii xU xx U x x v ( )grad grad ( )( ) ( ) cos ( ) cos T xW x T x g x , де T(x)=W(x)–U(x) — збурювальний потенціал, як різниці реального і нормального потенціа- лів. Останній визначено у близькій області 0y простої геометрії (близькість областей 0y і y– означає близькість меж ∂y0 і ∂y, описану мірою відхилення поверхні стиснутого сфероїда ∂y0 від земного рельєфу ∂y), з такими ж масами, як в y–, розподіленими «правильно» у певному сенсі [Картвелишвили, 1983]. Істинна аномалія сили тяжіння ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T x W x n x U xx x n x x x — нормальна похідна збурювального потенціалу T(x), виходячи з (3), дорівнює 22 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )sin xx g x x g x , (4) де (x) — кут між нормалями n(x) і H(x) у точці x (відхилення виска), cos (x)=(n(x),H(x)) і γ(x) — нормальна сила тяжіння від відомого розподілу мас усередині сфероїда ∂y0. Це визначення ано- малій відрізняється від класичного (3), в якому аномалії є відхиленнями реального поля сили тяжіння Землі від його осереднення — апрок- симації поля сфероїда з невідомим розподілом мас усередині нього. Відсутність інформації про розподіл нормальних мас ускладнює інтерпре- тацію гравіаномалій. До речі, значення величини нормального поля можна отримати і в інший спосіб (немає в [Черный, 1982]), визначаючи косинус кута між нормалями до поверхні Землі і до поверхні рівня в поточній точці у вигляді ( ) ( ) ( ) 3 1 , cos cos , cos ,i i i g x x n g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1x T x T x x g x g x g x , звідки ( ) ( ) ( ) cos T x x g x . Прикметно, що зображення аномалії (3) не є однозначним; його альтернативна подача ( ) ( ) ( )22 2 sin T x g x x n аналогічна за точністю, але має інший напрям нормалей ν і n. Оскільки вектор g(x) має уні- кальний нефіксований напрям у кожній точці поверхні ∂y, то обчислення за (3) майже завжди відрізняються від визначення істинного поля. Геометрична інтерпретація істинної аномалії очевидна з рис. 2, де CF — проекція Δg(x) на нормаль ν, CD — відхилення класичної анома- лії δg(x) від проекції CF. Отже, g=OB=OD, γ=OF, Δg=BF=OF=OB= γ–g , δg= γ – g . Істинна ано- малія має ясне аналітичне зображення ( ) ( ) ( )g x g x x 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) cosg x x g x x . ПРО РОЗДІЛЬНУ ЗДАТНІСТЬ РЕДУКЦІЙ АНОМАЛІЙ СИЛИ ТЯЖІННЯ Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 139 Виразивши величину g(x) через вираз (3) і підставивши її в останню рівність, отримаємо ( )g x (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 sin sin g x g x x x x . Навіть якщо класична аномалія дорівнює нулю, істинна відрізняється від неї на величину 0 2 2 ( ) ( ) sing x x . (6) За відносної зміни нормальної сили тяжіння від полюса до екватора в 3000 мГал і варіації відхилення виска 0—40” така різниця (6) ви- пливає у величину до 200 мГал (див. таблицю), в якій цілком може «уміститись» аномалія від глибинних неоднорідностей. Це підтверджено тим, що експериментально отримані для деяких районів Землі відхилення виска [Lerch et al., 1979] не можна пояснити лише видимою нерів- ністю рельєфу, доводиться постулювати їхній зв’язок з аномальною будовою кори і мантії. Прикметно, що розміри локальних областей чітко визначені і не надто великі; за межами окреслених ними зон закінчується сфера впливу класичних трансформацій і починається сфера впливу нелінійних наближень, отриманих за- вдяки розв’язанню задачі Алексідзе. Звичай- но, результати, наведені у таблиці, приблизні, оскільки врахована лише так звана операторна похибка ε0, а на оцінки впливають і похибка ви- мірювань ε1, і похибка округлень ε2, які мають кумулятивний ефект. Відзначено [Алексидзе, 1985], що якби ано- малія δg(x) була високоточною, то перерахунок у зовнішньому просторі був би неможливим через істотну залежність рівняння сили тяжіння від швидкості зміни кутів між напрямом аномалії і координатними осями, тобто величини a(x) [Черный, 1970]. Фіксувати швидкість такого обертання неможливо, а нехтування цим від- хиленням істотно спотворює перерахунок (на величину (6)). В такій ситуації доречне припу- щення К. Юнга, очевидне з рис. 2: класична ано- малія з достатньою точністю, що не перевищує величини CD=OF–OC або ( ) 2 0 2 2sing x чи- сельно збігається з проекцією вектора аномалії на напрям вектора γ(x), тобто ( ) ( ) 0 T x g x (див. таблицю). Розглядаючи аномалії δg(x) з точністю до ε0, ми відкидаємо величини порядку 1–cos(n, ν), де 21 2 2 cos( , ) sinn Рис. 2. Геометричне тлумачення аномалій. Пояснення у тексті. Залежність розмірів l локальної області (км) від похибки гармо- нічної апроксимації ε0 і амплітуд τ0 аномалій сили тяжіння ε0 τ0, мГал 10 20 30 40 50 100 150 300 500 0,1 42 22 14 0,2 84 42 28 22 16 0,5 212 106 70 54 42 22 1 424 212 142 106 86 42 28 10 2 142 170 84 56 28 10 5 212 142 70 42 10 424 284 142 84 20 950 568 284 170 Ю. І. ДУБОВЕНКО 140 Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 ( ) ( ) ( ) 3 1 cos , cos , cos ,k k k k n x x n x ( ) ( ) ( ) 3 1 cos , cos , cos ,k k k k x x x n . Якщо нормальний потенціал вибрано вдало, то в замкнутій необмеженій області y ( )3 \R y завжди виконується умова ( ) ( ) 0max max x y x y T x x , тому можна знехтувати вказаною величиною. На основі наведених даних доходимо висно- вку, що з точністю до порядку 0,001≤ε0≤0,05 мГал аномалії сили тяжіння δg(x), x₂∂y є значеннями модуля проекції градієнта збурювального по- тенціалу T(x) на напрям нормалі ν до еквіпо- тенціальної поверхні нормального поля сили тяжіння, тобто ( ) ( )max x y T x g x ( ) ( ) ( ) 0grad cos , iT x x g x . (7) У прийнятій нами системі координат напрям нормалі збігається з віссю z, тому справедливим буде відношення ( ) ( ) 0 T P g x z у будь-якій точці P(x) деякого околу yi. Якщо аномалії ви- значити з точністю ε1, а складники градієнта по горизонталі ( ) 2 1 2 0 ,i i T x x не перевищу- ють заданої константи, то за умови, що внески кожного з напрямних косинусів cos(xi, ν), i=1,2 і 1–cos(x3, ν) однакові, легко знайти мажоранту для виразу (7): ( )3 1cos ,x , ( )3 1cos ,x , ( ) 0 1 2 1 2 3 cos , , ,ix i . (8) У визначеній у такий спосіб області аномалії сили тяжіння δg(x) з точністю ε0+ε1 можна вва- жати гармонічними функціями. З геометричної позиції обмеження (8) є умовою обертання нор- малі ν(P) навколо осі z, спрямованій по нормалі ν(x) до еквіпотенціальної поверхні U(x)=C нор- мального поля в декартовій системі координат з центром в точці x. За рухом навколо нормалі ν(x) нормаль ν(P) описує в першому наближенні поверхню кругового конуса. Якщо вершину цього конуса помістити в точку перетину нормалі ν(x) з еквіпотенціаль- ною площиною еліпсоїда (рис. 3), то локальна область буде обмежена бічною поверхнею ко- нуса, який містить нескінченно віддалену точку по осі z, та земним рельєфом. З рис. 3 очевидно, що радіус вирізаної на поверхні Землі області ∂yi не перевищує величини l=Rδ, де 0 1 23 , R — радіус Землі у поточній точці P. Згідно з правилами диференціальної геометрії, конус, зорієнтований, як на рис. 3, матиме вершину в центрі середньої кривизни нормальних перети- нів еквіпотенціальної поверхні U(x)=C у точці 0, тому у виразі l=Rδ радіус R характеризуватиме середній радіус кривизни нормальних перетинів поверхні U(x0). Виходячи з (7) і (8), робимо висновок, що діаметр основи локальної області не переви- щує величини ( ) ( ) ( ) 0 1 3 2 2 3max x y T x d x l R x , тобто діаметр плоского околу ∂yi області вимі- рювань за відомих точності вимірювань ε1 та апроксимації ε0 (ці апріорі відомі величини визначають за методикою спостережень) тим більший, чим менша амплітуда ( ) 3 max x y T x x спо- стереженої аномалії, а за фіксованої амплітуди росте разом зі зібльшенням похибки вимірю- вань. Нескладні розрахунки показують, що для того щоб описати аномалію сили тяжіння амплітудою 30 мГал з точністю 0,1—0,5 мГал, не слід виходити за межі зони d=8÷3 км. Для точної оцінки розмірів локальної області необхідно точно знати аномальні висоти гео- їда. Для уточнення фігури Землі за формулою Брунса необхідно з високою точністю визначити збурювальний потенціал T(x); це можна зробити, Рис. 3. Геометричне тлумачення форми і розміру локальної області гармонічності гравітаційних аномалій. Пояснення у тексті. ПРО РОЗДІЛЬНУ ЗДАТНІСТЬ РЕДУКЦІЙ АНОМАЛІЙ СИЛИ ТЯЖІННЯ Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 141 наприклад, за алгоритмом [Черный, Якимчик, 1999] у вигляді розв’язання послідовності задач Неймана із спеціальними граничними умовами. У першому наближенні можна скористатись спо- собом, наведеним у статті [Дубовенко, 2008а, б]. Зауваження 2. Якщо для перетворення аномалій δg(x) використовують конструкції з нескінченними межами по осях (xi), i=1,2 (типу інтегралів Пуассона), то розміри локального околу уздовж осі z різко скорочуються до 0,2l. 5. Похибка трансформацій. Якщо нормаль- ний сфероїд і розподіл мас у ньому вибрані вдало, відхилення виска у районах зі «спо- кійним» рельєфом не перевищує 60” і оцін- ка зверху останнього доданка у (4) не більша 22 0 05 2 ( )( )sin ,xg x < мГал, x₂∂y. Зв’язок геометрії локальної області з кривизною еквіпотенціаль- них поверхонь знайдемо через різницю у околі точки x₂y+ функцій u(y) і ν(y) продовження ано- малій τ(y), y₂∂y(x), розв’язавши відповідні задачі Діріхле для рівнянь аномалій сили тяжіння і Лапласа [Черный, Якимчик, 1999]: 2 0( ) ( ) ( )u y a y u y , ( )y y x y+ , ( ) ( )u y y , ( )y y x , (9) 0( )y , ( )y y x y+ , ( ) ( )y y , ( )y y x . (10) Задачі (9) і (10) збігаються при a2(y)=0, y₂y(x) (вектори одиничних нормалей n(x) у довільних точках x паралельні, наближення до такої ідеа- лізації є в областях малої міри — в них напрям «повного» вектора сили тяжіння незмінний, а відносні флуктуації сили тяжіння від середньо- го її значення невеликі). В іншому разі оцінка точності трансформацій гравіаномалій як гар- монічних функцій ( )2 1 1 2 ( )( ) ( ) ( ) max ( ) max y G xy G x G x a u y d y , (11) ( )grad ( ) max ( ( ), ( ) y G x T y x x 4 0 41 c a x a b , (12) (a, b — велика і мала півосі сфероїда ∂Ux). По- хибки продовжених аномалій сили тяжіння внаслідок заміни субгармонічної функції гар- монічною функцією залежать від кривизни еквіпотенціальних поверхонь поля, величини аномалій і міри локальної області, у яку здій- снюють продовження. Похибка трансформації аномалії τ(y), y₂∂y(x) за (11) для обчислення параметрів будови шару Землі завтовшки 200 км в обмеженій області ( )y x (усічений консферичними поверхнями круглий конус із вершиною у центрі Землі, осно- ви якого віддалені від центра на R і R1, верхня основа збігається з поверхнею ∂y і має діаметр 0—2200 км, x +200=R1=6371,1 км — середній радіус Землі) дорівнює 2 0 2 1 2 1 1 2( cos ) cosr r r ( ) 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 cos cos ln cos cos r r r r r r r r ( ) 21 2 1 2 1 cos cos cos ln cos cos r r r , де 0 ( ) ( ) max ( ) min ( ) y y x y y x y y — амплітуда аномалії, r=R1/R. Для локальної області ( )y x ε/τ0=0,5·10–3÷ ÷0,3·10–1, і за відомої амплітуди аномалії лег- ко знайти похибку відхилень субгармонічної функції від гармонічної, але амплітуди аномалій невідомі. Нехай у локальних областях типу ( )y x τ0≥10000 мГал, тоді 5 ≤ ε ≤ 290 мГал. Похибка продовжених аномалій τ(x), x₂∂y, як гармонічних функцій в область y(x)⁵y+, за умови, що амплітуди продовжених аномалій τ0≤150 мГал, а локальні області ( )y x — усіче- ні конуси (0°30 ≤ϕ≤10°; 0≤β≤360°; 6371,1≤ρ≤ ≤ 6571,1 км), нижні основи яких збігаються із земним рельєфом, — за виразом (11) становить 0,07≤ε≤6,3 мГал. За (12), якщо діаметри нижніх основ сім’ї усічених конусів 110≤ δx ≤2200 км сфероїда ∂y: a=6378,2 км, b=6356,9 км, то 3,7≤ε≤73,4 мГал. Оцінки (11) і (12) різні в області y(x)⁵y+ через те, що в них замість кривизни a2(η) гравіполя в точках ( )y x (залежної від особливостей регіонального поля і поточної ано- малії) використані її наближення ( )0 2a , ( )2 1a у вигляді концентричних сфер і конфокальних еліпсоїдів. Область малої міри ( )y x перебуває поблизу локальних і на достатній віддалі від регіональних особливостей поля, тому 2 2 ( )( ) max ( ) max ( )i y xy x a a , i =0,1, тобто обидві оцінки похибки є заниже- ними. Похибка (11) 2 2 7 0 1 0 5 10( ) ( ) ,a a істот- но менша за оцінку (12) 2 2 0 1 0 0( ) ( , , )a a a Ю. І. ДУБОВЕНКО 142 Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 =0,22·10–3: у першій формулі застосовано на- ближення 2 ( )ia , а у другій — 2 ( )ia . Оцінки похибок трансформації в кожній ло- кальній області ( )y x і y(y), навіть перетнутих між собою, не дають змоги оцінити загальну похибку трансформації в об’єднанні y(x)∪y(y), x≠y₂R(3). Якщо у точці x відхилення виска ϑ(x)=60 , а в точці y — ϑ(y)=0, то «істинна» аномалія δg(x) у точці x, у вигляді модуля різниці градієнтів реального й нормального потенціалів, дорівнює ( )g x ( ) ( )x xg = 2 2 2 24 4 2 2 ( ) ( )( )sin ( ) ( )sin ( )x xx x x x , а у точці y δg(y)=τ(y). У переході з локаль- ної області ( )y x до області y(y) істинна ано- малія відрізнятиметься від класичної на 2 285 2 ( )( ) ( )sin xg x x мГал, навіть якщо класична аномалія τ(x)=0 в точках x і y. Транс- формація поля τ(η) (Δu(η)≠0) у кожній з областей ( )y x і y(y) при τ(x)=τ(y)=0 і x≠0 як гармонічних функцій v(η) не дозволяє виявити істинну ано- малію, яка сягає величин, порівняних зі зна- ченнями трансформованих аномалій, навіть у районах зі спокійним рельєфом. Отже, перетворення поля аномалій сили тяжіння в різних локальних областях за пра- вилами трансформації гармонічних функцій не дає можливості виявити істинну аномалію, яка навіть у районах із незбуреним рельєфом може бути зіставною з редукованою. Саме тому область застосування методів інтерпретації ано- малій сили тяжіння, розвинутих на основі теорії гармонічних функцій, обмежується межами розвідувальної геофізики; їх не можна застосу- вати без додаткових обмежень і вдосконалень для вивчення глибинної регіональної структури Землі. У зв’язку з цим риторичним є питання, враховувати чи ні природу аномалій під час гли- бинного вивчення Землі, і не має альтернативи задача Алексідзе [Дубовенко, 2009а]. У світлі зазначеного вона є однією з найактуальніших проблем гравіметрії в ХХІ ст. і повністю вкла- дається в схему розвитку геофізики (аналітич- ні апроксимації середовища і поля, нелінійні задачі, дискретні постановки, великорозмірні системи рівнянь) [Страхов и др., 2001]. Автор висловлює глибоку вдячність акаде- міку НАН України В. І. Старостенку за цінні зауваження. Алексидзе М. А. Редукция силы тяжести. — Тбилиси: Мецниереба, 1965. — 256 с. Алексидзе М. А. Решение некоторых основных за- дач гравиметрии. — Тбилиси: Мецниереба, 1985. — 412 с. Балк П. И. Детерминистские модели интерпретации гравитационных полей: Автореф. дис. ... д-ра физ.- мат. наук. — Киев, 1989. — 34 с. Булах Е. Г., Ржаницын В. А., Маркова М. Н. Приме- нение метода минимизации для решения задач структурной геологии по данным гравиметрии. — Киев: Наук. думка, 1976. — 218 с. Веселов К. Е., Сагитов М. У. Гравиметрическая раз- ведка. — Москва: Недра, 1968. — 256 с. Гравиразведка: Справочник геофизика / Под. ред. Е. А. Мудрецовой, К. Е. Веселова. — 2-е изд., пе- рераб. и доп. — Москва: Недра, 1990. — 607 с. Дубовенко Ю. І. Деякі особливості уточнення ре- льєфу геоїда за даними супутникової гравіметрії // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Геологія. — 2008б. — Вип. 44. — С. 30—36. Дубовенко Ю. І. До уточнення аномалій геоїда // Гео- физ. журн. — 2008а. — 30, № 4. — С. 112—122. Список літератури Дубовенко Ю. І. Задача Алексідзе для відновлення по- тенціалу сили тяжіння // Геофиз. журн. — 2009а. — 31, № 6. — С. 132—139. Дубовенко Ю. І. Редукція задачі Алексідзе для рівнян- ня сили тяжіння // Доп. НАН України. — 2009б. — № 12. — С. 112—119. Дубовенко Ю. І. Розв’язність задачі Алексідзе // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 115—122. Интерпретация гравитационных и магнитных по- лей: Сб. науч. тр. / Отв. ред. В. И. Старостенко. — Киев: Наук. думка, 1992. — 248 с. Картвелишвили К. М. Планетарная плотностная мо- дель и нормальное гравитационное поле Земли. — Москва: Наука, 1983. — 94 с. Левенков Я. Б. О решении полной задачи Коши для уравнения Лапласа в произвольной двумерной области // Геофиз. журн. — 1987. — 9, № 4. — С. 76—81. Оганесян С. М. Регулярные методы решения трехмерных задач гравиметрии / Отв. ред. Ста- ростенко В. И. — Ереван: «Гитутюн» НАН РА, 2004. — 381 с. ПРО РОЗДІЛЬНУ ЗДАТНІСТЬ РЕДУКЦІЙ АНОМАЛІЙ СИЛИ ТЯЖІННЯ Геофизический журнал № 2, Т. 33, 2011 143 Серкеров С. А. Теория гравитационного и магнитного потенциалов. — Москва: Наука, 1990. — 304 с. Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. — Ленинград: ОГИЗ Гостехиздат, 1946. — 318 с. Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. — Киев: Наук. думка, 1978. — 228 с. Страхов В. Н. О корректном применении аналити- ческого продолжения // Геология и геофизика. — 1964. — № 8. — С. 1061—1066. Страхов В. Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. Постановки и основные конструктивные идеи // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1990. — № 7. — С. 3—27. Страхов В. Н., Шефер У., Страхов А. В., Опитц К. К новой парадигме гравиметрии // Вопросы те- ории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Матер. 28-й сес. Междунар. семинара им. Д. Г. Успенского, г. Киев, 29 янв.—2 февр. 2001 г. — Москва, ОИФЗ РАН, 2001. — С. 125—128. Черный А. В. Избранные задачи гравиметрии и грави- разведки и методы их решения: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1992. — 34 с. Черный А. В. О редуцировании значений силы тя- жести: Автореф. дис. ... канд. геол.-минерал. наук. — Киев, 1969. — 19 с. Черный А. В. Об уравнении силы тяжести // Докл. АН УССР. Сер. Б. — 1970. — № 2. — С. 145—148. Черный А. В. Описание гравитационных аномалий // Докл. АН УССР. Сер. Б. — 1982. — № 4. — С. 18—21. Черный А. В., Якимчик А. И. Восстановление потен- циала по значениям модуля его градиента. Ч. 1 // Геофиз. журн. — 1999. — 21, № 3. — С. 55—72. Юнг К. Гравиметрические методы прикладной геофи- зики // Прикл. геофизика. — Москва; Ленинград: ОНТИ, 1936. — Вып. 1. — С. 53—204. Lerch F. J., Klosko S. M., Laubseher R. E., Wagner C. A. Gravity model improvement using Geos3 (GEM 9 & 10) // J. Geophys. Res. — 1979. — 84, B8. — P. 3897—3916.

Про роздільну здатність редукцій аномалій сили тяжіння

Institution

Ähnliche Einträge