FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞)
Особливiстю задач, якi розглядаються, є необмеженiсть промiжку iнтегрування i необмеженiсть полiномiального потенцiалу в операторi Шрьодiнгера, що обумовило вiдсутнiсть у лiтературi обгрунтованих наближених методiв їх розв’язування. У роботi запропоновано функцiонально-дискретний (FD) метод з вiдпо...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97957 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) / В.Л. Макаров // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 5-11. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-97957 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-979572016-04-06T03:02:45Z FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) Макаров, В.Л. Математика Особливiстю задач, якi розглядаються, є необмеженiсть промiжку iнтегрування i необмеженiсть полiномiального потенцiалу в операторi Шрьодiнгера, що обумовило вiдсутнiсть у лiтературi обгрунтованих наближених методiв їх розв’язування. У роботi запропоновано функцiонально-дискретний (FD) метод з вiдповiдним обгрунтуванням, який дає можливiсть одержувати розв’язок iз будь-якою наперед заданою точнiстю. Результати, зокрема, можуть бути використанi для знаходження основних та збуджених енергетичних станiв, а також щiльностi ймовiрностей квантово-механiчних ангармонiк i осциляторiв iз подвiйною потенцiальною ямою. Особенностью рассматриваемых задач является неограниченность интервала интегрирования и неограниченность полиномиального потенциала в операторе Шрёдингера, что обусловило отсутствие в литературе обоснованных приближенных методов их решения. В работе предложен функционально-дискретный (FD) метод с соответствующим обоснованием, дающий возможность получать решение с любой предварительно заданной точностью. Результаты, в частности, могут быть использованы для нахождения основных и возбужденных энергетических состояний, а также плотности вероятностей квантово-механических ангармоник и осцилляторов с двойной потенциальной ямой. The boundary-value problem under study has two distinctive features: its integration interval is infinite, and the polynomial potential is unbounded. As a consequence, there is no justified numerical solution methodology available in the literature. This article offers one. We apply the Functionally- Discrete (FD) method to the mentioned problem and supply the justification of its convergence. The proposed method enables one to obtain the numerical solution to the problem with an arbitrarily prescribed precision. Among other areas, the results of this work can be applied to calculate the quantum anharmonic oscillator energy states (ground and excited), as well as the energy states of the oscillators with double-well potential. 2015 Article FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) / В.Л. Макаров // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 5-11. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97957 519.624.2 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Макаров, В.Л. FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) Доповіді НАН України |
| description |
Особливiстю задач, якi розглядаються, є необмеженiсть промiжку iнтегрування i необмеженiсть полiномiального потенцiалу в операторi Шрьодiнгера, що обумовило вiдсутнiсть у лiтературi обгрунтованих наближених методiв їх розв’язування. У роботi
запропоновано функцiонально-дискретний (FD) метод з вiдповiдним обгрунтуванням,
який дає можливiсть одержувати розв’язок iз будь-якою наперед заданою точнiстю.
Результати, зокрема, можуть бути використанi для знаходження основних та збуджених енергетичних станiв, а також щiльностi ймовiрностей квантово-механiчних ангармонiк i осциляторiв iз подвiйною потенцiальною ямою. |
| format |
Article |
| author |
Макаров, В.Л. |
| author_facet |
Макаров, В.Л. |
| author_sort |
Макаров, В.Л. |
| title |
FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) |
| title_short |
FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) |
| title_full |
FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) |
| title_fullStr |
FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) |
| title_full_unstemmed |
FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) |
| title_sort |
fd-метод у спектральних задачах для оператора шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97957 |
| citation_txt |
FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞) / В.Л. Макаров // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 5-11. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT makarovvl fdmetoduspektralʹnihzadačahdlâoperatorašrʹodingerazpolinomialʹnimpotencialomna |
| first_indexed |
2025-07-07T05:50:18Z |
| last_indexed |
2025-07-07T05:50:18Z |
| _version_ |
1836966131484590080 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2015
МАТЕМАТИКА
УДК 519.624.2
Академiк НАН України В.Л. Макаров
FD-метод у спектральних задачах для оператора
Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом
на (−∞,∞)
Особливiстю задач, якi розглядаються, є необмеженiсть промiжку iнтегрування i не-
обмеженiсть полiномiального потенцiалу в операторi Шрьодiнгера, що обумовило вiд-
сутнiсть у лiтературi обгрунтованих наближених методiв їх розв’язування. У роботi
запропоновано функцiонально-дискретний (FD) метод з вiдповiдним обгрунтуванням,
який дає можливiсть одержувати розв’язок iз будь-якою наперед заданою точнiстю.
Результати, зокрема, можуть бути використанi для знаходження основних та збу-
джених енергетичних станiв, а також щiльностi ймовiрностей квантово-механiчних
ангармонiк i осциляторiв iз подвiйною потенцiальною ямою.
Ключовi слова: спектральнi задачi, власнi значення, оператор Шрьодiнгера, функцiї
Куммера, експоненцiально збiжний метод.
Розглядається задача
d2u(x)
dx2
− 2x
du(x)
dx
+ (λ− φ(x))u(x) = 0, x ∈ (−∞,∞),
∞∫
−∞
e−x2
u2(x) dx <∞,
(1)
що полягає в знаходженнi власних значень λn i вiдповiдних їм власних функцiй un(x),
n = 0, 1, 2, . . ., де потенцiал φ(x) є полiномом. Припускаємо, що нумерацiя власних значень
вибрана таким чином, що
λ0 < λ1 < . . . < λn < . . . .
Iнтерес дослiдникiв до побудови ефективних методiв знаходження розв’язку цiєї задачi
не послаблюється до сьогоднi (див., наприклад, [1, 2]). Але у всiх авторiв попереднiх ро-
© В.Л. Макаров, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 5
бiт вiдсутнє теоретичне обгрунтування запропонованих наближених методiв, що обумовле-
но необмеженим промiжком iнтегрування та необмеженiстю потенцiалу на ньому. У да-
нiй роботi пропонується новий пiдхiд до розв’язування задачi (1) з його обгрунтуван-
ням.
Застосуємо до задачi (1) найпростiший варiант FD-методу iз φ(x) ≡ 0 (див. [3]), який,
у певному розумiннi, є подiбним до методу Адомяна [4], але в запропонованому виглядi
(i це є суттєвим, особливо для доведення збiжностi методу i для того випадку, коли асим-
птотична поведiнка власних значень базової задачi (2) є еквiвалентною O(n2)) вiн у нау-
ковiй лiтературi не зустрiчався. Метод полягає в розв’язуваннi рекурентної послiдовностi
задач
d2u
(0)
n (x)
dx2
− 2x
du
(0)
n (x)
dx
+ λ(0)n u(0)n (x) = 0, x ∈ (−∞,∞),
λ(0)n = 2n, u(0)n (x) = Hn(x),
(2)
d2u
(j+1)
n (x)
dx2
− 2x
du
(j+1)
n (x)
dx
+ λ(0)n u(j+1)
n (x) =
= −
j∑
p=0
λ(j−p+1)
n u(p)n (x) + φ(x)u(j)n (x) ≡ F (j+1)
n (x), x ∈ (−∞,∞),
∞∫
−∞
e−x2
u(j+1)
n (x)u(0)n (x) dx = 0, j = 0, 1, . . . ,
(3)
λ(j+1)
n =
∞∫
−∞
e−x2
φ(x)u
(j)
n (x)u
(0)
n (x)dx
∞∫
−∞
e−x2 [u
(0)
n (x)]2dx
, j = 0, 1, . . . . (4)
Тут (2) — базова задача, Hn(x) — полiноми Ермiта. За розв’язками задач (2)–(4) буду-
ються наближення до власних значень i власних функцiй m-го рангу
m
u n(x) =
m∑
j=0
u(j)n (x),
m
λ n =
m∑
j=0
λ(j)n .
Застосування традицiйного пiдходу доведення збiжностi FD-методу (див. [1], [7]) у розгля-
дуванiй ситуацiї викликає суттєвi труднощi. Тому скористаємось iншим пiдходом. З метою
спрощення викладу проiлюструємо його для конкретного випадку n = 0, φ(x) = x2. Не-
важко показати, що розв’язок (j + 1)-го рiвняння з (3) має таке зображення
u
(j+1)
0 (x) =
j+1∑
p=1
a(j+1)
p H2p(x),
де коефiцiєнти потребують визначення. Подiбне зображення мають розв’язки всiх рiвнянь,
що входять у (3). Пiдставимо цi зображення у диференцiальне рiвняння (3) i прирiвняємо
6 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
коефiцiєнти при полiномах Ермiта з однаковии степенями. Тодi одержимо систему рiвнянь
λ
(j+1)
0 = 2a
(j)
1 +
1
2
δ0,j ,
−4p a(j+1)
p = −1
2
a(j)p − 2
j−1∑
s=p
a
(j−s)
1 a(s)p +
j∑
s=1
a(j)s
∞∫
−∞
e−x2
x2H2s(x)H2p(x)
h2p
dx =
= −1
2
a(j)p − 2
j−1∑
s=p
a
(j−s)
1 a(s)p +
1
2
√
π22p(2p)!
j∑
s=1
a(j)s ×
×
∞∫
−∞
e−x2
[
1
2
H2s+2(x) + (4s+ 1)H2s(x) + 4s(2s− 1)H2s−2(x)]H2p(x) dx =
= −1
2
a(j)p − 2
j−1∑
s=p
a
(j−s)
1 a(s)p +
1
2
[
1
2
a
(j)
p−1 + (4p+ 1)a(j)p + 4(p+ 1)(2p+ 1)a
(j)
p+1
]
,
j = 1, 2, ..., j + 1, a(j)p = 0, p > j.
(5)
Процедура розв’язування алгебраїчної рекурентної системи (5) є алгоритмiчною реалiзацi-
єю FD-методу, яка використовує тiльки звичайнi алгебраїчнi операцiї. На вiдмiну вiд роботи
[6], система (5) не тiльки вiдiграє важливу роль для побудови алгоритму, а й має ключове
значення при доведеннi збiжностi методу.
Справедливими є твердження.
Лема. Мають мiсце спiввiдношення
10. sgn(a(j)p ) = (−1)j , ∀p = 1, j, j = 1, 2, ...
20. sgn(λ
(j)
0 ) = (−1)j+1, j = 1, 2, ...
30. |λ(j+1)
0 | < |λ(j)0 |, lim
j→∞
λ
(j)
0 = 0.
За допомогою цiєї леми i теореми Лейбнiца про знакозмiннi ряди доводимо нижчесформу-
льоване твердження.
Теорема. Нехай n = 0, ϕ(x) = x2. Тодi FD-метод для задачi (1) є збiжним вiдносно
власного значення i має мiсце така оцiнка точностi:
|λ0 −
m
λ0 | =
∣∣∣∣ ∞∑
j=m+1
λ
(j)
0
∣∣∣∣ < |λ(m+1)
0 |.
Наведемо декiлька перших поправок до власної функцiї i власного значення при n = 0:
u
(0)
0 (x) = 1, λ
(0)
0 = 0,
u
(1)
0 = − 1
16
H2(x), λ
(1)
0 =
1
2
,
u
(2)
0 (x) =
1
32
H2(x) +
1
512
H4(x), λ
(2)
0 = −1
8
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 7
u
(3)
0 (x) = − 5
256
H2(x)−
1
512
H4(x)−
1
24576
H6(x), λ
(3)
0 =
1
16
,
u
(4)
0 (x) =
7
512
H2(x) +
7
4096
H4(x) +
1
16384
H6(x) +
1
1572864
H8(x), λ
(4)
0 = − 5
128
,
а також результати обчислень, що вiдображенi в табл. 1. Як видно з цiєї таблицi, набли-
ження до точного власного значення з n = 0 за FD-методом парного рангу наближають
його знизу, i їх послiдовнiсть є монотонно зростаючою, а непарного рангу — зверху, i їх
послiдовнiсть є монотонно спадною.
Iлюстрацiєю збiжностi FD-методу для n = 0 є табл. 2, у якiй наведенi квадрати норм
нев’язок наближень за FD-методом вiд 1-го до 20-го рангiв при n = 0:
∥
m
R0 ∥2 =
∞∫
−∞
e−x2
(
m
R0(x))
2dx, m = 1, 2, . . . , 20,
m
R0(x) =
d2
m
u0(x)
dx2
− 2x
d
m
u0(x)
dx
+ (
m
λ0−x2)
m
u0(x).
Зауважимо, що збiжнiсть є повiльною. Для прискорення швидкостi збiжностi скориста-
ємося загальною схемою FD-методу. Наблизимо коефiцiєнт x2 кусково-сталою функцiєю
φ(x) =
{
a, 6 c
b, > c,
вибираючи сталi в такий спосiб: a = 0,2711970183, b = 1,925341686, c = 1,047983469. Даний
вибiр є наслiдком мiнiмiзацiї функцiонала
Φ(a, b, c) =
c∫
0
e−x2
(x2 − a)2dx+
∞∫
c
e−x2
(x2 − b)2dx.
Таблиця 1
(0)
λ0 = 0
(10)
λ0 = 0,4099311829
(20)
λ0 = 0,4126671860
(1)
λ0 = 0,5
(11)
λ0 = 0,4179401398
(21)
λ0 = 0,4156522024
(30)
λ0 = 0,4133661557
(40)
λ0 = 0,4136613430
(50)
λ0 = 0,4138176548
(31)
λ0 = 0,4150206423
(41)
λ0 = 0,4147458294
(51)
λ0 = 0,4145979414
(60)
λ0 = 0,4139119961
(70)
λ0 = 0,4139740317
(80)
λ0 = 0,4140173749
(61)
λ0 = 0,4145077746
(71)
λ0 = 0,4144480686
(81)
λ0 = 0,4144061393
Таблиця 2
m ∥
m
R0 ∥2 m ∥
m
R0 ∥2 m ∥
m
R0 ∥2 m ∥
m
R0 ∥2
1 0,4154188713 6 0,1464031517 11 0,09623214440 16 0,07371339637
2 0,2932137821 7 0,1316623440 12 0,09054007513 17 0,07054482678
3 0,2279949337 8 0,1202924759 13 0,08549258634 18 0,06771056832
4 0,1913308915 9 0,1107495254 14 0,08112353060 19 0,06509892492
5 0,1564407586 10 0,1029744601 15 0,07718570942 20 0,06273609780
8 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Розв’язок базової задачi
d2u
(0)
0 (x)
dx2
− 2x
du
(0)
0 (x)
dx
+ (λ
(0)
0 − φ(x)) = 0, x ∈ (−∞,∞),
u
(0)
0 (0) = 1,
du
(0)
0 (0)
dx
= 0
шукаємо у виглядi
u
(0)
0 (x) = C1M
(
22711970183
40000000000
− 1
4
λ
(0)
0 ,
3
2
, x2
)
x+
+ Γ
(
22711970183
40000000000
− 1
4
λ
(0)
0
)/
π(1/2)U
(
22711970183
40000000000
− 1
4
λ
(0)
0 ,
3
2
, x2
)
x,
якщо |x| 6 c, i
u
(0)
0 (x) = C3U
(
22711970183
40000000000
− 1
4
λ
(0)
0 ,
3
2
, x2
)
x,
якщо |x| > c. Тут U(µ, ν, z), M(µ, ν, z) — функцiї Куммера (див. [5]). Для знаходження
сталих C1, C3 та власного значення базової задачi λ(0)0 скористаємося початковою умовою
du
(0)
0 (0)
dx
= 0 та умовами зшивки
u
(0)
0 (c− 0) = u
(0)
0 (c+ 0),
du
(0)
0 (c− 0)
dx
=
du
(0)
0 (c+ 0)
dx
.
У результатi прийдемо до трансцендентного рiвняння вiдносно λ(0)0 . Найменшим додатним
його коренем буде
λ
(0)
0 = 0,454062492636.
Використавши умову розв’язностi рiвняння для u
(1)
0 (x), одержимо
λ
(1)
0 = −0,025360087746,
отже, застосувавши FD-метод першого рангу, отримаємо такий результат:
(1)
λ0 = λ
(0)
0 + λ
(1)
0 = 0,425507433067,
що з точки зору точностi, як показують обчислення, є еквiвалентними найпростiшому ва-
рiанту FD-методу 5-го рангу.
Зауваження 1. Враховуючи характер залежностi λ(0)n = 2n вiд n та обгрунтування
FD-методу, робимо висновок, що при його застосуваннi до задач типу (1) вiн втрачає свою
чудову властивiсть: чим бiльший порядковий номер шуканого власного значення, тим ви-
ща швидкiсть збiжностi методу (див. [3, 7]). Тому, щоб досягти збiжностi методу, якщо
вiн є розбiжним, або досягти прискорення його швидкостi збiжностi, треба застосовувати
загальну схему FD-методу.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 9
Зауваження 2. Для випадку, коли потенцiал у рiвняннi (1) є сумою полiнома та авто-
номної нелiнiйностi (типу Gross–Pitaevskii), так само, як i в лiнiйному випадку, будуємо
алгоритм FD-методу, де використовуються тiльки звичайнi алгебраїчнi операцiї.
Цитована лiтература
1. Kao Y.-M., Jiang T.-F. Adomian’s decomposition method for eigenvalue problems // Phys. Rev. E. –
2005. – 71, No 3. – 036702, 7 p.
2. Roy A.K., Gupta N., Deb B.M. Time-dependent quantum-mechanical calculation of ground and excited
states of anharmonic and double-well oscillators // Phys. Rev. A. – 2001. – 65, No 1. – 012109, 7 p.
3. Макаров В.Л. О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи
Штурма–Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Докл. АН СССР. – 1991. – 320, № 1. –
С. 34–39.
4. Adomian G. Solving frontier problems of physics: the Decomposition method. – Dordrecht: Kluwer, 1994. –
352 p.
5. NIST Handbook of Mathematical Functions / Eds. F.W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C.W. Clarc. –
New York: Cambridge Univ. Press, 2010. – http://dlmf.nist.gov.
6. Макаров В.Л., Романюк Н.М. Новi властивостi FD-методу при його застосуваннi до задач Штурма–
Лiувiлля // Доп. НАН України. – 2014. – № 2. – С. 26–31.
7. Макаров В.Л. FD-метод – експоненцiальна швидкiсть збiжностi // Журн. обчисл. та прикл. матем. –
1997. – № 82. – С. 69–74.
References
1. Kao Y.-M., Jiang T.-F. Phys. Rev. E, 2005, 71, No 3: 036702, 7 p.
2. Roy A.K., Gupta N., Deb B.M. Phys. Rev. A, 2001, 65, No 1: 012109, 7 p.
3. Makarov V. L. Dokl. AN SSSR, 1991, 320, No 1: 34–39 (in Russian).
4. Adomian G. Solving frontier problems of physics: the Decomposition method, Dordrecht: Kluwer, 1994.
5. Olver F.W. J., Lozier D.W., Boisvert R. F., Clarc C.W., editors. NIST Handbook of Mathematical Functi-
ons, New York: Cambridge University Press, 2010, http://dlmf.nist.gov.
6. Makarov V. L., Romanyuk N.M. Dop. NAN Ukraine, 2014, No 2: 26–31 (in Ukrainian).
7. Makarov V. L. J. Comp. and Appl. Math., 1997, No 82: 69–74 (in Ukrainian).
Надiйшло до редакцiї 25.06.2015Iнститут математики НАН України, Київ
Академик НАН Украины В.Л. Макаров
FD-метод в спектральных задачах для оператора Шрёдингера
с полиномиальным потенциалом на (−∞,∞)
Институт математики НАН Украины, Киев
Особенностью рассматриваемых задач является неограниченность интервала интегриро-
вания и неограниченность полиномиального потенциала в операторе Шрёдингера, что обу-
словило отсутствие в литературе обоснованных приближенных методов их решения. В ра-
боте предложен функционально-дискретный (FD) метод с соответствующим обосновани-
ем, дающий возможность получать решение с любой предварительно заданной точностью.
Результаты, в частности, могут быть использованы для нахождения основных и возбу-
жденных энергетических состояний, а также плотности вероятностей квантово-меха-
нических ангармоник и осцилляторов с двойной потенциальной ямой.
Ключевые слова: спектральные задачи, собственные значения, оператор Шрёдингера, фун-
кции Куммера, экспоненциально сходящийся метод.
10 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Academician of the NAS of Ukraine V.L. Makarov
The FD-method in spectral problems for the Schrödinger operator with
polynomial potential on (−∞,∞)
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Кiev
The boundary-value problem under study has two distinctive features: its integration interval is
infinite, and the polynomial potential is unbounded. As a consequence, there is no justified numerical
solution methodology available in the literature. This article offers one. We apply the Functionally-
Discrete (FD) method to the mentioned problem and supply the justification of its convergence. The
proposed method enables one to obtain the numerical solution to the problem with an arbitrarily
prescribed precision. Among other areas, the results of this work can be applied to calculate the
quantum anharmonic oscillator energy states (ground and excited), as well as the energy states of
the oscillators with double-well potential.
Keywords: spectral problems, eigenvalues, Schrödinger operator, Kummer’s functions, exponenti-
ally convergent method.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 11
|