Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела

Согласно положениям общей теории относительности, гравитационный потенциал Ф точки на поверхности неоднородного тела с близкой к эллипсоидальной формой в первом (после ньютоновского) приближении Ф₁ может быть представлен произведением Ф₁=gR. Обе величины измеряются аппаратурно через первые и вторые...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Карпенко, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2011
Назва видання:	Геофизический журнал
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96984
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела / И.В. Карпенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 4. — С. 74-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-96984
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-969842016-03-24T03:02:11Z Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела Карпенко, И.В. Согласно положениям общей теории относительности, гравитационный потенциал Ф точки на поверхности неоднородного тела с близкой к эллипсоидальной формой в первом (после ньютоновского) приближении Ф₁ может быть представлен произведением Ф₁=gR. Обе величины измеряются аппаратурно через первые и вторые производные от Ф и являются локальными характеристиками точки. Соответственно и ускорение для неоднородного несферического тела типа геоида массой М приобретает вид g=GM/R². Достоверность первого приближения доказывается на примерах решения. Возможность прямого измерения гравитационного потенциала в точках реальной поверхности Земли открывает перспективы решения многих прикладных задач, связанных с оценкой энергетического состояния отдельных участков Земли. Виходячи з положень загальної теорії відносності, гравітаційний потенціал Ф точки на поверхні неоднорідного тіла з близькою до еліпсоїдальної формою у першому (після ньютонівського) наближенні Ф₁ може бути поданий добутком Ф₁=gR. Обидві величини вимірюються апаратурно через перші та другі похідні від Ф і є локальними характеристиками точки. Відповідно і прискорення для неоднорідного несферичного тіла типу геоїда масою М набуває вигляду g=GM/R². Достовірність першого наближення доведено на прикладах розв’язку деяких задач фізики Землі. Можливість прямих замірів гравітаційного потенціалу в точках реальної поверхні Землі відкриває перспективи розв’язку багатьох прикладних задач, пов’язаних з оцінкою енергетичного стану окремих ділянок Землі. According to provisions of general theory of relativity gravity potential Ф of the point on the surface of heterogeneous body with a form close to ellipsoidal one in the first (after the newtonian) approximation Ф₁ may be presented as a product Ф₁=gR. Both values are measured instrumentally through the first and second derivatives of Ф and are the local characteristics of the point. And an acceleration accordingly for heterogeneous nonspherical body of a geoid type with a mass М looks like g=GM/R². Authenticity of the first approximation is proved on the examples of solving some problems of the Earth physics. A possibility of direct measurement of gravity potential in the points of real surface of the Earth offers the challenge of solving many application dependent problems of energy state of separate areas of the Earth. 2011 Article Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела / И.В. Карпенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 4. — С. 74-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0203-3100 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96984 550.312 ru Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Согласно положениям общей теории относительности, гравитационный потенциал Ф точки на поверхности неоднородного тела с близкой к эллипсоидальной формой в первом (после ньютоновского) приближении Ф₁ может быть представлен произведением Ф₁=gR. Обе величины измеряются аппаратурно через первые и вторые производные от Ф и являются локальными характеристиками точки. Соответственно и ускорение для неоднородного несферического тела типа геоида массой М приобретает вид g=GM/R². Достоверность первого приближения доказывается на примерах решения. Возможность прямого измерения гравитационного потенциала в точках реальной поверхности Земли открывает перспективы решения многих прикладных задач, связанных с оценкой энергетического состояния отдельных участков Земли.
format	Article
author	Карпенко, И.В.
spellingShingle	Карпенко, И.В. Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела Геофизический журнал
author_facet	Карпенко, И.В.
author_sort	Карпенко, И.В.
title	Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела
title_short	Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела
title_full	Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела
title_fullStr	Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела
title_full_unstemmed	Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела
title_sort	гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96984
citation_txt	Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела / И.В. Карпенко // Геофизический журнал. — 2011. — Т. 33, № 4. — С. 74-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Геофизический журнал
work_keys_str_mv	AT karpenkoiv gravitacionnyjpotencialopredelenieiizmerenievtočkahpoverhnostinesferičeskogoneodnorodnogotela
first_indexed	2025-07-07T04:18:33Z
last_indexed	2025-07-07T04:18:33Z
_version_	1836960358132088832
fulltext	И. В. КАРПЕНКО 74 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 Постановка задачи. В физике Земли суще- ствует класс задач, решение которых требует знания не геодинамической характеристики системы, определяемой через силовые функ- ции, например ускорение силы тяжести, а геостатической характеристики, требующей знания энергетического состояния системы. От того, находится система в энергетически равновесном или неравновесном состоянии, зависит характер и направление дальнейшей ее эволюции или переход в совершенно новое состояние через катастрофическое изменение предыдущего. Энергетическое состояние си- стемы определяется гравитационным потен- циалом. Приведем примеры. Обращающаяся вокруг одной из своих главных осей инерции Земля, внутри которой происходит перемещение ве- щества, изменяет свое энергетическое состоя- ние в направлении достижения энергетиче- ского равновесия, определяемого равенством моментов инерции тела по двум главным осям обращения. После достижения такого состоя- ния осью обращения становится третья глав- ная ось, т. е. происходит катастрофа, заклю- чающаяся в ортогональном изменении оси об- ращения Земли [Карпенко, 2007; Кузьмичев, 1989]. В энергетическом отношении в процессе достижения равновесия поверхность Земли становится практически эквипотенциальной, т. е. поверхностью почти равных потенциалов. И достаточно небольших флуктуаций этого по- тенциала, вызванных внутренними или внеш- ними причинами, чтобы произошло катастро- фическое изменение состояния системы, вы- ражающееся в ортогональном изменении оси обращения Земли. В этом примере действующим фактором, приводящем к катастрофе, выступает не сила, а совершенно эволюционный факт достижения Землей состояния энергетического (изостати- ческого) равновесия, который и становится причиной последующей катастрофы. В поняти- ях термодинамики это соответствует второму УДК 550.312 Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела © И. В. Карпенко, 2011 Украинский государственный геологоразведочный институт, Киев, Украина Поступила 3 декабря 2010 г. Представлено членом редколлегии В. И. Старостенко Виходячи з положень загальної теорії відносності, гравітаційний потенціал Ф точки на поверхні неоднорідного тіла з близькою до еліпсоїдальної формою у першому (після ньюто- нівського) наближенні Ф1 може бути поданий добутком 1=gR. Обидві величини вимірюються апаратурно через перші та другі похідні від Ф і є локальними характеристиками точки. Від- повідно і прискорення для неоднорідного несферичного тіла типу геоїда масою набуває вигляду g=GM/R2. Достовірність першого наближення доведено на прикладах розв’язку деяких задач фізи- ки Землі. Можливість прямих замірів гравітаційного потенціалу в точках реальної поверхні Землі відкриває перспективи розв’язку багатьох прикладних задач, пов’язаних з оцінкою енергетичного стану окремих ділянок Землі. According to provisions of general theory of relativity gravity potential Ф of the point on the surface of heterogeneous body with a form close to ellipsoidal one in the first (after the newtonian) approximation Ф1 may be presented as a product 1=gR. Both values are measured instrumentally through the first and second derivatives of Ф and are the local characteristics of the point. And an acceleration accordingly for heterogeneous nonspherical body of a geoid type with a mass М looks like g=GM/R2. Authenticity of the first approximation is proved on the examples of solving some problems of the Earth physics. A possibility of direct measurement of gravity potential in the points of real surface of the Earth offers the challenge of solving many application dependent problems of energy state of separate areas of the Earth. ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ В ТОЧКАХ ... Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 75 началу термодинамики (в наиболее общей его формулировке): при реальных (необратимых) адиабатических процессах энтропия возрас- тает, достигая максимального значения в со- стоянии равновесия системы. Но второе на- чало термодинамики не является абсолютным, оно нарушается при наличии флуктуаций, что и приводит к катастрофическому изменению состояния системы. Второй пример. Перед землетрясением, как правило, наступает состояние некоего за- тишья. Участок Земли в процессе опять-таки эволюционного развития достигает некоторо- го стабильного, но неустойчивого энергети- ческого состояния, которое малейшими изме- нениями (флуктуациями) переводится в более устойчивое после осуществления землетрясе- ния. О том, что после крупных землетрясений состояние Земли характеризуется большей устойчивостью, свидетельствует наблюдаемое впоследствии уменьшение времени суток, т. е. увеличение скорости обращения Земли вокруг своей оси. Если в первом примере изменение энерге- тического состояния происходило от равновес- ного до катастрофы к неравновесному состоя- нию после нее, то во втором, тоже катастрофи- ческом процессе, наоборот, от неравновесного состояния к более равновесному. В первом случае эквипотенциальная поверхность Земли после катастрофы становится неэквипотенци- альной, во втором, наоборот, существующая разность между гравитационным потенциа- лом участка и равновесным значением этого потенциала уменьшается. Но в обоих случаях отслеживание состояния системы необходимо производить через оценку значения гравита- ционного потенциала — как энергетической характеристики, а не силовой характеристики — ускорения силы тяжести, хоть в отдельных случаях такая возможность тоже сохраняет- ся. Добавим, что попытки решения и других изостатических задач (задач изостазии) в си- ловой постановке (через анализ ускорений) практически оказались неудачными все по той же причине. Основной причиной неиспользования по- становок «энергетических» задач в физике Земли является отсутствие методов непосред- ственного измерения гравитационного потен- циала в локальной точке поверхности Земли, вне Земли или внутри ее. Это и является пред- метом настоящей статьи. Существующие методы оценки значений гравитационного потенциала. В настоящее время считается, что точное значение грави- тационного потенциала ( ) ( )1 2 2 22G r dm x y , (1) где G — гравитационная постоянная, r — рас- стояние до центра масс Земли, m — масса с плотностью ρ (x, y, z), ω — угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси, x, y, z — декартовы координаты, определить невоз- можно, поскольку неизвестно распределение масс в Земле, т. е. ρ (x, y, z), и ее точная ρ фигу- ра. Поэтому ограничиваются приближенным вычислением потенциала, которое выполня- ется при некоторых допущениях. Собственно анализ этих допущений и должен дать ответ на вопрос о допустимости и точности этих при- ближений. Знание потенциала впервые оказалось не- обходимым в геодезии для определения фигу- ры Земли. Решение этой задачи предполагает знание уровенной (эквипотенциальной) по- верхности Земли. Принципиальная возмож- ность определения уровенной поверхности по гравитационному полю доказывается теоре- мой Стокса [Пантелеев, 2000]. Если уровенная поверхность S, целиком охватывающая массы, известна, а также из- вестны масса и угловая скорость вращения ω, то сила тяжести g однозначно определяется как на самой поверхности, так и во всем внеш- нем пространстве, т. е. ( ), ,g F S M . (2) Обратная задача — определение фигуры Земли, т. е. уровенной поверхности S — ставит- ся следующим образом: требуется определить S по заданным , g и ω, т. е. ( ), ,S g M . (3) Основная трудность решения этой задачи связана с определением g на уровенной по- верхности, поскольку на практике ускорение силы тяжести определяется на физической поверхности — поверхности реальной Земли. Возникает задача редукции — переноса значе- ний g с физической поверхности на уровенную поверхность (геоид). Решение этой задачи предложил М. С. Мо- лоденский. Он доказал, что достаточно все измерения выполнить на физической поверх- ности, но кроме силы тяжести необходимо знать еще и приращение потенциала. Однако при этом поверхность, на которую редуциру- ются измерения с физической поверхности, И. В. КАРПЕНКО 76 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 несколько отличается от уровенной поверх- ности (геоида), поэтому она получила назва- ние квазигеоида. Поверхность квазигеоида определяется значениями гравитационного потенциала на земной поверхности. Фигуру квазигеоида определяют методом астрономо- гравиметрического нивелирования или через предварительное определение возмущающего потенциала по материалам наземных гравиме- трических съемок и наблюдений за движением искусственных спутников Земли. Последние данные необходимы в связи с недостаточной гравиметрической изученностью некоторых областей Земли. Приближенное вычисление гравитацион- ного потенциала осуществляют посредством разложения подынтегральной функции 1/r в уравнении (1) в бесконечный ряд с последую- щим ограничением числа членов ряда сообраз- но с необходимой точностью вычислений. На основании полученного в виде ряда уравнения для Ф находится также в виде ряда выражение для ускорения g. Путем сравнения получен- ных таким образом аналитических значений g с наблюденными g на земной поверхности находятся коэффициенты этого ряда [Миро- нов, 1980; Гравиразведка, 1990]. Если поместить начало координат в центр масс Земли, а оси координат совместить с глав- ными осями инерции, то разложение гравита- ционного потенциала Земли будет иметь вид [Жарков, 1983] ( ) 2 1 n n n n GM aV J P t r r (4) ( ) ( ) 2 1 nn m n nm nm n m a P t A m B m r , где V= 2/2)(x2+y2); r, , — сферические ко- ординаты в точке наблюдений; t= , Pn — по- лином Лежандра n-го порядка (полином n-го порядка относительно ); mP — присоеди- ненные полиномы Лежандра — полиномы n-го порядка относительно и , Jn; Anm, Bnm — гравитационные моменты, определяемые экспериментально по траекториям искусствен- ных спутников. Например, гравитационный момент имеет вид 2 2 C AJ Ma , (5) где — момент инерции относительно поляр- ной оси, — момент инерции относительно эк- ваториальной оси, a — экваториальный радиус Земли. Другими словами, гравитационный мо- мент J2 определяется инерционными момента- ми Земли, что является следствием принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс, устанавливаемого в общей теории отно- сительности (теории тяготения). Зональные моменты Jn в разложении (4) вызывают вековые возмущения орбит искус- ственных спутников Земли, а тессеральные моменты Anm и Bnm — короткопериодические изменения элементов орбит. После ряда упрощений выражение (4) пре- образуется к виду [Пантелеев, 2000] ( )2 3 22 GM G A BV C r r ( ) 2 3 3 4 G B A r , (6) где введены сферические координаты — гео- центрическая широта ʹ и долгота , отсчиты- ваемая от плоскости x0z: x r , y r , z r . (7) Формула (6) считается точной до малых вто- рого порядка, если за малую первого порядка считать сжатие Земли 1/300. Первый член в выражении (6) представляет собой потенциал шара с массой, равной массе Земли; второй, зависящий от широты ϕʹ, дает добавочное дей- ствие экваториальному вздутию Земли; третий, содержащий долготу λ, учитывает неравномер- ное распределение масс по долготе. Проанализируем состояние проблемы определения гравитационного потенциала на поверхности Земли. Во-первых, примене- ние формулы Стокса для установления высот геоида относительно общего земного эллип- соида как составляющей в задаче определе- ния потенциала требует, чтобы интегрирова- ние осуществлялось по гравитационным ано- малиям всей поверхности Земли, более двух третей которой покрыта морями и океанами [Пантелеев, 2000]. В общем, это техническая проблема, которая с течением времени будет разрешима. Но в принципиальном отношении факт интегрирования противоречит принципу локальности общей теории относительности, требующему локального определения по- тенциала поля в точке, примерно так же, как определяется ускорение силы тяжести — по периоду колебания маятника в каждой отдель- ной точке наблюдения. Принцип локальности является следствием принципа эквивалентно- ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ В ТОЧКАХ ... Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 77 сти гравитационных и инертных масс. В общем случае неоднородных полей, а в случае Земли гравитационное поле является неоднородным, принцип эквивалентности не выполняется. Но в небольших объемах гравитационное поле считается практически однородным и здесь потенциал и силу тяжести можно считать по- стоянными. В этом смысл локального характе- ра принципа эквивалентности. Вторая особенность рассматриваемого ре- шения состоит в том, что полученные значения потенциала относятся не к реальной физиче- ской поверхности, а к поверхности некото- рой модели реальной Земли — квазигеоиду, а доказательством истинности расчета служит сравнение полей (в том числе и высот) одной модели поверхности геоида с другой моделью — земным эллипсоидом. Ясно, что это вынуж- денная мера, которая связана с отсутствием метода непосредственного измерения гравита- ционного потенциала в каждой точке реальной поверхности Земли. Однако основным проблемным вопросом является применяемое в задаче определения гравитационного потенциала поверхности Земли допущение, что «…невозмущенная ве- ковыми течениями поверхность океанов со- впадает в точности с поверхностью геоида, а на суше геоид располагается под поверхно- стью континентов». При этом под геоидом понимается эквипотенциальная (уровенная) поверхность, проходящая, например, через некоторую фиксированную точку земной по- верхности у берега моря. Допущение, что экви- потенциальная поверхность обязана совпадать со средним уровнем вод Мирового океана в не- возмущенном состоянии, считается очевидным и не подвергается сомнениям. Ниже попытаемся обосновать, что поверх- ность океана на самом деле не является экви- потенциальной, что эквипотенциальностью характеризуется именно зона поверхности Земли с широтами, близкими –45°, и через эту широту, а не «точку земной поверхности у бе- рега моря», должна проходить эквипотенци- альная поверхность Земли. Этот вывод будет следствием предложенного метода определе- ния гравитационного потенциала. Гравитационный потенциал точки на по- верхности тела. В общей теории относитель- ности гравитационное поле проявляется в искривленности геометрии пространство— время. При этом трехмерное пространство и одномерное время объединяются в четырех- мерный континуум пространство—время, в котором квадрат интервала ( S)2 между двумя событиями является инвариантом, т. е. ( )2S g x x , (8) где , =0, 1, 2, 3; t= x0 и xi(i=1, 2, 3) — раз- ности моментов времени и декартовых коорди- нат точек, в которых происходят два события; g — некий метрический тензор пространства второго ранга [Захаров, 2003]. Важной особенностью интервала S яв- ляется то, что именно тензор g содержит в себе всю информацию о гравитационно- инерционном поле. Гравитационные уравне- ния Эйнштейна, которые здесь не приводятся, выражают связь между геометрией четырех- мерного пространства-времени (левая часть уравнений) и массами (правая часть). Физиче- ская интерпретация решения этих уравнений: массы искривляют пространство, которое, в свою очередь, задает траектории движения для масс. Ближайшим решением гравитационных уравнений Эйнштейна для случая Земли (как сосредоточенной массы с возможно изме- няющимся радиусом r) является решение, по- лученное К. Шварцшильдом для сферически- симметричной изотропной сферы с изменяю- щейся величиной радиуса r [Захаров, 2003]. Для случая, когда на пробную точку на по- верхности Земли не действуют никакие массы, кроме массы Земли, а гравитационное поле неограниченно уменьшается при увеличении r, являясь статическим (независимым во вре- мени), метрика гравитационного поля Шварц- шильда принимает вид (в дифференциальном выражении) 2 2 2 21 1 g g r drdS c dt r r r ( )2 2 2 2r d d , (9) где r — радиальная, а и — угловые коорди- наты в сферической системе координат; rg= =2GM/c2 — гравитационный радиус Земли, ве- личина которого rg ≈1 см; G — гравитационная постоянная; c — скорость света. В выражении (9) присутствуют четыре эйн- штейновских потенциала: 00 1 grg r , 11 1 1 g g r r , 2 22g r , 2 2 33g r , (10) из которых только первые два отвечают за И. В. КАРПЕНКО 78 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 тяготение, т. е. являются гравитационными потенциалами. Третий и четвертый передают инерционные влияния и могут быть устранены соответствующим выбором системы коорди- нат, тогда как гравитационные потенциалы не устраняются никаким выбором системы ко- ординат. Если бы мы располагали решением гра- витационных уравнений Эйнштейна для бо- лее сложной модели Земли, например для сферически-симметричного и изотропного эл- липсоида вращения, то, очевидно, располагали бы не двумя гравитационными потенциалами, а большим их количеством. Для неоднородной Земли их было бы еще больше и т. д. Другими словами, описание гравитационного поля Зем- ли в общем случае требует знания не одного, используемого в настоящее время ньютонов- ского потенциала, а большего их количества, хотя использование и одного ньютоновского потенциала в практическом плане представ- ляет существенную научную и техническую проблему, решение которой и является задачей настоящей статьи. Поэтому не усложним, а наоборот, еще бо- лее упростим решение Шварцшильда и полу- чим из него ньютоновское приближение. Ока- зывается [Захаров, 2003], если гравитационное поле слабое, а поле Земли удовлетворяет этому условию, и скорость движения пробного тела на поверхности сферы значительно меньше скорости света, то отличным от нуля является только гравитационный потенциал g00, кото- рый связан с ньютоновским гравитационным потенциалом Ф выражением 2 00 1 2g c . (11) Используя выражение для g00 из (10), по- лучаем для потенциала и ускорения силы тя- жести GM r , 2g GM r r . (12) Сделаем выводы. Ньютоновский гравитаци- онный потенциал в точке на поверхности сфе- ры соответствует действительному гравитаци- онному потенциалу, представляющему собой совокупность эйнштейновских гравитацион- ных потенциалов только в случае сферически- однородной и изотропной сферы, обладающей слабым гравитационным полем. Уже для слу- чая однородного эллипсоида вращения и, тем более, неоднородного и не совсем эллипсоида вращения (квазиэллипсоида) выражение для Ф (12) может рассматриваться только как, услов- но говоря, нулевое приближение действитель- ного гравитационного потенциала. И дело даже не в том, что для реальной Зем- ли Ф является сложной функцией радиуса r Земли и ее моментов инерции (см. разложение Ф по сферическим координатам, например, (4)). А в том, что теория тяготения Ньютона сама по себе, как считается в современной физике [Захаров, 2003], не является теорией тяготения, поскольку ее уравнения, хоть и с большой точностью описывают наблюдаемые движения материи, но физического смысла этих движений не раскрывают. Ньютоновская теория не в состоянии объ- яснить: 1) обратную зависимость ускорения силы тяжести от квадрата расстояния до цен- тра масс тела (12), 2) эквивалентность инертной и гравитационной масс, 3) локальность дей- ствия гравитационного поля (поля кривизны пространства времени), 4) единство реляти- вистской энергии и импульса, пространства и времени, тождество массы и энергии. В на- шем случае, в конечном итоге, это сводится к поиску следующего (условно говоря, первого после нулевого ньютоновского) приближения для гравитационного потенциала точки на по- верхности несферической, неоднородной и не- изотропной Земли, которое бы удовлетворяло перечисленным основным принципам общей теории относительности. И еще один вывод. Гравитационный по- тенциал является проявлением свойства кри- визны пространства-времени. Пробное тело, помещенное в некоторую точку пространства вне исследуемого тела, реагирует лишь на факт искривленности пространства-времени в данной локальной точке. Поскольку кривизна пространства-времени не является энергети- ческой характеристикой, то гравитационное влияние не является силовым. Поэтому пред- ставление гравитационного влияния ньюто- новским ускорением силы тяжести (12) — все- го лишь «силовая» аппроксимация кривизны пространства-времени, согласно которой дви- жется пробное тело. «Полевая» аналогия гравитационных влияний. Поскольку кривизна пространства- времени, а именно ею определяется движение пробной массы относительно других распреде- ленных в пространстве масс, не является энер- гетической характеристикой, то и гравитаци- онное влияние этих масс на пробное тело не является силовым и не описывается как влия- ние некоего энергетического поля, подобного, ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ В ТОЧКАХ ... Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 79 например, электромагнитному полю. Тем не менее, в ньютоновском приближении урав- нений Эйнштейна возможно проведение «по- левой» аналогии несиловых гравитационных влияний с силовыми электромагнитными поля- ми. Поскольку в выражениях (12) производная от ньютоновского потенциала совпадает с так называемым ускорением силы тяжести g, то по этой причине ускорение g в ньютоновской теории называют напряженностью поля силы тяжести аналогично напряженности электро- магнитного поля, которое также выражается через первые производные электромагнитного потенциала. В такой постановке закон тяготения Ньюто- на подается в полевом виде в полной аналогии с законом электростатического взаимодействия: 2 2 2 2 2 2 4 G x y z . (13) Решение уравнения (13), называемого уравнением Пуассона, представляет гравита- ционный потенциал как функцию точки про- странства, в котором материя распределена с плотностью ρ (x, y, z). Оно является дифферен- циальным выражением ньютоновского закона тяготения. Для области пространства с отсут- ствующими источниками поля тяготения, т. е. когда ρ =0, правая часть становится нулевой и получается уравнение Лапласа : Ф = 0, (14) где оператор Лапласа 2 2 2 2 2 2x y z . С помощью уравнения (13) в принципе мож- но получить функцию распределения плотно- сти ρ (x, y, z) во внутренних точках исследуе- мого тела. Но это возможно, во-первых, при знании гравитационного потенциала Ф (x, y, z) во внутренних точках тела. И, во-вторых, речь уже пойдет о неоднородной среде (Ф зависит от координат x, y, z), тогда как с уверенностью можно говорить лишь о том, что эйнштейнов- ские гравитационные потенциалы (10) могут быть сведены к ньютоновскому потенциалу Ф (12) только для случая однородной сферически- симметричной изотропной сферы со слабым гравитационным полем. Это, строго говоря, решением Шварцшильда доказано только для точек на поверхности идеальной сферы. В целом в уравнении (13) не присутству- ют гравитационные эффекты, поскольку в математическом плане оно не инвариантно даже относительно преобразований Лоренца, при которых справедлива специальная тео- рия относительности, также, как известно, не содержащая гравитационных эффектов. Инвариантно уравнение (13) только относи- тельно преобразований Галилея, на которых основывается ньютоновская теория. Попытки расширить возможности уравнения (13) путем добавления в его левую часть составляющей — ( )2 2 21 c t , где t — время, тоже не приводят к успеху; полученное уравнение уже обладает лоренц-инвариантностью, но гравитационных эффектов не содержит. Для неоднородной среды с изменяющей- ся по пространственным координатам плот- ностью ρ (x, y, z) производная от потенциала Ф вовсе не обязана совпадать с ускорением силы тяжести, а вторая производная опреде- лять плотность среды в точке исследования. Ситуация еще более усложняется, поскольку на практике измеряются не гравитационные потенциалы, а лишь их первые и вторые про- изводные. Отсюда вывод: для эффективного использования «полевого» уравнения (13) не- обходимо разработать метод измерения гра- витационного потенциала Ф, который бы учи- тывал факт неоднородности среды. Очевидно, решение этой задачи должно основываться на использовании основных принципов общей теории относительности, точнее, удовлетворе- нии требованиям этих принципов. Первое приближение в определении гра- витационного потенциала. Первое положение, которое мы пытались обосновать, сводилось к тому, что изучение геодинамики коры Земли необходимо проводить через исследование ее энергетического состояния, т. е. через грави- тационные потенциалы, а не характеристику силы (ускорение силы тяжести). А второе, что изучение гравитационного потенциала необ- ходимо производить через локальные характе- ристики гравитационного поля, как того требу- ет общая теория относительности, а не через «дистальные», как это принято в настоящее время. Собственно, в дальнейшем и решается задача, какие локальные характеристики поля должны изучаться, чтобы получить так назы- ваемое первое приближение в определении гравитационного потенциала, применимое для исследования несферического и неоднородно- го тела, которым на самое деле является Земля. Из сравнения выражения (12) для потенциала Ф и ускорения силы тяжести g получаем [Кар- пенко, 2010] И. В. КАРПЕНКО 80 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 2 GM GM r gr r r . (15) Обобщая это выражение для потенциала точки на поверхности компактной сферически- симметричной сферы на материальные объек- ты более сложного строения (с определенными отклонениями от сферичности и в целом не- однородные по внутреннему строению), вы- ражение для потенциала точки поверхности такого тела подадим в виде ( ) ( ) ( )1 , , , , , ,r g r R r , (16) где единичка при Ф обозначает следующее после ньютоновского (первое) приближение гравитационного потенциала (потенциала кри- визны); g — ускорение силы тяжести в точке поверхности; R — радиус кривизны эквипотен- циальной поверхности в исследуемой точке; r, , ϕ — сферические координаты. Для сфери- чески однородной сферы выражение (16) пере- ходит в (15), поскольку радиус кривизны R для сферы совпадает с величиной радиуса r сферы. Приведем обоснование возможности пред- ставления гравитационного потенциала в виде выражения (16). Временная составляющая гравитационно- го потенциала. Гравитационное поле это поле кривизны континуума пространство—время. Наложим определенные ограничения на дви- жение точки и способ описания этого движе- ния, вытекающие с теоретических положений общей теории относительности: 1) рассмотре- ние гравитационного тяготения точки по на- правлению центра масс Земли и центробеж- ного ее отталкивания перпендикулярно оси обращения должно основываться на принципе эквивалентности гравитационной и инертной масс; 2) функция, которой описывается точка, в нашем случае функция Ф1, должна удовлет- ворять принципу единства пространственно- временного континуума; 3) потенциал Ф1 точки должен определяться в соответствии с принци- пом локальности воздействия гравитационного поля. Первое условие широко используется в практике решения гравитационных задач и сводится к следующему. Выражение для нор- мального ускорения свободного падения имеет две составляющие: 2 ag g w r , (17) где ga — ускорение, вызванное силой грави- тационного притяжения Земли (абсолютное ускорение); ω2r — центробежное ускорение, связанное с обращением Земли вокруг соб- ственной оси; rн — расстояние по нормали от рассматриваемого пробного тела до оси обра- щения. Ускорение ga действует на пробное тело как на гравитационную массу, а ускорение 2r — как на инертную. Принцип единства гравита- ционной и инертной масс дает возможность рассматривать геодинамику пробного тела только при изучении нормального ускорения g. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в каждой точке поверхности Земли, вне или вну- три ее, известна функция нормального ускоре- ния g= g(x, y, z) как составляющая выражения для первого приближения гравитационного потенциала (16). Принцип единства пространственно- временного континуума удовлетворяется структурой выражения для гравитационного потенциала (16), поскольку в нем объединены составляющие, которые характеризуют кри- визну континуума как по временной (g), так и по пространственной (R) координатам, что обосновывается ниже. Согласно требованиям локальности дей- ствия гравитационного поля, значение функ- ции g(x, y, z) должно определяться непосред- ственно в каждой точке поля без привлечения информации о структуре поля вне данной точ- ки. Этому условию отвечает определение g с помощью маятника: ( ) 2 2, , 4 ( , , )g x y z l T x y z , (18) где l — длина маятника, которая теоретически может быть сколь угодно малой, — период колебания маятника. Как видим, в выражение (18) не входит функция r (x, y, z) (расстояние от пробного тела до центра масс Земли), что при- суще выражению для g в соответствии с обыч- ной формулой Ньютона (12), использующей принцип «дальнодействия» гравитационного поля. Наоборот, определение g с помощью вы- ражения (18) удовлетворяет принципу локаль- ности, что согласуется с требованиями общей теории относительности. Функция g (x, y, z) полностью определяется видом T (x, y, z), т. е. функцией периода колеба- ний маятника. Другими словами, можно счи- тать, что поскольку изменение значений грави- тационного поля от точки к точке равноценно изменению кривизны пространства-времени, то оценка гравитационного поля с помощью только нормального ускорения дает возмож- ность устанавливать изменение кривизны ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ В ТОЧКАХ ... Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 81 лишь по временной координате континуума. Соответственно изучение только одного уско- рения силы тяжести или его отклонения от не- которого теоретического значения (аномалии силы тяжести) не является достаточным для оценки энергетического состояния точки. Не- обходимо знание еще функции, которая ото- бражает изменение кривизны континуума по пространственным координатам. Мы не приводим здесь примеров, свиде- тельствующих о попытках решения не только «силовых», но и «энергетических» (например, изостатических) задач с помощью аномалий ускорения силы тяжести и производных от последнего. Отметим лишь, что при неизмен- ности пространственной кривизны, например при пространственной близости точек наблю- дения, для которых изменение пространствен- ной кривизны является несущественным, срав- нение энергетических состояний этих точек только по ускорениям может оказаться доста- точным. То, что ускорение g может характеризо- ваться как временная составляющая кривизны континуума, можно видеть из выражения для интервала (9). Для получения значения ньюто- новского потенциала и, соответственно, уско- рения (12) из выражения для интервала был использован эйнштейновский потенциал g00 (10), стоящий в уравнении для интервала dS2 перед временной координатой dt. Потенциал g11, стоящий перед пространственной коорди- натой dr, при сделанных допущениях оказался невостребованным. Пространственная составляющая гравита- ционного потенциала. То же касается и мно- жителя R (x, y, z) в выражении для потенциала кривизны (16). С точки зрения принципа ло- кальности определения R как расстояния до центра масс тела является некорректным. Но понимания R как значения радиуса кривизны эквипотенциальной поверхности в исследуе- мой точке является уже локальным и, соответ- ственно, корректным. Продемонстрируем это простым при- мером. Для точки Северного полюса Земли радиус Земли (полярный радиус) равняется r =6356,779 км. Но радиус кривизны эквипо- тенциальной поверхности, который проходит через эту точку, вследствие эллипсоидально- сти поверхности Земли и соответственно упло- щенности ее в районе полюса будет большим (R >r ). И именно R характеризует простран- ственную кривизну континуума пространство- время в данной точке поверхности и должно использоваться в определении гравитацион- ного потенциала. Посчитаем потенциалы кривизны Ф1, ап- проксимируя поверхность Земли, а точнее — эквипотенциальную ее поверхность эллипсои- дом обращения с современными значениями полярного r и экваториального r радиусов. Радиус кривизны R меридионального эллипса в точке ( 0, z0) имеет вид [Кузьмичев, 1989] 3/22 2 2 2 0 0 4 4e n e n x z R r r r r . (19) Тогда при g(x0) = ge= 9,78 м/с2, g(z0) = gn= = 9,832 м/с2, re=6378,164 км, rn=6356,779 км получаем 2 2 6356,815n e e rR r r км, 2 6399,621e n n r R r км, а для потенциалов кривизны Ф1 на полюсе и экваторе 7 1 62921,07 10n n ng R см2/с2, 7 1 62169,65 10g R см2/с2. (20) Поскольку 1n 1 , то поверхность Земли нельзя считать эквипотенциальной, Для вос- становления эквипотенциальности значение потенциала на полюсе должно уменьшиться на 100 ( 1n– 10)/ 10 0,6 %, а на экваторе уве- личиться на 0,6 %, где [ ] 7 10 1 1 1 62545,36 10 2 n e см2/с2 (21) является значением потенциала для эквипотен- циальной поверхности Земли (геоида). Приведем аргументы, объясняющие не- эквипотенциальность современной реальной поверхности воды Мирового океана. А сей- час покажем, каким образом устанавливает- ся необходимый для определения потенциала кривизны Ф1 (16) радиус кривизны R в точке эквипотенциальной поверхности. Определение пространственной состав- ляющей кривизны континуума. Алгоритм определения гравитационного потенциала. Можно удивляться, но гравиметрия оказалась подготовленной для практического изучения гравитационного потенциала, поскольку она предлагает метод измерения радиуса кривиз- И. В. КАРПЕНКО 82 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 ны в точке эквипотенциальной поверхности [Гравиразведка, 1990], который определяется через вторые производные гравитационного потенциала по координатам , y, z: 2 2xx x , 2 2yy y , 2 2zz z , 2 xy x y , 2 yz y z , 2 xz x z . Непосредственно измеряются xz, yz, xy, а также разница – =Ф . Вторые произ- водные вычисляются гравитационным варио- метром и градиентометром. Вариометр по- зволяет измерять только xz и yz. Единицей измерения вторых производных служит этвеш (1Е=10–9с–2). Если начало прямоугольной системы коор- динат совместить с исследуемой точкой экви- потенциальной поверхности, ось z направить по нормали к ней, а оси и разместить в ка- сательной плоскости к эквипотенциальной по- верхности, направив ось на юг, то z g z , xz g x , yz g y , zz g z , (22) где g — ускорение силы тяжести по нормали. Кривизна нормального сечения эквипотен- циальной поверхности, составляющая угол ϕ с плоскостью 0z, определяется уравнением [Гравиразведка, 1990] ( 21 1 xx zR )2 xy yy , (23) где R — радиус кривизны эквипотенциальной поверхности вдоль линии пересечения, кото- рая размещена под углом ϕ к плоскости 0z. Главные нормальные сечения, для которых кривизна 1/R приобретает максимальное или минимальное значение, определяются урав- нениями ( 2 0 max 1 1 xx zR )2 0 0xy yy , (24) ( 2 0 1 1 xx zR )2 0 0xy yy , (25) где 0 — азимут одного из сечений с макси- мальным или минимальным значением радиу- са кривизны; второе из сечений будет иметь азимут 0+ /2. Поскольку в общем случае значение 0 не- известно, то его исключение из рассмотрения обеспечивается получением среднего значения из выражений (24) и (25): 1 1 1 2 R R ( )1 2 2 xx yy z R R R R . (26) Учитывая, что (Rmax+R )/2=Ra — среднее арифметическое, а R R R — средне- геометрическое значение из величин Rmax и R , то при плавном поведении гравитацион- ного поля, т. е. малом отличии величин Rmax и R , можно принять, что R R R — среднее значение пространственной кривизны в ис- следуемой точке. Тогда из (26) получим 2 2z xx yy xx yy gR . (27) С учетом (27) алгоритм определения грави- тационного потенциала принимает вид 2 1 2 xx yy ggR gR . (28) Поскольку Ф1 — значение энергии в иссле- дуемой точке, т.е. положительная функция, то должно выполняться условие 0 . (29) Другими словами, функция Ф ( , , z) в каж- дой точке эквипотенциальной поверхности должна быть выпуклой вверх. Приведем примеры, подтверждающие не- обходимость использования радиуса кривизны как в «силовых», так и «энергетических» по- становках задач физики Земли. Обобщение закона тяготения Ньютона на несферические неоднородные тела типа гео- ида. Выражение ускорения силы тяжести для пробного тела в гравитационном поле, созда- ваемом массой (12), содержит квадрат рас- стояния (r2) от пробного тела до центра тела массой . Выражение (12) справедливо только для сферически симметричной сферы. Зада- димся вопросом, нельзя ли распространить эту ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ В ТОЧКАХ ... Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 83 формулу на тела более сложной формы, на- пример на неоднородный эллипсоид. Может ли выражение для ускорения быть представ- ленным в виде 2g GM R , (30) где R — радиус кривизны эквипотенциальной поверхности в точке нахождения пробного тела. Речь идет не об удаленном от массы пробном теле, когда масса М может быть пред- ставлена сосредоточенной в точке центра масс, а точке на поверхности эллипсоида, для которой принцип дальнодействия Ньютона уже не вы- полняется, тогда как для сферы принцип даль- нодействия в этом случае сохраняет свою силу. Для ответа на поставленный вопрос про- изведем вычисления массы тела , используя оба выражения (12) и (30) для ускорения силы тяжести. Оценки M массы Земли получим с помощью следующих формул: ньютоновской 2 /M gr G (31) и предлагаемой (30) 2 /M gR G , (32) где M может быть названа кажущейся массой Земли относительно исследуемой точки на ее поверхности. Поскольку ньютоновская формула, как уже отмечалось, предполагает сосредоточение всей массы Земли в ее центре масс, то для нашей задачи она является заведомо несправедливой. Но усредняя полученные оценки iM , 1,i N , где N — количество измерений на по- верхности Земли, можно надеяться на получе- ние усредненной оценки 1 1 N i i M M N , сколь угодно близкой к действительному значению . По крайней мере, для сферического тела со случайными флуктуациями радиуса ее поверх- ности r получаем: на полюсе 2 3 2 11 9,832 (6356,779 10 ) 6,6720 10 n ng r M G 245,955 10 кг, на экваторе 2 3 2 11 9,78 (6378,164 10 ) 6,6720 10 e eg r M G 245,963 10 кг. Среднее значение M =5,959 1024 кг от- личается от действительного значения =5,976 1024 кг [Тяпкін, 1998] на ( )M M M 100 %=0,28 %. Полученные оценки M , M M . (33) Поскольку все другие точки поверхности Земли дают оценки iM , находящиеся внутри диапазона iM M M , то никакими усредне- ниями с помощью ньютоновской формулы (31) получить точную оценку значения не удастся. Как видим, для варианта аппрокси- мации Земли однородным эллипсоидом вра- щения эта оценка оказывается заниженной. Теперь оценим массу Земли, используя зна- чения радиуса кривизны эквипотенциальной поверхности в этих же точках Земли. С помо- щью формулы (32) получаем: на полюсе 2 3 2 11 9,832 (6399,621 10 ) 6,6720 10 n ng R M G 246,035 10 (кг), на экваторе 2 3 2 11 9,78 (6356,815 10 ) 6,6720 10 g R M G 245,923 10 (кг). Среднее значение M =5,979 1024 кг отли- чается от действительного значения на ( )M M M ·100 %=0,05 %. Как видим, точность оценки по крайней мере в 5 раз выше, чем полученной по ньютоновской формуле (31). Но главное в ином. Поскольку значение массы и ее оценки с помощью формулы (32) находятся в диапазоне M M M , (34) то появляются основания для вывода, что в случае не аналитически вычисленных для эл- липсоида вращения, а реально измеренных значений радиусов кривизны, точность оценки с помощью формулы (32) и последующего усреднения может быть получена сколь угодно высокой. Общим выводом из проведенного рассмо- трения, наверное, является то, что выражение (30) может рассматриваться как следующее по- сле ньютоновского приближение для ускоре- ния силы тяжести. Но поскольку величины g и И. В. КАРПЕНКО 84 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 R поддаются непосредственному измерению в «локальном» варианте, то практический смысл имеет это же выражение, но в видоизмененной форме (32), с помощью которого получается оценка M массы Земли в каждой точке поверх- ности Земли. Это позволяет определить избы- ток или дефицит массы в точке относительно реальной массы , т. е. .M M M Так, превы- шение оценочной массы относительно реаль- ной на полюсе составляет (6,035–5,976) 1024 (кг) или 0,99 %, а дефицит массы на экваторе — (5,976–5,923) 1024=0,053 1024 (кг) или 0,89 %. Разница в оценочных (кажущихся) массах на полюсе и экваторе свидетельствует о суще- ствующей неоднородности в распределении масс внутри Земли, что, в свою очередь, явля- ется причиной возникновения коромантийных перетоков в направлении восстановления ее однородности. Добавим также, что возможность оценки избытка (дефицита) масс в каждой точке по- верхности Земли через аппаратурно измеряе- мые локальные характеристики гравитацион- ного поля (ускорение g и радиус кривизны R) открывает новые перспективы для решения различных геологических задач при поиске полезных ископаемых, но уже в «энергетиче- ской» постановке задачи, поскольку оценива- ется масса, т. е. энергия ( 2=E Mc ), а не сила, как это имеет место при изучении только ускоре- ния силы тяжести. Выше было сосредоточено внимание на решении прикладной задачи — определе- нии избытка (дефицита) масс относительно какой-либо точки поверхности Земли, тогда как целью было обобщение закона тяготения Ньютона на случай несферического тела с рас- средоточенной (не сконцентрированной в цен- тре масс тела) массой. Собственно приведен- ный пример и показал, что замена в формуле Ньютона радиуса — расстояния r на радиус кривизны R эквипотенциальной поверхности в исследуемой точке — позволяет расширить применимость формулы Ньютона на несфе- рические тела с рассредоточенной массой, по крайней мере на случай неоднородного эллип- соида обращения типа геоида. Этот же пример свидетельствует о правомочности представле- ния гравитационного потенциала в виде (16), поскольку гравитационный потенциал — это энергия, а в приведенном примере определя- лась масса, т. е. также энергия. Определение широты, для которой массы Земли являются изостатически уравновешен- ными. Приведем еще аргументы, свидетель- ствующие о правильности представления гра- витационного потенциала в точке поверхности эллипсоида вращения в виде произведения ускорения силы тяжести на радиус кривизны эквипотенциальной поверхности, проходя- щей через эту точку. Для этого воспользуемся свойством эквивалентности момента инерции и гравитационного потенциала в задаче дости- жения эллипсоидом вращения критического состояния, при котором ось его вращения из- меняется на ортогональную [Карпенко, 2007]. Обозначим главные экваториальные момен- ты инерции эллипсоида через и , а главный полярный момент инерции — через . В нашем случае >A, B и вращение устойчиво. Но если в процессе коромантийных перетоков один из экваториальных моментов, например , срав- нится с , то вращение станет неустойчивым и ось вращения изменит свое положение — вращение реализуется вокруг оси с моментом инерции . Современные значения момента инерции вдоль меридиана, проходящего через главные оси вращения с моментами и , имеют вид эллипса с большой осью и малой . После достижения условия = значения момента инерции становятся окружностью с радиу- сом J0=(A+C)/2. Точки пересечения эллипса и окружности определяют на поверхности современного эллипсоида широту (южную и северную), для которой момент инерции уже имеет значение J0. Это широты, на которых уже не происходят процессы, изменяющие ге- одинамическое состояние данной части Земли. Наоборот, в других местах, в первую очередь на обоих полюсах и экваторе, такие изменения происходят в направлении достижения значе- ния момента инерции, равного J0. Уравнение для определения координат 0, z0 точек пересечения эллипса и окружности имеет вид 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 x z x z JA C . (34) Его решение таково: 0,52 22 0 0 0 2 2 2 0 0 arctg arctg z J AC x A C J . (35) Для числовых значений моментов инерции [Тяп- кін, 1998] =8,042·1044 г·см2, =8,068·1044 г·см2, J0=8,055·1044 г·см2 получаем 0 45 5 . (36) Таким образом, можно считать, что в преде- ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ В ТОЧКАХ ... Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 85 лах широтных зон со значением центральной широты, примерно равной 45°, геодинамиче- ские процессы, связанные с перетоками ко- романтийного вещества (притоком или отто- ком последнего), уже закончены и эти широты могут рассматриваться как некие граничные, разделяющие геодинамические активные при- полярные и приэкваториальные области. Такую же величину 0 мы обязаны получить и при анализе гравитационных потенциалов для характерных точек (на экваторе и полю- се) геоида. При достижении эквипотенци- альности вдоль рассмотренной меридианной линии значение потенциала станет равным Ф10=62545·107 см2/с2 (21). Далее, повторяя из- ложенные рассуждения, находим точки пере- сечения современного эллипса с большой 1n и малой 1 осями (20) со сферой радиуса 10: 0 0 0 arctg z x 0,52 2 2 1 10 1 2 2 2 1 1 10 arctg 45 2n e e n . (37) Полученные значения широт(36) и (37) оказались практически одинаковыми. Это означает, что представление гравитационно- го потенциала точки на поверхности геоида в виде произведения локальных характеристик ускорения и радиуса кривизны является пра- вильным. Различие в полученных величинах углов составляет единицы угловых минут и объясняется погрешностями определения как моментов инерции, так и гравитационных по- тенциалов. Почему воды Мирового океана не обеспе- чивают эквипотенциальности его поверхно- сти. Как уже обсуждалось, в практике грави- метрических работ принята гипотеза об экви- потенциальности поверхности воды Мирового океана в спокойном состоянии. Сейчас можно уточнить эту гипотезу: невозмущенная поверх- ность воды океана может считаться эквипо- тенциальной только вдоль линий северной и южной широт со значением примерно 45°. На этой широте гравитационный потенциал уже равняется значению 10=62545,36 107 см2/с2, т. е. значению, которое будет иметь вся поверх- ность геоида после окончания геодинамиче- ского процесса перетекания коромантийного вещества и достижения состояния геодинами- ческого (изостатического) равновесия. Таким образом, поверхность Мирового оке- ана не является эквипотенциальной. Об этом можно судить также и по тому, что она не сво- бодна от «вековых течений», т. е. характери- зуется довольно таки стационарной системой приполярных и приэкваториальных течений, которые разделены зонами, примерно контро- лируемыми 45 широтами в северном и южном полушариях. Назовем наиболее известные из них: 1) течение западных ветров в западном полушарии, контролируемое широтой около 50° ю. ш. и северотихоокеанское течение здесь же, но на широте 40° с. ш. Эти широты не остались незамеченными и исследователями-геологами. Приведем ци- тату [Хаин, 2010]: «… дифференциальное по- ведение полярной и экваториальной областей планеты с разделом примерно по 40-м градусам широты имеют своим следствием противопо- ложную направленность трансгрессий и ре- грессий океана в этих областях…». Почему же не наблюдается перераспреде- ление водных масс, направленного на дости- жение равенства 1n 1e, т. е. от экватора, где потенциал имеет наименьшее значение, к полюсу, где он наибольший? Ведь в повсе- дневной жизни вода течет от точек с меньшим значением потенциала к точкам с большим по- тенциалом (например, с гор и континентов у долины, реки и моря). Для получения ответа на поставленный во- прос используем второй принцип термодина- мики. Согласно ему энтропия макроскопиче- ской системы в случае необратимых процес- сов, каким и является процесс эволюционного развития Земли (в противовес катастрофи- ческому), только возрастает. Максимальное свое значение энтропия приобретает тогда, когда система достигает состояния равновесия [Кузьмичев, 1989]. Состоянию равновесия и максимуму энтропии соответствует эквипо- тенциальная поверхность Земли. В данном случае максимальные значения потенциала находятся на полюсах, а минималь- ные — на экваторе, поэтому перетекание вод- ных масс от экватора к полюсам еще больше увеличило бы эту разницу, а это равноценно уменьшению энтропии системы, что запреща- ется вторым законом термодинамики. Но пере- текание от полюсов к экватору также невоз- можно, поскольку для этого необходимо при- ложить к водам на полюсе некую силу, которая бы превысила противоположно направленную силу, связанную с разницей гравитационных потенциалов на полюсе и экваторе. Как пока- зано в работе [Карпенко, 2010], для твердотель- ной Земли в качестве такой силы выступает И. В. КАРПЕНКО 86 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 сила архимедового выталкивания мантийного материала в зонах спрединга, расталкиваю- щая литосферные плиты от зоны спрединга в направлениях достижения изостатического равновесия Земли. Для водных масс на поверхности твердо- тельной Земли такой силы не существует. Но здесь срабатывает другой механизм, обеспе- чивающий образование циклических течений в Мировом океане. И этот механизм связан с процессом самоорганизации, описываемым теорией самоорганизации — синергетикой [Николис, Пригожин, 1979]. Систему называют самоорганизующейся, если она без специфи- ческого воздействия извне обретает какую-то пространственную, временную или функцио- нальную структуру. Широко известен пример неспецифического воздействия: жидкость, подогреваемая снизу, образует в результате самоорганизации макроструктуру в виде ше- стиугольных ячеек. Одним из основных свойств самооргани- зующихся систем является открытость (в противоположность закрытым системам, для описания динамики которых достаточно по- нятия энтропии), а также то, что самооргани- зующиеся системы не характеризуются со- стоянием изостатического (в данном случае) равновесия, т. е. являются принципиально не- равновесными. Собственно факт существова- ния в водной оболочке Земли стационарной системы циклических течений является доста- точным для характеристики ее как неравновес- ной открытой самоорганизующейся системы, обладающей также свойствами нелинейности и диссипативности. Необходимым условием длительного су- ществования самоорганизующейся системы является непрерывный приток извне и (или) сток вовнутрь вещества или энергии, проис- ходящий в каждой точке системы. В качестве такого притока внешней энергии выступает солнечная энергия. Более сильное нагревание воды в экваториальной зоне и соответствую- щее уменьшение ее плотности создают пер- вичный «толчок» для запуска системы и ее дальнейшей самоорганизации. Нетрудно заметить, что система цикличе- ских течений Мирового океана достаточно четко, особенно в местах отсутствия влияния континентов и крупных островных архипела- гов, делится на приполярные и приэкватори- альные подсистемы и это деление происходит примерно на широтах ϕ0 = 45°, т. е. на широтах, где состояние изостатического равновесия уже достигнуто. Создается впечатление, что пере- текания воды возможны только от экватора к широтам ± ϕ0 и от полюсов к этим же широтам, и наоборот (встречные ветви потоков). Если опять обратиться к понятию энтропии, то эти перете- кания также должны происходить в направле- нии увеличения энтропии. Но на широтах ±ϕ0 энтропия уже максимальная, увеличение ее здесь невозможно. Поэтому широты ±ϕ0, похо- же, выступают как некие барьеры на пути пере- текания водных масс от экватора к полюсам. Водные массы не могут пересечь этот барьер, а только обмениваются здесь температурой. Возможно, что с этой причиной связано также отсутствие айсбергов на широтах \|ϕ\|<\|ϕ0\|. Таким образом, ответ на поставленный в за- головке подраздела вопрос, состоит в том, что существующее распределение гравитацион- ного потенциала по поверхности Земли благо- приятствует гравитационному перемещению водных масс от экватора к полюсам. Но такое перемещение должно сопровождаться умень- шением энтропии, поскольку содействует уве- личению разницы значений гравитационных потенциалов на экваторе и полюсе, поэтому оказывается невозможным. Перемещение водных масс от полюсов к экватору способ- ствует изостатическому выравниванию в рас- пределении масс Земли, поскольку уменьшает разницу в значениях потенциалов на экваторе и полюсах и согласуется с требованием уве- личения энтропии. Однако для реализации этого процесса необходимы силы, способные переместить водные массы полярных зон в на- правлении экватора, т. е. в направлении, про- тивоположном воздействию гравитационного поля. Поскольку такие силы для водной обо- лочки Земли неизвестны, то приходится при- знать существующее распределение водных масс на поверхности Земли как изостатически неуравновешенное, а поверхность воды Миро- вого океана — как неэквипотенциальную. Но изостатическая неуравновешенность совместно с постоянным подтоком солнечно- го тепла к водным массам является причиной возникновения в водах Мирового океана са- моорганизующейся системы. Она реализует- ся посредством образования приполярных и приэкваториальных циркулирующих течений с разделом на северной и южной широте со значением 45°, где массы Земли являются изо- статически уравновешенными. Выводы. 1. В физике Земли существует класс задач, решение которых требует знания грави- тационного потенциала в каждой точке поверх- ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ В ТОЧКАХ ... Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 87 ности Земли и (или) внутри ее. Это задачи в так называемой «энергетической» постанов- ке (в противоположность — «силовой»), когда требуется оценить энергетическое состояние конкретной точки исследуемой среды. К таким задачам, в первую очередь, относятся изоста- тические, оперирующие понятиями энергети- чески уравновешенных и неуравновешенных состояний, а также задачи синергетики — нау- ки о самоорганизации различных физических процессов в неравновесных системах. 2. Попытки решения подобных задач в «силовой» постановке посредством изучения ускорения силы тяжести, в общем случае, не- правомочны. Они корректны лишь в отдельных частных случаях и объясняются, как правило, отсутствием метода определения значения гра- витационного потенциала в исследуемой точке среды, т. е. уже не силовой, а энергетической характеристики поля. 3. С привлечением понятий общей теории относительности обосновывается, что значе- ние гравитационного потенциала для модели реальной Земли типа неоднородного сфери- чески симметричного геоида (эллипсоида об- ращения) может быть представлено в виде про- изведения ускорения силы тяжести на радиус кривизны эквипотенциальной поверхности, проходящей через исследуемую точку. Ускоре- ние силы тяжести «отвечает» за временную, а радиус кривизны — пространственную состав- ляющие единого пространственно-временного континуума. Такое представление оценивается как первое (если считать за нулевое ньютонов- ское определение потенциала для сферически симметричной и однородной сферы) прибли- жение реального гравитационного потенциала. Обосновывается практическая возможность определения потенциала существующими гра- виметрическими методами с использованием гравиметров, гравитационных вариометров и градиентометров. Достоверность первого приближения до- казывается на трех следующих примерах. 4. Показано, что аналитическое выражение для ньютоновского ускорения силы тяжести (g=GM/r2), определенное для точек поверхно- сти сферически симметричной однородной сферы радиусом r, для случая неоднородного тела типа эллипсоида вращения представля- ется в виде g=GM/R2, т. е. радиусом кривизны R эквипотенциальной поверхности, проходя- щей через исследуемую точку поверхности. В качестве примера достоверности такого пред- ставления приведено определение кажущейся массы Земли 2M gR G относительно любой точки поверхности Земли по измеренным зна- чениям g и R, позволяющее более корректно ставить задачу установления «дефицита» или «избытка» масс под той или иной точкой по- верхности Земли. 5. Во втором примере исследуется свойство эквивалентности момента инерции и грави- тационного потенциала в задаче достижения эллипсоидом вращения критического энер- гетического состояния, при котором ось его вращения изменяется на ортогональную. Ис- пользование значений первого приближения гравитационного потенциала в этой задаче оказалось практически равноценным исполь- зованию моментов инерции, что подтверждает довольно высокую точность первого прибли- жения для реальной Земли. 6. В третьем примере с помощью первого приближения гравитационного потенциала обосновывается, почему поверхность воды Мирового океана не является эквипотенци- альной. В целом, уже факт существования ста- ционарной системы приполярных и приэква- ториальных водных течений свидетельствует об изостатической неуравновешенности по- верхности воды Мирового океана, т. е. ее не- эквипотенциальности. Показано, что эквипо- тенциальностью обладают широты (северная и южная) со значением примерно 45°, которые и выступают в качестве природных барьеров в системе самоорганизации стационарных цир- куляционных течений. Гравиразведка: Справочник геофизика. 2-е изд., перераб. и доп./ Под ред. Е. А. Мудрецовой, К. Е. Веселова. — Москва: Недра, 1990. — 607 с. Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — Москва: Наука, 1983. — 416 с. Список литературы Захаров В. Д. Тяготение. От Аристотеля до Эйнштей- на. — Москва: БИНОМ, 2003. — 278 с. Карпенко І. В. Рівняння ізостазії для поверхні Землі // Зб. наук. праць Укр. держ. геолого-розвід. ін- И. В. КАРПЕНКО 88 Геофизический журнал № 4, Т. 33, 2011 ту. — Київ: Укр. держ. геолого-розвід. інс-т., 2010. — № 1—2. — С. 105—115. Карпенко І. В. Фізичні основи тектоніки глобальних катастроф // Зб. наук. праць Укр. держ. геолого- розвід. ін-ту. — Київ: Укр. держ. геолого-розвід. ін-т., 2007. — № 3. — С. 74—82. Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики / Отв. ред. В. К. Тартаковский. — Киев: Наук. думка, 1989. — 864 с. Миронов В. С. Курс гравиразведки. 2-е изд., перераб. и доп. — Ленинград: Недра, 1980. — 543 с. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в не- равновесных системах. — Москва: Мир, 1979. — 512 с. Пантелеев В. Л. Теория фигуры Земли // Курс лек- ций. — Москва: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 67 с. Тяпкін К. Ф. Фізика Землі: Підручник. — Київ: Вища школа, 1998. — 291 с. Хаин В. Е. Об основных принципах построения подлинно глобальной модели динамики Земли // Геология и геофизика. — 2010. — 51, № 6. — С. 753—760.

Гравитационный потенциал: определение и измерение в точках поверхности несферического неоднородного тела

Репозитарії

Схожі ресурси