Про нову форму запису розкладiв Майєра
Розглянуто нескiнченну систему точкових частинок у рамках класичної статистичної механiки. Побудовано новi розклади для термодинамiчних потенцiалiв статистичної механiки, якi дають можливiсть покращити радiус збiжностi розкладiв Майєра....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97959 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про нову форму запису розкладiв Майєра / О.Л. Ребенко, В.А. Болух // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 18-22. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-97959 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-979592016-04-06T03:02:46Z Про нову форму запису розкладiв Майєра Ребенко, О.Л. Болух, В.А. Математика Розглянуто нескiнченну систему точкових частинок у рамках класичної статистичної механiки. Побудовано новi розклади для термодинамiчних потенцiалiв статистичної механiки, якi дають можливiсть покращити радiус збiжностi розкладiв Майєра. Рассмотрена бесконечная система точечных частиц в рамках классической статистической механики. Построены новые разложения для термодинамических потенциалов статистической механики, которые позволяют улучшить радиус сходимости разложений Майера. The infinite system of point particles is considered in the framework of classical statistical mechanics. A new form of the Mayer expansion for thermodynamic potentials of statistical mechanics is presented, which improves the radius of convergence of the previous one. 2015 Article Про нову форму запису розкладiв Майєра / О.Л. Ребенко, В.А. Болух // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 18-22. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97959 517.9+531.19+530.145 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Ребенко, О.Л. Болух, В.А. Про нову форму запису розкладiв Майєра Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто нескiнченну систему точкових частинок у рамках класичної статистичної
механiки. Побудовано новi розклади для термодинамiчних потенцiалiв статистичної
механiки, якi дають можливiсть покращити радiус збiжностi розкладiв Майєра. |
| format |
Article |
| author |
Ребенко, О.Л. Болух, В.А. |
| author_facet |
Ребенко, О.Л. Болух, В.А. |
| author_sort |
Ребенко, О.Л. |
| title |
Про нову форму запису розкладiв Майєра |
| title_short |
Про нову форму запису розкладiв Майєра |
| title_full |
Про нову форму запису розкладiв Майєра |
| title_fullStr |
Про нову форму запису розкладiв Майєра |
| title_full_unstemmed |
Про нову форму запису розкладiв Майєра |
| title_sort |
про нову форму запису розкладiв майєра |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97959 |
| citation_txt |
Про нову форму запису розкладiв Майєра / О.Л. Ребенко, В.А. Болух // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 11. — С. 18-22. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT rebenkool pronovuformuzapisurozkladivmajêra AT boluhva pronovuformuzapisurozkladivmajêra |
| first_indexed |
2025-07-07T05:50:27Z |
| last_indexed |
2025-07-07T05:50:27Z |
| _version_ |
1836966140445720576 |
| fulltext |
УДК 517.9+531.19+530.145
О.Л. Ребенко, В.А. Болух
Про нову форму запису розкладiв Майєра
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Розглянуто нескiнченну систему точкових частинок у рамках класичної статистичної
механiки. Побудовано новi розклади для термодинамiчних потенцiалiв статистичної
механiки, якi дають можливiсть покращити радiус збiжностi розкладiв Майєра.
Ключовi слова: термодинамiчнi потенцiали, разклад Майєра.
Дослiдження термодинамiчних потенцiалiв є основним математичним засобом для розумi-
ння природи фазових переходiв у системах взаємодiючих частинок. Математичнi аспекти
дослiдження нескiнченних систем точкових частинок описанi в роботах [1–3]. У цiй робо-
тi запропонована нова форма запису розкладiв Майєра для термодинамiчних потенцiалiв
нескiнченних систем статистичної механiки. Iдея полягає в тому, щоб роздiлити додатну
i вiд’ємну частини потенцiалу взаємодiї мiж частинками i побудувати розклад тiльки за
функцiями Урселла вiд’ємної частини, яка iнтегрується за мiрою Гiббса, що визначається
додатною частиною потенцiалу. Такий запис дає можливiсть покращити радiус збiжностi
розкладiв Майєра i дослiдити деякi новi властивостi термодинамiчних потенцiалiв.
1. Простори конфiгурацiй системи частинок та їх взаємодiя. Визначимо про-
стiр конфiгурацiй (множину положень частинок) в Rd як множину локально скiнченних
пiдмножин:
Γ = ΓRd := {γ ⊂ Rd
∣∣|γ ∩ Λ| <∞, для всiх Λ ∈ Bc(Rd)}, (1)
де |A| := card{A} — кiлькiсть точок множини A, а через Bc(Rd) будемо позначати систему
всiх обмежених борелiвських множин в Rd. Позначимо через Γ0 i ΓΛ множини скiнченних
конфiгурацiй вiдповiдно в Rd i в Λ ∈ Bc(Rd), а через σ — мiру Лебега на (Rd,B(Rd)). Мiрою
Лебега–Пуассона будемо називати σ-скiнченну мiру λσ на Γ0, яка визначається формулою∫
Γ0
F (γ)λzσ(dγ) =
∞∑
n=0
zn
n!
∫
Rd
. . .
∫
Rd
F ({x1, . . . , xn})σ(dx1) . . . σ(dxn) =
=
∞∑
n=0
zn
n!
∫
Rd
. . .
∫
Rd
Fn(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn, (2)
для всiх вимiрних функцiй F = {Fn}n>0, Fn ∈ L1(Rdn). Звуження мiри λσ на B(ΓΛ) ми
також будемо позначати λσ ≡ λΛσ , але всi iнтеграли за простором Rd треба замiнити iнте-
гралами за Λ.
Потенцiальну енергiю довiльної конфiгурацiї γ ∈ Γ0 для частинок, взаємодiю яких опи-
сує парний потенцiал ϕ, записують таким чином:
U(γ) = Uϕ(γ) :=
∑
{x,y}⊂γ
ϕ(|x− y|) :=
∑
{x,y}⊂γ
ϕxy. (3)
© О.Л. Ребенко, В.А. Болух, 2015
18 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Будемо розглядати мiнiмальнi обмеження на потенцiал ϕ: стiйкiсть i регулярнiсть (див.,
наприклад, [1, §§3.1–3.2]), а його графiчне зображення буде мати вигляд потенцiалу Ле-
нарда–Джонсона.
Позначимо також через a0 вiдстань, для якї ϕ(a0) = 0.
2. Термодинамiчнi потенцiали. Термодинамiчнi потенцiали визначають основнi ма-
кроскопiчнi характеристики системи: тиск, вiльну енергiю тощо. Аналiтично цi характе-
ристики визначаються за допомогою статистичних сум великого та малого статистичних
ансамблiв ZΛ(z, β) i Z(N)
Λ (v, β):
ZΛ(z, β) =
∫
ΓΛ
e−βU(γ)λzσ(dγ) =
∑
N>0
zN
∫
Γ
(N)
Λ
e−βU(γ)λzσ(dγ) =
∑
N>0
zNZ
(N)
Λ (v, β), (4)
де z — активнiсть, v — питомий об’єм (об’єм, що припадає на одну частинку) i β = 1/kT —
обернена температура системи, такими формулами:
f(v, β) = −kT lim
N,V→∞
V/N→v
1
N
logZ
(N)
Λ (v, β), (5)
p(z, β) := kT lim
Λ↑Rd
1
V
logZΛ(z, β). (6)
3. Побудова розкладiв Майєра. Стандартною процедурою є зображення експоненти
у виразi (4) у виглядi:
e−βU(γ) =
1, для |γ| = 0 ∨ 1,∏
{x,y}⊂γ
(Cxy + 1), для |γ| > 2. (7)
де Cxy := e−βϕxy − 1, i запис її за допомогою функцiй Урсела ΦT (γ) (див., наприклад, [1,
п. 4.4.2]):
e−βU(γ) =
|γ|∑
k=1
∗∑
{γ1,...,γk}⊂γ
ΦT (γ1) . . .Φ
T (γk), (8)
де сума з зiрочкою означає пiдсумовування за усiма розбиттями множини γ на k непорожнiх
множин, якi не перетинаються мiж собою:
k∪
j=1
γj = γ, γi
∩
γj = ∅ для всiх i ̸= j, γi ̸= ∅, i, j ∈ {1, . . . , k}. (9)
Тодi велику статистичну суму ZΛ(z, β) можна записати у виглядi
ZΛ(z, β) = e
∫
ΓΛ
ΦT (γ)λzσ(dγ)
. (10)
Пiсля пiдстановки виразу (10) у формулу (6) i з урахуванням визначення мiри λσ (2) отри-
маємо вiдомий розклад тиску за степенями активностi.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 19
Для побудови розкладу, який ми хочемо розглянути в цiй роботi, скористаємося вищена-
веденою процедурою тiльки для експоненти вiд енергiї, яка враховує лише вiд’ємну частину
потенцiалу ϕ− (ϕ = ϕ+ + ϕ−), i запишемо її у виглядi
e−βU−(γ) =
∑
η⊂γ
F̃ (η), F̃ (∅) = 1, (11)
F̃ (η) =
|η|∑
k=1
∗∑
{η1,...,ηk}⊂η
F (η1) . . . F (ηk), (12)
F ({x}) = 0 i F (η) = ΦT
−(η) для |η| > 2, а вираз для ΦT
−(η) вiдрiзняється вiд функцiй
Урсела ΦT (η) тим, що в кожному зв’язному графi, внесок якого входить у визначення ΦT
−(η),
аналiтичний вираз Cxy, який вiдповiдає кожнiй лiнiї графа, треба замiнити на функцiї
C−
xy := e−βϕ−
xy − 1. Тодi велика статистична сума набуває вигляду
ZΛ(z, β) = Z
(+)
Λ (z, β)
∫
ΓΛ
∑
η⊂γ
F̃ (η)µ+Λ(dγ), (13)
де µ+Λ — мiра Гiббса в Λ, яка вiдповiдає взаємодiї ϕ+. До правої частини рiвностi (13)
застосуємо формулу (див., наприклад, [4])∫
ΓΛ
∑
η⊂γ
F̃ (η)µ+Λ(dγ) =
∫
ΓΛ
F̃ (η)ρ(+)(η)λσ(dη), (14)
де ρ(+)(η) — сiм’я кореляцiйних функцiй, якi вiдповiдають взаємодiї ϕ+. Враховуючи вигляд
функцiї F̃ (η) в (12), пiдiнтегральний вираз в (14) зобразимо у виглядi:
|η|∑
k=1
∗∑
{η1,...,ηk}⊂η
F (η1) . . . F (ηk)ρ
(+)(η) =
|η|∑
k=1
∗∑
{η1,...,ηk}⊂η
X(η1) . . . X(ηk), (15)
де функцiї X визначаються з рiвняння (15) методом математичної iндукцiї:
X(η) =
|η|∑
k=1
∗∑
{η1,...,ηk}⊂η
F (η1) . . . F (ηk)ρ
(+),T (η1, . . . , ηk | η), (16)
де ρ(+),T (η1, . . . , ηk | η) — узагальненi зв’язнi кореляцiйнi функцiї [5], якi вiдповiдають вза-
ємодiї ϕ+. Вони визначаються як звичайнi зв’язнi кореляцiйнi функцiї по вiдношенню до
пiдмножин η1, . . . , ηk конфiгурацiї η, тобто є звичайними зв’язними кореляцiйними функцi-
ями у випадку, коли кожна з пiдмножин η1, . . . , ηk мiстить по однiй точцi. Враховуючи (15)
i теорему 2.1 роботи [6], отримуємо рiвнiсть∫
ΓΛ
F̃ (η)ρ(+)(η)λσ(dη) = e
∫
ΓΛ\{∅}
X(γ)λzσ(dγ)
. (17)
20 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
Згiдно з формулами (13)–(17) та визначеннями (6) отримаємо розклад тиску за степенями z:
p(z, β) := p(+)(z, β) + kT
∞∑
n=2
zn
n!
∫
Rd
. . .
∫
Rd
Xn(x1, . . . , xn) dx2 . . . dxn. (18)
Збiжнiсть розкладу (18) випливає з оцiнок функцiй ρ(+),T (η1, . . . , ηk | η)(див. [5]) i внескiв
F (η) зв’язних графiв, побудованих за допомогою функцiй C−
xy, вирiшальною властивiстю
яких є умови
C−
xy = 0 при |x− y| 6 a0 i C−(β, a0) =
∫
Rd
C−
0xdx <∞. (19)
Цитована лiтература
1. Ruelle D. Statistical Mechanics: Rigorous results. – New York; Amsterdam: Benjamin, 1969. – 219 p.
2. Minlos R.A. Introduction to Mathematical Statistical Physics. – Providence, R. I.: AMS, 1999. – 103 p. –
(University Lecture Series; Vol. 19).
3. Petrina D.Ya., Gerasimenko V. I., Malyshev P.V. Mathematical foundations of classical statistical mecha-
nics. – London; New York: CRC Press, 2002. – 352 p.
4. Lenard A. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. II // Arch. Ration.
Mech. Anal. – 1975. – 59. – P. 241–256.
5. Duneau M., Iagolnitzer D., Souillard B. Decrease Properties of Truncated Correlation Functions and
Analyticity Properties for Classical Lattices and Continuous Systems // Commun. Math. Phys. – 1973. –
31. – P. 191–208.
6. Boluh V.A., Rebenko A. L. An exponential representation for some integrals with respect to Lebesgue-
Poisson measure // Methods Funct. Anal. and Topol. – 2014. – 20, No 2. – P. 186–192.
References
1. Ruelle D. Statistical Mechanics: Rigorous results, New York; Amsterdam: Benjamin, 1969.
2. Minlos R.A. Introduction to Mathematical Statistical Physics, University Lecture Series, Vol. 19, Provi-
dence, R.I.; AMS, 1999.
3. Petrina D.Ya., Gerasimenko V. I, Malyshev P.V. Mathematical foundations of classical statistical mechani-
cs, London; New York: CRC Press, 2002.
4. Lenard A. Arch. Ration. Mech. Anal., 1975, 59: 241–256.
5. Duneau M., Iagolnitzer D., Souillard B. Commun. Math. Phys., 1973; 31: 191–208.
6. Boluh V.A., Rebenko A. L. Methods Funct. Anal. and Topol., 2014, 20, No 2: 186—192.
Надiйшло до редакцiї 04.06.2015Iнститут математики НАН України, Київ
А.Л. Ребенко, В. А. Болух
О новой форме записи разложений Майера
Институт математики НАН Украины, Киев
Рассмотрена бесконечная система точечных частиц в рамках классической статистиче-
ской механики. Построены новые разложения для термодинамических потенциалов ста-
тистической механики, которые позволяют улучшить радиус сходимости разложений
Майера.
Ключевые слова: термодинамические потенциалы, разложение Майера.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11 21
A.L. Rebenko, V.A. Boluh
On a new form of the Mayer expansion
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
The infinite system of point particles is considered in the framework of classical statistical mechani-
cs. A new form of the Mayer expansion for thermodynamic potentials of statistical mechanics is
presented, which improves the radius of convergence of the previous one.
Keywords: thermodynamic potentials, Mayer expansion.
22 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №11
|