Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства
На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде, проведен анализ отражения объемных волн от свободной границы. Найдено распределение энергии падающей волны между отраженными волнами. Обнаружены качественные различия между коэффиц...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/970 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 4. — С. 5-14. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-970 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9702008-10-15T18:35:27Z Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства Городецкая, Н.С. На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде, проведен анализ отражения объемных волн от свободной границы. Найдено распределение энергии падающей волны между отраженными волнами. Обнаружены качественные различия между коэффициентами отражения медленной продольной волны от проницаемой и непроницаемой свободных границ. Для вертикальной компоненты среднего за период вектора потока мощности справедлив принцип суперпозиции по энергии, который заключается в том, что энергия, приносимая на границу падающей волной, равна энергии, переносимой в глубину отраженными волнами. Неоднородная волна энергию в глубину не переносит. Вдоль границы полупространства принцип суперпозиции по энергии не выполняется. На базі теорії Біо, яка передбачає існування трьох типів хвиль у пористо-пружному насиченому рідиною середовищі, проведено аналіз процесу відбиття хвиль вид вільної границі. Знайдено розподіл енергії падаючої хвилі між відбитими хвилями. Виявлені якісні відмінності між коефіцієнтами відбиття повільної поздовжньої хвилі для проникної та непроникної вільних границь. Для вертикальної компоненти середнього за період потоку потужності працює принцип суперпозиції по енергії, який полягає в тому, що енергія, яка приноситься падаючою хвилею на границю, дорівнює енергії, яку переносять відбиті хвилі. Неоднорідні хвилі енергію в глибину не переносять. Вздовж границі принцип суперпозиції не виконується. On the basis of the Biot theory, predicting the existence of three types of bulk waves in a porous-elastic fluid-saturated medium, the analysis of reflection of bulk waves from free boundary is conducted. The energy distribution of an incident wave between the reflected waves is found. Qualitative distinctions between the energy reflection coefficients for slow longitudinal wave from free boundaries with open and close pores are discovered. For the vertical components of a period-averaged power flow vector, the principle of superposition on energy is valid. This last states that the energy of the incident wave is equal to the energy of the reflected waves. There exists not energy transfer deep into the media by evanescent waves. The principle of superposition on energy is not valid along the boundary. 2002 Article Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 4. — С. 5-14. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/970 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде, проведен анализ отражения объемных волн от свободной границы. Найдено распределение энергии падающей волны между отраженными волнами. Обнаружены качественные различия между коэффициентами отражения медленной продольной волны от проницаемой и непроницаемой свободных границ. Для вертикальной компоненты среднего за период вектора потока мощности справедлив принцип суперпозиции по энергии, который заключается в том, что энергия, приносимая на границу падающей волной, равна энергии, переносимой в глубину отраженными волнами. Неоднородная волна энергию в глубину не переносит. Вдоль границы полупространства принцип суперпозиции по энергии не выполняется. |
| format |
Article |
| author |
Городецкая, Н.С. |
| spellingShingle |
Городецкая, Н.С. Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства |
| author_facet |
Городецкая, Н.С. |
| author_sort |
Городецкая, Н.С. |
| title |
Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства |
| title_short |
Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства |
| title_full |
Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства |
| title_fullStr |
Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства |
| title_full_unstemmed |
Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства |
| title_sort |
отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/970 |
| citation_txt |
Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства / Н. С. Городецкая // Акуст. вісн. — 2002. — Т. 5, N 4. — С. 5-14. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gorodeckaâns otraženievolnotsvobodnojgranicyporistouprugogonasyŝennogožidkostʹûpoluprostranstva |
| first_indexed |
2025-07-02T04:33:19Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:33:19Z |
| _version_ |
1836508302615248896 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
УДК 539.3
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ
ПОРИСТО-УПРУГОГО НАСЫЩЕННОГО
ЖИДКОСТЬЮ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Н. С. ГО РО ДЕЦКА Я
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 23.12.2002
На основе теории Био, которая предсказывает существование трех типов волн в пористо-упругой насыщенной жид-
костью среде, проведен анализ отражения объемных волн от свободной границы. Найдено распределение энер-
гии падающей волны между отраженными волнами. Обнаружены качественные различия между коэффициентами
отражения медленной продольной волны от проницаемой и непроницаемой свободных границ. Для вертикальной
компоненты среднего за период вектора потока мощности справедлив принцип суперпозиции по энергии, который
заключается в том, что энергия, приносимая на границу падающей волной, равна энергии, переносимой в глубину
отраженными волнами. Неоднородная волна энергию в глубину не переносит. Вдоль границы полупространства
принцип суперпозиции по энергии не выполняется.
На базi теорiї Бiо, яка передбачає iснування трьох типiв хвиль у пористо-пружному насиченому рiдиною середовищi,
проведено аналiз процесу вiдбиття хвиль вид вiльної границi. Знайдено розподiл енергiї падаючої хвилi мiж вiдби-
тими хвилями. Виявленi якiснi вiдмiнностi мiж коефiцiєнтами вiдбиття повiльної поздовжньої хвилi для проникної
та непроникної вiльних границь. Для вертикальної компоненти середнього за перiод потоку потужностi працює
принцип суперпозицiї по енергiї, який полягає в тому, що енергiя, яка приноситься падаючою хвилею на границю,
дорiвнює енергiї, яку переносять вiдбитi хвилi. Неоднорiднi хвилi енергiю в глибину не переносять. Вздовж границi
принцип суперпозицiї не виконується.
On the basis of the Biot theory, predicting the existence of three types of bulk waves in a porous-elastic fluid-saturated
medium, the analysis of reflection of bulk waves from free boundary is conducted. The energy distribution of an incident
wave between the reflected waves is found. Qualitative distinctions between the energy reflection coefficients for slow
longitudinal wave from free boundaries with open and close pores are discovered. For the vertical components of a period-
averaged power flow vector, the principle of superposition on energy is valid. This last states that the energy of the
incident wave is equal to the energy of the reflected waves. There exists not energy transfer deep into the media by
evanescent waves. The principle of superposition on energy is not valid along the boundary.
ВВЕДЕНИЕ
Количественные данные, описывающие отраже-
ние волн от свободной границы, необходимы как
для анализа и трактовки экспериментальных ре-
зультатов, так и для более глубокого понимания
особенностей волновых процессов на границе. Эти
процессы достаточно полно изучены для бесконеч-
ных границ изотропных однофазных сред. Для
изотропного упругого тела, в котором могут рас-
пространяться два типа волн – продольные и попе-
речные, коэффициенты отражения для них (а, сле-
довательно, и распределение энергии падающей
волны между отраженными волнами) определяю-
тся только коэффициентом Пуассона материала и
углом падения волны. В этом случае имеет место
регулярное отражение, при котором коэффициен-
ты отражения не зависят от частоты.
Однако во многих реальных ситуациях при опи-
сании волновых процессов модель однофазной сре-
ды может считаться лишь первым приближени-
ем. Зачастую, особенно в задачах сейсмологии, не-
обходимо учитывать многокомпонентный состав и
пористое строение среды. В настоящее время для
макроскопического описания волновых процессов
в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде
(именно так в большинстве случаев представляют
поверхностные слои земной коры) наиболее широ-
кое распространение получили два направления.
Одно из них основано на исследованиях М. Био, а
второе – на теории смесей.
Теория, развитая М. Био [1], является обоб-
щением теории упругости на случай двухфазных
сред с учетом дополнительных параметров, учи-
тывающих взаимодействие фаз. В ее рамках было
предсказано существование трех типов волн: бы-
строй и медленной продольных, а также попе-
речной. Быстрая продольная и поперечная волны
аналогичны волнам в упругом теле, в то время
как медленная продольная волна – это, так на-
зываемая, “диффузионная волна”, существование
которой нашло экспериментальное подтверждение
только в 1980-е годы [2]. В силу своей простоты и
наглядности, а также благодаря эксперименталь-
ному подтверждению основных положений, тео-
рия Био стала основополагающей при решении
многих практических задач.
Статья [3] – одна из первых работ, в которых
c© Н. С. Городецкая, 2002 5
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
теория Био использовалась для описания процес-
са отражения волн от свободной границы. В ней
сформулированы виды граничных условий для
свободной поверхности:
1) проницаемая граница (поры на границе
открыты);
2) непроницаемая граница (поры на границе за-
крыты).
В работе [4] на основе теории Био проведен ана-
лиз процесса отражения волны, падающей из жид-
кости на границу раздела “жидкость – пористо-
упругое полупространство” с учетом как потерь в
скелете, так и вязкости поровой жидкости. Одна-
ко при этом рассмотрен только случай отраже-
ния от проницаемой границы. Кроме того, в [4] не
приведены коэффициенты прохождения для волн
всех типов. В статьях [5, 6] показано существова-
ние трех типов поверхностных волн на границе
жидкости и пористо-упругого полупространства.
Анализ проводился для открытых и закрытых пор
на границе. Авторы [7], основываясь на результа-
тах исследования [5,6], провели анализ отражения
волн на границе “жидкость – пористо-упругое по-
лупространство” для общего типа граничных усло-
вий. При этом рассматривалось падение волны
как из жидкости, так и из пористо-упругого полу-
пространства. Отметим, что в [5 –7] диссипатив-
ные эффекты в средах не учитывались. Анализ
распределения вертикальной составляющей пото-
ка мощности падающей волны между отражен-
ными и прошедшими волнами в зависимости от
угла падения показал, что существуют принципи-
альные различия в распределении энергии пада-
ющей волны между отраженными и прошедши-
ми волнами для случаев открытых и закрытых
пор на границе. Количественно и качественно ме-
няется зависимость энергии, которую переносит
отраженная медленная продольная волна, от угла
падающей волны. В частности, при падении бы-
строй продольной волны энергия, которую перено-
сит отраженная медленная волна, имеет максимум
при определенном угле падения и стремится к ну-
лю при нормальном падении для случая открытых
на границе пор. Для непроницаемой границы (по-
ры на границе закрыты) при изменении угла паде-
ния от скользящего падения до нормального энер-
гия, переносимая медленной продольной волной,
вначале увеличивается, достигая определенной ве-
личины (порядка 15 % энергии падающей волны),
и при дальнейшем увеличении угла падения оста-
ется постоянной. При падении на свободную гра-
ницу поперечной волны при изменении угла па-
дения энергия медленной отраженной продольной
волны для проницаемой границы имеет два ло-
кальных максимума, а для непроницаемой грани-
цы – только один.
В данной работе модель Био использована для
описания процессов отражения волн от свободной
границы пористо-упругого полупространства (без
учета диссипативных эффектов в среде). Рассмо-
трены как проницаемая, так и непроницаемая сво-
бодные границы. Исследован важный случай отра-
жения от границы объемных плоских двухмер-
ных волн. Несмотря на относительную просто-
ту рассматриваемой задачи, анализ ее решения
позволяет наглядно оценить влияние различных
факторов (углов падения, проницаемости или не-
проницаемости границы) на процесс отражения
объемных волн. Найдено распределение энергии
падающей волны между отраженными волнами в
вертикальном и в горизонтальном направлениях.
Показано, что вдоль свободной границы бездис-
сипативного пористо-упругого полупространства
(при условии, что скорость медленной продоль-
ной волны является наименьшей) распространяет-
ся квази-поверхностная волна, образованная в ре-
зультате взаимодействия неоднородных быстрой
продольной и поперечной волн, а также распро-
страняющейся медленной продольной волной.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим пористо-упругое полупространство
−∞<x<∞, z≥0 со свободной поверхностью z=0.
Векторы смещений упругого скелета u и жидкости
v удовлетворяют уравнению движения для упру-
гой и жидкой фаз с учетом их взаимодействия [1]:
µ∆u+ (H − µ) grad divu − C graddivw =
= ρ∂2
t u− ρf∂
2
tw,
C graddivu −M grad divw =
= ρf∂
2
tu− αρf
m
∂2
tw − F ∂tw.
(1)
Здесь ρ – средняя плотность, связанная с плотно-
стями упругого скелета ρs и жидкости ρf соотно-
шением
ρ = (1 −m)ρs +mρf ;
m – пористость;w=m(u−v);H, C,M – комплекс-
ные коэффициенты, определяемые через характе-
6 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
ристики среды [9]:
H =
(Ks −Kb)
2
D −Kb
+Kb + 4µ/3,
C =
Ks(Ks −Kb)
D −Kb
, M =
K2
s
D −Kb
,
D = Ks[1 +m(Ks/Kf − 1)];
(2)
Ks – модуль всестороннего сжатия упругого скеле-
та; Kf – модуль всестороннего сжатия жидкости;
Kb – модуль всестороннего сжатия пористой сре-
ды; µ – модуль сдвига пористой среды; α – извили-
стость. Посредством величины α определяется ко-
эффициент динамической связи упругого скелета
и жидкости ρ12<0:
ρ12 = (1 − α)ρfm.
Кроме того, в правой части второго уравнения (1)
F = f(ω)(ρf νf )/Kpr,
где νf – кинематическая вязкость; Kpr – проница-
емость; f(ω) – частотно-зависимая функция, опре-
деляемая характером движения жидкости по по-
рам упругого скелета.
Компоненты тензора напряжений в пористо-
упругой среде имеют вид [3]
τij =2µeij +[(H−2µ−Cm)e−(C−mM )ζ]δij ,
σf =(Cme−mMζ), τij =σs
ij+σ
f ,
ζ=divw, e=divu,
(3)
где eij – тензор деформаций; δij – символ Кроне-
кера.
В случае отсутствия напряжений на поверхно-
сти пористо-упругого полупространства возмож-
ны два типа граничных условий:
• свободная поверхность с открытыми порами;
• свободная поверхность с закрытыми порами.
Для случая открытых пор (проницаемая граница)
граничные условия можно представить в виде [3]
σs
zz(x, 0) = 0, σs
xz(x, 0) = 0,
σf (x, 0) = 0.
(4)
Если поры закрыты (непроницаемая граница),
граничные условия изменяются:
τzz(x, 0) = 0, τxz(x, 0) = 0,
τij = σs
ij + σf δij , uz(x, 0) = vz(x, 0).
(5)
В соотношениях (4), (5) τij – тензор напряжений,
приложенных к пористо-упругой среде; σs
ij – тен-
зор напряжений, приложенных к упругому скеле-
ту; σf =−mp0 – сила, действующая на жидкость,
отнесенная к единице поперечного сечения пори-
стой среды; p0 – давление в жидкости.
В насыщенной пористой среде при постоянном
отношении расхода жидкости к градиенту давле-
ния (течение Пуазейля) частотную зависимость
вязкого сопротивления потоку жидкости можно не
учитывать и считать f≈1 вплоть до частот, при
которых вязкие и инерционные силы имеют оди-
наковый порядок [1, 9]. В работе [1] М. Био пред-
положил, что характер изменения отношения си-
лы трения на межфазовых поверхностях к отно-
сительному расходу жидкости в зависимости от
частоты в пористо-упругой среде будет таким же,
как и при течении вязкой жидкости в цилиндри-
ческой трубке постоянного сечения. Такое предпо-
ложение позволило ему ввести корректирующую
частотно-зависимую функцию f в виде
f =
kT (k)
4(1 − 2T (k)/ik)
, k = a2
√
ω/νf ,
T (k) =
ber ′(k) + i bei ′(k)
ber (k) + i bei (k)
.
(6)
Здесь ber (k), bei (k) – действительная и мнимая
части функций Кельвина; ω – круговая частота;
a2 – структурный коэффициент, имеющий размер-
ность длины, он зависит от размера и формы пор
и определяется экспериментально. В работе [1] для
a2 принято
a2 = η
√
Kpr
m
, (7)
где η – коэффициент, учитывающий геометрию
пор. Согласно последним экспериментам, прове-
денным на ансамбле сфер, получено η=3.2 [10].
Векторы смещения в жидкости и в упругом ске-
лете могут быть представлены через скалярный и
векторный потенциалы:
u = ∇φs + rotψs, divψs = 0,
v = ∇φf + rotψf , divψf = 0.
(8)
При этом скалярный потенциал допускает пред-
ставление [1]
φs = φ0 + φ1. (9)
Функции φj определяются как решения уравнений
Гельмгольца
∆φj + k2
jφj = 0, k2
j =
ω2
c2
sj , j = 0, 1. (10)
Н. С. Городецкая 7
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
Здесь sj – корень квадратного уравнения
A1s
2
j −B1sj + C1 = 0, j = 0, 1 (11)
с коэффициентами
A1 = q22q11 − q212, C1 = Γ11Γ22 − Γ2
12 + iΓ,
B1 = q11Γ22 + q22Γ11 − 2q12Γ12 + iΓ.
В последних соотношениях введены обозначения
Γij =
ρij
ρ
, Γ =
m2ρfνf
Kprρω
,
ρ11 = (1 −m)ρs − ρ12, ρ22 = mρf − ρ12,
q11 =
H − 2Cm+Mm2
H
, q22 =
Mm2
H
,
q12 =
Cm−Mm2
H
, c2 =
H
ρ
.
Для потенциала φf справедливо уравнение
φf = M0φ0 +M1φ1
с коэффициентами
Mj =
Γ11q22−Γ12q12−A1sj +(q22+q12)iΓ
Γ22q12−Γ12q22+(q22+q12)iΓ
,
j = 0, 1.
(12)
Векторный потенциал ψs удовлетворяет уравне-
нию Гельмгольца
∆ψs + k2
2ψs = 0,
k2
2 =
ω2ρ
µ
[
Γ11 +M2Γ12 + (1 −M2)iΓ
] (13)
и соотношению
ψf = M2ψs,
M2 =
−Γ12 + iΓ
Γ22 + iΓ
.
(14)
2. ОТРАЖЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН БЕЗ
УЧЕТА ДИССИПАЦИИ
Рассмотрим отражения объемных волн от сво-
бодной границы пористо-упругого полупростран-
ства без учета затухания в среде. Если диссипация
в пористо-упругом полупространстве не учитыва-
ется, то νf =0, а H, µ, C, M действительны.
Между процессами отражения быстрой про-
дольной, медленной продольной и поперечной
волн существуют качественные различия, на ко-
торых мы остановимся ниже.
Пусть на границу полупространства падает
быстрая продольная волна, которая описывается
потенциалом
φ1 = Ã1e
i(ξ̃x+α̃1z)e−iωt,
α̃1 =
√
k2
1 − ξ̃2.
(15)
Здесь ξ̃=k1 cos θ – волновое число поверхностной
волны; θ – угол падения.
В соответствии с возможностью существования
трех типов волн в пористо-упругой среде, отра-
женное поле может быть представлено в виде сум-
мы быстрой и медленной продольных, а также по-
перечной волн, которые описываются потенциала-
ми
φ0 = A0e
i(ξ0x−α0z)e−iωt,
φ1 = A1e
i(ξ1x−α1z)e−iωt,
ψ1 = Bei(ξ2x−α2z)e−iωt,
αi =
√
k2
i − ξ2i , i = 0, 1, 2,
ξ0 = k0 cos θ0, ξ1 = k1 cos θ0,
ξ2 = k2 cos γ2.
(16)
Выполнение граничных условий для проницаемой
границы (4) позволяет определить коэффициен-
ты отраженных волн A0, A1 и B через амплиту-
ду падающей волны Ã1. Кроме того, выполнение
граничных условий дает связь между углами отра-
жения (закон Снеллиуса):
k1 cos θ = k0 cos θ0 = k1 cos θ1 = k2 cos γ2 ,
ξ̃ = ξ0 = ξ1 = ξ2 = ξ.
(17)
Из приведенных соотношений следует, что угол
отражения быстрой продольной волны равен углу
падения, а углы отражения медленной продольной
и поперечных волн, определяемые соотношения-
ми (17), всегда больше угла падения. Амплитуды
8 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
отраженных волн принимают значения
A0 =
2ξ2α1α2
δ
(
k2
2
2
− 1 − ν
1 − 2ν
k2
1
)
,
A1 =
1
δ
[
β2 1 − ν
1 − 2ν
(k2
1 − k2
0) − 2ξ2α2×
×
(
k2
2
2
(α0 + α1) −
1 − ν
1 − 2ν
(k2
0α0 + k2
1α1)
)]
,
B =
ξα1
δ
(
ξ2 − k2
2
2
)
1 − ν
1 − 2ν
(k2
1 − k2
0),
δ = 2ξ2α2
(
k2
2
2
(α0 − α1)−
− 1 − ν
1 − 2ν
(k2
0α0 − k2
1α1)
)
−
−β2 1− ν
1 − 2ν
(k2
1 − k2
0),
β =
k2
2
2
− ξ2.
(18)
Анализ соотношений (18) позволяет установить
некоторые особенности процесса отражения. Ам-
плитуда медленной продольной волны равна нулю
(A0=0) при α1=0, α2=0, ξ=0 и
k2
2
2
− 1 − ν
1 − 2ν
k2
1 = 0. (19)
Равенство α1=0 соответствует скользящему па-
дению (θ=0), а ξ=0 – нормальному падению
(θ=π/2). Условие α2=0 никогда не выполняется,
так как c1 всегда больше c2. Соотношение (19),
связывающее скорости быстрой продольной и по-
перечной волн, для пористо-упругой среды не
выполняется. Оно справедливо только для идеаль-
ной упругой среды.
Для определенных углов падения в отражен-
ном поле может отсутствовать быстрая продоль-
ная волна (A1=0). Это соответствует уравнению
2ξ2α2
(
k2
2
2
(α0 + α1) −
1 − ν
1 − 2ν
(k2
0α0 + k2
1α1)
)
−
−β2 1 − ν
1 − 2ν
(k2
1 − k2
0) = 0,
которое выполняется только при определенных со-
отношениях параметров среды. В отличие от упру-
гого полупространства (продольная волна исче-
зает при ν<0.26 для определенных углов θ), в
данном случае невозможно выделить только один
определяющий параметр. Для углов падения, при
которых cos θ=
√
c1/2c2, в отраженном поле отсут-
ствует поперечная волна. В отличие от отраже-
ния волн от свободной границы в идеально упру-
гой среде, в данном случае явления полного пре-
вращения типа движения или полного сохранения
типа движения наблюдаются только при нормаль-
ном падении. Для других углов в отраженном поле
всегда существует медленная продольная волна.
Выполнение граничных условий для непроница-
емой границы (5) дает следующие выражения для
коэффициентов отраженных волн A0, A1, B через
амплитуду падающей волны Ã1:
A0 =
2τ1α1
δ1
(m2ξ
2+m1β),
A1 =− 1
δ1
[β(α0m0τ1+α1m1τ0)−
−ξ1α0α1α2(m0−m1)+ξ
2m2(τ1α0+τ0α1)],
B=
2τ1α1α0ξ
δ1
(m0−m1),
δ1 =β(α0m0τ1−α1m1τ0)+
+ξ2α0α1α2(m0−m1)+ξ
2m2(τ1α0−τ0α1),
τj =
H
2ν
[(q11+q12+Mj(q12+q22)]k
2
j −ξ2,
mi =1−Mi, i=0, 1, 2, j=0, 1.
(20)
При падении на свободную поверхность медлен-
ной продольной или поперечной волны ситуация
существенно меняется. Рассмотрим процесс отра-
жения поперечной волны (Ψei(ξx+γz)e−iωt) от сво-
бодной проницаемой границы. При выполнении
граничных условий (4) соотношение (17) преобра-
зуются к виду
γ = γ2,
k2 cos γ = k0 cos θ0 = k1 cos θ1.
Н. С. Городецкая 9
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
Коэффициенты отраженных волн имеют вид
A0 = −2ξα2β
δ
(
k2
2
2
− 1− ν
1 − 2ν
k2
1
)
,
A1 =
2ξα2β
δ
(
k2
2
2
− 1 − ν
1 − 2ν
k2
0
)
,
B =
1
δ
[
β2 1 − ν
1 − 2ν
(k2
1 − k2
0) + ξ2α2×
×
(
k2
2
2
(α0 − α1) −
1 − ν
1 − 2ν
(k2
0α0 − k2
1α1)
)]
.
(21)
Отметим, что в отличие от падения быстрой
продольной волны, процесс отражения попереч-
ных волн невозможно истолковать в рамках луче-
вых представлений для всех углов падения. При
определенных углах падения поперечной волны γ
углы для отраженных продольных волн θ1 и θ0 мо-
гут становиться чисто мнимыми.
Для быстрой продольной волны при докрити-
ческих углах падения (cos γ=c2/c1) отраженная
быстрая продольная волна становится неоднород-
ной. Для этих углов количественный анализ про-
цесса отражения может быть выполнен на основа-
нии соотношений (21), если положить
α1 =
√
k2
2 cos γ − k2
1 .
Для медленной продольной волны, в зависимо-
сти от параметров среды, возможны два случая:
1) ее скорость меньше скорости поперечной вол-
ны – c0<c2 (тогда медленная продольная вол-
на при всех углах падения остается распро-
страняющейся);
1) ее скорость превышает скорость поперечной
волны – c0>c2 (тогда при определенных углах
падения поперечной волны медленная про-
дольная волна становится неоднородной).
В этом случае количественные оценки могут быть
получены из соотношений (21), если положить
α0 = i
√
k2
2 cos γ − k2
0 .
Отметим, что неравенство c1>c0 справедливо все-
гда. Поэтому существует диапазон углов падения
поперечной волны, при которых медленная про-
дольная волна остается распространяющейся, а
быстрая становится неоднородной. При падении
поперечной волны под углом π/4 (β=0) в отра-
женном поле не существует продольных волн. Это
угол, при котором сохраняется тип движения. За-
метим, что угол падения π/4 для быстрой продоль-
ной волны меньше критического, поэтому в его
окрестности отраженная быстрая продольная вол-
на будет неоднородной. Медленная же продольная
волна вблизи данного угла может быть как распро-
страняющейся, так и неоднородной, в зависимости
от параметров среды.
При докритических углах падения поперечной
волны амплитуды отраженных волн становятся
комплексными, т. е. существует сдвиг фаз между
силами, действующими на упругий скелет, и век-
тором перемещений упругого скелета u, а также
между силами, действующими на поровую жид-
кость, и вектором перемещения жидкости v.
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Для анализа энергетических закономерностей
исследуемых волновых процессов рассмотрим рас-
пределение потока мощности падающей волны ме-
жду отраженными волнами. Вектор плотности
потока мощности в пористо-упругой насыщенной
жидкостью среде определяется соотношением [7]
Pi = −σs
ijuj − σfδijvj .
Для гармонических процессов, как правило, рас-
сматривают средний за период T =2π/ω поток
мощности:
P̃i =
1
T
T∫
0
Pidt = − iω
4
(σs
iju
∗
j − σs∗
ij uj+
+σf δijv
∗
j − σf∗δijvj).
Знак ∗ означает комплексное сопряжение. Для
рассматриваемого двумерного случая компоненты
среднего потока мощности можно записать
P̃x = − iω
4
(
σs
xxu
∗
x − σs∗
xxux + σs
xzu
∗
z−
−σs∗
xzuz + σf v∗x − σf∗vx
)
,
P̃z = − iω
4
(
σs
zzu
∗
z − σs∗
zzuz + σs
xzu
∗
x−
−σs∗
xzux + σf v∗z − σf∗vz
)
.
(22)
В случае падения на свободную границу (прони-
цаемую или непроницаемую) быстрой продольной
10 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
волны получаем
P̃z =
ωµ
2
{
H
µ
[
Λ1α1(Φ
2 −A2
1)−
−Λ0α0A
2
0
]
− α2k
2
2B
2
}
,
Λi = k2
i (q11 + 2q12Mi + q22M
2
i ).
(23)
В направлении нормали к поверхности справед-
лив принцип суперпозиции средних потоков мощ-
ности, переносимых отдельными типами волн. Он
заключается в том, что в выражение (23) не вхо-
дят слагаемые с перекрестными произведениями
Φ, A0, A1, B, а средний за период поток мощнос-
ти в направлении нормали определяется суммой
потоков мощности, переносимых отдельными вол-
нами. Если в соотношения (23) подставить значе-
ния амплитуд при отражении от проницаемой и
непроницаемой границ (формулы (20) и (21) со-
ответственно), то P̃z =0. Это равенство выражает
закон сохранения энергии: энергия, подводимая к
границе падающей волной, равна энергии, которая
уносится отраженными волнами.
Вдоль границы компонента среднего за период
вектора потока мощности имеет иную структуру:
P̃x =
ωµ
2
[
−2ξ
(
H
µ
Λ0+k
2
0−2ξ2
)
A2
0−
−2ξ
(
H
µ
Λ0 + k2
1−2ξ2
)
(A2
1+Φ2)+
+ξB2(2k2
2−ξ2)+2ξA1Φ(Λ1−k2
1) cos 2λ1z+
+2
[
A0B(α0+α2) cos (α2−α0)z+
+A1B(α1+α2) cos (α2−α1)z+
+ΦB(α2−α1) cos (α2+α1)z
](k2
2
2
− 2ξ2
)
−
−4ξ
[
(ξ2−α1α0)A0A1 cos (α1−α0)z+
+(ξ2+α1α0)A0Φ cos (α1+α0)z
]
.
(24)
Вдоль границы принцип суперпозиции по пото-
ку мощности неприменим, поскольку в выраже-
ние (24) входят слагаемые с перекрестными про-
изведениями Φ, A0, A1, B. Кроме того, компонен-
та вектора потока мощности P̃x зависит от z, т. е.
является направленной величиной.
В случае падения поперечной волны средняя за
период плотность потока мощности в глубину (Pz)
определяется соотношением
P̃z =
ωµ
2
[
H
µ
(
−Λ1
α1+α
∗
1
2
|A1|2e(α1−α∗
1
)z−
−Λ0
α0+α∗
0
2
|A0|2e(α0−α∗
0
)z−α2k
2
2|B|2
)
−Ψ2
]
.
(25)
Для докритических углов падения величины
α∗
0=α0 и α∗
1=α1 являются вещественными. При
закритических углах для быстрой продольной вол-
ны α∗
1=−α1, и неоднородная быстрая продоль-
ная волна энергию в глубину не переносит. Анало-
гичная ситуация наблюдается для медленной про-
дольной волны. Если параметры среды таковы,
что медленная продольная волна также станови-
тся неоднородной, то справедливо |B| = Ψ при до-
критических углах падения для обоих типов про-
дольных волн.
4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Приведем распределение энергии падаю-
щей волны между различными типами отра-
женных волн для конкретных параметров
пористо-упругих сред, рассчитанное для пористо-
упругой среды с характеристиками m=0.36,
α=1.58, ρf =103 кг/м3, Kf =2.25·109 Н/м2
Ks =4.99·1010 Н/м2 µ=3.26·109 Н/м2, ν=0.24 [8].
На рис. 1, а представлено распределение Pz между
отраженными волнами при различных углах па-
дения θ при отражении от проницаемой границы
в случае падающей быстрой продольной волны.
Аналогичная картина представлена на рис. 1, б
для непроницаемой границы (P0 – энергия па-
дающей волны, угол измеряется в радианах).
Кривые 1 соответствуют медленной продольной,
кривые 2 – быстрой продольной и кривые 3 –
поперечной волнам. Из графиков видно, что рас-
пределение энергии между отраженными волнами
существенно зависит от угла падения. При этом
характер распределения энергии от угла для
быстрой продольной и поперечных волн практи-
чески одинаков как для проницаемой, так и для
непроницаемой свободной границы. Отметим, что
для случая контакта пористо-упругого полупро-
странства с жидкостью распределения энергии
падающей волны между отраженными быстрой
продольной и поперечной волнами качественно
похожи на графики рис. 1, а, б [7].
Принципиально иная ситуация наблюдается для
медленной продольной волны. В случае проницае-
мой границы эта волна имеет энергетический мак-
симум для малых углов падения и практически
Н. С. Городецкая 11
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
/
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
P z
/
P 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
/
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
P z
/
P 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
23
а б
/
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
P z
/
P 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
23
/
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
P z
/
P 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
в г
Рис. 1. Распределение энергии падающей волны между отраженными волнами:
а – при падении быстрой продольной волны на проницаемую границу;
б – при падении быстрой продольной волны на непроницаемую границу;
в – при падении поперечной волны на проницаемую границу;
г – при падении медленной продольной волны на проницаемую границу
исчезает при больших углах падения быстрой про-
дольной волны (см. рис. 1, а). Для непроницаемой
границы при малых углах падения нормированная
энергия медленной продольной волны увеличива-
ется, а при дальнейшем увеличении угла падения
становится практически постоянной. Для обоих
рассчитанных случаев медленная продольная вол-
на переносит не более 16 % энергии падающей вол-
ны. Для границы “жидкость – пористо-упругое по-
лупространство” медленная продольная волна при
закрытых порах возбуждается очень слабо [7]. За-
метим, что для среды с рассматриваемыми пара-
метрами полного превращения типа движения не
наблюдается.
На рис. 1, в представлена вертикальная ком-
понента среднего за период потока мощности
отраженных волн Pz/P0 при падении на свобод-
ную проницаемую границу поперечной волны.
Для рассматриваемого случая только быстрая
продольная волна становится неоднородной для
углов падения, меньших критического. Сравнивая
рис. 1, а, в, отметим, что для докритических углов
падения существует много общего в распределе-
нии энергии падающей волны между отражен-
ными волнами. Так, для больших углов падения
медленная продольная волна исчезает, при нор-
мальном падение наблюдается полное сохранение
типа волны, а при уменьшении угла падения наи-
12 Н. С. Городецкая
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
более энергетически выраженной становится вол-
на другого типа (при падении быстрой продоль-
ной волны – поперечная, при падении попереч-
ной – быстрая продольная). Вблизи критическо-
го угла наблюдается резкий рост энергии медлен-
ной продольной волны, которая переносит более
60 % энергии падающей волны. Для углов па-
дения, меньших критического, практически вся
энергия переносится отраженной поперечной вол-
ной. Важной особенностью процесса отражения
поперечной волны является проявление полного
сохранения типа движения для двух углов паде-
ния: γ=π/2 и γ=π/4. Вблизи (γ=π/4) быстрая
продольная волна является неоднородной, а ме-
дленная продольная волна – распространяющей-
ся.
На рис. 1, г представлена вертикальная компо-
нента потока мощности отраженных волн Pz/P0
для случая падения на свободную проницаемую
границу медленной продольной волны. При углах
падения θ0<0.66 в отраженном поле распростра-
няется только медленная продольная волна, а по-
перечная и быстрая продольная волны являют-
ся неоднородными. В диапазоне углов падения
0.66<θ<1.12 в отраженном поле распространя-
ются медленная продольная волна и поперечная
волна, а быстрая продольная волна остается не-
однородной. Для θ>1.12 все волны в отражен-
ном поле становятся распространяющимися. Та-
ким образом, для выбранных параметров среды
существуют два критических угла падения – для
поперечной волны, которая становится неоднород-
ной при углах падения, меньших критического, и
для быстрой продольной волны.
Сравнение рис. 1, в, г показывает, что вблизи
критических углов наблюдается сильная транс-
формация энергии падающей волны в объемные
волны другого типа. При углах падения, меньших
критического, для быстрой продольной волны су-
ществует угол падения (не равный π/2), при ко-
тором наблюдается полное сохранение типа дви-
жения. При падении медленной продольной волны
на свободную проницаемую границу быстрая про-
дольная волна возбуждается слабо (см. рис. 1, г)
и для выбранных параметров среды ее энергия не
превышает 12 % энергии падающей волны вблизи
критического угла.
Общие решения задач об отражении объемных
волн от свободной границы являются основой для
описания особенностей распространения поверх-
ностной волны. Существование такой волны мож-
но рассматривать как некую резонансную ситуа-
цию, когда при стремлении к бесконечности ам-
плитуды падающей волны перемещения остаются
u
-1 -0.5 0 0.5 1
z
/
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
ux
ux
uz
uz
Рис. 2. Компоненты вектора смещений
в упругом скелете при закритических углах
падения медленной продольной волны
конечными. Формально такая ситуация возможна
при обращении в нуль знаменателей коэффициен-
тов отраженных волн. Для проницаемой границы
это условие выглядит как равенство δ=0, а для не-
проницаемой – δ1 =0 при некоторых мнимых углах
отражения (θ0 = iθ̃0, θ1 = iθ̃1, γ= iγ̃).
Введя обозначение x=cr/c2, условие δ=0 пред-
ставим в следующем виде:
1−ν
1−2ν
c2
c0
((
1− x
2
)2
−
√
1−x
√
1− c2
c1
x
)
−
− 1−ν
1−2ν
c2
c1
((
1− x
2
)2
−
√
1−x
√
1− c2
c0
x
)
+
+
√
1−x
2
(√
1− c2
c1
x−
√
1− c2
c0
x
)
= 0.
(26)
Здесь cr – фазовая скорость поверхностной волны.
Следует отметить, что для пористо-упругой сре-
ды с параметрами, выбранными при расчетах, в
случаях проницаемой или непроницаемой границы
не существует поверхностной волны, образованной
тремя неоднородными волнами (быстрой продоль-
ной, медленной продольной и поперечной). Одна-
ко поскольку скорость распространения медлен-
ной продольной волны является наименьшей, то за
счет взаимодействия неоднородных быстрой про-
дольной и поперечной волн с распространяющейся
медленной продольной волной может быть образо-
вана квази-поверхностная волна. Это наблюдает-
ся для углов падения, меньших критического угла
для поперечной волны, при падении на границу
раздела медленной продольной волны. Проанали-
Н. С. Городецкая 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2002. Том 5, N 4. С. 5 – 14
зируем для этого случая вектор смещений в отра-
женном поле. На рис. 2 представлены компонен-
ты вектора смещений в упругом скелете, нормиро-
ванные на величину uz(z=0). Сплошные кривые
соответствуют углу падения θ=2π/21, а штрихо-
вые – θ=4π/21. Из графика видно, что как верти-
кальная, так и горизонтальная компоненты смеще-
ний осциллируют, причем с увеличением угла па-
дения медленной продольной волны период осцил-
ляций уменьшается. С увеличением z амплитуды
обеих компонент смещения уменьшаются, однако
не стремятся монотонно к нулю, как в идеально
упругой среде, а осциллируют за счет распростра-
няющейся медленной продольной волны. Траекто-
рии движения частиц представляют собой элли-
псы. Таким образом, формируется волна, перено-
сящая энергию в глубину, за счет распространя-
ющейся медленной продольной волны. Вдоль на-
правления распространения средний за период по-
ток мощности зависит от z.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведен анализ процесса отражения объемных
волн от свободной границы пористо-упругого по-
лупространства. Показано, что существуют значи-
тельные различия при отражении волн от прони-
цаемой и непроницаемой свободной границы. Для
отраженной медленной продольной волны эти раз-
личия носят не только количественный, но и каче-
ственный характер. При падении на границу по-
перечной или медленной продольной волн суще-
ствуют критические углы, ниже которых отражен-
ная волна становится неоднородной. Вблизи кри-
тических углов наблюдается сильная трансформа-
ция энергии падающей волны в отраженные волны
другого типа.
Для вертикальной компоненты среднего за пе-
риод вектора потока мощности справедлив прин-
цип суперпозиции по энергии, который заключае-
тся в том, что энергия, приносимая на границу па-
дающей волной, равна энергии, переносимой в глу-
бину отраженными волнами. Неоднородная волна
энергию в глубину не переносит. Вдоль границы
полупространства принцип суперпозиции по энер-
гии не выполняется.
Как и в случае упругого полупространства,
при отражении поперечной волны, падающей под
углом γ=π/4, наблюдается полное сохранение ти-
па движения. Для таких углов падения быстрая
продольная волна всегда неоднородна. Медленная
же продольная волна может быть как распростра-
няющейся, так и неоднородной, в зависимости от
параметров среды.
Если фазовая скорость медленной продольной
волны является наименьшей, то при ее падении
на свободную границу в области закритических
углов падения для быстрой продольной и попе-
речной волн существует квази-поверхностная вол-
на. В этой волне частицы движутся по эллипсу, а
амплитуда смещений максимальна вблизи свобод-
ной поверхности. При этом за счет существования
распространяющейся медленной продольной вол-
ны квази-поверхностная волна переносит энергию
в глубину.
1. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in
fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer.–
1956.– 28, N 2.– P. 168–191.
2. Plona T. J. Observation of a second bulk compressi-
onal wave in a porous medium at ultrasonic frequenci-
es // Appl. Phys. Let.– 1980.– 36.– P. 259–261.
3. Deresiewicz H., Rice J. T. The effect of boundaries
on wave propagation in a liquid-filled porous solid.
III. Reflection of plane waves at a free plane boundary
(general case) // Bull. Seism. Soc. Amer.– 1962.– 52,
N 3.– С. 595–625.
4. Stoll R., Kan T.-K. Reflection of acoustic waves at a
water-semident interface // J. Acoust. Soc. Amer.–
1981.– 70, N 1.– P. 149–156.
5. Feng S., Johnson D. L. High-frequency acoustic
properties of fluid/porous solid interface. I. New
surface mode // J. Acoust. Soc. Amer.– 1983.– 74,
N 3.– P. 906–914.
6. Feng S., Johnson D. L. High-frequency acoustic
properties of fluid/porous solid interface II. The 2D
reflection Green’s function // J. Acoust. Soc. Amer.–
1983.– 74, N 3.– P. 915-924.
7. Wu K., Xue Q, Adler L. Reflection and transmission
of elastic waves from a fluid-saturated porous solid
boundary // J. Acoust. Soc. Amer.– 1990.– 87, N 6.–
P. 2349–2358.
8. Johnson D. L., Plona T., Kojima H. Probing porous
media with first and second sound. II. Acoustic
properties of water-saturated porous media //
J. Appl. Phys.– 1994.– 76, N 1.– P. 115–125.
9. Столл Р. Д. Акустические волны в водо-
насыщенных осадках // Акустика морских
осадков.– М.: Мир, 1977.– С. 28–46.
10. Badiey M.,Cheng A.H.-D., Mu Y. From geology to
geoacoustics Evaluation of Biot – Stoll sound speed
and attenuation for shallow water acoustics //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 103, N 1.– P. 309–
320.
14 Н. С. Городецкая
|