Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем
Дослiджується iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем, що мають траєкторiї з нескiнченною кiлькiстю iмпульсних збурень. Для параболiчного нелiнiйно збуреного рiвняння з iмпульсним впливом доведено iснування глобального атрактора....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98020 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем / О.В. Капустян, М.О. Перестюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 12. — С. 13-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-98020 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-980202016-04-08T03:02:21Z Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем Капустян, О.В. Перестюк, М.О. Математика Дослiджується iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем, що мають траєкторiї з нескiнченною кiлькiстю iмпульсних збурень. Для параболiчного нелiнiйно збуреного рiвняння з iмпульсним впливом доведено iснування глобального атрактора. Исследуется существование глобальных аттракторов для импульсных динамических систем, которые имеют траектории с бесконечным числом импульсных возмущений. Для параболического нелинейно возмущенного уравнения с импульсным воздействием доказано существование глобального аттрактора. The existence of global attractors for impulsive dynamical systems, which have trajectories with infinite number of impulsive perturbations, is investigated. We have proved the existence of a global attractor for a parabolic equation with nonlinear perturbation. 2015 Article Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем / О.В. Капустян, М.О. Перестюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 12. — С. 13-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98020 517.9 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Капустян, О.В. Перестюк, М.О. Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем Доповіді НАН України |
| description |
Дослiджується iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем,
що мають траєкторiї з нескiнченною кiлькiстю iмпульсних збурень. Для параболiчного нелiнiйно збуреного рiвняння з iмпульсним впливом доведено iснування глобального атрактора. |
| format |
Article |
| author |
Капустян, О.В. Перестюк, М.О. |
| author_facet |
Капустян, О.В. Перестюк, М.О. |
| author_sort |
Капустян, О.В. |
| title |
Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем |
| title_short |
Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем |
| title_full |
Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем |
| title_fullStr |
Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем |
| title_full_unstemmed |
Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем |
| title_sort |
iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98020 |
| citation_txt |
Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем / О.В. Капустян, М.О. Перестюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 12. — С. 13-18. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kapustânov isnuvannâglobalʹnihatraktorivdlâimpulʹsnihdinamičnihsistem AT perestûkmo isnuvannâglobalʹnihatraktorivdlâimpulʹsnihdinamičnihsistem |
| first_indexed |
2025-07-07T05:54:36Z |
| last_indexed |
2025-07-07T05:54:36Z |
| _version_ |
1836966401310457856 |
| fulltext |
УДК 517.9
О.В. Капустян, академiк НАН України М.О. Перестюк
Iснування глобальних атракторiв для iмпульсних
динамiчних систем
Дослiджується iснування глобальних атракторiв для iмпульсних динамiчних систем,
що мають траєкторiї з нескiнченною кiлькiстю iмпульсних збурень. Для параболiчно-
го нелiнiйно збуреного рiвняння з iмпульсним впливом доведено iснування глобального
атрактора.
Ключовi слова: iмпульсна динамiчна система, глобальний атрактор, iмпульсне збу-
рення.
Iмпульснi динамiчнi системи, тобто автономнi системи, що зазнають iмпульсних збурень
при досягненнi траєкторiєю деякої пiдмножини фазового простору, є важливим пiдкласом
систем з iмпульсним збуренням [1, 2]. Якiсна теорiя таких систем розглядалася в багатьох
роботах (див. [1–6] i посилання в них). У роботi [6] на пiдставi припущення про скiнчен-
ну кiлькiсть iмпульсних збурень вздовж кожної траєкторiї запропоновано означення гло-
бального атрактора iмпульсної динамiчної системи як компактної, iнварiантної, рiвномiрно
притягуючої множини фазового простору, що не перетинається з множиною iмпульсного
збурення. В данiй роботi розглядаються нескiнченновимiрнi розривнi динамiчнi системи
з нескiнченною кiлькiстю iмпульсних збурень вздовж траєкторiй. Показано, що для таких
систем бiльш природним є означення глобального атрактора, як компактної мiнiмальної
рiвномiрно притягуючої множини [7–10]. Основним результатом роботи є доведення iснува-
ння глобального атрактора для iмпульсної динамiчної системи, породженої нелiнiйно збуре-
ним параболiчним рiвнянням, траєкторiї якої зазнають нескiнченної кiлькостi iмпульсних
збурень.
Нехай (X, ρ) — метричний простiр, β(X) — обмеженi пiдмножини X. Пiд динамiчною
системою (ДС) будемо розумiти пару (X,G), де вiдображення G : R+×X 7→ X задовольняє
напiвгрупову властивiсть:
∀x ∈ X G(0, x) = x, G(t+ s, x) = G(t, G(s, x)) ∀t, s > 0.
На вiдмiну вiд класичного означення ДС, на G не накладаються умови неперервностi.
Означення. A ⊂ X називається глобальним атрактором ДС (X,G), якщо:
1) A — компакт;
2) A — рiвномiрно притягуюча, тобто ∀B ∈ β(X) dist(G(t, B), A) → 0, t → ∞;
3) A — мiнiмальна в класi замкнених множин, що задовольняють 2.
Теорема 1 [7–10]. Нехай для ДС (X,G) виконана умова дисипативностi:
∃B0 ∈ β(X) ∀B ∈ β(X) ∃T = T (B) ∀t > T G(t, B) ⊂ B0. (1)
Тодi ДС (X,G) має глобальний атрактор тодi i тiльки тодi, коли G є асимптотично
компактною, тобто виконана умова
∀{xn} ∈ β(X) ∀{tn ↗ ∞} послiдовнiсть {G(tn, xn)} є передкомпактною. (2)
© О.В. Капустян, М. О. Перестюк, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №12 13
Перейдемо до опису ДС, що породжується iмпульсною системою. Нехай у фазовому
просторi X задана неперервна напiвгрупа V : R+ ×X 7→ X, непорожня замкнена множина
M ⊂ X i вiдображення I : M 7→ X. Фазова точка x(t), рухаючись по траєкторiях V , в мо-
мент τ досягнення множини M зазнає iмпульсного впливу i опиняється в положеннi Ix(τ).
Нехай виконанi такi умови:
M
∩
I(M) = ∅, ∀x ∈M ∃τ = τ(x) > 0 ∀t ∈ (0, τ) V (t, x) ̸∈M. (3)
Введемо позначення: ∀x ∈ M Ix = x+, ∀x ∈ X M+(x) =
( ∪
t>0
V (t, x)
)∩
M .
Тодi якщо M+(x) ̸= ∅, то iснує момент часу s := ϕ(x) > 0 такий, що
∀t ∈ (0, s) V (t, x) ̸∈M, V (s, x) ∈M.
За допомогою введених позначень iмпульсна динамiчна система (X, Ṽ ) описується таким
чином. Зафiксуємо x ∈ X. Якщо M+(x) = ∅, то Ṽ (t, x) = V (t, x) ∀t > 0. Якщо M+(x) ̸= ∅,
то для s0 = ϕ(x), x1 = V (s0, x)
Ṽ (t, x) =
{
V (t, x), 0 6 t < s0,
x+1 , t = s0.
Якщо M+(x+1 ) = ∅, то Ṽ (t, x) = V (t − s0, x
+
1 ) ∀t > s0.
Якщо M+(x+1 ) ̸= ∅, то для s1 = ϕ(x+1 ), x2 = V (s1, x
+
1 )
Ṽ (t, x) =
{
V (t− s0, x
+
1 ), s0 6 t < s0 + s1,
x+2 , t = s0 + s1
i т. д. У результатi маємо скiнченну або нескiнченну кiлькiсть iмпульсних точок {x+n }n>1 та
вiдповiдних їм моментiв часу {sn}n>0,
V (s0, x) = x1, V (sn, x
+
n ) = xn+1, n > 1.
Будемо вважати виконаною таку умову:
∀x ∈ X Ṽ (t, x) визначена ∀t ∈ [0,+∞), (4)
тобто або кiлькiсть iмпульсних точок не бiльш як скiнченна, або
∞∑
n=0
sn = ∞. Тодi [4, 5]
вiдображення Ṽ : R+ × X 7→ X задовольняє напiвгрупову властивiсть i нас цiкавитиме
глобальний атрактор ДС (X, Ṽ ). Виходячи з класичних прикладiв розривних скiнченно
вимiрних динамiчних систем [1–3], будемо розглядати iмпульснi збурення двох типiв з па-
раметрами a > 0, µ > 0:
(а) X — нормований простiр, M = {x ∈ X | ∥x∥ = a}, Ix = (1 + µ)x;
(б) X — гiльбертiв простiр, {ψk}∞k=1 — ортонормований базис, M = {x ∈ X | (ψ1, x) = a},
для x =
∞∑
k=1
ckψk, Ix = (1 + µ)c1ψ1 +
∞∑
k=2
ckψk.
Спочатку покажемо, що як завгодно мале iмпульсне збурення типу (а) в найпростiшiй
нескiнченновимiрнiй ситуацiї руйнує глобальний атрактор.
14 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №12
В обмеженiй областi Ω ⊂ Rp, p > 1, розглядається задача
∂y
∂t
= ∆y, (t, x) ∈ (0,∞)× Ω,
y|∂Ω = 0.
(5)
Нехай {ψi}∞i=1 — ортонормований базис в L2(Ω) такий, що −∆ψi = λiψi, ψi ∈ H1
0 (Ω), 0 <
< λ1 6 λ2 6 . . ., λi → ∞, i→ ∞. Задача (5) у фазовому просторi X = L2(Ω) з нормою ∥ · ∥
i скалярним добутком (·, ·) породжує динамiчну систему (X,V ), де y(t) = V
(
t,
∞∑
i=1
ciψi
)
=
=
∞∑
i=1
cie
−λitψi. Оскiльки ∀t > 0 ∥y(t)∥ 6 e−λ1t∥y0∥, то глобальним атрактором динамiчної
системи (X,V ) є A = {0}.
Тепер розглянемо iмпульсну ДС (X, Ṽ ), де
M = {y ∈ X | ∥y∥ = ε}, Iy = (1 + µ)y, ε > 0, µ > 0. (6)
Лема 1. Для будь-яких ε > 0, µ > 0 задача (5), (6) породжує iмпульсну динамiчну
систему (X, Ṽ ), що задовольняє умови (1), (3), (4), але не задовольняє (2), а отже, не має
глобального атрактора.
Тепер розглянемо задачу (5) з iмпульсним збуренням типу (б), тобто
M = {y ∈ X | (y, ψ1) = a}, I : M 7→ L2(Ω), (7)
для
y =
∞∑
i=1
ciψi Iy = (µ+ 1)c1ψ1 +
∞∑
i=2
ciψi, a > 0, µ > 0.
Лема 2. Для будь-яких a > 0, µ > 0 задача (5), (7) породжує iмпульсну динамiчну
систему (X, Ṽ ), що задовольняє умови (1)–(4) i має в просторi X = L2(Ω) глобальний
атрактор
A =
∪
t∈[0,ln(1+µ)]
{(1 + µ)ae−tψ1}
∪
{0}. (8)
Зауваження. З формули (8) випливає, що A
∩
M ̸= ∅ i для ξ = aψ1 ∈ A
∩
M , Ṽ (t, ξ) =
= aψ1e
−λ1t ̸∈ A, тобто ∀t > 0 Ṽ (t, A) ̸⊂ A.
Основним результатом роботи є доведення того факту, що атрактор зберiгається при
малих нелiнiйних збуреннях задачi (5), (7).
В обмеженiй областi Ω ⊂ Rp, p > 1, розглядається задача
∂y
∂t
= ∆y − εf(y), (t, x) ∈ (0,∞)× Ω,
y|∂Ω = 0,
(9)
де ε > 0 — малий параметр, f ∈ C1(R), f(0) = 0,
∃C > 0 ∀y ∈ R f ′(y) > −C, |f(y)| 6 C. (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №12 15
Умови (10) гарантують [7–9], що для довiльних y0 ∈ X = L2(Ω) задача (9) має єдиний
розв’язок yε ∈ C([0,+∞);X), yε(0) = y0, для якого справедлива оцiнка
∀t > 0 ∥yε(t)∥ 6 e−(λ1−Cε)t∥y0∥. (11)
Для розв’язкiв (9) розглядається iмпульсне збурення (7).
Теорема 2. Для будь-яких a > 0, µ > 0 та для достатньо малих ε > 0 задача (9), (7)
породжує iмпульсну динамiчну систему (X, Ṽε), що має глобальний атрактор A(ε), при-
чому
dist(A(ε), A) → 0, ε→ 0, (12)
де A задається формулою (8).
Доведення. Оскiльки для будь-якого розв’язку (9) yε(·) справедлива рiвнiсть
∀t > 0 (yε(t), ψ1) = e−λ1t(yε(0), ψ1)− ε
t∫
0
e−λ1(t−p)(f(yε(p)), ψ1) dp, (13)
то моменти iмпульсного збурення tε > 0 кожної траєкторiї задачi (9), (7) визначаються
з рiвняння
a = a(1 + µ)e−λ1tε − ε
tε∫
0
e−λ1(tε−p)(f(yε(p)), ψ1) dp. (14)
За допомогою теореми про неявну функцiю доведено, що iснує ε1 6 min
{
λ1
C
,
aλ1
C|Ω|1/2
}
таке,
що для всiх ε ∈ (0, ε1) i для всiх початкових даних y0, (y0, ψ1) = a(1 + µ) iснує tε > 0 —
розв’язок рiвняння (14), де yε — розвязок (9) на (0, tε), yε(0) = y0. При цьому iснує константа
K > 0, що залежить лише вiд констант задачi (9), (7), така, що ∀ε ∈ (0, ε1)∣∣∣∣tε − 1
λ1
ln(1 + µ)
∣∣∣∣ 6 Kε. (15)
Цей результат дає можливiсть довести дисипативнiсть i асимптотичну компактнiсть iмпуль-
сної ДС (X, Ṽε), а також граничну рiвнiсть (12).
Робота виконана при грантовiй пiдтримцi ДФФД за конкурсним проектом “Грант Президен-
та України докторам наук для здiйснення наукових дослiджень” № Ф62/94-2015.
Цитована лiтература
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 287 с.
2. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Scientific, 1995. –
462 p.
3. Pavlidis T. Stability of a class of discontinuous dynamical systems // Information and control. – 1966. –
9, Iss. 3. – P. 298–322.
4. Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах // Дифференц. урав-
нения. – 1975. – 11, № 6. – С. 1005–1012.
16 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №12
5. Kaul S.K. Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems // J. Appl. Math. Stoch.
Anal. – 1994. – 7, No 4. – P. 509–523.
6. Bonotto E.M., Demuner D.P. Attractors of impulsive dissipative semidynamical systems // Bull. Sci.
Math. – 2013. – 137. – P. 617–642.
7. Kapustyan A.V., Perestyuk N.A. Global attractor for an evolution inclusion with pulse influence at fixed
moments of time // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, No 8. – С. 1283–1294.
8. Iovane G., Kapustyan A.V., Valero J. Asymptotic behaviour of reaction-diffusion equations with non-
dumped impulsive effects // Nonlinear Analysis. – 2008. – 68. – P. 2516–2530.
9. Perestyuk M., Kapustyan O. Long-time behaviour of evolution inclusion with non-damped impulsive
effects // Mem. Differential Equations Math. Phys. – 2012. – 56. – P. 89–113.
10. Kapustyan O.V., Kasyanov P.O., Valero J., Zgurovsky M. Z. Structure of uniform global attractor for
general non-autonomous reaction-diffusion system // Continuous and distributed systems. – 2014. – 211. –
P. 163–180.
References
1. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Differential equations with impulsive influence, Kiev: Vyshcha Shkola,
1987 (in Russian).
2. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Impulsive differential equations, Singapore: World Scientific, 1995.
3. Pavlidis T. Information and control, 1996, 9: 298–322.
4. Rozhko V. F. Differential Equations, 1975, 11, No 6: 1005–1012 (in Russian).
5. Kaul S.K. J. Appl. Math. Stoch. Anal., 1994, 7, No 4: 509–523.
6. Bonotto E.M., Demuner D.P. Bull. Sci. Math., 2013, 137: 617–642.
7. Kapustyan A.V., Perestyuk N.A. Ukr. Math. J., 2003, 55, No 8: 1283–1294.
8. Iovane G., Kapustyan O.V., Valero J. Nonlinear Analysis, 2008, 68: 2516–2530.
9. Perestyuk M., Kapustyan O. Mem. Differential Equations Math. Phys., 2012, 56: 89–113.
10. Kapustyan O.V., Kasyanov P.O., Valero J., Zgurovsky M. Z. Continuous and distributed systems, 2014,
211: 163–180.
Надiйшло до редакцiї 05.06.2015Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
A.В. Капустян, академик НАН Украины Н.А. Перестюк
Существование глобальных аттракторов для импульсных
динамических систем
Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко
Исследуется существование глобальных аттракторов для импульсных динамических сис-
тем, которые имеют траектории с бесконечным числом импульсных возмущений. Для па-
раболического нелинейно возмущенного уравнения с импульсным воздействием доказано су-
ществование глобального аттрактора.
Ключевые слова: импульсная динамическая система, глобальный аттрактор, импульсное
возмущение.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №12 17
O.V. Kapustyan, Academician of the NAS of Ukraine M.O. Perestyuk
Existence of global attractors for impulsive dynamical systems
Taras Shevchenko National University of Kiev
The existence of global attractors for impulsive dynamical systems, which have trajectories with
infinite number of impulsive perturbations, is investigated. We have proved the existence of a global
attractor for a parabolic equation with nonlinear perturbation.
Keywords: impulsive dynamical system, global attractor, impulsive perturbation.
18 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №12
|