Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки
Решена задача об осесимметричном нестационарном нагружении полого цилиндра, покоящегося на жестком основании. На боковых поверхностях цилиндра заданы условия первой основной задачи теории упругости. Волновое поле внутри цилиндра определялось с помощью подхода, основанного на дискретизации уравнений...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/973 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки / Н. Д. Вайсфельд // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 18-25. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-973 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9732008-10-15T18:49:59Z Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки Вайсфельд, Н.Д. Решена задача об осесимметричном нестационарном нагружении полого цилиндра, покоящегося на жестком основании. На боковых поверхностях цилиндра заданы условия первой основной задачи теории упругости. Волновое поле внутри цилиндра определялось с помощью подхода, основанного на дискретизации уравнений движения по времени и использовании метода интегральных преобразований. Полученная одномерная векторная краевая задача решалась с помощью построения матричной функции Грина. Получено эффективное приближенное решение исходной физической задачи. Численно исследована зависимость величины напряжений цилиндра от его геометрических размеров и времени. Розв'язано задачу про осесиметричне нестаціонарне навантаження порожнистого циліндра, який знаходиться у спокої на жорсткій основі. На бічних поверхнях циліндра задані умови першої основної задачі теорії пружності. Хвильове поле всередині циліндра визначалось за допомогою підходу, який базується на дискретизації рівнянь руху за часом і використання методу інтегральних перетворень. Отримана одномірна векторна крайова задача розв'язувалась за допомогою побудови матричної функції Гріна. Отримано ефективний наближений розв'язок вихідної фізичної задачі. Чисельно досліджено залежність величини напружень циліндра від його геометричних розмірів і часу. A problem of axisymmetric non-stationary loading of a hollow cylinder situated on a rigid basis is solved. The conditions of the first fundamental problem of the theory of elasticity are set on lateral surfaces of the cylinder. Wave field inside the cylinder was determined with the help of an approach based on the time digitization of equations of motion and usage of the method of integral transformations. The received one-dimensional vector boundary problem was solved through construction of the matrix Green's function. The efficient approximate solution of the initial physical problem is received. The dependence of tensions in the cylinder on its geometrical sizes and time is numerically investigated. 2003 Article Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки / Н. Д. Вайсфельд // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 18-25. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/973 539.3 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Решена задача об осесимметричном нестационарном нагружении полого цилиндра, покоящегося на жестком основании. На боковых поверхностях цилиндра заданы условия первой основной задачи теории упругости. Волновое поле внутри цилиндра определялось с помощью подхода, основанного на дискретизации уравнений движения по времени и использовании метода интегральных преобразований. Полученная одномерная векторная краевая задача решалась с помощью построения матричной функции Грина. Получено эффективное приближенное решение исходной физической задачи. Численно исследована зависимость величины напряжений цилиндра от его геометрических размеров и времени. |
| format |
Article |
| author |
Вайсфельд, Н.Д. |
| spellingShingle |
Вайсфельд, Н.Д. Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки |
| author_facet |
Вайсфельд, Н.Д. |
| author_sort |
Вайсфельд, Н.Д. |
| title |
Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки |
| title_short |
Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки |
| title_full |
Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки |
| title_fullStr |
Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки |
| title_full_unstemmed |
Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки |
| title_sort |
определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/973 |
| citation_txt |
Определение волнового поля внутри полого упругого цилиндра под действием осесимметричной нестационарной нагрузки / Н. Д. Вайсфельд // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 3. — С. 18-25. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vajsfelʹdnd opredelenievolnovogopolâvnutripologouprugogocilindrapoddejstviemosesimmetričnojnestacionarnojnagruzki |
| first_indexed |
2025-07-02T05:12:37Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:12:37Z |
| _version_ |
1836510775333617664 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ
ВНУТРИ ПОЛОГО УПРУГОГО ЦИЛИНДРА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ НАГРУЗКИ
Н. Д. ВА Й СФ ЕЛ Ь Д
Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова
Получено 20.03.2003 � Пересмотрено 24.12.2003
Решена задача об осесимметричном нестационарном нагружении полого цилиндра, покоящегося на жестком осно-
вании. На боковых поверхностях цилиндра заданы условия первой основной задачи теории упругости. Волновое
поле внутри цилиндра определялось с помощью подхода, основанного на дискретизации уравнений движения по
времени и использовании метода интегральных преобразований. Полученная одномерная векторная краевая задача
решалась с помощью построения матричной функции Грина. Получено эффективное приближенное решение исхо-
дной физической задачи. Численно исследована зависимость величины напряжений цилиндра от его геометрических
размеров и времени.
Розв’язано задачу про осесиметричне нестацiонарне навантаження порожнистого цилiндра, який знаходиться у спо-
кої на жорсткiй основi. На бiчних поверхнях цилiндра заданi умови першої основної задачi теорiї пружностi. Хви-
льове поле всерединi цилiндра визначалось за допомогою пiдходу, який базується на дискретизацiї рiвнянь руху
за часом i використання методу iнтегральних перетворень. Отримана одномiрна векторна крайова задача розв’я-
зувалась за допомогою побудови матричної функцiї Грiна. Отримано ефективний наближений розв’язок вихiдної
фiзичної задачi. Чисельно дослiджено залежнiсть величини напружень цилiндра вiд його геометричних розмiрiв i
часу.
A problem of axisymmetric non-stationary loading of a hollow cylinder situated on a rigid basis is solved. The conditions
of the first fundamental problem of the theory of elasticity are set on lateral surfaces of the cylinder. Wave field inside
the cylinder was determined with the help of an approach based on the time digitization of equations of motion and usage
of the method of integral transformations. The received one-dimensional vector boundary problem was solved through
construction of the matrix Green’s function. The efficient approximate solution of the initial physical problem is received.
The dependence of tensions in the cylinder on its geometrical sizes and time is numerically investigated.
ВВЕДЕНИЕ
Сплошные и полые упругие цилиндры являю-
тся одними из типичных тел, которые встречаю-
тся в практике расчетов при исследовании воздей-
ствия различных нагрузок на элементы констру-
кций. Исследованию напряженного состояния та-
ких тел посвящено большое количество публика-
ций. Так, в [1] изложены теория и методы расчета
полых упругих цилиндров, работающих в услови-
ях сложных статических нагрузок. Осесимметри-
чные колебания упругого цилиндра конечной дли-
ны изучались в работах [2, 3]. В монографии [4]
исследованы задачи дифракции волн в многосвя-
зных телах, ограниченных круговыми цилиндри-
ческими поверхностями. Точные решения некото-
рых смешанных задач несвязанной термоупруго-
сти для конечного кругового цилиндра даны в [5].
Особенный практический интерес вызывают за-
дачи, связанные с исследованием напряженного
состояния упругих цилиндров при воздействии не-
стационарных нагрузок. Основные трудности при
их решении, как правило, связаны с обращени-
ем преобразования Лапласа и являются следстви-
ем сложности процесса распространения упругих
волн в конечных телах. В работах [6,7] с помощью
применения преобразования Лапласа по времени
рассмотрены нестационарные задачи о деформи-
ровании полого цилиндра конечной длины и мно-
гослойного цилиндра. В результате задача сведена
к системе интегральных уравнений Вольтерра 1-го
рода, которые решались численно.
В данной работе представлено решение нестаци-
онарной задачи для конечного полого кругового
цилиндра, на боковых (цилиндрических) поверх-
ностях которого заданы условия первой основной
задачи теории упругости, а на торцах – условия
скользящей заделки. Для решения предлагается
эффективный приближенный метод, основанный
на использовании дискретизации уравнений дви-
жения по времени (вместо применения преобразо-
вания Лапласа) и методе интегральных преобразо-
ваний. Это позволяет свести исходную постановку
к векторной краевой задаче, которая решается с
помощью аппарата матричной функции Грина.
18 c© Н. Д. Вайсфельд, 2003
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается упругий полый конечный кру-
говой цилиндр a0≤r≤a1, −π≤ϕ≤π, 0≤z≤ l
(рис. 1). Один из торцов цилиндра z=0 находи-
тся в условиях гладкого контакта с абсолютно жес-
тким основанием. Другой торец z= l сцеплен с аб-
солютно жесткой накладкой массы m, к которой
приложена нестационарная динамическая нагруз-
ка PH(t). Здесь P – заданная сила; H(t) – еди-
ничная функция Хевисайда. Под действием этой
нагрузки точки торца z= l смещаются на неизве-
стную величину U0(t). Цилиндрические поверхно-
сти r=ai, i=0, 1 свободны от напряжений:
τrz|r=ai
= 0, σr|r=ai
= 0, i = 0, 1. (1)
При такой постановке вектор смещений состоит
из двух ненулевых компонент ur(r, θ, t), uz(r, θ, t),
удовлетворяющих уравнениям движения [8]
1
r
∂
∂r
(r
∂ur
∂r
) +
∂2ur
µ∗∂z2
− ur
r2
+
+
µ0
µ∗
∂2uz
∂r∂z
=
1
µ∗c2
∂2ur
∂t2
,
1
r
∂
∂r
(r
∂uz
∂r
) + µ∗
∂2uz
∂z2
+
+
µ0
r
∂
∂r
(r
∂ur
∂z
) =
1
c2
∂2uz
∂t2
,
µ0 = (1 − 2µ)−1, µ∗ = 2(1− µ)µ0
(2)
при краевых условиях на торцах
uz|z=0 = 0, τrz|z=0 = 0,
uz|z=l = −U0(t), τrz|z=l = 0.
(3)
Для того, чтобы определить неизвестное смеще-
ние U0(t), используется уравнение движения на-
кладки
∫
s
σz(r, l, t)ds + PH(t) = m
d2U0(t)
dt2
. (4)
Требуется найти неизвестную величину смещений
U0(t) и волновое поле внутри цилиндра при нуле-
вых начальных условиях.
2. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К ВЕКТОРНОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
Предполагая, что волновое поле цилиндра бу-
дет исследоваться на временном интервале [0; T ],
разобьем его на N интервалов с шагом h=T/N . В
Рис. 1. Постановка задачи
формулах (2) и (4) вторая производная по времени
заменяется разностным соотношением:
∂2f
∂t2
=
fj
h2
− 2
fj−1
h2
+
fj−2
h2
,
fj(r, z) = f(r, z, jh),
j = 2, 3, . . . , N.
(5)
Введем обозначения
urj(r, z) = uj(r, z), uzj(r, z) = wj(r, z). (6)
С учетом соотношений (5) и (6) уравнения дви-
жения (2) и краевые условия (1) и (3) запишем в
виде
1
r
∂
∂r
(r
∂uj
∂r
) +
∂2uj
µ∗∂z2
− uj
r2
− uj
µ∗c2h2
+
+
µ0
µ∗
∂2wj
∂r∂z
=
1
µ∗c2
(
uj−2
h2
− 2uj−1
h2
)
,
1
r
∂
∂r
(r
∂wj
∂r
) + µ∗
∂2wj
∂z2
− wj
c2h2
+
+
µ0
r
∂
∂r
(r
∂uj
∂z
) =
1
c2
(
wj−2
h2
− 2wj−1
h2
)
,
(7)
wj(r, 0) = 0,
∂wj(r, 0)
∂r
+
∂uj(r, 0)
∂z
= 0,
wj(r, l) = −U0j ,
∂wj(r, l)
∂r
+
∂uj(r, l)
∂z
= 0,
(8)
Н. Д. Вайсфельд 19
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
µ
(
ai
∂uj(ai, z)
∂r
+ uj(ai, z)
)
+
+(1 − µ)
∂wj
∂z
(ai, z) = 0,
∂wj(ai, z)
∂r
+
∂uj(ai, z)
∂z
= 0,
i = 0, 1.
(9)
К первому из уравнений (7) применим косинус-
преобразование Фурье, а к другому – синус-
преобразование:
[
wnj(r)
unj(r)
]
=
l
∫
0
[
sin λnz wj(r, z)
cosλnz uj(r, z)
]
dz,
λn = πnl−1, n = 1, 2, . . .
λn = πnl−1, n = 0, 1, . . .
(10)
с формулами обращения
wj(r, z) = 2l−1
∞
∑
n=1
sin λnzwnj(r),
uj(r, z) = 2l−1
∞
∑
n=0
∗ cosλnz unj(r)
(11)
соответственно (∗ около знака суммы означает
удвоение первого слагаемого). В результате приме-
нения интегральных преобразований (10) к урав-
нениям (7) и краевым условиям (9) в пространстве
трансформант Фурье получаем одномерную крае-
вую задачу:
1
r
d
dr
(r
dunj
dr
) − λ2
nuj
µ∗
− unj
r2
− unj
µ∗c2h2
−
−λnµ0
µ∗
dwnj
dr
=
1
µ∗c2
(
unj−2
h2
− 2unj−1
h2
)
,
1
r
d
dr
(r
dwnj
dr
) − µ∗λ
2
nwnj −
wnj
c2h2
−
−µ0λn
r
d
dr
(runj) = (−1)n+1U0jλn+
+
1
c2
(
wnj−2
h2
− 2wnj−1
h2
)
,
(12)
µ
(
ai
dunj(ai)
dr
+ unj(ai, z)
)
+
+(1 − µ)λnwnj(ai) = (1 − µ)(−1)nU0j,
dwnj(ai)
dr
− λnunj(ai) = 0,
i = 0, 1.
(13)
Для формулировки векторной краевой задачи
введем в рассмотрение неизвестный вектор
~ynj(r) =
(
unj(r)
wnj(r)
)
,
а также матрицы
I =
(
1 0
0 1
)
, P 0 =
(
1 0
0 0
)
,
P 1 =
(
µ−1
∗ + (µ∗λ
2
nc2h2)−1 0
0 µ+
∗ (λ2
nc2h2)−1
)
,
Q1 =
(
0 0
1 0
)
, Q0 =
(
0 1
0 0
)
,
и вектор
~Fj(r) =
=
(
µ−1
∗ (ch )−2(unj−2(r)−2unj−1(r))
(−1)n+1U0jλn+(ch )−2(wnj−2(r)−2wnj−1(r))
)
.
Тогда система уравнений (12) переписывается в
векторном виде
L~yj(r) = ~Fj(r), (14)
где оператор L действует следующим образом:
L~yj(r) = Ir−1 d
dr
[
r
d~yj
dr
]
− P 0r
−2~yj+
+µ0µ
−1
∗ λnQ0
d~yj
dr
− µ0r
−1λnQ1
d
dr
[r~yj] − λ2
nP 1~yj.
Построим граничные функционалы с тем, чтобы
присоединить граничные условия (13) к диффе-
ренциальному уравнению (14). Для этого введем
матрицы
Ai =
(
µ (1 − µ)λn
−λn 0
)
, Bi =
(
aiµ 0
0 1
)
20 Н. Д. Вайсфельд
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
и векторы
~γi = U0j
(
(1 − µ)(−1)n
0
)
,
где i=0, 1. С учетом этих обозначений граничные
функционалы примут вид
Ui [~yj(r)] = Ai~y(ai) + Bi
d~y(ai)
dr
, i = 0, 1. (15)
Таким образом, в пространстве трансформант Фу-
рье получена векторная краевая задача
L [~yj(r)] = ~Fj(r), Ui [~yj(r)] = ~γi,
i = 0, 1.
(16)
3. РЕШЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ КРАЕВОЙ ЗА-
ДАЧИ
Решение векторной краевой задачи (16) согла-
сно [9] запишем следующим образом:
~yj(r) =
a1
∫
a0
G(r, s)~Fj(s)ds +
1
∑
i=0
Ψi(r)~γi. (17)
Здесь G(r, s) – матрица Грина; Ψi(r), i = 0, 1 –
базисные матрицы. Функцию Грина строим в ви-
де [9]
G(r, s) = Φ(r, s) −
1
∑
i=0
Ψi(r)Ui[Φ(r, s)], (18)
где Φ(r, s) – фундаментальная матрица, т. е. такая
матрица, что вектор
~yj(r) =
a1
∫
a0
Φ(r, s)~Fj(s)ds (19)
является решением первого уравнения, входящего
в задачу (16).
Для построения фундаментальной матрицы
применим к дифференциальному уравнению из
выражения (16) матричное интегральное преобра-
зование [9]
(
~yjα
~Fjα
)
=
∞
∫
0
rK(r, α)
(
~yj(r)
~Fj(r)
)
dr,
K(r, α) =
(
J1(αr) 0
0 J0(αr)
)
,
(20)
с формулой обращения
(
~yj(r)
~Fj(r)
)
=
∞
∫
0
αR(r, α)
(
~yjα
~Fjα
)
dα,
R(r, α) =
(
J1(αr) 0
0 J0(αr)
)
.
(21)
Здесь J0(αr), J1(αr) – функции Бесселя первого
рода; α – параметр преобразования. После приме-
нения интегрального преобразования (20) к урав-
нению (16) получаем соотношение в пространстве
трансформант:
Mnα~yjα = ~Fjα, (22)
где элементы матрицы M имеют вид
M00
nα = −α2 − µ−1
∗ c−2h−2((λnch )2 + 1);
M01
nα = −αµ−1
∗ µ0λn;
M10
nα = −αµ0λn;
M11
nα = −α2 − µ∗λ
2
n − (ch )−2.
Первый и второй верхние индексы обозначают но-
мер строки и столбца матрицы соответственно. Из
равенства (22) находим, что
~yjα = M
−1
nα
~Fjα.
Применив к полученному соотношению обратное
матричное интегральное преобразование (21), за-
пишем решение дифференциального уравнения
из (16) в пространстве оригиналов
~yj(r) =
∞
∫
0
αR(r, α)M−1
nα
~Fjαdα. (23)
Обратная матрица M
−1
nα имеет вид [10]
M−1
nα =
2
∑
j=0
αjΓ2−j
[(α2 + λ2
1,n)(α2 + λ2
2,n)]
,
λ2
1,n = λ2
n +
1 + µ∗
c2h2µ∗
,
λ2
2,n = λ2
n +
1
c2h2µ∗
,
Γ0 = −I , Γ1 = λnµ0P ,
Γ2 = −q0λ
−2
n P
−1
1 , P =
(
0 µ−1
∗
1 0
)
.
(24)
Н. Д. Вайсфельд 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
С учетом формулы (20) получим соотношение
для определения фундаментальной матрицы:
Φ(r, s) =
∞
∫
0
αR(r, α)M−1
nαK(s, α)dα, (25)
При этом элементы матрицы Φij(r, s) вычисляю-
тся как
Φ00(r, s) = (Γ00
2 − λ̃n)Φ1(r, s) ,
Φ01(r, s) = −λnµ0λ̃n
∂Φ0(r, s)
∂r
,
Φ10(r, s) = −λnµ0λ̃n
∂Φ1(r, s)
∂s
,
Φ11(r, s) = (Γ11
2 − λ̃n)Φ0(r, s).
(26)
Здесь
Φi(r, s) = (λ2,n − λ1,n)−1×
×
{
Ii(rλ1,n)Ki(sλ1,n)−Ii(rλ2,n)Ki(sλ2,n), r<s,
Ii(sλ1 , n)Ki(rλ1,n)−Ii(sλ2,n)Ki(rλ2,n), r>s;
Ii(z), Ki(z) (i=0, 1) – модифицированные функ-
ции Бесселя;
λ̃n =
λ2
1,n + λ2
2,n
λ2
1,n − λ2
2,n
.
Согласно формуле (18), построим базисные ма-
трицы. Они должны удовлетворять следующей
матричной краевой задаче [9]:
L [Ψi(r)] = 0,
Ui [Ψj(r)] =
{
I, i = j,
0, i 6= j,
(i, j = 0, 1). (27)
Для нахождения базисных матриц удобно пред-
варительно построить фундаментальную матри-
чную систему решений первого уравнения, входя-
щего в систему (27). С помощью непосредственной
проверки [9] убеждаемся, что матрица
Y (r) =
1
2πi
∮
Ω
αR(r, α)M−1
nαdα (28)
является решением указанного однородного
уравнения. Здесь Ω – контур, охватываю-
щий все нули характеристического многочлена
(α2+λ2
1,n)(α2+λ2
2,n). Подставим выражение (22)
для матрицы M−1
nα в формулу (28). Подсчитаем
вычет в простом полюсе α= iλ1,n (если взять
вычеты в остальных простых полюсах, получим
линейно-зависимые решения). Это позволяет
найти матрицу Y 0(r), определяющую решение,
регулярное в нуле. Ее элементы запишутся так:
Y 00(r) = I1(λ1,nr)
Γ00
2 i − λ2
1,n
2(λ2,n − λ1,n)
,
Y 01(r) = I1(λ1,nr)
−λnλ1,nµ0µ
−1
∗
2(λ2,n − λ1,n)
,
Y 10(r) = I0(λ1,nr)
iλnµ0
2(λ2,n − λ1,n)
,
Y 11(r) = I0(λ1,nr)
Γ11
2 + λ2
1,n
2(λ2,n − λ1,n)
.
(29)
Чтобы получить матричное решение Y 1(r),
регулярное на бесконечности, нужно в форму-
лах (29) заменить модифицированную функцию
Бесселя первого рода на модифицированную фун-
кцию Бесселя второго рода. Построив фундамен-
тальную матричную систему решений, определим
базисные матрицы с помощью соотношений
Ψ0(r)=Y 0(r)Ã0 + Y 1(r)B̃0,
Ψ1(r)=Y 0(r)Ã1 + Y 1(r)B̃1.
(30)
Здесь матрицы-коэффициенты Ãi, B̃i, i=0, 1
вычисляются по формулам
Ã0 = −U−1
1 [Y 0]U1[Y 1]L
−1
0 , B̃0 = L−1
0 ,
Ã1 = −U−1
0 [Y 0]U0[Y 1]L
−1
1 , B̃1 = L−1
1 ,
L0 = −U0[Y 0]U
−1
1 [Y 0]U1[Y 1] + U0[Y 1],
L1 = −U1[Y 0]U
−1
0 [Y 0]U0[Y 1] + U1[Y 1].
Нахождение базисных матриц завершает про-
цедуру построения матричной функции Грина. С
учетом формул обращения (11) решение исходной
задачи запишем в виде
uj(r, z) = 2l−1
∞
∑
n=0
∗ cos λnz×
×
[
a1
∫
a0
(G00
nj(r, s)F
0
nj(s) + G01
nj(r, s)F
1
nj(s))ds+
+(Ψ00
0 (r) + Ψ01
0 (r) + Ψ00
1 (r) + Ψ01
1 (r))γ0
]
,
(31)
22 Н. Д. Вайсфельд
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
wj(r, z) = 2l−1
∞
∑
n=0
sin λnz×
×
[
a1
∫
a0
(G10
nj(r, s)F
0
nj(s) + G11
nj(r, s)F
1
nj(s))ds+
+(Ψ10
0 (r) + Ψ11
0 (r) + Ψ10
1 (r) + Ψ11
1 (r))γ1
]
.
(32)
Этими соотношениями определяются значения
компонентов вектора смещений материальных то-
чек цилиндра в последовательные моменты време-
ни. Полученное решение соответствует случаю за-
данного кинематического возбуждения торца z= l.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИ-
ЧИНЫ СМЕЩЕНИЯ
По формулам (31) и (32) можно найти не-
известное решение задачи, если известна величина
смещений торца цилиндра в соответствующие мо-
менты времени U0j . Для определения последней
используется соотношение (4), в котором вторая
производная по времени заменяется согласно фор-
муле (5), а значения напряжений выражаются че-
рез значения смещений (31), (32) в соответствии с
законом Гука:
σz j(r, z) =
λ
2
uj(r, z) + u′
j(r, z) + µ∗ w′
j(r, z). (33)
Полученные решения содержат условно сходящи-
еся ряды. Поэтому перед подстановкой выраже-
ний (31), (32) в соотношение (33) следует сначала
выделить слабо сходящиеся части указанных ря-
дов. Для этого используется асимптотическое ра-
зложение функций Бесселя для больших значений
порядка [11], что дает возможность исследовать
поведение элементов матричной функции Грина и
базисных матриц при n→∞. Проведем это иссле-
дование на примере формулы (31).
Ряд, входящий в выражение, разбивается на два
слагаемых:
∞
∑
n=0
∗ cosλnz unj(r) =
K
∑
n=0
∗ cosλnz unj(r)+
+
∞
∑
n=K+1
cosλnz unj(r).
(34)
В последнем из них член ряда unj(r) заменяется
его асимптотическим представлением при боль-
ших значениях n ũnj(r). Величина K тут выби-
рается таким образом, чтобы в асимптотическом
представлении можно было ограничиться главным
членом. К выражению (34) добавляется и вычита-
ется конечная сумма
K
∑
n=0
∗ cos λnz ũnj(r), после че-
го решение представляется в виде
uj(r, z) =
∞
∑
n=0
cos λnzũnj(r)+
+
K
∑
n=0
∗ cos λnz(unj(r) − ũnj(r)).
(35)
Ряд, входящий в соотношение (35), можно просум-
мировать, используя формулу из [12]. В результате
получаем новое приближенное представление ре-
шения (31), отличающееся от исходного тем мень-
ше, чем большим выбирается значение K:
uj(r, z) =
a1
∫
a0
(
−(a1r − a0)l
3U0jµ0
a12π3µ∗
√
a1s
+
+
(
1 − µ0
µ∗
)
a1r − a0√
a1s
(1 − exp(c(r − s)))
µ∗c2h2
)
×
× ∂2
∂z2
sin(πzl−1)
cos z + ch (s − r)
ds+
+
K
∑
n=0
cos λnz(unj(r) − ũnj(r)).
(36)
Проведя аналогичную процедуру с формулой (32),
получим выражение для определения смещений
wj(r, z):
wj(r, z) =
a1
∫
a0
(
− a0µ∗l
3U0jr
2π3c2h2a1
√
a1s
+
+(1 − 1
µ∗
)µ0
a0r√
a1s
exp(c(r − s))
µ∗
)
×
×z∂2
∂z2
cos(πzl−1)
sin z + sh (s − r)
ds+
+
K
∑
n=0
sin λnz(wnj(r) − w̃nj(r)).
(37)
Подставив выражения (36) и (37) в формулу (4),
найдем соотношение для определения величины
смещения U0j . Таким образом, волновое поле ци-
линдра определено.
5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
В качестве упругого материала цилиндра выби-
ралась сталь. Нa рисунках приведены кривые,
иллюстрирующие зависимость величины σr/P
Н. Д. Вайсфельд 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
Рис. 2. Зависимость величины σr/P
от безразмерного времени t∗=tc/l (l/a0 =0.1)
Рис. 3. Зависимость величины σr/P
от безразмерного времени t∗=tc/l (l/a0 =0.5)
от размеров цилиндра и безразмерного времени
tc/l для точки внутри цилиндра с координатами
((a0+a1)/2, l/2). Кривая 1 соответствует a1 =2a0,
кривая 2 – a1 =5a0, кривая 3 – a1 =10a0 при отно-
сительном удлинении l/a0 =0.1 (рис. 2) и l/a0 =0.5
(рис. 3).
Как видно из графиков, абсолютные значения
напряжений уменьшаются с увеличением его то-
лщины. Это естественно, поскольку в более тол-
стом цилиндре приложенная нагрузка перераспре-
деляется на большую площадь поперечного сече-
ния. Заметим, что при этом толщина цилиндра ма-
ло влияет на моменты наступления пиковых зна-
чений смещений во времени. Последнее обстоя-
тельство указывает на то, что при заданном спосо-
бе возбуждения колебаний основная энергия дви-
жения сосредотачивается в низшей форме коле-
баний. Ее собственная частота достаточно точно
определяется по стержневой модели и не зависит
от толщины цилиндра.
С увеличением длины цилиндра увеличиваются
абсолютные значения напряжений, момент насту-
пления пиков значений отстоит по времени даль-
ше, кроме того, на графике наблюдается боль-
шее количество максимумов и минимумов. За-
данная точность вычислений рядов и интегралов
10−5 сохраняется до момента времени t∗=15. При
дальнейшем увеличении времени происходит рост
ошибки округления. Это вызвано необходимостью
сохранения большего числа членов ряда в соотно-
шениях (31), (32).
ВЫВОДЫ
1. Получено эффективное приближенное реше-
ние задачи об определении напряженного
состояния упругого цилиндра под действи-
ем осесимметричной нестационарной нагруз-
ки для небольших значений времени при
выполнении условий первой основной задачи
теории упругости на цилиндрической поверх-
ности.
2. Определена зависимость величины напряже-
ний цилиндра от его геометрических размеров
и времени. Определены границы применимо-
сти предложенного подхода при изучении про-
цесса во времени.
3. Предложенный подход в принципе позволяет
решить задачу для случая полого конуса, усе-
ченного сферическими поверхностями, когда
на сферических поверхностях конуса заданы
условия первой основной задачи теории упру-
гости, а на конической поверхности – условия
скользящей заделки.
1. Колтунов М. А., Васильев Ю. Н., Черных B. А.
Упругость и прочность цилиндрических тел.– М.:
Высшая школа, 1975.– 526 с.
2. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Осесимметричные
колебания упругого цилиндра конечной длины //
Акуст. ж.– 1978.– 6, N 24.– С. 861–866.
3. Мелешко В. В. Осесимметричные колебания упру-
гого цилиндра конечной длины // Динамика и про-
чность машин.– 1979.– Вып. 29.– С. 82–86.
4. Гузь А. Н., Кубенко В. Д., Черевко В. А. Ди-
фракция упругих волн.– К.: Наукова думка, 1978.–
307 с.
5. Попов Г. Я. Точные решения некоторых смешан-
ных задач несвязанной термоупругости для коне-
чного кругового полого цилиндра с вырезом вдоль
образующей // ПММ.– 2002.– 66, N 4.– С. 703–713.
6. Янютин Е. Г., Янчевский И. В. Импульсные
воздействия на упругодеформируемые элементы
конструкций.– Харьков: Изд-во ХГАДТУ, 2001.–
184 с.
24 Н. Д. Вайсфельд
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 3. С. 18 – 25
7. Янютин Е. Г., Дзюбак Л. П. Нестационарные де-
формационные процессы в многослойном цилин-
дре // Прикл. мех.– 1999.– 35, N 8.– С. 10–17.
8. Новацкий В. Теория упругости.– К.: Наукова дум-
ка, 1978.– 307 с.
9. Попов Г. Я., Абдыманапов С. А., Ефимов В. В.
Функции и матрицы Грина одномерных краевых
задач.– Алматы: Руан, 1999.– 112 с.
10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.– М.: Гостехтеори-
здат, 1954.– 491 с.
11. Бэйтмен Г., Эрдейи Ф. Высшие трансцендентные
функции: том 2.– М.: Наука, 1954.– 258 с.
12. Прудников Г. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И.
Интегралы и ряды.– М.: Наука, 1981.– 797 с.
Н. Д. Вайсфельд 25
|