Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис
Наведено конструкцiю генератора лiнiйно зростаючої C₀-групи iз простими чисто уявними власними числами, що згущуються на нескiнченностi, та власними векторами, що не утворюють базис....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97590 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис / Г.М. Скляр, В.А. Марченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 13-17. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-97590 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-975902016-03-31T03:02:08Z Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис Скляр, Г.М. Марченко, В.А. Математика Наведено конструкцiю генератора лiнiйно зростаючої C₀-групи iз простими чисто уявними власними числами, що згущуються на нескiнченностi, та власними векторами, що не утворюють базис. Представлена конструкция генератора линейно растущей C₀-группы с простыми чисто мнимыми собственными числами, которые сгущаются на бесконечности, и собственными векторами, не образующими базис. The construction of the generator of linearly growing C₀-group with simple purely imaginary eigenvalues, which cluster at infinity, and eigenvectors not forming a basis, is presented. 2015 Article Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис / Г.М. Скляр, В.А. Марченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 13-17. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97590 517.9 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Скляр, Г.М. Марченко, В.А. Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис Доповіді НАН України |
| description |
Наведено конструкцiю генератора лiнiйно зростаючої C₀-групи iз простими чисто уявними власними числами, що згущуються на нескiнченностi, та власними векторами, що не утворюють базис. |
| format |
Article |
| author |
Скляр, Г.М. Марченко, В.А. |
| author_facet |
Скляр, Г.М. Марченко, В.А. |
| author_sort |
Скляр, Г.М. |
| title |
Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис |
| title_short |
Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис |
| title_full |
Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис |
| title_fullStr |
Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис |
| title_full_unstemmed |
Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис |
| title_sort |
нерiвнiсть хардi та конструкцiя генератора c₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97590 |
| citation_txt |
Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C₀-групи з власними векторами, що не утворюють базис / Г.М. Скляр, В.А. Марченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 9. — С. 13-17. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT sklârgm nerivnistʹharditakonstrukciâgeneratorac0grupizvlasnimivektoramiŝoneutvorûûtʹbazis AT marčenkova nerivnistʹharditakonstrukciâgeneratorac0grupizvlasnimivektoramiŝoneutvorûûtʹbazis |
| first_indexed |
2025-07-07T05:12:30Z |
| last_indexed |
2025-07-07T05:12:30Z |
| _version_ |
1836963752560295936 |
| fulltext |
УДК 517.9
Г.М. Скляр, В. А. Марченко
Нерiвнiсть Хардi та конструкцiя генератора C0-групи
з власними векторами, що не утворюють базис
(Представлено академiком НАН України Є.Я. Хрусловим)
Наведено конструкцiю генератора лiнiйно зростаючої C0-групи iз простими чисто уяв-
ними власними числами, що згущуються на нескiнченностi, та власними векторами,
що не утворюють базис.
Ключовi слова: C0-група, базис Рiса, власнi вектори, спектр.
Нехай H — сепарабельний гiльбертiв простiр над полем C з нормою ∥ · ∥ та скалярним
добутком ⟨·, ·⟩. C0-напiвгрупи лiнiйних обмежених операторiв є фундаментальним понят-
тям цього повiдомлення. Вивчення C0-напiвгруп перш за все вмотивоване тим, що велика
кiлькiсть проблем математичної фiзики, механiки, бiологiї та iнших наук може бути сфор-
мульована у виглядi задачi Кошi для абстрактного диференцiального рiвняння{
ẋ(t) = Ax(t), t > 0,
x(0) = x0
(1)
у просторi H (див., наприклад, [1, 2]). Оператор A генерує C0-напiвгрупу в просторi H
тодi i тiльки тодi, коли задача Кошi (1) є коректною i резольвентна множина оператора A
є непустою (див. [3]). А коректнiсть задачi (1), у свою чергу, означає, що для будь-якого
початкового стану системи x0 ∈ D(A) iснує єдиний класичний розв’язок задачi (1). Зокре-
ма, це характерно для системи диференцiальних рiвнянь електродинамiки Максвелла в мi-
кроскопiчнiй формi, системи з запiзненням нейтрального типу [4–6], регулярних систем
Штурма–Лiувiлля [7], для рiвнянь, що описують процеси теплопровiдностi, дифузiї та хви-
льовi процеси рiзної природи [1]. Якщо ж оператор A генерує C0-групу, то це означає,
додатково, що задача (1) може бути розглянута на всiй осi t ∈ R та має єдиний розв’язок.
В останнє десятирiччя виникло декiлька неочiкуваних результатiв у спектральнiй те-
орiї C0-напiвгруп (див. [8, 9]). Цi результати стосуються достатнiх умов того, щоб власнi
вектори (пiдпростори) iнфiнiтезимального оператора утворювали базис Рiса (базис Рiса iз
пiдпросторiв) простору H. Виявляється, що цi умови мають достатньо загальний характер.
Основний результат робiт [8, 9] у випадку простого спектра формулюється таким чином.
Теорема 1 [8, 9]. Нехай A-генератор C0-групи в просторi H з простими власними чи-
слами {λn}∞n=1 та вiдповiдними (нормованими) власними векторами {en}∞n=1. Якщо ма-
ють мiсце такi двi умови:
1) Lin{en}∞n=1 = H;
2) cпектр задовольняє умову
inf
n̸=m
|λn − λm| > 0, (2)
то {en}∞n=1 утворює базис Рiса простору H.
© Г.М. Скляр, В.А. Марченко, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 13
Основною метою нашої роботи є вияв того факту, що умова (2) є дуже суттєвою. Тобто
якщо ми опустимо умову (2) або навiть трохи послабимо її, то твердження теореми 1 пе-
рестане бути вiрним. Випадок, коли спектр {λn}∞n=1 може бути поданий у виглядi K < ∞
множин, кожна з яких задовольняє умову (2), був розглянутий у роботi [9]. Тому ми розгля-
даємо випадок, коли спектр {λn}∞n=1 не задовольняє умову (2) та, бiльше того, не може бути
поданим у виглядi K множин, кожна з яких задовольняє умову (2). Ми пропонуємо кон-
струкцiю генератора C0-групи з власними числами {λn}∞n=1 ⊂ iR та вiдповiдними власними
векторами, що не утворюють базис Шаудера. Бiльш точно, числа {λn}∞n=1 пiдкорюються
умовам
lim
n→∞
iλn = −∞ та lim
n→∞
|λn+1 − λn| = 0, (3)
а вiдповiдне сiмейство власних векторiв є повним, мiнiмальним, але не рiвномiрно мiнiмаль-
ним. Крiм того, виявляється, що генератор сконструйованої групи має лiнiйний характер
зростання при t→ ±∞. Важливим моментом у доведеннi основного результату (теорема 2)
є застосування класичної дискретної нерiвностi Хардi для p = 2,
∞∑
n=1
(
1
n
n∑
k=1
ak
)2
6 4
∞∑
n=1
a2n.
1. Простiр H1({en}). Розглянемо будь-який бизис Рiса {en}∞n=1 простору H. Введемо
у розгляд простiр
H0
1 ({en}) = {x ∈ H : ∥x∥1 = ∥(I − T )x∥},
де T — визначений усюди в H оператор, такий, що Ten = en+1, n ∈ N. Оскiльки 0 ∈ σ(I−T ),
то H0
1 ({en}) є лiнiйним нормованим простором, але неповним. Позначимо через H1({en})
поповнення простору H0
1 ({en}) за нормою ∥ · ∥1.
Виявляється, що H1({en}) є простором Гiльберта, що складається з усiх формальних
рядiв x = (f)
∞∑
n=1
cnen таких, що
{cn − cn−1}∞n=1 ∈ ℓ2,
де c0 = 0. Норма елемента x ∈ H1({en}) обчислюється за формулою
∥x∥1 =
∥∥∥∥∥(f)
∞∑
n=1
cnen
∥∥∥∥∥
1
=
∥∥∥∥∥
∞∑
n=1
(cn − cn−1)en
∥∥∥∥∥,
а скалярний добуток двох елементiв x, y ∈ H1({en}) — за формулою
⟨x, y⟩1 = ⟨(I − T )x, (I − T )y⟩.
Наприклад, (f)
∞∑
n=1
nαen ∈ H1({en}) для будь-якого α ∈ [0, 1/2). Дiйсно, для α = 0 цей факт
є очевидним. Коли ж α ∈ (0, 1/2), матимемо
nα − (n− 1)α ∼ nα−1,
якщо n → ∞. Звiдси випливає, що {nα − (n − 1)α}∞n=1 ∈ ℓ2.
14 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
Зауважимо, що в тому випадку, коли {en}∞n=1 є ортонормованим базисом простору H,
скалярний добуток двох елементiв x = (f)
∞∑
n=1
cnen, y = (f)
∞∑
n=1
dnen ∈ H1({en}) обчислюється
за значно простiшою формулою, а саме
⟨x, y⟩1 =
∞∑
n=1
(cn − cn−1)(dn − dn−1).
Також вiдзначимо, що в окремому випадку, коли H = ℓ2 i {en}∞n=1 — канонiчний базис
простору ℓ2,
H1({en}) = ℓ2(∆).
Простiр ℓ2(∆) складається з усiх послiдовностей, чиї рiзницi є 2-абсолютно сумовнi, з нор-
мою ∥x∥ℓ2(∆) = ∥∆x∥ℓ2 , де ∆ — рiзницевий оператор, тобто
∆ =
1 0 0 0 . . .
−1 1 0 0 . . .
0 −1 1 0 . . .
0 0 −1 1 . . .
...
...
...
...
. . .
,
(див. [10]). Iншими словами, ℓ2(∆) = {x = {αn}∞n=1 : ∆x ∈ ℓ2}. Звiдси випливає, що
H1({en}) =
{
x = (f)
∞∑
n=1
cnen : {cn}∞n=1 ∈ ℓ2(∆)
}
.
Отже, наш простiр H1({en}) є аналогiчним простору ℓ2(∆), вперше введеному та дослi-
дженому в роботi [10]. Також зазначимо, що простiр ℓ2(∆) виникає достатньо природно,
а саме як поповнення простору (ℓ2)
0
1({en}), де {en}∞n=1 — канонiчний базис простору ℓ2.
Серед властивостей простору H1({en}) ми маємо вiдмiтити такi.
Твердження 1. Простiр H1({en}) має такi властивостi:
1) Lin{en}∞n=1 = H1({en});
2) {en}∞n=1 не утворює базис Шаудера простору H1({en});
3) послiдовнiсть {en}∞n=1 є мiнiмальною, але не рiвномiрно мiнiмальною в просторi
H1({en}).
2. Генератор C0-групи з власними векторами, що не утворюють базис. Визна-
чимо оператор A : H1({en}) ⊃ D(A) 7→ H1({en}) формулою
Ax = A(f)
∞∑
n=1
cnen = (f)
∞∑
n=1
λncnen, (4)
де {λn}∞n=1 — необмежена послiдовнiсть точок на комплекснiй площинi, а
D(A) =
{
x = (f)
∞∑
n=1
cnen ∈ H1({en}) : {λncn}∞n=1 ∈ ℓ2(∆)
}
. (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 15
Ми пiдiйшли до центрального результату роботи.
Теорема 2. Нехай {en}∞n=1 — базис Рiса простору H. Тодi {en}∞n=1 не утворює базис
простору H1({en}) i оператор A, заданий формулою (4), з областю визначення (5), де
λn = i lnn, n ∈ N,
генерує C0-групу в просторi H1({en}).
Зауважимо, що спектр {λn = i lnn}∞n=1 не задовольняє умову (2) та, бiльш того, не може
бути поданим у виглядi K множин, кожна з яких задовольняє умову (2), бо
lim
n→∞
| ln(n+ 1)− lnn| = 0.
Пiдкреслимо, що, навiть якщо ми розглянемо спектр {λn}∞n=1 оператора A, сконструйо-
ваного за правилами (4), (5), тiєї ж самої геометричної природи, тобто такий, що задоволь-
няє умови (3), то A не обов’зково буде породжувати C0-групу в H1({en}). Це спостереження
пiдкрiплюється таким твердженням.
Твердження 2. Нехай {en}∞n=1 — базис Рiса простору H. Тодi оператор A, зада-
ний формулою (4), з областю визначення (5), де {λn}∞n=1 задовольняє умови (3), та
lim
n→∞
|λn|/
√
n > 0, не породжує навiть C0-напiвгрупу в просторi H1({en}).
Сконструйована в теоремi 2 C0-група має такi чудовi властивостi.
Твердження 3. Нехай {eAt}t∈R — C0-група, сконструйована в теоремi 2. Тодi спра-
ведливi такi твердження:
1) C0-група {eAt}t∈R зростає, як |t|, при t → ±∞;
2) логарифмiчний показник ω0 зростання C0-групи {eAt}t∈R дорiвнює нулю.
Роботу виконано за часткової пiдтримки НАН України. Проект “Лiнiйнi еволюцiйнi
рiвняння у гiлбертовому просторi та рiвняння Больцмана. ”
Цитована лiтература
1. Curtain R. F., Zwart H. J. An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory. – New York:
Springer, 1995. – 698 p. – (Texts in Applied Mathematics, Vol. 21.).
2. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. 1: Общая теория. – Москва: Изд-во иностр. лит.
1962. – 896 с.
3. van Neerven J. The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators. – Basel: Birkhäuser, 1996. –
235 p. – (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 88).
4. Rabah R., Sklyar G.M., Rezounenko A.V. Generalized Riesz basis property in the analysis of neutral type
systems // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. – 2003. – 337, No 1. – P. 19–24.
5. Rabah R., Sklyar G.M., Rezounenko A.V. Stability analysis of neutral type systems in Hilbert space //
J. Differential Equations. – 2005. – 214, Iss. 2 – P. 391–428.
6. Rabah R., Sklyar G.M. The analysis of exact controllability of neutral-type systems by the moment problem
approach // SIAM J. Control Optim. – 2007. – 46, No 6. – P. 2148–2181.
7. Delattre C., Dochain D., Winkin J. Sturm-Liouville systems are Riesz-spectral systems // Int. J. Appl.
Math. Comput. Sci. – 2003. – 13, No 4. – P. 481–484.
8. Xu G.Q., Yung S. P. The expansion of a semigroup and a Riesz basis criterion // J. Differential Equations. –
2005. – 210, Iss. 1. – P. 1–24.
9. Zwart H. Riesz basis for strongly continuous groups // J. Differential Equations. – 2010. – 249, Iss. 10. –
P. 2397–2408.
10. Başar F., Altay B. On the space of sequences of p-bounded variation and related matrix mappings //
Ukrainian Math. J. – 2003. – 55, No 1. – P. 136–147.
16 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9
References
1. Curtain R. F., Zwart H. J. An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory, Texts in Applied
Mathematics, Vol. 21, New York: Springer, 1995.
2. Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators, Vol. 1, General Theory, Moscow: Foreign literature publishing
house, 1962 (in Russian).
3. van Neerven J. The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators, Operator Theory: Advances
and Applications, Vol. 88, Basel: Birkhäuser, 1996.
4. Rabah R., Sklyar G.M., Rezounenko A.V. C.R. Math. Acad. Sci. Paris, 2003, 337, No 1: 19–24.
5. Rabah R., Sklyar G .M., Rezounenko A.V. J. Differential Equations, 2005, 214, Iss. 2: 391–428.
6. Rabah R., Sklyar G.M. SIAM J. Control Optim., 2007, 46, No 6: 2148–2181.
7. Delattre C., Dochain D., Winkin J. Int. J. Appl. Math. Comput. Sci., 2003, 13, No 4: 481–484.
8. Xu G.Q., Yung S. P. J. Differential Equations, 2005, 210, Iss. 1: 1–24.
9. Zwart H. J. Differential Equations, 2010, 249, Iss. 10: 2397–2408.
10. Başar F., Altay B. Ukrainian Math. J., 2003, 55, No 1: 136–147.
Надiйшло до редакцiї 21.04.2015Iнститут математики Щецинського
унiверситету, Польща
Харкiвський нацiональний унiверситет
iм. В.Н. Каразiна, Харкiв
Фiзико-технiчний iнститут низьких температур
iм. Б. I. Вєркiна НАН України, Харкiв
Г.М. Скляр, В.А. Марченко
Неравенство Харди и конструкция генератора C0-группы
с собственными векторами, не образующими базис
Институт математики Щецинского университета, Польша
Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина
Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина, Харьков
Представлена конструкция генератора линейно растущей C0-группы с простыми чисто
мнимыми собственными числами, которые сгущаются на бесконечности, и собственными
векторами, не образующими базис.
Ключевые слова: C0-группа, базис Рисса, собственные векторы, спектр.
G.M. Sklyar, V. A. Marchenko
Hardy inequality and the construction of the generator of a C0-group
with eigenvectors not forming a basis
Institute of Mathematics, University of Szczecin, Poland
V.N. Karazin Kharkiv National University
B. I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the NAS of
Ukraine, Kharkiv
The construction of the generator of linearly growing C0-group with simple purely imaginary ei-
genvalues, which cluster at infinity, and eigenvectors not forming a basis, is presented.
Keywords: C0-group, Riesz basis, eigenvectors, spectrum.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №9 17
|