Радиационные дефекты в твёрдых телах

Изложено описание дефектной структуры радиационных материалов на микро-, мезо- и макроуровнях. На первом из них ядра дефектов представлены ансамблем потенциальных рельефов, реализующихся в сильнонеравновесном состоянии кристалла. С учетом иерархической связи между различными структурными уровнями оп...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Олемской, А.И., Шуда, И.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2009
Назва видання:	Успехи физики металлов
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98090
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Радиационные дефекты в твёрдых телах / А.И. Олемской, И.А. Шуда // Успехи физики металлов. — 2009. — Т. 10, № 1. — С. 1-25. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-98090
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-980902016-04-09T03:02:01Z Радиационные дефекты в твёрдых телах Олемской, А.И. Шуда, И.А. Изложено описание дефектной структуры радиационных материалов на микро-, мезо- и макроуровнях. На первом из них ядра дефектов представлены ансамблем потенциальных рельефов, реализующихся в сильнонеравновесном состоянии кристалла. С учетом иерархической связи между различными структурными уровнями описана эволюция дефектной структуры, обладающей произвольным числом таких уровней. Определена новая характеристика структуры - сложность, характеризующая меру беспорядка иерархически соподчинённого статистического ансамбля. Викладено опис дефектної структури радіяційних матеріялів на мікро-, мезо- і макрорівнях. На першому з них ядра дефектів представлено ансамблем потенціяльних рельєфів, що реалізуються у дуженерівноважнім стані кристалу. З урахуванням ієрархічного зв’язку між різними структурними рівнями описано еволюцію дефектної структури, яка має довільне число таких рівнів. Визначено нову характеристику структури - складність, що характеризує міру безладу ієрархічно підпорядкованого статистичного ансамблю. Description of defect structure of radiation materials is given on micro-, meso- and macrolevels. On the first of these levels, nuclei of defects are presented with help of ensemble of potential reliefs, which are realized in strong-nonequilibrium crystal state. Taking into account hierarchical coupling between different structure levels, evolution of defect structure with arbitrary number of such levels is studied. A new characteristic of crystal structure is defined to be a complexity determining a measure of disorder in hierarchically constrained ensemble. 2009 Article Радиационные дефекты в твёрдых телах / А.И. Олемской, И.А. Шуда // Успехи физики металлов. — 2009. — Т. 10, № 1. — С. 1-25. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1608-1021 PACS numbers: 05.45.-a, 05.65.+b, 61.72.Bb, 61.72.Cc, 61.72.Yx, 61.80.Az http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98090 ru Успехи физики металлов Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Изложено описание дефектной структуры радиационных материалов на микро-, мезо- и макроуровнях. На первом из них ядра дефектов представлены ансамблем потенциальных рельефов, реализующихся в сильнонеравновесном состоянии кристалла. С учетом иерархической связи между различными структурными уровнями описана эволюция дефектной структуры, обладающей произвольным числом таких уровней. Определена новая характеристика структуры - сложность, характеризующая меру беспорядка иерархически соподчинённого статистического ансамбля.
format	Article
author	Олемской, А.И. Шуда, И.А.
spellingShingle	Олемской, А.И. Шуда, И.А. Радиационные дефекты в твёрдых телах Успехи физики металлов
author_facet	Олемской, А.И. Шуда, И.А.
author_sort	Олемской, А.И.
title	Радиационные дефекты в твёрдых телах
title_short	Радиационные дефекты в твёрдых телах
title_full	Радиационные дефекты в твёрдых телах
title_fullStr	Радиационные дефекты в твёрдых телах
title_full_unstemmed	Радиационные дефекты в твёрдых телах
title_sort	радиационные дефекты в твёрдых телах
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98090
citation_txt	Радиационные дефекты в твёрдых телах / А.И. Олемской, И.А. Шуда // Успехи физики металлов. — 2009. — Т. 10, № 1. — С. 1-25. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Успехи физики металлов
work_keys_str_mv	AT olemskojai radiacionnyedefektyvtvërdyhtelah AT šudaia radiacionnyedefektyvtvërdyhtelah
first_indexed	2025-07-07T06:00:00Z
last_indexed	2025-07-07T06:00:00Z
_version_	1836966741915205632
fulltext	1 PACS numbers: 05.45.-a, 05.65.+b, 61.72.Bb, 61.72.Cc, 61.72.Yx, 61.80.Az Радиационные дефекты в твёрдых телах А. И. Олемской, И. А. Шуда* Институт прикладной физики НАН Украины, ул. Петропавловская, 58, 40030 Сумы, Украина Сумский государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2, 40007 Сумы, Украина Изложено описание дефектной структуры радиационных материалов на микро-, мезо- и макроуровнях. На первом из них ядра дефектов представ- лены ансамблем потенциальных рельефов, реализующихся в сильноне- равновесном состоянии кристалла. С учетом иерархической связи между различными структурными уровнями описана эволюция дефектной структуры, обладающей произвольным числом таких уровней. Определе- на новая характеристика структуры ⎯ сложность, характеризующая ме- ру беспорядка иерархически соподчинённого статистического ансамбля. Викладено опис дефектної структури радіяційних матеріялів на мікро-, мезо- і макрорівнях. На першому з них ядра дефектів представлено ан- самблем потенціяльних рельєфів, що реалізуються у дуженерівноваж- нім стані кристалу. З урахуванням ієрархічного зв’язку між різними структурними рівнями описано еволюцію дефектної структури, яка має довільне число таких рівнів. Визначено нову характеристику структури ⎯ складність, що характеризує міру безладу ієрархічно підпорядкова- ного статистичного ансамблю. Description of defect structure of radiation materials is given on micro-, meso- and macrolevels. On the first of these levels, nuclei of defects are presented with help of ensemble of potential reliefs, which are realized in strong-nonequilibrium crystal state. Taking into account hierarchical cou- pling between different structure levels, evolution of defect structure with arbitrary number of such levels is studied. A new characteristic of crystal structure is defined to be a complexity determining a measure of disorder in hierarchically constrained ensemble. Ключевые слова: дефектная структура, потенциальный рельеф, иерар- хическая связь, сложность. Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2009, т. 10, сс. 1—25 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией © 2009 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины) Напечатано в Украине. 2 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА (Получено 16 декабря 2008 г.) СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение 2. Теоретико-полевое представление одиночных дефектов 3. Коллективное поведение ансамбля дефектов 4. Сложность иерархического ансамбля дефектов Цитированная литература 1. ВВЕДЕНИЕ Длительное радиационное воздействие на кристаллические мате- риалы приводит к образованию и эволюции дефектной структу- ры, представленной вакансиями, междоузельными атомами, дис- локациями, границами раздела, порами, включениями различ- ных фаз, зёрнами и т.д. Обычно при описании такой структуры ограничиваются рассмотрением одной её стороны, ⎯ например, описывают геометрические модели одиночных дефектов. При всей своей необходимости такое представление является весьма фрагментарным, поскольку дефектная структура радиационных материалов настолько сложна, что требует представления на не- скольких структурных уровнях. Мы ограничимся рассмотрением трёх таких уровней, которые различаются, прежде всего, мас- штабами распределения дефектов: на микроскопическом уровне представлено строение одиночных дефектов, на мезоуровне опи- сывается коллективное поведение дефектов, приводящее к заро- ждению нового уровня, и на макроуровне даётся статистическое описание иерархически соподчинённого ансамбля дефектов. В отличие от геометрического представления решение первой из указанных задач достигается на основе концепции перестраи- ваемого потенциального рельефа (раздел 2). В рамках теоретико- полевой схемы такое представление приводит к разделению пол- ного потенциала упругопластического поля на материальную компоненту, связанную с распределением атомов, и калибровоч- ную составляющую, представляющую упругое поле. Раздел 3 посвящён развитию синергетической картины эволю- ции однородного ансамбля дефектов кристаллического строения на мезоскопическом уровне. Отличительная особенность материа- лов, подверженных длительному радиационному воздействию, состоит в достижении столь высоких плотностей дефектов, что между ними устанавливается иерархическая связь. При этом де- фекты нижнего структурного уровня автолокализованно образу- РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 3 ют структурный элемент более высокого уровня (например, кла- стеризация вакансий приводит к образованию дислокационных петель, а скопление дислокаций ⎯ к появлению границ разори- ентировки и дисклинаций). Такое отличие в коллективном пове- дении дефектов от обычной картины фазовых превращений обу- словлено сильной неравновесностью ансамбля дефектов, в связи с чем следует использовать методы синергетики. В настоящее время эти методы с успехом прилагаются к решению различных задач фи- зики, химии, экономики, биологии, социологии и других наук. Характерная особенность иерархических дефектных структур состоит в том, что они определяются такой зависимостью термоди- намического потенциала от конфигурационных координат, на ко- торой дефектам нижнего структурного уровня отвечают более узкие и мелкие минимумы, чем супердефектам верхних уровней. В ре- зультате иерархическая соподчиненность приводит к фрактальной структуре распределения термодинамического потенциала в кон- фигурационном пространстве. Учёт этой структуры достигается, с одной стороны, рассмотрением пространства с ультраметрической топологией, а с другой требует использования теории фрактальных множеств. Учёт указанных особенностей в разделе 4 позволяет ха- рактеризовать развитую дефектную структуру радиационных ма- териалов величиной сложности (complexity), которая по аналогии с энтропией характеризует беспорядок в распределение дефектов в иерархическом ансамбле. 2. ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДИНОЧНЫХ ДЕФЕКТОВ Мы основываемся на том факте, что ядро дефекта является авто- локализованной областью, обладающей повышенной пластично- стью, а его периферия представляет кристалл, слабо деформиро- ванный упругим полем ядра. В рамках такого представления ос- новная проблема сводится к выяснению физической природы па- раметра порядка, величина которого определяет различие между упругим и пластическим состояниями. Для определения этого параметра рассмотрим потенциальный рельеф (не путать с потен- циалом межатомного взаимодействия!), в котором движется пробная частица под действием атомов кристалла. На основе та- кого потенциала принято моделировать колебания атомов кри- сталла и элементарные акты флуктуационного преодоления барь- ера в процессе диффузии (см. рис. 1, a). Однако при этом молча- ливо подразумевается, что кристалл является идеальной упругой средой, потенциальный рельеф которой не изменяется со време- нем. В действительности кроме упругого состояния реализуются зоны пластического течения типа полосы Людерса, где перескок 4 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА атома из одного узла в другой осуществляется безактивационно ⎯ за счёт флуктуационного проседания потенциального барьера (см. рис. 1, a). Поэтому описание вязкоупругого состояния твёр- дого тела требует использования времени зависимого потенци- ального рельефа ( )tU r . Если различные состояния системы обра- зуют статистический ансамбль, в котором выполняется эргодиче- ская гипотеза, то от временной зависимости ( )tU r можно перейти к набору потенциальных рельефов { }( )U r типа показанного на рис. 1, б. В результате описание вязкоупругой среды сводится к статистической теории распределения потенциальных рельефов по ансамблю { }( )U r . Переходя к формальному представлению системы, рассмотрим распределение атомов, определяемое пространственно-временной зависимостью их плотности ( , )n tr [1]. Если этому распределению отвечает энергия ( )E t , то потенциальный рельеф определяется вариационной производной ( ) ( ) ( , )t E t U n t δ= δ r r . (1) Переходя от временной зависимости к ансамблю рельефов { }( )U r , Рис. 1. (a) Элементарные акты колебаний (узел 1), диффузионного пере- скока (узлы 2, 3) и пластического течения (узлы 4, 5); (б) ансамбль по- тенциальных рельефов (область r << Λ отвечает упругому состоянию, об- ласть r > Λ ⎯ пластическому). РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 5 вводим усреднённый рельеф ( )U r , отклонение от него ( )Uδ ≡r ≡ ( ) ( )U U−r r и структурный фактор ( , ) ( ) ( )S U U′ ′= δ × δr r r r . (2) Если при бесконечном удалении точек , ′r r коррелятор (2) не сводится к нулю, то перестройка потенциального рельефа в одной из них сказывается на его форме во всём кристалле. Иными сло- вами твёрдое тело испытывает вязкоупругий переход, определяе- мый квадратом параметра порядка 2 ( , ) ( ) lim ( , ) S S′− →∞ ′ ε ≡ r r r r r r r . (3) Параметр упругопластической перестройки твёрдого тела пред- ставляется комплексной функцией { }( , ) ( , ) exp ( , )t t i tΨ ≡ ε φr r r (4) с модулем ( , )tε r , определённым соотношением (3), и фазой ( , )tφ r (здесь учтена временная зависимость, проявляющаяся на мезо- скопическом масштабе эволюции неравновесной системы). С тео- ретико-полевой точки зрения [2] параметр порядка (4) представ- ляет материальное поле, 4-потенциал ( , ),m m mAμ = ϕ a 0, 1, 2, 3μ = которого обладает временной и пространственной компонентами ,m i c t ∂⎛ ⎞ϕ = Ψ Ψ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ * m i= − Ψ ∇Ψa , (5) где c ⎯ характерная скорость звука. Эти компоненты определя- ют векторы сдвига и поворота grad ,m m mc t ∂ χ = − − ϕ ∂ ar rotm mω = a r , (6) первый из которых обусловлен образованием дислокаций, а второй дисклинациями, зародившимися при упругопластической пере- стройке среды. Их эволюция определяется 4-током ( , )j cμ = ρ j , вре- менная компонента которого задаёт пространственную плотность дефектов ρ , а пространственная j ⎯ их поток. Характерная особенность представленной схемы состоит в том, что изначально введенный параметр перестройки среды (3) не за- висит от фазы φ комплексного параметра порядка (4), простран- ственно-временное распределение которого определяет 4-ток ( , )j cμ = ρ j дефектов, образовавшихся в результате такой пере- стройки. Эта особенность порождается калибровочной инвари- антностью, которая означает неизменность полевой схемы при 6 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА одновременных заменах [2] , , iee A A D ieAα μ μ μ μ μ μ μΨ → Ψ → + ∂ α ∂ → ≡ ∂ − . (7) Согласно (7) изменение фазы φ на произвольную величину eα , определённую обобщённым зарядом e , не изменяет полевые уравнения, если к 4-потенциалу ( , )Aμ = ϕ a добавить 4-производ- ную этой добавки μ∂ α , а саму производную μ∂ заменить выраже- нием D ieAμ μ μ≡ ∂ − , удлинённым за счёт действия 4-потенциала. Хотя этому потенциалу отвечают поля сдвига и кручения, опре- делённые выражениями типа (6), он вовсе не сводится к матери- альной составляющей, действие которой компенсируется калиб- ровочным вкладом ( , )e e eAμ = ϕ a с компонентами ,e m e mϕ ≡ ϕ − ϕ ≡ −a a a . (8) Именно эти компоненты определяются уравнениями теории поля, которые в нашем случае задают упругие составляющие сдвига e mχ ≡ χ − χr r r и поворота e mω ≡ ω − ωr r r упругопластической среды. Для нахождения уравнений упругого поля следует определить лагранжиан, инвариантный относительно указанной калибровки. Согласно [3] этот лагранжиан определяется слагаемыми ( )g f fm mL L L L L= + + − , (9) первые три из которых играют роль кинетической энергии, а по- следнее представляет потенциальную. По физическому смыслу слагаемое 2\| \| , , const 0 2gL D D ieAμ μ μ μβ= Ψ ≡ ∂ − β = > (10) обусловлено неоднородностью системы, вклад которой удлинён действием калибровочного поля. Чисто полевая составляющая 21 ( ) 4fL A Aμ ν ν μ= ∂ − ∂ (11) определяется квадратом антисимметричного тензора поля, взаи- модействие поля с материальной составляющей даётся членом 1 fmL A j c μ μ= − , (12) а чисто материальная компонента представима разложением Ландау 2 4\| \| \| \| 2 2m A B L = Ψ + Ψ (13) РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 7 со знакопеременным параметром A и 0B > . Полевые уравнения, определяющие перестройку вязкоупругой среды, получаются подстановкой выражений (9)−(13) в уравнение Эйлера ,a a L L R q q qμ μ μ ∂ ∂ ∂∂ − = − ∂ ∂ ∂ & , (14) где ( , )aq Aμ≡ Ψ , ,a aq qμ μ≡ ∂ , точка означает дифференцирование по времени и введена диссипативная функция 21 \| \| 2 R = Ψ γ & , (14а) определяемая кинетическим коэффициентом 0γ > . В общем слу- чае пространственно неоднородной диссипативной среды получаем W WA e A A B A c j− μ μ − μ μ−γ Ψ + β Ψ = − β Ψ + Ψ Ψ = −1 2 2 1 tot( ) \| \| , ,& (15) где обозначено W 2 2 2( )c tμ μ≡ −∂ ∂ = ∇ − ∂ ∂ . Полный поток tot m fj j j jμ μ μ μ≡ + + (16) состоит из трёх составляющих: слагаемого jμ , обусловленного внешним воздействием, материальной компоненты * *( ) 2m i j ecμ μ μ= β Ψ∂ Ψ − Ψ ∂ Ψ , (17) и полевого вклада 2 2\| \|fj e c Aμ μ= −β Ψ . (18) Как показывает анализ уравнений (15), поведение системы за- даётся соотношением характерных масштабов 1 , \| \| \| \| B e A A βλ = ξ = β , (19) определяющих изменение упругого поля и параметра порядка, со- ответственно. Учёт феноменологического выражения mcλ = η ρ приводит к определению упругого заряда 1 \| \| mB e A μρ = η β (20) через сдвиговую вязкость η , модуль сдвига μ и плотность среды 8 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА mρ . Если параметр Гинзбурга−Ландау 1/4 \| \|B AB e ⎛ ⎞λκ ≡ = = η ⎜ ⎟ξ β βμρ⎝ ⎠ (21) принимает малые значения 1/22−κ < , то в стационарном состоя- нии W0, 0, 0, 0j AμΨ = Ψ = = <& параметр порядка определяется выражением 2 0 0 0 \| \| 1 , e A A A A B μ μ βΨ = − ε ε ≡ , (22) а упругое поле описывается уравнением W 2 2\| \|A e Aμ μ= β Ψ . (23) Очевидно, такое состояние отвечает полосе Людерса, в которой осуществляется однородное пластическое течение кристалла. Для нас основной интерес представляет противоположный слу- чай 1/22−κ >> , в котором стационарные уравнения (15) принима- ют форму Гинзбурга−Ландау −κ ∇ ε = − − ε+ ε ε − = εu u u2 2 2 2 2 2(1 ) \| \| , rot \| \| , (24) где ( )ε = ε r представляет скалывающую компоненту тензора пла- Рис. 2. Профили скалывающих компонент тензоров пластической де- формации ε и упругих напряжений σe вблизи дислокации/дисклинации (a) и соответствующее распределение потенциального рельефа (б). РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 9 стической деформации, а ( )=u u r ⎯ вектор упругого смещения среды. Исследование уравнений (24) показывает [4], что в рамках калибровочной теории, отвечающей группе U(1), представляются возможными два типа цилиндрических солитонов. Первый из них является носителем сдвиговой компоненты поля, а упругие напряжения изменяются как 1 e r−χ ∝ , и естественно положить, что такое решение отвечает краевой дислокации. Солитон второго типа служит носителем компоненты поворота, где упругое поле изменяется как lne rω ∝ ⎯ очевидно, он представляет дискли- нацию. В этой связи интересно отметить, что точечный дефект, кажущийся на первый взгляд наиболее простым, требует исполь- зования нетривиального аппарата, отвечающего неабелевой груп- пе SU(2). Благодаря некоммутативности преобразований этой группы материальное поле приобретает две компоненты, а в оп- ределении напряженности упругого поля появляются слагаемые, нелинейные по потенциалу Aμ [2]. В результате точечный дефект представляется автолокализованным образованием ⎯ так назы- ваемым, ежом Полякова, стабилизация которого имеет сущест- венно нелинейную природу. На рис. 2, a, показаны пространственные профили скалывающих Рис. 3. (а) Координатные зависимости амплитуды флуктуаций дилата- ции Δεd (пунктир) и сдвиговой деформации Δεs (штрих-пунктир), а так- же квадрата сдвиговой деформации 2 sε в однородной системе (штрихо- вая) и в дилатоне (сплошная); (b) модель элементарного носителя раз- рушения (затушёвана область флуктуаций сдвиговых напряжений, за- штрихована область пластичного состояния); (с) соответствующее рас- пределение потенциального рельефа. 10 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА компонент тензоров пластической деформации ( )ε r и упругих на- пряжений σe(r) вблизи солитона указанного типа. Из соответст- вующей картины потенциального рельефа вблизи дислокации/дис- клинации (см. рис. 2, б) видно, что упругие напряжения плавно из- меняют уровень его отсчёта, тогда как переход в вязкое состояние в области ядра дефекта размывает потенциальный рельеф, способст- вуя снижению его эффективной высоты. Именно этим обстоятель- ством объясняются повышенные значения коэффициента трубоч- ной диффузии по ядрам линейных дефектов. Развитая схема позволяет описать также элементарный носи- тель разрушения, представленный на рис. 3. Анализ полевых уравнений типа (24) показывает, что в этом случае выполняется условие 1/22−κ < , препятствующее автолокализации тёмных со- литонов, профиль которых отвечает штриховой линии 2( )s rε . За счёт накачки фононов в образце самопроизвольно возникают ло- кализованные области флуктуаций дилатации dΔε (дилатоны, отвечающие пунктирной линии) и сдвиговой деформации sΔε (штрих-пунктир). Согласно рис. 3, б, в, это означает, что элемен- тарный носитель разрушения образован внешней оболочкой повы- шенной пластичности (на рисунке она заштрихована) и внутренней областью разрушенных межатомных связей (она затушёвана). 3. КОЛЛЕКТИВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ АНСАМБЛЯ ДЕФЕКТОВ Как правило, в процессе пластической деформации и разрушения твердого тела дефекты кристаллического строения рассматрива- ются как автономные объекты, которые, взаимодействуя между собой и испытывая действие внешних полей, остаются самостоя- тельными структурными образованиями, обладающими прису- щими им свойствами (геометрической конфигурацией, распреде- лением упругих полей и т.д.). В рамках такой концепции пове- дение системы представляется как результат эргодической эво- люции ансамбля дефектов, траектории которых с течением вре- мени заполняют все фазовое пространство. С другой стороны, предполагается отсутствие иерархической соподчиненности в по- ведении дефектов под действием силовых полей и термостата. В такой постановке зависимость термодинамического потенциала от конфигурационных координат имеет вид регулярного распреде- ления минимумов, наиболее глубокий из которых отвечает ус- тойчивому состоянию, а остальные метастабильным. В результате эволюция системы представляется как цепочка дебаевских про- цессов термофлуктуационного преодоления барьеров между ми- нимумами термодинамического потенциала со временами релак- сации, определяемыми аррениусовским соотношением. Представленная картина реализуется в кристаллических мате- РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 11 риалах, подверженных слабому внешнему воздействию. В проти- воположном случае, ⎯ а именно он, как правило, реализуется на практике, ⎯ плотность дефектов достигает столь высоких значе- ний, что проявляются коллективные эффекты в их поведении. Это означает установление когерентной связи в ансамбле дефек- тов типа той, что обусловливает фазовые и кинетические пре- вращения. Однако, если для последних характерно гомогенное распределение, то установление когерентной связи в ансамбле дефектов одного структурного уровня приводит к автолокализо- ванному образованию, играющему роль структурного элемента на более высоком уровне. Так, кластеризация вакансий может при- водить к образованию дислокационных петель, скопление дисло- каций ⎯ к появлению границ разориентировки и дисклинаций. Данное отличие в коллективном поведении дефектов от обычной картины фазовых превращений обусловлено сильной неравновес- ностью ансамбля дефектов, в связи с чем реализуется не термо- статическое, а кинетическое превращение. Автолокализованный характер продуктов этого превращения (супердефектов) является следствием потери эргодичности, которая приводит к иерархиче- ской соподчиненности, означающей, что супердефект образуется в результате когерентной связи дефектов, принадлежащих более низким структурным уровням. Поскольку на зависимости термо- динамического потенциала от конфигурационных координат ис- ходным дефектам отвечают более узкие минимумы, чем суперде- фектам, то иерархическая соподчиненность означает фракталь- ную структуру распределения термодинамического потенциала в конфигурационном пространстве. Как показывают примеры спи- новых стекол, мартенситных превращений, политипных структур и ползучести кристаллов, фрактальный характер системы корен- ным образом изменяет ее термодинамические и кинетические свойства. Это обусловлено разбиением конфигурационного про- странства на множество областей (долин), каждой из которых от- вечает свой статистический ансамбль. В результате определение средних производится в два этапа: сначала усреднением по чис- тому ансамблю данной долины, а затем ⎯ по ансамблю долин. Кинетическое поведение такой системы обусловлено слабым вос- становлением эргодичности в процессе объединения долин в кла- стеры более крупных компонент. Этот процесс представляется движением по узлам иерархического дерева Кейли, которые от- вечают долинам, к его стволу. Основное отличие кристалла, содержащего различные дефек- ты, от аморфных систем состоит в том, что число структурных уровней здесь сравнительно невелико: по характерному масштабу lα принято выделять микроскопический уровень a l d<< <<1( , a ⎯ межатомное расстояние, d ⎯ размер однородно ориентирован- 12 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА ной области типа ячейки или фрагмента), мезоскопический d l D<< <<2( , D ⎯ размер слабо разориентированной области, на- пример зерна) и макроскопический D l L<< <<3( , L ⎯ характер- ный размер образца). На каждом из представленных уровней пластическая деформация осуществляется путем однородного те- чения дефектов ⎯ точечных, дислокаций, дисклинаций, планар- ных и т.д. Микроскопический уровень отвечает однородному распределению точечных дефектов, дислокаций и дисклинаций, мезоскопический ⎯ распределению ячеек и фрагментов, макро- скопический ⎯ неоднородно ориентированным зернам, текстур- ным компонентам и т.д. С ростом степени пластической дефор- мации каждый последующий структурный уровень зарождается в недрах предыдущего, когда тот за счет повышения однородной плотности дефектов исчерпает ресурс своего эволюционного раз- вития. Так, первые границы ячеек зарождаются, когда критиче- ского значения достигает плотность дислокаций; частичные дис- клинации (границы фрагментов) возникают при уменьшении размеров до 0,2 мкм слабо разориентированных ячеек; ножевые границы, оканчивающиеся дисклинацией, появляются с форми- рованием развитой фрагментированной структуры с большими разориентировками. С течением времени рост характерного мас- штаба выше критического lα приводит к неустойчивости одно- родного распределения дефектов на расстояниях x lα> и автоло- кализованному образованию носителя пластической деформации на lα+1-ом структурном уровне. Так, при 1l l> пластическая неус- тойчивость приводит к образованию дислокаций, дисклинаций и их комплексов, при 2l l> ⎯ полос сильных сдвигов-поворотов, при 3l l> ⎯ макроскопических ротационно-сдвиговых полей. Включение каждого последующего структурного уровня не носит эволюционный характер, поскольку оно обусловлено спонтанным появлением новых гидродинамических (трансляционных и рота- ционных) мод при l lα= . Разумеется, после зарождения структу- ры, отвечающей (α + 1)-му уровню, занимаемый ею объем будет плавно возрастать за счет уменьшения объёмов структур, соот- ветствующих уровням 1, 2, ..., α (здесь ситуация аналогична фа- зовому равновесию в термодинамике). Кроме того, функция рас- пределения по уровням может меняться таким образом, что будет существенна лишь узкая группа таких уровней (так, при хрупком разрушении определяющими являются только уровни α = 1, 2). Изложим количественную картину зарождения и эволюции структурного уровня. С учетом сильной неравновесности системы наиболее перспективным представляется использование синерге- тического подхода, в рамках которого коллективное поведение дефектов задается гидродинамической модой, ⎯ например, плот- ностью поляризованных дислокаций, образующих малоугловую РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 13 границу в стохастическом ансамбле разориентированных дисло- каций. При этом сопряженное поле сводится к скалывающим компонентам тензора упругих напряжений, а управляющий па- раметр представляет степень внешнего воздействия (в простей- шем случае ⎯ давление внешней среды). Использование такого подхода позволяет представить основные особенности экспери- ментальной картины структурообразования, в частности, причи- ны реализации перехода первого рода, при котором в матричной фазе зарождается и растет новый структурный уровень [3]. При высокой плотности ρ из ансамбля дислокаций, ведущих себя автономным образом, выделяется коллективная составляю- щая плотностью colρ ≤ ρ . При этом поля взаимодействия дисло- каций становятся соизмеримыми с внешними напряжениями, и возникает долгоживущая гидродинамическая мода со временем релаксации d Dt −∝ ω 1 и амплитудой d b∝ ρcol (здесь Dω ⎯ дебаев- ская частота, b ⎯ параметр решетки). В автономном режиме ре- лаксация этой моды протекает по дебаевскому закону dd d t= −& . Однако когерентная связь между дефектами приводит к релакса- ции сдвиговых напряжений τ , а уравнение для d дополняется положительным вкладом τε пластической деформации ε , обу- словленной коллективными эффектами. Соответственно, к деба- евскому уравнению ( )e tττ = τ − τ& для напряжений, релаксация которых происходит не к нулевому значению τ , а к стационар- ному ext( )eτ σ , определенному внешними напряжениями extσ , до- бавляется отрицательный вклад dε моды дефектов в поле дефор- мации. Полная система уравнений, определяющих временное по- ведение величин τ , d , ε , замыкается уравнением Максвелла для вязкоупругой среды [3] e d dt g d d d t g t g dτ τ ε ετ = τ − τ − ε = − + ετ ε = −ε +( ) , , .& && (25) Здесь tτ , dt , tε ⎯ времена релаксации величин τ , d , ε ; gτ , dg , gε ⎯ положительные константы связи. Характерное время релаксации напряжений tτ задается дебаевским масштабом: Dt − − τ ∝ ω ≅1 1310 с; время релаксации моды дефектов dt определяется термоактиви- руемыми процессами их миграции: d Dt Q T−≅ ω 1 exp( ) , где энергия Q имеет порядок электрон-вольта; и наконец, время релаксации деформации равно tε ≅ η μ , где η ⎯ сдвиговая вязкость, μ ⎯ соот- ветствующий модуль упругости. Приведенные оценки показывают, что наибольшим значением обладает время релаксации деформации, величина которой ε оп- ределяет значения τ , d в уравнениях (25). Такая иерархия вре- мен релаксации позволяет использовать принцип соподчинения эволюции управляющего параметра ( )tτ и сопряженного поля ( )d t параметру порядка ( )tε . Математически это выражается в 14 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА пренебрежении скоростями τ& , d& в уравнениях (25), после чего величины τ , d выражаются равенствами 2 2 ext2 , , , , , ; 1 ( ) , ( ). 1 ( ) e m d i i i m d e e e m A A A t g i d d A − τ τ τ = ε ≡ = = τ ε + ε ε ε= τ τ = τ σ + ε ε (26) Зависимость ( )tε задаётся уравнением регрессии Ландау−Халат- никова V tε ∂ε = − ∂ε & (27) с синергетическим потенциалом 22 2 1ln[1 ( ) ], ( ) 2 2 m e m c d c V A A − ε ε τε= − + ε ε τ ≡ τ . (28) Вид зависимости ( )V ε задаётся внешними напряжениями extσ , определяющими стационарное значение ext( )eτ σ сдвиговой ком- поненты внутренних напряжений. Оставляя в стороне определе- ние зависимости ext( )eτ σ , приводящее к отдельной задаче, ука- жем, что при нагрузке extσ , не обеспечивающей условие e cτ > τ , зависимость (28) имеет монотонно возрастающий характер. Это означает релаксацию в стационарное состояние 0 0ε = , в котором коллективное поведение дислокационного ансамбля не сказыва- ется на величине пластической деформации. С физической точки зрения малость напряжений ext( )eτ σ , связанных с внешним воз- действием, обусловлена процессами релаксации и упрочнения. При выполнении условия e cτ > τ синергетический потенциал приобретает минимум в точке 0ε , определяющей добавку 0 1e cε = τ τ − (29) к деформации, обусловленной автономным поведением дефектов. Согласно соотношениям (26), при этом коллективная составляю- щая напряжений сводится к критическому значению cτ , а выра- жение для деформационной моды отличается от 0ε множителем d cA τ . Эффективное время перехода в когерентное состояние 1 ef ( 1)e ct t − ε= τ τ − (30) монотонно спадает с ростом разности между напряжением eτ и критическим значением cτ . Основной результат проведенного анализа состоит в том, что при РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 15 автокаталитическом размножении дефектов в поле напряжений ext( )e cτ σ > τ за время t t≅ ef устанавливается когерентная связь, и дефекты ведут себя коллективным образом. При этом деформация, обусловленная автономными дефектами, получает вклад 0 ef[1 exp( )]t tε = ε − − , (31) нарастающий со временем t t>> ef до стационарного значения (29). Для оценки основных параметров задачи учтем, что макси- мальная деформация mε ≅ 1 , а из последнего уравнения (25) для безразмерного параметра A t gε ε ε= следует Aε ≅ 1. Тогда d c c m d d c A A A A A − − − ε − − − − τ = τ ≅ τ ≅ ÷ μ = ε ≅ ≅ τ ≅ ÷ μ 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 ( ) (10 10 ) , ( ) (10 10 ) . С учетом оценок времен it , приведенных после уравнений (25), окончательно находим: d d d D c c D g A t t g A t Q T g A t − ε ε ε ε τ τ τ = ≅ ≅ μ η = ≅ ω τ − = ≅ τ ω 1 , ( ) exp( ), . (32) Выше мы использовали простейшую модель, позволяющую представить самоорганизацию дефектов в полосе пластической деформации по механизму непрерывного кинетического превра- щения. В реальных условиях зарождение полосы может проте- кать по механизму фазового перехода первого рода. Для описа- ния такого перехода требуется учесть зависимость времени ре- лаксации tε от деформации. При этом картина превращения не претерпевает существенных изменений, и мы оставляем в стороне соответствующее рассмотрение [3]. Проведем теперь явный учёт влияния стохастических источни- ков и пространственной неоднородности в распределении полей ( )τ r , ( )d r , ( )ε r . С этой целью добавим в правые части уравнений (25) градиентные слагаемые, определенные масштабами lτ , lε , dl , и ланжевеновские источники τζ , εζ , dζ с интенсивностями 2 τσ , 2 εσ , 2 dσ (при этом полагается, что эти источники отвечают процес- сам Орнштейна−Уленбека с временами автокорреляции ττ , ετ , dτ ). В результате поведение ансамбля дефектов задается системой стохастических уравнений 2 2 2 2 2 2 , , ( ) . d d d d e t d l t d d l d t d l ε ε ε ε τ τ τ τ ε = −ε + + ∇ ε + σ ζ = − + ετ + ∇ + σ ζ τ = τ − τ − ε + ∇ τ + σ ζ & & & (33) 16 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА Здесь деформация ε отнесена к масштабу mε , амплитуда коллек- тивной моды d ⎯ к характерному значению m d c md A= τ ε , а вели- чина напряжений τ ⎯ к критическому значению cτ . При изменении коллективной моды на характерных длинах dl наиболее существенное влияние на поведение системы оказывают кросс-корреляции шумов (принимается, что неупорядоченная фаза отвечает хаотическому распределению дислокаций, а упорядочение системы приводит к спонтанному появлению когерентной связи дислокаций с одинаковым направлением векторов Бюргерса). В от- сутствие кросс-корреляций происходит кластеризация дефектов, отвечающая пунктирной линии на рис. 4 [5]. Включение кросс- корреляций нарушает симметрию распределения плотности веро- ятности, приводя к ее возрастанию в области отрицательных значе- ний параметра порядка (кривая 1 на рис. 4). Кроме того в двукратно ограниченной области значений управляющего параметра ( , )c cτ τ может появиться метастабильная фаза, характеризуемая положи- тельной ориентацией вектора Бюргерса. Это означает, что в ходе пластической деформации определенная часть дислокаций испыты- вает мгновенную переориентацию векторов Бюргерса при напряже- ниях e cτ > τ , а с их ростом до верхнего предела c eτ = τ происходит обратная переориентация. С другой стороны, совместное влияние кросс-корреляций, нелинейности и неоднородности распределения Рис. 4. Зависимость параметра порядка от внешних напряжений при временах кросс-корреляций, возрастающих при переходе от кривой 1 к 5 (штриховая линия отвечает затравочной зависимости (29), пунктир- ная ⎯ неустойчивым решениям). РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 17 дефектов приводит к изменению знака вектора Бюргерса при малых деформациях (кривая 2 на рис. 4). При этом рост времён кросс- корреляций способствует формированию гистерезисной петли, при наличии которой происходит скачкообразная переориентация век- торов Бюргерса дислокаций с плавным ростом внешней нагрузки. 4. СЛОЖНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ ДЕФЕКТОВ Несмотря на достигнутое понимание экспериментальной ситуации, построение полной картины эволюции дефектной структуры сдер- живалось тем, что до последнего времени не осознавалась её иерар- хическая природа [6]. На рис. 5 она проявляется в том, что с изме- нением масштаба увеличения электронно-микроскопической фото- графии, рост которого отвечает переходу на более глубокий струк- турный уровень, закономерности грубой структуры определяют бо- лее тонкие её детали. Согласно рис. 6, каждому структурному уров- ню можно сопоставить горизонтальную линию иерархического де- рева Кейли, которой отвечает определённый уровень разрешения минимумов термодинамического потенциала. В результате эволю- ция системы может быть представлена в рамках фрактальной кине- тики иерархизованных структур. Следует, однако, иметь в виду од- но важное обстоятельство. Подход, основанный на использовании Рис. 5. Дислокационная структура сплава Ni3Fe при деформациях 0,05, 0,05, 0,16, 0,28 (а, б, в, г, соответственно). 18 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА континуального ультраметрического пространства, предполагает, что число уровней бесконечно велико, а характер связи между ними не существенен и важна только структура дерева. В нашем случае число структурных уровней (отвечающих дислокациям, дисклина- циям, зернам, их конгломератам, ..., образцу) заведомо невелико и принципиально важен характер их связи. Поэтому полное описа- ние картины эволюции дефектной структуры не может быть дос- тигнуто в рамках аналитического подхода, и следует использовать численные методы, в рамках которых поле деформации на данном уровне определяется стандартным образом, а связь со следующим структурным уровнем задается через граничные условия. С формальной точки зрения эволюция самоподобной дефектной структуры сводится к аномальной диффузии в ультраметрическом пространстве иерархической системы, геометрическим образом ко- торой является дерево Кейли [7, 8]. Основная особенность случай- ных иерархических систем состоит в том, что при переходе на более глубокий уровень каждый статистический ансамбль разделяется на более мелкие подансамбли, которые, в свою очередь, состоят из ещё более мелких субансамблей следующего уровня, и т.д. Со статисти- ческой точки зрения набор указанных (под)ансамблей определяется сложностью системы, которая по аналогии с энтропией характери- зует беспорядок иерархической связи [9]. Статистическая теория самоподобных структур основывается на а б Рис. 6. (a) Распределение термодинамического потенциала по состояни- ям различных структурных уровней; (б) дерево Кейли, определяющее иерархическую связь этих состояний. РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 19 использовании деформированных функций логарифма и экспонен- ты, которые сохраняют свои свойства при соответствующем дефор- мировании операций произведения и частного [10]. Для демонстра- ции необычности такого произведения на рис. 7 приведена зависи- мость такого произведения 2 2qp = ⊗ от параметра деформации q. Из рисунка видно, что обычное значение 4p = получается только в отсутствие деформации ( 1q = ), тогда как при минимальном значе- нии 0q = имеем 3p = , а при 2q = получаем p = ∞ . Использование деформированных полиномиальных коэффици- ентов приводит к следующей связи между сложностями бли- жайших иерархических уровней [9] ( ) 1 11 1 1 1 1 1 i m mm Q Q Q nm Q m i ij ij i j C p … p C p … p p p p Q ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = , , − , , = − . − ∑∑ (34) Здесь положено, что каждое состояние верхнего уровня разделя- ется на m групп i, занятых с вероятностью ip ; каждая из них содержит узлы ij , которые заполняются с вероятностями ijp на нижнем уровне иерархического кластера; кроме того, введен фи- зический параметр неаддитивности 2Q q≡ − , принимающий зна- чения 1 2Q≤ ≤ . Если статистические состояния распределены по микроканоническим ансамблям, то вероятности и соответствую- щие сложности определяются номером уровня l: ( ) mij l i l Q mm Q mp p p p C p … p C l C p … p C l ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⇒ , ⇒ ; , , ⇒ + , , , ⇒ .1 11 1{ } { } ( 1) ( ) (35) Рис. 7. Зависимость деформированного произведения 2 2qp = ⊗ от па- раметра q. 20 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА В результате равенство (34) принимает простой вид 1 1 1 1( 1) ( ) 1 Q Ql l l l M C l C l p p p Q − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ + − = − , − (36) где число узлов распределено по уровням согласно степенному закону ( 1)a lM l= + (37) с показателем 1a > , для которого условие самоподобия даёт 1 1 a Q = − . (38) При этом вероятности реализации состояний на соседних иерар- хических уровнях определяются рекуррентным соотношением 1 0 1Q l l lp p p l … n+ − = − Δ , = , , , , (40) где n ⎯ число иерархических уровней. При l >> 1 это соотноше- ние сводится к стационарному уравнению Фоккера−Планка. Для определения сложности дефектной структуры проще всего воспользоваться в равенстве (36) распределением Цаллиса [10] 1 1 1 2 ( 1) 0 0 1 2 0 Q Q Q l Q Q p p l p l n − −− − − − −⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + ; ≡ , ≤ ≤⎜ ⎟⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ , (41) применимым в континуальном пределе l >> 1 (параметр Δ харак- теризует ширину разброса статистических состояний). При этом вероятности заполнения соседних уровней связаны соотношениями Q Q Q Q Ql l l l l l dpd Q p p p Q p p dl dl − − − − −+ + + + + −− ≅ = − ≅ − , Δ 1 1 1 2 2( 1)1 1 1 1 1 1 ( 1) (42) в последнем из которых учтена связь (40), представленная в кон- тинуальном приближении. Подстановка (42) в (36) даёт Ql l M C l C l p − ++ − ≅ . Δ 2 1 1( 1) ( ) (43) Полагая C l C l dC dl+ − ≅( 1) ( ) , с учётом (41), (37) сводим разност- ное уравнение (43) к дифференциальному 2 1 1 ( 1) 0 1 Q Qa QdC l Q p l dl − −− − − −⎡ ⎤= + ,⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦ (44) где проведена замена 1l + на l . В предельном случае 1a → ре- РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 21 шение этого уравнения приводит к зависимости 0 0 ( ) 1 Q Qn n p C n p np Q p ⎡ ⎤⎛ ⎞Δ ⎢ ⎥= − − ,⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (45) где использовано начальное условие (0) 0C = . Она означает, что с ростом n сложность монотонно нарастает до предельного значения 11 2 21( ) (2 ) Q Q QC Q Q − − −−−∞ = − Δ , (46) спадающего с увеличением параметра неаддитивности Q и диспер- сии Δ [9]. В общем случае решение уравнения (44) выражается через гипер- геометрическую функцию: 2 1 1 10 0 2 1 1 ( ) 1 2 1 1 Q a Qp n Q Q C n F a a n p a Q − + −− −⎛ ⎞= , + ; + ; −ν , ν ≡ .⎜ ⎟Δ + − Δ⎝ ⎠ (47) Анализ правой части уравнения (44) показывает, что в пределе n → ∞ его решение не принимает бесконечных значений, если по- казатель a не превышает максимальной величины max ( 1)a Q Q= − . (48) С другой стороны, должно выполняться условие самоподобия (38). Тогда нечётные аргументы гипергеометрической функции совпа- дают, и она принимает простой вид [11] ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 Q Q Q Q Q F n n Q Q Q −−− −⎛ ⎞, ; ; −ν = .+ ν⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ (49) В результате сложность (47) сводится к выражению 1 1 01 ( ) Q Q Q Q n pQ C n p n Q − −−= . Δ (50) Как и для вырожденного дерева ( 1a → ), эта величина монотонно нарастает с числом иерархических уровней до максимального зна- чения 1 2 ( 1)(2 ) 1 1 ( )(2 ) ( ) ( 1) Q Q Q Q Q Q Q Q QQ C Q Q − − +\| \|− +− − − −−∞ = Δ , − (51) где корни (1 5) 2Q± ≡ ± / представляют золотое сечение. С ростом параметра неаддитивности максимальная сложность монотонно спа- 22 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА дает от бесконечного значения при 1Q = до нулевого при 2Q = . Од- нако, в отличие от (46), зависимость от дисперсии Δ становится не- монотонной: при значениях параметра неаддитивности, ограничен- ных верхним пределом 1,618Q+ = , максимальная сложность с рос- том Δ увеличивается, а при Q Q+> ⎯ уменьшается. Характер изме- нения сложности C в зависимости от числа иерархических уровней n, параметра неаддитивности Q и дисперсии Δ показан на рис. 8, 9. Изложенное рассмотрение показывает, что установление иерар- хической связи быстро повышает сложность статистического ан- самбля до предельного значения. Хотя сложность определяется эн- тропией Цаллиса, их физическая природа совершенно различна: если для простых систем эта энтропия характеризует беспорядок в распределении наименьших структурных единиц (например, ато- мов), то в иерархических системах их роль играют подансамбли, на которые разделяется полный статистический ансамбль. В общем случае поведение сложной системы определяется кла- стерной структурой всех иерархических уровней, однако свойство самоподобия позволяет ограничиться заданием типичного кластера и номера уровня n. Исследование различных иерархических де- ревьев показало [12], что возможны три их основных типа: вырож- денное дерево, у которого на каждом уровне ветвится единственный узел, благодаря чему с ростом n число узлов нарастает по линейной зависимости; регулярное дерево, на каждом уровне которого все уз- лы ветвятся одинаковым образом и их число увеличивается экспо- ненциально; самоподобное дерево, у которого число узлов нарастает по степенному закону (1 )an+ с показателем 1a > . В первом случае вероятность реализации состояний на различных иерархических уровнях изменяется логарифмически медленно, во втором экспо- ненциально быстро и только в последнем обнаруживает присущее самоподобным системам степенное поведение с показателем, опре- деляющим фрактальную размерность ультраметрического про- Рис. 8. Зависимость сложности от числа иерархических уровней при Q = 1,5 и Q = 1,7 (цифры у кривых указывают значения Δ). РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 23 странства, геометрическим образом которого является иерархиче- ское пространство. Согласно (38), параметр неаддитивности ( 1)Q a a= + определяется показателем ветвления a: регулярное a = ∞( ) и вырожденное ( 1)a = деревья характеризуются предель- ными значениями 1Q = и 2Q = , а самоподобное распределение (41) с показателем 1 2Q< < реализуется при 1a∞ > > . Такая связь объясняет бесконечное нарастание сложности при параметре неад- дитивности 1Q → ⎯ при этом неограниченно возрастает показа- тель ветвления иерархического дерева ( )a → ∞ , обеспечивая пре- дельную сложность системы. Выше мы рассмотрели самоподобные иерархические ансамбли. При произвольном распределении по узлам иерархического дере- ва, не обладающего свойством самоподобия, разностное уравне- ние (36) приводит к более сложному выражению ...1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ... ... ... 1 1 1 1 1 ( ) , ... ( ) 1 i i i il l l l l l l m mn m Q Q l l i i i i i i i i l i i i C n C C p p p Q − − − − − − = = = = = ≡ − − ∑ ∑ ∑ ∑ , (52) где вероятность 1 1... li ip − сводится к значению 0p при 1l = . В (52) под- разумевается, что на уровне l иерархического дерева, обладающего 1n > уровнями, состояния 1 1... 1li i − , 1 1... 2li i − , …, 1 11 1 ...... ll i ii i m −− образу- ют кластер, которому отвечает узел 1 1... li i − на более высоком уровне 1l − . Поэтому при вычислении сложности (52) следует сначала про- вести суммирование по узлам 1 1... n ni i i− нижнего уровня n , принад- лежащих кластеру, который отвечает узлу 1 1... ni i − следующего уровня 1n − . Затем выполняется суммирование по узлам уровня n , при- надлежащим всем остальным кластерам, и процедура повторяется для каждого последующего уровня иерархии l n< (при определении сложности слабо ветвящихся деревьев более удобно проводить сум- мирование не по кластерам, а по ветвям иерархического дерева). (а) (б) Рис. 9. Зависимость максимальной сложности от дисперсии иерархиче- ского ансамбля при Q = 1,5 (а) и Q = 1,7 (б). 24 А. И. ОЛЕМСКОЙ, И. А. ШУДА Выражение (52) является основой численного определения сложности произвольного иерархического ансамбля (в частности, развитой дефектной структуры твёрдого тела, подверженного ин- тенсивному внешнему воздействию типа пластической деформации или жёсткого облучения). Для определения сложности реальной структуры следует сначала разделить дефекты по иерархическим уровням 0, 1, ...,l n= , затем на каждом из них провести подсчёт числа дефектов 1 1... li iN − , принадлежащих кластеру 1 1... 1li i − , 1 1... 2li i − ,…, 1 11 1 ...... ll i ii i m −− , и приписать вероятность 1 1 1 1 ... ... l l i i i i N p N − − = (53) узлу 1 1... li i − следующего уровня 1l − . При этом полное число дефек- тов всех уровней определяется равенством ...1 1 1 1 1 2 ... 1 1 1 ... , i i in n n m mm i i i i i N N − = = = = ∑ ∑ ∑ n > 1, (54) где 1 1... li im − ⎯ число возможных состояний 1... li i в кластере, отве- чающем узлу 1 1... li i − (при 1n = следует положить 1 1... ni im m − = ) В об- щем случае распределение 1... li im состояний по кластерам определя- ет их число на данном уровне l согласно равенству ...1 1 1 1 1 2 ... 1 1 1 ... i i il l l m mm l i i i i i M m − = = = = ∑ ∑ ∑ (55) Для регулярного дерева, каждый узел которого ветвится с одинако- вым показателем 1m > , отсюда следует exp[ln( ) ]l lM m m l= ≡ ⋅ . Переход к нерегулярному самоподобному дереву трансформирует это выражение в биномиальную зависимость [1 (ln ) ]a lM m a l= + ⋅ , которая в пределе a → ∞ воспроизводит указанную экспоненту, а при показателе lna m= сводится к степенному закону (37). Подстановка вероятностей 1... { } li ip , 1, 2, ...,l n= в (52) даёт слож- ность иерархически соподчинённой дефектной структуры. Очевид- но, величина этой сложности задаёт такие феноменологические па- раметры как прочность и пластичность твёрдого тела. Характерно, что определение структурной сложности не может быть достигнуто использованием одних экспериментальных методов (например, электронной микроскопии) и требует последующей компьютерной обработки согласно изложенному алгоритму. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. A. I. Olemskoi, Theory of Structure Transformations in Non-Equilibrium РАДИАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 25 Condensed Matter (New York: NOVA Science: 1999). 2. J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford: Cla- rendon Press: 1993). 3. А. И. Олемской, А. А. Кацнельсон, Синергетика конденсированной среды (Москва: Едиториал УРСС: 2003). 4. A. I. Olemskoi and I. A. Sklyar, Sov. Phys. Uspekhi, 35: 455 (1992). 5. A. I. Olemskoi, D. O. Kharchenko, and I. A. Knyaz’, Phys. Rev. E, 71: 041101(12) (2005). 6. A. I. Olemskoi, Physics Reviews (Ed. I. M. Khalatnikov) (1995), vol. 18, part 1, p. 1. 7. А. И. Олемской, Письма в ЖЭТФ, 69: 391 (1999). 8. А. И. Олемской, Письма в ЖЭТФ, 71: 412 (2000). 9. А. И. Олемской, Письма в ЖЭТФ, 85: 137 (2007). 10. M. Gellmann and C. Tsallis, Nonextensive Entropy: Interdisciplinary Appli- cations (Oxford: Oxford University Press: 2004). 11. Справочник по специальным функциям (Ред. М. Абрамовиц, И. Стиган) (Москва: Наука: 1979). 12. A. I. Olemskoi and A. D. Kiselev, Phys. Lett. A, 247: 221 (1998).

Радиационные дефекты в твёрдых телах

Репозитарії

Схожі ресурси