Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96931 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 7. — С. 13-19. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-96931 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-969312016-03-23T03:02:33Z Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. Математика 2015 Article Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 7. — С. 13-19. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96931 517.5 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi Доповіді НАН України |
| format |
Article |
| author |
Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| author_facet |
Сердюк, А.С. Степанюк, Т.А. |
| author_sort |
Сердюк, А.С. |
| title |
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi |
| title_short |
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi |
| title_full |
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi |
| title_fullStr |
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi |
| title_full_unstemmed |
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi |
| title_sort |
оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96931 |
| citation_txt |
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi / А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 7. — С. 13-19. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT serdûkas ocinkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasivzgortokperiodičnihfunkcijnevelikoígladkosti AT stepanûkta ocinkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹklasivzgortokperiodičnihfunkcijnevelikoígladkosti |
| first_indexed |
2025-07-07T04:15:14Z |
| last_indexed |
2025-07-07T04:15:14Z |
| _version_ |
1836960149665742848 |
| fulltext |
УДК 517.5
А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних
наближень класiв згорток перiодичних функцiй
невеликої гладкостi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Отримано порядковi оцiнки для найкращих рiвномiрних ортогональних тригонометрич-
них наближень на класах 2π-перiодичних функцiй таких, що їх (ψ, β)-похiднi належать
одиничним кулям просторiв Lp, 1 6 p < ∞, у випадку, коли послiдовнiсть ψ така, що
добуток ψ(n)n1/p може прямувати до нуля повiльнiше за довiльну степеневу функцiю
i
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′
−2 <∞ при 1 < p <∞, 1/p+1/p′ = 1 або
∞∑
k=1
ψ(k) <∞ при p = 1. Аналогiчнi
оцiнки отримано для наближень в Lp′-метриках класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй
таких, що ‖fψβ ‖1 6 1.
Ключовi слова: найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення, класи згорток,
класи (ψ, β)-диференцiйовних функцiй.
Нехай Lp, 1 6 p <∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних в p-му степенi на [0, 2π) функцiй
f : R → C з нормою
‖f‖p :=
( 2π∫
0
|f(t)|pdt
)1/p
,
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй f : R → C з нормою
‖f‖∞ := ess sup
t
|f(t)|.
Через Lψβ,p, 1 6 p 6 ∞, позначимо множину функцiй f : R → R iз L1, якi зображуються
у виглядi згорток
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t) dt, a0 ∈ R, ‖ϕ‖ 6 1, ϕ ⊥ 1, (1)
з фiксованим твiрним ядром Ψβ вигляду
Ψβ(t) =
1
2
∑
Z/{0}
ψ(|k|)e−i(kt+
βπ
2
signk) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
. (2)
Функцiю ϕ в рiвностi (1) називають (див., наприклад, [1, с. 132, 136]) (ψ, β)-похiдною функ-
цiї f i позначають через fψβ .
© А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №7 13
У випадку коли ψ(k) = k−r, r > 0, класи Lψβ,p, 1 6 p 6 ∞, β ∈ R, є вiдомими класами
Вейля–Надя W r
β,p.
Якщо послiдовнiсть ψ(k) монотонно спадає i
∞∑
k=1
ψq(k)kq−2 <∞, 1 < q <∞,
то, згiдно з лемою 12.6.6 монографiї [2, с. 193], має мiсце включення Ψβ ∈ Lq′ , 1/q+1/q′ = 1.
З твердження 3.8.1 iз [1, с. 137] i твердження 1.5.5 з [3, с. 43] випливає, що при
ψ(k) ↓ 0,
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞, 1 < p <∞,
1
p
+
1
p′
= 1,
справедливi вкладення Lψβ,p ⊂ L∞, Lψβ,1 ⊂ Lp′ , а з твердження 3.8.1 iз [1, с. 137] випливає,
що при ψ(k) > 0 i
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞ виконується вкладення Lψβ,1 ⊂ L∞.
Будемо вважати, що послiдовностi ψ(k), k ∈ N, якi задають класи Lψβ,p, є звуженнями на
множину натуральних чисел деяких додатних, неперервних, опуклих донизу функцiй ψ(t),
заданих на [1,∞), що задовольняють умову lim
t→∞
ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй ψ
позначатимемо через M.
Для класифiкацiї функцiй ψ iз M за їх швидкiстю спадання до нуля важливу роль
вiдiграє характеристика
α(ψ; t) :=
ψ(t)
t|ψ′(t)| , ψ′(t) := ψ′(t+ 0). (3)
За її допомогою з множини M видiляють такi пiдмножини (див., наприклад, [1, с. 160–161]):
M0 := {ψ ∈ M : ∃K > 0 ∀ t > 1 0 < K 6 α(ψ; t)}, (4)
MC := {ψ ∈ M : ∃K1,K2 > 0 ∀ t > 1 K1 6 α(ψ; t) 6 K2 <∞}. (5)
В (4) i (5) величини K, K1, K2 можуть залежати вiд ψ. Очевидно, що MC ⊂ M0.
Нехай m ∈ N. Величину
e⊥m(L
ψ
β,p)s = sup
f∈Lψ
β,p
inf
γm
‖f(x)−
∑
k∈γm
f̂(k)eikx‖s, 1 6 p, s 6 ∞, (6)
де γm — довiльнi набори iз m цiлих чисел, f̂(k) :=
1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt — коефiцiєнти Фур’є
функцiї f , називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням класу
Lψβ,p в метрицi простору Ls.
Метою даної роботи є знаходження точних порядкових оцiнок величин e⊥n (L
ψ
β,p)p, i
e⊥n (L
ψ
β,1)p′ при 1 6 p < ∞, 1/p + 1/p′ = 1.
Для класiв Вейля–Надя W r
β,p порядковi оцiнки величин (6) дослiджувалися в роботах
Е.С. Белiнського [4] та А.С. Романюка [5–7].
14 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №7
Для класiв Lψβ,p порядковi оцiнки величин (6) вивчалися в роботах В.В. Шкапи [8, 9]
та О.С. Федоренка [10, 11]. При цьому в роботах [8, 9] порядковi рiвностi для величин
e⊥m(L
ψ
β,p)∞, 1 < p <∞, β ∈ R, було знайдено за умови ψ ∈ B
⋂
Θ∗
p, а для величин e⊥m(L
ψ
β,1)p′ ,
1 < p <∞, 1/p + 1/p′ = 1, β ∈ R, — за умов ψ ∈ B
⋂
Θ∗
p i опуклостi функцiї 1/ψ(t), де B —
множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), t > 1, для кожної з яких можна вказати
додатну сталу K таку, що ψ(t)/ψ(2t) 6 K, t > 1, а Θ∗
p — множина незростаючих додатних
функцiй ψ(t), для яких iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(k)k(1/p)+ε не зростає. При
зазначених умовах iз [8, 9] випливають оцiнки
e⊥n (L
ψ
β,p)∞ ≍ e⊥n (L
ψ
β,1)p′ ≍ ψ(n)n1/p, β ∈ R, 1 < p <∞,
1
p
+
1
p′
= 1. (7)
У данiй роботi знайдено порядковi оцiнки величин e⊥n (L
ψ
β,p)∞ i e⊥n (L
ψ
β,1)p′ , 1 6 p < ∞,
1/p + 1/p′ = 1, у випадку, коли функцiя gp(t) = ψ(t)t1/p належить до множини M0, i, крiм
того,
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 <∞ при 1 < p <∞ або
∞∑
k=1
ψ(k) <∞ при p = 1. При цьому константи
в отриманих оцiнках виражаються через параметри класiв в явному виглядi.
Щоб сформулювати основнi результати роботи, введемо такi позначення. Для кожного
1 < s < ∞ покладемо
ξ(s) := max
{
4
(
π
s− 1
)1/s
, 14(8π)1/ss
}
, (8)
а для будь-якої функцiї ψ ∈ M через αn(ψ), n ∈ N, будемо позначати величини
αn(ψ) := inf
t>n
α(ψ; t), (9)
де характеристика α(ψ; t) означається формулою (3).
Теорема 1. Нехай 1 < p < ∞,
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞, 1/p + 1/p′ = 1, а функцiя gp(t) =
= ψ(t)t1/p така, що gp ∈ M0 i α1(gp) = inf
t>1
α(gp; t) > p′. Тодi для довiльних n ∈ N i β ∈ R
мають мiсце спiввiдношення
K
(1)
ψ,p
(
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
6 e⊥2n(L
ψ
β,p)∞ 6 e⊥2n−1(L
ψ
β,p)∞ 6 K
(2)
ψ,p
(
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (10)
4
3
K
(1)
ψ,p
(
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
6 e⊥2n(L
ψ
β,1)p′ 6 e⊥2n−1(L
ψ
β,1)p′ 6 K
(2)
ψ,p
(
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, (11)
в яких
K
(1)
ψ,p =
1
3ξ(p)
(
α1(gp)
p′ + α1(gp)
)1/p(
1− p′
α1(gp)
)
, K
(2)
ψ,p =
1
π
ξ(p′)
(
p′ + α1(gp)
α1(gp)
)1/p′
.
Наслiдок 1. Нехай 1 < p < ∞, 1/p + 1/p′ = 1,
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′−2 < ∞ i gp(t) = ψ(t)t1/p
така, що α1(gp) = inf
t>1
α(gp; t) > p′. Тодi якщо gp ∈ M0, то
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №7 15
e⊥n (L
ψ
β,p)∞ ≍ e⊥n (L
ψ
β,1)p′ ≍
(
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′
, β ∈ R, (12)
якщо ж gp ∈ MC , то виконуються порядковi рiвностi (7).
Зауважимо, що коли gp ∈ M0 i
lim
t→∞
α(gp; t) = ∞, (13)
то порядковi рiвностi (7) мiсця не мають, оскiльки в цьому випадку виконується оцiнка
ψ(n)n1/p = o
((
∞∑
k=n
ψp
′
(k)kp
′−2
)1/p′)
, n→ ∞.
Прикладом функцiй ψ, якi задовольняють умови наслiдку 1 i для яких виконується
умова (13), є функцiї виду ψ(t) = t−1/p ln−γ(t+K), γ > 1/p′, K > eγp
′ − 1, 1 < p < ∞,
1/p+ 1/p′ = 1. Дiйсно, для них, як неважко одержати з (12), справедливi порядковi оцiнки
e⊥n (L
ψ
β,p)∞ ≍ e⊥n (L
ψ
β,1)p′ ≍ ψ(n)n1/p ln1/p
′
n, n ∈ N \ {1}, β ∈ R.
Теорема 2. Нехай β ∈ R,
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞, а функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g ∈ M0,
α1(g) = inf
t>1
α(g; t) > 1. Тодi якщо cos(βπ/2) 6= 0, то для довiльного n ∈ N
1
12π
∣∣∣ cos βπ
2
∣∣∣
(
1− 1
α1(g)
) ∞∑
k=n
ψ(k) 6 e⊥2n(L
ψ
β,1)∞ 6 e⊥2n−1(L
ψ
β,1)∞ 6
1
π
∞∑
k=n
ψ(k), (14)
а якщо cos(βπ/2) = 0, то для довiльного n ∈ N
1
60π
(
1− 1
α1(g)
)
ψ(n)n 6 e⊥2n(L
ψ
β,1)∞ 6 e⊥2n−1(L
ψ
β,1)∞ 6
(
1 +
2
π
)
ψ(n)n. (15)
Теорема 3. Нехай
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞ i β ∈ R. Тодi якщо функцiя g(t) = ψ(t)t така, що
g ∈ M0, то
e⊥n (L
ψ
β,1)∞ ≍
∞∑
k=n
ψ(k), cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0,
(16)
якщо ж g ∈ MC , то
e⊥n (L
ψ
β,1)∞ ≍ ψ(n)n. (17)
Поклавши в теоремi 3 ψ(t) = t−r, r > 1, отримаємо таке твердження.
Наслiдок 2. Нехай r > 1 i β ∈ R. Тодi
e⊥n (W
r
β,1)∞ ≍ n−r+1.
16 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №7
Зауважимо, що коли g ∈ M0, g(t) = ψ(t)t i
lim
t→∞
α(g; t) = ∞, (18)
то в цьому випадку виконується оцiнка
ψ(n)n = o
(
∞∑
k=n
ψ(k)
)
, n→ ∞.
Прикладом функцiй ψ(t), якi задовольняють умови теореми 3 i для яких виконується
умова (18), є функцiї виду ψ(t) = t−1 ln−γ(t+K), γ > 1, K > 0. Для них, згiдно з (18), при
β ∈ R i n ∈ N \ {1} справедливi порядковi оцiнки
e⊥n (L
ψ
β,1)∞ ≍
ψ(n)n lnn, cos
βπ
2
6= 0,
ψ(n)n, cos
βπ
2
= 0.
Зауважимо, що для знаходження оцiнок зверху найкращих ортогональних тригономе-
тричних наближень вигляду (6) в теоремах 1–3 були використанi нерiвностi
e⊥2n−1(L
ψ
β,p)s 6 En(Lψβ,p)s, 1 6 p, s 6 ∞,
де
En(Lψβ,p)s := sup
f∈Lψβ,p
∥∥∥∥∥f(·)−
n−1∑
k=−n+1
f̂(k)eikx
∥∥∥∥∥
s
, 1 6 p, s 6 ∞. (19)
Точнi порядки величин En(Lψβ,p)∞ i En(Lψβ,1)p′ при 1 6 p <∞ було знайдено в роботах [12–14].
Цитована лiтература
1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч., Ч. I. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2002. – 427 с. – (Працi Iнституту математики НАН України; Т. 40).
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – Москва: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
3. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. – Москва: Наука, 1987. – 424 с.
4. Белинский Э.С. Приближение “плавающей” системой экспонент на классах периодических функций
с ограниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных
переменных. – Ярославль: Ярослав. ун-т, 1988. – С. 16–33.
5. Романюк А.С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки. –
2002. – 71, № 1. – P. 109–121.
6. Романюк А.С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций мно-
гих переменных в равномерной метрике // Мат. заметки. – 2007. – 81, № 2. – С. 247–261.
7. Романюк А.С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих перемен-
ных. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2012. – 352 с. – (Працi Iнституту математики НАН
України; T. 93).
8. Шкапа В.В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй iз класiв Lψβ,1 // Теорiя
наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11,
№ 3. – С. 315–329.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №7 17
9. Шкапа В.В. Оцiнки найкращихM -членних та ортогональних тригонометричних наближень функцiй
iз класiв Lψβ,p у рiвномiрнiй метрицi // Диференцiальнi рiвняння та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2014. – 11, № 2. – С. 305–317.
10. Федоренко О.С. Про найкращi m-членнi тригонометричнi та ортогональнi тригонометричнi набли-
ження функцiй класiв Lψβ,p // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 12. – С. 1719–1721.
11. Федоренко О.С. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами: Ав-
тореф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН України. – Київ, 2001. – 16 с.
12. Грабова У. З., Сердюк А.С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв
(ψ, β)-диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 9. – С. 1186–1197.
13. Сердюк А.С., Степанюк Т.А. Порядковi оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є
в рiвномiрнiй метрицi класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi // Укр. мат. журн. –
2014. – 66, № 12. – С. 1658–1675.
14. Степанюк Т.А. Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур’є класiв згорток перiодич-
них функцiй невеликої гладкостi в iнтегральних метриках // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi
питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 3. – С. 241–269.
References
1. Stepanets A. I. Methods of approximation theory. I, Pratsi Instytutu Matematyky NAN Ukrainy. Matema-
tyka ta ii Zastosuvannya, Vol. 40, Kyiv: Instytut Matematyky NAN Ukrainy, 2002 (in Russian).
2. Zygmund A. Trigonometric Series, Vol. 2, Moscow: Mir, 1965 (in Russian).
3. Korneichuk N.P. Exact constants in approximation theory, Moscow: Nauka, 1987 (in Russian).
4. Belinsky E. S. Approximation by a “floating” system of exponents on the classes of periodic functions with
bounded mixed derivative, Issled. po teorii func. mnog. vesch. perem., Jaroslavl’: Jaroslav. un–t, 1988:
16–33 (in Russian).
5. Romanyuk A. S. Math. Notes, 2002, 71, No 1: 98–109.
6. Romanyuk A. S. Math. Notes, 2007, 82, No 2: 216–228.
7. Romanyuk A.S. Approximation characteristics of classes of periodic functions of several variables, Pratsi
Instytutu Matematyky NAN Ukrainy. Matematyka ta ii Zastosuvannya, Vol. 93, Kyiv: Instytut Matematyky
NAN Ukrainy, 2012 (in Russian).
8. Shkapa V.V. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 3: 315–329 (in Ukrainian).
9. Shkapa V.V. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 2: 305–317 (in Ukrainian).
10. Fedorenko A. S. Ukr. Math. J., 1999, 51, No 12: 1945–1949.
11. Fedorenko O. S. Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by trigonometric polynomials: Autoref.
diss. . . . cand. phys.-math. sciences, Kyiv: Insitute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2001 (in Ukrainian).
12. Hrabova U. Z., Serdyuk A. S. Ukr. Mat. J., 2013, 65, No 9: 1319–1331.
13. Serdyuk A. S., Stepaniuk T.A. Ukr. Math. J., 2014, 66, No 12: 1658–1675 (in Ukrainian).
14. Stepanyuk T.A. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 3: 241–269 (in Ukrainian).
Надiйшло до редакцiї 04.03.2015Iнститут математики НАН України, Київ
Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет
iм. Лесi Українки, Луцьк
18 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №7
А.С. Сердюк, Т. А. Степанюк
Оценки наилучших ортогональных тригонометрических
приближений классов сверток периодических функций небольшой
гладкости
Институт математики НАН Украины, Киев
Восточноевропейский национальный университет им. Леси Украинки, Луцк
Получены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометри-
ческих приближений на классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ, β)-производ-
ные принадлежат единичным шарам пространств Lp, 1 6 p <∞, в случае, когда последо-
вательность ψ такая, что произведение ψ(n)n1/p может стремиться к нулю медленнее,
чем любая степенная функция, и
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′
−2 < ∞ при 1 < p < ∞, 1/p + 1/p′ = 1 или
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞ при p = 1. Аналогичные оценки получены для приближений в Lp′-метриках
классов (ψ, β)-дифференцируемых функций таких, что ‖fψβ ‖1 6 1.
Ключевые слова: наилучшие ортогональные тригонометрические приближения, классы
сверток, классы (ψ, β)-дифференцируемых функций.
А. S. Serdyuk, Т.А. Stepaniuk
Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the
classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
Lesya Ukrainka Eastern European National University, Lutsk
We obtain order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations of 2π-pe-
riodic functions, whose (ψ, β)-derivatives belong to unit balls of spaces Lp, 1 6 p < ∞, in the
case where a consequence ψ(k) is such that the product ψ(n)n1/p can tend to zero slower than any
power function, and
∞∑
k=1
ψp
′
(k)kp
′
−2 < ∞, when 1 < p < ∞, 1/p + 1/p′ = 1 or
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞,
when p = 1. We establish the analogous estimates in the Lp′-metric for the classes of summable
(ψ, β)-differentiable functions such that ‖fψβ ‖1 6 1.
Keywords: best orthogonal trigonometric approximations, classes of convolutions, classes of (ψ, β)-
differentiable functions.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №7 19
|