Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях
При определенных условиях на коэффициент дилатации Kμ доказано существование регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных односвязных областях....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97958 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях / И.В. Петков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 12-17. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-97958 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-979582016-04-06T03:02:45Z Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях Петков, И.В. Математика При определенных условиях на коэффициент дилатации Kμ доказано существование регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных односвязных областях. За певних умов на коефiцiєнт дилатацiї Kμ доведено iснування регулярних розв’язкiв задачi Дiрiхле для вироджених рiвнянь Бельтрамi у довiльних однозв’язних областях. Under certain conditions on the dilatation coefficient Kμ, the existence of regular solutions of the Dirichlet problem for the Beltrami equations in arbitrary simply connected domains is proved. 2015 Article Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях / И.В. Петков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 12-17. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97958 517.5 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Петков, И.В. Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях Доповіді НАН України |
| description |
При определенных условиях на коэффициент дилатации Kμ доказано существование регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных односвязных областях. |
| format |
Article |
| author |
Петков, И.В. |
| author_facet |
Петков, И.В. |
| author_sort |
Петков, И.В. |
| title |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях |
| title_short |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях |
| title_full |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях |
| title_fullStr |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях |
| title_full_unstemmed |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях |
| title_sort |
задача дирихле для уравнений бельтрами в односвязных областях |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97958 |
| citation_txt |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в односвязных областях / И.В. Петков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 12-17. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT petkoviv zadačadirihledlâuravnenijbelʹtramivodnosvâznyhoblastâh |
| first_indexed |
2025-07-07T05:50:23Z |
| last_indexed |
2025-07-07T05:50:23Z |
| _version_ |
1836966135924260864 |
| fulltext |
УДК 517.5
И.В. Петков
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами
в односвязных областях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
При определенных условиях на коэффициент дилатации Kµ доказано существование ре-
гулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произволь-
ных односвязных областях.
Ключевые слова: уравнение Бельтрами, задача Дирихле, простые концы, регулярные
решения, односвязные области.
О постановке задачи. Пусть D — область в комплексной плоскости C, т. е. связное и от-
крытое подмножество C, и пусть µ : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 п. в. (почти
всюду) в D. Уравнением Бельтрами называется уравнение вида
fz = µ(z)fz, (1)
где fz = ∂f = (fx+ ify)/2, fz = ∂f = (fx− ify)/2, z = x+ iy, fx и fy — частные производные
отображения f по x и y соответственно. Функция µ называется комплексным коэффици-
ентом, а величина
Kµ(z) :=
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
— (2)
дилатационным отношением уравнения (1). Уравнение Бельтрами (1) называется выро-
жденным, если Kµ является существенно неограниченной, т. е. Kµ /∈ L∞(D).
Классическая задача Дирихле для уравнения Бельтрами (1) в области D состоит в нахо-
ждении непрерывной функции f : D → C, имеющей частные производные первого порядка
п. в. и удовлетворяющей уравнению (1) п. в., а также граничному условию
lim
z→ζ
Re f(z) = φ(ζ) ∀ζ ∈ ∂D (3)
для предписанной непрерывной функции φ : ∂D → R.
В работах [1, 2] была развита теория граничного поведения гомеоморфных решений для
широкого круга уравнений Бельтрами класса Соболева W 1,1
loc и на этой основе при опреде-
ленных условиях на дилатационное отношение доказано существование регулярных реше-
ний задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых
областях и псевдорегулярных, а также многозначных решений в произвольных конечносвя-
зных областях, ограниченных попарно непересекающимися жордановыми кривыми.
© И.В. Петков, 2015
12 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Для изучения аналогичных вопросов в областях с более сложными границами уже тре-
буется привлечение теории простых концов по Каратеодори (см., например, [3, гл. 9] и [4]).
Основное отличие в этом случае заключается в том, что φ теперь должна быть функцией
граничного элемента (простого конца P ), а не граничной точки. Кроме того, (3) должно
быть заменено на условие
lim
n→∞
Re f(zn) = φ(P ) (4)
для любых последовательностей точек zn ∈ D, сходящихся к P .
Далее D′
P обозначает пополнение области D простыми концами, ED — пространство
простых концов с топологией простых концов, описанной в секции 9.4 монографии [3]. Кро-
ме того, непрерывность отображения f : DP → D′
P и граничной функции φ : ED → R
следует понимать относительно этой топологии.
2. Основной результат. При ограниченной φ : ED → R, допускающей не более сче-
тного числа разрывов, и φ(P ) ̸≡ const для остальных P ∈ ED под регулярным решением
задачи Дирихле (4) для уравнения Бельтрами (1) будем понимать непрерывное, дискретное
и открытое отображение f : D → C класса Соболева W 1,1
loc с якобианом Jf (z) = |fz|2−|fz|2 ̸=
̸= 0 п. в. и ограниченной вещественной частью, удовлетворяющее условию (4) в точках
непрерывности φ и п. в. (1). Если же φ(P ) ≡ c ∈ R вне счетного числа P ∈ ED, то под регу-
лярным решением этой задачи будем понимать любую постоянную функцию f(z) = c+ ic′,
c′ ∈ R.
В дальнейшем D обозначает единичный круг в C. Кроме того, всюду далее предпола-
гаем, что Kµ продолжена нулем вне области D.
Теорема 1. Пусть µ : D → D — измеримая в ограниченной односвязной области D ⊂ C
функция с Kµ ∈ L1
loc(D) такая, что
δ(z0)∫
0
dr
∥Kµ∥(z0, r)
= ∞ ∀z0 ∈ D, (5)
где 0 < δ(z0) < d(z0) = sup
z∈D
|z − z0| и, для S(z0, r) := {z ∈ C : |z − z0| = r},
∥Kµ∥(z0, r) :=
∫
S(z0,r)
Kµ(z) ds.
Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение f задачи Дирихле (4) для любой
ограниченной функции φ : ED → R, допускающей не более счетного числа точек разрыва.
Для доказательства прежде всего заметим, что ED не может состоять из одного про-
стого конца в силу ограниченности области D. Действительно, все лучи, выпущенные из
какой-либо точки z0 ∈ D в бесконечность обязательно пересекают ∂D ввиду ограниченно-
сти области D. Таким образом, ∂D состоит более чем из одной точки и по теореме Римана
(см., например, [5, II.2.1]), D можно отобразить на единичный круг D с помощью кон-
формного отображения R. По теореме Каратеодори элементы ED находятся во взаимно
однозначном соответствии с точками единичной окружности ∂D при отображении R (см.,
например, теорему 9.6 в [3]).
Пусть F — гомеоморфное решение уравнения (1) класса W 1,1
loc с JF ̸= 0 п. в., которое
существует в силу условия (5), например, по теореме 7.5 из [6].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 13
Заметим, что область D∗ = F (D) односвязна в C (см., например, лемму 5.3 в [7]).
Допустим, что ∂D∗ в C состоит из единственной точки {∞}. Тогда C\D∗ также состоит из
единственной точки ∞, т. е. D∗ = C, ибо если бы в C\D∗ нашлась точка ζ0 ∈ C, то, соединив
ее отрезком прямой с любой точкой ζ∗ ∈ D∗, мы обнаружили бы еще одну точку ∂D∗ уже
в C. Теперь обозначим через D∗ внешность единичного круга D в C, и пусть κ(ζ) = 1/ζ,
κ(0) = ∞, κ(∞) = 0. Рассмотрим отображение F∗ = κ ◦ F : D̃ → D0, где D̃ = F−1(D∗)
и D0 = D \ {0} — проколотый единичный круг. Ясно, что F∗ также является регулярным
гомеоморфным решением уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc в ограниченной двухсвя-
зной области D̃, поскольку отображение κ конформно. По теореме 3 из [4] элементы ED
должны находиться во взаимно однозначном соответствии с 0. Однако выше было пока-
зано, что ED не может состоять из одного простого конца. Это противоречие опровергает
предположение, что ∂D∗ состоит из одной точки в C.
Таким образом, по теореме Римана D∗ можно отобразить на единичный круг D с помо-
щью некоторого конформного отображения R∗. Заметим, что функция g := R∗ ◦ F вновь
является регулярным гомеоморфным решением класса Соболева W 1,1
loc уравнения Бельтра-
ми (1), которое отображает D на D. По теореме 3 из [4] отображение g допускает продол-
жение до гомеоморфизма g∗ : DP → D.
Пусть u : D → R — (единственная!) ограниченная гармоническая функция, являющаяся
решением задачи Дирихле
lim
z→ζ
u(z) = Φ(ζ) := φ(g−1
∗ (ζ))
во всех точках ζ ∈ ∂D непрерывности функции Φ (см. секцию VI.3 в [5]), и пусть h = u+ iv,
где v — сопряженная с u гармоническая функция в D. Тогда функция f = h◦g дает искомое
регулярное решение задачи Дирихле (4) для уравнения Бельтрами (1).
3. Следствия и заключительные замечания.
Следствие 1. В частности, заключение теоремы 1 имеет место, если при ε → 0
kz0(ε) = O
(
log
1
ε
)
∀z0 ∈ D,
где kz0(ε) — среднее значение функции Kµ на окружности S(z0, ε).
Используя лемму 2.2 в [8], непосредственно из теоремы 1 также получаем следующую
лемму.
Лемма 1. Пусть µ : D → D — измеримая в ограниченной односвязной области D ⊂ C
функция с Kµ ∈ L1(D). Предположим, что для каждого z0 ∈ D существует ε0 < d(z0) :=
= sup
z∈D
|z−z0| и однопараметрическое семейство измеримых функций ψz0,ε : (0,∞) → (0,∞),
ε ∈ (0, ε0), таких, что
0 < Iz0(ε) :=
ε0∫
ε
ψz0,ε(t) dt <∞ ∀ε ∈ (0, ε0)
и при ε → 0∫
D(z0,ε,ε0)
Kµ(z) · ψ2
z0,ε(|z − z0|) dm(z) = o(I2z0(ε)),
14 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
где D(z0, ε, ε0) = {z ∈ D : ε < |z − z0| < ε0}. Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет ре-
гулярное решение f задачи Дирихле (4) для любой ограниченной функции φ : ED → R,
допускающей не более счетного числа точек разрыва.
Замечание 1. На самом деле вместо условия Kµ ∈ L1(D) здесь достаточно требовать
локальную интегрируемость Kµ в области D и условие, что ||Kµ||(z0, r) ̸= ∞ для п. в.
r ∈ (0, ε0) при всех z0 ∈ ∂D.
По лемме 1 с выбором ψz0,ε(t) ≡ 1/t log(1/t) (см. следствие 2.3 о функциях конечного
среднего колебания в [7]) получаем следующий результат.
Теорема 2. Пусть µ : D → D — измеримая в ограниченной односвязной области D ⊂ C
функция такая, что
Kµ(z) 6 Q(z) ∈ FMO(D).
Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение f задачи Дирихле (4) для любой
ограниченной функции φ : ED → R, допускающей не более счетного числа точек разрыва.
Следствие 2. В частности, заключение теоремы 2 остается в силе, если Kµ(z) 6
6 Q(z) ∈ BMO(D).
Наконец, из теоремы 1, используя также теорему 3.1 из работы [9], приходим к следу-
ющему результату.
Теорема 3. Пусть µ : D → D — измеримая в ограниченной односвязной области D ⊂ C
функция такая, что∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) <∞,
где Φ: [0,∞) → [0,∞) — неубывающая выпуклая функция с условием
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞
для некоторого δ > Φ(0). Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение f
задачи Дирихле (4) для любой ограниченной функции φ : ED → R, допускающей не более
счетного числа точек разрыва.
Следствие 3. В частности, заключение теоремы 3 имеет место, если при некотором
α > 0∫
D
eαKµ(z)dm(z) <∞.
Замечание 2. Все приведенные теоремы имеют место, в частности, для функций
φ : ED → R ограниченной вариации. Понятие ограниченной вариации здесь имеет смысл,
поскольку по теоремам Римана и Каратеодори простые концы односвязной области могут
быть естественным образом циклически упорядочены.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 15
Цитированная литература
1. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. О граничном поведении решений уравнений Бельтра-
ми // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 8. – С. 1078–1091.
2. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. О задаче Дирихле для уравнений Бельтрами в коне-
чносвязных областях // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 7. – С. 932–944.
3. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. – Москва: Мир, 1971. – 312 с.
4. Петков И.В. О граничном поведении гомеоморфизмов класса W 1,1
loc на плоскости по простым кон-
цам // Доп. НАН. України. – 2015. – № 6. – С. 19–24.
5. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
630 с.
6. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach. – New
York etc.: Springer, 2012. – 314 p. – (Developments in Mathematics, Vol. 26.).
7. Игнатьев А.А., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. ве-
стник. – 2005. – 2, № 3. – С. 395–417.
8. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфи-
змов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361–1376.
9. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On integral conditions in the mapping theory // Укр. мат. вестн. –
2010. – 7, No 1. – С. 73–87.
References
1. Kovtonyuk D., Petkov I., Ryazanov V. Ukr. Mat. Zh., 2011, 63, No 8: 1078–1091 (in Russian).
2. Kovtonyuk D., Petkov I., Ryazanov V. Ukr. Mat. Zh., 2012, 64, No. 7: 932–944 (in Russian).
3. Collingwood E. F., Lohwater A. J. The Theory of Cluster Sets, Cambridge Tracts in Math. and Math.
Physics 56, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1966.
4. Petkov I. V. Dop. NAN Ukraine, 2015, No 6: 19–24 (in Russian).
5. Goluzin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable, Transl. of Math. Monographs, 26,
Providence, AMS, 1969.
6. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami Equation: A Geometric Approach,
Developments in Mathematics, Vol. 26, New York etc: Springer, 2012.
7. Ignat’ev A., Ryazanov V. Ukr. Mat. Visn., 2005, 2, No 3: 395–417 (in Russian).
8. Ryazanov V., Sevost’yanov E. Sibirsk. Math. Zh., 2007, 48, No 6: 1361–1376 (in Russian).
9. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Ukr. Mat. Visn., 2010, 7, No 1: 73–87 (in Russian).
Поступило в редакцию 15.06.2015Институт прикладной математики и механики
НАН Украины, Славянск
I. В. Пєтков
Задача Дiрiхле для рiвнянь Бельтрамi в однозв’язних областях
Iнститут прикладної математики i механiки НАН України, Слов’янськ
За певних умов на коефiцiєнт дилатацiї Kµ доведено iснування регулярних розв’язкiв задачi
Дiрiхле для вироджених рiвнянь Бельтрамi у довiльних однозв’язних областях.
Ключовi слова: рiвняння Бельтрамi, задача Дiрiхле, простi кiнцi, регулярнi розв’язки,
однозв’язнi областi.
16 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
I. V. Petkov
The Dirichlet problem for the Beltrami equations in simply connected
domains
Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Sloviansk
Under certain conditions on the dilatation coefficient Kµ, the existence of regular solutions of the
Dirichlet problem for the Beltrami equations in arbitrary simply connected domains is proved.
Keywords: Beltrami equations, Dirichlet problem, prime ends, regular solutions, simply connected
domains.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 17
|