Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C

Разработан новый метод обработки экспериментальных мёссбауэровских спектров, основанный на принципах самоорганизации. Метод не требует от исследователя задания стартовой модели спектра. Критерием согласия между экспериментальным и модельным спектром является оценка эмпирического риска. В результате...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Тимошевский, А.Н., Яблоновский, С.О., Еремин, В.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2011
Schriftenreihe:	Успехи физики металлов
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98172
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C / А.Н. Тимошевский, С.О. Яблоновский, В.И. Еремин // Успехи физики металлов. — 2011. — Т. 12, № 4. — С. 451-470. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-98172
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-981722016-04-10T03:02:27Z Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C Тимошевский, А.Н. Яблоновский, С.О. Еремин, В.И. Разработан новый метод обработки экспериментальных мёссбауэровских спектров, основанный на принципах самоорганизации. Метод не требует от исследователя задания стартовой модели спектра. Критерием согласия между экспериментальным и модельным спектром является оценка эмпирического риска. В результате обработки экспериментальных данных предлагается одна или несколько оптимальных моделей спектра. Тестирование метода на ряде экспериментальных модельных спектров показало его высокую эффективность. Розроблено нову методу обробки експериментальних Мессбаверових спектрів, яка заснована на принципах самоорганізації. Метода не вимагає від дослідника задання стартового моделю спектра. Критерієм згоди між експериментальним і модельним спектром є оцінка емпіричного ризику. В результаті обробки експериментальних даних пропонується один або кілька оптимальних моделів спектра. Тестування методи на ряді експериментальних модельних спектрів показало її високу ефективність. A new method based on the principles of self-organization is designed. For researcher, the method does not require to set up initial model of the spectrum. A criterion of correspondence between the experimental and model spectra is evaluation of empirical risk. Result of calculation is a set of optimal spectra models proposed to the researcher. Our tests for a number of experimental spectra showed a high efficiency of the method. 2011 Article Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C / А.Н. Тимошевский, С.О. Яблоновский, В.И. Еремин // Успехи физики металлов. — 2011. — Т. 12, № 4. — С. 451-470. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1608-1021 РACS numbers:07.05.Kf, 61.05.Qr,71.15.Ap,71.15.Mb,71.15.Nc,76.80.+y, 82.80.Ej http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98172 ru Успехи физики металлов Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Разработан новый метод обработки экспериментальных мёссбауэровских спектров, основанный на принципах самоорганизации. Метод не требует от исследователя задания стартовой модели спектра. Критерием согласия между экспериментальным и модельным спектром является оценка эмпирического риска. В результате обработки экспериментальных данных предлагается одна или несколько оптимальных моделей спектра. Тестирование метода на ряде экспериментальных модельных спектров показало его высокую эффективность.
format	Article
author	Тимошевский, А.Н. Яблоновский, С.О. Еремин, В.И.
spellingShingle	Тимошевский, А.Н. Яблоновский, С.О. Еремин, В.И. Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C Успехи физики металлов
author_facet	Тимошевский, А.Н. Яблоновский, С.О. Еремин, В.И.
author_sort	Тимошевский, А.Н.
title	Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C
title_short	Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C
title_full	Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C
title_fullStr	Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C
title_full_unstemmed	Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C
title_sort	компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените fe—c
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98172
citation_txt	Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C / А.Н. Тимошевский, С.О. Яблоновский, В.И. Еремин // Успехи физики металлов. — 2011. — Т. 12, № 4. — С. 451-470. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Успехи физики металлов
work_keys_str_mv	AT timoševskijan kompʹûternoemodelirovanieatomnojstrukturyisverhtonkihvzaimodejstvijvaustenitefec AT âblonovskijso kompʹûternoemodelirovanieatomnojstrukturyisverhtonkihvzaimodejstvijvaustenitefec AT ereminvi kompʹûternoemodelirovanieatomnojstrukturyisverhtonkihvzaimodejstvijvaustenitefec
first_indexed	2025-07-07T06:09:13Z
last_indexed	2025-07-07T06:09:13Z
_version_	1836967320749080576
fulltext	451 РACS numbers:07.05.Kf, 61.05.Qr,71.15.Ap,71.15.Mb,71.15.Nc,76.80.+y, 82.80.Ej Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C А. Н. Тимошевский, С. О. Яблоновский, В. И. Еремин Институт магнетизма НАН и МОНМС Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36б, 03680, ГСП, Киев-142, Украина Разработан новый метод обработки экспериментальных мёссбауэровских спектров, основанный на принципах самоорганизации. Метод не требует от исследователя задания стартовой модели спектра. Критерием согласия между экспериментальным и модельным спектром является оценка эм- пирического риска. В результате обработки экспериментальных данных предлагается одна или несколько оптимальных моделей спектра. Тести- рование метода на ряде экспериментальных модельных спектров показа- ло его высокую эффективность. Метод использован для обработки экспе- риментальных мёссбауэровских спектров аустенита Fe10C. Получено бо- лее точное по сравнению с существующими разложение спектра на одну синглетную и две дублетных линии. Для интерпретации этих результатов методом FLAPW проведены расчёты электронной структуры и парамет- ров сверхтонких взаимодействий для нескольких упорядоченных струк- тур Fe32C2, моделирующих аустенит FeC0,0625 с разным расположением атомов углерода. Результаты расчётов хорошо согласуются с эксперимен- тальными данными. Розроблено нову методу обробки експериментальних Мессбаверових спе- ктрів, яка заснована на принципах самоорганізації. Метода не вимагає від дослідника задання стартового моделю спектра. Критерієм згоди між ек- спериментальним і модельним спектром є оцінка емпіричного ризику. В результаті обробки експериментальних даних пропонується один або кі- лька оптимальних моделів спектра. Тестування методи на ряді експери- ментальних модельних спектрів показало її високу ефективність. Методу використано для обробки експериментальних Мессбаверових спектрів австеніту Fe10C. Одержано більш точне у порівнянні з наявними розкла- дання спектра на одну синґлетну і дві дублетних лінії. Для інтерпретації цих результатів методою FLAPW проведено розрахунки електронної структури і параметрів надтонких взаємодій для декількох впорядкова- них структур Fe32C2, що моделюють австеніт FeC0,0625 з різним розташу- ванням атомів вуглецю. Результати розрахунків добре узгоджуються з Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2011, т. 12, сс. 451—470 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией © 2011 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины) Напечатано в Украине. 452 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН експериментальними даними. A new method based on the principles of self-organization is designed. For researcher, the method does not require to set up initial model of the spec- trum. A criterion of correspondence between the experimental and model spectra is evaluation of empirical risk. Result of calculation is a set of opti- mal spectra models proposed to the researcher. Our tests for a number of ex- perimental spectra showed a high efficiency of the method. The method is used for analysis of experimental Mössbauer spectra of Fe10C austenite. As compared with already known expansions, we obtained a new accurate expan- sion of the measured spectrum into one singlet and two doublet lines. To in- terpret the results, we performed first-principle FLAPW calculations of elec- tronic structure and hyperfine interactions in several ordered Fe32C2 struc- tures, which model FeC0.0625 austenite. There is a good agreement between the measured data and the theoretical calculations. Ключевые слова: самоорганизация математических моделей, минимиза- ция эмпирического риска, углеродистый аустенит, мёссбауэровские спек- тры, первопринципные расчёты. (Получено 18 ноября 2011 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ мёссбауэровская спектроскопия широко применяется для исследо- вания электронной структуры и ближнего порядка в различных ма- териалах. Часто этим методом удается получить уникальную ин- формацию о локальном ближнем порядке в таких образцах, атомная структура которых не может быть исследована другими методами. Однако иногда возникают трудности при обработке мёссбауэровских спектров и их интерпретации. Разные группы исследователей при обработке одних и тех же экспериментальных спектров иногда полу- чают разные результаты, что не позволяет делать однозначные выво- ды об электронной и атомной структуре образца. Примером могут служить мёссбауэровские спектры бинарных аустенитов Fe—C и Fe— N. На первый взгляд спектры этих парамагнитных материалов весь- ма просты. Однако при разложении их на компоненты разные авто- ры получали существенно отличающиеся результаты. Особенно это касается спектров азотистого аустенита. Для того чтобы интерпрета- ция экспериментальных спектров была однозначной, необходимо иметь такой метод их обработки, который позволяет извлекать из эксперимента максимальное количество достоверной информации. В настоящее время существует достаточно много методов и про- грамм для обработки экспериментальных мёссбауэровских спек- тров. Все эти методы характеризируются общим подходом при раз- ложении спектра на компоненты. Он заключается в необходимости выбора начальной модели спектра. Как правило, спектр представ- МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 453 ляется композицией функций Лоренца или Гаусса, начальные па- раметры которых выбираются вручную. Далее, используется метод наименьших квадратов (МНК) и производится приближение мо- дельного спектра к экспериментальному. Для этого чаще всего применяется градиентный метод. Злоказовым [1, 2] были разработаны математические методы анализа спектроподобных распределений и создан программный пакет ACTIV для обработки гамма- и рентгеновских спектров. Про- цедура решения задачи расшифровки функции, описывающей экс- периментальный спектр, сводится к разложению этой функции на компоненты. Основным методом решения является – метод пара- метрической селективной аппроксимации. При этом используется алгоритм фильтрации для устранения выбросов и метод регуляри- зации Тихонова [3] при оценке параметров спектра. Брюгеманом и др. была разработана программа для обработки мёссбауэровских спектров Univem [4]. В этом подходе используется аппроксимация суммы аналитических функций, описывающих от- дельные компоненты обрабатываемого спектра. Качество аппрок- симации оценивается по приближению суммарной функции (мо- дельного спектра) к совокупности экспериментальных точек при условии нахождения минимума суммы квадратов отклонений (критерий χ2). Число компонент и их положения вводятся вручную и варьируются при подгонке спектра. Русаковым [5] были разработаны методы обработки и анализа мёссбауэровских данных и создана программа MS Tool. В этом про- граммном комплексе следует выделить программу модельной рас- шифровке мёссбауэровских спектров с использованием априорной информации об объекте исследования (SPECTR) и программу по ре- ставрации функций распределения параметров парциальных спек- тров – сверхтонкого магнитного поля, изомерного сдвига, квадру- польного расщепления и ширины мёссбауэровских линий (DISTRI). Программа SPECTR решает задачу, которая сводится к поиску или уточнению значений небольшой совокупности физических пара- метров, которые в рамках выбранной модели однозначно описыва- ют состояние мёссбауэровских ядер в твердом теле. Основной метод обработки – МНК. Программа DISTRI использует метод регуляри- зации в его итеративном варианте [3]. В результате решения задачи получается некоторое дискретное представление результата ре- ставрации функций распределения с оценкой статистической ошибки их характеристик. В методе, предложенном в работе [6] предполагается, что спектр может быть представлен суммой линий Фойгта с разными положе- ниями, ширинами и весовыми факторами. Это следует из предпо- ложения, что распределение вероятности ошибок в спектре описы- вается законом Гаусса (нормальный закон распределения вероятно- 454 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН сти ошибок), а сами компоненты имеют форму линий Лоренца, то- гда свертка функций Лоренца и Гаусса есть функция Фойгта. Да- лее, как и в описанных выше методах, для численной оптимизации применяется МНК. В этой работе для получения устойчивого реше- ния на каждом шаге алгоритма генерируются новые модели, кото- рые содержат на одну компоненту больше. Одним из новых направлений в обработке мёссбауэровских спек- тров является применение генетического алгоритма и его разных модификаций [7, 8]. В основе алгоритма лежит идея имитации био- логических процессов эволюции природы. На начальном этапе алго- ритма задается большое количество популяций (моделей), которые отличаются между собой свободными параметрами. Далее для каж- дой популяции эти параметры подгоняются с помощью алгоритмов экстремального поиска. Каждое найденное решение оценивается критерием χ2. На основе генетических операторов – скрещивания, мутации и селекции в следующем поколении из лучших популяций генерируются новые популяции. Предполагается, что с увеличением числа поколений алгоритм сходится к глобальному минимуму. В большинстве методов [1, 2, 4—6] поиск неизвестных параметров разложения на компоненты начинается с того, что пользователем вручную задается первоначальная модель спектра. Однако часто встречаются спектры сложной формы, для которых эту модель вы- брать сложно. Только в работах [7, 8] начальные модели генерируют- ся случайным образом. Необходимо отметить, что существующие методы обработки экспериментальных мёссбауэровских спектров основаны на отыскании модели спектра, которая удовлетворяла бы минимуму критерия χ2. В основе выбора этого критерия, лежит предположение о нормальном законе распределения ошибок. В настоящей работе предлагается новый метод, основанный на принципах самоорганизации математических моделей (Self-Organi- sation of Mathematical Models–SOMM) [9] и минимизации эмпири- ческого риска (Empirical Risk Minimization) [10]. В данном подходе оптимальное разложение спектра определяется из множества кон- курирующих моделей спектра, а оценка точности разложения про- водится по минимуму величины оценки эмпирического риска. Впервые эффективность использования принципов самоорганиза- ции для обработки экспериментальных мёссбауэровских спектров была показана в работе [11]. Предлагаемый метод позволяет мини- мизировать участие пользователя в вычислительном процессе. При разложении спектра на компоненты, по сравнению с другими мето- дами, нами решается более общая задача. Считается, что закон рас- пределения вероятности ошибок неизвестен. Известно лишь, что он имеет ограниченную дисперсию. При этом необходимо построить наилучший алгоритм восстановления регрессии. Для оценки каче- ства модели спектра в методе используется не χ2, а критерий мини- МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 455 мизации эмпирического риска. Согласно основным принципам са- моорганизации, проводится конкурс среди моделей с разным чис- лом компонент и по минимуму величины критерия эмпирического риска определяется модель оптимальной сложности. Эффективность предлагаемого в данной работе метода продемон- стрирована тестовыми расчетами при обработке модельных экспе- риментальных мёссбауэровских спектров соединений K3Fe(CN)6, K4Fe(CN)6, Na3Fe(CN)6 и образцов, полученных при смешивании этих соединений. Далее мы применили метод SOMM для разложе- ния на компоненты экспериментального спектра аустенита Fe10C из работы [14]. Для интерпретации полученных результатов мы про- вели серию первопринципных расчетов атомной структуры и пара- метров сверхтонких взаимодействий для нескольких упорядочен- ных структур Fe32C2, моделирующих аустенит FeC0,0625. 2. МЕТОД РАСЧЕТА Метод SOMM включает в себя алгоритм поиска оптимального син- глетного набора и алгоритм комбинационного связывания синглет- ных линий. В первом алгоритме определяется оптимальное количе- ство синглетных линий для модельного спектра. Для этого выбира- ется заведомо большое число синглетных линий с разными шири- нами, которые расставляются по всей области спектра. Далее с по- мощью МНК определяются интенсивности линий. Из рассмотрения исключаются линии с отрицательными интенсивностями. Для оценки вклада каждой линии в спектр вычисляется коэффициент устойчивости этой линии. Далее для оценки достоверности модели вводится равномерная оценка величины эмпирического риска. Для оптимального приближения модельного спектра к эксперимен- тальному спектру используется модифицированный итерационный процесс квазиньютоновского типа с применением ограничений на варьируемые параметры. Второй алгоритм позволяет перейти от оптимального набора из синглетных линий к наборам из дублетных и синглетных линий. Для этого устраивается конкурс среди лучших моделей, которые описывают экспериментальный спектр. В результате пользователю предлагается несколько оптимальных вариантов, согласно прин- ципу неокончательности решений [9]. В рамках метода SOMM задача восстановления интенсивности спектра по экспериментальным данным мёссбауэровского спектра сводится к задаче минимизации эмпирического риска по эмпириче- ским данным. Для этого требуется минимизировать функционал: ( )2 ( ) ( , ) ( , ) ,I y F x P x y dxdyα = − α (1) 456 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН где (y − F(x, α))2 – функция потерь. Задана случайная и независи- мая выборка пар (xi, yi) (i = 1, n), что соответствует положению и ин- тенсивности на экспериментальном спектре. Плотность распреде- ления вероятности P(x, y) при этом не известна. Ставится задача отыскания по выборке фиксированного объема не функции, доставляющей точный минимум функционалу (1), а функции, доставляющей функционалу величину, близкую к мини- мальной с некоторой надежностью 1 − η (0 < η < 1). Для решения этой задачи необходимо определить условие существования равномерной сходимости средних к математическим ожиданиям. Таким условием есть ограничение на отношение моментов: ( ) ( ) 2 2 ( , ) ( , ) sup , 2, ( , ) ( , ) p p y F x P x y dxdy p y F x P x y dxdyα − α ≤ τ ≥ − α   (2) т.е. для любого фиксированного α = α* отношение среднего p-го по- рядка случайной величины ( )2 * * ( ) ( , )y F xξ α = − α к среднему первого порядка не превосходит τ. Согласно теореме 7.6 в работе [10], если множество F(x, α) имеет конечную емкость r < n, то для p > 2 с вероятностью 1 − η одновременно для всех функций F(x, α) выполняются неравенство э ( ) ( ) 2 ln 1 ln 12 1 2 ( ) I I n r r a p n ∞       α α <  η  + −   − τ   , где 1 1 1 ( ) 2 2 p p p a p p −  −=  −  .(3) При решении задачи минимизации эмпирического риска наша цель состоит в нахождении алгоритмов, которые на выборках фик- сированного объема с заданной надежностью отыскивают функцию, доставляющую функционалу I(α) значение, наиболее близкое к ми- нимальному значению. Здесь мы используем более слабую априор- ную информацию о вероятностной мере распределения ошибки. С другой стороны используется достаточно узкий класс функций, в ко- тором ведется восстановление. В качестве такого класса выбраны функции Лоренца (4), которые соответствуют квантово-механиче- скому описанию процессов резонансного поглощения, испускания и рассеяния гамма-квантов ядрами в твердом теле МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 457 2 2 2 ( , ) 4( ) a F x x f γα = − + γ , (4) где a – интенсивность линии, f – её положение, γ – ширина на по- ловине высоты. Эмпирический функционал с учетом функций Лоренца запишет- ся в следующем виде = =  γ α = − +  σ − + γ    2 2 э 02 2 2 1 1 1 ( ) 4( ) n m j j i i ji i j j a I y a x f , (5) где n – количество точек в экспериментальном спектре, a0 – ин- тенсивность фона, aj – интенсивность j-й линии Лоренца, fj – её положение, γj – её ширина, 2 i σ – дисперсия yi. Алгоритм поиска оптимального синглетного набора заключается в определении параметров функционала (5). Согласно теории самоор- ганизации, поиск оптимального количества резонансных линий осуществляется перебором большого количества линий с разными положениями и ширинами. На первом этапе генерируется стартовая модель с большим чис- лом синглетных линий, которые имеют разные положения и шири- ны в заданных физически допустимых интервалах. При этом число изменяемых параметров линий не превышает количества экспери- ментальных точек. Положения линий определяются из проекции функции распределения экспериментального спектра. Таким обра- зом, большее число линий расположено в области большой интен- сивности спектра. Для положений и ширин линий в стартовой мо- дели интенсивности определяются процедурой NNLS (nonnegative least square) [12] с условием неотрицательности aj ≥ 0. В первом приближении для выражения (3) было выбрано, что 2τa(p) = 1. Тогда оценка качества полученного приближения теоре- тического спектра к экспериментальному определяется по формуле: 2 1 1 ( ) ( ) (ln ln 1) ln 1 n i i i y y n m r n r n = − Δ = − + − η−   , (6) где iy  – экспериментальный спектр, m – количество линий Ло- ренца, n – число экспериментальных точек, r = 3m + 1 – число из- меняемых параметров, −η = 1/2n – параметр статистической зна- чимости. Для получения новой модели с меньшим числом компонент при- меняются принципы самоорганизации. Экспериментальный спектр разбивается на четыре равных «подспектра», один из которых бу- 458 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН дет всегда обучающим, а остальные три – проверочными. Для каждой линии спектра с фиксированными положениями и шири- нами с помощью процедуры NNLS определяются новые значения интенсивностей ( ) 0 k ja ≥ , где k – индекс «подспектра». Тогда устой- чивость каждой линии спектра к изменению числа эксперимен- тальных точек можно оценить с помощью коэффициента = = − = +   ( ) 2 0 2 0 ( ) 100 ( 1) s k j j k j s j k a a V s a , (7) где ( ) 0 1 , 1, , 4 1 s k j j k a a j m s s = = = = +  , (0) ja –интенсивность j-й линии Лоренца, полученная на всем спектре. Из стартовой модели удаля- ется самая неустойчивая линия Лоренца с максимальным значени- ем Vj. Таким образом, генерируется новая модель с меньшим числом компонент. Для новой модели уточняются положения fj, ширины линий γj и интенсивности aj с помощью модифицированного алго- ритма limited memory variation of the Broyden—Fletcher—Goldfarb— Shanno (L—BFGS—B) [13]. Модификация алгоритма L—BFGS—B за- ключается в том, что параметр интенсивности aj уточняется с помо- щью процедуры NNLS. Это позволяет ускорить вычислительный процесс. На новом уменьшенном наборе линий рассчитывается оценка эмпирического риска (6). Процедура генерирования новых моделей с меньшим числом компонент продолжается до тех пор, пока оценка эмпирического риска не начинает возрастать. В результате будет найдена опти- мальная модель, соответствующая минимальному значению оценки эмпирического риска. Алгоритм комбинационного связывания синглетов. Как правило, мёссбауэровский спектр состоит из синглетов и дублетов. Поэтому второй алгоритм представляет собой метод нахождения дублетных линий среди набора синглетных линий. Дублетную линию можно представить как сумму двух синглетных линий с разными положе- ниями, но одинаковой шириной и интенсивностями: j kf f≠ , j ka a= , j kγ = γ ( ( ) ( ), 1,j k m⊂ ). После введения дублетов функционал (5) запишется в виде: 1 2 э 02 2 2 1 1 0, 1 ( ) 4( ) mn j j i i ji i j j a I y a x f= =  γ ′ α = − + +σ − + γ   МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 459 2 2 2 2 2 2 2 1 1, 2, 1 1 4( ) 4( ) m k k k i k k i k k a x f x f=   + γ +   − + γ − + γ   , (8) где m1 – количество синглетных линий, а f0,j – их положения, m2 – количество дублетных линий, а (f1,k, f2,k) – их положения. На первом шаге алгоритма генерируется 2 0 1 L m i i C − = +  комбинаций дублетных и синглетных линий, где 1 2 m L  = −   . Далее для функци- онала (8) с помощью модифицированного алгоритма L—BFGS—B про- водится уточнение комбинаций. Таким образом, для каждой комби- нации определяются новые значения fj, γj, aj и рассчитывается оцен- ка эмпирического риска (6) при условии, что r = 3m − 2m2 + 1. Из множества комбинаций выбираются несколько лучших наборов ли- ний с минимальными значениями оценки эмпирического риска. Следует отметить, что оптимальный набор, полученный с помо- щью алгоритма комбинационного связывания должен обладать меньшим значением оценки эмпирического риска, чем набор из синглетных линий. Заканчивая описание предлагаемого нами метода, отметим его ос- новные преимущества по сравнению с существующими. 1. Не требуется задания начальной позиции спектра. Достаточно задать интервал допустимых положений и ширин линий. Это существенно облегчает ввод начальной информации и позволяет расширить множество моделей для начального приближения. 2. С помощью принципов самоорганизации на каждом шаге алго- ритма генерируется новая устойчивая модель с меньшим числом компонент. 3. Подход минимизации эмпирического риска не требует знания закона распределения вероятности ошибок. 4. Применение оценки критерия эмпирического риска позволяет выбрать модель оптимальной сложности. 5. В методе предложено два новых алгоритма поиска оптимального набора синглетных и дублетных линий. 3. ТЕСТИРОВАНИЕ МЕТОДА НА МОДЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ СПЕКТРАХ Покажем, насколько эффективно работает метод SOMM при обра- ботке реальных экспериментальных модельных мёссбауэровских спектров. Изготовление модельных образцов и измерения их мёс- сбауэровских спектров были проведены сотрудником Института ме- 460 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН таллофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины канд. физ.-мат. на- ук О. Н. Разумовым. В качестве исходных образцов использовались соединения (№ 1) K3Fe(CN)6, (№ 2) K4Fe(CN)6, (№ 3) Na3Fe(CN)6. На основе этих соединений были приготовлены образцы: № 12 – 50%(№ 1) + 50%(№ 2), № 13 – 50%(№ 1) + 50%(№ 3), № 23 – 50%(№ 2) + 50%(№ 3), № 123 – 33,3%(№ 1) + 33,3%(№ 2) + 33,3%(№ 3). Экспериментальные мёссбауэровские спектры измерялись на спектрометре ‘WISSEL’ в режиме постоянных ускорений в геомет- рии пропускания с источником 57Со в хроме активностью 50 мил- ликюри. Результаты измерений представлены на рис. 1. Методом SOMM были обработаны экспериментальные спектры всех образцов. Рассчитанные параметры спектров приведены в табл. 1. Изомерный сдвиг приведен относительно α-Fe. Рис. 1. Экспериментальные мёссбауэровские спектры модельных образцов и результаты их обработки методом SOMM. Цифрами 1, 2, 3 показаны вклады образцов № 1, № 2,№ 3 в многокомпонентные спектры. МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 461 Продемонстрируем применение метода SOMM на примере обра- ботки спектра образца № 12. На первом этапе генерируются мо- дельные спектры с разным количеством синглетных линий: от од- ной до пятнадцати (заведомо большое число). Для каждого из них проводится минимизация оценки эмпирического риска с ограниче- ниями на параметры варьирования (положение и ширина линии). На рисунке 2 пунктирной линией показано, как зависит оценка эм- пирического риска от количества синглетных линий в модельном спектре образца № 12. Минимум оценки эмпирического риска соот- ветствует набору из двух синглетных линий. На втором этапе, был использован алгоритм комбинационного связывания синглетных линий. Зависимость оценки эмпирического риска от числа син- глетных линий с учетом связывания линий показана на рис. 2 сплошной линией. Как следует из рисунка, минимум оценки эмпи- рического риска стал глубже и теперь соответствует набору из трех синглетных линий. Оптимальный модельный спектр состоит из од- ной синглетной и одной дублетной линий. Описанным выше способом были обработаны экспериментальные мёссбауэровские спектры образцов № 13, № 23 и № 123. Процесс об- работки проиллюстрирован на рис. 2. Параметры спектров, полу- ченные в результате расчетов, приведены в табл. 1. Из анализа этих результатов следует, что использованный метод обработки весьма эффективен. Спектры однокомпонентных образцов № 1, № 2, № 3 ТАБЛИЦА 1. Результаты обработки экспериментальных спектров модель- ных образцов: δ – изомерный сдвиг, Δ – квадрупольное расщепление, Γ – ширина линии на половину высоты (мм/с); p – интенсивность линии (%). № образца № компоненты δ Δ Γ p 1 1 0,19 0,33 0,23 100 2 2 0,24 — 0,27 100 3 3 0,14 0,67 0,26 100 12 1 0,21 0,34 0,28 56 2 0,24 — 0,28 44 13 1 0,19 0,33 0,25 49 3 0,14 0,68 0,25 51 23 2 0,25 — 0,28 46 3 0,14 0,68 0,25 54 123 1 0,10 0,23 0,23 30 2 0,28 — 0,25 30 3 0,14 0,67 0,26 40 462 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН хорошо определяются в спектрах многокомпонентных образцов № 12, № 13, № 23 и № 123. Хорошее согласие достигается при расче- те всех трех важных параметров сверхтонкого взаимодействия: изо- мерного сдвига, квадрупольного расщепления и ширины линии. Главное достоинство метода заключается в том, что при обработке спектров не требуется задание стартовой модели спектра. 4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА SOMM ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО МЁССБАУЭРОВСКОГО СПЕКТРА АУСТЕНИТА Fe10С Углерод как легирующий элемент широко используется при созда- нии аустенитных сталей. Большое количество исследований было направлено на понимание изменений, которые происходят в мат- рице ГЦК-железа при введении атомов углерода [14]. Основным ме- тодом исследований бинарного аустенита Fe—C является мёссбауэ- ровская спектроскопия. По мнению авторов работ [15, 17, 18] спектр углеродистого аусте- Рис. 2. Зависимость оценки эмпирического риска от количества синглет- ных линий для спектров модельных образцов. МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 463 нита состоит из синглетной (атом Fe0) и дублетной (атом Fe1) линий. Следует отметить, что в работе [16] вместо синглетной линии была получена узкая дублетная линия с квадрупольным расщеплением Δ = 0,1 мм/с. Для интерпретации мёссбауэровских спектров в этих работах использовалась модель случайного распределения углеро- да, в которой учитывается влияние углерода только в первой коор- динационной сфере. Однако существует и другая интерпретация этих спектров. В работе [19] углеродистый аустенит предлагается моделировать с помощью упорядоченной структуры Fe8C1−x. Авторы этой работы выделяют в этой структуре три разных типа атомов железа: атомы Fe00, которые в первой и второй координационных сферах не имеют атомов углерода, атомы Fe10, имеющие один атом углерода в первой координационной сфере, и атомы Fe0n, в первой координационной сфере которых нет атомов углерода, а во второй координационной сфере находится n атомов углерода (n = 1, 2, 3, 4). К аналогичным выводам пришли авторы работы [20], в которой экс- периментальные спектры аустенита FeCx были разложены на ком- поненты согласно такой же модели упорядоченной структуры (на две синглетные и одну дублетную линии) и модели случайного рас- пределения углерода (на одну дублетную и одну синглетную ли- нии). С помощью Монте-Карло моделирования, в этой работе пока- зано, что модель упорядоченной структуры более точно описывает реальный сплав. Результаты разложения на компоненты мёссбауэ- ровского спектра углеродистого аустенита FeCx из перечисленных выше работ приведены в табл. 2 и на рис. 3. В настоящей работе мы применили описанный выше метод SOMM для обработки экспериментального мёссбауэровского спектра аустенита Fe10C из работы [14]. Результаты расчетов приведены на рис. 4. На первом этапе был получен набор конкурирующих моделей разложения спектра на синглетные линии. На рисунке 4 пунктирной линией показана зависимость величины оценки эмпирического рис- ка от количества синглетных линий в модели спектра. Минимум оценки эмпирического риска соответствует набору из 8 синглетных линий. Однако из рисунка следует, что величина оценки эмпириче- ского риска неустойчива к числу синглетных линий в модели. Воз- можно, это связано с небольшим количеством экспериментальных точек (512 точек) в спектре. Применение на втором этапе алгоритма комбинационного связывания синглетных линий явно стабилизиру- ет эту зависимость и существенно понижает величину оценки эмпи- рического риска (сплошная линия на рис. 4). На графике-вставке рис. 4 хорошо видно, что зависимость имеет ярко выраженный минимум, который соответствует наиболее опти- мальному набору. Этот набор состоит из одной синглетной и двух дублетных линий с существенно разными квадрупольными расщеп- лениями. Т А Б Л И Ц А 2 . Р е з у л ь т а т ы о б р а б о т к и э к с п е р и м е н т а л ь н ы х с п е к т р о в F e C x : δ – и з о м е р н ы й с д в и г , Δ – к в а д р у п о л ь - н о е р а с щ е п л е н и е , Γ – ш и р и н а л и н и и в м м / с и p – о т н о с и т е л ь н а я д о л я а т о м о в ж е л е з а ( % ). И з о м е р н ы й с д в и г у к а - з а н о т н о с и т е л ь н о α -F e . x F e 0 0 F e 0 m F e 1 0 Л и т е р а т у р а δ Δ Γ p δ Δ Γ p δ Δ Γ p 0 ,0 8 7 −0 ,1 0 — — 4 9 ,5 — — — — −0 ,0 6 0 ,6 3 — 5 0 ,5 [1 5 ] 0 ,0 5 4 −0 ,0 9 0 ,1 0 0 ,2 3 6 5 ,0 — — — — 0 ,1 0 0 ,6 7 0 ,2 3 3 5 ,0 [1 6 ] 0 ,0 8 7 −0 ,0 5 — — 5 4 ,5 — — — — −0 ,0 2 0 ,6 6 — 4 5 ,5 [1 7 ] 0 ,0 8 7 −0 ,0 5 — — 5 4 ,5 — — — — 0 ,0 0 0 ,6 7 — 4 5 ,5 [1 8 ] 0 ,0 8 6 −0 ,0 3 — — 4 4 ,0 — — — — 0 ,0 2 0 ,6 3 — 5 6 ,0 [2 0 ] 0 ,1 0 0 −0 ,0 6 — 0 ,3 5 5 2 ,0 — — — — −0 ,0 1 0 ,6 6 0 ,2 8 4 8 ,0 (2 )* 0 ,0 6 8 −0 ,1 0 — 0 ,2 2 3 9 ,0 −0 ,0 2 — 0 ,2 2 2 0 ,0 −0 ,0 1 0 ,6 5 0 ,2 2 4 1 ,0 [1 9 ] 0 ,0 8 6 −0 ,1 0 — — 2 4 ,0 0 ,0 5 — — 2 5 ,0 0 ,0 1 0 ,6 6 — 5 1 ,0 [2 0 ] 0 ,1 0 0 −0 ,0 8 0 ,1 0 0 ,2 4 3 4 ,0 0 ,0 4 — 0 ,2 3 9 ,0 −0 ,0 1 0 ,6 5 0 ,3 0 5 7 ,0 (3 )* 0 ,0 6 2 5 −0 ,0 2 0 ,1 9 — 3 7 ,5 0 ,0 5 0 ,0 7 — 2 5 ,0 0 ,0 8 0 ,4 5 — 3 7 ,5 (3 )* * (2 )* , (3 )* – р е з у л ь т а т ы р а з л о ж е н и я с п е к т р а н а 2 и 3 к о м п о н е н т ы , п о л у ч е н н ы е м е т о д о м S O M M ; (3 )* * – п а р а м е т р ы с в е р х т о н к о г о в з а и м о д е й с т в и я д л я 3 -х т и п о в а т о м а ж е л е з а п о л у ч е н н ы е м е т о д о м F L A P W . МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 465 Схематично результат разложения спектра на эти компоненты представлен на рис. 3. Рассчитанные значения параметров сверхтон- кого взаимодействия приведены в табл. 2 (обозначены (3)). Эти ве- личины хорошо согласуются с результатами работ [19, 20], учиты- вая, что одна из полученных нами дублетных линий имеет малое квадрупольное расщепление. Этот дублет мог быть обозначен авто- рами синглетной линией с несколько большей шириной. Расчеты методом SOMM показали, что разложение спектра, полу- ченное в работах [15—18], с точки зрения величины оценки эмпири- ческого риска является не оптимальным. Результаты разложения для этого набора приведены в табл. 2 (обозначены (2)). Рассчитанные значения параметров сверхтонкого взаимодействия согласуются с результатами работ [15—18]. Следует заметить, что применение ме- тода SOMM позволяет автоматически получить все возможные вари- анты разложений и выбрать из них наиболее оптимальное. Таким образом, наиболее оптимальным является разложение спектра Fe10C на синглетную и две дублетные линии с существенно разными квадрупольными расщеплениями. Какие же типы атомов железа соответствуют этим линиям? Для ответа на этот вопрос мы провели первопринципное компью- Рис. 3. Экспериментальный мёссбауэровский спектр аустенита Fe10C [14]. 466 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН терное моделирование атомной структуры и параметров сверхтон- ких взаимодействий в аустенитном сплаве FeC0,0625. Для этого ис- пользовались четыре упорядоченные структуры Fe32C2 с разным расположением атомов углерода. Элементарная ячейка каждой из структур содержала 32 атома железа, 20 из которых выбирались не- эквивалентными. Это позволило корректно моделировать деформа- ционные эффекты в ГЦК-матрице железа при внедрении в нее ато- мов углерода, что дает возможность получать надежную информа- цию об атомной структуре сплава и параметрах сверхтонких взаи- модействий. На рисунке 5 представлена одна из модельных структур (группа симметрии № 3 P2), в которой атомы углерода расположены на мак- Рис. 4. Зависимость величины оценки эмпирического риска от количества синглетных линий для экспериментального мёссбауэровского спектра сплава Fe10C [14]. Рис. 5. Упорядоченная структура Fe32С2,моделирующая аустенит FeC0,0625. МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 467 симально большом расстоянии друг от друга (шестая координаци- онная сфера). В других трех структурах атомы углерода располага- лись на более близких расстояниях: в четвертой, третьей и второй сферах. Для расчетов полных энергий и сверхтонких взаимодей- ствий модельных структур использовался высокоточный ab initio метод FLAPW [21] (пакет Wien2k [22]). Расчеты проводились, без учета спиновой поляризации, поскольку в аустените атомы железа находятся в парамагнитном состоянии. Использовался GGA обмен- но-корреляционный потенциал согласно Пердью—Бурке—Ернзерхоф [23]. Число плоских волн при разложении волновых функций со- ставляло 160 на атом, параметр lmax при разложении волновых функций был равен 12, при разложении потенциала соответствую- щий параметр был равен Lmax = 6, при вычислении параметров сверхтонких взаимодействий использовалось 200 k-точек в первой зоне Бриллюэна. Радиусы MT-сфер составляли 1,4 a.u. для атомов углерода и 2,0 a.u. для атомов железа. Все расчеты проводились с учетом полной структурной оптимизации в соответствии с про- странственными группами модельных структур. Оптимизировались параметры элементарной ячейки и положения атомов в ней. Расчеты полных энергий модельных структур показали, что энергетически наиболее выгодна структура, представленная на рис. 5. Она на 0,007—0,005 эВ/(атом Fe) выгодней других структур с рас- положением углерода на меньших расстояниях. Это свидетельству- ет о том, что в ГЦК-решетке железа атомы углерода отталкиваются, что неоднократно отмечалось авторами многих работ. В этой струк- туре были рассчитаны амплитуда электронной плотности и гради- ент электрического поля на ядрах всех атомов железа, что позволи- ло получить величины изомерных сдвигов и квадрупольных рас- щеплений линий, дающих вклад в мёссбауэровский спектр. Расче- ты показали, что в структуре Fe32C2 из 20 типов атомов железа, учтенных нами, можно выделить только три разных типа Fe10, Fe00 и Fe0m, имеющих разные параметры сверхтонкого взаимодействия (табл. 2, обозначение – (3)**). При этом мы получили, на первый взгляд, неожиданный результат. Оказалось, что на атомах Fe0m квадрупольное расщепление в два раза меньше чем на атомах Fe00. Однако это становится понятным, если вспомнить, что примесь внедрения в ГЦК-решетке существенно изменяет распределение электронной плотности на ближайших шести атомах Fe1. Поэтому величины квадрупольных расщеплений на ядрах атомов Fe00 и Fe0m в существенной степени зависят от числа атомов Fe1, являющихся их ближайшими соседями. Чем больше этих атомов находится в первой координационной сфере атома Fe00 и выше симметрия их расположения, тем меньше величина градиента электрического по- ля (квадрупольное расщепление) на его ядре. Ближайшие окружения атомов Fe00 и Fe0m представлены на рис. 468 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН 6. Оказалось, что в модельной структуре у атома Fe00 четыре бли- жайших атома Fe1, а у Fe0m шесть. Обозначим эти атомы Fe00(4) и Fe0m(6). Из рисунка 6 следует, что атом Fe0m(6) имеет более симмет- ричное окружение атомами Fe1 по сравнению с Fe00(4), что объясня- ет меньшее квадрупольное расщепление соответствующей ему дуб- летной линии. Этот результат позволяет сделать важный вывод о том, что на ядрах атомов, не содержащих в ближайшем окружении атом примеси внедрения, может возникать градиент электрическо- го поля. Полученное нами квадрупольное расщепление Δ = 0,19 мм/с на атомах Fe00(4) согласуется со значением квадрупольного расщепления узкой дублетной линии из работы [16]. Таким обра- зом, проведенные нами расчеты подтверждают правильность раз- ложения спектра на три компоненты методом SOMM. 5. ВЫВОДЫ Разработан новый метод обработки экспериментальных мёссбауэ- ровских спектров SOMM, основанный на принципах самоорганиза- ции. Метод, в отличие от существующих, не требует выбора старто- вой модели спектра. Критерием согласия между эксперименталь- ным и рассчитанным спектром является – оценка эмпирического риска. В результате расчетов пользователю предлагается несколько оптимальных моделей спектра. Проведено тестирование метода на модельных эксперименталь- ных спектрах. Показано, что разработанная методика позволяет весьма эффективно разлагать экспериментальные мёссбауэровские спектры на компоненты. Метод SOMM использован для обработки экспериментального мёссбауэровского спектра аустенита Fe10C. Получено более точное, по сравнению с существующими, разложение спектра на одну син- глетную и две дублетных линии. а б Рис. 6. Ближайшее окружение атомов: а) Fe0m(6) и б) Fe00(4). МОДЕЛИРОВАНИЕ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В Fe—C 469 Для интерпретации результатов разложения спектра на компо- ненты методом FLAPW проведены расчеты электронной структуры и параметров сверхтонких взаимодействий для нескольких упоря- доченных структур Fe32C2, моделирующих аустенит FeC0,0625 с раз- ным расположением атомов углерода. Установлено, что на ядрах атомов железа, не содержащих в ближайшем окружении атом уг- лерода, может возникать градиент электрического поля. Это позво- ляет сделать вывод о том, что в мёссбауэровский спектр углероди- стого аустенита в виде дублетных линий с разными квадрупольны- ми расщеплениями дают вклад атомы Fe1 и часть атомов Fe0. Дру- гая часть атомов Fe0 дает вклад в виде синглетной линии. Результа- ты расчетов подтверждают правильность полученного разложения спектра на компоненты. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. В. Б. Злоказов, Физ. элементар. частиц и атом. ядра, 16, вып. 5: 1126 (1985). 2. В. Б. Злоказов, VIII школа по нейтронной физике: Сб. лекций (Дубна: ОИЯИ: 1998), с. 223. 3. A. H. Tихoнoв, B. Я. Apсенин, Методы решения некорректных задач (Mосква: Hayкa: 1974). 4. S. A. Bruggemann, Y. A. Artzybashev, and S. V. Orlov, (UNIVEM) Version 4.5 (1990—1993). 5. В. С. Русаков, Мёссбауэровская спектроскопия локально неоднородных систем (Алматы: ОПНИ ИЯФ НЯЦ РК: 2000). 6. K. Lagarec and D. G. Rancourt, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B, 129, No. 2: 266 (1997). 7. Z. Klencsár, E. Kuzmann, and A. Vértes, J. Radioanal. Nucl. Chem., 210, No. 1: 105 (1996). 8. H. Ahonen, P. A. de Souza Júnior, and V. K. Garg, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B, 124, No. 4: 633 (1997). 9. А. Г. Ивахненко, Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами (Київ: Техніка: 1975). 10. В. Н. Вапник, Восстановление зависимостей по эмпирическим данным (Москва: Наука: 1979). 11. A. Timoshevskii and V. Yeremin, Hyperfine Interact., 159, Nos. 1—4: 395 (2004). 12. C. L. Lawson and R. J. Hanson, Solving Least Squares Problems (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall: 1974). 13. R. H. Byrd, Peihuang Lu, J.Nocedal, and Ciyou Zhu, SIAM J. Sci. Comput., 16, No. 5: 1190 (1995). 14. V. G. Gavriljuk and H. Berns, High Nitrogen Steels (Berlin: Springer-Verlag: 1999). 15. N. DeCristofaro and R. Kaplow, Metall. Mater. Trans. A, 8: 35 (1977). 16. D. L. Williamson, K. Nakazawa, and G. Krauss, Metall. Mater. Trans. A, 10: 1351 (1979). 470 А. Н. ТИМОШЕВСКИЙ, С. О. ЯБЛОНОВСКИЙ, В. И. ЕРЕМИН 17. V. N. Bugaev, V. G. Gavriljuk, V. M. Nadutov, and V. A. Tatarenko, Acta Metall., 31, No. 3: 407 (1983). 18. K. Oda, H. Fujimura, and H. Ino, J. Phys.: Condens. Matter, 6: 679 (1994). 19. O. N. C. Uwakweh, J. P. Bauer, and J. M. Génin, Metall. Mater. Trans. A, 21: 589 (1990). 20. K. Laneri, J. Desimoni, G. J. Zarragoicoechea, and A. Fernández Guillermet, Phys. Rev. B, 66: 134201 (2002). 21. D. Singh, Planewaves, Pseudopotential and the LAPW Method (Boston— Dordrecht—London: Kluwer Academic: 1994). 22. P. Blaha, K. Schwarz, G. K. H. Madsen, D. Kvasnicka, and J. Luitz, WIEN2k: An Augmented Plane Wave plus Local Orbitals Program for Calculating Crystal Properties (Wien, Austria: Tech. Universität: 2001). 23. J. P. Perdew, K. Burke, and M. Ernzerhof, Phys. Rev. Lett., 77, No. 18: 3865 (1996).

Компьютерное моделирование атомной структуры и сверхтонких взаимодействий в аустените Fe—C

Institution

Ähnliche Einträge